（应用数学专业论文）几类差分方程的渐近性、振动性及应用.pdf

摘要 本篇论文共分三章，第一章简介研究微分方程及其离散类似的 意义和文中常用基本概念及记号。 第二章讨论了一类非线性差分方程的全局渐近稳定性，将所得 结果应用于一类单种群增长模型一一阶非线性时滞微分方程，获 得了该方程正平衡点全局吸引的充分条件，该条件改进了文献 1 4 j 中的相关结论。 第三章讨论了两类非线性变系数差分方程解的全局吸引性、振 动性及正解存在性，得到了一些充分条件，这些条件改进或推广了 已知文献中的相关结论。 关键词非线性，变系数，振动性，全局吸引性，正解存在性， 应用 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i t h ef i r s tc h a p t e r t h e r ei sab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h e s i g n i f i c a n c eo f r e s e a r c h i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di t sd i s c r e t ea n a l o g u e sa sw e l la ss o m eu s u a lb a s i c c o n c e p t sa n dn o t a t i o n si nt h et h e s i s h c h a p t e r2 t h eg l o b a l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fak i n do fn o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o ni si n v e s t i g a t e d t h er e s u l t sa r ea p p l i e dt oad e l a ys i n g l ep o p u l a t i o n g r o w t hm o d e l ，af i r s to r d e rn o n h n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u f f i c i e n tc o n - d i t i o n sf o rt h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h i sm o d e la r e o b t a i n e d ，w h i c hi m p r o v et h ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e 1 4 】 i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h eg l o b a la t t r a c t i v i t y , o s c i l l a t i o n sa n de x i s t e n c e o ft h ep o s i t i v es o l u t i o n so ft w oc l 私s e so fn o n l i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t h v a r i a b l ec o e f f i c i e n t s s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so b t a i n e di m p r o v eo rg e n e r a l i z e t h er e l a t e dr e s u l