第十讲 三角形讲义.doc

第十讲 三角形一、课标下复习指南1三角形定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2三角形的主要线段和特殊点(1)三角形的主要线段三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半(2)三角形的特殊点三角形的外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心(即三角形外接圆的圆心)外心到三角形各顶点的距离相等三角形的内心：三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心(即三角形内切圆的圆心)内心到三角形各边的距离相等三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心3三角形的边、角关系(1)关于边的关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边(2)关于角的关系：三角形三个内角的和等于180；三角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角；三角形的外角和等于360(3)关于边、角的关系：在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边*在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大4三角形的分类(1)按边的相等关系分类如下：(2)按角的大小分类如下：5等腰三角形(1)定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形(2)性质等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线(3)判定根据等腰三角形的定义判定；有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)6等边三角形(1)定义三边都相等的三角形叫做等边三角形(2)性质具有等腰三角形的性质；等边三角形的每个角都是60，各边相等；等边三角形的外心、内心、中心、重心互相重合成一点若等边三角形的边长为a，则其外接圆半径R，内切圆半径，一边上的高，其面积为(3)判定根据等边三角形的定义判定；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60的等腰三角形是等边三角形7直角三角形(1)定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(2)性质直角三角形中，两个锐角互余；勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边大于直角边；在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半(3)判定根据直角三角形的定义判定；勾股定理的逆定理：如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形8全等三角形(1)全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(2)全等三角形的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等(3)全等三角形的判定两个三角形具备以下条件之一的就全等：三边对应相等，即SSS；两边及其夹角对应相等，即SAS；两角及其夹边对应相等，即ASA；两角和其中一角的对边对应相等，即AAS如果两个三角形都与同一个三角形全等，那么这两个三角形全等；两个直角三角形全等还可以用斜边和一条直角边对应相等(即HL)来判定9三角形具有稳定性10角平分线的性质定理及逆定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上11线段垂直平分线性质性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上12作图(1)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(2)利用基本作图法作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形13命题与定理(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常写成“如果那么”的形式(2)定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理(3)互逆命题：两个命题，如果第一个命题的题设和结论分别是第二个命题的结论和题设，那么这两个命题叫互逆命题如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题原命题成立其逆命题不一定成立(4)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理二、例题分析例1 已知三角形的三边长分别为2，x1，3，则x的取值范围是_分析 运用三角形三边关系定理及不等式的性质即可求出x的取值范围解 32x132，即1x15，2x6例2 在ABC中，ABBC15，求A，B，C的度数分析 巧妙变形已知的等式，结合三角形内角和定理进行计算解 ABBC，AC2B又ABC180，3B180，B60AB1575CB1545A，B，C的度数分别是75，60，45例3 如图101，在ABC中，ABAC，周长为16cm，AC边上的中线BD把ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求ABC各边的长图101分析 因为ADDC，BD为ABD和BCD的公共边，所以两个三角形周长差实际上是ABBC或BCAB解 设ABACxcm，BCycm(1)当xy时，解得(2)当xy时，解得在ABC中时，能构成三角形当ABAC4，BC8时，不符合三角形三边关系ABC各边的长为说明 解这类题要分类讨论，不要忘记有两种情况；要用三角形三边关系来检验，注意这也是容易忽略的地方例4 