（应用数学专业论文）半三角lagrange插值及其在余割核奇异积分方程中的应用.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 内容摘要 插值法是函数逼近论中一个重要的内容。关于多项式的l a g r a n g e 插值和 h e r m i t e 插值已有完备的结果，关于三角函数的l a g r a n g e 插值及应用也有不少成果， 而用半三角函数的l a g r a n g e 插值来逼近2 石反周期函数的结果相对较少。当插值节 点为偶数个时，半三角l a g r a n g e 插值问题是适定的：当插值节点个数为奇数时，半 三角l a g r a n g e 插值问题是不适定的。这与多项式l a g r a n g e 插值存在着本质区别。 在本文第二章中，我们给出了半三角l a g r a n g e 插值问题的提法并构造了插值基函 数；当被插值函数具有某种解析性时，给出了半三角l a g r a n g e 插值函数的积分表达 式和插值余项的表达式。在第三章中，我们澄清了教材中关于求积公式三角精度的 一些不准确的说法，指出了三角精度与代数精度的区别。我们还利用周期函数的求 积公式和半三角l a g r a n g e 插值的结果研究了一类含余割核的奇异积分的数值求积 方法，建立了相应的求积公式且给出了求积公式的半三角精度在第四章中，我们利 用余割核奇异积分的求积公式给出了一类常系数余割核奇异积分方程的配置数值 解法。 关键词：半三角插值；三角精度；余割核奇异积分：奇异积分求积 a b s t r a c t t h e i n t e c p o l a t i o ni sa ni m p o r t a n tc o n t e n to f i n n c t i o na p p r o x i m a t i o n t h er e s u l t sa b o u t t h ep o l y n o m i a ll a g r a n g ei n t e r p o l a t i o na n dt h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nh a v e b e e n c o m p l c t e d ；t h e r ea l ea l s om a n ya c h i e v e m e n t sa b o u tt r i g o n o m e t r i c a lf u n c t i o nl a g r a n g e i n t e r p o l a t i o na n di t sa p p l i c a t i o n s c o m p a r e d 谢t l lt h o s ea c h i e v e m e n t st h er e s u l to f a p p r o a c h i n gt h e 2 7 r c o u n t e r - p e r i o d i cf u n c t i o nw i t hp a r a t r i g o n o m c t r i e a lf u n c t i o n l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o ni sr e l a t i v e l yl e s s w h e nt h en u m b e ro f i n t e r p o l a t i o nn o d e si se v e n , p a r a t r i a n g l el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nq u e s t i o ni ss u i t a b l yd e c i d e d w h e nt h en u m b e ro f i n t e r p o l a t i o nn o d e si so d d , p a r a t r i a n g l el a g r a n g ei n t e i p o l a t i o nq u e s t i o ni sn o ts u i t a b l y d e c i d e d t h ec o n c l u s i o n sa b o v eh a v et h ee s s e n t i a ld i s t i n c t i o nw i t ht h ep o l y n o m i a l l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e ri nt h i sa r t i c l e , w eh a v ep r o d u c o d p a r a t r i a n g l