（应用数学专业论文）几类微分自治系统极限环的存在唯一性.pdf

摘要 本论文研究了几类平面多项式微分系统的中心焦点判定与极限 环的存在唯一性问题，全文由四章组成。 在第一章，主要对平面多项式微分系统的中心焦点判定与极限环 的存在唯一性问题的历史背景与现状进行了综述。 在第二章，一方面研究了一类二次系统极限环的不存在性问题， 得出了其极限环的不存在性及拓扑结构；另一方面对一类生化反应模 型进行了定性分析，得出了其极限环的存在性，不存在性及极限环的 存在唯一性的条件。 在第三章，主要研究了一类三次微分系统，利用计算机代数系统 计算出了其前7 阶奇点量，得出了原点的奇点量公式和可积性条件。 在第四章，主要研究了一类n + 1 次k o l m o g o r o v 系统，利用微分方 程定性理论，讨论了吼 o 和a 4 0 a n da 4 3 5 = 6 2 一lt w a n g y u , 2 0 0 5 ) 胃( 7 ) 芝4 9 = 7 7砸& z h a n g ，2 0 0 4 ) 日( 9 ) 2 8 0 = 9 z i ( w a n g , y u “，2 0 0 6 ) 圩( 11 ) 21 2 1 = 11 2t w a n g & y u , s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n ) 但以上结果除日( 2 ) 2 4 。日( 3 ) 1 2 ，h ( 5 ) 2 4 已正式刊出夕卜其他结论可 能还在研究当中 中南大学硕士学位论文 直到法国数学家d u l a e 在1 9 2 3 年证明了对每个这样的系统，极限环的个数 是有限的。即提出了d u l a c 定理；“多项式系统仅有有限个极限环。”对于一个 具体的多项式系统而言，其极限环个数必定有限；另外，只对限制很强的一类极 限环，即强稳定和强不稳定的一类极限环。s p d i l i b e r t o 给出了极限环个数的上 界。 1 2 平面二次系统极限环的研究背景 在研究动力系统的局部结构时，奇点占特殊重要的位置，在研究平面动力系 统的全局结构时，除奇点外，闭轨线也占特殊重要的位置，而关于极限环的研究 大体上可分为两个方面，一个方面是关于极限环的存在性，稳定性，个数以及它 们的相对位置等问题；另一个方面是关于极限环随系统中参数的变化而产生或消 失的问题。关于极限环存在性的问题研究工作多一些，唯一性问题的研究工作就 少，至于个数的问题和相对位置的闯题难度较大，已有的工作屈指可数。关于平 面二次系统的存在性，唯一性，个数和相对位置等方面，国内很多学者做了大量 的工作，秦元勋，蒲富全利用b a y a t h h 的结果对二次系统提供了在奇点附近构造 出具有三个极限环的具体例子的办法。最近史松龄和陈兰荪，王明淑举出了平面 二次系统至少存在四个极限环的例子，破除了平面二次系统极限环个数的上界是 3 的传统猜测，对n - - - 2 的h i l b e r t 第1 6 个问题是一个大的推进。本文在此基础上， 研究了一类平面二次系统和生化反应系统，最后将其转化为l i e n a r d 系统，利用 l i e n a r d 系统的研究方法和p o i n c a r e 一b e n d i x s o n 环域定理，结合张芷芬唯一性定 理说明了其极限环的存在性和唯一性 1 3 分支问题在生态系统中的应用 常微分方程定性理论，随着科学技术的迅猛发展，不仅在无线电技术，自动控 制，以及卫星通讯等尖端领域中有重要作用，而且在生物，化学，现代物理，生命科学 和材料等领域也已成为不可缺少的数学工具。