（信息与通信工程专业论文）混沌时间序列的预测方法研究.pdf

摘要 摘要 混沌是一种在确定性动力系统中出现的伪随机现象，几乎涉及到自然科学、 社会科学的各个领域。混沌学一直都是非线性科学研究的重点。而混沌时间序列 的预测研究，又是混沌学研究中的一个重要分支，应用十分广泛。随着低维混沌 时间序列预测的日趋成熟，研究的重点开始转向高维混沌系统的预测上，其中， 时空混沌系统的预测研究有着重大意义。 混沌的定义在科学界一直都有争议，本文首先介绍了一种最为广泛使用的混 沌的定义李天岩约克混沌定义。然后，详细说明了混沌时间序列预测研究的 意义，并且从定性和定量两个层面，给出了混沌系统判定方法，对每一种方法进 行了仿真实验。混沌时间序列的预测方法是本文的主要研究内容。大部分的预测 方法都需要对时间序列进行相空间重构，因此本文详细介绍了相空间重构的思想 和方法，讨论了相空间重构中如何选取最佳嵌入维数和延迟时间，给出了详细的 仿真结果。在对低维混沌时间序列( 常规混沌序列) 的预测方法进行研究时，运 用仿真详细对比了局域预测法、全局预测法、自适应预测法这三类方法在噪声环 境和无噪声环境下的预测性能。在对高维混沌系统预测进行研究时，采用非参数 核估计法对典型的高位混沌系统时空混沌时间序列进行了预测，验证了该算 法的有效性。最后，本文对各种预测方法进行了总结，为后续研究工作提供了基 础。 关键词：混沌时间序列，局域预测，全局预测，自适应预测，时空混沌 a b s t a c t a b s t a c t c h a o si sap s e u d o r a n d o mp h e n o m e n o ne x h i b i t e db yad e t e r m i n i s t i cd y n a m i c a l s y s t e ma n di ti n v o l v e si nv a r i o u sf i e l d so fn a t u r a la n ds o c i a ls c i e n c e s c h a o sh a sa l w a y s b e e nt h ef o c u so fs c i e n t i f i cr e s e a r c hi nt h ea r e ao fn o n l i n e a rs c i e n c e t h ep r e d i c t i o no f c h a o t i ct i m es e r i e s ，w h i c hh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nt h ef i e l d o fc h a o s w i t ht h e1 0 w d i m e n s i o n a lc h a o t i ct i m es e r i e sp r e d i c t i o nb e c o m e sm o r ea n d m o r em a t u r e ，t h ea t t e n t i o nh a st u m e dt ot h ep r e d i c t i o no fh i g h d i m e n s i o n a lc h a o t i c s y s t e m s ，i nw h i c ht h ep r e d i c t i o n o fs p a t i o t e m p o r a lc h a o t i cs y s t e mh a sag r e a t s i g n i f i c a n c e t h ed e f i n i t i o no fc h a o si sa l w a y sac o n t r o v e r s i a iq u e s t i o ni nt h es c i e n t i f i cf i e l d w e d e s c r i b e so n eo ft h em o s tw i d e l yu s e dd e f i n i t i o nt h a ti