（应用数学专业论文）变分lyapunov函数方法与脉冲混合系统的稳定性理论.pdf

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1 5 】这咀值得注意的足9 ( ，s p ，p ) 要分别对“p 山东师范大学硕士学位论文 在同一个锥z 上均满足拟单调条件。 在以往的研究中，遇到了各种稳定性，如：零解稳定，集合稳定，周期解 稳定等等为了统一这些稳定性概念，v l a l c s h m i l c a n t h a m 和x ，z “u 进行了 广泛的研究，建立了两个测度的稳定性理论f 0 3 t t 8 2 0 】。当采用变分l ”p u n o v 函数研究稳定性时，为了使两个系统之间的稳定性建立联系，我们选取一个 共同的初值测度；当采用锥值变分l y a p l l n o v 函数时，相应的我们引入定义 在锥z 上的测度q o ，q 。 基于上述思想，文章分为两部分： 第一章，采用变分l y a p u n o v 函数方法，建立脉冲混合系统的( 1 1 1 0 ，_ i ) 一稳 定性和( ，危) 一有界性理论； 第二章，采用锥值变分l ”p u n o v 函数方法，建立脉冲混合系统的( _ h 0 ，1 ) 一 稳定性和( _ i l o ， ) 一有界性理论 关键词：脉冲混合系统；变分l y a p u n o v 函数；锥值变分l ”p u n o v 函数 ( q 0 ，q ) 一稳定性；( q o ，q ) 一有界性。 分类号：0 1 7 5 2 l 2 山东师范大学硕士学位论文 t h e1 v | a r i a t i o n a ll y a p u n o vf i u n c t i o nm e t h o da n d 胁es t a b i l i t yt h e o r yo fi m p u l s i v eh y b r i ds y s t e m s w a n gw e i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e f 8 i t y j i n a n ，s h a i l d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yu v a r i a t i o n 以l ”p u n o vm e t h o dt o8 t u d ys t a b i l i t y a n db o u n d e d n 嚣sf o ri m p u 】s i v el w b r i d 盯s t e m s 稿f o l l o w 8 i 一= ，0 ，z ，a i ( z 七) ) ， ( i ，t i + l l ， z ( t 毒) = 。 ，z ：= z k + ( 霉k ) ，七= o ，1 ，2 ， ( ，) l 以= 口( “) ，0 ( 勘) 兰o ，z ( 亭) = 勋， w h e r e ，( f ，z ，k ( ) ) = f ( f ，。) + r ( t ，z ，儿( “) ) ，f e r “，尼讯兄c ( r + 舻兄“，舻】，厶c 【俨，舻】，儿c 【酽，砂】，= o ，1 ，2 i ti sk n o w nt h a tt h ep h e n o m e n ao fi m p u i s i v ew i d e l yc x i s ti nt h cp r a c t i c a j p r o b l e r r l so fm a n y 矗e l d si nt h em o d e r nt e c h n o l o g y ，m a r 秽o ft h e mc a nb cd c s c r i b c d b yi m p u l s i v ed i k r e n t i a ls y s t e m s b u tw i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ct c c h n o l o g y ，t h e r ea r eal o to fn e wk i n d so fm a t h o m a t i c a lm o d e l st h a tc a nn o tb ed e s c r i b c db y t h ei m p u k i v ed i 髓r e n t i a ls ”t e m s i i lt h i sc a s e ，w r es h o u l ds w i t c ht oan c ws e to f d i 任b r e n t i 8 le q u a t i o