将最新的抽象结果应用于具有实际 意义的模型而得到具有指导性意义的结果是现代应用数学的一大特点。数学在向 着“纯粹”方向即为在最为抽象的领域中不断得到优美的定理的同时，又不断提 供给应用科学和社会科学等方面解决问题的强有力的现代工具。2 0 世纪2 0 至3 0 年代是数学生物学的黄金时期，出现了l o t k a v o l t e r r a , k o l m o g o r o v 等大师以及 以他们名字命名的生态模型和系统。当然研究这些系统的方法很多，涉及到的模 型多种多样：有微分方程模型、差分方程模型、反应扩散方程模型、马尔可夫模 2 中南大学硬士学位论文 型等我们主要研究微分方程模型在生态数学中，就微分方程两种群相互作用 的模型而言有重要的v o l t e r r a z 棚k 模型： f 争= ( a o 4 a l x + a2 y x 【等= y ( b 。+ b t x 4 咖x ( ) f 鲁= 州t t 牵西1 ：t 舢 - 笔- = r 2 y 1 - 口：t 芦一t 却 r 詈村鼬x r 。 誓= 妒z 瓴，) 一 就咒硇踟卿系统而言，研究结论也十分多；但对于含参数较多的 蜀硒煳鲫系统而言，研究者较少一般对恩砌嘲删系统的研究都只限于当 e ( 薯办，五瓴力为二次的情形。本文则讨论e ( 墨力隽j n + 1 次五o ，力为二 次的情形，得出了其平衡点的性态及极限环的存在性和唯一性的问题 3 中南大学硕士学位论文 1 4 本文的特色工作 本文利用常微分方程定性理论的研究方法，得到了以下几个方面的内容： ( 1 ) 对于二次系统的研究，得到了其极限环不存在性的一些充分条件，以及此二次 系统的定性性质和全局结构； ( 2 ) 将微分方程定性理论应用于一类生化反映模型，由方向场的理论结合 p o i n c a r e 一b e r 赶f i r s o n 环域定理，构造出了此系统的外境界线：证明了其极限 环的存在性，不存在性及极限环的存在唯一性的条件，得到了完整的结果； ( 3 ) 研究了一类三次微分系统，利用计算机代数系统计算出了它的前7 阶奇点量并 得到了此系统的可积性条件； ( 4 ) 研究了一类鼻 力为n + 1 次，e 也力为二次的k o l m o g o r o v 系统，得出了其平 衡点的性态及极限环的存在性和唯一性问题。 4 中南大学硬士学位论文一类二次系统与生化反应模型的定性分析 第二章一类二次系统与生化反应模型的定性分析 众所周知，i - f i l b e r t 第十六问题的提出促进了人们对极限环的研究，因此极限 环的存在性与唯一性成了平面定性理论研究中非常重要的问题但是这个问题有 一定的难度，随着计算机代数系统的出现和发展t 人们对问题的研究越来越深入 涌现出了大量的研究方法和较好的结果文m 指出，可能具有极限环的二次系统 必定可以表示为如下的形式： 当口= 6 = o 时，系统( 五) 的极限环的唯一性已经解决，当口：o 6 o 时极限 环的唯一性也在文2 l 】中给出了完整的结论，此外也有一些文献讨论了l , m , n 中至 少有一个为零时，系统( 五) 极限环的唯一性 2 1 预备知识 目前关于二次系统的工作较多，结果也较好文3 1 研究7 - 次系统 ( 2 1 1 ) 证明了当口占0 或口万2 3 时。