sl i - y o r k ed e f i n i t i o n a f t e r d e s c r i b i n gt h es i g n i f i c a n c eo ft h ep r e d i c t i o no fc h a o t i ct i m es e r i e s ，w e d i s c u s s e s w h e t h e rag i v e ns e q u e n c ei sc h a o t i co rn o ta c c o r d i n gt oq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v e m e t h o d s e v e r ym e t h o di sd e m o n s t r a t e db ys i m u l a t i o n s p r e d i c t i o no fc h a o t i ct i m e s e r i e si st h ef o c a lp o i n to ft h i st h e s i s s i n c er e c o n s t r u c t i n gt h ep h a s es p a c ei sn e c e s s a r y f o rm o s tp r e d i c t i o nm e t h o d s ，t h ep h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o nm e t h o di se x p o u n d e da n d e s p e c i a l l y , t h ec h o i c eo fo p t i m a le m b e d d i n g d i m e n s i o na n dt i m ed e l a yi sd i s c u s s e di n d e t a i l s i m u l a t i o n sa r ec a r r i e do u tt od e m o n s t r a t eo u ra n a l y s e s w h e ns t u d y i n g p r e d i c t i o nm e t h o d so fl o w d i m e n s i o n a lc h a o t i ct i m es e r i e s ( c o n v e n t i o n a lc h a o t i ct i m e s e r i e s ) ，w eg i v eal a r g en u m b e ro fs i m u l a t i o n st oc o m p a r e t h ep r e d i c t i o np e r f o r m a n c eo f t h r e em e t h o d si nn o i s ea n dn o i s e f r e ee n v i r o n m e n t ，i e ，t h em e t h o d so fl o c a lp r e d i c t i o n ， g l o b a lp r e d i c t i o na n da d a p t i v ep r e d i c t i o n w h e ns t u d y i n gt h ep r e d i c t i o nm e t h o do f h i g h d i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s t e m ，an o n p a r a m e t r i ck e m e ie s t i m a t i o nm e t h o di su s e dt o 。 