（应用数学专业论文）带hardy项的半线性椭圆方程非对称解的存在性.pdf

硕士学位论文 m a s t er ，sn i e s i s 摘要 本文考虑如下带h a r d y 项的半线性椭圆问题 一u p 茬三二三u ) z 二： 的球对称解及非球对称解的存在性这里f l = 扛lz 舻，n 3 ，a h 1 ) 是 l 妒3 ) 中的环，其中0 p 0 和f ( 0 ) = 0 两种不同的情况讨论问题通过对已知函数 ( u ) 给出不同的假设条件，在相应的假设条件下利用打靶法及分支理论就得到了 问题( 1 ) 的球对称解及非球对称解 本文结构如下： 第一部分为引言，介绍与本文有关的半线性椭圆方程的球对称解的研究状况和 本文主要讨论的内容，并叙述本文的主要结果 第二部分，首先，假设函数，满足条件( a - 1 ) ( a - 2 ) ，利用向后打靶法得到了正 的球对称解然后在此基础上我们又详细讨论了球对称解的性质 第三部分，首先，假设函数，满足条件( h 一1 ) 一( h - 4 ) ，利用变分方法得到了方程 的能量极小解同时为了证明非球对称解的需要，接着我们又讨论了一些有关的线 性化特征值问题 第四部分，最后我们利用分支理论得到了方程的非球对称解 关键词：球对称解；打靶法；变分方法；分支理论 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ a b s t r a c t 一珏一p 茬三二二让：l 三 c t ， w h e r en = z 1z 舻，n 芝3 ，口 l z l 1 ) i saa n n u l u s ，a n d0 p 0a n d ( o ) = 0 ，a n do b t a i nt h e p o s i t i v er a d i a lo rn o n r a d i a ls y m m e t r i cs o l u t i o n sb ys h o o t i n gm e t h o da n db i f u r c a t i o n t h e o r e yw h e n | s a t i s f i e sd i f f e r e n tc o n d i t i o n s t h e o r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： i ns e c t i o n1 ，a sa ni n t r o d u c t i o n ，w el i s ts o m er e s u l t sr e l a t i v i n gt ot h er a d i a l s o l u t i o no fs e m i l i n e a re l h p t i ce q u a t i o na n dt h em a j o rr e s u l t so ft h i sp a p e r i ns e c t i o n2 ，f i r s t l y , w eo b t a i nt h ep o s i t i v er a d i a ls y m m e t r i cs o l u t i o nf o rp r o b l e m ( 1 ) b yb a c k w a r ds h o o t i n gu n d e rt h ea s s u m p t i o n ( a - 1 ) ( a 2 ) s e c o n d l y , w ed i s c u s s t h ep r o p o t i o n so fp o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n s i ns e c t i o n3 ，f i r s t l y , w ep r o v et h em i n i m i z e ro ft h ec o r r e s p o n d i n gv a r i a t i o n a l f u n c t i o n a le x i s t sb yv a r i a t i o n a lm e t h o du n d e rt h eh y p o t h e s e ( w 1 ) ( h 4 ) 。