（应用数学专业论文）关于majda的气体动力学燃烧模型的一些数值结果.pdf

摘要 m a j d a 引进了一个定性模裂，来研究气体动力学燃烧中的化学反应 ( 珏+ q o z ) + ，( 钍) 。= 黜嚣， z r ，t 0 ( u ，z ) ( z ，o ) = 钍“o ) 嚣 0 其中f ( u ) 是强非线性的凸瞒数，满足t 荔一州 o ，篆= d u 1 0 。脚) 一慨 u 是一个混会变擞，裟示密度，速度，温度薄z 表示朱燃气体所占的 质煮百分眈。声 0 是混合交囊，表示扩散和热传导效应k 罴反应遴 度，口0 是化学反成释放的单位能量，对于放热反应，q o 0 在“燃点温 发”的动力学机斛经设下设正是燃点，磁群墨时，江) = 0 ；毒n 遐 时，扭) 0 ) ，如) 是一个典型的光潜豹纂增遮数，满足0 庐蔓1 ； 令露= 0 ，贝! ie 当札0 时，妒m ) = 0 ；当“ 0 时，毋( “) 0 ；当n 时 ( c d 瞄定) ，妒以) = 1 。觅f 2 j 该模型的精确解。弱熵懈的结构及寝达式未知，l e v y 从理论上证晴 了姿t 一( 3 0 时，( t ) 的弱壤察收敛翻m a j d a 褥到约嚣波舞( 嚣平移一个嚣 数) ，并傲了数筐实验，验诞了这一理论绪粜见 1 】 本文做了两件事； 一藿复了该数值实验，并把i n t e r f a c e = 阶格式，l e v y 静一阶格式和行 波解做了比较，当时间较大时，三者是一致的两种求数值解的格式在 这基没有佧么差捌 二用两维的s t r a n g 舅子分裂算法，肴数值解的缩构与一维时燕否稽似， 进而给理论研究一些启发。我们还对该二维问题做了小揽动，看数值解 的稳定性。 关键词：弱熵解，行波解，c j 状态，s d t 分支，w d t 分支，l e v y 的数 假实验，s t r a n g 的算予分裂算法，i n t e r f a c e 方法 a b s t r a c t m a j d ai n t r o d u c e daq u a l i t i t i v em o d e lt os t u d ys h o c k - w a v ec h e m i s t r yi n t e r a c t i o n si nc o m b u s t i o nt h e o r y ： ( “+ q o z ) e + ，( 札) 。= 卢札。，。r ，t 0 ( n ，z ) ( ( 蛳，0 ) ， z 0 $ r t 0 ( + ) w h e r ef ( u ) i sac o n v e xs t r o n g l yn o n l i n e a rf u n c t i o ns a t i s 研n g 笔叫咖0 毫= 6 0 。m ) = 慨 i nt h ea b o v em o d e l ，ni sal u m p e dv a r i a b l er e p r e s e n t i n gs o m ef e a t u r e so fd e n - s i t y , v e l o c i t y ，a n dt e m p e t a t u r ew h i l ezr e p r e s e n t st h em a s sf r a c t i o no fu n b u r n t g a si nas i m p l i f i e dk i n e t i c ss c h e m e t h ep a r a m e t e r 口 0i s8l u m p e dp a r a m e t e r r e p r e s e n t i n gt h ee f f e c t so fd i f f u s i o na n dh e a tc o n d u c t i o r ，ki st h er a t eo fr e a c t i o n a n dq 0r e p r e s e n t st h ea m o u n to fu n i te n e r g yl i b e r a t e db yc h e m i c a lr e a c t i o n i n p a t i c u l a r ，q o 0f o re x o t h e r m i cr e a c t i o n s u n d e rt h ea s s u m p t i o n so f i g n i t i o n t e m p e r a t u r e k i n e t i