（电磁场与微波技术专业论文）交叉耦合滤波器设计.pdf

摘要 摘要 随着现代微波通信的快速发展，对于微波滤波器的性能要求越来越高：更小 的体积、更低的带内插入损耗、更陡的带外抑制以及通带内良好的线性相位特性 等。交叉耦合滤波器通过引入有限频率的传输零点，很大程度改善了滤波器的性 能，在实际中得到了广泛应用。 本文系统地研究了广义切比雪夫滤波器的综合理论及其在实际微波电路中的 实现技术。首先，从不同的等效电路模型出发，得到相应的导纳函数，与从传输 函数出发得到的导纳函数相对照，分别得到阶、+ 2 阶耦合矩阵的解析综合解。 同时利用传输零点与极点间的关系，实现了广义切比雪夫滤波器阶数和传输零点 位置的优化提取。其次，本文还对优化方法提取耦合矩阵进行了研究，通过建立 目标函数，采用遗传算法与单纯形法相混合的算法对特定拓扑结构的耦合矩阵进 行综合。再次，对几种典型的交叉耦合滤波器拓扑结构的特性及其化简方法进行 了研究，包括死胡同型、c t 、c q 等。然后，论述了从实际微波电路结构中提取耦 合系数以及源与负载端的外部品质因素的方法，并给出了具体的实例。最后给出 了交叉耦合滤波器的设计流程，并在微带电路和同轴电路中实现了交叉耦合滤波 器的设计，说明了设计方法的有效性。 关键词：微波滤波器交叉耦合耦合矩阵传输零点 a b s t r a c t m o d e mm i c r o w a v ec o m m u n i c a t i o ns y s t e m sr e q u i r eh i g h - p e r f o r m a n c ef i l t e r s h a v i n gl o wi n s e r t i o nl o s sa n dk g hs e l e c t i v i t yt o g e t h e r 、i t l ll i n e a rp h a s ei ni t sp a s s b a n d c r o s s c o u p l e df i l t e r sa r ea b l et oa c c o m p l i s ht h e s es p e c i f i c a t i o n sb yi n t r o d u c i n gt h e p r e s c r i b e dt r a n s m i s s i o nz e r o s d u et ot h e i rg o o dp e r f o r m a n c e s ，c r o s s c o u p l e df i l t e r sa r e w i d e l yu s e di np r a c t i c e t i l i sp a p e ri sm a i n l yd e v o t e dt og e n e r a lc o u p l i n gm a t r i xs y n t h e s i sm e t h o d sf o r g e n e r a l i z e dc h e b y s h e vf i l t e r i n gf u n c t i o n sa n dt h er e a l i z a t i o nt e c h n o l o g yi np r a c t i c a l m i c r o w a v ec i r c u i t s f i r s t l y ，t w om e t h o d sf o rt h ed i r e c ts y n t h e s i so ft h ec o u p l i n gm a t r i x a r ed e s c r i b e d ，t h ef i r s tf o r 也en x m a t r i xa n dt h es e c o n df o rt h e + 2m a t r i x b a s e do n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nz e r o sa n dp o l e so ft h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ，an o v e lm e t h o d i sp r e s e n t e dt od e t e r m i n et h eg e n e r a lc h e b y s h e vf i l t e rd e g r e ea n dt r a n s m i s s i o nz e r o s s e c o n d l y ，ad i f f e r e n ts y n t h e s i sa p p r o a c hb a s e do nu s i n go p t i m i z a t i o ni sp r e s e n t e dt o f r e dt h ec o u p l i n gm a t r i xo fa p r e s c r i b e dt o p o l o g y t h