系统( 2 1 1 ) 没有包围原点的极限环； 当o 口万 3 时，系统( 2 1 1 ) 至多有一个包围原点的极限环文州研究了二次系统 f 争= 一y + 缸+ 2 + 恻 【誓= 掌 ( 2 1 2 ) 的定性性质与全局结构，利用微分动力系统的定性理论，通过讨论极限环的存在 性，不存在性与唯押性了解了系统( 2 1 2 ) 所表示的向量场的大致指向，并得到了 5 ) 毛 ( ， 2 秒 + 恻 + i 驴 砂 + 融 甜 + + y o r = = 办一西砂一出 ，t，l y 一 砂 万 + i ， 砂 + 出 西 + + y o r = = 出一出砂一旅 ，i-f1l【 中南大学硕士学位论文 一类二次系统与生化反应模型的定性分析 在条件劢栉 s o = 1 2 ， d t v ( b p , b q ) ：掣+ 挈；舻 岱钟 因此在x o y 平面的上半部分时，d i v ( b p , 艘) o ，即d i v ( b p , b q ) 保持常号，由 b e n i s o n d u l a c 办别法知：当肼0 ，0 时，系统( 2 1 4 ) 没有极限环 定理2 2 2 当坍= 0 时，系统( 2 1 4 ) 没有极限环 证明。当埘= 0 时，系统的( 2 1 4 ) 奇点情况如下： 当糟= o 时，系统( 2 1 4 ) 只有一个奇点4 ( o o ) 且为鞍点；当疗 0 时，有两个奇 点4 ( o ，o ) 如( 0 ，三) 其中4 为鞍点龙为中心这是系统( 2 1 4 ) 的有限远奇点， ， 对于它的无穷远奇点又有怎样的结果呢? 为了讨论系统( 2 1 4 ) 的无穷远奇点，先作d u t a c 函换： l搿d t 扣i 夕。：，万钳 则系统( 2 1 4 ) 化为如下系统 ， ( 2 2 1 ) 一鼍 不 矶 耐 一 嘞 咔 吨 = = 出一打出一打 中南大学硕士学位论文一类二次系统与生化反应模型的定性分析 下面就打和，的几种可能的情况进行分析。 1 ) 当开= o 时，系统( 2 1 4 ) 在一：平面上只有一个奇点c ( o ，o ) ，并且当， 0 时 为稳定退化结点，当， 0 且b 0 时，系统( 2 1 4 ) 有一个奇点c ( o ，o ) 且为稳定退化结点。 3 ) 当力 0 且，= 0 时，系统( 2 1 4 ) 有一个三重退化结点c ( o ，0 ) 。 4 ) 当一 。且， o 或m = ，= 0 ，胛 0 时的情形： 3 1当m = 0 ，肛 0 ， o 系统( 2 1 4 ) 的轨线方向是从下指向上因 讲 此在研究微分动力系统的定性性质时，需要讨论极限环的存在性，不存在性与唯斗 性，而了解该系统所表示的向量场的大致指向，就可以为研究工作提供信息，指明 方向由此可以看出，微分动力系统所表示的向量场在定性分析方面具有特别重 要的意义。 2 3 一类生化反映模型的定性分析 j 鲁= f 一口x x y 4 ，( 2 3 。， i = x p y q - - 够 恤“v 9 中南大学硕士学位论文 这里x o , y o 善 并且仍以x ，y 记村，v ，则系统( 2 3 2 ) 化为 其中口：。b 7 0 善6 2 3 1 几个预备引理 = 等毋 f i a k ：l 一旷， j 出 匕钳( 夥，6 _ y ) ， 令 f l x y 6 = o ， i 口( 砂6 - y ) = 0 易知系统( 2 3 3 ) 有唯一正平衡点a 0 ，1 ) ，并且 ) 一类二次系统与生化反应模型的定性分析 r 一1 6 、 2 i 口缸j 所以系统( 2 3 3 ) 在a ( t ，1 ) 处线性部分的特征方程为： 该方程有两个根a = 五三口f = 牙们一跏+ 口= 。 阮一1 ) + ( 5 a - 1 ) 2 - 4 a 了一 t = ( s a - 1 ) ，d = 口 o 。 