p r e d i c tt h es p a t i o t e m p o r a lc h a o s s i m u l a t i o n sv e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ea l g o r i t h m f i n a l l y , t h i sp a p e rs u m m a r i z e st h ea b o v ep r e d i c t i o nm e t h o d st op r o v i d ea f o u n d a t i o nf o r f u t u r er e s e a r c h k e y w o r d s ：c h a o t i ct i m es e r i e s ，l o c a lp r e d i c t i o n ，g l o b a lp r e d i c t i o n ，a d a p t i v ep r e d i c t i o n ， s p a t i o t e m p o r a lc h a o s i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：勉幺日期：砂f 珲歹月，夕日。 if 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：肆导师签名：卑 日期：。矽h 年厂月7 7 日 第一章引言 第一章引言弟一早jl 甬 1 1 混沌时间序列预测研究的意义 对于混沌一词，人们通常把它理解为无形、混乱、无秩序、未分化这样一种 状态。从中国的一些古典典籍中可以看出，先辈们对混沌一词的理解：易经云 “混浊者，言万物相混成而未相离”，庄子日“窃窃其实、昏昏默默”。这是对 自然界复杂系统的认知受制于当时的物质生产条件和宗教信仰的表现。而如今， 以混沌学研究为主的非线性科学被誉为二十世纪自然科学“三大革命之一”【l 】，与 量子力学、相对论具有相同的地位。 由于从事不同领域的学者们习惯按照各自领域对混沌的理解来定义混沌，直 到今天，科学界并没有给出“混沌 一个公认的、普遍的、确切的定义。一般认 为，混沌是指在确定性系统中出现的具有种貌似无规则的、类似随机的现象， 如果系统既满足对初值敏感，又出现非周期运动，就可以判定系统为混沌系统。 以下给出一种影响最为广泛的混沌定义“y o r k e 定义( 李天岩约克定义) 。 l i y o r e 定义f 2 是从区间映射出发得到的影响广泛的混沌数学定义之一。其定 义为，考虑一个把区间 口，6 映射为自身的、连续的、单参数映射厂，其点映射形 式为： + 。= 厂( 吒，兄) ，吒 口，b 】 ( 1 - 1 ) 该映射厂称为是混沌的，必满足以下条件： ( 1 ) 的周期点的周期无上界，即该映射存在一切周期的周期点； ( 2 ) 存在不可数的子集sc 7 口，b 】，s 不含周期点，并且满足： 对于任意工，y s ，z y ， l i m i n f l f ”( 功一f ”( 少) j = 0 ， ( 1 2 ) 对于任意工，y s ，x y ， l i ms u p l f ”( x ) 一广( y ) l 0 ， ( 1 3 ) 1 电子科技大学硕士学位论文 ( d 对于任意x s ，厂的任意周期点p ， l ! m s u p l f ”( x ) - f ”( p ) i 0 ， ( 1 - 4 ) 则称厂在s 上是混沌的。其中： ”( x ) = f ( f ”_ ( z ) ) = f ( f ( 厂( x ) ) )( 1 5 ) 式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 两个极限表明，存在一个只含有混沌的轨道，此子集中的点 x ，y 是相当分散、但又相当集中，式( 1 4 ) 表明子集不会趋近于任何一个周期点。著 名的l i y o r k 定理表明：对于在区间 口，b 上的连续的自映射厂，如存在一个周期 t = 3 的周期点，就一定存在t = n ，n 为任何正整数的周期点，这时一定会出现混沌 现象，这定义被简称为“周期三意味着混沌”。