i r d l y ，w ed i s c u s st h em e t h o d so f s i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n sw i t hw h i c ht or e a l i z et h ec r o s s - c o u p l e df i l t e rt o p o l o g i e s ， i n c l u d i n gc u l d e s a c ，c t ，c qa n ds oo n m o r e o v e r , t h ef u l l w a v ee m s i m u l a t i o ni su s e d t of m dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed e s i r e dp a r a m e t e r sa n dt h ep h y s i c a ls t r u c t u r eo ft h e f i l t e r s f i n a l l y , f i l t e re x a m p l e sa r ee m p l o y e dt oi l l u s t r a t et h ep r o c e d u r ea n dt h ev a l i d i t y o ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e y w o r d ：m i c r o w a v ef i l t e r sc r o s s - c o u p l e dc o u p l i n gm a t r i x t r a n s m i s s i o nz e r o s 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特王l , j ；b n 以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：盔蔓珏驾一日期盘坐上l 芝l 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 本人签名： 导师签名： 日期：蔓生：；：丛 日期： 2 1 0t m 弘7 第一章绪论 第一章绪论弟一早三；百下匕 1 1 微波滤波器概述 微波滤波器是一种二端口微波网络，它通过其频率选择性来控制微波系统的 工作频带，是雷达、无线通信、微波测量等系统中最常见的元器件之一，其性能 的优劣对整个系统的性能有着至关重要的影响。 微波滤波器设计的理论和实践始于第二次世界大战之前。2 0 世纪3 0 年代后期 提出滤波器设计的镜像参量法，并用于无线电报和电话的低频滤波器设计中。使 用镜像参量法设计的滤波器，由较简单的二端口滤波节级联构成，以便提供所希 望的截止频率和衰减特性，但不能提供在整个工作范围内频率响应的具体性质。 插入损耗法是现今广泛应用的滤波器设计方法，该方法属于网络综合技术，从使 用阻抗和频率归一化的低通滤波器原型开始，设计具有完整的特定频率响应的滤 波器，使设计过程得到了简化。现今，基于分布元件的网络综合方法的不断改进、 滤波器实现技术和形式的多样化发展以及诊断调试技术的发展，使得微波滤波器 的设计至今仍是一个活跃的研究领域。 按照不同的标准，微波滤波器存在多种分类方式。按滤波频段的不同，可以 分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等；按用途的不同，可 以分为信道选择滤波器、频段选择滤波器、镜频抑制滤波器、卫星通信系统中的 接收抑制和发射抑制滤波器等；按实现形式的不同，可以分为微带滤波器、波导 滤波器、同轴线滤波器以及介质滤波器等。不同形式的微波滤波器各有其优缺点。 微带滤波器由于低剖面、易加工、易集成等特点广泛应用于射频和微波电路中， 尽管其插损较大。波导滤波器已有很长的应用历史，它具有损耗低和可实际应用 到1 0 0 g h z 的优点，其主要缺点是尺寸大。同轴滤波器具有电磁屏蔽性能优越、损 耗低和尺寸小等优点，但受加工精度制约难以应用到10 g h z 以上【1 1 。 不同应用领域对微波滤波器有着不同的要求：军事跳频通信系统常要求滤波 器具有窄带宽调特性( 即滤波器可在较宽频带内调谐，而在所有调谐频率上滤波 器均保持窄通带工作) ，可采用波导或同轴滤波器配合电子调谐手段实现；卫星通 信系统要求滤波器体积小、重量轻、损耗低，且在幅度选择性和相位线性度上有 严格的要求，推动了多模波导滤波器、介质滤波器的发展；移动通信基站设备需 要小型化、低损耗、低生产成本、高功率容量的微波滤波器，于是同轴滤波器、 介质滤波器、超导滤波器的设计取得了长足的进步；个人移动通信中的手持终端 设备要求滤波器价格低廉适于大规模生产，同时还要具有合理的插损和较高的频 2 交叉耦合滤波器设计 率选择性，从而推动了声表面波滤波器、陶瓷集成滤波器和微机械滤波器的发展。 