（应用数学专业论文）几类非线性方程的行波解.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 最近几年，人们对非线性偏微分方程的显式行波解问题越来越感兴趣。这些方 程都有它们自身的物理、化学和生物等方面的背景 1 ，2 ，行波解是反应扩散方程的 一个重要解的类型，而且能很好地模拟方程本身的物理、化学和生物现象，给我们解 决实际阀题带来很大的帮助，例如；激波，神经脉冲，各种化学反应等所以寻找偏 微分方程的显式行波解有着重要的意义。王明亮在文献 1 0 ，1 2 ，1 3 中用齐次平衡法 找到了一些方程的孤立波解，范恩贵在文献 4 ，5 ，7 ，6 ，9 ，1 1 ，2 8 中采用r i c c a t i 方程 也得出了一些方程的行波解但王明亮的齐次平衡法涉及到繁琐的微分和别的代数 运算，而且它仍然只能求出孤立解，而范恩贵运用r i c c a t i 方程的方法是对王明亮的 h b m 方法的一种改善，它得到的行波解有三类：孤立解、有理解和三角周期解。 本文主要在王明亮和范恩贵所描述方法的基础上，将范恩贵的r i c c a t i 方程方法 推广为广义的r i c c a t i 方程的形式来研究非线性发展方程的行波解，我们的方法将得 到更多类型的行波解本文主要对范恩贵在文献1 2 8 中的热传导方程进行了推广， 得出了耦合热传导方程组和广义热传导方程的行波解同时本文还对王明亮在文献 f 2 5 ，2 7 1 中出现的三类方程组( 即：变形的b o u s s i n e s q 方程组，长水波的近似方程组， 2 + 1 维色散长波方程组) 的行波解进行了推广在推广的过程中，由于计算上的原因 我们仅对稻合的热传导方程组用r i c c a t i 方程，其余的模型我们都是用的广义r i c c a t i 方程的形式这样我们推广了双曲正切函数方法和范恩贵在文献 2 8 中的方法，求 出了方程的多种显式行波解。同时，我们还用不同的方法找到了广义b o u s s i n e s q 方 程和广义f i s h e r 方程的行波解对于广义b o u s s i n e s q 方程，z h a o s h e n gf e n g 在文献 f 1 4 1 中利用双曲正切函数法找到了6 阶和8 阶广义b o u s s i n e s q 方程的孤立波解而 对有些系统来说，除了双曲正切型孤立解外，还会有正切函数型行波解，但f e n g 的 方法却难以构造出来本文用f e n g 在文献【1 4 中类似的构造方法，得到了6 阶和8 阶广义b 0 u s s i n e s q 方程有正切函数型的行波解，从而完善了f e n g 的方法对于广义 f i s h e r 方程，康东升等在文献 1 9 中找到了当o = 2 时的单调有界的行波解，在这篇 文章里我们用待定系数法得出了当n = 3 时这个方程的行波解 最后，对于以上出现的模型的显式行波解我们都分别给出了相应的图形模拟。 从图中我们可以看出行波的渐近性态， 关键词：非线性偏微分方程 r i c c a t i 方程广义r i c c a t i 方程 行波解波前 解孤立解有理解周期解 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h er e c e n ty e a r s ，p e o p t eh a v eb e e nb e i n gm o r ea n d m o r ei n t e r e s t e di nt h et r a v e l i n g w a v es o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ek n o wt h a tt h e s ee q u a - t i o n sh a v et h e i ro w nb a c k g r o u n d si n v o l v i n gp h y s i c s ，c h e m i s t r yo r b i o l o g y 1 ，2j t r a v e l i n g w a v e sm a k eu pa ni m p o r t a n tc l a s so fs o l u t i o n so fr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s t h e ya r e s o l u t i o no ft h ef o r mu ( x ，t ) = “扛+ c t ) ，w h e r eci s ac o n s t a n t ，t h es p e e do ft h ew a v e m a n y p h e n o m e n aa r i s i n gi nv a r i o u sp h y s i c a l ) c h e m i c a lo rb i o l o g i c a lc o n t e x t sc a nb em o d e l l e db y t r a v e l i n gw a v e ；t h i sb r i n g s8g r e a th e