c s ( w ea s s m n et h a t 正i st h e ”i g n i t i o nt e m p e r a t u r e ”，t h e n w ec a nc o n c l u d e ：庐( 仳) = 0 ，w h e nt 正正；妒( “) 0 ，w h e n “ t o ，( u ) i s t y p i c a l l yas m o o t hi n c r e a s i n gf u n c t i o nw i t h0s 西1a n d 曲( u ) 0 ， 0 ( u ) 0 ， “ 0 1 ，“c o ，c o 0f i x e d ( o 1 ) ( s e e 【2 】) t h es t r u c t u r ea n df o r n m l ao ft h ew e a ke n t r o p ys o l u t i o no ft h em o d e l ( ) i s u n k n o w n ，l e v yp r o v e dt h a tt h ew e a ke n t r o p ys o l u t i o no f ( ) t e n d st ot h et r a v e l i n g w a v es o l u t i o no b t a i n e db ym a j d a ( t h ed i f f e r e n c ei so n l yat r i v i a lc o n s t a n t ) l e v y a l s od i dan u m e r i c a le x p e r i m e n tt oc h e c kt h ea b o v et h e o r e t i c a lr e s u l t s ( s e e 1 】) rj、【 | | 烈 以 w eh a v ed o n e2t h i n g si nt h ea r t i c l e ： 1 w er e p e a tt h el e v y sm m l e r i c a le x p e r i m e n ta n dc o m p a r et h es e c o n do r d e r i n t e r f a c es c h e m ea n dl e v y l sf i r s to r d e rs c h e m ew i t ht h et r a v e l i n gw a v es o l u t i o n o n l yf i n d i n gt h a tt h et h r e es o l u t i o n sa r ev e r ys i m i l a rw h e nt i m ei sl a r g e t h et w o n u m e r i c a ls c h e m e sh a v en od i f f e r e n c e sh e r e 2 w ju s et w od i m e n s i o n a ls t r a n g so p e r a t o rs p l i t t i n gm e t h o dt os e ei ft h en i l m e r i c a ls o l u t i o ni ss i m i l a rt ot h eo n ed i m e n d i o n a le s s e w ed ot h i so n l yt og i v e o u rt h e o r e t i c a ls t u d ys o m es u g g e s t i o n s w ea l s od o8 m a j lp e r t u r b a t i o n st ot h et w o d i m e n s i o n a lp r o b l e mt ot e s tt h es t a b i l i t yo ft h en u m e r i c a ls o l u t i o n k e y w o r d s ：w e a ke n t r o p ys o l u t i o n ，t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n ，c js t a t e ，s d tb r a n c h ， w d tb r a n c h ，l e v y 8n u m e r i c a le x p e r i m e n t ，s t r a n g 8o p e r a t o rs p l i t t i n gm e t h o d ， i n t e r f a e m e t h e n t y 8 68 9 9 9 首都师范大学学位论文原刨性声明 本人郑重声明t 所肇交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取碍的成果。