（基础数学专业论文）一类广义kkm定理及其应用.pdf

i i l llli lli l l i i i l li iiil 18 4 12 6 6 ag e n e r a l i z e dk k mt h e o r e ma n di t s a p p l i c a t i o n s b yl i ux i a n m i n s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u nt a o n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 7 1-1j1l 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意 学位论文作者签名：刘缓敏 日 期：泐碑f 印咽 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位 论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： ； 一类广义k k m 定理及其应用 摘要 非线性分析主要研究非线性问题，存在性的讨论是非线性分析的一个重要方 面k k m 定理及由此产生的k k m 技巧，在许多存在性问题的讨论中起着重要作 用本文主要对非线性分析中的几个热点问题进行分析和研究，对已有的结果进 行推广本文主要有两个部分： 1 在h 度量空间中通过引入两个集值映像条件给出一类k k m 定理( 非空 交定理) ，并在此基础上得到k k m 定理的一些应用：h 度量空间中的不动点定 理、极大极小不等式、极大元存在定理、截口定理、抽象广义矢量平衡问题平衡 点的存在性定理及有上下界的平衡问题解的存在性定理已有的成果都是在一个 集值映像条件下给出，这里突破这一点，通过引入两个集值映像，并将条件由紧闭 值到有限度量紧闭值，得到进一步的结果 2 将上述结论推广到g 凸度量空间，我们给出g 凸度量空间中的一类k k m 定理( 非空交定理) ，并在此基础上可以得到k k m 定理的一些应用：g 凸度量 空间中不动点定理、极大极小不等式、极大元存在定理、截口定理、抽象广义矢 量平衡问题平衡点的存在性定理及有上下界的平衡问题解的存在性定理条件 由有限度量紧闭值到关于r 有限度量紧闭值，得到进一步的结果 关键字：h 度量空间；g 凸度量空间；极大极小不等式；截口定理；平衡 问题 i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t ag e n e r a l i z e dk k mt h e o r e ma n di t sa p p l i c a t i o n s a bs t r a c t n o n l i n e a ra n a l y s i sm a i n l ys t u d i e so nt h en o n l i n e a rq u e s t i o n si ns o m ef i e l d s t h e d i s c u s s i o no fe x i s t e n c ei sa ni m p o r t a n ta s p e c to fn o n l i n e a ra n a l y s i s t h et h e o r e mo f k k ma n di t ss k i l lh a sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ed i s c u s s i o no ft h ee x i s t e n c e t h i sp a p e r m a i n l yf o c u s e so nh o tq u e s t i o n si n n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，a n dg e n e r a l i z e s s o m er e s u l t si np r e v i o u ss t u d i e s t h i sp a p e rh a st w om a i np a r t s ： 1 u n d e ras e t - v a l u e dm a p p i n gc o n d i t i o n ，t h ep r e v i o u sk k mt h e o r e mi sg i v e ni n h m e t r i cs p a c e 。