1 0 2 3 2 1 ( 2 3 3 ) l y y k ；荨 呦 。= 妙 砂 。一 卜 砂 = = 出一西方一西 换 打 变 u 入 f 一6 孔 户 仉 一 、 护一砂一钞 凹一缸弛一缸 ，l h 口 z 一 中南大学硕士学位论文 一娄二次系统与生化反应模型的定性分析 r 2 4 1 ) = ( 5 口一1 ) 2 4 瑾= 2 缸量_ 1 4 讲+ 1 上式看作关于口的二次三项式，有奇点的判定理论易知 1 ) 当o 时，点4 q 1 ) 为不稳定的结点； 3 ) 当口；当时，点彳g 1 ) 为中心。 经可逆变换 搿= y - - l , v = 口( x 1 ) + ( y 1 ) 系统( 2 3 3 ) 转化为 ( 2 3 4 ) 荆铷叫+ 南觯) 2 南， 0 譬 - l 球o ) # = g t 记 ；蚝( 暑) 蕾2 = 2 ( z ) 分别表 示z = g ) 在半平面o 和，o 上的反函数，定义e 妇) = f 臼。o 强z o i 。l 2 则有 引理2 _ 3 1 当o e ， 证嚼：令似z = f ，( o - e 0 ) ，则似0 ) c 0 ，i l i f 1 o ( ：) = eo ) l | 。0 ) 一f 2 ( ：) l f ：o 啦南m m 一南懒) 中南大学硕士学位论文一类二次系统与生化反应模型的定性分析 一( 1 + 甜1 ) 6 5 口 ( 1 + ”2 ) 6 5 口 删i鲫2 5 a ( u 1 - - 1 1 2 ) + 材2 ( 1 + 1 ) 6 一却l ( 1 + 2 ) 6 伽1 越2 注意到l o ，即e ( 力 f 2 ( 力证毕。 引理2 3 2 当口 时，对系统( 2 3 ，4 ) 有下面的结论 1 ) 存在，l 满足0 l ，使得f ( o ) = f ( u 1 ) = o ，f 伽o ) = o 当一1 口 o ； 2 ) 存在围绕原点( 0 0 ) 的闭轨，则此闭轨定与直线群= 相交a 证明：有系统( 2 3 4 ) 知， f ) = ) = 等， 当1 掣时，日0 ) = o + 甜) 6 一钇关于为增函数，且口( - 1 ) = 一5 口 0 ， 日( 0 ) ；l 一5 a 0 ，日( 佃) = 佃。于是由介值定理知，存在唯一的，使得 h ( u o ) - - - 0 ，即f 。) = 0 ，而且当- 1 时，胃 ) o ，即f 0 ) o ；又因为f ( o ) = 0 ，而在( o ， o ) 上，f 似) 一l ，。) ，由引理2 3 2 的结论 1 ) 知u f ( u ) o 上没有垂直渐近线 证明采用反证法 假设存在一点r = x o 0 。是系统( 2 3 3 ) 的垂直渐近线，即当x 一而时- ，- t e e 且宰= 1 a ( 砂6 - y ) 专忡l 另一方面，t t 翩j ( x y 一b y ) 与0 一矽) 均为连续函 出 1 一x y 。 数，于是由系统( 2 3 3 ) 知，不会有孕一佃矛盾引理2 3 3 证毕。 2 - 3 2 极限环存在唯一性的条件 定理2 3 1当0 口 时，系统( 2 3 2 ) 在第一象限没有闭轨 证明 由引理2 3 1 及文献【l 】立即可得。 关于极限环的唯一性有 定理2 3 2 当口 喜时。系统( 2 3 2 ) 至多有一个极限环在第一象限，而且如 果存在，则它必然是稳定的 证明 对系统( 2 3 4 ) 有 1 ) 当。时，蹭q ) = i 兰 o 由引理2 3 2 得 2 ) 存在卵卜t , u 。) ，使得 ) = f 缸) 时， ) = f ) o 。 