el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nq u e s t i o na n dt h ec o n s t r u c ti n t e r p o l a t i o n b a s i c f u n c t i o n s ；w h e nt h ei n t a i m l a t e df u n c t i n nh a v es o m ea n a l y t i cc h a r a c t e r , w eh a v eg i v e d i n t e g r a le x p r e s s i o no f p a r a t r i a n g l el a g r a n g ei n t e r p o l m i n gf u n c t i o na n dt h ei n t e r p o l a t i o n r e m a i n d e r i nt h et h i r dc h a p t e r , w eh a v ec l a r i f i e ds o m ev i e w sa b o u tt h eq u a d r a t u r e f o r m u l at r i a n g l ep r e c i s i o ni nt h et e a c h i n g m a t e r i a l ，a n dp o i n t e do u tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e n t h et r i a n g l e p r e c i s i o na n dt h ea l g e b r ap r e c i s i o n a l s ow eu s e dt h er e s u l t so ft h e q u a d r a t u r ef o r m u l ao f p e r i o d i cf u n c t i o na n dp a r a t r i a n g l el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nt os t u d y ak i n do fs i n g u l a ri n t e g r a lw i t hc o s e c a n tk e r n e lt h es i n g u l a fi n t e g r a lv a l u eq u a d r a t u r e m e t h o d ，a n df m a u yw eh a v ee s t a b l i s h e dt h ec o r r e s p o n d i n gq u a d r a t u r ef o r m u l aa n d p r o d u c e dt h ep a r a t r i a n g l ep r e c i s i o n i nc h a r p t e rf o u r , w e k e y w o r d s ：p a r a t r i g o n o m c t r i c ；i n t e r p o l a t i o n ；t r i g o n o m e t r i c ；p r e c i s i o n ；s i n g u l a r ； i n t e g r a lw i t hc o s e c a n tk e r n e l ；q u a d r a t u r eo f s i n g u l a ri n t e g r a 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 炎小彳日期：2 0 0 7 + - 6 月f 日 学位抡文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即；学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：蹇小平 日期：2 w 7 年月f 日 导师签名：如百年 日期：叩年月。日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童途窒握銮卮澄痘；旦坐生i 旦= 生；旦三玺筮查! 作者签名： 蹇小干 日期：2 + 7 年月1 日 导师签名：瓜晋军 日期：7 年月ii ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 插值法是函数逼近论中一个重要的内容。关于多项式的l a g r a n g e 插值和 h e r m i t e 插值已经有了完备的结果【l 】，关于三角函数的l a g r a n g e 插值及应用也有不 少成果p j ，而用半三角函数的l a g r a n g e 插值来逼近2 万反周期函数的结果相对较少。 