n st a “n gi n t oc o n s i d e r a t i o nm o m e n t a r yp c r t u r b a t i o n so fi n 卜 p u l s i v en a t u r c ag e n c r a ld c s c r i p t i o no fs u c hs y s t c m sw a sc a l l c di m p u l s i v es y s t c m s w i t hv a r i a b ks t r u c t u r c 】m p u b v eh y b r i ds y s t e mi sas p e c i a lb u ti m p o r t a n tc a s c o f i t ，i t sc h a r a c t e r i s t i ci st h a ti t se q u a t i o n si nd i 髓r e n tt i m ep e r i o d sm a yb ed i 舱r - e n ta n dt h ee q u a t i o ni nt h el a t t e rd e p e n d so nt h ef o r m e r w h c nt h ec q u a t i o n si n t h ed i 抒每r e n tt i r n ep e r i o d sa r et h es a m e ，i m p u i s i v eh y b r i ds y s t c mr e d u c t ot h e i m p u l s i v ed i h b r e n t i a ls y s t e m s i m p u l s i v ch y b r i ds y s t e mi st h cf u r t h c re x t e n s i o n o fi m p u l s i v ed i & r e n t i a ls y s t e m s i nr e c e n ty e a r s ，i m p u l s i v el l y b r i ds y s t e mg e t sm u c ha t t c n t i o nf r o mm a n ya u t h o r sh 5 7 1 6 1 7 船一矧b u ts 0f a r ，t h em e t h o do f s t u d yi so n l yt h el y a p u n o vf u n c t i o n d i r e c ta n dc o m p a r i s o nm e t h o d r e n c 豇l t i ys o m ea u t h o r su s ec o n c 一、，a l u e dl ) ，a p u n o v f u n c t i o nm e t h o da n dg e tn e wa c h i v i n e n t s l b 2 1 1 s j n c e ，( ，z ，k ( 瓢) ) = f ( ，甸+ r z ，k ( 矾) ) & n d w e c o 心d e r r ( t ，z ，k ( 瓤) a s t h ep e r t u r b a t i o no f 一= f ( ，) w bk n o wt h a tv a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o n 3 山东师范大学硕士学位论文 m e t h o di sal l s e 柚t o o l i nt h ei n v 皓t i g a t i o 璐o ft h ep e r t u r b e ds y s t e m s 帅，圳b a s c d o nt h i si d e a ，w eu v 盯i a t i o n a ll y a p u n o v 觚c t i o nt os t u d yt h es t a b i l i t yt h ei m p u m v eh y b r i ds y s t e m i fv e c t o rk r a p u n o vf u n c t i o ni sl i s e dt o8 t u d yt h ei m p u b i v eh y b r i ds y s t e m ，a n u n p l e 硇a n tf a c ti 8t h er e q u i r e m e n to fa ( 1 u 够i m o n t o n en o n d e c r e 鹊i n gp r o p e r t yo f t