t si nt h ek n o w ni i t e r a t u r e s k e yw o t d $n o n l i n e a r v a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ，o s c i l l a t i o n ，9 1 0 b 胡a t t r a c t i v i t y e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n ，a p p l i c a t i o n 第一章引论 1 1 引言 近几十年来，由于计算机科学的迅速发展，数学的应用已经渗透到生物 学、经济学、生态学、医学以及工程技术等科学领域的研究中，使数学在发 展高科技，提高生产力以及加强系统管理乃至使社会生活科学化等方面起了 重要作用。 数学科学被称作模型的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身 的抽象世界中所观察到的结构和对称性。无论是探讨生物种群与生存环境的 关系这种实际问题，还是探讨数学本身各种形态抽象的问题，数学科学家都 力图寻找种种模型来描述它们，力求通过对各种数学模型的研究获得相应领 域的本质规律性。微分方程及其离散类似即是一种重要的数学模型，它们能 精确地描述客观世界的某些现象，该领域正以其内容的丰富性、趣味性和应 用的广泛性引起越来越多的人的关注，近年来进行了大量的研究，取得了非 常丰富的成果。对该领域的大部分研究工作是围绕其所有解的最终开态出发 的，如讨论其振动性、周期性和稳定性等。 本文第二章讨论了一类非线性差分方程的全局渐近稳定性并利用其结论 研究一类单种群增长模型正平衡点的全局吸引性，第三章讨论了该单种群增 长模型的离散类似一两类非线性变系数差分方程的正解存在性、解的有界 性、振动性和全局吸引性。 1 2 基本概念及记号 z 表示全体整数的集合，z + 表示全体正整数的集合，表示全体自然数 的集合，矗表示全体实数的集合，五+ 表示全体正实数的集合，表示最大 整函数。对任意口，6 2 。o 6 ，记( d ) = 口，口+ 1 ，) ，( d ，6 ) = ( 4 ，+ l ，吣。 】 一阶时滞微分方程的一般形式为 t 0 ) + ，( ，。o ) ，2 ( t n 0 ) ) ，z ( t 一7 i ( ) ) ) = 0 其中 及 ，c l i o ，o 。) 置- x 置，丑】且毛a o ，) ，五+ 】：i = 1 ，2 ，n( 1 2 2 ) 恕p r c o = o o ， = 1 ，2 ， 对于给定初始点t o20 ，我们定义 t - 1 = 。一1 ( t o ) 2l m i 0 ， 使得： 牡( t ) i jsm 。t2t - 1 称解。( t ) 是有界的。其中i i z ( t ) l l 为上确界范数。 定义1 2 4 虿是方程( 1 2 1 ) 的平衡点，如果 f ( t ，罾，霉) = o 0 ( 1 2 6 ) 定义1 2 5 称方程( 1 _ 2 1 ) 的解z ( t ) 关于平衡点甚是振动的，是指( t ) 一葚 既非最终为正。也非最终为负，否则称z ( t ) 关于平衡点i 是非振动的。 定义1 2 6 方程( 1 _ 2 1 ) 的平衡点亭是全局吸引的，如果对初值问题( 1 2 1 ) 和( 1 2 5 ) 的一切解t ( ) 都有 t i m 。, ( t ) 2 莓 此时也称方程( 1 2 1 ) 关于平衡点z 。= 暮是全局吸引的。 考虑差分方程 。+ 1 = ，( 。，。一1 ，- ，x n - k )( 1 2 8 ) 方程( 1 2 8 ) 的一个解是指一个实数序列 z 。) ，它定义在( 一) 上且在上 满足( 1 2 8 ) ，容易知道，对任意给定初始条件 。j = q ，v ( - k ，0 )( 1 2 9 ) 方程( 1 2 8 ) 有唯一一个解 z 。) 