（计算数学专业论文）（向量）有理函数插值的研究及其应用.pdf

2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第i v l i 垫兰 抽薹 摘要 本文分成三个部分。第一部分对有理函数插值的存在性进行了研究。本文利 用n e w t o n 多项式插值公式给出了一种判别有理函数插值存在性的代数方法，并 在判断出相应的有理插值函数存在时，直接给出它的具体表达式，与以往的判别 方法相比，本文所提出的方法更加简便、实用。( 随后，我们将上述方法推广到一 元切触有理插值和二元有理插值存在性的判别中，也得到了相应的结果。此外， 我们利用混合连分式插值的方法对有理函数插值中出现的不可达点提出了一种 解决办法。7 丫 第二部分对一元及二元向量有理插值进行了研究。本文将传统的基于广义逆 的向量有理插值函数定义中的条件作了减弱，即去掉了向量有理插值函数的分 子、分母必须满足整除性的条件，给出了更加一般的基于广义逆的一元( 二元) 向量有理插值函数的定义，并重新证明了有关的定理，本文所给出的结果更具有 一般性，从而大大扩展了这种向量有理函数插值的研究及使用范围a ，向量有理插 值的存在性的研究迄今还是一个空白，本文对此进行了初步的研究，首次提出向 量有理插值函数的不可达点的概念，并给出了一种处理不可达点的方法。本文还， 针对一元( 二元) t h i e l e 型向量有理插值函数建立了具有承袭性的逐步递推算法。户， 第三部分是向量连分式插值在c a g d 中的应用。本文利用向量连分式给出了 两种快速生成圆弧的新方法；在此基础上，本文还构造了一种g c l 连续的可调参 数有理圆弧样条，在实际操作中，通过调整一侧端点的切向量，可使上述圆弧样 条曲线保凸，保单调。本文还利用二元超限向量有理插值函数给出了一种能快速 生成空间任意形状旋转曲面的新方法。 熬妻喾凳高触勰癸攀一向量 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第v 页 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w eg i v eam e t h o dt oj u d g et h e e x i s t e n c ef o rt h er a t i o n a li n t e r p o l a t i o nb yu s eo fn e w t o ni n t e r p o l a t i n gp o l y n o m i a l ， a n dp r e s e n tac o n c r e t ee x p r e s s i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gr a t i o n a li n t e r p o l a n tw h e nt h e 1 a t t e re x i s t s a f t e rt h a tw ee x t e n dt h ea b o v em e t h o dt ot h ei u d g m e n to ft h ee x i s t e n c e f o rt h eo s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p e l a t i o na n dt h eb i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n i n c o m p a r i s o n w i t hp r e v i o u so n e s ，o u rm e t h o di ss i m p l e ra n dm o r e p r a c t i c a l i na d d i t i o n ， w e p r e s e n tal d n do f m i x e dc o n t i n u e df i a c t i o n si n t e r p o l a n tt oc o p ew i t ht h ep r o b l e m o f u n a r a i n a b l ep o i n t so f ar a t i o n a li n t e r p o l a n t i nt h es e c o n dp a r t o n e a n dt w o v a r i a b l ev e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nh a v e b e e ns t u d i e d i nt h ed e f i n i t i o no ft h ec l a s s i c a lg e n e r a l i z e di n v e r s ev e c t o rv a l u e d r a t i o n a li n t e r p o l a n t s t h ed e n o m i n a t o ra n dn u m e r a t o ro fav