（应用数学专业论文）几类复杂动态网络的聚类同步研究.pdf

s u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r o fa p p l i e dm a th e m a ti c s b y l il u l u s u p e r v i s o r ：p r o f c a oj i n d e s o u t h e a s tu n i v e r s i t y n a n j i n g2 1 0 0 9 6 ，c h i n a d e c e m b e r ，2 0 0 9 一，学位论文独创性声明 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外。允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：导师签名： 点 信 理 本文的主要工作如下； 一、研究了一类具有混合耦合的延时神经网络的聚类同步问题通过构造适当的耦合矩 阵，利用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式方法给出了网络实现聚类同步的充分条件 数值倒子验证了条件的有效性 二、讨论了具有延时耦合的复杂动态网络的牵制聚类同步问题通过设计满足一定条件 的耦合机制，使得网络达到任意预先选定的聚类同步类型，拓展了相关文献中的部分结果 ； 另外，基于网络聚类同步误差状态，自适应地调整耦合强度可以得到个更实用的网络同步 耦合强度 三，提出了类带有随机扰动的耦合延迟神经网络模型结合牵制控制策略，研究了该系 统的聚类同步问题利用随机分析理论和引入自由矩阵，得到了网络聚类同步的充分条件 此外，我们还给出了两种实现网络聚类同步的具体方法 关键词：复杂网络，延时神经网络，延时耦合，聚类同步，l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 函数，圾 线性矩阵不等式，随机扰动，牵制控制 a b s t r a c t a sas p e c i a lk i n do fs y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n o n ，c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o nr e q u i r e st h a t t h es y n c h r o n i z a t i o no c c u r si no n eg r o u pw i t ha n o t h e r ，b u tt h e r ei sn os y n c h r o n i z a t i o na m o n g t h eg r o u p s r e c e n t l y , c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o nh a sr e c e i v e di n c r e a s i n ga t t e n t i o nd u et oi t s a p p l i c a t i o n si nb i o l o g i c a ls c i e n c e ，i n f o r m a t i o ns c i e n c ea n d8 0o n i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t e t h ec l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fs e v e r a lc o m p l e xd y m m a i c a ln e t w o r k sb a s e do nl y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r ya n dp i n n i n gc o n t r o la p p r o a c h e s t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r el i s t e da sf o l l o w s f i r s t l y , c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o ni na na r r a yo fh y b r i dc o u p l e dn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a yi s i n v e s t i g a t e d b yc o n s t r u c t i n