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上海交通大学硕士学位论文 4 电场辅助离子交换波导的研究 电场辅助离子交换波导的研究 摘要 渐变折射率光波导是光通信和集成光电子学领域中的关键元件之一。目前， 已有多种成熟的工业技术，特别是扩散、离子交换和离子注入等技术，可以制备 低损耗的渐变折射率光波导。在光放大器、激光器、通信器件、传感器、分束器 及其他器件中，渐变型光波导已获得了愈来愈广泛的应用。而 k 离子交换制备渐 变折射率波导因其损耗小，成本低，备受人们关注。 本文主要面向用于生产玻璃波导的电场辅助 k 离子交换技术的研究和实验。 文章首先较为全面的介绍了离子交换理论。包括平板波导线光学模型，电磁场理 论以及离子交换的机理，产生折射率变化的原因。然后再较为详细介绍一些基本 数学分析方法基础上推导出离子交换波导的折射率分布理论模型。 本文的实验工作主要集中在新的电场辅助交换装置方面。 本文对电场辅助下 k+离子交换的波导制备方法进行了研究。传统电场辅助 k+离子交换方法须用到 硅胶粘合玻璃与交换容器，受制于粘合材料温度限制,只能采用低温加热 k+混合 物,得到的折射率变化较小。本文中新的制备方法通过在玻璃片上镀金膜构成电 极，交换温度控制在 350 oc，并使用纯 kno 3为熔盐，通过电场辅助用普通载玻 片制成了损耗为 0.61db/cm 的多模光波导。 通过对银离子交换和电场辅助钾离子 交换所制成的波导片进行比较，进一步说明采用电场辅助 k+离子交换是制备低 损耗、多模、低成本光波导的重要方法。 关键词关键词：k+离子交换，电场辅助，多模光波导，损耗 上海交通大学硕士学位论文 5 abstract with the development of integrated optics, people have paid more attention to the graded-index optical waveguides formed by ion exchange, diffusion, and other techniques owing to its wide applications in optical amplifier, laser, communication, sensor, power division, and other related areas. k+ ion exchange with the help of an electric field attract more and more concern due to the small loss and low cost. in the paper, it is focused on researches and experiments of k+ ion exchange with the help of an electric field. firstly, it introduced the fundamental theories of ion exchange thoroughly, including planar waveguide theories, and the principle resulting in the refractive index change. then on the base of some essential mathematical methods in analyzing ion exchange waveguide, the theoretical model of the refractive index founded. this report focuses on research into waveguide prepared by k+ ion exchange with the electric field assistance, in order to get well transported wave guide. because the temperature limitation of agglutinate material, in traditional method, chemical mixture with k+ was heated up in low temperature and small change of refractive index was gotten. in new method, adopting pure kno3, normal glass is exchanged in 350 oc with the electric field assistance and becomes the multimode waveguide whose loss is 0.61db/cm. by compared k+ ion exchange