除文中已经注明弓l 鼹酌内容外，零论文不 会任掰其他个人或集体8 经发表或撰写过的作品成果齄本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由率人承担。 学位论文作者签名；寺绍霞 l f 。 掰期t 碱华”日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全彳缮首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定。学校 有权保留学位论文并向国家主篱部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢嗣目的鲍少量复趔势允许论文进入 学校图书馆被查鬻宥权将学位论文的内弈编入有关数据库避行检索 有权将学位论文的标题和摘要 编嬲版绦密的学位论文在鳃密詹逮用 本规定 学位论文作者掷亍绍霞 丑端2 孙婷曲- 7 鑫 第一章概述 燃烧方纛的一些背景知识和概念 1c h a p m a n j o u g e t ( c j ) 理论在反应气体流的研究中，有两个著名的 近似物瑗理论。可以用来研究激渡一化学菠殿：c j 理论和z n d 理论先 介绍一下c j 理论它建赢在两个物理假设之上： 1 。所有的反应区域无限窄( 即反应速度无穷大) 2 秸性和热传导的效应可以忽略上面的假设类似于要保证可压流体 中的标准的无限窄的激波层 它表器，产生亿学反应的滚体有一些不嚣子普通的雩压藏体戆性质。激 波以相对于巳燃气体的最小的速度走过音速点，当它的速度一旦超过 这个最小速度，则会出现两个不同的燃烧波，波速都是s ；强的爆裳波 s t r o n gd e t o n a t i o nw a v e ，或s d t ) 和弱的爆燃波( w e a kd e t o n a t i o nw a v e 或w d t ) m a j d a 的模型中与g j 理论的假设对应的是k 一+ o o ，卢i0 我们有下面的葱豕t ( 卜f 工 圈1 - 1 我们有如f 的定义( 觅参考文献f 2 1 ) t 定义1 1c - j 状；蠡c j d t 波) 给出，1 ) ，满足一q o 0 及a ( u 。) = 苗岩 定义1 2s d t 分支和w d t 分支 给定( ，1 ) ，潢足：0 坼 一q o ，对于某个8 o ( “) ，w d t 分支 是这些状态( 观，0 ) 的集合t 巩* “的状态 2硕士毕照生毕业论文 ( u t ，0 ) 的集舍+ 珂以诞暖：s 关予小抚动是线性稳定的， 由稳定性的证明可以导致如下的定义 定义1 3s d t 分支和w d t 分支 方程t 2 0 0 6 拒 ( 十q o z ) # + ，k = 0 2 ( 茹，) ： 2 ( 岳，o ) s u p 0 , t u ( z ，s ) o 1 1 10 ，s u p o 0 豹可按受解为； ( 1 ) 当m 蜉。时，解是一个c j d t 波或者s d t 波设8 = 地u l 如- - a ：r 地- q o 吐，则 ： 蜓藏 i “r ，z s t ( 2 ) 当铆 n ( 札) t 从( 1 ) 或( 2 ) 中很容易得到相废的解z c j ( 墨t ) 由c j 理论和下面的z n d 理论及对m a j d a 的摸氆不用经俺近似时，都毒以褥列鼹1 1 具专一个不单 调的长而尖的燃烧的最大值点，与反应气体流的c j 理论中相应的解， 第一章概述3 密度或压力完全保持定性的一致。这在燃烧理论中建一种很典型的不单 瓣的波的结构，它不像单个的凸的守恒律那样遵守最大僮藏理。在本文 中，我们利用c j 理论对燃烧波的各种解分类，并求出各种情况下的最 大波速答 | l o 啦 札 图1 2 o 一乱 龆一0 l o “ 图1 - 3 $ 一s t 注t 图1 - 2 是当 = “伊时，解u 的图像；瞬1 - 3 楚当铆 0 时，( “( s t ) ，z ( x s t ) ) = ( ，1 ) ； ( b 2 ) 当z s t = 0 时，( u ( o ) ，z ( o ) ) 一( 豌，1 ) 。 