新近涌现的新技术和新材料更是刺激了微波滤波器的快速发展，主要包含有五类， 一是微波集成电路( m m i c ) ，二是高温超导材料( h t s ) 及技术，三是与计算机控制 技术和微加工技术相结合的微机电系统( m e m s ) ，四是低温可烧结陶瓷材料的应用 ( l t c c ) ，五是光子晶体( p b g ) 材料及结构应用网。 1 2 交叉耦合滤波器研究概况 随着现代无线电技术的迅猛发展，频谱资源日益紧张，滤波器的作用变得越 来越重要，对其性能的要求也越来越高。为了提高通信容量和降低相邻信道间的 干扰，要求滤波器具有陡峭的带外抑制；为了提高信噪比，要求通带内有较低的 插入损耗；为了保证信号不失真，又要求通带内有平坦的幅频特性和群时延特性； 更重要的是，为了满足现代通信终端的小型化趋势，要求滤波器体积更小、重量 更轻。与传统级联式滤波器相比，交叉耦合滤波器可用更少的谐振单元实现相同 的指标。同时，合理设计交叉耦合滤波器传输零点的位置，我们不仅可以提高带 外抑制，还可以改善通带内的群时延特性。因此，交叉耦合滤波器越来越受到国 内外众多学者的重视，其综合设计、实现技术及调试方法成了当前滤波器研究的 热点。 交叉耦合多路结构滤波器的思想最早是由美国人j r p i e r c e 在1 9 4 8 年提出的， 限于当时的技术条件，这种较复杂的思路并没有被广泛地采用。1 9 6 6 年， r m k u r z r o k 第一次设计出交叉耦合三腔【3 j 、四腔滤波器【4 j ，利用腔体间的交叉耦 合成功实现了有限频率传输零点。1 9 7 0 年，j d r h o d e s 利用交叉耦合实现了线性 相位滤波器的综合与设计【5 - 7 1 。1 9 7 2 1 9 7 4 年，a e a r i a 提出了交叉耦合滤波器的等 效电路模型，引入了耦合矩阵的概念，为交叉耦合滤波器的综合理论奠定了基础 s - 9 。1 9 9 9 年，r j c a m e r o n 在切比雪夫响应基础上推广得到广义切比雪夫响应， 给出其耦合矩阵综合的方法，使得广义切比雪夫滤波器得到广泛的关注【l o 】。2 0 0 3 年，r j c a m e r o n 又提出了+ 2 阶耦合矩阵的综合方法【l 。利用直接方法综合耦合 矩阵，还必须对求解结果进行化简，消除不必要的耦合。r j c a m e r o n 给出了折叠 型( f o l d e d ) ，死胡同型( c u l d e s a c ) ，广义盒型( e x t e n d e d b o x ) 等拓扑结构的消元方法。 s t a m i a z z o ，g m a c c h i a r e l l a 等给出了c t 、c o 拓扑结构的消元方法。这些消元方 法为滤波器设计提供了种类繁多的拓扑结构，使滤波器的设计更加灵活多样【1 2 d5 1 。 但是对于某些拓扑结构，我们很难找到合适的消元顺序。为了实现任意拓扑结构 耦合矩阵的综合，w a a t i a ，s a m 撕等人通过设计合适的代价函数，利用优化算 法来求解耦合矩阵【1 6 - 2 0 。但是这种优化方法存在着精度低、收敛速度慢等问题。 在国内微波滤波器常被误认为是已经很成熟的理论和技术，然而国际上对微波滤 第一章绪论 3 波器的研究却是日新月异，原始的微波滤波器设计理论已经无法满足现代无线电 技术对滤波器性能的高要求。国内对交叉耦合滤波器的研究起步较晚，尤其是在 综合技术方面的研究相对欠缺，多采用优化方法对耦合矩阵进行综合，如遗传算 法、粒子群算法等。 对于交叉耦合滤波器的研究，除了上述提到的耦合矩阵的综合以及滤波器的 拓扑结构的设计，还有一个比较重要的内容就是针对交叉耦合滤波器的诊断与调 试技术。滤波器的诊断与调试对于缩短滤波器的设计周期具有很大的意义，也是 当前研究的焦点。对于交叉耦合滤波器的调谐主要采用频域调谐方法，其主要思 想是对滤波器的s 参数频域响应曲线应用不同的数值计算方法，提取滤波器的模型 参数，找出与理想模型参数之间的差距，然后进行相应的调谐。c a u c h y 方法是从 电磁分析所得的数据中取样，继而构建降幂模型，求出滤波器的传输和反射函数， 最后得到耦合矩阵【2 1 。2 2 】。v m i r a f t a b 等人提出了运用模糊逻辑系统进行微波滤波器 辅助调试的技术，此技术成功结合了微波滤波器的数学模型和调试专家的经验信 息 2 3 - 2 4 。 1 3 本论文的主要工作 本文对交叉耦合滤波器的理论背景和设计原理进行了深入的研究，编写了广 义切比雪夫滤波器传输零点的提取程序以及耦合矩阵的综合和化简程序，利用全 波分析软件对实际滤波器结构的耦合系数和外部品质因素进行参数提取，仿真设 计了微带结构以及同轴结构的交叉耦合滤波器，并对部分设计进行了加工制作， 得到了较好的结果。 本论文的结构框图如图1 1 ，具体安排如下： 第一章是绪论，简述了微波滤波器的发展历史、常见的滤波器形式、交叉耦 合滤波器的研究现状，最后概括了本论文的主要内容。 第二章主要介绍滤波器的综合理论。介绍了交叉耦合滤波器中的广义切比雪 夫函数，阶和忆阶耦合矩阵的综合方法，以及有限传输零点位置的确定办法。 