with the electric field assistance with ag+ ion exchange, it is shown that k+ ion exchange with the help of an electric field is the important method to produce small loss, multimode and low cost waveguide. key words： k+ ion-exchange, electric field, multimode waveguide, loss 上海交通大学硕士学位论文 2 上海交通大学上海交通大学 学位论文原创性声明学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果。 除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：曾灵 日期： 2007 年 1 月 10 日 上海交通大学硕士学位论文 3 上海交通大学上海交通大学 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、 使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权上海交 通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密保密，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 曾灵 指导教师签名：邓晓旭 日期：2007 年 1 月 15 日 日期： 2007 年 1 月 15 日 上海交通大学硕士学位论文 1 第一章 前 言 第一章 前 言 1.1 集成光学的产生和发展集成光学的产生和发展 1960 年气体激光器出现，它作为通信光源的潜在用途就被很多机构所重视，成为了一 些研究的主要目的。 随着技术的巨大成就： 低阈值电流的半导体激光器的发明、 光纤的应用， 似的光通信技术变得有了实用化的可能。1970 年，美国康宁公司成功地制成了世界上第一 根低损耗的石英光纤。同年，半导体激光器实现了室温下的连续工作。因此，光通信技术开 始了由研究向实用化和产业化发展。 在光纤通信中应用的各种器件中， 光波导器件是重要的组成部分之一。 玻璃是一种制作 光波导器件基底的重要材料，这是因为它具有相对低廉的价格，出色的透明度，以及较高的 机械强度。另外硅酸盐/磷酸盐玻璃的折射率与光纤非常接近，因此玻璃光波导和光纤之间 的偶合损耗相对其他材料波导要小得多。 经过多年来的发展， 大量的实用化光波导器件已走向市场。 这些器件大致可以分为无源 器件和有源器件。 它们的主要区别在于其实现本身功能时是否发生光电能量转换。 若出现光 电能量转换。则称其为有源光器件，比如激光器、光检测器、光放大器等。若未出现光电能 量的转换，则称为无源光器件。无源光波导器件主要包括有类似光学元件的棱镜、透镜、反 射镜、光束检偏器等，以及类似微波器件的波导型定向耦合器、滤波器、光隔离器和衰减器 等。 研究无源光波导我们通常以光的电磁场理论和介质光学特性的理论为基础。 从光线光学 的观点看，在折射率阶跃型光波导中，光束在分界面上反复的作内部全反射而传播。并且随 着分界面不规则程度的增加， 光线在界面上的每次反射都将引起散射， 从而使波导的传输损 耗急剧增加， 这是阶跃型折射率分布波导的缺陷所在， 它严格地限制了低损耗波导的制作容 差。 为了减小波导的传输损耗， 一个自然的想法是使这种阶跃型折射率分布波导改变为渐变 型折射率波导。 在这种渐变折射率波导中， 传播的光线不再是锯齿形的， 而将变为连续的 “弧 形光线” ，从而避免了因界面不规则引起的散射损耗。因此，这种波导引起了研究人员极大 的兴趣。 上海交通大学硕士学位论文 2 1.2 光波导制备方法光波导制备方法 随着集成光学的发展，越来越多的方法应用于光波导的制备，有溅射法、化学气相沉积 法、脉冲激光沉积法，溶胶-凝胶法等，离子注入法以及离子交换法。 溅射方法的工作原理是让隋性气体分子(如 ar、ne、kr)等在强电场作用下电离，电离 后的正离子在电场作用下向阴极方向作高速运动撞击到阴极表面， 将能量传递给位于阴极位 置上的溅射靶， 使靶面原子(或分子)脱离靶面而沉积在衬底上形成所需要的薄膜。 化学气相 沉积方法是把含有构成薄膜元素的一种或几种化合物、 单质气体供给基片， 借助气相作用或 在基片表面上的化学反应生成要求的薄膜。 脉冲激光沉积方法是高功率的脉冲激光束经过聚 焦后进入真空室照射靶材, 激光束在短时间内使靶表面产生很高的温度, 并使其气化, 产 生等离子体, 其中所包含的中性原子、 离子、 原子团等以一定的动能到达衬底, 从而实现薄 膜的沉积。溶胶凝胶方法是前驱物水解成溶胶，再在一定的反应条件(温度、湿度、酸碱 度、压力等)下转变为具有一定强度的固体凝胶。这三种方法制成的波导都是阶跃型波导。 