gas p e c i a lc o u p f i n gm a t r i x ，s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rc l u s t e r s y n c h r o n i z a t i o na x ed e r i v e db a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u e s i m u l a t i o ne x a m p l e sh a v eb e e ng i v e nt oi u u s t r a tt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e t h e o r e t i c a lr e s u l t s s e c o n d l y , c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o ni sd i s c u s s e df o rag e n e r a lc o m p l e xn e t w o r kw i t hd e l a y e d c o u p l m gb yu s i n gp i n n i n gc o n t r o ls t r a t e g y ac o u p l i n gs c h e m es a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n si s c o n s t r u c t e dt or e a l i z ea r b i t r a r i l ys e l e c t e dc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o np a t t e r n so ft h en e t w o r k t h e p r o p o s e dc o n d i t i o n sg e n e r a l i z et h er e s u l ti nt h el i t e r a t u r e i na d d i t i o n ，ar e l a t i v e l yp r a c t i c a l c o u p l i n gs t r e n g t hw i l lb ed e r i v e db yi n t r o d u c i n gat i m e - v a r y i n gc o u p l i n gs t r e n g t h ，w h i c hi s u p d a t e db yr e f e r r i n gt ot h ee r r o rs t a t e so ft h en e t w o r k l a s t ，t h em o d e lo fc o u p l e ds t o c h a s t i cd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k si sp r o p o s e da n di t sd u s t e r s y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mi ss t u d i e db yu s i n gp i n n i n gc o n t r o ls t r a t e g y b a s e do nf r e em a t r i x m e t h o da n ds t o c h a s t i ca n a l y s i st e c h n i q u e s ，s e v e r a ls u f f i c i e n tc r i t e r i aa r eo b t a i n e dt oe n s u r e c l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o no ft h ep r o p o s e dn e t w o r k f u r t h e r m o r e ，t w os p e c i f i cm e t h o d sh a v eb e e n p r o p o s e dt oa c h i e v ed e s i r e dc l u s t e rs y n c h r o n i z a t i o np a t t e r n k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k ，d e l a y e dc o u p l i n g ，c l u s t e rs