（交通信息工程及控制专业论文）现代谱在UM2000信号检测中的探讨.pdf

北京交通大学硕士毕业论文摘要 y5 8 6 3 8 2 摘要 我国铁路所使用的信号制式主要采用移频键控 ( f s k) 信号的模拟轨道 电路和调频 ( f m) 信号的数字编码轨道电路。 这两种信号的共同特点是信 号的频谱是离散的，可以采用频谱估计方法来检测。 频谱估计现在普遍采用经典谱估计法，因为它的理论和实践经验都很 成熟。但是它也具有一些缺点，影响了频谱的分辨率。 提高频谱分辨率的方法有频谱细化和现代谱估计法。其中频谱细化方 法是在经典谱估计方法的基础上进行了一些改善，达到了提高频谱分辨率 的目的。现代谱估计法是比较新的一种算法，它是一种基于参数模型的算 法，在一定程度上克服了经典谱估计的缺点，分辨率较高，但缺少实践。 本文首先分析了经典谱估计法、 频谱细化方法和现代谱估计法的特点， 并用ma t l a b 软件进行了仿真比较，找出各种方法的优缺点:然后选用现代 谱估计方法，以u m2 0 0 0 轨道电路的f m信号为例，仿真实现了 信号编码 和译码的整个过程，并通过不同的信号对现代谱估计法进行验证，检测其 实用性。 在理论研究和软件仿真的基础上，论文最后设计了基于d s p 技术的方 案，实现了 现代谱估计法在u m 2 0 0 0 信号检测中的应用。 关键词:经典谱估计，现代谱估计，高分辨率，频谱细化， u m 2 0 0 0 信号 导 师 同 趁 北京交通大学硕 卜 毕业论文ab s t r a c t abs tract t h e s i g n a l m o d e u s e d i n r a i lw a y c h i e fl y i s a n a l o g t r a c k c i r c u i t o f f r e q u e n c y - s h i ft k e y i n g ( f s k ) a n d d i g i t a l t r a c k c i r c u i t f r e q u e n c y mo d u l a t i o n ( f m) . t h e c o m m o n c h a r a c t e r i s t i c o f t h e t w o s i g n a l s i s t h e s p e c t r u m o f s i g n a l s i s d i s c r e t e a n d c a n b e a n a l y s e d u s i n g s p e c t r u m e s t i m a t e m e t h o d s . t r a d i t i o n a l s p e c t r u m e s t i m a t e i s i n c o m m o n u s e , b e c a u s e t r a d i t i o n a l s p e c t r u m e s t i m a t e s t h e o ry a n d e x p e r i e n c e a r e p e r f e c t . b u t i t h a s s o m e s h o rt c o m i n g s a n d i n fl u e n t t h e r e s o l u t i o n . m e t h o d s i n o r d e r t o i m p r o v e t h e r e s o l u t i o n a r e s p e c t r u m z o o m a n d m o d e m s p e c t r u m e s t i m a t e . s p e c t r u m z o o m i s b a s e d o n t r a d i t i o n a l s p e c t r u m e s t i m a t e a n d h a s s o m e m e l i o r a t i o n a n d i m p r o v e d t h e r e s o l u t i o n . m o d e r n s p e c t r u m e s t i m a t e i s a n e w m e t h o d a n d i t b as e s o n p a r a m e t e r m o