由张芷芬唯一性定理，只需要证明车a u4 9 婴_ u ) ) 。 事实上，由( 2 3 4 ) 式知； 川讥) = 等铲，觯) = 南 ，w = 尚，g w = 篱于是 m 荆们) g 协丽3 0 a 而a u 小百备1 害 1 3 中南大学硕士学位论文 一类二次系统与生化反应模型的定性分析 则 ：堑：一, z 0 - 5 u ) ( 1 + 担) 1 2( 1 + 甜) 7 旦(型)：5a-(i-5u)(1+u)s d u 、g ) 伽2 5 口一( 1 4 u - 5 u 2 ) ( 1 + 甜4 ) 4 倒2 注意到l 一4 一5 甜2 1 5 时，甜 一l 却o 时， 得要( g 婴) o ，从而得粤婴在( 一l ，o ) u ( 0 ，+ m ) 上是不减的。即系统( 2 - 3 4 ) 曲t g 诳lg u ， 满足张芷芬唯一性定理的所有条件，定理2 证毕。 定理2 3 3 当口 喜时，系统( 2 3 3 ) 至少有一个稳定的极限环包围奇点4 ) l 证明：由前面的讨论知，当口 时，系统( 2 3 3 ) 的奇点a 是不稳定的。 ) 为了证明定理2 t 3 3 ，根据环域定理，只需构造一个包围正奇点a 的外境界线r ， 使得系统( 2 3 3 ) 的轨线与这个外境界线r 相交时，随t 的增加都从外部穿入其内 部。为此令 r i = l 一砂6 = o ，r 2 = x y 6 一y = 0 分别表示系统( 2 3 3 ) 的垂直( 水平) 渐近线，则它们的图形如下图 图2 - 1系统( 2 3 3 ) 的外境界线 f i g2 - 1 t h eo u t e r b o u n d a r y c b i v e o f s y s t e m ( 2 3 3 ) 并且系统( 2 3 3 ) 相平面的第一象限被r l 和r 2 分成了4 个区域，( 见图2 - 1 ) ，容 1 4 中南大学硕士学位论文一类二次系统与生化反应模型的定性分析 易知道系统( 2 3 3 ) 在这4 个区域中所确定豹方向场为 1 ) 膏 o 夕 o , y 0 ； 3 ) 萱 0 1 4 ) 圣 0 上不会有垂直渐近线，又因为l 以苫轴为水平渐近 线，于是系统( 2 3 3 ) 过点b 的正半轨一定与f 2 交于点c 又注意到区域( 2 ) 上 的方向场，且x 轴也是r l 的水平濒近线，扶而系统( 2 3 3 ) 过点c 的正半轨一定与 e 交于点d 然后过点d 作直线d e 平行于y 轴，易知在直线d e 上，童 0 ， 又因为奇点a 为系统( 2 3 3 ) 的不稳定奇点，所以过点e 的正半轨不会趋于奇点a 由引理2 3 3 知该系统在富) o 上不会有垂直渐近线，而e 和r 2 又以j ，轴为垂直 渐近线，所以过点e 的正半轨一定和r 2 和r l 交于点f 和g 最后过点g 作g h 平行于薯轴。交y 轴于点h ，易知在直线g 壬i 上夕 。 考虑下列p o i n c a r p 型实系统 其中 = 蠡一j ，+ 以“n m = ，+ 旁+ 瓦瓴珐 a 4 2 ) 中南大学硕士学位论文一类三次微分自治系统的奇点量与可积性条件 砭“y ) = 护y 4 a + p = t 系统( 3 4 2 ) 经极坐标变换 x = r c o s o y 2 r s i n 0 ， 化为 对于充分小的h 令 d r 一= r d o 占+ r “以+ p ) d ( h ) = r ( 2 a ，一h ，= r i l 9 ，= v ( o ) h k = l 这就是p 扫枇龇后继函数法，其中对于满足初值条件r i 。