ag e n e r a lk k mt h e o r e m ( n o n e m p t yi n t e r s e c t i o nt h e o r e m ) ，i nt h i s p a p e r ，a r eg i v e ni nh - m e t r i cs p a c ew i t ht w oe x t r e m ec o n d i t i o n s s o m ea p p l i c a t i o n s a r eo b t a i n e do nt h eb a s i so fk k mt h e o r e m f i x e dp o i n tt h e o r e m si nh - m e t r i cs p a c e ， m i n i m a xi n e q u a l i t i e s ，e x i s t e n c et h e o r e m so fm a x i m a le l e m e n t ，s e c t i o nt h e o r e m s ， e x i s t e n c et h e o r e m sf o ra b s t r a c tg e n e r a l i z e dv e c t o rb a l a n c ee q u i l i b r i u mp o i n t ，a n d e x i s t e n c et h e o r e m so fu p p e ra n dl o w e rb o u n d so ft h eb a l a n c e t h ef o r m e rr e s u l t sw e r e g i v e nu n d e ro n e e x t r e m ec o n d i t i o n s t h ep a p e ro b t a i n st h ef u r t h e rr e s u l t sb yc h a n g i n g o n ee x t r e m ec o n d i t i o ni n t ot w oe x t r e m ec o n d i t i o n s 2 t h ea b o v e m e n t i o n e dt h e o r yc a nb ee x t e n d e dt ot h eg - c o n v e xm e t r i cs p a c eb y g i v i n gt h eg e n e r a l i z e dk k m t h e o r e mi ng c o n v e xm e t r i cs p a c e s o m ea p p l i c a t i o n si n g c o n v e xm e t r i cs p a c ea r eg o r e nb a s e do nk k mt h e o r e m n e wf i x e dp o i n tt h e o r e m s i nt h eg c o n v e xm e t r i cs p a c e ，m i n i m a xi n e q u a l i t i e s ，n e wm a x i m a le l e m e n te x i s t e n c e t h e o r e m s ，n e ws e c t i o nt h e o r e m sw h i c ha r em a p p i n gi nh m e t r i cs p a c e c a l lb e o b t a i n e du n d e rs o m ec o n d i t i o n s t h ea d v a n c e dr e s u l t sa r eo b t a i n e db yc h a n g i n g c o n d i t i o n si nh m e t r i cs p a c e k e yw o r d s ：h - m e t r i cs p a c e ；g - - c o n v e xm e t r i cs p a c e ；m i n i m a xi n e q u a l i t y ； s e c t i o nt h e o r e m ；b a l a n c e i i i ，iiinl -一 盘a 堡盘堂塑堂焦途盘 旦垂 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t r a c t i i i 目录 第一章引言1 第二章预备知识一9 2 1 记号与用法9 2 2 定义9 第三章h 度量空间k k m 定理及其应用1 5 3 1k k m 定理1 5 3 2k k m 定理的应用1 6 3 2 1 不动点定理1 6 3 2 2 极大极小不等式1 6 3 2 3 截口定理1 9 3 2 4 平衡问题解的存在性定理2 0 第四章g 凸度量空间k k m 定理及其应用2 5 4 1k k m 定理2 5 4 2k k m 定理的应用2 6 第五章结论3 5 参考文献3 7 致谢4 1 i v “ 第一章引言 非线性分析主要研究非线性问题物理学、化学、生物学和经济学中的大量问题 都表现为非线性问题由于这些非线性问题的解决被抽象为研究某种类型的方程解 的存在性问题，因此存在性的讨论就成为非线性分析的一个重要方面这个方面已有 许多著名的结果，如b a n a c h 不动点定理，b r o u w e r 不动点定理，s c h a u d e r 不动点定 