当插值节点为偶数个时，半三角l a g r a n g e 插值问题是适定的；当插值节点个数为奇 数时，半三角l a g r a n g e 插值问题是不适合定的。这与多项式l a g r a n g e 插值存在着 本质区别。在本文第二章中，我们给出了半三角l a g r a n g e 插值问题的提法并构造了 插值基函数；当被插值函数具有某种解析性时，我们给出了半三角l 插值函数的积 分表达式和插值余项的表达式。在第三章第一部分中，我们澄清了教材中关于求积 公式三角精度的一些不准确的说法，指出了三角精度与代数精度的区别，并给出了 一个明确刻划三角精度的“型”的概念在第三章第二部分中，我们利用周期函数的 求积公式和半三角l a g r a n g e 插值的结果研究了一类含余割核的奇异积分的数值求 积方法，建立了相应的求积公式且给出了求积公式的半三角精度，它对于研究一类 常系数的完全奇异积分方程的数值解法和近似解法具有基础性作用。在第四章中， 我们利用求积公式，给出了一类余割核奇异积分方程的直接配置解法和间接配置解 法，并利用抽象算子的性质证明了两种解法的同一性，避免了陷入复杂的计算，前 一种方法便于应用，后一种方法便于进行收敛性的分析。 第二章半三角l a g r a n g e 插值 2 1 一些记号和引理 函数类，即研：f a o + 窆( 吩c o 。+ b ：m j ) 1 ，q ，屯为常数，：l ，。l 。我们约定 以 o 时，联= o 。记日：( 口) = 吒s i i l ( 耵+ 口) + 互。( f ) i 碌。 ，这里口【o ，万) 。 称q ( r ) = 喜 巳s i n ( ，+ 吾) r + 屯c o s ( ，+ 三) r ，+ 6 ：。为一+ 丢阶半三角多 赋记蹦f ) - 如s i n ) c o s ( ，+ 别k 啪撒触b ( 咖仁血护斗叫f ) 1 ) r a 码 ，叫叫。如果删，约定 码( 口) = o 很明显群 ) c 研c c o ，位) c 磉 c 磊， 引理2 1 1 【3 】对于任何n 十三阶半三角多项式不能属于两个不同的类( ) 和 + ；( f ) = 毋s i n 9 + + q j + 7 ：! ! ；o ) 且。，。，砰，。，喁。 + ；( r ) = 砰s 缸 ( 弹+ 吉) r + 吃 + z 鸳( f ) 4 “4 “8 。“1 “2 。 贿帕雌 心小n 雌) 心 2 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 整醐a 1 0 s i n 心) p 萌n 鸭心一瑙= 。 ( 毋) c o s q 一口c o s 吃) 西n ( 一+ 吉) r + ( a 1 0 s i n o t t - 砰血) c o s ( n + 三) ， + 薹 ( 秽一母) s 访( ，+ 三 r + ( 酵一够) s i n ( ，+ 三 r = 。 由于s 吒，c o s t 2 ，s i n ( n + 三) r ，c o s ( 玎+ 三) ，线性无关， a ) c o s 喁a , 一- a ! ) 血c o s a z ：= 。0 且班移b o ) = 牡j = 咖扩。 喁i c s o m s q a , - - 一c 锄o s 吒a 2 l = s i n 喁c o s 一s i n a 2 c o s q = s i n ( q 一) 。 则馥) = o ，a 1 2 ) = o ，矛盾。 即对于任何撑+ 三阶半三角多项式不能属于两个不同的类( q ) 和 ( 锡) ， ( q ，o a a j ，吃 石) 。 引理2 1 2 p 】如果，码 ) ，g ( ) ，g 的阶分别为三七，i 1r ，则 胀n 炉t 叶( 陟卅。) ，粥的阶为如，。 证明：只需取，( r ) = s i n ( 三幻+ 口) ，g ( r ) = 咖( 三一+ 此时，( f ) g ( f ) _ s i 1 三缸+ 球) 确( 三+ ) = 壮( 字一卜降+ ) = 一三s i n ( 等m 帆守j 1s i n ( 字坍訇 项士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 即，g 或川畦+ 口+ 。 ，g 的阶为三( 七+ ，) o - 引理2 1 3 t 3 1 如果，e 啄( i 2o ) ，f 的阶为导七，则，在【o ，2 万) 上至多有】 个零 点。 证明：因为，2e 雕故f 2 在【o ，2 石) 上至多有2 _ j 个零点，故，在 o ，2 石) 上至多有七个 零点。 2 2 半三角l a g r a n g e 插值基的构造 半三角l a g r a n g e 插值问题：设o f 2 o ) ，令 则有 户( f f ) = 【他) 一巾) 】c 孚( r o o d 2 万) 2 f t ) t = t ( m o d 2 ，r ) 和，= 薹州州一妒m s ( 叫一别户( 硝) 。