= 妇的解显然满足， m ( d = 口帮 o 心( 0 ) = 0 ，k = 2 ，3 ， 系统统( 3 4 2 ) 经变换 = = x + 耖，w = = 一i y ，t = i t , i = j ， ( 3 4 3 ) 化为如下复系统 翥2 ：+ 薹，q ，叻= z 。，w x 。a 坐d t 圳一薹毗m 卸 u u 这里z ，w ，t 为复变量且 z ( ：，w ) = 口掣：4 w p , 睨( 乙，) = w 4 ， a + p = ka + p = t 显然( 3 4 4 ) 的系数满足共轭关系，即：口。与b a 互为共轭复数， 其中口o ，o 口+ 2 ，= + ，= 如一 称系统( 3 4 2 ) 。与( 3 4 4 ) 互为伴随系统。 b i 理( 3 4 1 ) 对系统( 3 4 4 ) ，可逐项确定形式级数 中南大学硕士学位论文一类三次微分自治系统的奇点量与可积性条件 使得 其中 肘= l + 钿，i t ， o r + 出i 警z 一祟矽+ 黑一罢彤= 艺( m + 眦) 。， 窿伽盘珊二 。= l c 。任取，| = 1 , 2 ，是系统( 3 4 4 ) 原点的第册个奇点量， r e = l 2 ，且对任意的口和，当口时，由递推公式 锄= 南挚+ - 一一。州 确定。 由文旧知系统( 3 4 4 ) 原点的第掰个奇点量，| l 与系统( 3 4 2 ) 脚原点的第m 个 焦点量吃“有如下关系 v 2 + l f 刎m = 1 , 2 ， 3 4 2 系统( 3 4 1 ) 的奇点量 首先由文嘲中的定理3 5 得 定理3 4 1 系统( 3 4 1 ) 恰有1 8 个基本l i e 不变量，如下 口2 i ，屯i ，k ，a 3 0 a 1 2 ，k 6 1 2 ， k ，口1 ： ：，k ， q ：，虼2 ：，k ，6 刍 ：，k 口l ：， ，配，磕k ， 奇点量的推导需要进行大量的计算，为了计算系统( 3 4 1 ) 原点的奇点量，对 系统( 3 4 1 ) 令 6 l ：= 伊三， a m 2 = 和三 则系统( 3 4 1 ) 转化为 中南大学硕士学位论文 一类三次微分自治系统的奇点量与可积性条件 对于系统( 3 4 5 ) ，由引理( 3 4 1 ) f l o 形式级数法，并在个人计算机上运算化简得系 统( 3 4 5 ) 的前7 个奇点量如下： 定理3 4 2 系统( 3 4 5 ) 原点的前7 个奇点量为 a l = 口2 i 一屯l ； 2 = 击( 6 嘉一口刍b 3 0 ) ( 2 + 5 p ：- 1 5 q 2 ) ； a 3 = 击厶( _ 8 + 2 5 p 2 吼) ； a , = 击厶z ； a 5 = 砸蒜，o 五； 以= 霄丽- 丽1 万厶六； a 7 = 叫刍砝厶( _ 4 + 5 p 2 ) 4 工； 其中 玖，q 2 是常数；i o 一- - u 。“。4 一b 0 3 b 4 ，z ，以，厶工是关于系统( 3 4 5 ) 的系数及p ：，吼 的函数，由于表达式较长，故在计算附录中显示，上述的表达式在计算段时己置 j l = 2 = = 以一i = o ，k = 2 , 3 ，4 , 5 ，6 ，7 根据引理( 3 4 1 ) 中屹“f 宠巩，m = 1 , 2 ，可以得到相应的焦点量。 引理( 3 4 2 ) 卵1 对于系统( 3 4 2 ) ，= 。，系统( 3 4 4 ) 及任意的正整数肼，下列表达 式成立： m - i v 2 。( 2 力= 讶( 以+ o 。k ) ， k = l 其中“” = 1 , 2 m - 1 ) ( 3 4 4 ) 中系数参数的线性组合。 