d e l m e t h o d . i t c a n o v e r c o m e t h e s h o rt c o m i n g o f t h e t r a d it io n a l a n d h a s h i g h r e s o l u t i o n , b u t i t s t h e o ry a n d e x p e r i e n c e a r e s t i l l i n c o m p l e t e . t h i s p a p e r f i r s t l y s t u d i e d t h e c h a r a c t e r i s t i c o f t r a d it i o n a l s p e c t ru m e s t i m a t e , s p e c t r u m z o o m a n d m o d e m s p e c t r u m e s t i m a t e , a n d t h e n u s e d ma t l a b a n a ly z e d t h e s e m e t h o d s a n d f o u n d th e i r m e r i t s a n d s h o rt c o m i n g s . i n t h e e n d t h i s p a p e r c h o o s e s m o d e r n s p e c t r u m e s t i m a t e a n a l y z e d s i g n a l o f u m2 0 0 0 , a n d r e a l i z e d a l l p r o c e s s o f c o d i n g a n d d e c o d i n g . m o r e o v e r t h e p a p e r u s e d d i ff e r e n t s i g n a l s t o c h e c k m o d e r n s p e c t r u m e s t i m a t e . o n t h e b a s i s o f t h e o ry s t u d y a n d s i m u l a t i o n , t h e p a p e r h as d e s i g n e d t h e s c h e m e b a s e o n d s p a n d r e a l i z e d t h e a p p l i c a t i o n o f m o d e m s p e c tr u m e s t i m a t e i n u m2 0 0 0 . k e y w o r d: t r a d i t i o n a l s p e c t r u m e s t i m a t e , h i g h - r e s o l u t i o n , s p e c t r u m z o o m m o d e r n s p e c t r u m e s t i m a t e , u m2 0 0 0 s i g n a l 北京交通大学硕士毕业论文第一章序论 第一章序论 1 . 1 我国铁路信号系统的现状 列车运行控制系统分为地面子系统和车载子系统两部分，车载子系统 需要地面提供必要的信息。目前，我国采用轨道电路的传输方式来向列控 车载设备提供信息。 我国铁路所使用的信号制式主要有两种:一种是采用移频键控 ( f s k ) 信号的模拟轨道电路， 包括8 信息移频信号、1 8 信息移频信号、法国u m 7 1 移频信号和z p w-2 0 0 0 移频信号:另一种是采用调频 ( f m)信号的数字编 码轨道电路，即引进的法国t v m4 3 0 系统中的u m2 0 0 0 信号制式。 其中8 信息和1 8 信息移频信号载频采用5 5 0 , 6 5 0 , 7 5 0 , 8 5 0 h z 四种频率， 分别传送8 种和1 8 种低频信息; u m 7 1 移频信号的载频采用1 7 0 0 , 2 0 0 0 , 2 3 0 0 , 2 6 0 0 h z 四种频率，可以传输1 8 个连续信息。z p w -2 0 0 0 移频信号是u m7 1 的国产化，其载频仍然采用1 7 0 0 , 2 0 0 0 , 2 3 0 0 . 