y n - c h r o n i z a t i o n ，l y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , s t o c h a s t i cd i s t u r b a n c e s ， p i n n i n gc o n t r 0 1 厶一亿n 单位矩阵； 入m 觚( a ) 矩阵a 的最大特征值； ) i m i n ) 矩阵a 的最小特征值； i 一向量u 的范数，l i 1 i = 、札t u ； i l a l f 一矩阵a 的范数，l i a i f = a m 戤( a t a ) ； p o ( p 0 ) 一p 为对称( 半) 正定矩阵； p y ( x y ) x y 为对称( 半) 正定矩阵； 也= 窑一函数u ( t ) 对t 的导数； 注：矩阵的维数，在没有特别说明的情况下，满足代数运算 摘要 a b s t r a c t 符号和注记 目录 第一章绪 论 1 1 复杂网络同步的研究背景和意义 1 2 神经动力学的研究背景和现状 1 3 本文的主要工作和创新点 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 4 3 4 4 一类具有混合耦合的延时神经网络的聚类同步 背景介绍 模型描述及引理。 主要结果 数值例子 本章小结 复杂网络的聚类同步 模型及预备知识 主要结果! 数值例子 本章小结 一类带有随机扰动的耦合延时神经网络的聚类同步 模型及预备知识 主要结果 数值例子 本章小结 第五章结束语 第六章致谢 参考文献 攻读硕士学位期间发表和撰写的论文 ； ：一 m l 1 2 4 6 6 6加埔堪 玛均殂镐凹 救弛弱惦的 驰 乩 沈 弱 第一章绪论 1 1复杂网络同步的研究背景和意义 所谓网络是由一些结点( 个体) 以及连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来 代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体之间的关系，通常是当两个节点之间具有 某种特定的关系时连一条边，反之则不连边由于复杂网络是研究现实中各类开放复杂系统 的拓扑结构和动力学性质的有力工具，因此致力于揭示复杂网络拓扑结构和功能的形成机制 ，演化规律和动力学过程是非常有意义的近年来，复杂网络的研究吸引了全世界不同领域 ( 包括数学、物理、生物、系统控制、通信技术、社会、经济等) 的科学家们的极大关注，对复 杂网络的定性认识和定量研究已成为网络时代科学研究中的重要挑战性课题 甩网络的观点描述客观世界起源于1 7 3 6 年德国数学家e u l a r 解决哥尼斯堡七桥问题在 二十世纪末，两项开创性的工作揭开了复杂网络研究的新纪元 1 1 1 2 是c o r n e l l 大学的w a t t s 和s t r o g a t z 在1 9 9 8 年6 月发表在n a t u r e 的誓c o l l e c t i v ed y n a m i c so fs m a l l - w o r k d ；另外一 个是n o t r ed a m e 大学的b a r 毛b s i 和a l b e r t 在1 9 9 9 年1 0 月发表在s c i e n c e 上的e m e r g e n c e o fs c a l i n gi nr a n d o mn e t w o r k s ，这两个工作分别揭示了现实网络的小世界效应( s m a l l - w o r l d e f f e c t ) 和无标度特性( s c a l e - f r e ep r o p e r t y ) ，并建立了相应的模型( w s 小世界模型和b a 模 型) 以解释上述特性的产生机理除了w s 网，b a 网之外，还有一些其它的网络模型被提 出，如，改进的n e w m a n - w a t t s ( n w ) 小世界模型【3 】、适应度模型【4 】，局域世界演化模型【5 】 等近年来，人们在刻画复杂网络结构的统计特性上已提出了许多概念和方法，其中有三个 基本的概念：平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 、聚类系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 、度分 布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) ，具体定义见文献 6 】 网络的时空演化具有丰富的动力学内涵，因此网络的动力学分析及同步在网络系统的研 究中占有非常重要的位置同步是指在耦合动力学系统中，通过系统间相互作用使得在不同 初始条件下各自演化的动力系统的状态逐步接近，最后达到相同的状态同步现象在自然界 