e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a n ts h o u l ds a r i s f yak i n do fd i v i s i b i l i t yc o n d i t i o n w er e d e f i n et h eg e n e r a l i z e d i n v e r s ev c c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a n t sb y r e m o v i n gt h i sd i v i s i b i l i t yc o n d i t i o n ，a n d r e - p r o v ea l lt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e m s t h er e s u l t so b t a i n e dh e r e a r em u c hm o r e g e n e r a lt h a no r i g i 【n a lo n e s c o n s e q u e n t l yt h i sv e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nh a s b e e ng r e a t l ye x t e n d e dn o to n l yi nt h e o r yb u ta l s oi na p p l i c a t i o n s t h ee x i s t e n c ef o r v e c t o rv a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni sa l s os t u d i e df o rt h ef i r s tt i m e a st h es c a l a r r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，t h ec o n e e p to fu n a t t a i n a b l ep o i n t so fv e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o ni sp r e s e n t e d ，a n dam e t h o df o rc o p i n gw i t ht h e mi sg i v e n t h i st h e s i s a l s oc o n s t r u c t sar e c u r r e n c ea l g o r i t h mw i t hi l t h e r i t a n c ef o rv e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a n t s d e f i n e d b yt h e v e c t o rv a l u e dc o n t i n u e df r a c t i o n sa n de x t e n d st h i s a l g o r i t h m t ot h eb i v a r i a t ec a s e i i it h et h i r dp a r t v e c t o rv a l u e dc o n t i n u e df r a c t i o n sh a v eb e e nu s e di nc a g d w e p r e s e n tt w om e t h o d sf o rg e n e r a t i n gas e g m e n to fc i r c u l a ra r cb yt h ev e c t o rv a l u e d c o n t i n u e df r a c t i o n s b a s e do nt h i sm e t h o dw ec o n s t r u c tap a r a m e t r i cr a t i o n a la r c s p l i n et h a ti s g c l c o n t i n u i t y b ya d j u s t i n gt h eg i v e nt a n g e n tv e c t o r , t h i sp a r a m e t r i c r a t i o n a la r c s p l i n e a l s oh a s c o n v e x i t yp r e s e r v i n gp r o p e r t y a n d m o n o t o n i c i t y p r e s e r v i n gp r o p e r t y b y u s eo ft h eb i v a r i a t et r a n s f i n i t ev e c t o rv a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a n