2 6 0 0 h z 四种频率，低频调 制频率也是1 8 个d 1 u m2 0 0 0 中应用的f m信号，载频也采用1 7 0 0 , 2 0 0 0 , 2 3 0 0 , 2 6 0 0 h z 四 种频率，低频调制频率有2 8 个。目 前，我国已经建成的秦沈 ( 秦阜岛 一沈 阳)客运专线是首次使用u m2 0 0 0 信号制式。 1 .2 铁路常用信号特点及检测方法 1 . 2 . 1 f s k信号 f s k( 频率 键 控) 信号 是 用 两个 频 率f 与儿分别 代 表数 字二 进 制 码的 1 ”与 “ 0 ”来传输信息。如图1 .2 . 1 所示。 f s k 信号的产生通常可采用调频法和键控法两种。 调频法是利用数字基 带信号去控制正弦振荡器的谐振回路参数，这种调频方法产生的f s k 信号， 由于是同一振荡器产生的两个不同频率，在频率变换过程，其相位是连续 北京交通大学硕士毕业论文第一章序论 的， 但由于晶体振荡器的频率可调范围很小， 产生f s k 信号的频率偏移不能 太大。键控法是采用两个独立频率源，由于频率变换过渡点两个独立源的 相位不连续，因而很少采用。 丁一 丁 声“k从气 形八从一 1 图 1 . 2 . i f s k信号 f s k 信号的解调方法分为两大类: 非相干解调和相干解调。 相干解调需 要有两个与发送端同频、同相的本地振荡信号，因而较少采用。非相干解 调方法包括鉴频法、过零检测法和包络检测法2 。 铁路上应用的 f s k 信号是周期信号， 其中 u m 7 1 和z p w-z 0 00信号中的低 频信息为1 0 3 hz 、 1 1 .4 hz 、 1 2 5 h z 、 1 3 .6 hz 、 1 4 7 h z 、 1 5 .8 h z 、 1 6 .g h z 、 1 8 h z 、 1 9 . i h z 、 2 0 2hz 、 2 1 . 3 hz 、 2 2 . 4 hz 、 2 3 . s hz 、 2 4 石hz 、 2 5 7 hz 、 2 6 ， s hz 、 2 7 ， g hz 、 2 9 h z 共18种，间隔为1 . i hz。 其信号的频谱是离散谱， 所以适合用频谱分析 的方法在频域进行检测。 1 . 2 .z f m信号 f m( 频率调制) 是角度调制的一 种形式， 其瞬时频率关 (t)等于未调 制载波的固定频率加上正比 于所加调制波m (l)的时变分量， 可表示为: 关 ( t ) “ fc+ kfm ( t ) ( 1 2 . 1 ) 其中 fc 为 未 调 制 波的 载 频， 常 数k ， 表 示 调 制 器的 频 率灵 敏 度， 将 式 (12 . 1 ) 对时间 进行积分并乘以2 二 得 北京交通大学硕士毕业论文第一帝序论 “ () 一 2 zf t + 2 7tk f 工 m (t )d t ( 1 2 .2 ) 这里设已调波的相角在t = 0 时为零。所以调频波在时域的表示式可写为 ， (， ) = a ,. c o s 2 nf t + 2 )rk f 工 m (t) d t ( 1 .2 .3 ) f m信号的解调称为频率检波， 也叫做鉴频。 实现频率检波有很多方法: 有斜率鉴频法、 相位鉴频法、 符合门鉴频法和脉冲计数式鉴频法等3 ) 1 . 2 . 3 u m2 0 0 0 信号简介 u m 2 0 0 0 信号是一种f m调频信号， 调制信号由多个幅度相同的正弦信 号叠加构成。 采用四个载频进行调制， 在下行方向上采用 7 0 0 h z 和2 3 0 0 h z . 上行方向上为2 0 0 0 h z 和2 6 0 0 h z 。调制信号为从0 . 8 8 h z 到1 7 .5 2 h z , i 13 l 隔为 0 .6 4 h z 的2 7 个正弦信号叠加的组合， 另外设1 个2 5 .6 8 h z 的低频信息作为列车 检 测 信息 4 ,5 1 调制信号的时域表达式为: = 艺a ,5 , s in ( 2 1tf ;t + op , ) + a i, s in ( 2 )zf , t + 9 17 ) :s , = 1 或0 , a ， 为 调 制深 度，p ， 为 初始 相 位， o 二 。 .8 8 h z t)中 x(其 f ( i 二 1 一 2 6 ) = 0 . 8 8 + i x 0 .6 4 h z ，儿 : = 2 5 . 6 8 h z 。 