h ec o m p a r i s o ns y s t e m sa n dt h i 8p r o p e r t yi st o os t r o n gt ol i i i l i tt h ea p p l i c a t i o n f l l 1 司 t bs 0 1 v et h i sp r o b k m ，w ec a nc l l o o 8 u i t a b l ec o n ez 逾w h i c hq u a s i m o n t o n en o n - d e c r e a s i n gp r o p e r t ys a t i s i i e d 1 bp a ya t t e n t i o n ，w es h o u l dc h o o t h e8 a m ec o n e zi nw h i c h 夕( ，s ，“功8 a t i s f yq u i m o n t o 舶n o n d e c r e a s i n gp r o p e r t yt op a n d 以 t k c o n o e p 乇si nt e r 矗臻d ft 劝盥e 8 s u r 韶d e s c r 南ei 】l i “8 jv a j u ea n ds t 8 t eo f s o l u t i o ns e p a r a t e l yb ym e 枷0 ft w om e 嬲u r 荫，i te n a b l el i st ou n i f yav a r i e t yo f 8 t a b i l i t yn o t i o f o l i i l di nt h el i t e r a t l i r e f l 3 ，1 8 一删w h e nl l s i n gv a r i a t i o n a ll y a - p u n a vf u n c t i o nt o8 t u d yt h ei m p u l s i 、，el l y b r i ds y s t e m ，w ec h o o s eas 锄ei n i t i a l m e 船u r e s ，l o ；w h e nu s i n gc o n e v a r i a t i o n 蛆l y a p u n o vf u n c t i o nt o8 t u d yt h ei m p u l - s i v eb y b r i ds y s t 锄，w es h o u l dd c f ym e 嬲u r 明q o ，qi nt h cc o n e z b a 8 e do n t h e 妣a sa l l t h ea b o ，t h i sp 8 p e r i 8 d i d e d i n t o t w oc h a p t c r s ： i nc h a p t c ro n e ，w eu 、，a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o nt os t u d yt h cs t a b i l - i t ya n db o u n d n e 鹅o ft h ei m p u l s i v eh y b r i ds y s t e ma n dg e t ( o ， ) 一8 t a b n i t ya n d b o u n d n e 鹃t h e o r y i nc h a p t c rt w o ，w eu s ec o n ev a r i a t i o n a ll y a p u n o vf h n c t i o nt os t u d yt h es t a b i l i t ya n db o u n d n c s so ft h ei m p u l s i 、r eh y b r i ds y s t e ma n dg e t ( o ) 一s t a b 订i t ya n d b o n n d n e s st h e o r y r k e y w o r d s ：i m p u l s i wh y b r i d8 y s t e m ；v a r i a t i o n a ll ”p u n o vf u n c t i o n ；c o n c 、，a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o n ；( q o ，q ) 一8 t a b i l i t y ；( q o ，q ) 一b o u n d n e 鹋 c i a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 1 4 山东师范大学顾十学位论文 第一章 变分l y a p u n o v 函数与脉冲混合系统的稳定性质 1 1 引言 众所周知，脉冲现象普遍存在f 现代科技各领域的实际问题中，其数学 模型往往可以归结为脉冲微分系统。