定义在( 一女) 且满足( 1 2 9 ) ，简记为 z 。) 。 设虿= k 为，的一个不动点，即( k ，k ，k ) = 嚣，显然。三k 为( 1 2 8 ) 的一个解，称为平衡解。 定义1 2 7 如果对任一 0 ，存在5 ( ) 0 ，使得当口一耳i l - m “ l 吩一茁i ： j t o ( 一，o ) ) 0 ，使得： t r ( e ) d e 5 1 一c e 5 ，t t ( 2 1 1 3 ) j t - - r 则( 2 1 9 ) 与( 2 1 1 0 ) 的每个整体解n ( o ( 存在区问为i o ，m ) ) 当t 一。时趋 向1 。 本章首先讨论了一类相关差分方程 卜( 。上1 - f l 旦z 、, , l e x p ，n = 0 1 ，2 ， ( 2 1 1 1 4 ) 。“+ 1 2 i o 。，”。o ，1 ，2 ， ( 2 1 - 1 4 ) 其中 a ( 0 ，) ，芦( 0 ，1 ) ，z o ( o ，1 t # )( 2 1 1 5 ) 的全局渐近稳定性，然后将所得结果应用子方程( 2 1 9 ) ，得到了方程( 2 1 9 ) 的正平衡点= 1 全局吸引的充分条件，该条件改进了文献【14 中的相关结 论。 2 2 一类非线性差分方程的全局渐近稳定性 定理2 2 1 假设( 2 i 1 5 ) 成立且 + 卢s 1( 2 2 1 ) 则方程( 2 ，1 1 4 ) 的平衡点i = 1 在区间( o ，l 芦) 上是全局渐近稳定的。 为证明定理2 2 1 ，首先证明下列四个重要引理。 引理2 2 1 方程( 2 1 1 4 ) 满足条件( 2 1 1 5 ) 及( 2 2 1 ) 时有唯一不动点喜；1 。 证明显然z = 1 是( 2 1 1 4 ) 的不动点，下证唯一性，即证：e a 擐有唯 一解。 令，( z ) = 。一e 印( a 悬) t 则有 ，f ( 垆- 一筹器唧( a 嚣) 又由( 2 1 1 5 ) 知口一1 ) 0 ，因此本引理得证。 引理2 2 2 方程( 2 1 1 4 ) 满足( 2 1 1 5 ) 时，平衡点善= 1 是局部渐近稳定的 充要条件是 n + 卢1 证明令 如n ) = e x p ( a 凑) 舻0 1 1 ，2 ( 2 2 2 ) 则 趴加咖) 筹辞 ( 2 2 - 3 ) 6 所以( 2 1 1 4 ) 在虿= 1 的线性化方程为 d 鲰+ 12 矿玎 由线性化稳定性理论1 3 ，推论1 3 1 知： 当a 1 一卢时1 - = 1 是不稳定的； 当a = 1 一p 时，即g ”) = 一1 时因为有： ，唯一筹辞( 掣+ 印) k h 蹦( 器群+ 华堋2 ) 所以g ( 2 ) 的s c h w a r z i a n 导数为 蹦z ，= 搿一；( 舞) 2 = 一；鲁筹 协z q 从而 剐1 ) = 一； o 由【1 5 ，p i t o 】知方程( 2 1 1 ) 的平衡点暮= 1 亦是局部渐近稳定的，证毕。 引理2 2 3 方程( 2 1 1 4 ) 满足条件( 2 1 i s ) 及( 2 2 1 ) 时，( 2 2 ，2 ) 式中的g 将 区间( 0 ，1 卢) 映为( 0 ，1 卢) ，即g 为自映射。 证明由( 2 。1 1 5 ) 及( 2 2 3 ) 知矿( z ) 0 。所以口( z ) 单调递减，则g ( z ) c ( ( o ，1 卢) ，( o ，铲) ) ，下证e a 1 伊。由条件( 2 2 1 ) 知as1 一卢，因此只须证 c 1 _ 4s 1 伊 ( 2 2 5 ) 令p ( z ) ：z c l 一一l ，0 o 且p ( 1 ) = 0 所以p ( z ) 0 ，因此( 2 2 5 ) 成立，进而矿s i , b 成立，本引理证毕。 下面引理引自文献1 3 ，定理1 8 1 】，故证明省略。 