t ，an e w m e t h o df o rg e n e r a t i n ga n yr o t a t i o ns u r f a c ei so b t a i n e d k e y w o r d s ： r a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n ，e x i s t e n c e ，s a m e l s o ni n v e r s e ，v e c t o rv a l u e d c o n t i n u e d f r a c t i o n s ，m u l t i v a r i a t e v e c t o rv a l u e db r a n c h e dc o n t i n u e d f r a c t i o n s ， ( b i v a r i a t e ) v e c t o r v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，u n i q u e n e s s ，r e c u r r e n c e a l g o r i t h m 致谢 我真诚地感谢我的导师朱功勤教授。多年来，不管是在学业上，还 是在生活上他都给予我悉心的指导和热心的帮助，并以他敏锐的洞察力 在许多问题上给我以及时的指点。本文是在他的直接指导下完成的，从 开题、撰写，到最后定稿，都凝聚了他大量的心血。导师渊博的专业知 识、严谨的科学态度和孜孜不倦的探索精神给我留下了极其深刻的印 象，也使我受益匪浅。 我还要感谢冯玉瑜教授，合肥工业大学的檀结庆教授，感谢他们这 几年在学业上给予我的大力支持和帮助。同时，教学秘书黄稚新老师对 我的学习也给予了很大的帮助，在此向她表示深深的谢意! 最后，我衷心地感谢我的父母，感谢他( 她) 们的全力支持和无私帮 助，谨以此文献给我的父母，愿他( 她) 们能分享我所有的成功和快乐! 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文第l 页 蔓= 主煎室! ：! 羞i 盔堡鱼l 垫焦鲢盘查些 第一章前言 1 1关于有理函数插值的存在性 有理函数逼近的研究是非线性逼近研究领域的一个重要分支，我们知道，对于具有极点 的函数，即f ( x ) 在某点x 。附近无界，或者当r o 。时，f ( x ) 趋于某一定值时，采用多项 式、甚至多项式样条作为逼近工具显然都是不大合适的，而采用多项式的推广有理分式 函数作为逼近工具是恰当的。有理分式函数由于其自身的特点，使得它不但可以在极点附近 取得很好的逼近效果，而且又能保证当x - - - ) 0 0 时，有理逼近函数趋于某一定值的性能。对 于不是上述情况的函数，有理函数逼近的研究也是有意义的。例如 s 4 1 l n ( 1 + r ) 有如下连分式展开式 ，岬州= 羊+ 字+ 字+ 字+ 李+ 取它的第疗阶渐近分式，即可得l n ( 1 + x ) 的有理逼近式尺。( x ) 一般地，兄( x ) 是l n ( 1 + x ) 的 n n _ p a 舵逼近，它与l n ( 1 + x ) 的t a y l o r 展开前2 胛项重合，并且r 。( x ) 的参数个数与 l n ( 1 + y ) 的t a y l o r 展开前2 n 项瓦。( x ) 的参数个数相同。现在来比较一下，用r ( 1 ) 和 疋。( 1 ) 作为i n2 的逼近时误差s 。和s ，的大小情况，结果见表l1 。从表中可以看出r ( 1 ) 与t ( 1 ) 的精确度竟相差1 0 万倍。 表1 1 另外，1 9 6 4 年dj n e w m a n ( m i c h i g a n m a t hj o u r ，1 1 ( 1 9 6 4 ) ，1 1 1 4 ) 指出：可以找到一 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文第2 页 芏二主煎壹! ：! 苤士盔墨垂墼煎焦鲢盘查些 个分子、分母皆为 次的有理分式序列( x ) ，使得 i x | - ( x ) i 3 p 一，一1 x 1 它显然比通常一次多项式的最佳逼近阶o o n ) 优越的多。 这些事实说明，开展函数的有理分式逼近问题的研究是十分有意义的。作为有理逼近研 究的重要组成部分有理函数插值的理论及其应用一直是计算数学领域中引人注目的课题。 和多项式插值的研究一样，有理函数插值在唯一性、算法、误差估计，有理函数样条等方面 均取得了很多研究成果，尤其在算法的研究上更是如此( 详细内容参见文献f 8 4 1 、1 8 、2 3 1 、 7 9 1 等) 。然而对于事先任意给定的插值条件有理插值函数并不总是存在的，而其他结果， 诸如唯一性、算法、误差估计等，在叙述其结论时也总是假定所讨论的有理插值函数是存在 的，如果存在性问题得不到很好地解决，势必影响这些结果在使用上的确定性。因此无论从 理论上还是从实际应用上有理插值函数存在性的研究都显得至关重要。 记巩表示次数厅的一元多项式集合，其中k 为 # 负整数 尺c 研门) ：。 号：pe 万m , g 万n 、t 。) 