用此调制信号对载频进行调制，得到调频信号，其时域表达式为: ， (， ) 一 a s in 2 nf t + 2 ,- 而现代谱估计则又称为参数化 方法， 它具有频率分辨率高的优点， 因此， 有时又把它叫做高分辨率谱估 计。 经典谱估计的典型 代表是相关函 数 b l a c k m a n - t u k o g ) 法和周期图 法。 其共同特点是对观测数据进行线性运算，并经过加窗、分段和平均处理: 另外还有把观测区间以外的数据假设为零的不合理假设， 从而不可避免地 存在分辨率低、 旁瓣出现、 谱线泄漏、 弱信号被淹没等固有缺陷。 对于传 统谱估计， 只有观测数较长 ( 即数据采样点数较多) 时， 才 能得到较高的 谱估计精度。 加窗可减小泄漏， 但也降低了 频谱分辨率(6 现代谱估计主要有a r ma谱估计、最大似然法、嫡谱估计法和特征 分解法四种。 现代谱估计技术与传统的经典谱估计相比有明显的优点: 分 辨率高，特别适用于短数据序列，且对低信噪比的信号有较高的分辨率。 1 . 4 论文的研究重点及结构 谱估计作为信号处理的重要内容， 是电力科学研究和电力工程评价常 用的数据处理方法。 实际中遇到的信号多带随机性， 而且记 录长度总是有 限的。 对有限长随机信号进行谱估计， 如不掌握其基本理论及算法， 不了 解各种谱估计方法的特点，就很难得到预期、满意的结果。 由于铁路信号中使用f s k 信号比较多，所以对f s k 信号的研究比较多 北京交通人学g y ; 士毕业论文第一章序论 对f m信号的研究要少一些。相对于f f t 而言，现代谱估计是一种比较新的 理论， 有人利用现代谱估计对铁路f s k 信号的检测做过分析研究， 但是还没 有应用在实际的铁路信号接收系统中。 现代谱估计在f m信号的应用研究很 少，因此，现代谱估计在f m信号检测中的应用研究具有现实意义和实用价 值。 本文研究比较了几种谱估计算法，分析各种算法的优缺点，从而找出 一种分辨率比较高、实时性好的谱估计方法。研究侧重点放在现代谱估计 方法上， 采用现代谱估计方法对u m2 0 0 0 信号的产生和检测进行了仿真， 并 设计了基于d s p 技术的实现方案。 北京交通大学硕士毕业论文m-章经典a估汁 第二章经典谱估计 经典功率谱估计的典型代表是自 相关函 数 ( b l a c k m a n - t u k o g ) 法和周 期图法。这两种谱估计法都以快速傅立叶变换 ( f f t )为基本算法。 2 . 1 快速傅立叶变换 一个信号x ( t ) 的傅立叶变换x ( f ) 显示任一频率f 包含在信号x ( t ) 内的 总的强度。 一个信号经过f f t 变换后， 它把信号的时域和频域的描述通过傅 立叶变换联系起来，即 6 f ( c) = 介 (t) e 一， d t 0)cr( 2 . 1 . 1 ) f ( t ) 二 介 (c )e d co t r( 2 . 1 . 2 ) 但。和t 这两个变量是相互排斥的，即若想知道在某一频率口处的 f ( w ) ， 需要知道z ( t ) 在一 。- n时的x ( k ) 只能 假设 为 零。 由 于x ( k ) 只有n个观察 值，因此对每一个固定的延迟n ，可以 利用的数据只有n- 1 - 1 川个， 在 0 一 ( n - 1 ) 范 围 内 ， x n ( k ) = x ( k ) ， 所 以 ， 在 实 际 计 算 r ( n 的 估 计 值 户 ( n ) 时 ， ( 2 .2 . 1 ) 式变为 n- 1 一川 r ( n ) 二 n 艺x ( k ) x ( k + n ) ( 2 . 2 . 2 ) 对 应 于n 点 数 据，r ( n ) 的 长 度 为2 n 一 1 。 对 式 ( 2 .2 .2 ) 的自 相 关 函 数 的 估 计 值r ( n ) 求 傅立 叶 变 换， 便可 得 到 北京 交通大 学硕士毕业论文第二章经典诱估计 ,r . ( k ) 的功率谱为 只( 只 ) =y r ( n ) e - j， l 1 n , ， 因 此叭 鱿 其 错误的 原因 是把补零 后数 据的有效长 度错认为是n j ， 它实 际上仍是 n , ， 即 补零 不能 增加数 据的 有效长 度。 但 补零有一定的 好处: 1 . 可使数据n为2 的整次幂，以 便于使用f f t ; 2 补零起到对原 d f t的x ( k ) 做插值的作用，一方面克 服 “ 栅栏” 效应， 使谱的外观得到平滑: 另一方面， 由于对数据截断时所引起的频谱 泄漏， 有可能在频谱中出现一些难以确认的峰值， 补零后有可能消除这种 现象。 