且l i y o r k e 的混沌定义刻画了混沌 运动的三个重要特，征【3 】： ( 1 ) 混沌运动存在可数的无穷多个稳定的周期轨道； ( 2 ) 混沌运动存在不可数的无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 混沌运动至少存在一个不稳定的非周期轨道。 在计算机技术迅猛发展的今天，对混沌学研究的发展起到了很大的促进作用。 混沌学思想在生物学、数学、物理学、化学等学科上都获得了认同和肯定，并且 在气象学、信息科学、天文天体学、通信学、经济学领域都得到了广泛的应用。 混沌学研究已取得了丰硕的结果，还将形成一个全新的科学体系。下图1 1 便是现 今混沌学研究的几个热门方向： - q 嚣弛动力学 - q 抛沌预测 i 混地学帕聊宄 抑0一握池挣制与优化 - q 讹艳同步 - q 祀t t 性带通信 图1 - 1 混沌学的研究方向 在混沌学的研究中，混沌预测，尤其是混沌时间序列的预测有着重大意义。 2 第一章引言 时间序列是指存在于自然科学、社会科学中某一变量或指标，按照其出现的时间 先后顺序，并以相同时间的间隔排列出的一组数值。混沌时间序列，是指具有混 沌特性的时间序列，混沌时间序列预测，便是指用过去和现在的观测数据，依某 种方法建立序列的模型，推测序列的未来，这是统计学近几十年来发展起来的重 要分支。 由于时间序列中不仅含有系统中所有变量过去的信息，还包含了系统演化的 所有变量的一些信息，通过分析时间序列，可能得到系统在未来时刻的特性，精 确的时序预测可以为控制和处理系统提供方便易行的方法，为自然科学研究、经 济生活中带来方便以及效益。由于混沌系统在自然界和人类社会中普遍存在，混 沌时间序列预测具有广泛的适用性。 目前，混沌时间序列预测在目标跟踪、径流预测、天气预报、非线性市场分 析领域、通信信号识别等领域都有广泛的应用【4 】。这些利用非线性方法对具有混沌 特性的时间序列进行了精确的短期预测，取得了许多理论和应用成果，相信随着 混沌受到重视程度的提高，它的应用领域和应用成果也会不断扩大。 1 2 混沌时间序列预测的国内外现状 对平稳的时间序列的预测时，使用a r 模型、m a 模型这些传统模型就能得到 很好的结果。但是混沌时间序列而言，这些模型都无法做出准确的预测。1 9 8 0 年， 当p a c k a r d 提出了混沌时间序列重构相空间思想后【5 1 ，混沌时间序列预测才进入了 发展阶段。经过3 0 多年的房展，混沌时间预测方法、模型都取得丰硕的成果，形 成了以局域预测、全局预测、自适应预测为主的三大类预测方法【6 1 。 其中，局域预测方法中常使用的有局域零阶预测法、还有局域一阶预测法， 和局域多项式预测，基于l y a p n o v 指数的预测，等等。 全局预测分为全局多项式预测法、神经网络预测法和最近几年研究得最多的 支持向量机预测法等等。 自适应预测法中又分为基于级数展开式自适应预测法和基于非线性函数变化 的自适应预测法等等。 以上的混沌时间序列预测方法都是针对低维混沌时间序列的方法，而且，由 3 电子科技大学硕士学位论文 于混沌对噪声的敏感性，这些方法主要讨论的是无噪声情况下混沌时间序列预测 性能。随着混沌学的发展，高维混沌受到越来越多的重视，时空混沌系统就是一 种常见的高维混沌系统，近年来，出现了用支持向量机7 1 对时空混沌序列预测的文 章，但总体来说，时空混沌序列预测的研究还处于起步阶段，因此，对它的研究 具有重大的意义。 1 3 本文的工作 本文在总结前人研究成果的基础上， 的研究，文章共有六大章，其研究内容、 围绕混沌时间序列预测方法展开了大量 结构安排如下： 第1 章为引言，讲述了混沌时间序列预测意义，简单介绍了混沌、混沌时间 序列的定义、分析了混沌时间序列的研究现状，给出了本文的结构安排。 第2 章为混沌时间序列分析理论，该章节分为两部分，前一部分研究了如何 判定时间序列是混沌的，后一部分研究了混沌时间序列预测中的一个重要参数一 一l y a p u n o v 指数，并对该参数进行了定性和定量的分析计算。 第3 章为混沌时间序列的相空间重构理论，该章详细讨论了混沌时间序列预 测的基础相空间重构理论，并研究了选取最佳延迟时间和嵌入维数的常用方 法，使用m a t l a b 平台对这些方法进行了仿真。 