萎h ( f ) 幽卜_ ，一抄+ ( f ) 伽卜歹一圳 a i 。# bj t h ：。l 。 证明：不妨设厂( f ) = s i n n r ，则 刊 c s c 孚= 箫= ( 令7 ：m ，：z ，则整理得 6 e i - “_ e - i a i 毒“一f i “ 2 f2 f 南 阶) 一，( ，) c s c 孚= 尚弦。”) 一6 0z _ z - 2 ) = 萎( 2 h - 2 ，1 2 2 l + 南) = 2 萎c o s r ( 一一，一主) + r ( ，+ 三) = 霎 z s i n ( + 三) r s 缸( 玎一- ，一三) r + 2 c o s ( ，+ 三 r c o s ( 疗一- ，一三) r 令4 畸( r ) = - 2 s i n ( _ ，+ 三) r ，易畸( r ) = 2 c o s ( ，+ 三) r ，则钿，e h 川t 。 这时得到和) = 薹f ) s i n ( 州一妒( f ) c o s ( 州丹 。- 引入函数 队( r ) 一。( r ) c 孚 瓦似0 2 r ，篙筹r 和孚 推论z 3 1 天( f ，f ) = 以= 2 m n = 2 m 一1 萎h 州叫一妒础，s m ( 叫一别脚朋 萎 4 ( f ，c 。s ( 三一j ) f + 易( r ) s 证( 三一，) f + 既s i n ( 三r + 口) n = 2 m - 1 证明：1 。当一= 2 m 时，。( r ) c 联，( f ) c 根据引理2 3 1 得天。( f f ) = 芝j = o 厶 ( f ) c o s 伽一_ ，一争r + 弓+ ( f ) s i i l 咖一，一三) i 。l 二 二 j z 当n = 撅一t 时，。( r ) = s i n ( 三r + ，厶。( f ) = s 纽( 量t + 妒) ，则 吖小塑与户 c s c 孚 7 ：墅! ! 竺盟! ! ! ! 竺二盟； s i n ( a 一) e q ”砷一， ”卅州) + p 一和1 哆 ”卅- e - ”埘一0 + ，喇一) 二二互二二：二二 一 p t ( 7 一一，喇7 f ) p 唾 1 r + ，) 一p d ”+ 一 型 p 哇( 一“一p 一哇( 7 一) 五 2 f2 f 记纱= 脚，= z ，扩：口，：b ，则 原式= 6口 z出z国 = 争筹( 桫一古) + 东罱( 砌l 古) 一南( k 。一古) = 争筹( 砌”一卦糟( 如4 一古) 一南( 婷去) = ( 争筹+ 翥葛炉告) + 丢( 砌“告制+ 古) = ( 1a 2 ：虿+ b 2 + 赫炉一赤) + 南( 咖南(1+1(1 1 k ( ( d ；) + 两萎南 2 。1 2 矿a 2 + 矿v 赫 ( 肌爿+ 噶( 一山兰) + 壶篆砖+ 曩1j 、f1 。i ：1 矿a 2 + 孑b 2 + i 筠 ( 彬一古) + 熹，彬+ 毫，万1 + 轰( m 哪d 万) 8 譬 一 矿 砷 景 卜 上彬 如 v 八赫 堡彬 矿一矿 b 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = ( 三等咖一b 等一三) 古+ 乏( 砌n - j z j 4 - 南) = 争筹( 砌咭) * + 卦孙j = l 卅 p 卜研1 可j 刮酬血睁妒) ( 垮c o s 陪砂坍口 = 萎m - i 卜m ) c o s ( 三一，) f - s i n ( 叫s i n ( 三一小 + c s c ( 叫) s i n ( 口) 令4 ( f ) = c o s ( + 口) ，岛( f ) = 一s m ( j t + a ) ，岛= c p 一矿) 就得到 天( f ，f ) = 萋i4 ( f ) c o “三一，弦+ b j ( t ) s i n 哆一_ ，) l + 尾s i n 噎f + 口) -，o l - j 如果2 石反周期函数在矩形区域d r = z 1 0 r e z 2 石，i h n z i o ) 上解 析，则记，庙( d ，) 。 引理2 3 2 如果厂e 应( d ，) ，则 肿) = 去k 作) c s c 三( z r ) 出 其中当f = i v ，( 一r y r ) 时，积分理解为c a t c h y 2 z 值积分。 证明：当f 纱，( 一r y ，) 时，由留数定理可得结论。 当f = y ，( 一， ) ， r ) 时，由推广的留数定理即得。- 定黝胁果厂庙( 咖u ( 亍肌) - - - 1l ，：( z ) 粹 9 余项为( 否) ( r ) = 或 ( 哥，) ( r ) = 等豢a c s c 三2 卜啦 4 万f 抛( z ) 、7 以= 2 m 等l 瑞阻一一( 叫出n = 2 m = 1 去k i 庸，f ”“器c s c 三( z f ，如 撑= 锄 去k 卜，f ”器 c o t 扣川叫，h n = 2 m - i 觋l 。