人们对脉冲微分系统进行了深入的研究， 取得了显著成果【“3 ，5 7 ，9 2 卅。但是随着科学技术的发展，出现了许多新的数 学模型，仅用脉冲微分系统是无法恰当描述的。这时，需要将系统切换到一组 新的微分方程。这类微分方程包含带有脉冲特性的瞬时摄动，而本文要讨论 的脉冲混合系统就是其中一种特殊而重要的形式。 脉冲混合系统的研究受到了许多关注h 5 t 7 ，1 6 t ”t ”一3 3 l ，但方法主要足采用 l y a p u n o v 函数直接方法、比较方法和锥值l y a p u n o v 函数方法。由于脉冲混 合系统中，( ，o ，h ( z ) ) = f ( o ) + j r ( t z ，k ( ) ) ，可把r ( ，z ，k ( “) ) 看作 一= f ( ，z ) 的一个摄动项，利用变分l y a p u n o v 函数米研究。本章在第三节和 第四中分别建立了变分参数公式和变分比较原理。值得注意的足脉冲混合系 统自身的特点决定了比较系统中的口( ，“，) 要满足关。j ：i ，单调不减。在此基 础上，第五节和第六节建立了脉冲混合系统关于两个测度的稳定十牛和有界性 的判定定理。最后给出了一个例子，体现了本章定理的应用价值。 1 2预备知识 考虑脉冲混合系统 iz = ，( ，z a 女( z ) ) ，( k f + l j z ( f 毒) = z 毒，z 毒= z t 十厶( z ) ， 膏= o ，l ，2 ，( ，) lz k = z ( f ) ， ，0 ( z o ) 兰o ，z ( f 寺) = z o ， 其中，( ，卫a ( 。七) ) = f ( ，卫) + r ( ，z ，a i ( “) ) ，r ( f ，z a ( z 寿) ) e f | r + r “ 厅m ，疗”1 ，c f r + 胛，疗“】，七c 【斤“月“】，h e 【胛，月m 】，岛= o ，1 2 ，一 与系统( ，) 相对廊的常微分系统 t 掣 ( ，) i ”( 击) = z o ， 、 5 山东师范大学硕士学位论文 其中f g 【兄+ 舻，兄”】，七= 0 ，1 ，2 ， 下面我们设z ( t ) = z ( ；如，勘) 及可( ) = ( 如岛，知) 分别为系统( 硝j j ) 过 ( t o ，。o ) 的任一解。在研究脉冲混合系统( f ) 的稳定性之前，我们假设f 正厶 满足一定的条件以保证系统( ，) ( ，) 的解整体存在唯一。 为方便起见，引入下列函数类； r = ：风舻一日，在( “，“+ l 】舻上连续，对任意的z 舻，七= o ，1 ，2 ，l i m 托f ) 叶滞，砷j i l 们= ( 喜，z ) 存在且i i l f ( ，z ) ；o ) ； k = 妒e r + ，r + 1 妒( o ) = o ，妒( “) 关于t 严格递增) ； c j f = c 【辟，兄+ 】，对r + ，n ( ，让) 首先我们给出一个引理。 引理1 2 1 嘲假定系统( f ，) 满足! ! 铲存在且连续，则 ( j ) 型毙出，划畿越是系统 z = 日( ，y ( f ；f o ，如) ) z 的解且 掣= 一f ( 幻，知) ，掣= ， ( i i ) 有下列等式 掣+ 掣f ( 岛，卸) e o a oa 如 ” 在本文中我们总假设掣存在且连续 1 3变分参数公式 这币我们主矍喇述脉j 申混舍糸玩耍分l y a p u n o v 幽裂嗣基卒思想。 ( i ) 令p ( s ) = p ( ；s ，z ( s ) ) ，s c ，s ( i ， + l 】 当s ，l 】时，有 即) = 掣+ 掣m 狮0 ) ) ：翌丛! ! ；业( p ( 。，z ) + r 扣，z ，知( 。) ) ) ：掣r ( ，k ( 知) ) 6 山东师范大学硕士学位论文 对s 从t o 到t l 上积分可得 p 0 1 ) 一p ( o ) = j p ( f ) d f ， 即 y ( t ；t l ，z 1 ) = 掣0 ；t o ，z o ) + p 7 ( f ) d f 当8 = 时， f 0 ； ， ) ：= 剪( 如t ，z l + ，1 ( z 1 ) ) = 掣o ；t 1 ，z 1 ) + ，l ( z 1 ) = ! ，( t ；如，蜘) + 尸7 任) 武+ 0 1 ) ， 其中 z l = y ( t l ；t l ，z 1 ) = 分( t l ；t o ，z o ) + p ，( f ) d f 当s ( l ，2 】时，同理可得 p ( ；2 ，耽) = f ( ； ，z ) + 尸7 ) d f j t ，1，堙 2 ( 州。