l pf o l n st os o l v er e a l i s t i cp r o b l e m s f o re x a m p l e ， s h o c kw a v e s ，n e r v ei m p u l s e s ，a n dv a r i o u sc h e m i c a lr e a c t i o n s s oi t i sv e r yi m p o r t a n tf o r u st of i n do u tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fp d e s m l ，w a n gf o u n do u tt h es o l i t a r yw a v e s o h l t i o n so fs o m ep d e si n1 1 0 ，1 2 ，1 3 b yu s i n gah o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，e gf a n i 1 1 2 8 】a l s of o u n d o u tt h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fs o m ep d e s b yu s i n gr i c c a t ie q u a t i o n ml w a n g sm e t h o dh a st op e r f o r ms o m ec o m p l i c a t e dd i f f e r e n t i a la n dt e d i o u sc a l c u l a t i o n b u ti td o e ss t i l lr e c e i v es o l i t a r yw a v es o l u t i o n s b u te ，g f a n 8m e t h o dh a v e3k i n d so f t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s ，s u c ha s ：s o l i t a x yw a v es o l u t i o n s 、r a t i o n a ls o l u t i o n sa n dp e r i o d i c a l s o l u t i o n s i nt h i sp a p e r o w i n gt ob e i n gi l l u m i n a t e dh yml w a n ga n deg ，f a n w ew i l le x t e n d r i e c a t ie q u a t i o ni n t oag e n e r a l i z e dr i c c a t it of i n dm o r et h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fa f e wn o n l i n e a rp d e s b yu s i n gr i c c a t ia n dg e n e r a l i z e dr i c c a t ie q u a t i o n s a sa l li m p o r t a n t m a t t e r ，w e 7 l le x t e n dt h en o n l i n e a rh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o ni n 2 s i n t oac o u p l e dh e a t c o n d u c t i o ne q u a t i o ns y s t e ma r i dg e n e r a l i z e dh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n ，a n dw ea r eg o i n g t of i n dt h e i rt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s a tt h es a m et i m e lw ew i l la l s oe x t e n dt h et r a v e l i n g w a v es o l u t i o n so ft h e3k i n d so ft h ep d e ss y s t e m si nf 2 5 ，2 7 ，s u c ha s ：t h ev a r i a n tb o u s s i n e s qe q u a t i o n ，t h ea p p r o x i m a t ，ee q u a t i o nf o rl o n gw a t e rw a v e sa n d t h ed i s p e r s i v el o n gw a v e e q u a t i o ni n2 + 1d i m e n s i o n sd u r i n gt h i st i