最后使用m a t l a b 遗传算法工具箱实现任意拓扑结构耦合矩阵的综合。 第三章主要介绍交叉耦合滤波器的几种典型拓扑结构，并给出了相应的化简 方法以及计算实例。 第四章从耦合谐振器电路理论出发，讨论耦合系数和外部品质因素的提取方 法，并对谐振电路的耦合极性进行了分析。 第五章给出交叉耦合滤波器设计实例。概述了交叉耦合滤波器的设计流程， 给出了微带及同轴结构的设计实例。 第六章为结论，总结了全文的工作以及需要进一步开展的工作。 4 交叉耦合滤波器设计 图1 1 论文框图 第二章广义切比雪夫滤波器综合 5 第二章广义切比雪夫滤波器综合 2 1 引言 对于理想的微波滤波器，典型的频率响应包括低通、高通、带通和带阻，如 图2 1 示。低通滤波器允许低频信号以很小的衰减量从输入端口传输到输出端口， 当信号频率超过截止频率后，信号的衰减量将急剧增大，从而使输出信号大幅度 下降。高通滤波器的特征恰好与之相反，低频信号衰减很大，而超过截止频率后， 信号就以很小的衰减量从输入端口传输到输出端口。带通和带阻滤波器由特定的 下边频和上边频划分出确定的频带，在这个频带内，信号衰减量相对于其它频段 有低( 带通) 或者高( 带阻) 的衰减量。通过频率变换，其它三种滤波器都可以 变换为低通滤波器，所以在设计时可以先从低通原型出发，获得低通滤波器的设 计参数后，再利用频率变换法求得所要设计的滤波器的参数。 ( a ) 低通( b ) 高通( c ) 带通( d ) 带阻 图2 1 四种基本滤波器 理想滤波的阶跃特性是无法用有限个滤波节实现的，我们只能选用更平滑的 函数去逼近理想响应，然后再设法实现具有逼近函数特性的网络。对于传统的低 通滤波器设计，最常见的逼近函数有三种：巴特沃斯函数、切比雪夫函数以及椭 圆函数。它们的衰减特性如图2 2 示。根据逼近函数的不同，滤波器可以分为巴特 沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆函数滤波器等。巴特沃斯滤波器结构简单容 易综合，插入损耗小，群时延特性好，但是它的带外衰减下降的慢，可实现的带 宽较窄。切比雪夫滤波器通带内具有等波纹特性，可实现较宽的通带，但是通带 边沿不够陡峭，群时延特性一般。椭圆函数滤波器通带和阻带都具有等波纹特性， 通带边缘抑制非常尖锐，但是结构复杂，在实际设计中必须增加额外的平衡群时 延的全通网络。 6 交叉耦合滤波器设计 ( a ) 巴特沃斯函数( b ) 切比雪夫函数( c ) 椭圆函数 图2 2 三种逼近函数 2 2 广义切比雪夫函数 传统的逼近函数，巴特沃斯和切比雪夫其传输零点都位于无穷远处，椭圆函 数虽然带外存在有限频率的传输零点，但是其零点位置无法灵活变动。故传统的 逼近函数需要进行修正才可以满足交叉耦合滤波器实现有限传输零点的要求，常 见的有广义巴特沃斯函数，广义切比雪夫函数以及准椭圆函数。本文采用的都是 广义切比雪夫函数。本节首先介绍传统的切比雪夫函数，然后推广至广义切比雪 夫函数。 2 2 1 切比雪夫函数 传统的切比雪夫函数定义为 一，、f c 。s h r n c 。s h 一( 缈) 瓤功= 1c 。s yc o st ( 缈) j lo s il 缈jl l 一 圳 1 矩l ( 2 。) ii 其中彩是归一化实频率变量，为滤波器的阶数。可知其多项式递推公式是 q + 1 ( 国) = 2 缈g ( 国) 一c l ( c o ) ( 2 - 2 ) 已知c o ) 和c l ( 彩) ，由( 2 - 2 ) 式我们可以求出任意阶的切比雪夫多项式： c o ( o d = 1 c l ( 缈) = 缈 c 2 ( 国) = 2 0 j 2 1 q ( o j ) = 4 矿一3 ( 2 3 ) c 4 ( c o ) = 8 c 0 4 8 c 0 2 + 1 c 5 ( 缈) = 1 6 0 ) 5 2 0 0 9 3 + 5 c a c 6 ( 国) = 3 2 国6 4 8 缈4 + 1 8 c 0 2 - 1 第二章广义切比雪夫滤波器综合 7 由式( 2 1 ) 我们可以推导出切比雪夫多项式的几个重要性质： ( 1 ) 零点特性 g c 。，= 一刀笺筹芒0 ：- q 川 ( 2 ) 带边特性 e ( 1 ) = 1( 2 - 5 ) ( 3 ) 奇偶特性 q ( 一缈) = ( 一1 ) ”g ( 国) ( 2 - 6 ) 即：当行为偶数，g ( 缈) 为偶函数；而当刀为奇数，e ( 国) 为奇函数。 ( 4 ) 带内特性 h 1 称为带内，刀阶切比雪夫多项式有拧个零点，这力个零点全部位于带内， 且g ( 国) 在一l 和+ 1 之间等波纹起伏。 ( 5 ) 带外特性 h 1 称为带外。i g ( 国) l 在带外单调上升徊 1 ) 或下降劬 1 时， e ( 国) 2 , , - 1 。 ( 6 ) 最佳特性 对于首项系数为2 ”1 的全体刀阶整多项式，在i 缈l 1 的区间上，切比雪夫多项 式与零的偏差最小。 2 2 2 广义切比雪夫函数 与传统的综合函数相比较，广义切比雪夫函数可以通过控制传输零点的位置来 实现对称和非对称的响应。