理，k k m ( k n a s t e r ，k u r a t o w s k i ，m a z u r k i w i c z ) 定理，k yf a n 极大极小原理， h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式定理等，构成了非线性分析的主要部分，其中 b r o u w e r 不动点定理起着中心的作用但k k m 定理就其形式、论证方法及其发展过 程和由此发展起来的k k m 技巧来说，都是人们津津乐道的 著名的k k m 定理起源于一个简单的覆盖性存在事实，却提供了不动点的完全初 等的证明方法以及在变分不等式理论、集值映像不动点理论、决策论和数学经济学 中的许多有趣的应用。下面介绍k k m 定理的发展情况 在平面几何中有这样一个问题：如果以幽。a ：a ，顶点为心作的三个圆满足下列 条件：( 1 ) 覆盖鲋。彳：a 3 ；( 2 ) 每两圆覆盖对应边即连心线；那么这三个圆一定同时含 有三角形内的一个点，如附图所示 k k m 定理示意 这个简单的平面几何覆盖性存在事实其实包含着关于多维单形覆盖性存在问题 的一个深刻性质，这一性质由波兰数学家k n a s t e r ，k u r a t o w s k i ，m a z u r k i w i c z 在1 9 2 9 年揭示出来，这就是人们后来称为k k m 定理的结论这个定理后来的发展向我们展 示了如何从具体的几何问题向其它抽象形式作推广，在这方面是一个典例，其形式、 证明和发展过程都让我们学习到数学成果形成的方法 1 分析上面的几何问题，我们可以把它表述成这样的形式： 给定平面上的一个单形鲋，a ：a 。= c o ( a 。a ：a ，) ( 即包含4 ，a 2 ，a ，的最小凸集， 即凸包) 和相应的闭集m ，m ：，m ，满足覆盖性： ( 1 ) 4 m ，；( 2 ) c 0 0 ，彳) cm ，u m ，( 3 ) c 。o 。么：彳，) c0 m ，； 3 那么就存在点x a a 。a ：a 。，使得x v i m ， i = l 这样一来，我们就容易写出多维空间中的对应形式： 定理1 【1 】( k k m 定理) 设s 是空间e = r ”中以，e 。，e ：，e 。为顶点的，2 一维单形，即 s = c o e 。，e 。，p ：，e 。 ，m ，o = 0 , 1 ，2 ，刀) 是e 中甩个闭集若= x c s 的任意一组顶点子 集p 玷，p ，p f 2 ，p h ce o , e i , e 2 , , e n ) 都有，口”气，反jcu km ，( 覆盖性) ，则 存在点x st yx n m ，( 存在性) t = 0 k k m 定理揭示出有限维单形的覆盖性存在事实，而k k m 定理最吸引人的地方， 它不但有如此完美的高维推广，而且樊畿( f a nk y ) 先生在1 9 6 1 年还将它由有限维推 广到了无穷维空间中，这就是如下的f k k m 定理 定理2 2 1 ( f k k m 定理) 设e 是- - h a u s d o r f ：f 拓扑线性空间，s 为e 中非空子集，若任给x s ，存在e 中 闭集m ( x ) 与之对应，满足： ( 1 ) 存在s ，使m ( x 。) 是紧集； ( 2 ) 对s 中任何有限子集扛。，x ：，吒 ，均有c o x 。，x ：，) cu m ( x 。) ； ，= l 则n m g ) 矽 x e s 在f k k l v l 定理中，可看出它论述的结论不仅将k k m 定理推广到了无穷维空间 中，而且还对任何非空子集成立，这是多么令人惊奇的事实更为让人赞叹的是定 x - - 1 理中的覆盖条件，隐含着一种奇妙的东西，樊畿先生将它抽象为k k m 映像，即满足 条件( 2 ) 的集值映像m ：s 专2 e ，由此产生了非常有用的k k m 技巧，它在许多存在性 问题的讨论中起着重要作用用这一技巧可以证明b r o u w e r 不动点定理，反收缩原理， k k m 定理，h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式定理， k yf a n 极大极小原理等定理的 等价性，而且还可以将k k m 定理推广到其它类型的空间中上面几个定理都涉及到 集合的凸包，也涉及到空间的线性结构，因为凸包是一种线性结构，似乎k k m 定理 只能在线性空间里才能成立但人们仔细研究了f k k m 定理中的覆盖性条件，特别 是k k m 映像这一技巧性，认识到只要空间具有某一类“凸 性，而这种“凸 性又 具某种覆盖性，那么k k m 定理的结论就有可能成立基于这样的认识，由k k m 定 理引发的空间的发展和有关存在性的证明已经取得大量成果由不同“凸”性的定 义，人们创立了h 空间，h 度量空间，超凸度量空间，g 凸( 广义凸) 空间，g 凸 度量空间，f c 空间等概念，并在这些空间里建立了各自形式的k k m 定理，以及这 些k k m 定理对各种非线性问题的应用值得一提的是由k k m 定理建立的许多新的 k yf a n 