设己给定卅+ 门+ 1 个不同的点 x 0 ，r l ， 一， x ，h + ” 和相应的函数值 ( ) ，f ( x 1 ) ，厂( x 。+ 。) 所谓有理函数插值问题乃是寻求有理函数。r ( m i n ) 即 ( 1 1 1 ) ( 11 2 ) 似)2篙2可amxm瓦+am_万lxm-i雨+alx+ao- ( 1 ) 使之满足插值条件 。，。( x ，) = f ( x ，) ，= o ，1 ，川+ n ( 1 l4 ) 一般来说，有理插值问题( 1l3 ) 、( 11 4 ) 是一个非线性问题。但是当有理分式函数 ，。( x ) = p 。( x ) 吼( x ) 是插值问题( 1 14 ) 的解时，当然也有 p 。( x ，) 一f ( x ，) g 。( x ，) = 0 ，= o ，l ，m + 门， ( 115 ) 即 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第3 页 茎= 主煎主l ：! 差立盔垄女幽焦墅；童垒建 ( 口卅譬+ ( 1 m - 1 巧t a - 1 + - - 十口l x ，+ a o ) 一厂( _ ) ( 毛x ，+ b n 一1 x ? q + 一+ b l x i + b o ) = 0 i = 0 ，l ，- 一，m + 门( 11 6 ) 它是关于未知数d 。，o l ，d o ；b 。，b h ，b l ，b o 的一个线性方程组。 方程组( 1 】5 ) 或( 1 】6 ) ) 与有理插值问题( 11 3 ) 、( 11 4 ) 的关系由下面的定理1 1 1 做了 回答。 定理1 1 1 4 9 1 有理插值问题( 1 l3 ) 、( 114 ) 有解的充分必要条件是：线性方程组( 1 。l5 ) ( 或( 116 ) ) 的任意非平凡解p ：0 ) 坑( x ) 在约去一切公因子( 即约化为两个互质多项式) 后所得的多项式爿( x ) ，b ( x ) 仍然是线性方程组( 1l5 ) ( 或( 1 l6 ) ) 的解 爿( 葺) 一f ( x ) b ( x ，) = 0 ，i = 0 ，1 ，i n + ”( 1 17 ) 定义1 1 1 在定理1 11 中，若存在某个j ，0 蔓j m ，同时降低其分母的次数 至矿，n + ”，满足m + 胛。= m + 即，通过降低有理插值函数分母次数的方法来达到减 少出现不可达点的可能性，更重要的是使新的有理插值函数满足所有插值条件。这种方法的 不足是：第一，新的有理插值函数的分子、分母的次数究竟要调整到什么程度才能达到要求； 第二，在连续求解新的有理插值函数的过程中，还要反复运用文献【8 】求权因子，的方法来 判断是否为零，这个工作量太大。文献【6 8 】的方法是：通过对线性化的有理插值函数引入 所谓“s 一次数”的概念，介绍了一种带参变量的有理插值函数。当所求有理插值函数出现 不可达点时，通过一个算法，得到一个新的有理插值函数( 一般地，新的有理插值函数分子、 分母的次数均比原来的有理插值函数分子、分母的次数高) ，它满足所有已知插值条件。这 个方法很独特，与文献f 8 】的方法相比，文献【6 8 】的方法具有很强的操作性和确定性，但是它 的算法比较繁琐，计算量也比较大。虽然上述方法均有不完善的地方，但它们都提出了一个 观点：在寻求满足已知插值条件的有理函数的过程中，并不拘泥于有理插值函数分子、分母 的次数，而把主要精力放在构造满足已知插值条件的有理函数上。 有理插值问题之所以会出现有理插值函数不存在的情况是因为对于事先任意给定的型 值点，相应的有理插值函数的分子、分母往往会出现含有插值节点的公因子，从而使得该有 理插值函数出现不可达点，而这种情形在多项式插值中是不可能出现的，因而有理函数插值 比多项式插值要复杂得多，也困难得多。对出现不可达点的情形事先如何判别，事后如何 处理，在这方面，虽然已有专家进行了，研究，并得到了一些很好的结果，如文献f 8 1 、f 4 9 1 、 f 5 8 1 及 6 8 1 所介绍的方法但总的来说对有理函数插值存在性的研究成果还不多而快速、 简便又实用的判别方法迄今在已有的资料中还没有见到。 1 2 关于一元及多元向量有理插值 借助于连分式研究有理逼近问题是一个古老而崭新的课题，至今连分式的理论的发展 已经历了三百多年之久。1 5 7 2 年r 蓬贝利首次引用连分式来逼近无理数i 早期许多 数学家如e u l e r , l a g r a n g e ，g a u s s 等都为连分式的发展做出了重大贡献，特别是e u l e r 所著的 连分式一书。例如，g a u s s 于1 8 7 2 年给出了t a n h x 的连分式表示，兰伯特于1 7 7 0 年给 出了a x c t a n x 的连分式表示，这些都是连分式在数值近似方面的例子。事实上，连分式在数 论、解方程、加速收敛等方面乃至计算机科学中都有着广泛的应用。例如在计算机处理复 杂函数时用连分式作为近似就是一种较好的处理方式 1 9 8 0 年，wbj o n e s 和wjt a r o n 所著的c o n t i n u e df r a c t i o n sa n a l y t i ct h e o r ya n d a p p l i c a t i o n ) ) 一书【4 6 】对连分式的解析理论做了深刻而系统的探讨，先前许多零碎的有关连 分式的理论和结果得以总结、归纳、扩充和深化。 