中相当普遍例如，夏日夜晚青蛙的齐鸣，萤火虫的同步发光，演出时剧场中观众鼓掌节奏 逐渐同步等等如今，同步现象在核磁共振仪，信号发生器、激光设备，超导材料和通信系 统等领域起着非常重要的作用然而，同步现象有时也会有害，如因特网上路由器以同步的 方式发送路由消息，从而引发的网络交通堵塞等进一步了解同步的发生机制，将使人们更 好的利用有益同步，避免有害同步 】 东南大学硕士学位论文 2 随着人们对复杂网络研究的深入，复杂网络上的同步问题由于其重要的现实意义及其普 遍性越来越受到人们的关注在这方面人们主要关注网络的拓扑结构是如何影响其同步能力 的针对线性耦合网络上的同步问题，p e c o r a 和c a r r o l l 于1 9 9 8 年提出了主稳定函数判 据用，完成了耦合振子系统的同步稳定性分析随后，w a n g 和c h e n 具体研究了小世界 网络及无标度网络的同步问题，得到了网络同步的一些结果【明嗍还有一类方法主要应用 l y a p u n o v 泛函、同步流形，和线性矩阵不等式( l m i ) 等给出一些同步判据【1 u 】一【瑚在过去 的十年里，许多不同类型的同步现象得到了广泛的研究，其中包括完全同步 8 1 - 【_ 刀，聚类同 步【1 8 】一【2 1 】，网、相位同步【2 3 【2 5 1 、滞同步【2 4 1 、广义同步 2 2 】等由于其巨大的应用前景， 复杂网络同步的研究已经在国际上引起了很多学者的关注，然而还有很多相关的问题没有得 到解决，值得人们进一步研究 1 2 神经动力学的研究背景和现状 ( 人工) 神经网络不是人脑生物神经网络的真实写照而是一种旨在模仿人脑结构和功能的 人工模型，是一种具有学习，联想、记忆和模式识别等智能信息处理功能的人工系统与当 代的冯诺依曼式计算机相比，神经网络更加接近入脑的信息处理模式，主要特征体现为； 神经网络在信息处理方面具有信息的分布存储，并行计算，存储与处理一体化的特点，而这 些特点必然给神经网络带来较快的处理速度和较强的容错能力；神经网络能够通过预先存储 信息或自适应学习机制，从不完整的信息和噪声干扰中恢复原始的完整信息；神经网络能够 通过对系统输入输出样本对的学习自动提取蕴涵其中的映射规则，从而以任意精度拟合任意 复杂的非线性函数这些特点使得许多传统信息处理方法无法解决的问题采用神经网络后取 得了良好的效果 近几十年来，由于神经网络在信息领域、工程领域、医学领域及经济领域的广泛应用， 神经网络尤其是神经网络动力学行为的研究引起了各界的密切关注和浓厚兴趣1 9 8 2 年，美 国加州理工学院物理学家j j h o p f i l d 教授提出了一种单层反馈神经网络，后来人们将这种反 馈网络称作h o p f i l d 网1 4 s h o p f i l d 教授在反馈神经网络中引入了。能量函数”的概念，这 一概念的提出对神经网络动力学的研究具有里程碑的意义，它使神经网络运行稳定性的判据 有了可靠依据后来，b k o s k o 提出一种双向联想记忆网络模型，记为b a m ( b i d i r e c t i o n a l a s s o c i a t i v em e m o r y ) 神经网络 4 9 】【5 0 】该网络在联想记忆方面的应用非常广泛受细胞自动 机的启发和h o p f i l d 神经网络的影响，1 9 8 8 年，美国电子学家c h u a 和y a n g 提出细胞神经 东南大学硕士学位论文 3 网络模型【5 1 】 锄细胞神经网络是一个大规模非线性模拟系统，具有细胞自动机的动力学性 质1 9 8 3 年，c o h e n 和g r o s s b e r g 提出了c - g 竞争神经网络模型【5 胡，c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型包括了很多神经网络模型作为其特例，例如，h o p f i e l d 神经网络模型，细胞神 经网络模型，联想记忆神经网络模型等 在生物神经网络中，不同的神经系统有不同的触突长度导致了神经元传递的差异，进而 不可避免的产生了信息滞后在人工神经网络中，由于硬件实现中信息传递滞后，响应滞后等 特性的影响，导致滞后一定存在因此为了使神经网络模型更接近实际，更广泛的应用，学者 们提出了相应的时滞神经网络模型如1 9 8 9 年m a r c t u s 和w e s t e r v e l t 提出了延时h o p f i l d 神 经网络模型 5 4 】，而在1 9 9 5 年，y e ，m i c h e l 和w a n g 提出了延时c o h e n - g r o s s b e r g 神经网 络模型 5 5 1 神经网络应用中很多首先要求系统具有唯一的平衡点，比如当神经网络用于求 解优化问题时，要求网络只能有一个渐近稳定的平衡点，它一般对应于某个优化问题的最优 