尽管周期图可直接从序列的傅立叶变换求得， 但经过检验发现， 它不 是 真 实 功 率 谱凡 ( 。 ) 的 一 致 估计。 这 意味 着由 序列x ( k ) 不同 的n点 数 据计 算 而 得 的i n , ( n ) 将非 常 不同 ， 即由 x ( k ) 的 一 组 数 据x , ( k ) 算 得的1 , ( n ) 和 由x ( k ) 的另一组n点数据算得的周期图将差别很大。因此，如果我们只 北京交通大学硕 卜 毕业论文 第二章经典1 酬占 计 计 算一 个或 v ( f2 ) 那么无 论n取多大， 也 不能保证i , ( q ) 的 值 接近真正的 功 率 谱， 故 这种 周期图 是 不 可 靠的 。 为了 使 周期图 能 成 为只 ( 。 ) 的 一 致估 计，需要对周期图进行改进。 2 .4 改进的周期图法 改进的周期图方法一般有两种， 一种是平均周期图法， 另一种是平滑 周期图法，下面分别加以介绍。 2 .4 . 1 平均周期图法 将长度为n的随机序列x ( k ) 分成a 段， 每段长m, m= 叼a 。 第; 段 序 列 可 表 示 为 19 1 x ( k ) = x ( i m+ k ) k = 0 , 1 , , . . , m 一 1 i = 0 , 1 , . . . , ,4 一 1 ( 2 .4 . 1 ) 然后求长度为m的各段子序列x ( k ) 的子周期图 i . ( q )艺x ( k ) e - 0 =0 , 1 , . . . , a一 1( 2 . 4 . 2 ) 由概率论的知识可知，对a个具有相同均值m和方差犷的独立随机 变 量xx _ , , 爪， 新随 机变 量x= ( x , + x = 十 十 x k ) i a 的 平均值也是 m ， 但 方 差 则 减 小 为j 2 / a 。 平 均 周 期 图 法 正 是 应 用了 这 一 结 论 ， 即 若 将 i m p) 看作是随机变量 并作一个新的随机变量 ? u ( ) 一 1 i ( ) ( 2 .4 . 3 ) 则此新的随机变量正是对a个子周期图的平均，因此称为平均周期 北京交通 大 学硕士毕业论文第_亲经典i, 0 估汁 图 。 经 检 验， 平均 周 期图1 n a ( ) 是只 ( 。 ) 的 渐 进无 偏 估计。 从理论上讲， 使用这种方法时， 分段的段数越多， 方差越小， 估值偏 差越小。对于固定的记录长度来说 n点数据，分成k段，每段长l) 分段数k增大可使方差减小。 但是， 由于去的减小， 相应的功率谱主瓣增 宽， 所以功率谱估计的分辨率将降低。 因此， 在这种方法中， 偏差或功率 谱分辨率与方差之间存在矛盾需要折中处理。 这种周期图法在实际中应用 得比较少。 2 . 4 . 2 平滑周期图法 由 叙卿一 艺众 n ) e n ， 国- n 一 i . 当 l 等 于 n 一 i 时 ， 得 到 凡( q ) = 月 二一l i i ( q ) =艺 k ( n )e ( 2 .4 .4 ) - ( n - 1 ) 式 中 r ( n ) n- i - 同 一n 艺x ( k ) x ( k + n ) 当 ， 趋 近于n - i 时， 用 来 计 算充 ( 功的 数 据 很少 ， 因 此灵 ( 功的 值 会 随 着n 的 变 化 而 发 生 较大的 起伏，由 此 得到 的1 n ( 0 ) 也 将发生 较大的 起 伏。 这 就是 使周 期图 方差不 能随n-+。 而趋于 零的 原因。 为了 消除l n ( s 2 ) 的 不 一 致性， 可 在( 2 . 4 .4 ) 式中 引 入一个窗函 数。 设窗函 数w ( n ) 是一 个长 度为 2 m一 i 的有限长序列，其中m n，定义如下: 0 5 w 伍) - w ( 0 ) 二 1 c o ( n ) 0 ) ( n ) o ) ( - n ) 0 n 】 m i n 1? m ( 2 . 4 . 5 ) w ( n ) 称为平滑窗。 现将( 2 . 4 .4 ) 的周期图改为: 北京交通大学硕士毕业论文第二帝经典脾沽汁 p ro, ( 。 ) =艺w ( n ) r ( n ) e - j 一艺co (n ) r ( n ) e 一 “ ( 2 . 4 . 6 ) 月 二 一 ( n- 1 )n 二 一 ( m- 1) 上式称为平滑周期图。由 于mq 川 _ n- 1 时，c o ( n ) 二 0 ， 所以 计算周期图 时， 应 使。 