引理2 2 4 【3 】假设 ( i ) ，将某个区间j 映到自身； ( i i ) 虿是，在j - 上唯一不动点； 沁) 在j 上，的s c h w a z z i a n 导数为负； ( i v ) ，在，上单调递减。 如果差分方程 z n + l = ，( “) ，l = 0 ，l ，2 ，-( 2 2 6 ) 的平衡点喜是局部渐近稳定的，则葚是全局渐近稳定的。 定理2 2 1 的证明设映射g 如( 2 2 2 ) 所令，根据引理2 2 1 2 2 3 及( 2 2 4 ) 式知引理2 2 4 的条件g 均满足，故定理2 2 1 获证。 2 3 应用 本节利用定理2 2 1 讨论方程( 2 1 9 ) 的全局吸引性。方程( 2 1 9 ) 详细的生 物学意义及研究该方程的实际作用可参看文献【1 4 】。 当c = 0 时，方程( 2 1 9 ) 退化为下述著名的。l o g i s t i c ”微分模型 ( ) = r ( ) ( t ) 【1 一x ( t r ) 】( 2 3 1 ) 方程( 2 3 1 ) 的各种性态已被广泛研究，参见文献1 1 6 2 1 。 显然在一定的初始条件下，方程( 2 1 9 ) 的解x ( t ) 有可能在t 时刻的取值 为1 c ，从而使方程( 2 1 9 ) 在时刻t + r 没有意义，即( t ) 并非对所有t 0 都存在，详细证明见文献【1 4 ，因此有必要首先讨论方程( 2 1 9 ) 解的存在性。 定理2 3 1 假设条件( 2 1 1 1 ) 成立且 ， 7r ( 3 ) 出1 一c( 2 3 2 ) j t t 8 则初值同题( 2 1 9 ) 与( 2 1 1 0 ) 的解( t ；0 ，p ) 满足 0 n ( t ) o ，t 0 。 则可令。( t ) = h ( t ) ，因此( 2 1 9 ) 变换为 印) _ r ( t ) 揣 ( 2 3 _ 4 ) 相应的初始条件变换为 蒜箍篡：蒜二i n 删咏。一i n e c s 【妒( ) c ( 一r ，o 】，( 一o o ，一1 n c ) ) ，( 一o 。，c ) ) 且妒( o ) c 一 ( 2 , 3 3 ) 转化为证明： ( t ) 0 ，使得 z ( t ) 一i n c ，t 一r ，t ) ，2 ( r ) = - - n c 因此( r ) 0 ，由( 2 3 4 ) 知。( r r ) s0 。如果r t 0 ，则对( 2 3 4 ) 式两 边从t 一r 到t 积分得 钟) = z 叫+ f ：，巾) 高幽v t ， s r ( d s ) 1 一c 一l n c j r 一7 如果r r 0 ，则对( 2 3 4 ) 式两边从0 到r 积分得 雄。) = 螂) + 上cr ( s ) 高山 c i n e c + 1 一c = 一l n c 上述两种情况均与假设矛盾，所以( 2 3 6 ) 成立，进而( 2 3 3 ) 成立，证毕。 9 f 面定理讨论方程( 2 1 ，9 ) 的平衡点= 1 的全局吸引性。 定理2 3 3 假设条件( 2 1 1 1 ) 成立且 j ( 。小) 幽= o o 7 ) 及 ，小) d s l c ，t 充分大 ( 2 _ 3 8 ) 则初值问题( 2 1 ，9 ) 与( 2 ，1 ，1 0 ) 的每个解满足h k 。n c t ；d ，们= 1 。 证由( 2 3 8 ) 知存在t o r ，使得 ，t r ( s ) 幽s 1 一c ，t t o( 2 3 9 ) j t t 由定理2 3 1 知0 ( ( t ) o ，t o 使碍： 拿窑姜 r r i 可习 。 则由( 2 3 4 ) 式有 e ( f ) m r ( t ) 对上式两边从0 到t 求积分有 z ( t ) 一村z r ( s ) 出 则由条件( 2 3 7 ) 易知 惩z ( t ) = 一与假设矛盾 故l i 弛。( t ) = 0 1 0 若z ( ) 振动，定义序列 珈= - c ，帅= ( i - c ) # 嘉一0 1 1 ，z 则由定理2 2 1 知1 i m r i 。