解因此，9 0 年代至今，延时神经网络的稳定性得到了充分研究如c h e l a 利用l y a p u n o v 稳 定性理论研究了延时h o p f i l d 神经网络的全局指数稳定性 5 0 7 ；c a o 和w a n g 研究了一类时 滞递归神经网络的渐近稳定性和鲁棒稳定性【7 】；c a o 和s o n g 提出了一类c o h e n - g r o s s b e r g 型双向联想记忆神经网络模型并具体研究了它的稳定性1 5 8 其它相关研究工作可参见文献 【2 6 】，【5 9 】一【6 1 】对于一些模型人们不再仅仅关心是否稳定的问题，c a o 等还在文献0 6 6 】中讨 论了神经网络模型的耗散性还有一些随机神经网络稳定性的结果最近也得到了研究【6 碉【6 胡 长时间以来，人们对于延时神经动力学的研究主要关注于它的稳定性然而，随着神经网、 络研究的深入，人们发现时滞神经网络模型还有混沌、分叉等复杂而丰富的动力学行为【叫胥 。 由于时滞神经网络的同步在工程实际中具有广泛的应用背景，最近，很多学者开始关注时滞 神经网络的同步问题如c h e n 等研究了一个带有n 个节点的神经网络模型，通过定义任意一 点与同步流形的距离，利用l y a p u n o v 稳定性方法和h e r m i t i a n 矩阵理论，得到了一些保证网 络中节点达到一致的充分性条件【碉；c a o ，c h e n 和l i 将上面的模型进行了推广，提出了一 类带有混合耦合项的神经网络模型，其中耦合项包括常耦合、离散时滞耦合和分布时滞耦合 这三项，并给出了该模型的同步准则其它一些相关研究工作可参见文献【1 0 】，【1 2 】，【7 3 】 我们知道，同步可以分为很多类型，聚类同步是其中非常重要的类型之一，具体内容将会在 后面的章节中详细介绍 如果将1 9 8 2 年h o p f i l d 发表重要论文看作掀起神经网络研究高潮的起点，近3 0 年来， 经过各国相关领域专家学者长期的艰辛探索，神经网络的研究得到不断完善和发展成熟，各 种新方法和研究手段相继提出，应用领域日益扩大，充分展示了这一领域广阔的发展前景 东南大学硕士学位论蔓 4 1 3 本文的主要工作和创新点 本文研究了几类复杂动态网络的聚类同步问题，主要包括( 1 ) 构造了适当的耦合矩阵， 探讨了一类具有混合耦合的延时神经网络的聚类同步问题； ( 2 ) 研究带有延时耦合的复杂网 络的牵制聚类同步问题；( 3 ) 研究了一类具有随机扰动的耦合延迟神经网络的牵制聚类同步 问题具体内容如下： 第一章对复杂网络及神经动力学作了简单介绍，总结了复杂网络和神经动力学的研究意 义与研究现状 第二章主要研究了一类具有混合耦合的延时神经网络的聚类同步问题，其网络模型如下t ，n n 掣：一c x ( ) + a f ( x 删+ b m ( t r ) ) + 耶) + g v ! l d l 巧( ) + g 挈d 2 x j ( t r ) n ，t + 善g 弘一，珈) d s ， 江1 2 ，m ( 1 1 ) 各参数具体定义详见第二章本章首先给出了一些网络实现聚类同步的充分条件，并给出一 个数值仿真的例子说明所得理论的有效性 第三章主要研究具有延时耦合的复杂网络的牵制聚类同步问题，该模型的动力学方程如 下： 也( t ) 五( t ) ， ， n t ) + c l j = l = m z ，l = n t ) + c l j = l r 巧( t ) + c 2 b i j f x j ( t - r ) 一e t ( x i ) 一s f ( ) ) ， 簪 j = l 1 ，2 ，k ， a 巧r z j ( t ) + c 2 b o f x 3 ( t 一7 _ ) ，m 1 j = l ( 1 2 ) 各参数具体定义详见第三章若耦合矩阵a ，b 满足一定的假设条件，我们给出了网络实现 聚类同步的充分条件同时给出了一种具体的通过自适应调整耦合强度使得网络在一个更合 适的耦合强度下达到聚类同步的方法最后对以l o r e n z 系统为单个节点的网络进行了数值 仿真，验证了所得理论的有效性和可实现性 东南大学硕土学位诠蔓 5 第四章主要研究一类具有随机扰动的耦合延迟神经网络的牵制聚类同步同题，该模型的 动力学方程如下。 觑( t ) = 卜( t ) + a f ( 硎) + 励( 戤( t - - r ( ) ) ) + d 上川) 啦( s ) ) 幽+ 邢) + 蔷c 。