，蛳) + 厶( ) 埏+ ，任) 必+ ，l ( z 1 ) ，t o jc 丁 当s = 耋时，有 ( ；，z 手) = y ( ；t 2 ，z 2 + ，2 ( z 2 ) ) = 可( t ；2 ，) + ，2 ( z 2 ) 砒f 0 1 础+ r 1p ，武+ z 2p ，武州+ ，2 ( 瑚，j bj 玎 其中 如毗，f 2 ，瑚毗，砌+ r 1 脉卅+ ，l ( 此过程进行下去，不妨设( “，+ l 】，则当s ( “， + l 】时，有 ( ，s ，z ( s ) ) = 口( 叫。，知) + r 1p ，( ) 武+ + 石p ，( f ) 必+ ，l ( z - ) + + ( z t ) 特别地，当5 = 时，有 z ( “。，z 。) = ( 。，粕) + r 1p ，( ) 必+ + p ，( f ) 必+ ，l ( z - ) + + 厶( 钆) ， 其中 戤吼沌矧吼1 0 胁) + f 1 脉肼e 魄) 必 7 山东师范大学硕士学位论文 扣一。州。船，l ( n ) + k “- 1 ) ( i i ) 下面我们用变分l y a p i l n o v 函数建立变分参数公式 令p ( 8 ) = y ( s ，( t ，8 ，牙) ) ，其中矿：r + j p + r + 当s 【o ，l 】时，有 脚) = 业訾趔+ 业普剑( 塞+ 塞小，讪) ) ) = 堂訾剑+ 盟警剑( 塞+ 塞( 即，卅即 ) ) ) )o s0 褂 0 8o z = 坐訾剑+ 坐等迹象脚舳( 酬口s 四 对s 从t o 到t 1 上积分可得 y ( i ，暑，( ；t l ，z 1 ) ) = y ( o ，y ( t ；o ，z o ) ) + p 7 任) d 专t ，f l j 幻 当5 = 计时，有 y ( t ，掣( ； ，z ) ) = y ( ，可( t ； ，z l 十 ( z 1 ) ) ) = y ( t ，! ，( t ；l ，z 1 ) + ，1 ( z 1 ) ) 兰矿0 1 ，f ( ；1 z 1 ) ) + 当s ( t l 2 l 时，同理可得 ，“ y ( 2 ，y ( f ；2 ，z 2 ) ) = y ( ，f ( ；圩，z ) ) + ，j p ( f ) d j f ，t l，b = y ( 如，y ( ；t o ，知) ) + 尸，( f ) 武+ p ，( f ) + u j l oj t 此过程进行下去不妨设( + l l ，则当s ( + l 】时，有 ，c i，s y ( s ，y ( ，s ，z ( s ) ) ) = y ( o ，( ；c o ，知) ) + p 旺) d 善+ + ，jj p 7 任) d 专+ m + + 诈 ，no l 特别地，当s = 时，有 y ( t ，z ( ；f o ，粕) ) = y ( 如，y ( t ；o ，粕) ) + p ，( f ) 武+ + fp 7 ( ) 必+ + + 磙 ，0o 1 4 变分比较原理 首先我们假设f ( ，0 ) 兰0 ，( ，o ，九( o ) ) 量0 以保证系统( ，) ( ，) 零解的存 在性。此时我们只需讨论系统( ，) ( ) 零解的稳定性质即可 8 山东师范大学硕士学位论文 我们引入变分l y a p u n o v 函数y ( s ，( f ，8 ，$ ) ) ：兄 舻一兄 ，称y k 若y 满足：( 1 ) 对所有的七，y 在，“+ l 】舒上连续且一阶导数可积，并对 v z 舻， l i m y ( ，f ) = y ( “，z ) ； “，v 卜啦脚 ( 2 ) y 关于z 满足局部l i p s c l l i t z 条件 y ( s ，y ( ，s ，z ) ) 关于系统( ，) 的d i n i 导数d + y ( ，s ，z ，! ，z ) 定义如下： d + y ( ，8 ，z ，掣，名) = d + 矿( 5 ，暑，( ，s ，z ) ) 1 = 也恐s t l p i 【y ( s + _ i l ，暑，( ，s + ，l ，z + ，( 8 ，毛a ( z ) ) ) ) 一y ( s ，( ，s ，z ) ) 】ts ，“ 2 且充分靠近幻时，有m ( t ) t 。