在低温条件下向基体材料中注入杂质离子， 控制杂质原子的浓度横向分布和深度分布从 而实现光波导的制备。 离子交换法的实质是衬底中的离子被具有更大原子半径或更高极化率 的离子所取代使局部折射率增大而获得波导。该方法实验参量的选取具有相当大的灵活性； 制作过程可重复性强，工艺简单，适于批量生产；并且能够制备出与单模、多模光纤匹配很 好的玻璃波导，保证波导与光纤之间的耦合损耗很小。这两种方法都用来制作渐变型波导， 但是离子交换技术是目前生产玻璃集成光学器材时使用最广泛的技术。 离子交换是通过 tl+、k+、ag+、li+、rb+、cs+等一价阳离子与基底玻璃中富含的 na+ 离子进行交换，然后进行二次逆向离子交换而得到。不同的离子交换有不同的结果：tl(铊) 离子交换能获得很大的折射率变化（n0.1） ，且交换后的光损耗较小，非常适合制备多 模光纤，但 tl(铊)为重金属，毒性大，制备时需要严格的安全措施；ag 离子交换的优点是 容易进入玻璃结构，折射率变化大，但是银离子不稳定，在玻璃中超过一定浓度后，会变成 吸收光的金属银颗粒， 这些颗粒的存在会大幅度增加光损耗， 同时还会在某些有用波段造成 光吸收；li 离子在玻璃中非常活泼，适合制备多模光纤，但由于半径上的巨大差异，在交 换过程中，会产生巨大的张应力，导致巨大应力破坏玻璃表面；rb(铷)价格昂贵、熔点高， cs(铯)能与很多物质发生反应，所以必须在白金等贵金属容器中进行交换交换，二者都不利 于研究及生产。 k+离子交换损耗小，但是折射率变化也比较小（n0.009） ，一直仅被用来制备低损 上海交通大学硕士学位论文 3 耗的单模波导3。通过电场辅助进行 k+离子交换，不仅可以减少交换的时间，还可以获得 多模波导。这样不仅保留了其原有的优点，还弥补了直接交换的缺陷。 1.3 本文研究范围本文研究范围 本文主要针对电场辅助下钾离子交换波导的制备， 首先给出了平板波导的物理基础， 包 括线光学模型，电磁场理论。在此基础上推导出离子交换波导的折射率分布理论模型，进而 得到电场辅助情况下波导折射率分布。 通过理论指导以及对传统交换装置的分析， 得到了一 种新的交换装置。 最后通过各项相关实验结果和数据的测试和分析， 明确了新的交换装置是 一种可行的离子交换方法。 本文可以分为五部分： 第一章， 简单介绍离子交换研究的背景。 第二章， 阐述了平板波导物理基础，论述了离子交换法在玻璃中形成光波导的折射 率分布，进而推导出电场辅助情况下波导折射率分布。 第三章， 介绍了离子交换方法制备波导的材料和设备以及传统电场辅助下钾离子交 换装置。通过分析比较在传统方法基础上得到了新交换方法。 第四章， 利用棱镜耦合原理与 iatm 理论，计算得出了光波导的折射率分布。比较 不同方法制备波导的折射率分布和损耗，明确了新交换装置的可行性。 第五章， 总结全文，对继续开展工作提出了自己的想法。 上海交通大学硕士学位论文 4 参考文献 1 t. h. maiman, r. h. hoskins, i. j. dhaenens, c. k. asawa and v. evtunov, “stimulated optical emission in solids”, phys. rev., vol. 123, pp. 1151, 1961. 2 f. p. kapron, d. b. keck and r. d. maurer, “radiation losses in glass optical waveguides ”, appl. phys. lett., vol. 17, pp. 423, 1970. 3 i. hayashi, p. b. panish, p. w. foy, and s. sumski, ”junction lasers which operate continuously at room temperature”, appl. phys. lett., vol. 17, pp. 109, 1970. 4 g. h. b. 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suematsu, “monolithic integratin of optical circuits and related twin-guide lasers”, int. conf. int. opt. and opt. comm., vol. b 1-1, 1977. 29 曹庄琪， 导波光学中的转移矩阵方法 ，上海交通大学出版社 2000. 上海交通大学硕士学位论文 7 第二章 离子交换波导物理基础 第二章 离子交换波导物理基础 2.1 平板波导物理基础平板波导物理基础 介质光波导是在光波导器件和集成光路中用以限制和传播光的元件,一种为大家所熟知 的介质光波导就是通常具有圆形截面的光导纤维， 然而， 通常情况下集成光学所注重的波导 往往是由平面薄膜所构成的平板波导。介质平板波导的结构如图 2-1 所示,它由三层材料组 成。