g 伊巧+ ；d 2 g 乎2 巧( 卜丁) + 蚤3 皤切q 川) 巧( s ) d s + 地( z ) 1 出+ 吼( t ，z 1 ( t ) ，x n ( ) ，z l ( 一7 - ( ) ) ，x n ( t 一7 ( ) ) ) d 咄( t ) ， l = 1 ，2 ， ( 1 3 ) 各参数具体定义详见第四章本章利用自由矩阵的方法和随机分析理论，得到了网络实现聚 类同步的充分条件此外，还给出了两种实现网络聚类同步的具体方法最后利用数值仿真 进一步说明本章所提方法的有效性和可实现性 第五章对全文工作进行了总结，并对今后的研究方向做了一些展望 j 本文的结果丰富和补充了现有的关于复杂网络聚类同步的工作主要创新点如下： 1 基于同步流形的方法第一次研究了耦合神经网络模型的聚类同步问题据我们所知， 到目前为止，还没有耦合延时神经网络的聚类同步的结果 2 目前关于复杂网络聚类同步的文献，大都没有考虑时滞本文根据网络的一些实际情 形，在模型中考虑了延时耦合，并给出了该模型实现聚类同步的充分条件，拓展了相关文献 中的部分结果 3 在一个真实的神经网络中，随机干扰不可避免因此，在对耦合神经网络的同步过程1 进行分析时考虑随机扰动是符合实际而且也是必要的本文首次研究了随机扰动下耦合延迟 神经网络的牵制聚类同步问题，并给出了线性矩阵不等式形式的判别准则此外，为了实际 操作的方便性，本文还给出了两种实现网络聚类同步的具体方法 4 本文所讨论的三类网络模型均为有向网络，而不像以往大多数文献那样要求网络是无 向的 本文部分结果已被国际s c i 刊物n e u r a ln e t w o r k s 发表，详见作者撰写和发表论文清单 第二章一类具有混合耦合的延时神经网络的聚类同步 2 1背景介绍 复杂网络无处不在，如神经网络、疾病传播网络、新陈代谢网、基因调控网、食物链网、 因特网，万维网电力网，交通网、科学引用网，以及社会网等近年来，对于各种复杂网络 的研究已经引起诸多领域研究者的兴趣，如物理、数学、工程、生物等领域 作为耦合非线性系统的一种典型的集体行为，及其在工程领域的广泛应用，复杂网络的 同步问题在过去十多年中成为研究的一个热点问题，并且已取得了很多有意义的成果在这 十几年里，研究人员相继发现和研究了几种不同类型的同步，其中有完全同步阁一酬聚类 同步【18 】一【2 1 】，【3 8 】 3 9 1 、相位同步【2 3 】【2 5 1 、滞同步【2 4 】、广义同步【2 2 】等 聚类同步，作为_ 类特殊的同步现象，要求每一个群体( 类) 的内部个体之间达到同步， 但不同的群体( 类) 之问不同步由于复杂网络的聚类同步在生物科学、通讯安全有着广泛的t 应用前景 4 l 】，该问题受到了相关领域研究者越来越多的关注随着研究人员对网络的拓扑结 构和网络聚类同步能力之间关系理解的深入，学者们提出了一些实现网络聚类同步的方法 b e l y k h 等人【2 0 】【2 1 】讨论了耦合非恒同混沌系统的聚类同步，q i n 等人【18 】通过构造不同的 耦合机制来镇定耦合j o s e p h s o n 方程选定的聚类同步类型，文献【1 9 】提出了一种新的带有合 作竞争机制的耦合策略使网络达到聚类同步神经网络作为一种重要的复杂网络，其完全同 步问题已经被深入的研究并取得了许多有意义的成果 1 0 p 2 ，【2 7 1 一1 3 1 1 ，但是对神经网络聚类群 同步现象的讨论，相应的结果却比较少文献【6 7 】指出，在真实的神经网络中，聚类同步是 存在的并且神经网络聚类同步的研究对脑科学的发展有着重要的意义本章主要研究了一类 带有混合耦合的延时神经网络的聚类同步问题，给出了一些网络实现聚类同步的充分条件 2 2 模型描述及引理 考虑一族带有混合耦合的延迟神经网络，其模型可用如下方程来描述； 掣：勘以) + 州加) ) + 酬邢叫) 州卅ng 物郇) + ng 汐玩啪叫 j = lj = 1 n ，t + 薹g 跏一，珈) d s ， 江” 6 ( 2 1 ) 东南大学硕士学位论文 7 其中鼢( ) = ( 鼢1 ( ) ，劫( t ) ，x i n ( t ) ) t r ”为第i 个网络在时刻t 的状态变量；c = d i a g ( c 1 ，c 2 ，c ，i ) c 0 表示当细胞i 与其他细胞孤立时，将能量释放给其他状态的速 度；a = ( o 巧) n 住，b = ( 6 r j ) n 住分别是神经元之间的连接权和时滞连接权矩阵；，( 毛( ) ) = ( ( 甄1 ( ) ) ，2 ( z 2 ( t ) ) ，厶( ( t ) ) ) t 是激活函数；丁 0 是网络时延；i = ( x l ( t ) ，屯( t ) ， 厶( t ) ) t r ”为外部输入向量函数；d 1 ，d 2 及d z 舻黼分别表示耦合网络的内联矩阵， 离散时滞内联矩阵以及分布时滞内联矩阵； g ( 1 ) = ( 碰；) ，g ( 2 ) = ( g 5 ；) n 及g ( 3 ) = ( g 挈) n 表示网络的耦合结构，并且满足以下条件。 g 寥0 ，i j ，z = 1 ，2 ，3 ，g 磐= 一g 缪，i ，j = 1 ，2 ，n ( 2 2 ) j = l ，j i 假定( 2 1 ) 满足初始条件鼢( ) = 也( t ) c ( 卜- 7 - ，o 】，p ) 0 = 1 ，2 ，) 。 