t h e nt o s t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n r a d i a ls o l u t i o n s ，w ei n v e s t i g a t et h el i n e a r i z e de i g e n v a l u e p r o b l e mc o r r e s p o n d i n gt o ( 1 ) i ns e c t i o n4 ，w eg e tt h ep o s i t i v en o n r a d i a ls y m m e t r i cs o l u t i o nb yb i f u r c a t i o n t h e o e r y k e y w o r d s ： r a d i a ls y m m e t r i cs o l u t i o n ；s h o o t i n gm e t h o d ；v a r i a t i o n a l m e t h ed ib i f u r c a t i o nt h e o e r y 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 3 p 奎、 日期：如7 年5 月f f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全都或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，鹫露驾麓程，卞的 规定享受相关权益。回壹迨塞握銮卮澄厦；旦圭生i 旦二生；旦毒望苎遴： ：翥? l 未：日言薹，黼日期：岫年i 月1 1 日 日期：尸叫年d 月一日 硕士学住论文 m a s t e r s t h e s i s 第一节引言 本文中，我们考虑如下带h a r d y 项的非线性椭圆问题t r 叫譬z 篡 的球对称解及非球对称解的存在性这里q = 如iz 抒，仃3 ，o l 是 r ，( 付3 ) 中的环，其中0 p 乒= ( 孚) 2 近几年来，关于半线性椭圆方程解的球对称性及非对称性问题在大量的文献中 都有论述，对于一般的有界区域得到了相当完善的存在性及唯性结果。至于环上 的情形，早在1 9 8 7 年b a n d l e ，c o f f m a n 和m a r c u s 在【1 】中就讨论了方程 a u + f ( u ) = 0 ，而 i z l r e ，z 舻，n 3 在下列各种边界条件下的球对称解的存在性及唯性 “= 0 ，i zj = r l 且i z i = r e ； t = 0 ，陋j = r 1 且筹= 0 ，陋j = r e ； 磬= 0 ，k i = r 1 ，且t = 0 ，陋j = 岛 这里r = 川，暑表示径向导数而文献【5 】则深入研究了上述方程只在d i r i c h l e t 边界条件下的球对称解的性质，然后在此基础上利用分支理论得到了非球对称解的 存在性文献【6 】则进一步研究了带有参数a 的方程 _ a ，：二：二耋三 其中q = 伽z 舻，n 3 ，r l 0 时。，( 口0 ( h - 2 ) l i r a 掣瓠 ( a - 3 ) 当t l 足够大时，对任意0 ( o ，a 2 ) ，有p ，( t ) 片f ( s ) d s ( h _ 4 ) 当t 0 时，u ，0 ) ，( 札) 则方程( i ) 存在非球对称解 2 硕士学位论文 m a s t e i t s t h e s i s 2 1 球对称解的存在性 第二节球对称解 在本节中我们假设，满足如下条件 ( a - i ) ，c 2 ( 冗1 ) ，当u20 时，“) 0 ( a 2 1 1 i m 业： u _ t 在球对称意义下，方程( 1 ) 化为 ( r ) + 孚( r ) + 等心) + ，( 牡) = 0 ，r ( 口 1 ) 做变量代换s = r 2 - n 叫( s ) = “( r ) ，方程( 2 1 ) + 化为 伽”( s ) + ，伊( s ) 埘( s ) + p ( s ) ，( 埘( s ) ) = 0 ，s ( 8 0 ，s 1 ) 其中 p ( s ) = ( ( n 2 ) 5 ) 一2 ，p ( 5 ) = ( ( ，l 一2 ) s ：戛) 一2 ，s o = 1 ，s l = 口2 一“， 边界条件可化为 w ( s o ) = w ( s x ) = 0 我们试图利用向后打靶法得到( 2 1 ) ( 2 2 ) n 的球对称解的存在性，为此讨论初值 问题 t 1 , t t 0 ) + ，印( s ) ( s ) + p ( s ) ，( u ( s ) ) = 0 ，s 0 是打靶参数，本节约定常数s 1 0 由常微分方程理论得，当s ( 0 ，s 1 ) 时，( 2 3 ) 和( 2 4 ) 存在唯一解，其解的最大存在区间记作( s ( 6 ) ，8 1 ) 易知( 2 3 ) 和 ( 2 4 ) 等价于积分方程 ，q t ( s ) = 6 ( s 1 一s ) 一( t s ) g p ( t ) u ( t ) + p o ) ，( t 1 0 ) ) 】出，s 0 ，则由( 2 5 ) 可知 u ( s ) b ( s l s ) ，5 ( o ，s 1 ) 可见，若在8 ( 0 ，8 1 ) 时，t 