同时，通过引入复频域的传输零点，我们还可以使幅 频特性和群时延特性通过一次综合同时得到满足，无需再额外增加平衡群时延的 全通网络。对传统的切比雪夫函数引入一些修正，可以得到广义切比雪夫函数【1 0 1 啪阳o s n 除一c ) ， 其中 毛：尝( 2 - 8 ) 轳而 为第刀个传输零点。如果所有的传输零点都位于无限远处，那么( 2 - 7 ) 式将变为 ( 2 - 1 ) 式，即广义切比雪夫函数退化为传统的切比雪夫函数。修正后的广义切比雪 夫函数当h = 1 ，l c ( 缈) i = l ；当川 1 ，l c ( 缈) i 1 ，在这方面 8 交叉耦合滤波器设计 与切比雪夫函数一致。广义切比雪夫响应综合过程较为复杂，f 面给出其具体的 推导过程。由广义切比雪夫多项式确定的传输函数如下： i s 2 1 1 22 丽1 ( 2 。9 ) 其中s 是通带波纹系数。由n 个交叉耦合谐振器组成的无耗二端i z l 滤波网络，其 传输函数和反射函数可表示成两个多项式之比： 删= 器= 端 ( 2 _ 1 0 ) 由无耗条件i s ，1 2 + i 是。1 2 = 1 和式( 2 9 ) 、( 2 - 1 0 ) n - - j , 得： 驰) = 锱 下面我们将在己知滤波器的阶数和零点位置的条件下利用公式推导求出多项式 昂( 彩) 、目( 彩) 和瓦( 缈) 的表达式。首先利用反双曲余弦的定义 c o s h 一( x ) = i n ( x + 4 x 2 1 )( 2 1 2 ) 将c ( 缈) 展开，得到 g ( 国) = c o s h f h ( + 巩) i (213)n il 其中 = 而 既= x ：- 1 ( 2 1 4 ) 利用双曲余弦函数的定义 有 c o s h ( x ) = _ e x + 厂e - x c ( 缈) = 三 e x p ( 1 1 1 ( + 巩) ) + e x p ( 一l i l ( + 以) ) 由式( 2 1 4 ) ，有 1 = 2卉( + 瓦) + 百l ”1 兀( + 吨) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) = 、l_， 砖 一 ，ji 兀稍 = 、l ， 一 ，i 兀瞄 、l ， + ，j 兀脚 第二章广义切比雪夫滤波器综合 9 于是式( 2 1 6 ) 改写为 i n 11 c _ ( 缈) = 百1 兀( + 吃) + 1 - i ( 一吃) l ( 2 - 1 8 ) 厶ln = l n f f i l j 将式( 2 8 ) 和( 2 一1 4 ) 代入，得到c ( 彩) 的最终表达式： 其中 c ( 彩) ：i 1 对照式( 2 1 1 ) 于是我们得到 nn 丌( 巳+ 砍) + 兀( 厶一吃) 1 q2 国一一 c o 以纠( 一壶 小( 国2 一1 ) 2 咖，= 酊云 ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 日(国)=三11(厶+砍)+兀n1( 已一以) (222)nffil n = 1 日( 国) = 百l 兀( 厶+ 砍) + 兀( 已一以) i ( 2 i- j 目( 缈) 可以根据已知的零点的位置直接获取。目( 国) 需要运用递推方法获取。假 设 g 。c 彩，：垂c 厶+ 吱，= f ( 国一百1 h + 功( 一毒 u 2l c223)n=i g ( 彩) = 兀( 厶+ 吱) = ii 国一i | + c d i1 一素ll ( 2 。 月一ll “勺i g ( 缈) = e n ： ( 一以) = l ( 缈一瓦1 1 - i 一缈7 ( t 一专 2l c224)nffil 瓯( 缈) = 兀( 一以) =i 缈一了i - il 一素i l ( 2 一 h t ll “勺n l 对g 0 ( 缈) 进行分解，把不包含变量的部分归为( 0 3 ) ，把含的部分归为 0 3 ( 国) ，则有 g ( 缈) = ( 国) + 缈7 ( 力) ( 2 2 5 ) 1 0 交叉耦合滤波器设计 那么 巩( 缈) = 岬 i = 0 ( 国) = u ( 2 - 2 6 ) q + 。( 缈) = q ( 国) ( q + 。+ 或+ 。) 也“酬卜射巾射 蚴 = u + 。( c o ) + c 0 7 圪+ 。( 缈) w n + l 荨i 珈1 ) + ( 1 _ ( 去1 黼、l 1 2 帆p 捌嘶，= 卜去+ ( 一射嘶， 2 3n 阶耦合矩阵综合 阶交叉耦合滤波器的等效电路模型是由a e a t i a 在1 9 7 2 年首先提出的 9 1 。 由该电路模型引申出耦合矩阵的概念，在很大程度上化简了滤波器的综合过程。 本文所编写的阶以及下一节的n + 2 阶耦合矩阵的综合程序都是基于c a m e r o n 在 第二章广义切比雪夫滤波器综合 文献 1 0 - 1 1 1 中提出的方法。下面将结合上一节的内容对n 阶耦合矩阵的综合过程进 行详细论述。上一节我们通过对传输函数的分析，给出了其多项式表达式，在此 基础上我们可以给出电路y 参数的多项式表达式。