k = 1 , 2 , . . . , p ;瓦 r = 0 , 1 , . , m，那么就能求出x ( n ) 的功率谱。 根据参数值的不同，可以分为下列三种情况: 1 ， 如果a , = 0 ，k = 1 , 2 ， 二 ， p ， 则 h ( z ) = 艺b , z - ( 4 . 1 . 4 ) 上式称为移动平均 ( m o v i n g a v e r a g e ) 模型， 简称m a模型， 此模型现在 的输出是现在和过去m个输入的加权和。 m a模型的h ( 习只有零点， 没 有除原点以外的极点，因此又称为全零点模型。 2 . 如果b , = 0 ，r = 1 , . . . , m，b o = 1 h (z ) 二 下1p 1 + 艺 a * 2 - ka k z ( 4 . 1 . 5 ) 上式称为自 回归 ( a u t o r e g r e s s i v e ) 模型， 简称为a r 模型，该模型现在 的 输出是现在的输入和过去的p 个输出的加权和。 a r模型的h ( 习只有 北京交通大学硕士毕业论文第四章现代 in估计 极点，没有除原点以外的零点，因此又称为全极点模型。 3 . 如果a k , b ; 不全为零，则称为自 回归移动平均 ( a u t o r e g r e s s i v e m o v in g a v e r a g e ) 模型， 简称a r m a模型。 上述a r . m a . a r m a三个模型是现代谱估计中 应用的主要模型。 可以证明， 任何有限方差的a r ma或m a模型的平稳随机过程都可以用 可能是无限阶的a r模型来表示。同样，任何a r ma或 a r模型也可以 用可能是无限阶的 ma模型来表达。因此如果在这三个模型中选了一个 与信号不匹配的模型，利用高的阶数仍然可以得到较好的逼近。由于对 a r模型参数的估计得到的是线性方程，故a r模型比a r m a及ma模 型有在计算上的优点。同时， 实际的物理系统往往是全极点系统， 因而在 现代谱估计中被研究最多并广为应用的是a r模型。 4 . 1 . 1 a r谱估计 假设有平稳过程 x , 的n个样本数据，并且用这些样本数据来估计 其功率谱密度p ( w ) 。当使用a r谱估计方法时， 用一个a r模型拟合数 据 ， 通 过 相 应 的 运 算 得 到 其 参 数 气 ， 和 阶 次 p 后 ， 便 可 计 算 p ( w ) 的 估 计 p ( w ) 如下 1 5 . 6 三 p (w ) = 丁 丁 下 万 动 zcp - iwk l 一 兀 “ c “ 1 1 +乙 a 0 .k e ( 4 . 1 . 6 ) 式 中 q ; 是 模 型 残 差 方 差 。 x , 本 身 不 必 是a r 过 程， 通 过 上 面 的 运 算 ， 不 管 x , 是 什么过程， 得到的 是最佳a r 模型 拟 合意义 上的 谱估计。 与经典法中的周期图分析相比， a r谱估计的一个重要优点是它的分 辨率比较高。下面分析a r谱估计的特性: 北京交通大学硕_ 1 : 毕业论义第四童现代l0 估计 假定有 x , 自协方差序列毛 r ( s ) 的开头p + l 个值r ( 0 ) , r ( 1 ) , . . . , r ( p ) 。 若用周期图 法来估计 x , 的 谱密度p ( w ) ， 所得的 估计谱就是 部分自 协方差序列 r ( s ) : j s 1_ o - 0( 因为叫n ) 为白噪声) 。 a r ma参数估计是比较困难的，然而，如只需获得 a r ma谱估计 北京交通大学硕士毕业论文第四章现代谱估汁 原 理 上不 必一 定 要知 道m a部分的 参数b , ， 知 道a r 部分 的 参数a k 就够 了。 对于a r m a过程， 若模型的 输入序列 w ( n ) 与 输出 序列 x ( n ) 都能 被测量或记录，则可以用最小二乘法估计其参数。这种估计是线性估计， 能以 足够高的精度估计模型参数; 若只知输出( x ( n ) ) ， 而不知输入 w ( n ) ) ， 则 无法 确定互相 关延迟r ( k ) 。 后一 种情况下， 式 ( 4 . 1 . 1 5 ) 中 第二 个式子的 自 相 关 延 迟r + ( m ) 将是a r m a ( p , q ) 参 量的 非 线 性函 数， 其参 量估 计是 个非线性优化问题， 不仅无法保证得到最优解， 并且算法复杂、 计算量大。 