= o 。下面证存在序列 k 使得 r o t 1 t 2 3 掣2 n + 1 。( t ) s 掣2 n ，t t 2 n + 1 ，n = o ，1 ，2 ，- - ， 因。( t ) 振动，所以可选取序列 k ) 满足 。+ 1 一。2 - r ( t 。) = o ，8 = o ，1 ，2 ，- ( 2 3 1 2 ) 下证( 2 3 1 1 ) 式成立。 令靠( t 。，t 。+ 1 ) 为( ) 在区间( 。，t 。+ 1 ) 内的极大值点，则i ) = 0 ，由 ( 2 3 4 ) 知。( 矗一r ) = 0 。于是对( 2 3 4 ) 两边从缸一r 到靠积分利用( 2 3 3 ) ( 2 3 9 ) 及( 2 3 1 0 ) 有 。c 如，= t 小，暑蓦高幽 ，c 1 s j c 。一j ( 5 ) 幽s 1 一。2 如，”= o , 1 , 2 上式表明2 ( t ) s 如，t2t o 。另一方面，当t t 1 时，由( 2 3 1 2 ) 知2 ( t r ) 墨如。 设( t 。，t 。+ 1 ) 为。( t ) 在区间( t 。，t 。+ 1 ) 内的极小值点，则i ( ) = 0 ，由( 2 3 4 ) 知z ( 一r ) = 0 。对( 2 3 4 ) 两边从一r 到积分并由( 2 3 9 ) ，( 2 3 1 0 ) 及函 数 三s 的单调递减性可得 1z f l - - r ) 2 ( ) 2 上一( 5 ) f 参而d 8 小等幽( i - c ) 等= n ：0 1 1 2 ， 上式表明。( ) y ，t 1 。因此当n 。0 时( 2 3 i i ) 式成立。现假设。：时 ( 2 3 i i ) 成立，即 y 驰+ 1 z ( t ) 掣2 ，t t 2 如+ 1 当t t 2 t + 2 时，由( 2 3 i 2 ) 知2 0 2 r ) f 2 k + 1 且由( z 3 3 ) ，( 2 3 9 ) 及( 2 3 1 0 ) 有 z ( = 仁小) 篇幽s t 小) 暑筹如 ( 1 - c ) 焉= + 2 i n ：2 女+ 2 2 k + 3 ， 上式表明。( t ) ，2 2 ，t 2 k + 2 。另方面，当t t 2 3 时，由( 2 3 1 2 ) 知 。0 2 7 ) 2 + 2 ，且由( 2 3 9 ) ，( 2 3 1 0 ) 及函数i l - - 矿e 的单调递减性可得 ，。t 小，圭焉篙如小，圭焉筹幽 ( 1 _ c ) 篙= 3 肛2 k + 3 ，2 k “ 上式表明( t ) 2 弛蚪3 ，：k + 3 ，所以当n = i + 1 时，( 2 3 1 1 ) 式成立，由 数学归纳法知( 2 3 i i ) 式对所有非负整数都成立，而u 一。孙：o 故易知 l i i n t 一* ( t ) = 0 ，证毕。 1 2 第三章两类非线性变系数差分方程的全局 吸引性和振动性 单种群增长模型 3 1 引言 鳓_ r ( 州( t ) 渊舱( 3 a a ) 0 ( ) = r ( ) ( t ) 告，t 的各种性态已被广泛研究，参见文献【1 4 ，2 2 2 6 ，如果考虑具分段常值偏差变 元模型 j v c t ) 训( t ) 黼， ( 3 1 2 ) = r ( f ) ( t ) f 萄钙稀，t o ( 3 - 1 2 ) 其中 r ( ) g ( f o ，o 。) ，( 0 ，o o ) ) ，0sc 0 1 4 ( 3 2 5 ) 在文 1 0 】中作者证明了其每一个正解收敛予1 的充要条件为r 2 。 丙当方程( 3 i 7 ) 中r 住r 时，据线性化振动性理论f 3 1 , p 1 7 3 1 7 4 可由巳知 文献直接推出方程( 3 i 7 ) 正解关于平衡点1 振动的充要条件和一些充分条 件，参见文献【3 0 - 3 2 】等。 方程( 3 1 7 ) 的各种性态未见有文献研究，本节讨论了方程( 3 1 7 ) 的解的有 界性、全局吸引性和振动性。