当n = 2 m 时，根据推粕1 叫) - 去弛) 警 巾) 叫f ) - 去k 作) c s c 妒帕一去l 作) 会篝拳 = 等拳c s c 知) 应 则取r = t j ，计算得。t j ) = o ，j = l ，疗，故厂以) = r n ) ，_ ，= l ，揩 由定配2 蛸( 牙硝r ) _ 5l ( z ) 粹 显然余项为( 舜肌f ) - - a 4 删i f ) 鹄f 器c s c 扣恤。 州护器c s c 扣f ) ，则 ( 醪础巾等l 器c s c 扣) 出= 等z ) 如 o 者 = 会掣( c f ( z ) 如+ c ”。，( z ) 出+ e ：，( z ) 出+ ：，f ( z ) 出) = 等( r ，( z ) 出+ ：，f ( z ) 出) = 等( m m ) 出一p ( m ) 出) 因为f i r 与t + i r 共轭，由许瓦兹定理知，( f i r ) = f ( t + i r ) 。 记r 。f ( t + f r ) d t = 国，则r 。r ( t f ，) 西= 面。 赈式= 等( 历一国) = 掣t ( 一面) = 扣a ( r ) c o - i - a ( r ) 历 = 瓦1 挣。( r ) 一面雨 _ 磊1 r ei a ( f ) 厂，( z ) 出 = 去卜r ) ：”器c s c 扣) 司 即佘项( 酬( f ) = 去十小) f 器c s c 啦 2 。当n = 2 m - 1 时，同理可得( 牙，) ( ) - 去b 作) 粹。 黼( 珊) = 等l 端阳1 一) 刮删 c 争 或( 嚣硝r ) = 瓦ir e a ( r ) f 鲁为 c o t 三( z r ) 一? p 一妒) 应 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章半三角插值在一类c a u c h y 主值积分数值求积中的应用 3 1 周期函数积分的数值求积的一些结果 在本节中，我们先澄清一些关于周期函数的定积分，( 厂) = r f ( t ) d t 雕3 一些数 值求积结果，这里厂( 工) 是以2 石为周期的连续函数。 我们知道数值求积的一般形式为j ( 厂) ；2 ( 厂) = a k f ( t , ) ，这里 4 2 。称为 求积系数，o f l t n o q ( ，) = o 即说明了上述断言。但我们指 出，三角精度和代数精度有着本质的区别：如果数值求积的代数精度为m ，则求积 公式对于任何的m + i 阶代数多项恒不精确成立；如果求积公式的三角精度为所， 则求积公式对于某个三角多项式类以。( 占) 恒成立，而对于其他的m + 1 次三角多项 式恒不成立。前面已说明求积公式的三角精度不超过n 一1 ，下面我们来说明求积公 式的三角精度可以达到一一1 。 假设求积公式的三角精度为撑一1 ，在这个假设下来看节点和求积系数的选取原 则。记兀。( f ) = 。( 2 f ) = 兀s i n l f - 吉oj 。 抽1 引理3 1 1 如果求积公式的三角精度为n l ，则兀。( f ) 与日二中任意的三角多 项式在【o ，2 ，r 】上正交。 证明：1 r 兀( f ) 咖( ) 西= r 兀。( f ) s i n ( j t ) d t + r 7 兀。( f ) s i i l ) 西 = i r n 。( f ) s i n ( j t ) d t + f n ( 卜丌) s i n ( j t - j 万) d t 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = f 兀。( r ) s m ( j o a t + ( 一1 ) 加f 兀( f ) s i n ( j o a , 当，+ 拧为奇数时上式显然为0 5 当，+ 以为偶数时，由于一s ，+ 刀2 刀一2 ，故。( r ) s i n ( 三夕) 吒 所以r 。兀。( f ) s 证( ) 西= 2 r 兀。( f ) s i i l ( ) 西= r 。( f ) s i i i ( 吾) 出 = 喜4 。( ) s 缸( 三以 = 。t - l 2 同理可得r 2 l - i 。( fc o s ( ) 讲= 0 ，这里o _ ，s 万一i 。- 引理3 1 2 如果求积公式的三角精度为一一1 ，则求积系数为4 = 丢轰击， k = l ，筇，其中 ：( ) = 【r f ，* a ( ( ，t ) ) 仪c 。培t l 圭( ( f t - 一t k ) ) d 。m 主( f 一) 廊露n ：- - 2 2 珊m 一， 证明：l 。当一= 2 历时，厂( r ) = 色( f ) c o t 三( f t k ) 群c 破。 n ( r ) c o t 扣f i ) 西= 喜4 比) = 4 胞) 啦：( ) ，即4 = 丽a ( t d 。 2 。当行= 2 所一1 时，厂( f ) = 色( f ) c 。