m e w eo n l yd e a lw i t ht h ec o u p l e d h e a tc o n d u c t i o ne q u a l i o ns y s t e mb yr i c c a t ie q u a t i o nir 1 u i d e it od oi te x p e d i e n t l y ) a n du s eg e t l e r a i z e d r i c c a t ic q u a t i o nt os 0 1 v ea 1 l o fo t h e rp r o b l e m ss ow e l l le x t e n dt a n h f l m c t i o nm e t r h o da n d egf a n ，sm e t h o di n 【2 8 ，a n df i n do u tak we x p l i c i tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n so fp d e 8 华中科技大学硕士学位论文 i na d d i t i o n ，w ea l s of i n do u tt h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n st ot h eg e n e r a l i z e db o u s s i n e s q e q u a t i o na n dt h eg e n e r l i z e df i s h e re q u a t i o nh yu s i n go t h e rm e t h o d s f o rt h ef i r s te q u a - t i o n ，z h a o s h e n gf e n gf o u n dt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o n so ft h es i x t h - o r d e ra n de i g h t h o r d e r b o u s s i n e s qe q u a t i o n s h o w e v e r ，f o rs o m es y s t e m s ，t h e r es t i l le x i s tt h et a n f u n c t i o nt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sb e s i d e st h o s et a n h f u n c t i o ns o l i t a r ys o l u t i o n s ，b u tf e n g sm e t h o d i s n t a b l et oc o n s t r u c tt h e m i nt h i sp a p e r ，w ea t t a i nt h et a n f u n c t i o nw a v es o l u t i o n st ot h i st w o e q u a t i o n sw i t ho t h e rm e t h o d r e s e m b l e di n 【1 4 ，s ow em a k ef e n g sr e s u l t sm o r ep e r f e c t a s t of i s h e re q u a t i o n ，d s k a n ge ta 1 f o u n dt h em o n o t o n eb o u n d e dt r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n s o ft h i se q u a t i o na sn = 2 w ea t t a i nt h et r a v e l i n gw a 、e s o l u t i o n sa s 口= 3b yu s i n gt h e u u d e t e r m i n e dc o e 毋c e n tm e t h o d i nt h ee n d f o rt h et h e s es o l u t i o n sm e n t i o n e da b o v e ，w es h o wt h e i rp i c t u r e s ，a n dw e f l a i ls e et h e i ra s y m p t o t i c a lb e h a v i o rf r o mt h e m k e y w o r d s ：n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；r i c c a t ie q u a t i o n ；g e n e r a l i z e dr i c c a t i e ( 1 u a t i o n ；t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n ；w a v ef r o n ts o l u t i o n ；s o l i t a r yw a v es o l u t i o n ；r a t i o n a l s o l u t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n i i i 独创性声明 本人声明所呈交舶学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：、罗王彳彳 日期：矽牛年，月，；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可蛆将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密回。