如图102，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF图102分析 延长中线一倍长，得到一对全等三角形BDH和CDA，将证明ACBF转化为证明BHBF证明 延长AD至H，使DHAD，连接BHAD是BC边上的中线，BDCD在BDH和CDA中，BDHCDABHAC，H3AEEF，34而45，5HBFBHACBF说明 此题也可以将FD延长一倍构造一对全等三角形，从而将线段集中到一个三角形中因此，“倍长中线”或“倍长过中点的线段”构造全等三角形，使问题得到转化，这是有中点条件时常做的辅助线，实际也是通过旋转变换来解决问题例5已知：如图103，在四边形ABCD中，BCBA，ADDC，BD平分ABC求证：AC180图103分析 因为BD平分ABC，而其他条件偏少，联想到角平分线定理的基本图形，所以从D点向ABC的两边作垂线段证明 过D点作DEBA，交BA的延长线于E，过D作DFBC于F又BD平分ABC，DEDF在RtEAD和RtFCD中，RtEADRtFCD(HL)CEAD又EADBAD180，BADC180说明 (1)这一证法是利用角平分线的性质证出垂线段相等，这种添辅助线的方法要熟练掌握(2)这道题还可以围绕ADDC这一条件添辅助线，线段相等就考虑等腰三角形、平行四边形等考虑等腰三角形有以下两种方法：如图104，在BC上截取BEBA，连接DE，可证ABDEBD图104如图105，延长BA到E，使BEBC，连接ED，可证BDEBDC图105例6 (2009河南)如图106，BACABD，ACBD，点O是AD，BC的交点，E是AB的中点，试判断OE与AB的位置关系，并给出证明图106解 OEAB证明：在BAC和ABD中，BACABDOBAOAB，OAOB又AEBE，OEAB例7 (2007苏州)如图107，已知AD与BC相交于E，123，BDCD，ADB90，CHAB于H，CH交AD于F图107(1)求证：CDAB；(2)求证：BDEACE；(3)若O为AB的中点，求证：证明 (1)BDCD，BCD112，BCD2CDAB(2)CDAB，CDA3，BCD23BEAE，且CDABCDDECE在BDE和ACE中，BDEACE(3)BDEACE，41，ACEBDE90ACH90BCH又CHAB，290BCHACH214AFCFAEC904，ECF90ACH，ACH4，AECECF，CFEFEFAFO为AB的中点，OF为ABE的中位线，例8 如图108，在ABC中，ABAC，E在CA的延长线上，AEFAFE求证：EFBC图108分析 要证EFBC，而图中EF与BC没有直接联系，而已知条件主要是两个等腰三角形，与BC垂直的是ABC中BC边上的高，与EF垂直的是AEF的底边EF上的高证法一 作BC边上的高AD，D为垂足(如图108)ADBC，ABAC，BADCAD又BAC是AEF的一个外角，BACEEFAEEFA，ECADEFADADBC，EFBC证法二 过A作AGEF于G，如图109图109在AEF中，EAFEAEAF又AGEF，EAGFAG往下证法与证法一类似，请同学们自己完成说明 在证法一、证法二中，我们发现：在同一三角形中，有边相等，要联想到角相等；有角相等，要联想到边相等；牢记“等腰三角形底边上三线合一”这条性质，这条辅助线的作用很大；本题提供了证明垂直的一种思考方法：若ab，ac，则bc证法三 过E作EHBC交BA的延长线于H，如图1010所示图1010ABAC，BC，易知HAEHAEFAFE，又HAFEFEH180，即HAEHAEFAFE180AEFAEH90，即FEH90EFEHBCEH，EFBC证法四 过F作FMBC，如图1011所示与证法三类似，请同学们自己证出图1011证法五 延长EF交BC于K，如图1012所示图1012ABAC，BCBAC)AEFAFE，BFKAFE，BAC)EAFBAC180，BBFK90FKB90EFBC说明 证法三至证法五运用了证明垂直的常用方法，即要证垂直，就是要证它们的夹角为90，可通过计算来证得例9 已知：如图1013，点B，C，D三点在一条直线上，且ABC与ECD都为等边三角形，连接BE交AC于M，连接AD交EC于N图1013(1)试比较BE与AD的大小，并证明你的结论；(2)连接MN，试确定MN与BD的位置关系，并说明理由分析 (1)只需证明BCEACD即可；(2)可由BCMACN得MCNC，再由360推出MCN是等边三角形，则6260，从而MNBD(1)BEAD证明 ABC与ECD都是等边三角形，ACBC，CECD，12601323，即BCEACD在BCE和ACD中，BCEACDBEAD(2)MNBD证明 BCEACD，451260，318060606013在BCM和ACN中，BCMACNMCNC，又360MCN是等边三角形66062MNBD三、课标下新题展示例10 (2006吉林)把一副三角板如图1014放置，则两条斜边所形成的钝角a_图1014分析 利用三角形外角性质结合特殊三角形的内角度数来求解解 145，2453015，a18015165例11 (2006北京)如图1015，在ABC中，ABAC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM若AB13cm，BC10cm，DE5cm，则图中阴影部分的面积为_cm2图1015解 设DN与EM交于点O，连接OA，OB，OC，由，可得SAOMSAOB，SAONSAOC，SDOESBOCSABC可求得BC边上的高h12，SABCS阴30例12 (2009沈阳)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图1016(a)方式摆放，其中ACBDEB90，AD30，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F(1)求证：AFEFDE；(2)若将(a)中的DBE绕点B顺时针方向旋转角a，且0a60，其他条件不变，在图(b)中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立； 如图1016(a) 如图1016(b)(3)若将图(a)中的DBE绕点B顺时针旋转角b，且60b180，其他条件不变，如图(c)，你认为(1)中的结论还成立吗?