s j i o f t ) c 。t 圭( f f ) 研c 磙，。 f 。a n ( r ) c o s 三i ( f 一) c 。哇。一) 出= 喜4 厂( 。) = 4 ，“) = 2 4 ：“) 1 3 硕士擘位论文 m a s t e r st t l e s i s 即4 = 端。一 在弓f 理3 1 1 和引理3 1 2 的原则下我们来构造三角精度为月一1 的求积公式：由 施密特正交化过程可得兀( t ) = a s i n ( n t + a ) ，其中口【o ，万) ，故节点多项式为 “r ) = a s i n b + 盯 ，得到节点应为。= 掣+ 华小l 一m 以下来确定求积系数a k ，我们先给出一个重要的结论： 引理3 1 3 r 。s i l l ( 行f ) c 。t 寻( r z ) 疵= 2 万c 。s ( 肥) ， r c o s ( 町) e o t l ( f z ) 西= _ 2 石咖他) ，z 【o 2 石) 这里积分理解为c a u c h y ：! ：值积分。 证明： 记- ，= f 。s i n ( n t ) e o t ( t 一：) d t = 2 ，r c o s ( n z ) ，w = 扩，f = 矿 ，= f c 。s ( n f ) c o t ( t z ) a t = 一2 n s i n ( n z ) 则，+ u = f 掣dr=瘟矿-t(w+叻=2zr(-sin(昭)+cos(肥)4，t- i f w 、 比较即得，= - 2 z r s i n ( n z ) ，= 2 ，r c o s ( n z ) 推淞，峭捌mf 。咖( 扣口) c o t 扣z ) d t = 2 z r c o s ( 三舷+ 口) ； 当稽= 巧一t 时，r 。s i n ( 三一r + 口) c 。s 圭( f z ) c o t 三( r z ) d t = 2 # c o s ( i n z + 口 。 证明：勘叫时，r 。s 访( 扣+ 刁c o t 扣z ) 出 = c o s 口r 。s i n ( ) c 。t 三( f z ) 廊+ s i l l 口r 。c o s ( ) c 哇( f z ) 出 1 4 硕士擘位论文 m a s t e r st i t e $ 1 s = 2 石 c o s 口c o s ( 弘) 一s i l l 口s i n ( 弦) = 2 石c o s ( 弦+ 口) z 当露= 2 - 1 时 卜( 扣口) c o s 扣扣t 扣咖 = 三r 。s 抽b o + ) ，+ 口一j i z c o t l ( t z ) 出+ 三r 5 s i n b o t ) r + 口+ 三z c o t 三( r - z ) 出 嘲c o s ( 扣口 _ 推矾，。4 = 端= 等一k m 证明：由引理3 2 和推论3 1 1 及色( f ) = a s i n ( 三埘+ 口 即可得到 七= l ，一。一 以下我们说明按照上叙原则选择的节点和求积系数建立的求积公式的三角精 度确为 一1 。事实上，只要取厂( f ) = e i m t ，0 所n 一1 验证即可； ，( 厂) = 。；q ( 厂) = 等喜= i 2 7 r c x p ( i m i t l ) 面l - 虿e x p 一( 2 万) = 。 这说明三角精度为n 一1 的求积公式有无数个，下面我们证明求积公式对于某个 三角多项式类群( 口) 恒成立，且对于其他的三角多项式类日： ) 中的n 阶三角多项 式恒不成立。 定理3 1 1 求积公式对于三角多项式类研( 口) ，口= 【2 口l 精确成立，而对其他 的任意厅阶三角多项式恒不成立；反之使求积公式对研( 口) 精确成立的求积公式只 有两种，一种为以s i n ( 埘+ i i 口) 的零点作为节点，另一种是以s i n 椰+ 三p + 万) 的 端 垒 器 硕士学位论文 m a s t e r 8t h e s i s 零点作为节点，求积系数始终为望。 力 证明：l 。只要验证求积公式对于( f ) = s i n ( 肼+ 2 口) 精确成立即可，事实上 儿沪豳 刿+ 2 ( k - 1 ) ，r n伽) = o ，划，) - 叫( n【lj 。 取g ( f ) = s i l l ( 耐+ ) ，【o ，石) ，_ r p 【2 口l ，则，( g ) = r 。s i n ( 埘+ p = 0 ， q = 垒7 1 窆k - i 血 r 一p 宇+ 坐h = 等喜呻h 咖件等喜邮勘) 因为【2 口l ，故q ( g ) o ，则q ( g ) ，( g ) 。 即求积公式对于三角多项式类研( 护) ，护= 【2 口l 精确成立，而对其他的任意行阶三 角多项式恒不成立。 ：。由 2r ( 三口) 。= 【口+ 石l = 2 j i ( 口+ 万) 2 ，故结论成立。