中间一层是折射率为 1 n波导薄膜，它淀积在折射率为 2 n的衬底上，薄膜上层是折射率 为 3 n的覆盖层（或称包层） 。薄膜的厚度一般为微米量级，可与光波长相比较。为了构成真 正的波导，要求 1 n必须大于 2 n和 3 n。不失一般性，可假定 321 nnn ，如果 32 nn =， 则称该波导为对称平板波导，如果 32 nn ，则波导是非对称的。 图 2-1 介质平板波导结构 图 2-2 折射率为 1 n和 2 n的两介质间的分界面 2.1.1 平板波导的线光学模型 2.1.1 平板波导的线光学模型 假定导波光是相干单色光， 并且光波导是由无损耗、 各向同性、 非磁性的无源介质构成。 光在平板波导中传播的图像， 是光线在薄膜-衬底和薄膜-覆盖层分界面上发生全内反射， 在 薄膜中沿z字形路径传播的图像。 图 2-3 表示了平板波导的侧视图以及所选的坐标系， 图中画出了对应于导模的 z 字形波 1 2 1 n1 n2 x a b c 上海交通大学硕士学位论文 8 的波阵面。前面已指出，平板波导的导模可以用锯齿形光线图像描述，并且锯齿光线与界面 法线的夹角只能取有限个离散值。下面对这个问题作进一步的分析。设波导中的光沿坐标 z方向传播，而在x方向受到限制。至于在垂直于xz平面的y方向上，由于波导的尺寸 图 2-3 平板波导的侧视图 相对比较大， 所以在理论上认为平板波导的几何结构和折射率分布沿y方向是不变的， 并可 进一步认为光场沿y方向也是均匀一致的。 于是可以看出， 锯齿光线实际上是两个重叠的均 匀平面波的图像，一个是斜面上的传播，另一个是斜面下传播的，其波阵面法线的是图 2-3 所示的锯齿形光线。 设这两个平面波是单色并相干的， 其角频率为， 自由空间的波长为， 则自由空间的波数为： 2 0 = c k (2.1) 式中，c是真空中的光速。图 2-3 所示的平面波的波矢量为： 10n kk = r (2.2) cosk 10 n= (2.3) sink 10 n= (2.4) 式中，和分别是波矢k v 的x分量和z分量。由此可见，薄膜中的波动场按以下方式变 化： )(expzxi+ (2.5) 式中，前面的正负号分别对应于斜向上和斜向下传播的平面波。 考察某一z为常数的波导 截面，这时只能看到光波沿x方向的上下运动，因而可不考虑光波沿z方向的运动，以下 从这个观点出发推导平板波导维持导模的条件，设一光波从薄膜下界面（0=x）出发向上 行进到薄膜上界面（hx =） ，在上界面经历全反射后返回到下界面，在下界面又经历全反 射后与原先从下界面出发的光波叠加在一起， 将此过程中光波所经历的相移累加起来， 可以 上海交通大学硕士学位论文 9 看到，为了达到相干加强（谐振）的结果，这个相移累加总和必须是2的整数倍。对于厚 度为h的薄膜，光线第一次横向穿过薄膜的相移是h，在薄膜覆盖层分界面上的全反射 相移是 13 2，另一次向下横穿薄膜的相移也是h，在薄膜衬底分界面上的全反射相移 是 12 2。因此，光波能在薄膜中传播的条件，即平板波导能维持导模的条件是 2222 1213 mkh= (2.6) 式中，m为模序数，它取从零开始的有限个正整数。由此可看出，只有满足方程(2.6)的入 射角才为波导所接受。即波导对光线的入射角是有选择性的。在厚度h确定的情况下，平 板波导所能维持的导模数量是有限的，因此m只能取有限个正整数。方程(2.6)称为平板波 导的模式本征方程，该方程的未知数是或。对于给定的m，一定有 m 或 m 与之对应。 m 叫作m阶导模的传播常数， m 叫作m阶导模的模角。当然上述方程也可以表示成光频 与传播常数的关系，故上式也称为平板波导的色散方程。 2.1.2 平板波导的电磁场理论平板波导的电磁场理论 平板波导的理论处理可采用简单而直观的光线光学模型， 但这种理论是不完善的。 首先， 它无法给出波导的模场分布， 波导所携带的功率等概念； 其次， 为解释波导中光的传播特性， 还必须引入位相和相干等波动概念。 而模场分布等知识对于光波导和光波导器件的大部分研 究课题是必须具备的。 下面将从麦克斯韦方程的边值问题出发， 推导平板波导各类模式的场 分布以及模式本征方程等问题。 随时间变化的无源电磁场的麦克斯韦方程为 ),( ),( t trb tre = v v v v （2.7） ),( ),( t trd trh = v v v v (2.8) 当界面上没有面电荷和面电流分布时，得到如下边界条件： 上海交通大学硕士学位论文 10 0)( 0)( 0)( 0)( 21 21 21 21 = = = = hhe eee dde bbe n n n n vv v vv v vv v vv v （2.9） 由此可以推出平板波导的麦克斯韦方程解的形式为： )(exp)(),( )(exp)(),( = = tzixhtzxh tzixetzxe vv vv （2.10） 式中，是电磁场沿z方向的传播常数。(2.10)式表明，波导中的横向（x向）电磁 场以相速度/沿波导的纵向（z向）传播，这个沿z向传播的行波，就是通常所说的导 波光。 