0 ，则由( 2 6 ) 可知 t ( s ，6 ) b $ 1 若缸在( s ( 6 ) ，8 ，) 中有一个零点，就记为8 0 ( b ) ，即 s o ( b ) = i n f 8 0 ：牡( s b ) 0 ，8 ( 8 0 ，5 1 ) ) ， 而且8 0 ( b ) 0 ：2 6 ) ( 2 6 ) 事 事实上，设g = i n f ( u ) ：t o ) ，由条件( a 一1 ) 得c o 0 若当8 ( 口，8 1 ) 时u ( 8 ) 0 ，则有( 2 5 ) 式可得 c b ( t a ) p ( t ) d t 6 ( s 1 一o ) ，5 1 ，口 由( 2 2 ) 式可以看出 c b o n ) p o ) d = c o c , a 一南一c t ) j o 其中a = c l ( 竹) ，q = q ( n ，8 1 ) 为正常数，因此得a o c l a 一南一q ) b s l ，即 d 当高0 1 从而得到当b 0 时，有8 0 c b ) 0 由常微分方程理论知道， u ( 8 ，6 ) ，( s ，6 ) 是集合 ( s b ) l b 0 ，s ( s ( 6 ) ，s 1 ) ) 上的连续可微函数由隐函数定理知，集合i = 6 0 ：8 0 ( 6 ) o 是开集若 钍 0 ，由条件( a 一1 ) 及( 2 3 ) 可知u ( ，6 ) 在区间( 8 0 ( b ) ，8 1 ) 上是上凸函数易知当 8 ( 0 ，8 1 ) ，i f , 0 时，有h n l _ “( s ，b ) = 0 事实上，由t 0 在区间( 8 0 ( b ) ，8 1 ) 上是上凸函数，则 ，1 i r a ( 8 ，6 ) 0 若l i r at ( s ，b ) 0 ，则存在常数c 0 使得 m t ，( 仳( s ，6 ) ) c 8 ( 0 ，) 4 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 其中s ，= 盟2 由( 2 5 ) 式知 c ，。一s ) p ( t ) 疵6 ( s 。一s ) 一u ( s ，6 ) 对任意s e ( 。，s ，) 又由( 2 2 ) 式知左端趋于无限大，而右端有界，显然矛盾 因此对任意b 0 ，存在唯一的r ( 6 ) ( 8 0 ( 6 ) ，5 1 ) 使得 u ( r ( 6 ) ，6 ) 2 ( 。m 。( a x ，) u ( ，6 ) 由隐函数定理可知，r ( 6 ) 是b 的连续可微函数且有 ( s ， 0 ，s ( s o ( 6 ) ，r ) ；( s ，b ) 0 ，“：( 5 ) 0 ，s ( ，8 1 ) _ 。 其中u k ( s ) = u ( s ，k ) 令i = 字，则 1 i r as u p u k ( $ ) = o o 七 否则，存在常数m 0 及使 i , k ( j ) m ，k k o 由( 2 5 ) 和( 2 1 2 ) 可得， “。( 5 ) ：k ( 三l 手旦) 一a l ( t 一动咖( t ) + p ( t ) ，( t ( f ) ) 】k ( 墨 卫) 一d o j 。 二 5 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 i i ) ( 2 1 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中c 为非负常数显然由( 2 1 0 ) ( 2 1 2 ) 知这是不可能的 取子序列仍记作 政，而且 1 i r au ( 习= o o 由式( 2 2 ) 知，存在( 晶，) c ( r o ，i ) 使 p ( s ) p o 0 ，p ( s ) 舶 0 记m k = i n f 絮铲，5 ( 晶，s 孤由札z ( s ) i n f f 。( u ) ：t u i ( 孙 由( 2 1 3 ) 式和条件( a 一2 ) 得 女1 i r a m k 2 o o 再由( 2 3 ) 得，函数满足 ( s ) + 舻( s ) + p ( s ) 女( s ) 】u ( s ) = o ，s ( 晶，s ：) 其中h ( s ) = 幽u k ( s ) 设讥是方程 秽”( s ) + ( p p o + p b 慨) ( 5 ) = 0 ，s ( 晶，s ：) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 的解由( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 可知，当七足够大时，在( s a ，8 j ) 中至少有两个零点 由s t u r m 比较定理得到，在( s 缸) 中至少有一个零点，与式( 2 1 0 ) 矛盾这就 证明了式( 2 8 ) 