以下总假设方程( 3 1 7 ) 满足( 3 2 i ) 与( 3 2 2 ) ， 易知方程( 3 i 7 ) 的所有解 z 。) 对n 兰0 都是正解，i = 1 为其唯一正平衡 点。 为便于研究方程( 3 1 7 ) 的全局吸引性和振动性，首先i , - t 论其解的有界性。 定理3 2 1 若( 3 2 2 ) 成立且 n n i c( 3 2 6 ) i = - k 则初值问题( 3 1 7 ) 与( 3 2 1 ) 的解满足 证明令 则方程( 3 1 7 ) 变为 相应初始条件变为 0 z 。( 1 c ，n = 0 ，1 ，2 鲰2 i n n 1 一，v 一 + l 一如”n e 裔，“1 ( 3 2 9 ) ，一k ，f k + 1 i ，i t - , ( 一0 0 ，一i nc ) ，珈( 一，c 一1 丑e c ) ( 3 2 1 0 ) 因此只需证明( 3 2 9 ) 与( 3 2 1 0 ) 的解满足 一i n o 1 5 反设( 3 2 1 1 ) 不成立，则存在m 0 ，使得 0 ，由( 3 2 9 ) 知一 0 对( 3 2 9 ) 式两 边从m 一女到m 求和且由( 3 2 6 ) 有 + ，：一。+ 妻q 蒜s 。+ 妻 一目一k 1 一c 一】n o 若m 一 0 ，对( 3 2 9 ) 式两边从0 到m 求和且由( 3 2 6 ) 有 = 珈+ 妻i = 0r i 篆珈+ 薹也叫= 也c 以上两种情况均与( 3 2 1 2 ) 矛盾，证毕。 下面定理讨论( 3 1 7 ) 的全局吸引性。 定理3 2 2 若( 3 2 2 ) 与( 3 2 6 ) 成立且 n = o o ( 3 2 1 3 ) 则初值同题( 3 1 7 ) 与( 3 2 1 ) 的解 。) 满足l i r a 。= 1 。 证由变换( 3 2 8 ) 知只须证明方程( 3 2 9 ) 的满足( 3 2 8 ) 的解 ， l i 砜。= 0 成立。 若 如) 为非振动解，不妨设t h 最终为正，则由( 3 2 9 ) 知 鼽) 最终单调 递减，因此1 i 。= 口0 存在。对( 3 2 9 ) 式两边从1 到n 一1 求和有 n n - 1 1 一e 一 = 乳十r l i _ - 1 丽, i- - - - 1 由上式及条件( 3 2 ，1 3 ) 易知须有l i 。如= 0 。 若 鲰) 为振动解，定义序列 。i ) 。l = 1 1 z + 12 ( 1 一c ) 嚣，活1 ，2 ，( 3 2 1 4 ) 1 一，o i 由定理2 2 1 知甑。= o 。下证存在序列 m ) 使得 n l n 2 n “，i = 1 ，2 因为 鲰) 振动，所以可选取序列 啦) 满足 t k + 1 一n i 2 b f b n i 一1 f n is o ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 ，1 6 ) 设，晒+ 1 为 ，。) 在( 啦，他+ l 一1 ) 上的最大值，其中ms 尬+ 1 sn i + l 一1 ， 则有蛐i 0 ，由( 3 2 9 ) 式推知撕；一 0 。因此对c 3 2 9 ) 式两边从尬一 到尬求和及由( 3 2 6 ) 与定理3 2 1 有 ，：坼；+ 釜q 鲁筹s 釜。s ：钆，：， 弧+ i 刈蜘h 童t j 丽s j 童 啦l - c ：乱i ：l 上式表明妇。l ，n n l 。另一方面，当嚣n 2 时，由( 3 2 1 6 ) 知鲰一k sz l 。 取；+ j 为 ( 1 _ c ) 若筹- - - - z 2 1 + 2 ，2 f + 3 上式表明鼽z 2 1 + 2 n f i 甜+ 2 ，所以当f = j + 1 时( 3 1 1 5 ) 式成立，由数学归纳 法知( 3 1 1 5 ) 式对所有自然数都成立，又1 i 啦_ 。戤= 0 ，因此l i 砜_ 。= 0 ， 证毕。 