这样，我们能够推出，在z n d 假设下的模型( ) 的最式的唯解为 嘶叫，= 一妒。珈m 卜跳x 刊- s t 蛐 o 。， 4 磺毕监生毕韭 ；= ：丈 z ( 。一s 亡) = l - 。一s 。 【e x p 耳扣一研) 扣，一s t 0 ， 对平嚣进行网捂到分，如下圈所示； 巧一 2 z + 鹫2 - 1 第二章算法及格式的推导和实现 将方程在控制元b 一 ，+ ；t ”，t ”1 】上积分，得到 “1 ：疆”+ 勋珐+ ，( 咄】如斑 ：_ q ”【( u 十z ) ( 。，t 。+ ，) 一( “+ 卯z ) 忙，t 。) 】如 。：甚，2 + f 【( ，( u ) ) ( 聃l 2 ，t ) 一( ，) ( 奶一1 2 ，t ) 】d t = 苔“ 那； ( u + q o z ) ? + 1 一 + q o z ) ? = 一袋瞅u ) ) 蒿尝一( ，( 锃) ) 渤】 其中 记( u + q 0 2 ) ? + l 垒忐q ”归( u + 口0 。) ，。+ 1 ) d x 并记( ，( j p j j + 1 l 心2 皇壶f ”1 ( ，) ) ( x j u 2 , t ) d t 0 臣：妇m kr 瞄懈m 如 上z 唧j - ”l 2 胆m 晌+ 1 ) 叫州捌如一耳f ”e 1 ”2 m 姗如 j j t n j 一 鄂： 芎“一芎= 一t 耳( 庐阻) 2 礞+ 1 7 2 其中 记李+ 1 皇五1 严”2 z ( x ，。) d x 并记( ( t 汪) y - + 1 2 皇五：基f k ”尸”胆庐( “) 2 d t 出 o l n o 一2 2 ：二曲2 ：n + l _ ? _ 。? n 、_ 。- - + 麓a t k ，扛 升+ ，1 肛2 一( ，( 小：、：j ”- v 1 归2 j ( 2 。) 【才“一李= 一t ( 咖姐) 。) r 1 7 2 、。 j i | ：时切计算都是精确的下面看在l e v y 的和i n t e r f a c e 的算法中对 ( ，( “) ) j n + + 。1 。2 和( 庐( “) z ) r 1 7 2 是如何用近似的。 7 8 硕士毕业生毕北论文 al e v y 近似话式的摧肆 s t e p1 计算t 八e “，j 、j n + 1 l 朋2 r a ， - 、j ：”j + l l 2 2 垒壶e “沁脚固斑 = 三a t ( ( 岫皿钆驴) ) + 掣( 轴。 + 笔铲( x j l 2 , 哳终l 2 ) 2 2 川出 训磷) + o + 掣( 铀胁啦) 等l “，( 嗔嚣) 注t 对t 用二阶近似。对x 是精确的 s t e p2 计算( 庐( “) = 圬” ( 毋( u ) z 圹1 7 2 皇五基，1 ，哳v 2 州础如 j h j 一l 2 = 盎，f ”扫 ( 酬。，屯) + 荆。( ) ( t t 。) + 瓣( 文“) ，n j 2 f l 。 + 。扛，t n + 1 ) ) 2 + z t ( x ，“) ( 一t ) 2 + z d x ，t 1 ) ( 亡t 。) 2 + d t d x = 击j ：( 删( 圳塑塑笋趔妇 ( 2 4 ) 町一l 脂 、 7 +壶ev2触)塑半粤型壶e(tt)dtdz2 j o 一l n b “ + 蕊1 e ( 嘶稚，瓦1 t ( 川。) d t d x + 忐e 姒编) 谁知t ) 面t t ( h 翻出如 oq一1，2上-、jh 其中 如皇忐f 啊v 2 似u ) ) ( z ，t 。) 恢( 。，“) 一蕊( z ，t 州) 】 o q l 指 + 事( “) t 扛，如) k 缸，k ) + z ( x ，屯+ 1 ) l 疽。 = c o n s t 第二常葬蒎及格式的捶再和窭现 皇蕊1 ，珥“2 ( 毋( “舱，) j 2 ，一1 2 娟( 删掣 查，塑查! 堕! ! 如 o 9 注t ( 妒( ”) ) ( 。，t ) 的数值锯对x 是精确的，对t 孀一阶近似；z ( x ，t ) 的数德解 对x 是精确的，对t 用梯形法则，是二阶近似。 s t e p3 推导出最后的格式 这样，我们有： 即： j ( “+ 咖z ) 十1 一( “+ q o z ) 7 = 一蕊a tf l 、u j n 十+ 。l ，；l , ，l 一八f7 ，n + + 1 l 2 2 ，, 芎+ l 一芎蒜一耳妒( 骘) 掣 ( 2 5 ) 2 ：二第铲筋( ，。