极大极小不等式在各种学科里有很广泛的应用，如著名的n a s h 的经济平衡理 论就是以此为基础发展起来的 下面给出k k m 定理在h 空间，h 度量空间，超凸度量空间，g 凸( 广义凸) 空间， g 凸度量空间，f c 空间中的相应结论，以及有关各空间的概念 定义l 【3 1 设x 是拓扑空间，如果存在集值映像f ：( x ) 一 2 j 满足： ( 1 ) v a ( x ) ，r ( a ) 都是x 的非空可缩子集； ( 2 ) v a ，b ( x ) ，若acb ，则1 1 0 ) cr ( 8 ) ； 那么称( x ，f ) 为h 空间 定理3 【1 1 设s 是一非空集，( ，r ) 是h 空间，m ：sj2 j 是一集值映像，满足： ( 1 ) m g ) 在x 中是紧闭的，r g x 。s ，e m ( x 。) 是紧集； ( 2 ) 对任意a = 扛。，x ：，以 ( s ) ，都存在b = 。，y ：，y 。) ( x ) ，使得对任意 饥蛳y ，y jc 。，y ：，y 。 ( 1 七聆l 都有 则n m g ) x e s r 饥，y 矿，y jco 肘g ，l = l 定义2 问设d 是拓扑空间x 的非空子集，如果存在集值映像r ：( d ) 专2 x 满足： ( 1 ) r 0 ) ，v a ( d ) ； ( 2 ) v a ，b ( d ) ，若彳cb ，则r 0 ) cr 0 ) ； ( 3 ) v a ( d ) ，f a i = 刀+ 1 ，存在一个连续单值映像九：a 。斗r 0 ) ，v j ( a ) ， 有九( j ) cr p ) ，其中a ，表示相应于，( a ) 的。的面； 那么称伍，d ，r ) 为g 凸空间 包 注若d = x ，则记似，d ，r ) 为伍，1 1 ) 显然，h 空间是g 凸空间的特例 定义3 刚设似，r ) 为g 凸空间，n ac x ， ( 1 ) 若对每一个b ( x ) ，bc 么都蕴含r p ) ca ，则称4 是x 的g 凸子集； ( 2 ) g c o ( a ) = n bcx ：b 删g 一凸子集勘cb ，则称g 0 ) 为a 的g 凸 定义4 嗍设，r ) 为g 一凸空间，t ：x - - 1 2 x 是一个集值映像，若对每一个 彳( x ) ，g - c d 0 ) cn 丁g ) ，则称丁是g 一删映像 x e a 定理4 4 1 设伍，r ) 为g 凸空间，t ：x - - 2 是一个集值映像，若满足： ( 1 ) t ：x 专2 工是g k k m 映像i ( 2 ) 存在一个x ，使得丁g 。) 是紧集，且对每一个x x ，丁g ) 都是x 中 的闭集； 则n r g ) 膏j 定义5 5 1 设x 为拓扑空间，若对每一个彳= 扛。，x ：，x 。 ( x ) 都存在连续映射 九：a 。专x ，则称伍，九) 为有限连续空间( 简称为f c - 空间) 为 定义6 5 1 设s 是一个非空集，( 夕，九) 是一个f c 空间，t ：s 哼2 j 是一个集值映 像，如果对任意彳= b 。，x ：， p ) ，都存在b = 。，y ：，y 。) ( x ) ，使得对任意 的 f 1 ，f ：，f 。) c 1 ，2 ，胛) 有九( 置) c0 丁k ) ，其中世是。的以h ，气，k 为顶 j = l 点的标准k 一维子单形，则称集值映像t ：s 专2 z 是一个r - k k m 映像 定理5 5 1 设s 是一个非空集， ，九) 是- - + f c 空间，t ：s 哼2 是一个具有紧 闭值的r - 删映像，如果存在m ( s ) ，使得n r ( d r e x 中的紧子集，则 j l 兰 ， n 丁g ) 工e s 定义7 旧设伍，d ) 为度量空间，若对任意 t ) 。，、cx ，k o 口e cr ( 其中 是 指标集) ，当满足d b 口，和) 屹+ ，v 口， 时，都有n b g ，) 矽，其中b ( x ，) 表 示以x x 为心，为半径的闭球，则称( x ，d ) 为超凸度量空间 定义8 【1 】设伍，d ) 是一个超凸度量空间，彳是石的个非空有界子集，定义彳的 超- 凸包为：超一c d 0 ) = n 扫：b3 彳且b 是种的闭球 ，记为超0 ) 定理6 u 设伍，d ) 是一个超凸度量空间，s 是x 的任意一个非空子集，若集值 映像m ：s 2 x 满足： ( 1 ) v x s ，m g ) 在x 中是闭的，且有s ，使m k ) 是紧集； ( 2 ) 对任意么= 扛。，x ：，矗。) ( s ) ， 则n m g ) j e s 都有超一c o x 。，x ：，x n ) c 7 u m ( x i ) ； i = l 定义9 7 1 设伍，d ) 是度量空间，若存在r 使( 工，r ) 又是h 空间，且对每一个 彳( x ) ，都有i 0 ) cc d 0 ) ，则称伍，d ，r ) 为h 度量空间 注h o r v a t h 8 1 证明了任意么( x ) ，集0 ) 是可缩的由h 度量空间的定义知： r 0 ) = c o ( a ) ，v a ( x ) ，则似，d ，1 1 ) 为h - 度量空间，亦为g 一凸度量空间 但x cv a ( x ) ，0 ) = k ，6 】，其中a = i n fa ，b = s u p a ， 令 噼卜半 u 竿，6 卜。) ， 定义九：。