- 3 2 一类含余割核的主值积分的数值求积 在本节中我们利用上节的结论来建立含余割核的c a u c h y 主值积分 ( 矿) ( 工) = f ，( f ) c 昙( f 一工) 西的数值求积公式，这里厂满足，( f ) = 厂( f + 2 石) 为保 证主值积分的存在性，我们进一步要求厂满足h j l d e r 连续性条件，j r 。 当厂e 瓦时，引入函数 ，。( f ，工) ：j ，o ) 一厂( 工) c 。s j l ( f j ) c s c j l ( f j ) ，石( m 。d 2 石) 【2 f ( 工) t = x ( m o d 2 ，r ) 则f ( f ，工) 关于f 是属于g ，关于x 是属于己，函数类。 由周期函数的求积公式可得到： ( 矿) ( 力2r 。，( 姐冲+ ( z ) f 。c o t 三( 卜工) 西= r f o ( f ，曲出= 了2 7 f 荟n ，( ，j ) = 等喜盹) c 辩扣布一雕) 等静抄1 z ) 皇( q 硝石) 这里= 掣十华，m m 暂设嘲( r o o d 2 小 露n 一 ，9 引理3 工，一鲁喜c o t 三以一工) = 2 石c o t b 聃+ 口) 。 证明：1 当 = 2 埘时由于【s i i l ( 删+ 口) 一s i n ( 朋+ 口) 】c o t ；- ( f x ) 2 0 0 s r o t 4 - d ) + c o s 似+ 盯) + 耋j - t c o s 一班+ 豇+ 口 所以r 7s i n ( m r + 口) 一s n ( 附+ 盯) c o t 三( f 一工) 衙= 2 石c o s ( 胍x + 口) 且r 7 f 咖( 聊f + 口) 一s i n ( 嬲+ 口) c o t l ( t j ) 园= 一等s i l l ( 榭+ 口) 薹c o t 三“一工) 则勋螂( 凇+ 口) = 一等豳沁+ 口) 喜c o t 三依一砖，整理得 h l 一等喜c o t 三( f i 一工) = z 万c o t b 船+ 口) 2 9 当珂= 2 m 一1 时，类似的由 “血曙+ 口) 一s 证偿+ 口e o s 2 ( t 一句卜三。一曲毋= 一等西n 滢+ 口) 喜。o t 三c 叫 及r s i n 日，+ 口) “n g x + 口) c o s 三( 卜x ) c s c ；c r - x ) 西：z 硝c o s 匕x + 口) 可得结 论。 推论3 2 1 当x # t k f r o o d 2 疗1 ，七：1 h 时 硕士学位论文 m a s t e r st i i e s i s ( 幺硝x ) = 等喜厂( 厶) c s c 三以一工) + 2 ( 工) c o t b 脏+ 口) ： 当x = t k ( r o o d 2 a ) ，k = l ，一时 ( q 硝气) 2 嬲( q 厂) ( 工) 2 等，轰厂( 。) c s c 三( 。一) + 等厂( ) 。 证明：1 0 当工( m o d 2 7 r ) ，七= 1 ， 时，根据引理3 2 1 ( q 州工) = 等砉m ) c 三( ) 一坤) 2 r 窆。e o t 互1 、t 。一j ) = 等喜他) c 扣小z 酬小o t ( 扣口) 2 当x = t k ( m o d 2 x ) 时， 池厂) ( x ) = 舰 警喜厂( ) c 三“一j ) + z 形( 小o t b 埘+ 口) = x t t 1j = l , j l i i 几) c s c 妒工) + 等他) c s c 扣小z 咖) c o t ( 扣口) = 等皇厂( 。) c s c 三( 。一f 1 ) + 粤鲁 ，( ) 一厂( 工) + 厂( 工) c s c 字+ z ，r f ( x ) c o t 2 + 口) = 等，蠹，以) c s c 三n 一气) + 渤 等眇( ) 一，( z ) c s c 字 + q l i m 2 。z r f ( 小s c 字+ z 咖) c o t ( 等+ 口) 分别进行计算： 。i 叫m l 。 一r r ( ) 一厂( 工) c 字) = 等粤尝裴善导= 等鲫z “工) = 等川气) 。l i m i 。2 。n f ( 小s c 字+ 2 叽) c o t 等+ 口) 硕士学位论文 m a s t e r st i e s i s = 等化) 嬲 c 字t 睁口) 卜 故得( q 州r t ) 2 粤( q 厂) ( x ) = 等未。厂( 。) c 以一f i ) + 等厂7 ( ) 。- ，l 堡 窆k = l 他) c s c 扣小z 州枘( 扣口) 州( m o a z 万) 渺h 小池门。卜巨几) 。知) + 等几) 州( 删2 万) 且求积公式对于圩l 函数类精确成立。 ( 矛硝r ) = 代替，( f ) ，这样一来 ( 矿) ( 刁。