本节我们将通过对等效电路模 型的分析，给出电路】，参数与耦合矩阵的关系式，与前者相对照给出耦合矩阵解 析解。图2 3 ( a ) 是一个无耗二端口网络的电路模型，其源阻抗为r l ，负载阻抗为r n 。 图2 3 ( b ) p l 框所示的二端1 ：3 网络的短路导纳矩阵为 儿y n 竞捌 p 3 ， 它是对图2 3 ( a ) 中的源和负载阻抗进行归一化后的变形网络，其内部交叉耦合二端 口网络的等效电路模型如图2 3 ( c ) 所示。于是式( 2 3 1 ) 可以转换为： 意。爱心 p 3 2 ， 其中i 誓-誓zl 是图2 3 ( b ) 中内部交叉耦合二端口网络的短路导纳矩阵。 芦瞪曼 ( a ) 1 ： ：1 m 1 手 k 珐j l ( c ) 图2 3 二端口交叉耦合网络 分析图2 3 ( c ) ，由电流环路定理可得 【彤+ 盯+ r 】【f l ，f 2 ，i 3 ，i _ 】f = e 。【1 ，0 ，v ，0 一，o 】f ( 2 3 3 ) 其中s = _ ，缈，m 是阶对称矩阵。，是阶单位矩阵。r 是一个n x n 矩阵，除 局。= 墨，= r n 外，其余的元素都是零。再根据短路导纳参数的定义，有 1 2 交叉耦合滤波器设计 奶。( j ) = 纠 = 丌一m 一，】： p li 焉，鼬：o 。 1 3 2 2 ( j ) = 争 = 儿一m 一国刀： i r t , r s - ：0 。 我们知道对任意一个实对称矩阵，都能找到一个正交矩阵将其对角化。 m 一定存在一个正交矩阵丁将其对角化，则 一m = t 入t t 其中人= a f - g 4 ，乃，五，九1 ，t t = i 。代入上式有： ( 2 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) 所以对于 ( 2 - 3 6 ) 赐。( s ) = 丁人r 一缈， ： ( 2 - 3 7 ) 耽：( s ) = 丌丁人，- 缈；3 2 ( 2 - 3 8 ) p a ，一国， ：1 代表着矩阵 丁人r 一缈， 的逆矩阵的第f 行，第列的元素。我 们首先对它进行求解。利用t t = ，和( a b ) = b 。1 a 。1 可得， m 刮弘兰k - i 盟( 1 ) - - ) k “m 3 ， ( 2 - 3 9 ) 将i = n ，j = 1 代入 球加筹( 2 - 4 0 ) k = 1w 一哇 将i = n ，j = n 代入 以d 叫荟惫( 2 - 4 1 ) 至此，我们获得了】，参数与耦合矩阵之间的关系式，其形式为分式加和。稍后 我们还要通过分析获取y 参数与传输函数之间的数学关系式，其形式为两个多项 式相除，对其进行分式分解，比对式( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) ，可得： = 压 t l k = r ，2 1 _ _ l k ：睾，2 ，3 ， 2 鲍 i n k r 2 z k 其中吒，七，吃：七分别是多项式综合得到的儿，和奶：经过分式分解后相应的留数。通过 将互和巧这两个矢量归一化我们可以得到阻抗变换比： 彳= 墨= 互： ( 2 - 4 3 ) 第二章广义切比雪夫滤波器综合 于是有 瑶：玉 嘎 ( 2 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) = 丑 ( 2 4 6 ) 吃 确定了变换矩阵丁的第一行和最后一行后，我们可以通过g r a m s c h m i d t 正交变换 过程来产生其余的n - 2 行，保证丁为正交归一化矩阵。在m a t l a b 程序实现这一过 程时，可以先插入任意n - 2 个线性无关的向量，然后再在归一化后的墨和巧的基 础上对这n - 2 个向量进行g r a m s c h m i d t 正交归一化。最后由式( 2 3 6 ) 我们就可以 求出耦合矩阵。 下面分双端加载和单端加载的情况讨论y 参数与传输函数之问的关系表达式。 2 3 1 双端加载时电路导纳参数分析 图2 3 ( a ) 给出了一个二端1 2 1 无耗网络，其源阻抗为墨，负载阻抗为如。 当如= l 时，它的驱动点阻抗为 z l l ( 缈) =刍! 【! 丝列：丛! ! 丝! ! 乞2 + 如乞2 + 1 ( 2 - 4 7 ) 当墨= 1 时，它的驱动点阻抗为 荆= 黑= 器辎= 而m a + n 1 p 4 8 ， 其中确= r e ( e ( ) + f ( 缈) ) ，啊= i m ( e ( 缈) + f ( 缈) ) 幸i ，m 2 = r e ( e ( r o ) - f ( r o ) ) ， n 2 = i m ( e ( c o ) - f ( c o ) ) i 。 对上式进行变形，有 z 1 l ( 小帮 ( 2 - 4 9 ) 对照式( 2 4 7 ) ，可以得到 y 2 2 = n a m a( 2 - 5 0 ) 由此可以构建 磕 蹦 = = 砖 1 4 交叉耦合滤波器设计 儿。：p ( c o ) 占 2 3 2 单端加载时电路导纳参数分析 单端加载与双端加载的情况类似。对于单端加载有r i = 0 。 