2.2 离子交换模型分析离子交换模型分析 根据经典玻璃理论，玻璃的折射率是由其主要组份原子（或离子）的含量及其电极化率 决定的。它满足劳伦兹罗伦茨关系式 （2.11） 式中 n 是玻璃的折射率，qi是单位体积内第 i 种离子的数目， i 是其电极化率。微 分（3.1）式有 )( 3 4 6 )2( 22 iii i i qq n n n + + = （2.12） 显然要使玻璃的折射率发生分布性渐变， 有两个可采取的途径， 一是改变某种离子的分 布浓度，二是设法使离子的电极化率改变。玻璃的结构可以理解为主要由玻璃生成体 等所 形成的网络结构， 并被其它的玻璃成分修饰。 其中碱金属氧化物修饰剂是以一价碱金属离子 与玻璃结构中的非桥键氧原子结合的形式存在， 而碱金属网格修饰离子与网格的结合是不牢 固的，在高温下有较高的迁移率。当玻璃浸入某熔盐中使其内离子具有一定能量时，就会引 起玻璃网格修饰离子（通常是 na+）在网格之间发生迁移，与熔盐中的一价金属离子在玻璃 表面处发生交换，伴随离子交换从而引起折射率的改变。这种离子交换与材料的折射率、摩 尔体积、材料内粒子的电极化率、内部压力、温度等因素有关，因此有必要建立有效的离子 ii q n n = + 3 4 2 1 2 2 上海交通大学硕士学位论文 11 交换模型来帮助我们确定实验方案以制作出理想的光波导。 从定性的角度讲，热离子交换可以这样理解：一种含有 b+离子的玻璃浸入一种熔盐溶 液中，这种熔盐含有一种与 b+离子化学性质较为类似的离子，可以称为 a+离子。在玻璃- 熔盐界面处，两种离子的初始浓度迅速的从一定值降为 0，也就是说，两种离子在界面处均 有很大的浓度梯度，那么热扰动产生的随机碰撞很容易使 a+， b+离子互相替代，并逐渐 扩散远离界面。界面处的这种离子交换反应可以用下式表示： + +abba （2.13） 式中加横线说明该阳离子在玻璃内。 离子交换率可能受以下因素影响： （1） 盐熔融液与玻璃交换表面反应物的堆积 （2） 盐熔融液与玻璃交换表面处置换反应 （3） 玻璃内部的离子迁移 2.2.1 自由扩散离子交换自由扩散离子交换 式（2.13）的平衡状态由平衡常数 k 决定，一般 k 定义为 baab k/= （2.14） 式中 表示离子的热力学活度。对于玻璃，两种离子热力学两种离子热力学活度之比 为： )/(/ baba cc= （2.15） 其中是常数，ca和 cb表示盐熔融液中 a，b 离子的浓度。而熔盐中离子热力学活度 之比满足下面的关系式： )21)(/()/ln()/ln( bbaba nrtwnn= （2.16） 式中 na， nb是熔盐中的两种离子的摩尔分子数， r 是气体常数， t 为绝对温度， w 为 两种阳离子的相互作用能。合并式，可得离子交换平衡方程： kccnrtwnn aabba ln)1/(ln)21)(/()/ln(= （2.17） 将方程左边看作kcc aa ln)1/(ln的函数，则可以给出一条直线，进而求出和 k 的值，根据和 k 的大小来指导我们合适的实验参数。 上海交通大学硕士学位论文 12 由前面的分析我们知道，离子交换法的物理实质是热离子扩散。假设仅存在熔盐中 a+ 离子和玻璃中 b+离子之间交换的情况，那么这两种离子在玻璃中的流量方程可分别写成如 下形式： aaa cdj= （2.18） bbb cdj= （2.19） 式中 j 是流量(单位时间穿过单位截面的组分的摩尔数)，d 是自扩散系数，c 是离子的 摩尔浓度。针对盐熔融液中离子交换，d 定义为： q kt fd= （2.20） 其中 f 是与玻璃成分相关的交联因子，k 是 boltzmann 常数，q 为离子所带电量， t 是绝对温度，是电化学迁移率)/( 2 svm 由 fick 第二定律可知： j t c = （2.21） 所以我们可以得到玻璃离子的扩散方程 a a cd t c 2 = （2.22） 由玻璃折射率的加和性， 玻璃折射率的改变量与相应离子浓度的变化呈线性关系， 因此 可以将热扩散方程中的浓度函数直接用折射率分布来表示。 对于一维扩散的平面波导 （折射 率沿 x 方向变化） ，其方程和边界条件满足下列关系： 2 2 ),(),( x txn d t txn = s nxn=)0 ,( （2.23） 0 ), 0(ntn= 式中 ns为基底玻璃交换前的折射率，n0交换发生时玻璃表面的折射率，它与玻璃材料 及交换熔盐有关，在交换过程中可认为不变。用分离变量法求解，其折射率分布形式为： )2/()()( 0 dtxerfcnnnxn ss += （2.24） 此式中的dt2称为有效扩散深度， 是指从玻璃表面 （x=0） 到157. 0) 1 (/ )(=erfcnxn s 的 上海交通大学硕士学位论文 13 距离。这样的折射率分布已经在 bk7 玻璃基底上进行的 ag+-na+，cs+-na+与 k+-na+交换制 成的光波到中得到验证。 