( q 厂) ( 工) = 套端c 丁t - - t j 川嘲 喜端c o t 竽几) n = 2 m - 1 等喜几) c s c 三( 叫砌( 耵) ( j ) c o t g 肼+ 仃) 工训删z ，r ) 1 9 j = ( m o d 2 l r )、，p 、lj 厂千 妨一撑 + 、-j 一 0 l 一2 k 广 n = 二 厂 p厶州m 垒露 第四章一类常系数余割核奇异积分方程的数值解法 4 1 引言 由于一般的奇异积分方程( s i e ) 只能在极少数情形下写出封闭解，因此由于理论 和实际的需要，人们自然就会考虑s i e 的近似解求法，关于这方面的工作主要集中 在对于 c a u c h y 核和h i l b e r t 核的s i e 的数值方法的研究【8 ，9 ，1 0 ，l l ，1 2 ，1 3 ，1 4 1 ，其中主要包括 配置解法，g a l e r k i n 解法，小波方法等，其中尤以配置法成果最为丰富但关于余割 核的s i e 的数值解法的讨论几近空白，现有文献主要集中在讨论封闭或开1 ：3 情形下 的特征方程的解和可解条件。在本章中，我们将利用前面建立的求积公式来给出如 下的余割核s i e 的近似解求法： 力心+ 警f 。火) c s c ( 等p + 乏f 地枷= m ，工【0 ，刎( 4 - 1 1 ) 这里p l o 已知函数关于f ，k ( t ，力见。，关于z e 厅：。，( z ) e 厅：，要求未知 函数) ，( j ) 厅：，的近似解求法 4 2 相伴常系数余割核s e 的一些奇异积分算予和求积算予及匝朋 我们引入如下奇异积分算子 ( 纠( 加( c o s 跏( 小警r 。y ( f ) c s c ( 字卜r ； ( 酬护( c o s 跏( 小百s i n f li y ( 1 ) c s c ( 字弘r ； ( 纠= 去f 。k ( t , x ) y ( t ) d t ； 选取s i l l ( 三工+ 口) 的零点 ) ：。作为求积节点利用定理3 2 - l 得 ( ( 小( c 。s ) y ( 小s i n 。f l 。) ，( c s c ( 字 “n 州”c o t ( 圭a ) 叫x，笔i筹+半扣小sc(罕心细ns ( 三一j + 口) n 置 z 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 缈) ( j ) * 土t 童。- it ( 口，j 沙( 口r ) 皇( q f ，) ( ，) 选取s i l l ( 三工+ 口+ 卢) 的零点 孱 ：。，作为求积节点利用定理3 2 1 得 ( 口_ ) ，) ( ，) * ( c 。s ，) ) ，( x ) 一s i n 。f l 窆；。y ( 卢。) c s c ( 望尘尹 一s i n 声) ，( z ) c 。t ( 三一，+ a + ) 叫曲丽s i n ( n x + a ) s i n _ p 。邢小s c ( 字) 钷阳 引入离散化算子 r ：y = 【y ( a ，) ，y ( a ：) y ( a ) 】r ；0 y = 【y ( p ，) ，y ( p ：) y ( p ) 】r 定理4 2 1 ：设三是一条光滑( 封闭或开口) 曲线，f ( t 。r ) 在l x l 上h ，则 啬警r f ( t o ，t o ) + m 黯胪l 这里f o 不是三的端点。 这就是著名的p o i n c a r e 一b e r t r a n d 积分换序公式。 定理4 2 2 - a b = b a = i o , t o 。= q ? q ? = ， 证明：( a b ) y s ( c o s 咖一警胁咖s c ( 字mlj + 警外删舻型2 1 r f e 。m 雠睁h c s c 悖弘 = c o s 2 眦，一皇堡笔孑望r 。舛，c s c 降弘+ 皇望气笋f 儿，嘟陪弘 一专笋f c s c 降弘r 。h 力c s c 降卜 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l $ 注意c s c a ，( c s e p = c s e ( p - c 0 c o t a - c o t p 及p o i n c a r e - b e r t r a n d 积分换序公式得： f 。c s c 咛弘f 7 灭力c s c 陪卜 = 勘2 y ( 曲一知触r 。c 呼) ( c o t 等争疵= 勘m 曲 所以f ( 彳丑) j ，1 ( 力= y 砷即船= ，类似可证删= ， 下证q ? q ? = i 当细时，钟y ：，( ，) 掣室! ：竺! s n ( 主斗工+ 口+ 卢 所以立即有4 媛y = o 故 。s i n ( 寻井工+ 口+ 芦)s i n ( 导一毒+ 口) 鲥钟炉爵司“”叫“ 一般情形下，以 展，：，声。 为节点作半三角插值霉6 y 由于q ? 与钟的半三角 精度为一一j 1 ，故： q ：q ：y = q ：q ，b ( y 一开y ) + q ：q ：啦? y ) = y 一露y + q ：b p y = y 一6 ) ，+