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：、罗j 株 月期：矽牛年f 月f ；同 指导教师签名：殇荔免城 日期：辫f 月f 日 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 最近几年，入们对菲线性偏微分方程的显式行波解越来越感兴趣这些方程都 有它们自身的物理、化学和生物背景【1 ，2 ，行波解是反应扩散方程的一个重要解的 类型，而且能很好地模拟方程本身的物理、化学和生物现象，给我们解决实际问题带 来很大的帮助，例如；激波，神经脉冲，各种化学反应等所以找出偏微分方程的显 式行波解有着重要的意义。m l w a n g 在文献【1 0 ，1 2 ，1 3 中用齐次平衡法找到了一 些方程的孤立波解，e g f a n 在文献【4 ，5 ，7 ，6 ，9 ，1 1 ，2 8 】中采用r i c c a t i 方程也得出 了一些方程的行波鳃，m l w a n g 的齐次平衡法的局限性在于它只能求出孤立解， 而e g f a n 的r i c c a t i 方法得到的行波解有三类：孤立解、有理解和三角周期解。 本文主要受e g f a n 的启发，用r i c c a t i 方程和广义r i c c a t i 方程的方法求出了几 类非线性发展方程的行波解其中主要对e g f a n 在文献 2 8 】中讨论的热传导方程 t 一( u 2 ) 。z = p u q u 2 行波解方法推广到耦合的方程组 u t 一( , a 2 ) 。z = p u q v 2 ，( 1 1 ) 仇一( v 2 ) z = p v q u 2 ， ( 1 2 ) 和广义热传导方程 u t u ( u 7 ) z z = p u 件1 一q u 3 ”1 ， ( 1 3 ) 这里p ，g ，r 0 是常数，其中q 0 ，同时本文还对m l w a n g 在文献f 2 5 ，2 7 中出 现的三类方程组的行波解进行了推广，即讨论 ( 1 ) 变形的b o u s s i n e s q 方程组 凰+ ( h u j 。十“。= 0 ， ( 14 ) 饥+ 以+ “= 0 ( 1 5 ) 华中科技大学硕士学位论文 这是一个水波的模型，这里u 表示速度，日表示水深，下标表示偏导数在参考文 献【2 5 】中，m l w a n g 采露齐次平衡法泠拦t ) = ，汹) 。+ 8 ，口( 幻= ，( 谚；+ 6 其 中o ，b ，都是待定的) 来找到h ，缸的显式行波解但这种方法求出的解只能是孤立 解。 ( 2 ) 长水波的近似方程组 1 u t 一钍u 。一 + 言让。= 0 ，( 1 6 ) 1 v l 一( “目) z 一；口。= 0 ，( 1 7 ) 这个方程组由w h i t h a m 和b r o e r 提出【2 7 ，它的渐近住和守恒律由k u p e r s h m i d t 在文 献f 2 6 j 中给出 ( 3 ) 2 + 1 维色散长波方程组 ， 班+ 仉；+ ；( “2 ) 。= 0 ，( 】8 ) m + ( t 正叶+ “+ u x y ) z = 0 ( 1 9 ) b o i t i 把它作为一个弱的l a x p a i r 相容性条件 2 7 ，p a q u i n 和w i n t e r a i t z 在文献【3 9 】中 已经给出了一个k a c m o o d y - v i r a s o r o 类型的李函数，l o u 在文献1 4 0 1 中证明了这个 方程组不能用w t c 方法通过p a i n l e v e 测试 在这篇文章里，我们受e g f a n 在文献f 2 8 】中描述的方法的启发，将以上出现 的模型用r i c c a t i 方程和广义r i c c a t i 方程的形式寻我行波解，拓宽了m l w a n g 在文 献 2 5 ，2 7 】中的齐次平衡法，同时也推广了t a n h 方法和e g f a n 在文献 2 8 中的方 法，求出了它们的多个显式行波解，即：孤立解、有理解和周期解其中由于计算上 的原因对耦合的热传导方程组( 1 i ，1 2 ) ，我们是用r i c c a t i 方程= ”2 舶( 这里，6 为待定的参数) 的方法，其它的模型我们都是用广义r i c c a t i 方程w = 2 + a w + b ( 这 里a ，b 为待定的参数) 来求出它们的多个显式行波鹪 另外，我们用不同的方法讨论广义b o u s s i n e s q 方程 1 4 1 和广义f i s h e r 方程 1 9 1 的行波解对于广义b o u s s i n e s q 方程 n 毗= 旧( u ) 】。