下面我们用反证法证明( 2 9 ) 成立假设( 2 9 ) 不成立，则存在趋予无穷大的序 列 h ) 和常数m ，使对任意七有 u k ( t k ) m ， 其中= 下慨) 记f ( u ) = ，( t ) ，定义 j o y ( s ) = y ( s ，= ；( s ) 2 + 妒( s ) 仳( s ) 2 】+ p ( s ) f 沁( s ) ) 6 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) m 掰a s t e r 雠 s t h 文e s 玲 由( 2 1 ) 知， 矿7 ( s ) = 互1 正m ( s ) 7 p ) + ，( s ) f ( s ) ) ( 2 ，1 8 ) 所以 ；城j 伊( 沁( ) 2 + p ( 仉) f ( 乜( 缸) ) ( 2 1 9 ) 由( 2 1 6 ) 知，( 2 1 9 ) 式右端有界，显然矛盾故( 2 9 ) 式得证综上所述，引理得 证口 由文献【3 】知，下( 芈，因此 里巴s o ( b ) = 8 1 ( 2 2 0 ) 口+ 。 引理2 2 假设，满足( a 一1 ) ，( a - 2 ) ，则对任何6 0 ，8 0 ( 0 有 l i m o + 8 0 ( 6 ) 2 扣l i r a 。+ r ( b ) = s 1 证明只需证明l i m 。+ s 。( 6 ) = s l 成立假设该式不成立，则存在e 0 及趋于 0 的序列 “) 使得 ，8 1 2 e s ：= s o ( b k ) 墨s l e 由( 2 5 ) ( 2 6 ) 式，当七足够大时有 2 e k 坼一s 舱砂1 ( 。) 石1 ( 卜啪以) c ( e ) 。 显然这是矛盾的引理得证 记 8 0 = m i n s o ( b ) ：b o ) 0 ，6 2 0 使得 , s o = s o ( b a ) = s 0 渤) 由常微分理论可得( 2 1 ) ( 2 2 ) 口至少有两个解，即( 1 ) 存在球对 称解。从而定理1 1 得证 2 2 球对称解的性质 为了更进一步讨论球对称解的性质，我们还要假设，满足条件 ( a - 3 ) ，是严格增加的凸函数即当t 0 时，( u ) 0 ，( “) 0 为了详细讨论所得的球对称解的性质，我们利用向前打靶法考虑如下初值问题 ”( s ) + ，伊( 5 ) “( s ) + p ( s ) ，( t ( s ) ) = o ，s s o u ( s o ) = 0 ，u i ( $ o ) = d 0 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 若“在( 8 0 ，) 中有零点，则记其第一个零点为s l ( d ) 若t 在( s o ，( 3 0 ) 中恒正，则 s l ( d ) = 0 0 且由隐函数定理可知，s 1 ( 田是d 的连续可微函数 记妒( s ，d ) = 笔铲，则妒满足 + # p t o + 0 ) 妒= o ( 2 2 4 ) 妒( 5 0 ) = 0 ，( s o ) = 1 ( 2 2 5 ) 性质2 4 假设s 1 ( d ) 0 当且仅当叼1 0 证明设w l ( s ) 0 ，s ( s o ，s l ( d ) ) 是相应于第一特征值m 的第一特征函数， 则满足 ：+ # p w l + ( ，( “) + 目1 ) p w l = 0 ，s ( s o ，8 1 ( d ) ) 8 加l ( 8 0 ) = 0 = t l ，1 ( s 1 ( d ) ) 若刀1 0 若r h 0 ，则在( 8 0 ，s t ( d ) 1 上妒 0 ，否则由s t u r m 比较定理知，埘，在( s o ，s 1 ( d ) ) 上有一个零点，与y ) i 0 矛盾综上所述，结论成 立 口 下面我们不加证明直接引用文献【9 】引理2 1 7 的特殊情形如下： 性质2 5 假设条件( a - 1 ) 一( a 3 ) 成立，若8 1 ( d 1 ) = 8 1 ( d 2 ) = 8 1 ，那么当z 1 ( d 1 ) 0 时，我们有t ( ，d 2 ) ( ，d 1 ) ；当y l ( d 1 ) = 0 时，我们有d l = d 2 由性质2 4 ，性质2 5 不难看出，v l ( d ) 0 当且仅当t ( ，d ) 是问题( 2 2 ) ( 2 2 ) 。 在区间( 8 0 ，8 1 ( d ) ) 上的一个最小解 性质2 6 假设条件( a 一1 ) ( a - 3 ) 成立，则存在d o 0 使得当d ( o ，d o ) 时， 妒 0 ；当d ( d o ，o o ) 时，妒是变号的 证明类似于引理2 1 的证明我们易证； l i ms 1 ( d ) = 8 0 ( 2 2 6 ) “l i m 。