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第6 页 ws i e m a s z k o ( f 6 2 ，1 9 8 0 】，1 6 3 ，1 9 8 1 】，1 6 4 ，1 9 8 3 | ) 提出了不同类型的二元分叉连分 式插值格式，ac u y t ( 【2 6 ，1 9 8 8 】，【2 7 ，1 9 8 8 】) 通过定义多元逆差商和多元偏倒差商构造 了一种对称型的二元分叉连分式展开和逼近。 pw y r m ( 8 3 ，1 9 6 3 1 ) 率先提出向量的有理插值问题。他注意到；如果把6 算法应用 到向量上并实施s a m e l s o a 逆变换，就能得到与数量一样的准确结果。w y n n 的想法之已被 m c c l e o d ( 5 0 ，1 9 7 1 1 ) 所证明。 g r a v e s m o r r i s ( 3 9 ，1 9 8 3 1 ，【4 0 ，1 9 8 4 1 ) 和g r a v e s - m o r r i s ，j e n k i n s ( 4 1 ，1 9 8 6 ) 从机械振动中 有关“振动模”这一实际问题出发，借助于一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换提供 了一种向量有理插值的t h i e l e 型分解方法，从而建立了一元向量连分式插值的理论，证明了 这种向量有理插值函数的特征定理和唯一性定理。在此基础上他们也对有关的算法问题，有 向向量的有理插值、向量有理逼近等问题做了开拓性的研究。 在国内，向量连分式的研究还很少，其中主要的研究成果当属朱功勤、顾传青和檀结庆 等。从1 9 9 0 年开始，他们在一元及多元向量连分式的研究方面做了一系列很有意义的工作： 朱功勤、顾传清在f 9 2 ，1 9 9 0 中把数量连分式的思想引入到向量连分式中，给出了 向量的s a l z e r 定理及t h i e l e 型向量连分式的收敛性定理，并将著名的p r i n g s h e i m 定理拓广 至向量的情形； 朱功勤、顾传清在 9 1 ，1 9 9 0 、f 1 0 3 ，1 9 9 3 】、【1 0 5 ，1 9 9 4 q u 利用s a m e l s o n 逆，引 进了向量的偏倒差商与偏反差商，首次将一元t h i d e 型向量有理插值推广到二元的情形，建 立了二元t h i e l e 型向量有理插值的概念并证明了相关的性质；给出了二元t h i e l e 型向量 连分式的误差公式；并对二元t h i e l e 型向量连分式展开式及其逼近性质做了一些研究，初步 探讨了向量切触连分式插值；顾传清还在【1 0 2 1 9 9 0 f 给出了一种求二元t h i e l e 型向量连 分式的系数的算法。朱功勤、擅结庆在l 【1 3 ，1 9 9 5 l 中利用向量分叉连分式对二元向量有理 插值及其算法做了进一步的研究，随后又在1 1 4 ，1 9 9 6 1 中给出了二元向量分叉连分式插值 的矩阵算法。檀结庆还在 1 2 0 ，2 0 0 0 】中建立了逆差商的一种紧凑的行列式表达式。 朱功勤、檀结庆在【9 5 ，1 9 9 5 1 中对矩形网格及三角网格上的二元向量有理插值进行 了专门的研究，得到了矩形网格上二元向量值分叉连分式插值的特征定理、单向唯一性定理、 对偶定理及边界插值定理等。首次提出矩形网格上二：元对偶向量有理插值的概念，并对它们 的性质进行了比较深入的研究，得出了系列非常有用的结果。 檀结庆、唐烁在i t l 5 ，1 9 9 6 】及【1 1 6 1 9 9 7 1 e e 又构造了向量值三重分叉连分式插值的 算法，并对三重分又连分式插值进行了进一步的研究。 朱功勤、顾传清等还分别在【9 3 1 9 9 l 】、【1 0 4 ，1 9 9 3 中建立了二元对称型向量有理 插值及二元有向向量的有理插值的概念，并对这些类型的向量有理插值进行了研究。陈之兵 在 1 2 5 ，2 0 0 2 w 构造了矩形网格上二元n e v i l l e 型向量有理插值，这是一种对型值点的倒 数进行插值的二元向量有理插值。 朱功勤等在1 9 7 ，1 9 9 8 1 给出了离散点集上的向量有理插值算法与特征性质，朱功 勤、檀结庆、王洪燕在 1 0 1 ，2 0 0 0 q a 给出了预给极点的一元( 二元) 向量有理插值和算法， 并得到相应的向量有理插值的特征定理。 目前，矩阵有理插值的研究在国际上正受到越来越多的关注，它是向量有理插值的 推广n 在文献1 1 0 6 ，1 9 9 5 、【1 0 7 ，1 9 9 6 中朱功勤、顾传清等定义了矩阵的s a m d s o n 逆，将 一元t h i e l e 型向量有理插值的思想和方法运用到矩阵有理插值的研究中，建立了基于矩阵 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文第7 页 签二主煎查 ! ：查叁堑然三监鳢煎姿 s a m e l s o n 逆的一元矩阵值有理插值，得到了一系列类似于向量值有理插值的结果。