当如= 1 时，有 艺t ( ) 2 两y 2 1 ( 2 - 5 1 ) ( 2 - 5 2 ) 由式( 2 1 0 ) ，有 洲= 等= 等= 掣鲁 其中m a = r e ( e ( 国) ) ，n a = i m ( e ( 国) ) 宰i 对于如= 1 的单端口网络有 对照式( 2 - 5 2 ) 和式( 2 - 5 3 ) ，有 y 2 1 = 尸( 国) s y a = m a 2 3 3n 阶耦合矩阵综合实例 ( 2 5 4 ) ( 2 - 5 5 ) 算例一：滤波器的阶数为7 ，给定有限传输零点位置 1 3 ，1 3 ，1 5 】，带内回 波损耗为2 0 d b 。其响应曲线如图2 4 示。首先进行多项式综合，结果如下： 昂( 功= 矿一1 5 0 , 2 1 6 9 0 + 2 5 3 5 目( 妨= - 0 3 8 2 0 0 , - 1 8 2 3 7 c 0 5 + 0 6 1 5 0 c o + 0 9 6 6 1 c 0 3 0 2 5 8 1 c 0 2 0 1 3 1 5 0 ) + 0 0 1 7 8 但5 6 ) 目( c o ) = o 7 + ( - o 3 8 2 0 - 1 9 5 5 3 0 c 0 6 + ( - 3 7 3 5 2 + 0 7 5 7 5 0 c 0 5 + ( 1 3 6 6 0 + 4 11 9 5 i ) c 0 4 + ( 3 7 0 7 8 - 1 4 4 3 4 i ) c 0 3 + ( 一1 1 7 2 9 - 2 2 5 7 0 i ) c 0 2 + 9 4 2 2 + 0 6 1 2 1 ) c o + 0 1 7 9 6 + 0 1 9 6 0 双端加载时，根据式( 2 - 5 0 ) 一( 2 - 5 1 ) 给出儿，坨的表达式，然后对其进行分式分解， 给出五，吒。i ，吃：t ( 七= 1 ，2 ，3 ，) ，再由式( 2 4 2 ) 给出互和巧，将其归一化后通过 g r a m s c h m i d t 正交变换过程来产生其余的n - 2 行，保证丁为正交归一化矩阵。最 后由式( 2 3 6 ) 求出耦合矩阵，结果如下： 第二章广义切比雪夫滤波器综合 1 5 足= 如= 0 9 7 7 6 m = 0 0 0 5 5 0 4 4 6 0 0 3 6 9 2 0 3 4 6 5 - o 1 5 1 4 0 4 3 8 4 0 0 0 0 0 旬4 4 6 0 - 0 7 0 7 7 0 3 0 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 1 - o 4 4 6 0 0 3 6 9 2 3 0 4 6 0 5 0 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 6 9 2 同理可得单端加载时，有 r i = 0 6 7 4 8如= 1 9 5 5 3 m = o 0 1 3 2 0 2 3 5 3 0 3 1 6 2 0 3 9 2 0 - 0 2 6 4 5 - 0 0 2 5 0 0 0 0 0 0 - 0 2 3 5 3 0 9 5 1 9 - 0 0 9 9 4 0 0 5 1 4 0 0 4 5 0 0 1 8 4 7 - o 1 5 1 4 0 3 1 6 2 - 0 0 9 9 4 0 8 5 9 2 - 0 0 8 6 9 0 0 7 4 2 0 2 7 7 9 0 1 9 0 4 0 3 4 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 4 3 7 5 加1 3 8 2 0 4 0 0 2 - 0 3 4 6 5 0 3 9 2 0 0 0 5 1 4 - 0 0 8 6 9 - 0 4 6 5 6 _ 0 1 8 4 4 0 3 2 0 6 - 0 2 5 4 3 0 1 5 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 旬1 3 8 2 0 2 4 5 3 0 8 5 7 0 0 1 5 1 4 0 2 6 4 5 0 0 4 5 0 0 0 7 4 2 0 1 8 4 4 0 1 1 8 3 0 7 6 6 9 0 1 0 1 0 0 4 3 8 4 - 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 0 2 0 8 5 7 0 0 0 0 0 8 - 0 4 3 8 4 0 0 0 0 0 - 0 4 4 6 0 0 3 6 9 2 - 0 3 4 6 5 0 1 5 1 4 - 0 4 3 8 4 0 0 0 5 5 - 0 0 2 5 00 0 0 0 0 o 1 8 4 7 0 1 5 1 4 0 2 7 7 90 1 9 0 4 0 3 2 0 6 0 2 5 4 3 0 7 6 6 90 1 0 1 0 0 0 3 9 3 1 2 2 1 5 1 2 2 1 50 0 0 5 5 ( 2 - 5 7 ) ( 2 - 5 8 ) 算例二：滤波器的阶数为8 ，给定有限传输零点位置 一1 6 0 ，一1 3 5 ，1 4 8 ，1 8 0 ， 带内回波损耗为2 5 d b 。