第4 章为混沌时间序列的预测方法研究，该章为本论文的重点，研究了混沌 时间序列预测的多种方法。该章从传统预测模型分析入手，对其进行m a t l a b 平 台仿真实验，证明方法的有效性。 第5 章为时空混沌时间序列的预测研究，该章引入耦合映像格子和时空混沌 时间序列，用非参数预测方法对其进行了预测。 第6 章为结论，对论文进行了总结，指出当前尚未解决的问题，并明确了进 一步的研究方向。 4 第二章混沌系统的识别 2 1 概述 第二章混沌系统的识别 在对混沌时间序列进行预测分析时，对该时间序列性质的判定对预测有着重 要的意义。首先，需要判别产生该序列的系统的运动方式是否是混沌运动，即对 混沌系统进行混沌识别，分析出该系统的运动规律。由于混沌现象是非线性系统 所特有的运动形式，是一种普遍存在又极其复杂的现象。通常概念下的确定性运 动有三种状态静止状态、周期运动状态、准周期运动状态【8 1 。而混沌运动不属 于任意一种状态，而是一种始终在有限区域内，轨道永不重复的复杂运动。 目前，混沌识别主要采用定性、定量、以及两者相结合这三条途径来实现。 定性的方法为根据混沌信号在时域和频域中表现出的特性，将之与其他随机、 周期、准周期信号区分开来。常用方法有观察混沌信号对于初值的敏感性、观察 信号的p o i n c a r e ( 庞加莱) 截面。这些方法简单、直观、但有时不能区分大周期运 动和混沌运动。 定量的方法是通过计算混沌信号奇异吸引子即当时间趋于无穷时，状态 量的归宿的特性参数来辨别该运动是否是混沌运动。由于混沌( 奇异) 吸引 子在空间出表现为，无数次地靠拢和分离，并且，表现出来无穷层次的自相似结 构，即分形的特点，这使得我们可以利用描述邻近轨道发散率的李亚普若夫指数、 描述吸引子维数的关联维数来计算、判断系统是否是混沌的。 2 2 混沌识别的定性方法 2 2 1 初值的敏感性 对初值的“敏感 是混沌运动最重要的特征之一，l o r e n z 把它趁其为“蝴蝶 效应”，初始状态的微小不同将在短时间内引起系统轨迹成指数发散，但这种发展 最终会收敛于一定的区域内，并不会溢出，这种“敏感”是不同于线性的初值敏 感，是一种非线性的初值敏感，造成混沌运动的这种初值敏感性的主要原因在于 5 电子科技大学硕士学位论文 “伸长”与“折叠 的同时存在，这一点是混沌系统中普遍纯在的，而线性的敏 感是只有“伸长 的存在，最终会导致计算的溢出。 以下由一个仿真实例来说明混沌的初值敏感，以l o g i s i t i c 映射来说明： + l = 4 x , ( 1 一)( 2 1 ) 初始值分别为o 7 0 0 0 和0 7 0 1 0 ，对这两个差别很小的有理数进行迭代，结果 如图【2 1 】所示： 图2 - 1l o g i s t i c 映射5 0 步迭代仿真图 由仿真结果可以看出，到第十步时，两个初值近似的序列便表现出了明显的 不同，而且这种不同并非线性的。迭代进行到了5 0 步时，两个序列的差值并没有 溢出，而是在一定范围内不断变化的，这是不同于线性迭代的“敏感”，跌代出现 的差值以指数增加，由此可以证明混沌迭代与线性迭代对初值的“敏感”方式并 不相同，这是混沌序列的一个特征不相关，但不溢出。 2 2 2 庞加莱截面法 1 9 世纪末期，在研究分析复杂的多变量动力学轨道时，法国数学家p o i n c a r e 提出了一种简单有效的方法。 对于一些复杂的运动轨道的研究是非常困难的。例如，有些倍周期运动，其 轨道似乎混乱，很难将之与非周期运动区分开，我们可以利用庞加莱截面法便可 以很容易区分周期和非周期运动。 6 第二章混沌系统的识别 图2 - 2 形象的说明了p o i n c a r e 截面的原理： 图2 2 庞加莱截面 当系统的轨道十分复杂时，只研究系统的轨线与一个成常数横截面( 庞加莱 截面) 的交点，从而可以清楚地看到系统在庞加莱截上随着时间的演化形成的变 化。由图示可以看出，一个三维空间的轨线随时间以一定方向演化着，演化过程 中与庞加莱截面相交形成的这些离散点便是庞加莱映射，观察庞加莱映射的分布， 便能得知运动轨迹的性质【9 】。