( 蝴) | ( 2 。) h _ r l + l = 芸攀渊， a x t 1 1 + 1 2 、- - t t j z n 卜 bi n t e r f a c e 近似格式的推导 ，( 滋) 的推导和l e v y 近似格式中的一样，下面看( 母( u ) z 垮+ 1 7 2 的推导 ( 庐( “) 。) 7 2 皇忐之h 薯：焖z 蘸如 = 2 a t la 7j ，t k + 1 f 静( t ) ) ( q l ，2 ，t ) 2 ( - l t 2 , t ) + ( ( 札) ) ( q 十l ，2 ，t ) 孑( x j * 1 1 2 , t ) 】出 一；融( 荦器) 李嚣。+ 呐- - l i + l 2 + 1 1 2 、协t l + ，1 舢2 】 其中 李嚣。皇。+ 鹗”5 ( 。) 这样，我粕有 李嚣。皇。鹄”6 ( 甸 ( 2 。7 ) 蝴榷吖凇渤嘲黜蕊 = 勿拼嚣蒜嘴才” 1 0 即 硕士毕业生毕业论文 妒1 = u ，n 一l t 7 u j + i 俄2 一j fl t n + 1 l 1 2 2 川” + 垒擎晰箔) 簪穗。+ 妒( “筹筘) 菇羟。j 2 8 ) 才+ 1 = 芎一垒笋叭r 7 ”j n 一+ l l ，2 2 ，勺n 一+ 1 l 2 2 + o + 妒( “抖n + l l ，2 2 ，5 1 “+ + 1 1 2 2 一0 1 注t 求( 庐( n ) ) ( 文t ) 和z ( x ，亡) 的数值解时，对x , t 的处理是一样的t 对t 甩中 点法则，对x 用梯形法则，都是二阶近似 2 1 3 = 维s t r a n g 算子分裂的算法 注：在这篇论文中，以下为了叙述简洁起见，若无特剃声明，所出现的 u 均代表向量( 让，：) ，鼠u ，u ，z 三者穗应的指标和所带有的自变量都 是一样的比如：叼盎( “3 ，苟) ，u ( t ) 皇( u ( z ，t ) ，z ( x ，t ) ) 等其余的依 魏类搀，不再一一指出。 a 如何分裂方程，如何求数值解 方程及初值： ( u + q o z ) t + ( 譬k + ( 譬) ，= 0 吣m 惦慨：篓 ：二写三三萋b = 。 f + q o z ) 。+ ( 譬) 。= o l 盏：一；砂( 。) ： ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 第= 章算法及格式的推导和实现 z o 则数值解； 叼“ = & ( 譬) 岛( 螗鼠( 警) 叼 = & ( 譬) 岛( t ) & ( 警) ( 了a tj 嘞l “叫。文f a t ) 赡_ 1 = & ( 譬) 岛( t ) 是( t ) 岛( 亡) & ( 譬) 强- 1 = 品( 警) 岛( 亡) 互疆蜀瓦露蜀i 薮五丽( 譬) 嘤 垒a 2 ( t ) 厶( t ) a - ( 站玛 f 2 1 1 1 1 s = ( a t ) 和氐( 譬) 对类似于下西的分裂以瑶的方程求数穰解： j ( + 拍。) 。+ ( 譬) t = 。t z 1 z 、) i 苁：一 鼬( n ) z 设初僚为，用具体的数值办法求得a t ( n ) 皇扩“- - t “( 注；在不产生混淆 的情况下，将t ( 哟籍记戚a t ) 剿所樽到的数值解：“垒岛( ) 谨 用这一步求得的整个a t ；而另一个数俊解t 嵋+ 皇最( 譬) 嘴用这一步 求樗豹a t 的一半 2 s ( t ) 对类似于下面的分裂以后的方程求数值解： 三二糍”刨 ( 2 1 3 ) 设初值为，用具体的数值办法求得a t ( n ) 垒t “+ 1 一t ”( 注：同样的 在不产生混淆灼情况下，将a t ( n ) 薅记戚a t ) ，刘所褥到的数壤瓣 吣q b n ，llil，f、_l【 = o 掣 值 初 u 有带 1 2 颈士毕业生毕监论文 叼”皇岛( t ) 昭甩遗一步求得的整个t 。 3 a l ( a t ) ，a 2 ( a t ) ，厶( t ) a i ( a t ) 皇s a z7 k 盟2 、7 ( 求次a t ) ，a 2 ( a t ) 皇母( 譬) s ( t ) ( 另求一次t ) ，和 a ( a t ) 皇冀( ) s ( a t ) s , ( a t ) s a a 6 ( 将n 个& ( ) s ( f ) 连浆，甩n 次循环每次用算子& ( ) 岛( a t ) 作用时，求一个公共的a t 即可) 4 s ( f ) ，& ( 譬) ，s ( t ) ，a i ( a t ) ，a 2 ( a t ) ，磊( 螃这些算予记号，在下嚣会 看到它们的具体含义 c 下面分成三步来具体阐述三维s t r a n g 算予分裂的算法 s t e p1 求a l ( a t ) 噶皇( 譬) 嘴。 