( ) ，与( 1 4 3 ) 矛盾，证毕 9 山东师范大学硕士学位论文 下面我们给出一个脉冲混合系统作为比较系统 iu ，= 9 ( t ，s ，t ，“( t ) ) ，ss ，“ 5 七+ l ， 钍( 喜) = t t ，砧= 诹) ， ( ，z ，) lu k = t ( “) ，妒0 ( t o ) = t 幻，t ( 亭) = “o ， 其中旦：月；x 盛冗一月在( 缸，o 抖l 】上关于5 连续，七= o ，1 ，2 ，对每一 个t 只+ 及对所有的七，有 l i m 9 ( t ，s ，t ，( ) ) = 9 ( t ，啦，u ，靠( 咄) ) “o m 一( t ，t z u ) 成立，且g ( t ，s ，t ， ) 对任意的( 厶s ，t ) 关于 单调不减，饥( ) c 风，兄+ 】且 妣( 钍) 关于让是单调不减的，靠( 牡) g f 皿，用且取( t ) 关于缸是单调不减的 定理1 4 1假设y ：凰舻一风且y ，! ，( t ，5 ，z ) 对任意的( ，8 ) 关于z 满足局部l i p s c h i t z 条件且满足下列条件： 0 ) d + y ( t ，s ，z ，暑，z ) 9 ( ，s ，y ( s ，y ( t ，s ，) ，口女( y 0 ，p ( ，“，z ) ) ) ) ，其中s t ，“ 5 i + l ，女= 0 ，1 ，2 ； ( i i ) y ( 8 暑，( ，8 ，z + 艮( z ) ) ) s 识( y 0 。挈0 ，s ，。) ) ) ，善= 如，奄= l ，2 ，； 设1 ( f ，s ，o ，t o ) 是系统( ，) 的过( t o ，“o ) 的最大解，则当y ( o ，0 ；o ，z o ) ) u d 时，有 y ( s ，y 0 ，s ，z ) ) 茎7 ( ，s ，如，l l o ) ，o ss ( 1 4 4 ) 特别地。当s = 时，有y ( ，z ( ，o ，) ) 彳( ，；o ，“o ) ，其中彳( ；7 0 1 l o ) 兰 7 ( ，o ，t o ) 证明：设( ) = 可( s ，z ( s ) ) 是系统( ，) 在陋o 】上的以( s ，z ( s ) ) 为初始值 的任一解且满足y ( 知，i ( f ；f o ，知) ) 蛳令m ( ，s ) = 矿( s ，“，s ，z ) ) 当“ 0 ，有 m ( ，s + 彤一m ( ，s ) = y 和+ ，y ( ，s + ，z p + ) ) ) 一矿( s ，( ，s ，z ) ) y ( s + ，l ，掣( f ，s + ，卫( s + ) ) ) 一y ( s + ，y ( ，s + ，z + j i l ，( s ，z ( s ) ，a 女( z ) ) ) ) + y 0 + ，弘( f ，s + ，z + ，( 5 岱( s ) ，丸( 钆) ) ) ) 一y ( s ，暑，( ，s ，z ) ) 由于对每一个( ，s ) ，y ( ，z ) 及y ( t ，s ，动关于z 满足局部l i p s c h i t z 条件，故 可得 d + 仃l ( ，s ) g ( ，s ，仃i ( ，s ) ，盯 ( m ( ，“) ) ) ，s ，“( s “+ i 又 ( ，t o ) = y ( o ，暑，( c t o ，锄) ) s 锄，故当5 【o ，l 】时，由引理1 ，4 1 知， m 0 ，5 ) 1 b o ，s ，t o ，t o ) ，8 ，幻ss t l ， 其中加( ，s ，o ，蛳) 是t ，= 9 ( ，s ，v ) 的满足口= 印( 缸o ) ，伽( ，o ，o ，u d ) = 的 最大解。特别地。当s = l 时，有m ( ，1 ) r o ( ，l 幻，o ) 1 0 山东师范大学硕士学位论文 又妒l ( “) 关于“单调不减，再由可得 价( ， ) 妒l ( 伽( ，t l ，o ，) ) 圭t 同理可得 m ( t ，s ) 7 l ( ，s ，t ，t ) ，占t ，l 5 2 ， 其中1 l ( ，s ， ，“) 是t ，= 9 ( ，8 ，t ，w ) 的满足口= l ( u 1 ) ，y l ( ，f ，讨) = 的最大解。 重复上述过程，当z ，如+ l 】时，有 m ( t ，占) 1 b o ，s ，：，) ，8 t ，t i s s t + 1 ， 其中饥( ，8 ，毒，t ) 是t ，= g ( t ，d ，地口) 的满足t ，= 靠0 ) ，讯( ，毒， ，) = 缸善 的最大解。 我们令 f t ( f o ，蛳) = l t 幻，s = o ， 饷( t ，s ，o t o ) ，y l ( ，邑 ，u s 【o ，l l ， ，$ ( l ，f 2 】， 即可得 ，n “，s ) 牡“，s ，z o 。t 幻) ，o s # 又7 ( ，s 。o ，“o ) 是系统( ，) 的过( o ，缸o ) 的最大解，则有 矿( s ，争( ，s ，f ) ) 7 ( 南导，幻，缸o ) ，f o ss 特别地，当s = t 时，有 y ( ，z 0 ) ) 彳( ，o ，f 幻) ， 其中彳( t ，o ，u o ) 三7 ( ，o ，n o ) ，证毕。 