下面讨论方程( 3 1 7 ) 解的振动性，以下所说方程( 3 1 7 ) 的正解都是指满 足0 0 使得 鲰 0 ，n 啪 ( 3 2 2 4 ) 由此及( 3 2 2 ) 与方程( 3 2 1 9 ) 知 + 1s ，n n o + ( 3 2 2 5 ) 故一* l t r , = n 0 存在。若a 0 ，由( 3 2 2 4 ) 知存在d 0 ，n l 却+ 女使得 等 一西n h ( 3 2 2 6 ) r = i 夏i i ：= 0 使得 0 s 一 0 川 e ，( 3 2 2 9 ) 取e 0 ，使得 0 由此及( 3 2 3 1 ) 有 十l 一鼽+ i l h 鼽o 即 业1 一：1 p n ，” 旷 (3232)yn 2 、 对上式两边从+ 到n 一1 求乘积有 ( 1 一扣) 再利用算述一几何平均值不等式有 一( + 击美c 圳1 ) 一 。s 。， 易证下面不等式成立 ( 1 + ：眦) ”s e 如，q 盂 由此及( 3 2 3 3 ) 有 。sf n 三二( 一 h 1 令 = y n ，则a e 印( e b n - i ( 一跏) ) ，证毕。 引理3 2 4 若条件( 3 2 2 ) 、( 3 2 1 7 ) 与( 3 2 1 8 ) 成立且 ) 为方程( 3 2 1 9 ) 的非振动解，则当n 充分大时警有界。 2 1 证由引理3 2 1 及引理3 2 2 的证明可知，若 。) 为( 3 1 7 ) 的最终正解， 则 ) 单调不增且有 鼽+ 1 一+ ；肌一 s0 0 , n n 2 ( 3 2 3 4 ) 弘。+ 1 一玑；+ ! ，n f n 一奄 n 2j 由条件( 3 2 1 8 ) 推知存在a o ，他n 2 使得 竹一l p i n n m ( 3 2 3 5 ) i = n - k 取n n 3 + i ，对( 3 2 3 4 ) 两边从7 , 一 到n l 求和有 鼽一一t + ；戤乳一o ，n n 3 + 女 ( 3 2 3 6 ) 省略( 3 2 3 6 ) 的第一项及考虑到 的不增性有 一h 一+ 鼽啦! ；a 0 由此及( 3 2 3 5 ) 有 掣n - k - ! 兰，拜3 + 七 即 墼兰，n 珊 于是有 警一；童+ 。等( 争n n l 证毕 定理3 2 3 的证明反设方程( 3 2 1 9 ) 有最终正解 ) ( 最终负解的情况证 明类似，故省略) 。即存在n 。 0 ，使得 蕲 0 ，n n o 且由引理3 2 1 有对任意e 0 ，存在n 1 n o 使得 0 n 1 + 女 一k ( 3 2 2 8 ) ( 3 2 3 9 ) ( 3 2 4 0 ) 于是有 肌i i ( 1 一z 1 ) 一1 一m p n l l ，- k 一i ，n n l + t 由此及引理3 2 4 ，引理3 2 2 知存在妒n l + 女使得 知狐i 亘。( 1 刊一删争e 拶h w t n ( 3 2 4 1 ) 又由引理3 2 3 可得 一i i ；舻一；萎a + j 1 。妻。鼽一互1 ；鸶”- , t , f t - - 烈+ 1 一 1 n 一1 n 一1 因而有e 一 蒜i “se i 1 厶n ：- - 一j “，则由( 3 2 4 1 ) 有 知独。亘。( ，叫( 扣e 1 一w - - i h 知孙( 1 一嗣) 必且( 要) e i 厶；t h t = n r 一 其中a 1 = m 且e ( 言) 。令矗= 鸶，a ，并在( 3 2 4 2 ) 式两边乘破有 n 一1 碱如p ：( 1 一) 一a i 砖e - - i i 厶w ；- - w i “肌，n - i = n - - k 对上式右边第一项利用算述一几何平均值不等式有 碱2 础( 1 一i 1 i 妻n - - 1 。五) - i , _ a 1 正e 一；嚣巩如 ( 3 2 4 3 ) 易证下面不等式成立 r ( 1 - 扩z + t ( 字r 七一- ) ，r 。 + ，对上式两边从到求和有： 三n 砖一未h 。薹。气t 薹a r 。h 字眩，南一1 砖一h 气hi 笔( 破) 南一1 l n = n = ， 汪n 一七 n = l 5 j 一a ，妇e 一 暑一，n 4 4 ) n = + 通过交换求和秩序可得： nr , - 1 n k 矗以知 n = n 。i ”kn = n 2 4 n黜 陬 且一 广 聋 一 (k h i i 由此及( 3 2 4 4 ) 有 n 知砖一n - k 矗知 量m 生 ( i ，。千t l 一1 1 一a ，n p ：p e - i l g - - 黑一 知砖一矗知 m 生( ，一千t 一1 l 一， ：嚣。 忙n 忙临n + l “ o = n 即有， nz n p l n _ i n p n 字) 南一1 1 一a ，n 虹。一 盆一 n f n - k + ln = n l “o = n + 由引理3 2 2 易知砖2 ，则有 z n 靠釜m 字砩) 南一1 一2 a 。n ；i 厶m 一- - a “( 3 2 4 5 2 a p n e - - l m - i )2 靠mi 半砩) 南一1 l -t i 厶i 一“ ) n = - - k + ln = n 一o i f n 因为p 。= ( 岛a ) ，则易知级数。n ：。加e i i 厶t u ；- 一i “当n o 。时收敛， 再综合条件( 3 2 1 7 ) 与( 3 2 4 5 ) 式有 牌= o 。 ( 3 2 4 6 ) 。o 三玉l 。 、 另一方面0 o ，( + o 。) = 一，所以，( z ) 在 ( o ，+ o 。) 上有唯一正零点如，即方程1 + = ( c + 。) 矿有唯一正解岛。 又，( 2 ( 1 一c ) ) = 学一半e ( 1 一。 考虑函数g ( 。) ；5 宁一2 # e ( 1 一，0 z 1 ，k ) = ；+ 丁1 + 2 z 商h ) 一；十字文0 i o 。 g o ) = 0 ，0 ；( 1 一c ) 。 下面定理3 3 1 和推论3 3 1 讨论方程( 3 1 8 ) 的正解存在性。 定理3 3 1 假设( 3 3 1 ) 成立且 如，n ( 3 3 4 ) i = n - k 如果方程( 3 1 8 ) 的解 z 。) 满足 则 证明由( 3 1 8 ) 有 由而的定义易证 0 z 。 e $ o0sns + 1 ( 3 3 5 ) 0 霉。 z 种+ 如蒜) 斟。坐芈学：。 姐+ ，( 1 + r 2 k + a 若c 塑x k + i ) 孙“1 + 如蒜1 ) i 一 、 。一c e o o 7 z 2 + l ( 1 + 6 丁o ) - 五( 万c + 一6 0 ) e 6 0 = 。 z n 0 ，南+ 2 n 2 k + 2 ( 3 3 9 ) 设+ 1 = m z nj i + 2s ns 2 + 2 ，则有2 矗0 ，因此由( 3 1 8 ) 及条 件( 3 3 1 ) 与( 3 3 8 ) 式易推知z l - k 1 ，将方程( 3 3 7 ) 变换为 _ a n 4 1 ；1 + h 三兰堂 n 1 一r - k 对上式两边从矗一女到f 。求乘积有 e 1 。“+ 1 = 2 一k1 7 ( 1 + n f = f l - k 由( 3 3 3 ) ，( 3 3 5 ) 及( 3 3 8 ) 式有： ( 3 3 1 0 ) 三1 兰兰) ( 3 3 1 1 ) 一c 2 一 ， 。， 0 2 i k e “ i c ，6 一鼍i 6 因此由( 3 3 1 1 ) 有 6 气j + l 如汁k i 槊。( 1 + r 。引1 + 南。姜。r i ) 1 ；c 1 一r 。一= 一七 s ( 1 + 雨1 如) + 1 2 8 易证函数，( z ) = ( 1 + ：尸是单调递增的，因而有 结合( 3 3 9 ) 即有 王6 + 1 e 如 0 。 e 岛，南+ 2 n52 南+ 2( 3 3 1 2 ) 类似可证在所有区