方程： ( u + q o z ) t + ( 譬k = 0 z t = 酽知，y ， ( 1 ，o ) ， ( 0 ，1 ) ， z o 此辩，对每一令磐时匿定的协，( j = 0 ，1 ，玛) ，随着硒变0 = 0 ，1 ，甄 其中，。o ，。帆为每次内层循环的边界) ，与i j 有关的解u 关予i 用内层的循 环t 利用具体的求数值解的格式，求出，( 矾) 甜= 最( 譬) 罐( = 0 ，1 ，也； j = 0 ，1 ，) 洼；在这篇论文中，以下为了叙述简洁起见，若无特别声明，所出现的指 标i j 的范围均为； = 0 ，1 ，n x ；j 一0 ，1 ，y 。葵余的依她类接， 不蒋一一指出 s t e p2 求矗( t ) a l ( t ) 嘴 2 1 先看n 次循环中的第1 次 k r，i m 卜 笪2 o 第二章 算法及格式的推导和实现1 3 f 毫篡1 。 协均 此时，q 暂定，随着珊变( 其中，y o , 飘为每次内层循环的边界) ，与 i ，j 有关的解u 关于j 用内层的循环，利用具体的求数值解的格式，求 出：( 班) “皇岛( t ) & ( 譬) 并以它为初值，求下面方程的数值解： 得到t ( 巩) 巧= & ( t ) 岛( t ) & ( 譬) 嚷 2 2 假设已经求出了k - 1 次循环的解( = 0 ，i ，n ) ：( 巩) 玎= & ( t ) 岛( ) ( 巩一1 ) 。 将它作为第k 次循环的初值，求下面问题的数值解； ( 2 1 6 ) 得到t ( 哦+ - ) 蚶以它为初值，求下面问题的数值解： l ( u + q o z ) 州譬) 。= 。 盈= 一譬妒o ) z( 2 1 7 ) i 矿( 赫，珊，o ) = ( 砚+ 。) u 得到：f 巩+ 】k 蕊 ” 栌啉 | | 0 护 砒 矿丁 ；忆、皤咄邛 ，【 引拟棚 普弘 + | | 她 轳啦 1 4 硕士毕业生毕业论丈 s t e p3 求麓a 2 ( ) 矗( ) 4 l ( t ) 嘤 以( + ，) 玎为初值，求下面问题的数值解； ( u + q o z ) t + ( 警) = 0 u ( z 。，蛳，0 ) = ( u j + 1 ) 珏 碍麴t ( 瑶+ 2 ) 西再拨宅为裙伍，袁下褥问题的数值解。 得到；( 巩+ 2 ) 玎，这就是我们在指定的时刻要输出的数值解叼+ 1 2 2 几种格式的实现 在下面的数德实验中，取，( u ) = 譬，疋= 0 5 毋( t ) = 1 ，t | 正 0 ，n 正 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 铆一1 ，一0 ，q o = 0 4 ，k 一4 ，嚣一0 0 4 ，c o 0 4 7 ，l e v y 的格式中取 t 一0 0 l ，i n t e r f a c e 的格式中用c f l 条件求a t 下面分成四步来实现 2 2 1l e v y 丰骞式实现的步骤 a 一点介绍 格式； 矿2 芝王帮扩斜( 端) 2 叫端p 】 ( 2 2 1 ) l 才+ 1 一巷鬻才 卜一 翊 滔 扣 暗咖邓蝴嘲删 ” 栌啦 第二章算法及格式的推导晕口实现1 5 其中，求数值解叼+ 1 的关键是求“譬推( 更确切的说，求q n 十l 2 是最关键 的) ，将t 蒜1 1 2 2 关于时阊tt a y l o r 展歼到二阶，我船有： 酬n + l l 。2 2 nz + 下a t ( 啦十譬( h 娲，2 ( 2 2 2 ) z 嗡1 2 + 等( 饥) 知l 2 b 下面分成疆步米看如俺具体的求叼“ s t e p1 求嗡船 给出分片线性的初值： u “( z ) 垒叼+ ( ) ? 扛一q ) ，。b 一1 2 ，讯，。】其 中，( o 。n 皇( ( ) ，( 岛) ；) 叼皇悫尸“脂u ( 墨k ) 如表示u 在时间n 处，在第j 个控制元上的平均值。( ) ? ，) ；分别为u ，z 在第j 个控就 元上关于x 的斜率 我们来求解r p ( 主要是鹅1 1 ) ： 啦+ ( 譬k 一0 。( 叫) ： 2 ( 碱鼢洲毗8 ) 姐 【0 ，s u p 延雄珏( z ，s ) 0 ( 2 2 3 ) u ( $ ，o ) ： 叼+ ( 靠垮p 一) ， 。 巧+ l 2 得到嗡- 2 = r ( o ；叼+ 等( 片，嗡l 一等( ) a 1 ) 它表示以叼+ 譬( 如) ；和 嗡t 一譬( 如) 孙t 为初佳的黎曼| 霹嚣的髌r ( ；哆+ 譬( 如垮，嗡，一譬( 撩，) 沿着纵轴( + 1 2 ，t ) 让t 一0 + 时得到的极限使，这里奇点是( + l 胁矿) s t e p2 求( 玩) 并l 2 利用方程； 耋二鬟。