为了满足工程实际需要，近年来提出了一些准最优方法。 求准最优方法的途径有两个: 一是使用较简单成熟的模型， 二是直接 求a r ma模型参量的准最优算法，即分别估计a r和ma两部分参量， 而估计a r参量用修正的y u l e - wa lk e r 方程法，现在分析后一种方法。 在 ( 4 . 1 巧 ) 式中， 令m = q + 1 , q 十 2 ， 二 ， q 十 p ， 可得 到以 下 矩阵方 程 1 17 1 . r u ( q ) r , ( q + l ) r _ ( q 一 1 ) r _ ( q ) r _ ( q 一 p 一 1 ) u ( q 一 p ) r_( q + p 一 1 ) r r ( q + p 一 2 ) r _ ( q + 1 ) r u ( q + 2 ) r u ( q + p ) ( 4 . 1 resesesesesesesesl - ，.1.j al气:气 丁牛“丰上 q r 1 6 ) 这个方程称为修正的 y u l e - w a l k e r方程。当q = 0 时退化为普通的 y u l e - w a lk e : 方 程。 求 解 ( 4 . 1 . 1 6 ) 式即 可 确定a r m a ( p ，q ) 模型a r部 分 的 参 量。 在这 种谱 估计中， 真实的自 相 关 延迟 序列 r - 0 ) 是 未知的， 只 能由有限个抽样数据序列 x ( n ) , n = 0 ,1 , ， 二 ， n- 1 估计得出。 若采用无偏自 相关估计，即 北京交通大学硕_ : 毕业论文第四章现代语 估计 r c r ( i ) =一n - 1y, 万 v 一 乙 ” ， 1 x ( n ) x * ( n 一 i )( 4 . 1 . 1 7 ) 将( 4 . l 1 7 ) 代入( 4 . 1 . 1 6 ) ， 有 ru ( m ) + 艺a k u ( 。 一 k ) 二 0 q + i s ms q +p( 4 . 1 . 1 8 ) 解上式， 即得a r部分的参量估值o f ( k = 0 , 1 ， 一 ， p ) 。 这种方法所求的估值 a * 常常不够精确， 特别对短的含有噪声的数据， 其结果更差。 上述修正的y u l e - w a l k e r 方程法只涉及使用2 p 个自 相关函 数的适定 方程组的求解。 c a d z o w等人提出， 增加方程中包含的自 相关函数的个数， 可以改善谱估计结果。在这种情况下，若己知自相关延迟估值序列 礼( i ) , i = o ,l , - - . , m一 1 ) ， 则( 4 . 1 . 1 8 ) 式变为 r u ( m ) + 1a k i c ( m 一 k ) = e ( m ) q + 1 5 m _ p + q + l ， 则 ( 4 . 1 . 1 9 ) 式为 超定 方程。 由 于 它使 用更多的自 相关函 数 值， 对延迟大的自 相关函数所含的有用信息加以利用， 因而可以改善估计 性能即提高分辨率。对窄带过程，改善更明显. ( 4 . 1 . 1 9 ) 式的方程组可用最小二乘法求解，即求 a r部分参数估值 a , ( k = 1 , 2 , . . . , p ) 使 h = m i n 艺e 2 ( m ) ( 4 . 1 .2 0 ) 加二 q + 1 ，一 寸|划川1 求解( 4 . 1 .2 0 ) 时， c a d z o f ( - . ， 一 ， cip ) 艺 w建议采用下列目 标函数 y e ( m , n ( 4 . 1 . 2 1 ) m= q i 1 北京交通大学硕士毕业论文 第四令现代i * 估计 其中 e ( m , n ) = x ( n ) x ( n 一 m ) + 艺a k x ( n 一 k ) x ( n 一 m ) ( 4 . 1 . 2 2 ) 上述问题实际上就是曲线拟合问题，为使拟合的更好，引入了加权函数 w ( m ) 。 由 ( 4 . 1 .2 0 ) - ( 4 . 1 .2 2 ) 式， 有如下关于a r ma谱估计的 优化问题的数 学模型 m in 汀( a . . . . . . a , ) ) ( 4 . 1 .2 3 a ) 其中目标函数 f ( a , ， 二 ， a , ) = 叉w ( m ) v . ( - ) + 艺a k un 一 k ) z ( 4 . 1 . 2 3 b ) 用二 口 + 1 式中加权函数w ( m ) 可取为( 4 . 