注：定理1 4 1 用变分l y a p u n o v 函数建立了系统( ，) ( ，州，) 三个解之间 的联系在此基础上，可以通过相应的常微分系统的稳定性质得到脉冲混合 系统的稳定性质。 推论1 4 1 定理1 4 1 中，若，( ，) 塞o ，则f ( ，s ，z ( s ) ) iz ( s ；t o ，知) 定理 l ，4 ，1 的结论简化为：当矿( 勘) s “o 时，有y ，z ( t ) ) s ，y ( ；c 0 ，锄) ，t o ，朗 为4 1 中定理2 1 的结论 推论1 4 2 定理1 4 1 中，若系统( ，) 中9 ( ，s ，t ，巩( ”三o ，均= y ( t o ，y ( ；c o ，t o ) ) 且满足： 1 l 山东师范大学硕士学位论文 ( i ) 对所有的七，讥( “) = “，则有 y ( t ，o ( t ；t o ，知) ) y ( t o ，( t ；t o ，z o ) ) 特别地，当y ( t ，= 忙0 时，有忪( t ；如，知) 0 恬( ；o ，如) 叭 ( i i ) 对所有的七，仇( ) = ( 1 + 以) t ，以芝0 ，则有 y ( ，z ( t ；幻，粕) ) 矿( o ，g ( t ；t o ，z o ) ) ( 1 + d i ) ，f o ，t “1 1 幻s “兰t 特别地，当y ( ，z ) = 肛l l 时，有 愀；如m ) | l 愀t ；o ，z o ) l l ( 1 + d k ) ，( “，1 推论1 4 3 定理1 4 1 中，若系统( ，) 中g ( f ，s ，“，“( 讥) ) = 风u i ，饥( 乱) = ( 1 + 以) u ，也20 ，脚= 矿( f o ，! ，( i 如，知) ) ，则有 y ( ，z ( ；t o ，z o ) ) y ( o ，掣( ；t o ，王o ) ) 【1 + 也+ 仇( 一“) 】 n f l + 略一i + 房一l ( o 一岛一1 ) 】，( 靠，z 女+ z 】，詹= o ，1 2 一 j = l 特别地，当y ( ，z ) = 0 2 0 时，有 | | ( ；f o ，z d ) 0 0 可p ；o ，粕) i i f l + d k + 凤( 一“) j f l + 吩一l + 岛一z ( 白一一，) 】，( “，f 女+ l 】是= o ，1 2 - 推论1 4 4 定理1 4 1 中，若系统( ，j ，) 中9 ( 。s ，u ，吼( u k ) ) = a u + 凤u k ，q o ，仇( 让) = ( 1 + 以) 让，如0 ，u o = y ( o ，y ( t ；o ，跏) ) ，则有 v ( ，。( ；o ，z o ) ) y ( o ，掣( ；mz o ) ) 【e 。( 一“( 1 + 以) + 尝e 。“一- 】一1 l o h 眇咄1 ( 1 + 圳+ 等e 叫“一l 胁( 训，- 0 1 2 j 一 特别地，当y ( ，z ) = 忙0 时，有 l z ( c ；o ，粕) “o g ( ；知，z 。) ( 矿( t 一“( 1 + d t ) + 尝e 6 8 。 一1 i i6 p 啦吩i ( 1 + 由一1 ) + 等e 嘶咄1 一l 】，f ( 训础七= o _ l 2 j = 推论1 4 5 在定理1 4 1 中，若 ( i ) d + y ( 5 ，可( ，s ，o ) ) s c ( h l ( s ，掣( t ，s ，z ) ) ) 入( 8 ，盯k ) ，5st ，“ 0 为常数，_ l l r ； ( f ) y ( t 毒，( ，t 毒，霉 ) ) y ( “，( t ，t i ，孤) ) ，七= 1 ，2 ，- ； 则当t2 岛时，有 y o ，。8 ；。，。) ) sy ( 。，y ( t ；。，。) ) 一薹：l 。( h ，扣，y ( ，。，。) ) ) a 。，以) d 。y o ，8 ；o ，z o ) ) sy ( o ，y ( t ；o ，。o ) ) 一乏二f c ( h 1 扣，y ( ，s ，z ) ) ) a o ，以) 幽 = oj “ 一c ( _ i l ( s ，y 0 ，5 ，z ) ) ) a ( s ，a ) d s ，t ( t ，t i + l 】 证明：不防设“ f s + l ，s f 当“ o ，使得当j i l o ( ，石) o ，使得当 ( t ，z ) o ，使得当 ( ，z ) r 时，有 y 0 ，z ) sn ( ， ( ，o ) ) ( 谢) b 一渐小：如果( i ) 中的n k 定义1 5 3 设a ：r + 兄一风是可测函数，若对任意