0 ( 2 2 4 ) 1 6 哥驻得到 u恐t。=一-譬uu币x。+，。qojk(u)。 硬士毕韭龟毕业论文 ( 2 2 5 ) 我们尾它采求( 故) 务l 业， 注：s t e pl , s t e p2 用简一个子程序来实现u 中的u3 z 和阢中的饥，五四 者在迎风格式中取同侧的值 s t e p3 已知； v v ，t n + + l l 扫2 皇v j r + , l ，2 + a f t t v t ，j n + l ，2 ， 曙z = r ( o ；叼+ 譬) ? ，曙，一譬肌。) ， 现在可以分别利用l e v y 格式 j 矿1 = q + 龋笞一袋 ，( 崞嚣) 一f 、u n + l 2 f l 。 矿1 = 蕃獬才 和i n t e r f a c e 格式 嵋+ 1 = 哼一基【，( 喀凇) 一。f f ，n _ l + i 。2 ， ， + 垒笋f - - k t ，n 一+ l i ，2 2 ，、勺一+ 1 1 ，4 2 十。+ 争( q ：器) ? 筹导曼o j 才+ 1 = 芎一a r _ k i r 叭t ，n 一+ l l 2 2 一x7 1 一+ 1 1 2 2 + o + 叭( 多, ，n + + l l ，2 2 x ，勺n + + 1 1 胆2 一o 】 仁禁嚣刈 ：二黧嚣。0 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 带有初值 第二章 算法及掊式的推导和实现 ( u l ，0 ) ( u r ，1 ) 的问题的数值解了。 嚣 0 s t e p4 更瓢辩翠 令t ( ) ；+ 1 = 击( 扎霹+ 1 一o = 壶【u ，n ，+ ，l ，- ：o t $ ，n 一+ ，l ，- 。o j ( 磊) r 1 = 壶( 。) r 1 - o 一五1 。z ，n + + i ，- - 。o o 一弓n + ，l - 2 0 + o 萁孛 喀攀 = 嚎j 撑+ ( 撕琏1 肛+ 譬( “琏i ，2 + ! 蟊l ，2 + t ( 地) 羟l 2 同理： 弓n + + 1 l ，- - 2 0 o4 臻1 ，2 o + t ( 瓿l ，2 一。 弓n 一+ l l - 2 + oo t 乒1 ，2 + o + a t ( u ) 二l 胆十。 其中 臻- 肛。皇一毁一。z - ( 宰) 孕t ，2 + 一。甚篓+ o ( 善) ，十 一一一 ” ( 魂) 务t ，2 一。皇。喾嚣。妇p ( 。) ，国) 鼻l 2 + 。垒。器+ 。如) 8 扛) 所以有： 臻l 2 一。才+ 警( 磊努，孕l ，2 + o “才一譬( 岛垮 ( 盈) 苒t ，。一o “一符妒( 哼十- v ( ) ? ) ( 笞+ 等( 施) ? ) ( 麓) 孓t 。+ 。z 一妒( 喀一等( ) ；) ( 芎一等( 磊) 力 注：上两西项部关于xt a y l o r 展歼到二阶。 然后，我们用一个必篾的保单调性算法，对( “。) j n + l ，( 乞) 札+ 1 做修正 f 2 3 0 ) c ；在求数值解时，为了求得些相关量( 主要是求。v j n + + 1 l 1 2 2 = 嗡1 2 + 等( 阮琉，2 ) ，下面看几个子程序。 ，lli，、lt | | 0 y z ( u 1 8 硬士毕业生毕业论文2 0 0 6 g 1 先给出一些记号。 令： m u l 皇哼+ 等( “。) ；，m u r 皇略。令：( “。) 髯1 m z l & z + 譬( ) ；，m z r 皇巩1 一等( ) 知1 岛：一点准备：求激波路径z = x ( t ) 的二阶导 设激波两侧的解中的u 分别用z ( x ，t ) ，z ( 。，t ) 来表示且令：s 1 皇害= 弋 r ( 毛t ) 0x 图2 2s 2 0 m u r 0 结论；嘿 取左边：( m u l ，m u r ) ( 阢) 互 中相应的变量u 也相应的 取左边( m u l ，m u r ) 如下围所示 第二章算法及格式的推导和实现 l “i 陟如 0x 图2 4 疏散波 。 s “f u ? ox 图2 - 5 黎曼问题时的激波 1 9 注：下面只说取左或右时，若未特别注明，均指上面这四个量都是取左 或右 a 2 同负： 条件tm u l 0 ，m u r 0 结论：都取右边如下图所示 b 忒 让r ox 图2 - 6 疏散波 s l 饥 札* 图2 - 7 黎曼问题时的激波 bm u l ，m u r 异号时 6 l 条件：m u l 0 ，m u r 0 所以，此时解是疏散波r 结论l 取中间嗡2o ，( 饥) 知 。