其响应曲线如图2 5 示。 首先进行多项式综合，结果如下： 昂( 功= 矿- 0 3 3 0 0 矿- 4 8 5 2 0 矿+ 0 7 7 4 0 0 + 5 7 5 4 2 目( 动= 矿+ 0 1 0 1 8 0 ) 7 2 1 3 5 5 0 ) 6 一o 1 8 8 7 + 1 4 6 0 2 + o 1 0 2 6 0 j 3 0 3 3 3 3 矿一o 0 1 4 7 缈+ 0 0 1 3 0 ( 2 - 5 9 ) 目( 动= + ( 0 1 0 1 8 2 3 3 7 矿+ 8 6 7 7 0 2 4 3 0 f ) 矿+ 4 7 8 6 + 6 2 9 4 1 0 、 7 + ( 6 6 0 6 3 + 0 5 9 2 5 0 + ( o 5 6 6 6 5 0 4 5 3 i ) 矿+ ( - - 2 8 9 6 0 0 3 8 0 8 0 矿 + 1 7 4 3 + 1 11 3 0 i ) c o + 0 2 3 0 8 + 0 0 4 2 6 双端加载时，有 足= 凰= 1 1 6 8 8 m = - 0 0 0 2 2 - 0 4 8 8 9 - 0 5 0 2 70 15 6 90 16 2 2 - 0 3 7 3 4 - 0 3 5 6 40 o 0 0 0 - 0 4 8 8 90 7 415 - 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 00 13 6 3 - 0 3l5 6 - 0 0 0 0 00 4 8 8 9 加5 0 2 7 - 0 0 0 0 0 - 0 710 9 - 0 13 7 3 - 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 00 312 0 - 0 5 0 2 7 o 15 6 9 0 0 0 0 0 - 0 13 7 30 6 7 4 3 0 0 0 0 0 _ 0 0 0 0 00 3 8 2 20 15 6 9 0 1 6 1 20 1 3 6 3 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 2 1 9 - 0 4 2 0 8 - 0 0 0 0 0 - 0 1 6 1 2 - 0 3 7 3 4 - 0 315 6 - 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 - 0 4 2 0 8 - 0 6 0 7 4 - 0 0 0 0 00 3 7 3 4 - 0 3 5 6 4 - 0 0 0 0 00 3 1 2 0 0 3 8 2 2 - 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 00 6 3 0 6- 0 3 5 6 4 0 0 0 0 00 4 8 8 9 0 5 0 2 70 1 5 6 9 加1 6 1 20 3 7 3 4旬3 5 6 4 - 0 0 0 2 2 ( 2 - 6 0 ) 变叉耦台滤波器设计 单端加载时，有 旦= 06 8 3 0毋= 23 3 7 6 0 0 0 5 8 _ 02 3 2 0 0 1 9 4 803 7 2 lo3 2 9 6 旬2 1 7 3m 0 0 1 20 0 0 0 0 0 2 3 2 0m9 9 0 3o 0 2 0 8m1 0 8 4 毋0 3 9 30 0 4 5 50 2 1 1 l 劬15 6 6 m 1 9 4 80 0 2 0 bl0 0 5 3o0 4 6 9o 0 9 3 0 - 0 0 4 3 50 1 9 0 90 1 4 8 8 o3 7 2 1 - 0 1 0 8 4o0 4 6 9o6 1 0 7 _ 0 1 0 7 00 1 0 5 5o3 7 6 50 1 8 2 0 03 2 9 6 - 0 9 3o0 9 3 0 - o1 0 7 0 一o5 4 5 4 1 4 2 5o3 3 3 5 加2 2 3 7 02 1 7 30 0 4 5 5 一o0 4 3 5o1 0 5 5m1 4 2 50 0 3 1 3o7 5 8 3o o l 4 4 一o o o l 20 2 1 1 101 9 0 9o3 7 6 5o3 3 3 50 7 5 8 3 加o o l 8 - 1 4 3 0 0 o o o o o o1 5 6 6o1 4 8 8o1 8 2 0 - 。2 2 3 7o0 1 4 4 14 3 0 0 - 0 0 0 2 2 ( 2 - 6 1 ) 这样的耦合矩阵几乎是任意两个谐振单元之间都存在耦合，在实际情况下这 是无法实现的，在第三章我们将会介绍耦合矩阵的化简方法。 n 衄l t - ， 图2 4 算例一淀被器响应曲线 h 图25 算倒二滤波器响应曲线 2 4n + 2 阶耦合矩阵综合 长久以来对交叉耦合滤波器的研究都只局限于无源载耦合的滤波器，即源只 与第一个谐振器耦台，负载只与最后一个谐振器耦合，这样的阶滤波