本文讨论了最为常见的三种运动方式： ( 1 ) 周期运动轨迹的庞加莱映射： 如果相空间中只有一条周期的轨道时，只会有一个点只穿过庞加莱截面，这 是显而易见的。当系统是的轨迹是在环面上的周期运动时，相空间中对应了几条 周期轨道，庞加莱截面上就有有相应的几个点穿过。经过大量的实验研究，结果 表明：当庞加莱截面上只有少数离散点时( 庞加莱映射由少数离散点构成事) ，该 系统的运动轨迹是周期的【9 】； ( 2 ) 拟周期运动轨迹的庞加莱映射 准周期运动的庞加莱截面比周期运动复杂，以下由一个例子可说明准周期运 动轨迹的庞加莱映射。设想一个在二维环面上的运动的拟周期吸轨迹，一边沿柱 轴的旋转，一边围绕着轴旋转，此类轨迹与庞加莱截面相交后，形成的庞加莱映 射的轨迹为闭合的曲线，原因如下：准周期运动的轨道绕满整个环面，并且轨迹 无始无终，永不封闭，不走重复路，所以该曲线在截面上留下的轨迹是连续的闭 合的曲线。经过大量的实验研究，结果表明：准周期运动轨迹的庞加莱映射是闭 合的曲线【9 1 。 7 电子科技大学硕士学位论文 ( 3 ) 混沌运动轨迹的庞加莱映射 混沌运动常在空间中表现出复杂的图像，比拟周期运动轨道复杂的多，想要 从外在图像了解其内部结构是十分困难的。然而混沌运动的轨道在通过庞加莱截 面时表现为沿线段和弧线分布的一些成片的密集的点，由此便可以区分混沌运动 轨迹与其他运动轨迹。 下面的仿真为l o r e n z 系统和c h e r t 系统的庞加莱映射图像。其中l o r e n z 系统 的的庞加莱截面的选择三维空间中z = 5 0 的平面，c h e n 系统为z = 0 的平面。 a ) l o r e n z 系统m c h e r t 系统 图2 0 庞加莱截面 由仿真结果可以得到，l o r e n z 系统和c h e r t 系统的庞加莱截面映射图像均为沿 弧线分布的密集的点集，结果验证了庞加莱映射理论的正确性。利用庞加莱截面 来验证运动轨迹是否为混沌运动的有以下两点优点：第一，降低原有系统的阶， 以上两个仿真中都选定了一个平面，消除了一个变量，简化了问题，减小了计算 量。第二，庞加莱映射给出了整个运动轨迹深八的、明显的展示，非常地清晰。 但庞加莱映射也存在一些问题，首先，当出现周期非常太，轨迹十分复杂的 运动时，庞加莱映射有时并不能将其与混沌运动区分开来。其次，庞加莱截面的 选取主要靠经验柬判断，没有一个确定的标准，一般来说，庞加菜截面的选取不 能与轨道相切，并且要有利于观察运动轨迹的特征和变化。 。广 第二章泥沌系统的识别 2 3 混沌识别定量计算方法 231 饱和关联维数法 相空间存在着奇异吸引子也是混沌的一个重要特征。所谓相空间的吸引子， 通常是指当时间趋于无穷时状态的归宿i 。混沌系统由于其既表现出了伸长又表 现出了折叠的性质，使得它具有“奇异( 混沌) 吸引子”。下图就是著名的l o r e n z 吸引子： 酗2 4 l o 吸引子 由图中可以看出，l o r e n z 方程解的轨迹经过伸长与折叠，始终围绕着两个区 域进行不重叠的运动，这两处区域便是i x , r e n z 的吸引子，由于其形状像一只翩飞 的蝴蝶这也是l o r e n z 定理被称为“蝴蝶效应”的原因。 大量的研究结果表明，只有混沌( 奇异) 吸引子才会在相空间中表现出空间 结构，而描述奇异吸引子维数的最常用的数学量便是它的维数，其中关联维数就 是吸引子的重要维数之一。 由g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 这两人提出的关联维数算法叫( g p 算法) 能通过 实验数据快速计算出并且，关联维数与混沌时间序列预测中使用的相空间重构 具有十分紧密的联系，所以关联维数得计算有着重要意义。 g p 法能够通过混沌时间序列计算出吸引子的关联维数，方法如下： ( 1 ) 实际观测到的混沌时间序列为：x 0 ) ，( 2 ) ，x ( t ) ，其长度为m 运用t a n k s 9 电子科技大学硕士学位论文 嵌入定理进行相空间重构，得到向量x ( t ) = z ( f ) ，x ( t + r ) ，x ( t + ( 聊一1 ) f ) ，其中 t = l ，2 ，n ，n = m 一( m 一1 ) r ，这里，延迟时间f 的选择对于计算结果没有影响， 但对序列长度有影响，当丁接近第三章中介绍的方法得到的理想延时，计算所需的 序列长度越小，计算时间也越小，潜入维数的取法将在第( 3 ) 步中讲解。 ( 2 ) 给定一个足够小的正数s ，代表距离，当上面所得到的空间向量 共有n 个) 两两之间的距离小于s 时，认为这是两个相关联的向量，其中向量间的距离有 两种计算方式，2 范数和无穷范数，由于这两者在实质上市等价的，所以采用任意 一种计算都可以得到正确的结果，但由于无穷范数的计算量较小，这里采用无穷 范数进行计算。计算得到的关联向量的对数在所有可能( n ( n 一1 ) 配对) 中的比列 为关联积分，其表达式为： c ( 眦) 2 志善酽卜i l x i - - _ i j ) ( 2 - 玉 其中臼( d 为h e a v i s i d e 阶跃函数，满足 f 0r 0 的临界点。仿真结果证 明，当系统的l e 0 时，系统进入混沌状态。所以，6 作为混沌系统的重要的特 征量，能将其他周期系统、准周期系统和混沌系统区分开。 另外，混沌的最大l y a p u n o v 指数，同混沌时间的预测时间，有着紧密联系。 大量的实验和理论证明了，混沌时间序列的理论最长预测时间与虽大l y a p u n o v 指 数成反比”，也就是说，最大l 拍p u n o v 指数值越大，系统的混沌特性越明显，对 i5 电子科技大学硕士学位论文 初值越敏感，从而导致了预测越困难。 2 4 本章小结 本章主要讲述混沌系统识别的两类方法定性的方法和定量的方法。 在定性的方法中，首先通过直观的仿真图证明了，混沌系统的主要特点之一 对初值的敏感性，详细说明了混沌系统的“非线性 敏感同其他系统的“线 性”敏感之间的不同。 然后，用庞加莱截面法，说明了混沌系统的轨迹与周期系统、拟周期系统是 不同，仿真实验证明，混沌系统在庞加莱截面上出现特殊的片状的点集，直观地 区分与周期系统、准周期系统。 定量的方法中，研究了饱和关联维数法、定义法计算l y a p u n o v 指数。关联维 数和l y a p u n o v 指数，是混沌系统的重要的特征量。其中，通过时间序列求取饱和 关联维数，是下一章相空间重构中确定嵌入维数的经典方法。最大l y a p u n o v 指数， 同混沌时间序列的最长预测时间，有着紧密的联系。本章对于这些经典方法的仿 真，是后面混沌预测方法研究的基础。 1 6 第三章混沌时间序列的相空间重构理论 3 1 概述 第三章混沌时间序列的相空间重构理论 在实际的时间序列的分析中，测量序列原本性质的不确定，测量的精度限制， 使得研究中遇到了许多方面的困难。作为动力系统一个分量的时间序列，能否体 现出原本动力学系统的内在机制，这是时间序列分析发展的关键问题。 相空间重构理论的提出，是混沌时间序列预测研究得以发展的奠基石。2 0 世 纪8 0 年代，p a c k a r d 等人建议用原始系统中的某一分量( 即某一时间序列) 的延 迟坐标来重构相空间，随后，t a k e n s 验证了这个理论。 t a k e n s 认为：系统中，任一分量的演化 1 8 】，都是由与之相互作用的其他分量 决定的。所以，任一分量中，都隐含着其他分量的相关信息，只需采集一个分量， 通过一定的坐标延时变换，即相空间重构，可恢复出一个，与原本的动力学系统 微分同胚的系统【1 8 】。虽然这并非是原来的系统模型，但由于它与真实系统在动力 学、拓扑学、微分学意义下等价，因此，可直接研究这个等价的系统进行后续工 作。 相空间重构的方法为：设观测到的混沌时间序列为 it = 1 ，2 ，n ，其原本 的动力学方程如下： 五+ 。= 厂( 置) ， ( 3 1 ) 其中，x 为包含时间序列分量x t 的向量，其分量的个数未知。相空间重构定 理认为，选择适当的时间延迟f 和嵌入维数m 重构后可向量： 掣= ，“，制) ， r ( 3 - 2 ) 其中，丁表示转置，同理，可以得到霸。，t a k e n s 定理认为这两个重构向量满 足一下关系： 戤。