o t 此时，在本文涉及到的格式中，瑞 和) 备；可以任意取它们能取到的值，而对我们所需要求的数值解毫无 影响如下图所示 硕士毕业生毕业论文 l 忒膨， 图2 - 8 疏散波 2 0 0 6 6 2 条件t m u r s0 ，m u l 0 此时解可能是激波，或者解当中包含燃 烧波 结论，6 2 2 当是激波时，则激波路径的一阶导s l = ( 1 + r ) o , m u r 茎0 ，c j 存在，且m u l = “。j 结论t m a x s p e e d = l 妊u c j k - m ：型u r - - _ 壁! q o i = j “。ji 0 2 s d t 时 2 1u c j 存在时 条件。m u l 0 ，m u r s0 ，“c j 存在，且m u l u g j 2 2 “不存在时 条件tm u l 0 ，m u r 0 ，u c j 不存在 2 3s d t 时，波速的表达式t m 。x s p e e d = i 端答簇等i = l 蛐i 0 3 用r + c j d t 表示一个c j d t 波后面跟着一个疏散波的情况 条件t m u l 0 ，m u r 茎0 ，仳c j 存在，且m u l m u l 结论：m a x s p e e d = m “ i m u l i ，l m u r i ) 4 2 激波s 或常状态c 时。 条件：m u r 0 ，b u 0 ，“ 0 同时成立时，“。= m i n a u ，b u ，“1 ； 当( 1 i t 0 ，b u 0 ， 0 同时成立时，“。= m a x a t t ，b u ，c “) 其它情况，u z = 0 z 的情况与u 完全一样 注- i n t e r f a c e 格式的实现，类似于l e v y 格式的实现步骤，不会增加新的 东西 2 2 2 将二维s t r a n g 算子分裂的思想用l e v y 格式来实现分成三步 s t e p1 求a i ( a t ) 四垒岛( 譬) 鹕 初值的间断点取在z = 0 6 处，利用我们在这篇文章中的算法，可得到初 值为 r 四： ( 1 ， 缸 0 6 解为；( 巩) “，( 阢，) 盯 格式( 对应的算子是s 1 6 - ，! ) ) ： 其中 由t ( “) 0 女，j = ( ”z ) 抖 j + 譬( u ，。) 。 j i 黧 得：t t = 一“。+ q o k ( u ) z 结论：由前面可知， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 嚣韶 一l 哩，一j 蹲裂一 扑厦哼殍 玎 t 一虐 一口岫卷幽 第二常算法及格式的推昂和实现2 3 当m u l ，m u r 满足条件。1 ，b 2 l 时，则相关的量取左边。 当m u l ，m u r 满足条件a 2 ，b 2 2 孵，翔楣关的量取右边。 当m u l ，m u r 满足条件b ，时，则与u 相关的量取零，与z 相关的量可任 意取。 定义：m 比1 皇吗+ 譬( “* ) 甚，m u r a 皇醒h l j 一等( “。) 野1 j 搅m u l l ，m f 蜀满足”结论”中的不同情况 1 当m c ，五l ，m u r l 满足条件n l ，6 2 1 时，取澄边 ( 铭1 ) 件 j 一膨儿l ( 乱) ；+ j = 磅+ 警( ) 吕皇肘z 三l ； ( u l c ) i + 如= 一肘眦l ( ) 0 + 蜘妒( 时矽工1 ) 肘z 占l 2 当m 酽五l ，甜矿挖i 满足条件现，如对，取右边 ( 钍1 ) 件 j m 盯r l ； ( 趣) 讳j 一壤l j 一譬( z 。) l j 皇磊f z 霆l ； ( 牡1 t ) 件 j 一一m ，r l - ( ) 1 j + q o k ( m u r t ) m z r l 3 当m u l l ，m ，r l 满足条佟瑰对 ( “1 ) i + j 一0 ； ( “l ) 件 j 糌o ； 白) 件 j 取左取右帮可以。 s t e p2 浆i ( a t ) a d a t ) 咯 2 1 先器n 次循环中的第1 次 a 初值为t ( 矾) 蚵，( 矾v ) 甜一( 冯，解为一( 磁k ，( b 格式( 对旋豹算予是岛( t ) ) ； 铲：”艺薰黜卜粼蛳2 州蟪 ) 2 】( 2 。) i ( = 瓣蚶 一 其中，( u i ) 毛+ ；= ( “执一 + 譬( n 刍b +