根据定理3 4 2 容易得到： p 叻 吮 魄 一 啦 枷 + 乞 k 吒 一 乓： v 旷 外 叫 出刀咖刀 中南大学硕士学位论文类三次撤分自治系绕的奇点量与可积性条件 定理3 4 3 对于系统( 3 4 5 ) 原点的前7 个奇点量全部为0 。当且仅当下列三 组条件之一成立： ( 1 ) 锄= b 2 1 ，p 2 = 3 q 2 一专，= k 吆i ( 2 ) a 2 i = 如l ，口矗= 6 = 0 ( 3 ) a 2 1 = ，a z o 磕一砖k = o 4 = k 砝； 证明：充分性显然成立，现证必要性首先，如果a 2 0 = k = 9 ，则 岛= 口2 l 6 2 。= 0 时，条件( 2 ) 成立以下设口矿k 不全为零， 则当2 = 击磕一, 4 0 b , o x 2 + s p 2 1 5 q 2 ) 。0 时；得仍= 地专， a 4 。o 对得，一”。“，4 一蚝砝硇条件( 1 ) ，( 3 ) 成立。 定理3 4 4 系统( 3 4 5 ) 原点邻域存在正则积分的充分必要条件是原点的 前7 个奇点量均为零，即定理3 4 3 中的三组条件之一成立 嘉2 ：+ 口”z 3 + 七2 w + 1 r 3 。4 回 匕一却劫2 卜。 p “w 定理3 4 7 在定理3 4 3 中的三组条件中，如果条件( 3 ) 成立，则系统( 3 4 5 的右端系数适合广义对称原理嘲；系统( 3 4 j ) 以原点为广义中心的充分必要条 件是原点的前7 个奇点量均为零，即定理3 4 3 中的三组条件之一成立 中南大学硕士学位论文 一类n + 1 次k o l m o g o r o w 系统的极限环 第四章一类n + 1 次k o l r a o g o r o v 系统的极限环 本章研究了一类n + 1 次肠加昭啪y 捕食系统，利用微分方程定性理论，讨 论了吼 0 时，系统在第一象限内不存在极限环；当啊 o , u t ，口3 o , h l 且撑e n 时，就码 0 和a 3 o a o = _ a 2 ，a 4 q 靠3 且打e 时， a 4 o 和a 4 o ，等2 薏，q o 一l 且玎e ，主要就吼 。和q 平衡点的性态及极限环 的存在唯一性。 4 2a 4 o 的情形 对系统( 4 1 1 ) 作变换 置= 辱y = 正品国= 妻2 x 。一4 x + 也x 2 4 x ，+ 矽，= 置c ，x ( 4 2 。， 睁批2 _ 1 ) = 她n ” 其中 中南大学硕士学位论文 一类n + 1 次k o l m o g o r o w 系统的极限环 a = o ，4 = 昙厝 o ， 口04 0vq 以= 吟a o b lo ，毛= 鲁a o 厝b l 。qv 由_ a o = a - 2 ，易得4 = 彳。以， 口l呜 4 2 1 平衡点的性态 对于系统( 4 2 1 ) 当y o 时，得x = 1 ，代入系统( 4 2 1 ) ，令l 一4 ，+ 4 妒一4 矿+ 】旷) 卸，得 ，= 1 4 + 以一4 当y = 0 时，代入系统( 4 2 1 ) ，令x o - a , x + 4 x 2 4 矿+ x y “) = o ，得 = 砉= 等屈或。 若广0 ，则系统( 4 2 1 ) 在g j t - 除了平衡点0 ( o o ) ，彳( ，o ) 外，再没有其他平衡点， 因而系统( 4 2 1 ) 在第一象限内不存在极限环； 若y 0 ) 引理4 2 1 ( 1 ) 平衡点0 ( o ，o ) 是系统( 4 2 1 ) 的鞍点；当y 。