，8 1 ( d ) = s o ( 2 2 7 ) 由( 2 2 7 ) 式及条件( a - 3 ) 利用s t u r m 比较定理可知。当d 大于零足够小时必有 0 事实上，由( 2 2 7 ) 式知当d 足够小时，利用文献1 9 中的定理3 3 1 2 知性质2 5 中的m 足够大，那么总可以使叼1 0 ，即妒 0 得到所要结论即 d = 似 0l 妒( s ，d ) 0 ，s ( 8 0 ，8 1 ( d ) ) c ( 8 0 ，o o ) ) ) ( 0 ，d ) 其中孑 0 ，显然d 为开集而且当d d 时，7 l ( d ) 0 对5 - ( d ) 有限时的情况讨论如下t 由隐函数定理可得 0 8 1 ( d ) o d = 一妒( s 1 ( d ) ，回( s 1 ( d ) ，d ) ( 2 2 8 ) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由( z 2 6 ) ( 2 2 7 ) 知，存在d d 及j 0 使得s 1 ( 回= s l ( d ) 由性质2 4 知玑( d ) o ； 由性质2 5 知，7 l c d ) 0 ，则由性质2 5 得u ( ，d ) t ( ，而，与“( ，d ) 为最小解相 矛盾因此 d ( 0 ，) 接下来证t d = ( 0 ，d o ) ，其中d o = s u p d d ) o ) ，分以下两种情形进行讨论t 情形1 ：假设s ： 0 使( 0 ，d 1 ) cd ，且d l 隹d 则由s ； 0 ，则8 1 ( d 1 ) s 1 ( d ) 若存 在d o d l 使如d ，则利用性质2 5 必有s l ( d 2 ) s l ( d 1 ) ，且u ( s ，d o ) ，u ( s ，d 1 ) 分别 是( 2 1 ) ( 2 2 ) 。在【8 0 ，8 1 ( d ) 】上的上解及最小解，也就是 t ( s ，d o ) 牡( s ，d 1 ) 由( a 一3 ) 知 ，( u ( s ，d o ) ) ，( s ，d 1 ) ) 进而由s t u r m 比较定理得到在( 8 0 ，8 1 ( d ) ) 上妒( s ，d o ) 有个零点，与d 2 d 矛盾， 所以 d = ( 0 ，d 1 ) 情形2 ，假设s ：= o 。 设d l 0 ，使( 0 ，d 1 ) c d 且d l 聋d 则有 否则，由情形1 表明 s 1 ( d 1 ) = d = ( 0 ，d 1 ) 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对任何的s 1 s 1 ( d 1 ) ，( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 口在【8 0 ，8 1 】上有最小解t i l ，使得s l 8 1 ( d 1 ) ，而且 对某个d 2 d l 有s 1 ( d 2 ) = 8 1 由文献f 1 _ o 】知现( 南) 0 ，表明 妒( ，d 2 ) 0 ，8 ( 8 0 ，8 1 ) c ( s o ，5 l ( d 1 ) ) 因此d 2 d ，得到矛盾，从而s l ( d 1 ) = 0 0 那么对所有d d l ，有8 1 ( d ) 0 ，t 0 ( h - 2 ) 慨掣- 0 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s ( h - 3 ) 当t 足够大时，对任意口( o ，v 2 ) ，有o u ( u ) 臂f ( s ) d s ( h 一4 ) 当 0 时，u ，7 ( “) ，( “) 由条件( h 一3 ) 易证 l i m 型： “i t , 首先，我们给出下面的引理以说明m 非空集 引理3 1 设，满足条件( h - 1 ) ( h 3 ) ，且t d ，缸20 ，且u 0 ，则存在 t = t ( u ) 0 ，使t u m 证明由p o i n c a r e 不等式及条件( h - 2 ) 得 l ( t ) = 2 aluf2-朋2111pf(t)tudi(tu t d s p f ( t ) t u d 8 ) = 2朋2 一t8 - 叫 j j o t 2 一i s t 1 挑( 小p 掣妒d s 0 陋a 1 ( p ) 一p ! 兰坐】u 2 ，so 其中t 0 足够小a 1 ) 是算子- a 一赤的第一特征值 由条件( h - 3 ) 知，当t 足够大时， i ( t u 彬tr 1 钍钆例2 d s t 2 r l p 掣讹 一o o 进一步，若存在序列 u c m 使 ，( 钍女) _ m o ，七_ 。o ( 3 6 ) 则存在常数c ( 却1 脚，u m 显然m o 一o 。假设当k _ 时，u 譬d s _ o o 则由( 3 6 ) 得 ，l ，s o 由( h 一3 ) 和( 3 5 ) 式知。 ，l f ( t 女) p 如_ o o ，k _ o o ，s o j ( u e ) 之ef f 8 1f ( 搬) p d s 一( i ，5 0 其中c 为常数，显然与( 3 6 ) 式矛盾综上所述结论成立 口 接下来我们在引理3 1 ，引理3 2 的基础上证明能量极小解存在 。定理3 3 设，满足条件( h - 1 ) ( h - 3 ) ，则泛函j ( u ) 在m 中存在极小值，且 该极小值点是( 3 1 ) ( 3 2 ) 的解，也称为( 3 1 ) ( 3 2 ) 的能量极小解 证明由引理3 2 知，满足( 3 6 ) 式的非负序列t t l ) 是f 8 0 ，s 1 1 上的等度连续 函数列因此存在子序列仍记作 u ) 使u k u o ，k o o 设矾俨( s o ，s 1 】) 是以下问题的解 i 识”+ 肛p t + ( t 七) = 0s ( s o ，8 1 ) l 佤) = 0 = 矾( s - ) 易见讥 0 ，8 ( 8 0 ，8 1 ) 由引理3 1 知，存在t k 0 ，使 w k = “哌m 且 加：= 一t i k 唧4 - p ，) 】，s ( 8 0 ，5 1 ) ( 3 7 ) 1 4 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s t 1 ) k ( 8 0 ) = 0 = 缈1 0 1 ) 由文献【5 】知 j ( w k ) j ( u k ) 事实上，设，似) = u ( z + h ( 舻) ) 且f ( u ，s ) = 即( s ) + p ( s ) ( 1 + ( t ) ) u f ( u 2 , 5 ) = 妒( s ) 札( s ) + p ( 5 ) “( s ) ( 1 + ( 矿) ) = 卯( s ) u ( s ) + p ( s ) ，( u ( s ) ) 则( 3 1 ) 和( 3 2 ) 化为文献【5 】中讨论过的形式 + f ( 铲，i ) = o ，s ( 8 0 ，s 1 ) u ( s o ) = 0 = u ( s 1 ) 因而得 j ( w k ) _ m o ，_ j - o 。 接下来证“有界由叫t ，钍t m 得 一 ，们 一j l 瑶( 脒+ p u f ( u k ) d s ) 2 = ( u k w n s ) 2 ，s o js o， ：( 厂“碱。- “( 让：) z d s 厂“( ) z d s d s ) d s d s = ( “：蝶2 ( 让：) 2( ) 2 j s oj * o j * o = 0 1 胂2 慨伽施删枷f ( w k ) d s ， 整理得 ，5 i，l t ： t m 2 + 肚i ，( 札) d s 。 妒磺+ m k f ( w 女) d s j 摹o j 柚 由( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 和引理3 2 知，存在常数c 使得 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 瑶厂1 p 刚2 + ，( “) d s 厂“( 以) 2 如s d ( 3 1 1 ) j o o j ，o 1 5 硕士学位论文 m a s t e r ，s t h e s i s 若“无界，则 1 罂譬上p p u ：+ p u , f ( u k ) d s ；0 r 即l i m i “u 譬如= 0 ，因而当k 一。时，t k 一致趋于0 由( h 2 ) ，对任意的 女一j 舶 f 0 ，当七_ o o 时，有 ，o lr # l，5 l，1 a 1 p u 2 d s 一腆；d s = p u k f ( u k ) d s u ； j 5 0 ，j oj s o j $ 0 整理得 a 。“p 峨d s “雕u ；d s j 帅j 加 易见当e o 足够小时得到矛盾，因此“有界设“_ b 0 7 l i t m 。i n f ， 。 d 8 0 知u o 0 再由( 3 7 ) 和( 3 8 ) 知，存在删o c 2 ( 【s o ，s l 】) 使得饥一撕 下面证t o 0 ，进而得蛐0 事实上若t o = 0 ，则w t 一0 ，5 l f * l i ( w k ) = 硼孑一舭一删，( t i 女2 a l 一删：幽 ，加 js o 因此 j ( 戤) 27 ( a i 一班) 醒出 d 当e 0 足够小，得到矛盾则由撕m ，( 伽) _ j ( w o ) 得j ( w o ) = 订即w o 是泛函i ，( ) 在m 上的极小值点，由文献【3 】引理4 3 知达到函数y j 0 为极小能量 解。即得( 3 1 ) ( 3 2 ) 的能量极小解。定理得证 3 2 线性化特征值问题 为了证踢菲球对称解的需要，接下来我衍讨论一些有关的线性化特征值问题。 