虽然实际的离子交换波导通常不具有上面解析解的形式， 但是也可 以得到 cs na交换为准阶跃型分布，k+na+交换为近高斯型分布，ag+-na+换为近指数 分布。 图 2-4 离子交换波导折射率分布 如图 2-4 所示，可以看出在折射率的最大值和最小值相同的情况下，不同分布会造成 光线在界面上反射点不同。高斯型分布的折射点为 x2，比指数型分布 x1更远离表面，也就 意味着即使其他条件相同损耗也会低。 2.2.2 电场辅助离子交换电场辅助离子交换 在有外加电场辅助情况下， 热离子交换就不仅取决于离子的自扩散系数， 还会受到外加 电场的影响。在双离子交换过程中，盐熔融液中的 a 离子通过扩散作用进入到玻璃中，玻 璃中的 b 离子扩散出来，每种离子的通量可以用下式表达： ec c cd ii i i ii r r + = ln ln （2.25） 式中 r 为离子的摩尔流量)/( 2 smmol， i 为电化学迁移率)/( 2 svm， i c为玻璃中 离子浓度)/( 3 mmol，e r 为电场强度)/(cmv。 由于e r 代表任何外部电场，其中包括在交换边界附近由于空间电荷分布产生的电场。 上海交通大学硕士学位论文 14 这个电场会由于扩散边界进入玻璃越来越深而随时间变化。 空间电荷区域由于进入玻璃离子 的迁移率比较低)( ba 造成的，它可以用下式描述： =)( e rr （2.26） 其中空间电荷密度为： )( 0 bba ccce+= （2.27） 上式中， 0 b c为交换前玻璃中离子 b 的绝对浓度。对弱导情况，由于离子置换导致的电 介质常数的变化很小，所以（）可以简化为： /= e rr （2.28） 一些扩散情况中，空间电荷效应可以忽略不计，可以近似看成电中性状态 0 bba ccc=+ （2.29） 加上两种离子在玻璃中的流量方程（） ） ，可以得到扩散方程： aa aa aa a cd c n c ce t c 2 11 1 + = r （2.30） 式中)(ln/ )(ln aa cn= = b a 1 再将（2.28）和（2.30）联立，得到方程组。这个方程组一般只能得到数值解。在交换 进玻璃里 a 离子浓度很低) 1( a n的情况下，可以得到近似的解析解： + +=) 2 ()exp() 2 ()()( 0 td etx erfc td etx td etx erfcnnnxn aaa ss （2.31） 上海交通大学硕士学位论文 15 图 2-5 k 离子交换波导折射率分布 通过图2-5可以看出无辅助电场和电场辅助离子交换相比,热交换制作的波导折射率分 布为渐变形式,而电场辅助离子交换所制得波导折射率分布近似为阶跃型,不同形状的折射 率剖面对光场的限制作用不同。 波导对光场的限制越好,能量就越集中于波导芯层,光的传输 损耗也就越小。 上海交通大学硕士学位论文 16 参考文献 1 m.玻恩, e.沃耳夫， 光学原理 科学出版社，1978. 2 t.tamir, integrated optics, second edition, spring-verlag, berlin, 1975. 3 h. kogelnik, v. ramaswamy “scaling rules for thin-film optical waveguides” appl. opt., vol.13, pp. 1857, 1974. 4 p. k. tien and r. ulrich, “theory of prism-film coupler and thin-film light guides,” j. opt. soc. am., vol 60, pp. 1325, 1970. 5 m. l. dakss, l. kuhn, and p. f. heidrich, et al., “grating coupler for efficient excitation of optical guided waves in thin films,” appl. phys. lett., vol. 16, pp. 144, 1970. 6 i. p. kaminow, l. w. stulz, “loss in deaved ti-diffused linbo3 waveguides,” appl. phys. lett., vol. 33, pp. 62, 1978. 7 h. p. weber, f. a. dunn, and w. n. leibolt, “loss measurement in thin film optical waveguides,” appl. opt., vol. 12, pp. 755, 1973. 8 y. jiang, z. cao, and q. s. shen, et al, “digital measurements and fabrication of low loss optical organic polymer waveguides,” acta optic