+ b i u ( 2 】。， ( 1 1 0 ) i = 1 其中q ( u ) ：u + b o u r ，r 和b 。都是实常数。u ( 2 i + 2 表示对变量z 的2 i + 2 阶偏导数 我们容易看到当b o = 1 ，r = 2 ，n = l ，b 1 = 一1 时方程( 1 _ 1 0 ) 即为适定的b o u s s i n e s q 方 2 华中科技大学硕士学位论文 程，而当b o = 1 ，r = 2 ，n = 1 ，b l = 1 时即为不适定的b o u s s i n e s q 方程，前者可以用来 描述浅水波，雨后者主要用来描述物理中小振幅长波的传播， z h a o s h e n gf e n g 在文 献 1 4 中利用双曲正切函数法得到了6 阶b o u s s i n e s q 方程 “= ( “) 。+ d l u 4 z + 0 2 “6 。 当l d 2 0 时有形如“( f ) = d s e c 6 ( 蜒+ c 0 ) 的行波解，从而完善了f e n g 的 方法 康东升等在文献f 1 9 1 中找到了广义f i s h e r 方程 当。：2 时的波前解本文用待定系数法得出了当口= 3 时方程( 1 1 3 ) 的显式波前 解 最后，对于以上出现的模型的显式行波解我们都分别给出了相应的图形模拟。 从图中我们可以看出行波的渐近性态 1 2 预备知识和基本原理 1 2 1 行波解的概念和基本陛质 在研究形为 l 如= d + r ( u ) ， ( 11 4 ) 的反应扩散方程时，其中r r ”，u ( x ) = ( u - ( z ，) ，一t u m ( x ，) ) ，f 0 0 。( ，1 ( ”) ， 3 华中科技大学硕士学位论文 ，m ( u ) ) ，d = d i a g ( d l ，d 。) 为正对角矩阵我们要常常考虑所谓的”永久型”解 ( 即对一切o ，一o o t 0 2 2 耦合的热传导方程组的行波解 我们首先考虑耦合的热传导方程组( 2 1 ) ( 22 ) ， 令u ( z ，t ) = u ( z ) ，其中= = z + c t ，则( 2 1 ) ( 2 2 ) 变形为 ， c u 一( 2 ) ”= p u q v 2 ， 一( 2 ) ”= p v q u 2 由于通过平衡最高阶导数项与非线性项得不到正整数m ，于是我们作如下变形 “：x 一1 ， = y 一1 ，则上述方程组变形为 一a x 2 y 2 x i 一6 x 2 y 2 2 x y 2 x ”= p x 3 y 2 一q x 4 一c y 2 x 2 y 一6 y 2 x 2 2 y x 2 y ”= p y 3 x 2 一q y 4 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 7 华中科技大学硕士学位论文 为了书写的方便我们将x ，l ，分别换为u ，”得 一c 铲 2 一6 u 2 2 2 u v 2 让”= p u 3 v 2 一q u 4 c v 2 2 钉7 6 v 2 “2 2 v u 2 u ”= p v 3 u 2 一g u 4 平衡u 2 。2 u ，与u u 2 得m = 1 ， 2 “2 7 与u “2 得n = 1 ，因此可令 u = a l l + n l 埘 = b o + 6 1 将( 2 6 ) ，( 2 7 ) ，( 1 1 7 ) 代入( 2 4 ) ，( 2 5 ) 得到一组代数方程 。l c 。3 磕6 + 6 n 醯6 2 + p n 3 6 3 一q a 3 = 0 2 a l c b ( a 3 b o b l + t ? , o a l 耀) + 1 2 a ；b o b l b 2 十4 a o 口l 瑶5 + 2 p a 3 b o b l 十3 p a p a l 碚4 q a a 1 = 0 a l c a 3 b 3 + n l c 6 ( n 3 磕+ o b 3 + 4 a o n l b o b l ) + 6 0 2 1 u 2 1 口2 1 6 0 i b 8 6 十8 a l a o b o b l b + p 4 b ；+ 6 p a p a l b 。b 1 十3 p a 0 0 2 l u 0 2 6 q a 3 a ；= 0 2 a l c b ( a o a l b + 。；6 0 6 1 ) + 2 a l c n 3 6 0 6 1 + 2 a c a o 磅+ 3 2 a ；b o b l b + 4 a l a o b i b + 4 a l a o b + 3 p a a l b i + 6 p a o a b o b l + p 4 b 3 4 q a o = 0 口1 c ( o i b ；6 + 。