顾传清 在 1 0 8 ，1 9 9 7 】中又将一元矩阵有理插值推广n - - 元，建立了二元矩阵有理插值；朱功勤在【9 8 ， 1 9 9 9 6 p 进一步研究了二元矩阵有理插值算法与特征性质。随后朱功勤、檀结庆在 9 9 ，1 9 9 9 1 中建立了向量有理插值与矩阵有理插值之间的转换关系，从而将向量有理插值的研究与矩阵 有理插值的研究统一起来，开辟了研究矩阵有理插值的一个新的途径。 檀结庆在1 1 9 ，1 9 9 9 建立了一种二元b l e n d i n g 有理插值，将矩形网格上的节点分 成若干个三角网格，根据需要将它们进行适当的拼接。得到较好的插值效果；檀结庆、唐烁 还在 1 2 2 ，2 0 0 0 中建立了一种二元混合有理插值将向量有理插值与向量多项式插值进行 有机地组合，从而达到更好的逼近效果。 顾传清、朱功勤在 1 1 0 ，2 0 0 2 1 6 e 建立了一种二元l a g r a n g e 型向量有理插值，它不同 于以前的由二元向量连分式定义的t h i e l e 型二元向量有理插值，而是利用某种行列式直接定 义二元向量有理插值的分子和分母；此外，插值节点也由以前的实平面上的实数对，改为复 平面上的复数对，进一步扩展了研究的范围。 实践证明，采用向量连分式做有理逼近工具有很大的实际应用价值。一方面是因为它把 标量连分式插值与逼近作为自己的特例。同时它本身又具有许多独特的性质。另一方面是因 为向量连分式具有很强的构造性特点各种类型的连分式都有系数算法，可以一步一步地递 推计算出来，易于在计算机上实施计算。可以预期，随着对( 向量) 连分式研究的深入，作为 一种非常有效的逼近工具，( 向量) 连分式将在今后的理论研究和实际应用中发挥越来越大的 作用。 1 3 本文所做工作的概述 在本文中，我们主要针对( 向量) 有理插值问题中的以下课题进行了研究，取得了一些研 究成果。 1 鉴于有理插值存在性的研究成果还不多快速、简便又实用的判别方法迄今在已有 的资料中还没有见到本文给出了一种判别有理插值函数存在性的代数方法，它比以往的方 法要简便、实用并对所求有理插值函数出现的不可达点提出了一种解决办法。进而我们 又将上述判别方法推广到一元切触有理插值和二元有理插值存在性的判别中，得到了相应的 结果。 2 在传统的基于广义逆的一元( 二元) 向量有理插值的定义中，对向量有理插值函数的 分子、分母有整除性的要求，这种要求大大限制了向量有理插值的研究和使用范围。本文通 过研究去掉了上述整除性条件，给出了更加一般的基于广义逆的一元( 二元) 向量有理插值 函数的定义，并重新证明了有关的定理本文所给出的结果更具有一般性从而大大扩展了 这种向量有理函数插值的适用及使用范围。 3 在传统的一元( 二元) 向量有理插值的研究中，对算法的研究基本上都是由后向前有 理化而建立的递推算法，这类算法均没有承袭性，而类似于一元标量形式中逐步有理插值这 样具有承袭性的递推算法至今尚未见到。本文建立了一元( 二元) t h i e l e 型向量有理插值函数 的具有承袭性的逐步递推算法。 4 在c a g d 中引入( 向量) 连分式插值，建立( 向量) 连分式样条来进行曲线，曲面的研 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第8 页 究，目前在国内外已知的文献中尚未见到，鉴于连分式的递推性质及在计算上的优越性，可 以预见在曲线曲面的快速生成及构造上将发挥重要作用。本文本着上述想法，利用向量连 分式建立了快速生成平面上的圆弧及圆弧样条，快速生成空间内的任意旋转曲面的一系列方 法。与现有的构造圆弧的方法相比，上述方法的一个明显特点就是无须选取控制顶点，直接 对已知的型值点构造圆弧或圆弧样条。上述研究为( 向量) 连分式插值在c a g d 中的应用做 了有益的探索。 本文共分六章，具体安排如下： 第一章简要介绍了有理插值存在性研究的意义及现状：向量有理插值研究的历史及主要 的研究成果。 第二章利用n e w t o n 多项式插值公式，给出一元有理插值存在性的一个判别方法，并在 判断出相应的有理插值函数存在时给出其具体表达式，对有理插值函数的不可达点做了进 一步的研究对出现不可达点的原因进行厂探讨，并利用混合连分式给出一种解决不可达点 的方法。最后将上述判别方法推广到切触有理插值 第三章将上述元有理插值存在性的判别方法推广到二元的情形，得到了判别二元有理 插值存在性的一个充分条件。 第四章经过研究将基于广义逆的一元向量有理插值函数定义中的条件进行了减弱，即： 去掉定义中的整除性要求，给出了较一般的基于广义逆的一元向量有理插值的定义，并证明 了相应的结果仍然成立给出了向量有理插值函数具有承袭性的逐步递推算法并利用此递 推公式证明了一般向量有理插值函数的特硅定理初步探讨了向量有理插值的存在性问题， 首次提出向量有理插值函数的不可达点的概念并给出j ，一种处理这种矸i 可达点的方法。 