t p ( ，o ) = 卜l 一丢+ 禹0 2 + 一1 ) = _ | - - x 2 + ) + 属0 2 + 一1 ) ， 当鸟 4 时，气；妻 l ，t t ( 矿+ 一1 ) 0 从而当4 4 时， 1 ，f 是q ( x + ，。) = ( - 1 一- 拿。，) a o ( x 2 + - 1 ) = 4 ( 1 一x 4 + ) 。，故 平衡点彳( ，o ) 为系统( 4 2 1 ) 的鞍点。证毕 由引理4 2 1 知，系统( 4 2 1 ) 在第一象限内不存在极限环，并且在钺_ ，0 ) 处 的线性近似系统的特征值均为负值，故有下面的定理 定理4 2 1 当鸣 。 由鱼= 鱼，易得4 - - a i 以， q呜 4 3 1 平衡点的性态 仍记 = 老= 詈压， 广= 1 4 + 以一4 若广s0 ，则系统( 4 3 1 ) 在g 上除了平衡点o ( o 0 ) ，a 0 c + ，o ) 外，再没有其它平衡点， 因而系统( 4 3 1 ) 在第一象限内不存在极限环；故讨论系统( 4 3 1 ) 的极限环，只需 考虑j ， 0 的情形，面系统( 4 3 1 ) 在g 上有三个平衡点0 ( 0 ，o ) 彳( o ) ，b ( l 句， ( 其中- = 渺 0 ) 类似于引理4 2 1 有 引理4 3 1 ( 1 ) 平衡点d ( o o ) 是系统( 4 3 1 ) 的鞍点； ( 2 ) 当j ， o 对，平衡点钺_ ，o ) 为系统( 4 3 1 ) 的鞍点l ( 3 ) 当广 o k 以- 2 4 - 1 o 时，平衡点烈l ，为系统( 4 3 1 ) 的不稳定焦 点或结点， 当j ， o g 以- 2 a - l o 时，平衡点丑( 1 为系统( 4 3 1 ) 的稳定焦点 或结点 定理4 3 1 当广 o 时，平衡点一( t o ) 在g 中全局渐进稳定 中南大学硕士学位论文 一类叶1 次k o l m o g o r o w 系统的极限环 证明：由引理4 3 1 知，当j ， o 时， 鲁i b = o x 2 ，j ，。 o 。作曲线厶= x + h y 一七= o ，取七= m a ) 【舡，y + 1 ) ，其中 m = 。一s u p ，善( x ) ，善爿+ 三叫厶一4 “：卜以矿+ 三一刭x ，则当0 0 时， 鲁kc 鲁专争 = x 一4 x 2 + 以矿一以一x 2 y 。+ 4 0 2 一l i 厶 = x - a 1 x 2 + 4 x 2 - a 3 x 4 一x 2e x p ( n ( k z ) ) + 以( x 2 一1 ) 0 ，4 - 2 a 3 - i 0 l g a 2s3 2 a 2 l ，则系统( 4 3 1 ) 在第一 象限内不存在闭轨线。 证明：易知系统( 4 3 1 ) 若存在闭轨线，则该闭轨线必位于区域 d = kj ，h o 0 注意到4 = 4 也，则当9 4 o ，则系统( 4 3 1 ) 在第一象限内围绕 觑l ，丑) 至少存在一个稳定的极限环 证明：作直线，l ：鼻一= 。，则当j ， 。时注意到4 = 4 ，_ = 鲁，财 鲁l ( 3 1 ) = 苫2 + ， 少) ，因广 0 ，4 4 ，敌 1 。 z 。y l i t ， 广 c 。、 i ， 、 、 一 0 h l o jl i 图4 - l 系统( 4 3 1 ) 的相轨线图 f i g4 - 1 t h ep h a s e 蜘e a o r yf i g u r eo f s y s t e m ( 4 3 1 ) 当r l , y 。时，象= 4 y 2 1 ) 。；当o x 。