0 2 6 ；+ 血2 1 2 + 4 a o a l b o b l ) + 1 6 斫醒6 十1 0 0 碲 + 8 a o a l b o b l + 3 p a 0 0 2 1 口2 l + 2 p a i b o b l 一q a = 0 2 a l c ( a o a l b 4 - a i b o b l ) + 2 0 a i b 0 6 l + 4 a l o o 醒+ p a b = 0 a l e + 1 0 = 0 6 5 6 6 2 十o o 口0 2 6 1 6 c + p n 3 醅一q b 8 = o b l b c ( 2 a b o b l + 2 a o 口l 酲) + 1 2 a 0 8 i6 6 2 + 4 a o b o b l b 十劬荫磅b 14 - 2 p a o a l 培一4 q b b l = 0 b l c ( a 3 b 3 + 0 0 2 d 2 1 b + n ；6 3 6 + 4 a o a l b o b l b ) + 6 b ? ( a ；b + 2 3 b ) + 4 a g b i b + 8 a o a l b 0 6 1 b 十3 p 4 b o b ；+ 2 l 峋3 + 6 p a o a l b g b l 6 9 壤砖= 0 ( 24 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) b l c b ( 2 a b o b l + 2 a o a l b ；) + b l c ( 2 a 2 b o b l + 2 a o a l b 3 ) + 2 4 a o a l b b 一- _ h _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ - - - - _ _ 1 ，一 8 华中科技大学硕士学位论文 + 4 a 5 b o b l + 4 a b o b l b + 8 a o a l b b + p a 3 b 十6 p 知。1 b o b ；+ 3 p o i 6 3 6 1 4 q b o b ：0 ， 6 l c ( 口1 2 也2 “十0 2 6 + 。1 2 峋2 + 4 a o 。l b a b l ) + 6 6 ( 口3 + 2 岔 6 ) + 8 a o a l b o b i + 4 4 b ；b + 4 a b + 2 p a o a t b 3 1 4 - 却口 暗一q b = 0 ， b l c ( 2 a i b o b l + 2 a o i 砖) + 2 0 a 0 0 1 b + 4 0 i 6 0 b l + p a t h = 0 ， b l c + 1 0 = 0 2 5 p 1 0 2 5 p 22 5 p 2 。o = t ：g j0 1 i ? 一2 7 孵5 p 川2 3 褒7 5 p 2 勋 l o ， z2 印2 辛，o l2 一了，b 。两孬，q2 面芗， 。= 器山一罢，a 一荔，a = 筹， 。= 等山一萼，s = 鬈，a = 警 ju 。= 謦+ 萼筹酬鬈c 蚪刮， i 一阻2 k 。_ p 十i 1 0 v 丽2 5 丽p 2 枞( 1 i 鬈( 刚r 卜= 等一i 1 0 壁咖c 惶叫，r 【一 万2 5 p i 1 0 墨c 鬻刮， 这样我们找到了耦合的热传导方程组( 2 1 2 2 ) 的行波解，从而推广了文献【2 8 2 3 广义热传导方程的行波解 e g f a n 在文献 2 8 中讨论了非线性热传导方程 毗( “2 ) z = p u q u 2 的行波解，在这里我们将此方程推广为更一般的非线性发展方程 ( 2 8 ) 9 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一 这里p ，g ，r 是参数，其中g 0 令u ( z ，t ) = u ( z ) ，z = z + c t ，则上述方程可化为 c u 一“( “”) ”= p u + 1 一q u 3 7 + 1 下面我们将利用广义r i c c a t i 方程 w ) = 6 + a w + w 2 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 仁擎1a 葺乏争a 2 - - 麓4 b = ：o , 将( 2 i l ) ，( 2 1 3 ) 代入( 2 ，1 2 ) 得下列代数方程组 c a l b r n l a o a b r p 碚+ r q a 3 = 0 c a l 。一r o 0 0 1 0 2 2 r a o 口1 b r a h a b 一2 r p a 0 0 1 十4 r q a a l = 0 c a l r a t a 2 2 r a 2 b 一3 r a o 1 一r p a 十6 r q a 3 a i = 0 4 r q a o a 一2 r a o a i 一3 r o ；n = 0 r q a 一2 r a = 0 ( 2 1 3 ) 1 0 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = ；= = = = = = = = ；一 在m a t h e m a t i c a 的帮助下，我们得到下列四组解 。血、2 娜。而0 1 一荔 a 2 印2 一万历虮2 一荔 粕= 南一= 筹，e = i a 2 ，c = 鲁，粕2 诱丽衄2 丽姑i ，c _ 亏， n 。