= f ( 置) ，( 3 - 3 ) 其中，厂与厂是微分同胚的，在实际中，可以用这个近似值厂代替厂。相空 1 7 电子科技大学硕士学位论文 间重构理论是易于理解的，构造方法也简单便捷，但其关键问题在于如何确定最 佳的时间延迟r 和嵌入维数m 。 3 2 嵌入维数的确定 嵌入维数的选取，是相空间重构的研究热点之一。运算中，使用过大的前夫 维数，会引入冗余量，不仅增大了计算量，还减少了数据长度。过小的嵌入维数， 又使得相空间折叠，不能表明其动力学性质。t a k e n s 、m a n e 、s a u e r 等人认为，嵌 入维数的选取应为m 2 d + l ，其中d 为时间序列的关联维数f ”】。而在实际的运用 中，m z d i n g 1 7 】证明，对于不含噪声的时间序列，m i n t d 1 即可。 现在，常用的确定嵌入维数m 方法有饱和关联维数法、伪最邻近域法、 c a o 氏法。由于饱和关联维数法( g p 法) 在前一章已讨论，这里主要研究伪最邻 近域法。 伪最邻近域法的思想来源于几何角度。时间序列是的本质高维的系统运动轨 迹在低维坐标中的投影。因此，在高维空间中并不相邻的两点在投影到低维空间 时可能相邻，这些点被称为伪邻近点。在进行相空间重构时，这些投影到低维空 间的虚假邻近点会随着嵌入维数的增加而分离开来，即被剔除。所以，可以根据 虚假邻近点出现概率来判断嵌入维数是否达到了原本动力学系统的维数。 伪最邻近域方法的数学描述如下：设在m 维相空间中，其中相点置的最邻近 点为砟，其中： = t ，誓+ f ，薯+ ( 。一1 ) ， ，耳= 诈，砟川，坼+ ( 。一1 ) ，】 ( 3 - 4 ) 这两者间的距离为以( f ) = 0 墨一砟i l ，相空间从聊维jm + l 维时，由于新的分 量的引入，这两个相点之间的距离如+ 。( f ) 是会发生变化的，关系为： 疋+ 。2 ( f ) = 如2 ( f ) + 慷- x e j j 2 ( 3 5 ) 对比如( f ) 与r + 。( f ) 的值，如果这两者之间大小相差过大，便认为这个点是一 个虚假邻近点。具体的判别标准为，设定 最= 唰 p 6 ， 如果最大于某一个阈值s t ，则认为砟是置的虚假邻近点，阈值由经验选取， 第三章混沌时间序列的相空间重构理论 一般取值在 1 0 ，5 0 之间。判断嵌入维数是否达到要求的依据为，当虚假邻近点的个 数占总的邻近点个数的百分比在5 以下或者虚假邻近点的百分比不随嵌入维数 的增加减小时，这时的嵌入维数m 便是最佳的。 仿真实验以l o r e n z 序列为例。 l o r e n z 方程的表达式如下所示： l 戈= 6 ( y x ) 夕= ( r z ) x - y( 3 - 7 ) 【之= x y b z 参数的取值为：万= 1 6 ，b = 4 ，= 4 5 9 2 ，用龙格一库塔法解微分的步长为0 0 1 。选 择解的x 分量计算嵌入维数m ，序列长度3 0 0 0 ，仿真时，使得嵌入维数取值从1 增加到8 ，阈值的判别门限为 2 ，1 5 之间，结果如下图所示： 图3 - 1 伪最邻近域方法 仿真结果中可以看出，嵌入维数未到达理想值时，虚假邻近点的百分比下降 得很快，仿真以虚假邻近点的百分比不再增加时得到的嵌入维数，为理想嵌入维 数，实验结果为m = 3 ，这与实际情况是符合的。 使用伪最邻近域法求解嵌入维数m 时，由于该方法能随相点的稀疏变化自动 调节距离的尺度，应用于相点分布较为稀疏的系统时，自动调节的功能使得求解 的统计结果比较可靠【l9 1 。但是当相点分布较为密集的情况下，阈值的设定比较困 难，采用其它的方法如前面介绍的g p 法更为合理。 1 9 电子科技大学硕士学位论文 0 延时f = 1 4d ) 延时r = 2 0 图3 - 2 不同延时下重构的l o r e n z 序列二维相图 选取延迟时间主要基于两个准则：首先，使得相空间的轨迹要尽可能扩展开 来，却不能出现重叠得情况，平均位移法就是以这个准则为目的提出的方法；第 2 0 第三章混沌时间序列的相空间重构理论 二，降低序列的相关性的同时保证原动力学系统信息不丢失， 信息法就是以此为标准提出的。以下就详细