设乱问题( 1 ) 的能量极小解，考虑如下边值问题 矿( 5 ) + a 伽+ 7 ( u ) 】妒= 0 ，s ( s o ，s 1 ) ( 3 1 2 ) 1 6 妒( s o ) = 0 = 妒( 5 1 ) 设九= 九( 口，s 。，s 1 ) 是( 3 1 2 ) 的特征值，协是相应的特征函数，且妒1 0 ( i = 1 ，2 ) 性质3 4 设，满足条件( h - t ) 一( h - 4 ) ，u 是问题( 1 ) 的能量极小解，则k 1 证明记p ( s ) = p ( s ) + p ( s ) ，7 ( t ( s ) ) ，则 f 1 卯d s = 九f 1 p 谤d s ，石1 科妒秘= f 1 p 妒- 忱d s 由a 1 a 2 及上面第二式可得 ， 1 s l ，l 妒：沈d s = 0 = 尸妒l 忱d s j 她 ，椰 设妒是妒1 和妒2 的线性组合，则 “护s 入2f “j l b 2 p d d s p d s ( 3 1 3 ) 护s 入2 ( 3 1 3 ) j 5 a j 即 那么当t 0 足够小时，存在连续依赖于t 的变量6 ( t ) ，满足 6 ( o ) = 0 ，以= 6 ( t ) 妒l + t 0 2 ( 3 1 4 ) 直有l “( 哦+ 缸，) 。d s ：“即( 矾+ ”) 2 + ( 以+ t ) ，( 砒+ 钍) p 如成立 j 幻 j l o 事实上，设f ( 6 ，t ) ：- “俨一即俨一v y ( v ) p d s ，其中y = t + 6 忱+ t t p 2 由( 3 1 ) 及“是能量极小解得f ( 0 ，0 ) = 0 ， 和o ) _ r 2 州一栅纩删( ) _ 彬啪 又由条件( h 4 ) 知，9 丽f ( o ，o ) ：厂“矿m ) 一t ，( t 1 ) 】即1 d s o 由隐函数定理得 ( 3 1 4 ) 成立由 ，( ) = f l f ；u ，一f ( u 舶d s ，f 1 d s = 石1 掣铲+ 肚，( ) d 5 硕士擘位论文 m a s t e r ，s t h e s l s 帅+ 以) = m ) + r 1 ；孵一删j + 一硝识乱幽一r l f 蝴徘胁 及 r 1 州一脚一( 咖；幽乩 钆2 ，l1 ，( t + 讥) 一，( t ) = ；【好一删】+ 心) 仇 ，s d _ 一p 【，( u ) 饥+ ；，7 ( u ) 孵】d s + o ( t 3 ) s ；( a 2 - 1r 1 p 钟d s + o ( p ) t 是能量极小解，即t ，( 缸) j ( t + 彬) 因此当t 足够小时，有a 2 1 d 幛后3 5 设钍县f 3 1 、的能量极小能k 分别县 怒絮黜一私 j 矿+ a 囟p + p ，“) j 妒= o ， 【妒( 5 0 ) = o = 妒( s 1 ) ， 的第1 个特征值则m 0 使得当“m 时有 “，( “) ( 1 + f ) ，( t 1 ) ( 3 2 3 ) 由( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 可以得到 吼( u 。) = c p 一1 一，协。) 钆：一p 番+ 口弗 打 = 厶【，( t n ) 一，7 ( ) ：l + m 厶砭r 2 - - f n u a f ( ) + q 厶u 2 r - 2 + ，( ) 一，( “。) 让： 一e 矗i v u nj 2 一p 静+ o t k a 一2j a 记+ 尬 其中脱0 ，设讥 ) 是算子一a 一静的具有d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值， 则由文献f 9 】定理3 3 1 2 知 一l i m 一7 1 ( u ) = o o ( 3 2 4 ) 口l 一 、 由p o i n c a r e 不等式 z i 乳1 2 一p 品如7 1 ( p ) z 付2 出，t ，砩( q ) ( 3 2 5 ) 由( 3 2 5 ) 式得 吼) s ( 一e + q 一口- 2 百1 ( 。) ) zj v 2 一p 薄i t 2 妇+ m 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 综合( 3 2 4 ) 及( 3 - 2 0 ) 得到所证明的结论 定义3 7 设 。，口( 0 ，1 ) 是方程( 1 ) 的对称解，若”。在l * 范数意义下是 n 的连续函数。则称。