= 赤一= 筹，。= ；( a 2 - 2 p ) j c o 咖2 诱历。12 丽忙五 2 p ) ，。2o 根据上面的结果，利用广义r i c c a t i 方程解的形式，方程( 29 ) 的行波解讨论如下 ，- 若n 。= 一南，。= 一籍，b = 譬，c = 一鲁 ( 1 ) 当o = 0 时，此时b = 0 ， o n _ 【_ 筹( 一忐疹- ( 2 ) 当口0 时，此时b 0 ，0 2 4 b = 0 ， 毗卟南一等c 一再1 一渺a毗炉卜疆历一丽一i 甭一刘。 2 若n 0 = 一而a ，。1 = 一篑，b = ( 。2 2 p ) ，c = o ( 1 ) 当a = 0 时，此时6 = 一g ，于是有： 2 5 2 1 = “2 l = 笔托 p ：。 撕。j 一” 一筹c 一廖n 晦，r p 。 一笔c 序n n 层，h 。 ( 2 ) 当a o 时，此时若 i ) a 2 = 2 p ，即6 = 0 ，就有： 岘2 卜而一丽雨a r r 口 、2 。i i i ) 若a 2 2 p ，即b 0 ，口2 4 6 = 印，就有： fu 。= 啦3 = 【u 。沪 p = 0 z l ；，p 0 1 1 鲁一 j j 印 ， 扩 一了氧 | | | | 华中科技大学硕士学位论文 3 若印= 南，n - = 磊1 6 = 譬，c = 鲁 咖1 。丽i 磊r 蚴2 c南等c一巧1at v z ，口，f l ! 兰二+ 4 - 若。o = 南，n l 。舄，6 = ；( 。2 2 p ) ，c = o ( 1 ) 当o = 0 时，此时b = 一 ，于是有： 巨 觏；j 毫 ( 2 ) 当n 0 时，此时若 i ) 0 2 ：2 p ，即b ：0 ，就有 蚴2 l 而+ 丽孑i 正_ j i i ) 若2 2 p ，即b 0 ，0 2 4 b = 2 p ，就有： f “t s = 一鬟妒 p = o 蛳= 序。n 屉) r p o 这样一来，我们将文献 2 8 】中的结果大大推进了一步，我们不但将热传导方程 ( 2 8 ) 推广到了更一般的形式( 2 9 ) ( 方程( 2 9 ) 中的r 只要是不等于零就可) ，同时也推 广了行波解的种类( 即仉0 时的情形) 因此我们的结果更具有一般性 1 2 华中科技大学硕士学位论文 3 1 引言 3 几类非线性方程组的行波解 这一部分我们将考虑数学物理中三个非线性偏微分方程组 z 5 ，2 7 1 的行波织。首 先是变形的b o u s s i n e s q 方程组 凰+ ( 日“) 。+ u 。= 0 ， ( 3 1 ) u t + 日+ u “? = 0( 3 2 ) 作为一个水波的模型，这里u 表示速度，h 表示水深，下标表示偏导数在参考文 献 2 5 中，m l w a n g 采用齐次平衡法( 令日( 。，t ) = ，) 。+ 。，u ( z ，t ) = ，( ”b + 6 ，其 中n ，b ，f 都是待定的) 来找到h ，“的显示行波解。但这种方法求出的解只能是孤立 解 第二个是长水波的近似方程组 u 札。一”。+ ；“。= o ， ”t 一( “”) z i ”z z = 0 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 这个方程组由w h i t h a m 和b r o e r 给出【2 7 ，它的渐近性和守恒律由k u p e r s h m i d t 在文 献 2 6 中给出 在这里，我们利用 2 8 1 中引进的一种符号计算的方法，利用广义r i c c a t i 方程去 构造以上方程组的显式行波解，这是一种最直接有效的方法之一，它不仅能找到系 统的孤立解，而且也获得了别的行波解，如：有理解和周期解最后我们将这种方法 推广到了求2 + 1 维色散长波方程组的行波解即 u 班+ 恤+ ；( u 2 ) 。= 0 ， ( 3 5 ) 啦+ ( t 工叼+ u + 廿。v ) 。= 0 ( 3 6 ) 这个方程b o i t i 中把它作为一个弱的l a x p a i r 相容性条件 2 7 ，p a q u i n 和w i n t e r a i t z 在 文献【3 9 】中已经给出了一个k a c m o o d y v i r a s 。r 0 类型的李函数，l 。u 在文献 4 0 j 中 1 3 华中科技大学硕士学位论文 证明了这个方程组不能用w t c 方法通过p a i n l e v e 测试 3 2 变形的b o u s s i n e s q 方程组的行波解 我们考虑方程组( 3 1 ) 和( 3 , 2 ) 的行波解 令“( 。，t ) = u ( z ) ，日( z ，t ) = 日( 2 ) ，z = z + c t ，那么( 31 ) 和( 3 2 ) 能被简化为 c h + f h u ) + “= 0 c 0 + 日7 十u “= 0 通过平衡对应项“和( 日u ) “u 和日7 得平衡数m = 1 ，n = 2 u = 0 0 十o 】， h ：b o + b l w + b 2 w 2 将( 39 ) ，( 31 0 ) 和( 11 9 ) 代入( 37 ) 和( 3 8 ) 可得到代数方程组 c 6 l