1 . 1 9 ) 式的方差的倒数， 求解( 4 . 1 .2 3 ) 式的 最优 化 jaj 题 ， 即 得 a = ( a i ， . . ， a . i 的 估 值a = a . . . . . . a , t e 求解( 4 . 1 .2 3 ) 式的 优化问题有许多方法， 如c a d z o w等人的矩阵求逆法。 但 由 于( 4 . 1 .2 3 b ) 给出的目 标函数可能出现病态， 特别是当 信噪比高 或p 选择 不当时更严重。 下面用 a r ma 法对 u m2 0 0 0信号做频谱分析，取信号为 x ( t) = 艺a ;s ; s in ( 2 )z jt + rp ; ) , 8 , 取 如 下 序 列 : 1 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 ，1 ， 0 1 ， 0 , 1 , 0 , 1 , 1 ， 0 , 1 ，1 ， 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ，1 ， 0 , 0 e即氏 为1 时， 则x ( t ) 中 含有f 频率分量; 当a ; 为。 时， x ( t ) 则不含有f频 率分 量。x ( t ) 的频谱如图4 . 1 .2 所示: 数据样本点取1 5 0 点， 系统阶数p 取为7 5 0 北京交通大学硕 卜 毕业论文第四帝现代i s 估汁 。pn尸一u助曰芝 f r e q u e n c y ( h z ) 图 4 . 1 .2 a r ma谱估计 从图4 . 1 .2 可以看出， a r m a估计的 频谱与真实的信号谱有一定的 偏 移， 而且对信号比较密集的部分不能进行明确的分辨， 所以不适合用来对 u m2 0 0 0 信号进行频谱估计， 4 .2 最大嫡谱估计法 嫡来源于热力学与统计力学中的 “ 嫡护 ，在谱估计中，使用信息论中 的 墒作为最优准则， 将墒与功率谱结合起来。最大嫡法 ( m e m) 是由 伯 格提出的一种现代谱分析法， 用这种方法可以 预测观测区间以 外的数据， 以 便填补出 一个长很多的时区 8 1 在1 9 6 7 年伯格提出的方法中， 对己 知有限长点上的自 相关函数不加 修改， 而对未知延迟上的自 相关函数按最大墒进行外推。 对于经典的谱估 计 法 ， 其 缺 点 在 于 ; 对 长 度 为n 的 数 据 ， 自 相 关 序 列 仅 仅 能 从 滞 后 因 n ， 假 设自 相 关 为 零 然 而 很 多 信 号 其自 相 关 对 于 因 ) iv 是 非 零 的 ， 这 样 大 大 限 制 了 谱 估 计 的 分 辨 率 及 准 确 性 ， 特 别 对 于 自 相关随k 慢衰减的窄带过程如此。 由于嫡是不确定性和随机性的一个测 度， m e m就等效于为信号序列x ( n ) 寻找一个尽可能随机的自 根关序列。 m e m分析要求，一个平稳的时间序列只计算时窗内自 相关函数符合 已知数据要求， 对时窗之外数据不做任何确定性假定， 而仅仅假设它是随 机的。 在信息嫡为最大的前提下， 将未知的那部分相关函数用迭代方法递 北京交通大学硕十毕业论文第四章 现代潜f 占 计 推出来， 从而使求得的功率谱误差减小， 它能得到比以往的谱估计法更符 合真实随机过程的谱， 有更高的分辨率， 特别适合于数据记录长度比观测 过程中所要分析的最长周期短得多的场合， 而且用它可以导出自 相关矩阵 和最小相位的预测误差滤波器系数， 因此， 这是目前较好的广泛应用的谱 估计方法之一。 目前me m的算法有许多种， 除了伯格最早提出的外推自 相关函数法 之外，还有 自回归分析法，预测误差滤波方法等。 下面介绍me m的具体理论。为了表示的简便起见，随机信号的功率 谱密度s e w ) 与自 相关 1 数( m ) 的关系定义为 s x ( w ) 一 t 艺r - ( m ) e x p ( 一 ，m t ) ( 4 2 . 1 ) 当随机信号按照奈奎斯特采样率来产生随机序列 x 时，抽样周期 : = 上。 ( b 为 随 机 信 号 的 频 带 宽 度 ， 一 般 : = 典， 这 里 : 为 抽 样 间 隔 2 b 2 t 时间，因而b 即为信号的上限最高频率。 )随机序列的 嫡率为【 1 5 1 . l n ( 2 b )+ 共广 _1. t r ( m ) e x p ( - j w m t )jdf