是方程( 1 ) 的光滑解 性质3 8 设，满足条件( h 1 ) ，( h 一4 ) ，u a ，n ( o ，1 ) 是光滑解则对任意k 芝i ， 都存在( 0 ，1 ) 使得饥，l ( ) = 0 且 仇，l ( u n ) o ( 3 2 6 ) 其中整数z 2 证明由性质3 4 - 3 6 及特征值班，i 关于的连续依赖性得第个结论，由性 质3 4 ，性质3 5 得，对整数j 2 ， 伽，l ( t n ) 0 ( 3 2 7 ) 由文漱f 5 】得，当寿1 对，7 k d ( 锃a ) 啦j ( 2 k ) 因此( 3 2 6 ) 得证 第四节非球对称解的存在性 本节我们讨论方程( 1 ) 在球对称解钍。处的分支问题，这里a 视为打靶参数 记q = q 。= 缸i 。j 护，t l23 ，c 吲 0 ，k 1 使 国啦，l ( u a ) = 0 ，v , l ( 砚) 珊，1 ( 魄，) 0 ，t ( o c ，a + e ) ， 则。是非对称分支点类似地，( i ) 换成 硕士学位论文 m a s t er ，8n i e s i s ( t ) 孤，1 ( “。) = 0 在【a ，6 1 上；孤，l ( u t ) 7 7 k ，l ( 撕) 0 ，t ( 口一f ，n ) ，t ，( o ，a + e ) 则【口，6 】是非对称分支区间 证明设x = 扣四 ( f i ) ( 0 ，1 ) iw 是在d ( n 一1 ) 作用下旋转不变的) 易见( 4 6 ) 式中的算子是紧算子，假设条件( i ) ( i i ) 成立，若口不是个分支点，则 存在0 6 ( 0 ，玑，l ( t 7 ) 0 时，有 d e 9 ( i 一垂：，艮( t k ) ，0 ) = ( 一1 ) ，d e g ( i 一圣；，b 6 ( u 。) ，0 ) = ( 一1 ) + 1 当仉，1 ( t ) 0 时有 d e 9 ( 1 一垂：，风( t k ) ，0 ) = ( 一1 ) + 1 ，d e 9 ( i 一垂：，玩( u 。) ，0 ) = ( 一1 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 很明显，由( 4 8 ) ( 4 9 ) “z 0 ) ( 4 1 1 ) 得到矛盾，即证得8 是一个分支点。若满足条件 ( 1 ) 和( 扼) ，同理可证 a ，b 】为分支区间 由以上的准备工作，我们得到本文的主要结果如下； 定理4 3 设，满足条件( h 1 ) 一( n - 4 ) 则方程( 1 ) 的光滑对称解在( o ，1 ) 上 存在非对称分支，即方程( 1 ) 存在非对称解 证明 由性质2 4 - 2 6 得，啦1 ( 毗) 是( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 的关于t 的变号特征值，由 性质3 4 - 3 6 知即定理4 2 ( i ) 成立由性质3 8 知定理4 2 ( f i ) 成立因此由定理4 2 得到本定理的结论由定理4 3 不难得到主要结果定理1 z 硕士学位论文 m a s t er ，sn i e s i s 参考文献 1c b a n d l e ，c v c o f f m a na n dm m a r c u s ，n o n l i e a re l l i p t i cp r o b l e m i na n n u l a r d o m a i n s j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 6 9 ( 1 9 8 7 ) ，3 3 2 - 3 4 5 【2 】r c o u r a n ta n dd h i l b e r t ，m e t h o d so fm a t h e m a t i c a lp h y s i c a l v o l l ，w i l e y n e w y o r k ( 1 9 6 2 ) 【3 】y d e n g ，z g u oa n dg w a n g ，n o d a ls o l u t i o n sf o rp - l a p l a c t i o n sw i t hc r i t i c a l g r o w t h n o n l i n e a ra n a l y s i s 5 4 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 2 1 1 1 5 1 f 4 】j s m o l l e ra n da w a s s e r m a n ，s y m m e t r yb r e a k i n gf o rs o l u t i o no fs e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o nw i t hg e n e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s c o m m m a t h p l a y s 1 0 5 ( 1