若成立，写出证明过程；若不成立，写出此时线段AF，EF与DE之间的数量关系，并证明理由如图1016(c)证明 连接BF(如图1017(a)图1017(a)ABCDBE，BCBE，ACDEACBDEB90，BCFBEF90BFBF，RtBFCRtBFECFEFAFCFAC，AFEFDE(2)如图1017(b)，(1)中的结论AFEFDE仍然成立图1017(b)(3)不成立此时线段AF，EF与DE之间的数量关系为AFEFDE理由：连接BF(如图1017(c)图1017(c)ABCDBE，BCBE，ACDEACBDEB90，BCFBEF90，又BFBF，RtBFCRtBFECFEFAFCFAC，AFEFDE例13 已知：RtABC中，ABC90，ABBC，RtADE中，ADE90，ADDE，连接EC，取EC中点M，连接DM和BM(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1018(a)求证：BMDM且BMDM；图1018(a)(2)若将图1018(a)中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图1018(b)，那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图1018(b)证明 (1)在RtBEC中，EBC90，M为EC中点，同理BMDM，34，5613424，25626BMD122(46)2ACB在RtABC中，ABC90，ABBC，ACBA45BMD90，即BMDM(2)过B作BFAC于F，过D作DNAE于N连接MF、MN在RtABC中，ABBC，BFAC，AFCFM为EC中点，同理MFDN，BFMN又ENMEACMFC，MNDBFMMNDBFMMDBM，NMDFBM又BFNM，FBMBMN90BMNNMD90BMDM说明 (1)两个有公共端点的等腰直角三角形中，常常作底边上的高，利用“三线合一”的性质及三角形的中位线构造全等三角形解决问题；(2)本题也可以倍长DM至H，连接BD，BH，证DBH为等腰直角三角形(即利用旋转变换解决问题)如图1018(c)图1018(c)例14 (2007太原)数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形为此，请你解答以下问题：(1)已知：如图1019(a)，在ABC中，ABAC，A36，直线BD平分ABC交AC于点D求证：ABD与DBC都是等腰三角形；(2)在证明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形如图1019(b)、1019(c)也具有这种特性请你在图1019(b)、图1019(c)中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；图1019(3)接着，小颖又发现：一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形证明 (1)在ABC中，ABAC，ABCCA36，BD平分ABC，123631A721A，3CADBD，BDBCABD与BDC都是等腰三角形(2)如下图所示：图1020(3)如下图所示：图1021四、课标考试达标题(一)选择题1下面四个图形中，线段BE是ABC的高的图是( )2以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A1cm，2cm，4cmB8cm，6cm，4cmC12cm，5cm，6cmD2cm，3cm，6cm3如图1022，等腰ABC中，ABAC，A44，CDAB于D，则DCB等于( )图1022A44B68C46D224如图1023，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于O点，那么AOBDOC的度数为( )图1023A120B180C130D无法计算5如果等边三角形的边长为4，那么连接其各边中点所组成的三角形的周长为( )A2B6C8D126等腰三角形的一个角是20，那么另外两个角分别是( )A140和20B80和80C140和20或80和80D以上都不对7如图1024，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30角，这棵大树在折断前的高度为( )图1024A10米B15米C25米D30米(二)填空题8如图1025，在ABC中，AD是中线，则ABD的面积_ACD的面积(填“”、“”、“”)图10259如图1026，在ABC中，A40，B72，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE于F，则CDF_图102610如图1027，RtABC中，C90，AD平分BAC，BC10cm，BD6cm，则点D到AB的距离为_cm图102711如图1028，12，要使ABEACE，还需添加的一个条件是_(填上你认为适当的一个条件即可)图102812如图1029所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_图102913如图1030，在ABC中，BC5cm，BP，CP分别平分ABC和ACB，且PDAB交BC于D，PEAC交BC于E，则PDE的周长是_cm图1030(三)解答与证明题14如图1031，ABCD中，直线MQ分别交DA，AB，BD，DC，BC或其延长线于M，N，E，P，Q，且MNPQ求证：DEBE图103115如图1032，已知AD、BE是ABC的高，AD和EB的延长线相交于H，且BHAC求ABC的度数图103216如图1033，ABAD，ABCADC求证：BCDC图103317如图1034，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且求证：EFA90图103418平静的湖面上有一支红莲高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹倒一边，花朵刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问水深多少米19如图1035，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，图1035(1)求证：ABEADF；(2)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使ABE变到ADF的位置；(3)线段BE与DF有什么关系?证明你的结论20如图1036，在Rt