第五章经过研究，我们去掉了基于广义逆的二元向量有理插值函数定义中对二元向量有 一一 i i 1 1 2 理函数r ( x y ) = n ( x ，y ) d ( x ，y ) 的整除性条件d ( t y ) l | i m ( x ，y ) i | ，给出了基于广义逆的一 般二元向量有理插值函数的定义订e 明r 一般= 元向量值有理插值函数的单向唯一性，重新 证明了互为对偶的二元向量有理插值函数的特征定理这里给出的结果更具有一般性。我们 还建立了二元向量有理插值函数的具有一定承袭性的逐步递推算法。利用文献1 9 9 的结果， 我们将一元及二元向量有理插值的结果平行地推广到了，相应的矩阵有理插值对矩阵有理插 值现有的结果也做了相应的改进。 第六章是向量连分式插值在c a g dt ，的应用：利h 向量连分式给出r 两种快速生成平 面上及空间里段圆弧的新疗法：构造r 种( 汇连续的可调参数有理圆弧样条，在实际操 作中通过调整- - n 端点的切向量，町使f ：述圆弧样条曲线保凸保单调，存上述快速生成 圆弧的方法的基础上利用二元超限向量有理插值函数给出，一种能快速生成空间任意形状 旋转曲面的新方法 2 0 r 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第9 页 釜兰童二亘直堡撞僮盘查性盟丑窟 一：= ：= ! = = = = ：! 坚! 缝 第二章一元有理插值存在性的研究 有理函数逼近的研究是非线性逼近研究领域的一个重要分支，在前言中，我们已经阐述 了开展有理函数逼近研究的意义。作为有理逼近研究的重要组成部分，有理函数插值的理论 及其应用一直是计算数学领域中引人注目的课题。和多项式插值的研究一样，有理函数插值 在唯一性、算法、误差估计，有理函数样条等方面均取得了很多研究成果，尤其在算法的研 究上更是如此( 详细内容参见文献【8 4 】、【1 8 】、【2 3 】、【7 9 1 等) 。然而对于事先任意给定的插值 条件，有理插值函数并不总是存在的，而其他结果，诸如唯一性、算法、误差估计等，在叙 述其结论时也总是假定所讨论的有理插值函数是存在的，如果存在性问题得不到很好的解 决，势必影响这些结果在使用上的确定性。因此无论从理论上还是从实际应用上，有理插值 函数存在性的研究都显得至关重要。 在有理函数插值的研究中，之所以会出现有理插值函数不存在的情况，是因为对于事先 任意给定的插值数据点相应的有理插值函数的分子、分母往往会出现含有插值节点的公因 子，从而使得该有理插值函数出现不可达点而这种情形在多项式插值中是不可能出现的， 因而有理函数插值比多项式插值要复杂得多也困难得多。对出现不可达点的情形，事先如 何判别，事后如何处理，在这方面，虽然已有专家进行了研究，并得到了一些很好的结果， 如文献【8 】、【4 9 1 、【5 8 】、【6 8 及1 1 2 8 所介绍的方法，但总的来说对有理函数插值存在性的研 究成果还不多，而快速、简便又实用的判别方法迄今在已有的资料中还没有见到。针对这种 情况，我们在这一章利用n e w t o n 插值多项式，给出了一种代数方法来判别有理插值函数存 在性，并在判断出该有理函数存在时，直接给出其具体表达式。比较现有的判别方法，该方 法具有直接、简便实用的特点。 本章内容是这样安排的：2l ，简介有理插值问题。22 ，利用n e w t o n 多项式插值 公式给出了判别有理插值函数存在性的一种代数方法，并在判断出该有理函数存在时，给出 其具体表达式。23 ，对导致有理插值函数不存在的不可达点做了进一步的研究，给出了 一种处理不可达点的方法。2 4 ，对一元切触有理插值函数的存在性进行了研究，给出了 相应的判别方法，并在判断出该切触有理插值函数存在时，给出其具体表达式。此外在每节 的最后，都有多个数值例子来具体说明本节所介绍的方法。 2 1 引言 记7 1 - i 表示次数k 的一元多项式集合，其中女为非负整数 q et n o ) l 万 p p g ，、l = 、， 砌 点 所 的 h 响 1 1个+疗+m定给已发 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文第l o 页 簋三差二垂直堡煎焦盘查性鲍噩窒2 ：! j 直 和相应的函数值 ，x l ，x m + h( 211 ) f ( x o ) ，f ( x 1 ) ，f ( x 。+ 。) ( 212 ) 所谓有理函数插值问题乃是寻求有理函数r r ( m n ) ，即 心，2 鬻= 尝b x 等b i 等等b lb o ，仁， 、7 g ( x ) ”+x ”_ 1 + + r + 1 、。7 使之满足插值条件 r ( x ，) = f ( x 。) 。i = o l ，1 一，m + ” 首先，介绍一些相关的概念和性质。 定义2 1 1 is 4 】 下列两个有理函数 小) 2 器，2 ( 加鬻 甜l l xj“，i y l 称为恒等，如果存在一个非零常数d ，使得 p 2 ( r ) = d p 1 ( x ) ，q 2 ( x ) = dg l ( x ) 并记为( x ) = r 2 ( x ) m ( 2 1 5 ) 所示的两个有理函数1 ( x ) 与屹( y ) 称为等价的，如果 p l ( x ) 吼( x ) z p 2 ( x ) q l ( x ) 并记为，l ( x ) r 2 ( x ) 显然，按上述定义所确定的“等价”概念是一个等价关系，即 1 ) r ( x ) r ( x ) ， 2 ) 若，l ( r ) 屹( x ) 则吒( r ) n ( x ) ； 3 ) 若1 ( x ) ，2 ( x ) ，2 ( x ) 吩( x ) ，贝0 1 ( z ) 屹( x ) ， 其中r ( x ) ，0 ) ( i = 1 ，2 ，3 ) 均是有理函数。 ( 2 l4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 16 ) 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文第1 1 页 簋三童二垂盔矍指焦盘查蛙鲍煎窟! ：! l 直 定义2 1 2 “1 一个有理函数r ( x ) = p ( x ) q ( x ) 的最简分式函数，是指f g p ( x ) 与 q ( x ) 的最大公因子约去后所得的有理函数。 命题2 1 1 “1 两个有理函数厂l ) 与，2 ( x ) 等价的充分必要条件是厂l ( x ) 与，2 ( x ) 的 最简分式函数亏( r ) 与艺( x ) 恒等。 今后，只要两个有理函数r t ( x ) 与r z ( x ) 是等价的，我们就把它们看作是同一个有理函 数而不加以区别。在这个意义上，有 定理2 1 1 18 4 1 若有理插值问题( 2l3 ) 、( 2i4 ) 有解，则其解必唯一。 一般来说，有理插值问题( 2i3 ) 、( 214 ) 是一个非线性问题。但是当有理分式函数 r ( x ) = p ( x ) q ( x ) 是插值问题( 214 ) 的解时，当然也有 p ( x ，) f ( x ，) q ( x ，) = 0 ，i = 0 , 1 ，”+ 聍，( 2 17 ) 即 ( 口卅r + 口。一1 矽一1 + + 口l z ，+ 口o ) 一f ( x ，) ( x ? + “一l r 一1 + 十6 】t + ) = 0 ， j - o ，1 ，埘+ n ( 21 7 ) 7 它是关于未知数口。，a 。- l ，a l ，a 0 ；“，b ，b l ，b o 的一个线性方程组。 方程组( 2i7 ) ( 或( 2i7 ) ) 与有理插值问题( 2l3 ) 、( 2l4 ) 的关系由下面的定理21 2 做 了回答。 定理2 1 2 4 9 】有理插值问题( 213 ) 、( 214 ) 有解的充分必要条件是：线性方程组( 21j 7 ) ( 或( 217 ) ) 的任意非平凡解p ( x ) ，g ( z ) 在约去一切公因子( 即约化为两互质多项式) 后 所得的多项式a ( x ) ，b ( x ) 仍然是线性方程组( 217 ) ( 或( 21 7 ) ) 的解 爿( ) 一f ( x ，) b ( x ，) = 0 ，i = o ，l ，m + 甩( 2 1 8 ) 定义2 1 3 在定理2 1l 中，若存在某个f ，0 i 肌+ n ，使得 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第1 2 页 簋三童二丞直堡擂焦盘查蝗的噩壅! ! ! ! ! ! 童 a ( x ，) 一f ( x ，) b ( x ，) 0 ( 2 1 9 ) 则称型值点( x 。，) 为有理插值问题( 213 ) 、( 2l4 ) 的不可达点。 显然，我们有下列结果。 推论若p ( x ) ，q ( x ) 是线性方程组( 2 l7 ) ( 或( 21 7 ) ) 的某个非平凡解，则有理插值 问题( 213 ) 、( 2l4 ) 有解的充分必要条件是：有理插值函数r = p q 没有不可达点。 为了，给出便于应用的存在性定理，已有学者做了相关的研究，并得出了一些有益的结果。 例如nm a c o n 和ded u p r e e 在文献 4 9 】中给出的有理插值函数存在性的判别方法，其主要 内容如下 记 口= 1 x ox o 1r ，r 2 1 r 。r ：+ 。 lzx 二 若口不恒为零则有 r ；y ox o y o r ?y 1m x ：y + 。x m n y x “? yx y x g y o x ：h r ：y + 。 x ”y ( 21 10 ) 定理2 1 3 4 9 1 有理插值问题( 2l3 ) 、( 2l4 ) 有解的充分必要条件是各个矩阵一 ( ，= o ，i ，+ ) 是非奇异的。 其中：a 是矩阵 1 z ox ： 1 x x j x , 7 y nx o y n z ?y lx i y i z y 。 x ? y 1 1 x 。x ：+ 。-x = ：y 。x m n y 。- 一x n - i 。y 。 ( 2 1 1 1 ) 去掉第 亍后余下的元素按原来的结构次序组成的矩阵。 若口恒等于零则有 定理21 4 4 9 】若对i = 0 , 1 ，埘+ 门，a ，的秩是一常数。则定存在有理函数 ，= p q r ( m ，) 满足插值条件( 2 l4 ) 上述方法在实际应用中的计算量是很大的，因为要判断满足插值条件( 2 14 ) 的有理函数 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士论文 第1 3 页 签；童= 盂盔理插焦查壁壁曲贸究 一! 塾i _ ：! ! ，= p q