在本章中，我们做如下假设t 假设h i ： ( ) g = 1 ，2 ，n ) 在r 上单调不增 假设h 2 ：五( ) 0 = 1 ，2 ，n ) 满足l i p s c h i t z 条件，即对任意的z ，y 存在常数只( i = 1 ，2 ，n ) ，使得下式成立 五( z ) 一五( y ) i 只i x y i 比，y r 假设h 3 ：耦合结构矩阵满足下面的耗散耦合条件，即 g 孑0 ，i 五2 = 1 ，2 ，3 ； n + g 掣= 一g 缪，t ，歹= 1 ，2 ， j = l ，j 和 l ( 1 ) , 1 1 n ，1 i t 2 0 ，g ( 1 ) ：磺 磺n e t 2 ) ( 2 3 ) 主萋)， z 二1 ，2 ，3 c 2 4 ， 其中磺眇t 佻，硝胖叻，i ，j = 1 ，2 ，k 并且假设醚的所有行向量是相同 的，层9 硝= ( 牡( n ，u ( 0 删( 。) t ，o 。) = ( u ( 1 ，u 乳氓) t 东南大学硕士学位论文 8 注2 2 1 在本章，我们基于同步流形的方法研究了网络模型( 2 1 ) 的聚类同步问题，需 要指出的是我们并没有要求耦合结构矩阵是对称阵或对角阵然而，过去关于网络聚类同步 的结果大多基于这一假设 1 8 】一1 2 l 】，i 鲫 下面我们给出与本章主要结果有关的定义和引理 定义2 2 1 设s = z = ( z 1 ( s ) ：勋( s ) ，z ( s ) ) ：x i ( s ) c ( - r ，o l ，r - ) ，x i ( s ) = 巧( s ) ， ( t ，j f = 1 ，2 ，) ) ，称集合s 为网络( 2 1 ) 的完全同步流形 定义2 2 2 设s = z 。= ( z 1 ( 5 ) ，z 2 ( s ) ，z ( s ) ) ：x i ( s ) c ( 卜7 - ，0 ，r - ) ，x l ( s ) = x 2 ( s ) = = z 。1 ( s ) ，x r n l + l ( $ ) = z m l + 2 ( s ) = = z m l + 仳( s ) ，1 + 忱+ + m 一1 + l ( s ) = x m l + m 2 + + m + 2 ( 8 ) = = l + 慨+ + m l + 讥( s ) ，m l + 耽- 4 - - 4 - m 七= ) ，称集合 为网络( 2 1 ) 的聚类同步流形 定义2 2 3 1 9 耦合网络的n 个节点被称为达到聚类同步状态，如果把这些节点分成几 个聚类，比如， ( 1 ，2 ，m 1 ) ，( m l + 1 ，m l + 2 ，m 1 + m 2 ) ，( m 1 + r n 2 + + m k l + 1 ，m 1 + m 2 + + m i 一1 + 2 ，m l + m 2 + + 仇女一1 + m k ) ，m l + 讹+ + m k = ) ， 对每一个聚类内两个节点的状态都有。里i i x , ( t ) 一x j ( t ) l l = 0 ，其中如( t ) 和x j ( t ) 表示相同 聚类内的任意两个节点的状态 定义2 2 4 【1 4 1 令跄表示一个环，定义r ( 验，k ) ：= 元素属于睨且行和为k 的矩阵全 体，k 跄 引理2 2 1 【1 4 1 n 阶方阵g t ( n ，k ) ，则n 1 阶方阵日满足m g = h m ，其中 h = m g j m = 1 一l 11 1 一 ( n - 1 ) x n ， ，= 11l 1 011 1 1 11 0o o1 00o 0 n x ( n - 1 ) j 方阵h 的元素可以具体的表示为h ( i ，j ) = ( g ( 甜) 一g ( t + 1 ，七) ) ，i ，j 1 ，2 ，一1 k = l 证毕 ，尬础、 2 l一蛾j = ( 尬州m 尬磺如慨磁以j h t m 东南大学硕士学位论文 设z = ( z l ，z 2 ，x n ) t ，其中戤r n ，i = 1 ，2 ，m = m 圆及，这里m 和引理 2 2 2 中的记号一致，定义d ( z ) 如下： d ( z ) = i i m z i l 2 = x t m t m x ( 2 5 ) 引理2 2 3 z s 当且仅当l i m x l i = 0 证明：通过计算，我们有 d ( x ) = i i m x l l 2 = i l 甄一x i - i - 1 1 1 2 + l i 戤一甄+ 10 2 + + i l 甄一戤+ 1 1 2 因此，z 当且仅当i i m x l l = 0 引理2 2 4 1 7 8 1 设圆表示k r o n e c k e r 积，则由k r o n e c k e r 积知下面的性质成立t 1 ) ( a a ) b = ao ( t r b ) 2 ) ( a + b ) 圆c = aoc +boc 3 ) ( a b ) ( cod ) = ( a c ) 圆( b d ) 引理2 2 5 ( j e n s e n 不等式) 【7 7 1 设向量值函数u ：【0 ，】寸r m 可积，则对任意的对称矩 阵w er m ”及r 0 ，有 r z 7u ( s ) t w u ( s ) d s ( z 7u ( s ) d s ) t ( z u ( s ) d s ) 2 3 主要结果 1 0 为了简化神经网络模型的描述，引入下面的记号 c = 风 c ，c 1 _ e n k 圆c ，a = e n o a ，a 1 _ e n k 0 a ，b = 风 b ，b 1 = 蜘一k p b ， g ( 1 ) ：g ( 1 ) od 1 ，g ( 2 ) = g ( 2 圆d 2 ，g ( 3 ) = g ( 3 ) od a ，z ) = ( z n ( ) ，翰2 ( t ) ，：g i 。( t ) ) t 酽，i = 1 ，2 ，z ( ) = ( z ( 亡) ，霹( ) ，z 罨( ) ) r ，如( t ) ) = ( f t ( x l ( t ) ) ，尸( z 2 ( ) ) ， ，t ( z ( ) ) ) t ，i ( t ) = ( p ( t ) ，p ( t ) ) r 那么，系统( 2 1 ) 可简化为如下形式 堕要堕：一c z ( t ) 十a f ( z ( ) ) + b f ( z ( t - - t ) ) + i ( ) + g ( 1 ) z ( t ) + g ( 2 ) z ( - - t ) + g ( 3 ) 厂z ( s ) d s ( 2 6 ) 东南大学硕士学位论文 定理2 3 1 假设玩一凰成立，若存在正定矩阵r 0 ，只r ( n - k ) “。( n - k 加( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，正定对角矩阵a = d i a g ( a 1 ，a 2 ，a q v 一七) 住) r ( 一七) n ( 一七加，使得 = 只h 3只a 1o 只h 2 尸l b l h 手b p 5 0000 a 1 t p l o恳+ r 2 只一ao o0 00o 一只 00 h t p l 00 0 一忍 0 b 1 1p lo000 一p 2 0 ， ( 2 7 ) 则系统( 2 1 ) 的聚类同步流形是全局吸引的其中= 一p 1 c 1 一( c 1 ) t p l + p l h l + ( h 1 ) t p l + p 3 十下2 p 5 + f a f ，f = d i a g ( f 1 ，f 2 ，晶) 形n ，f = e n 一七。只凰= m 1 j ，h 2 = m n 2 j ，t s = m n 3 j ，h l = 风固d x ，h 2 = 2 0 d 2 ，h a = 风o d a ，m ，1 ，n 2 ，n 3 与，与引理2 2 2 中的记号一致 证明：构造如下的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函z 其中， 5 y ( t ) = ( 扪 ( 2 8 ) i = 1 v l ( t ) = x t ( t ) m t p l m x ( t ) k ( t ) = ( m “z ( s ) ) 】t 易【m f ( z ( s ) ) 】如 坞( ) = f m z ( s ) 】t p 3 m x ( s ) d s 啡h ( 。【m 删炉p 4 m f ( 如) ) 】删s 哪) = 丁仁。( s ) 隅( s ) 冲瓠 计算泛函( t ) 沿系统( 2 6 ) 的轨道的导数，可得 1 1 ( 2 9 ) 毒 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) r ( t ) = 2 x t ( t ) m t p l m 2 ( t ) 2 x t ( ) m r p l m f - c x ( t ) + a f ( x ( t ) ) + b f ( x ( t 一7 ) ) + i ( t ) + g ( 1 + g ( 2 却吖) + g ( 舢堆t r z ( s ) d s 】( 2 1 3 ) 东南大学硕士学位论文 由m 的结构容易得到：m c = c 1 m ，m a = a 1 m ，m b = b 1 m ，m i ( t ) = 0 因此，我们有 奶 ) 2 x t ( t ) m t p i 一c 1 m a ：( t ) + a 1 m f ( z ( t ) ) 十b 1 m f ( x ( t r ) ) + m g ( 1 ) z 0 ) + m g ( 2 ) x ( t r ) + m g ( 3 ) z ( s ) 酬 ( 2 1 4 ) 分别计算泛函k (