专r ，0 ) 为九o ) = a + t ( b - ，、a ) ，v r 。，则伍，d ，r ，) 为g 凸度量空间却不 是h 度量空间 定义1 2 3 1 设s 是非空集，伍，1 1 ) 是g 凸空间，m ：s 专2 x 是一个集值映像，若 对任意的彳= 扛。，x ：，矗) ( s ) ，都存在b = 。，y ：，y 。 ( x ) ，使得对任意的 都有 涉j l ，y i9 9 y jc 。，y ：，y 。 ( 1 后疗l r 侈。，y 如，y “ c0 m g 。l 皇l 则称集值映像m ：s 专2 x 是g 凸广义k k m 映像 定义1 3 【3 1 设似，d ，r ) 为g 凸度量空间，s 是x 的非空子集如果对任意非空集 m ，有集值映像r ：mj 2 q 劬 满足：存在x m 使得丁b ) = s ，且对任意 彳( m ) ，存在b ( x ) ，使得丁佃) cu 丁g ) 时，c d 0 ) ns 在c d p ) 中闭( 开紧闭 j e a 紧开) ，则称s 是关于r 的转移有限度量闭( 开紧闭紧开) 定理8 网设s 是非空集，伍，d ，r ) 为g 凸度量空间，m ：s 专2 x 是一具有关于r 转移有限度量紧闭值的g 一凸广义删集值映像，且存在s ，使得m g 。) 是紧的， 则n m g ) 矽 x e s 以上介绍了k k m 定理在几个空间中的发展情形前面说过，只要空间具有某一 类“凸 性，而这种“凸 性又具某种覆盖性，那么k k m 定理的结论就有可能成 立下面我主要在h 度量空间和g 凸度量空间中通过引入两个集值映像条件给出一 类k k m 定理及其应用 第二章预备知识 2 1 记号与用法 2 x 一一x 的一切子集的簇 ( x ) 一一x 的一切非空有限子集的簇 c l ( x ) 一一x 的闭包 e c z 似) 一x 的紧闭包 i n t ( x ) 一x 的内部 c i n t ( x ) 一一x 的紧内部 i m x 0 ) 一a 关于x 的内部 g c o ( x ) 一x 的g 一凸包 。一一玎一维标准单形，其顶点为e o , e ”，e 。 。，一顶点k ：，j 的凸包，其中矽jc 0 ，1 ，刀) 2 2 定义 定义1 3 1 设x 是拓扑空间，如果存在集值映像r ：( x ) 一 2 x 满足： ( 1 ) v a ( x ) ，r ( a ) g 是x 的非空可缩子集； ( 2 ) v a ，b ( x ) ，若彳cb ，贝01 1 ( 彳) cr p ) ； 那么称似，r ) y 寸h 一空间 定义2 刀设伍，d ) 是度量空间，若存在r 使伍，r ) 又是h 一空间，且对每一个 a ( x ) ，都有r 0 ) cc 0 0 ) ，则称伍，d ，f ) y 寸h - 度量空间 定义3 川设s 是非空集，伍，r ) 为h 空间，m ：s 。2 x 是一个集值映像，若对 任意的彳= 扛，x ：，b p ) ，都存在b = 涉。，y ：，y 。) ( x ) ，使得对任意的 都有 ，y ，：，y 吐jc 。，y ：，y 。 0 - k n ) ， r 饥，托，拶t co m kl 则称集值映像m ：s 一2 z 是g h k k m 映像 定义4 3 1 设d 是拓扑空间x 的非空子集，如果存在集值映像i ：( d ) 专2 满足： ( 1 ) r 0 ) 矽，v a ( d ) ； ( 2 ) v a ，b ( d ) ，若彳cb ，贝l jr ( a ) cr ( s ) ； ( 3 ) va ( d ) ，i a l = ，2 + 1 ，存在一个连续单值映像九：。_ r 0 ) ，v de ( a ) ， 均有九( ，) cr p ) ，其中，表示相应于，( a ) 的。的面； 那么称伍，d ，r ) 为g - 凸空间若d = x ，则记伍，d ，r ) 为伍，r ) 定义5 3 1 设伍，d ) 是度量空间，若存在r 使( ，1 1 ) 又是g 凸空间，且对每一个 a ( x ) ，都有r 0 ) cc d 0 ) ，则称伍，d ，r ) 为g - 凸度量空间 注g 凸度量空间的g 凸子集作为原空间的子空间仍是g 凸度量空间，g 凸度 量空间是h 度量空间的真推广 定义6 3 1 设s 是非空集，伍，r ) 是g 凸空间，m ：s 专2 j 是一个集值映像，若 对任意的彳= k l ，x ：， p ) ，都存在b = 秒。，y ：，y 。) ( x ) ，使得对任意的 都有 h ，y ，：，y jc y 。，y ：，y 。) ( 1 后，z ) ， r 饥，y 旷，y j c 0 m g ，l 则称集值映像m ：s 专2 j 是g 凸广义k k m 映像 定义7 d 1 设似，d ) 是度量空间，若对x 的任意紧子集k 都有s n k 是k 中的闭 ( 开) 子集，贝t j n sc x 是紧闭( 开) 的；若对w ( x ) ，集c o ( a ) c l s 是c d 0 ) 中 果存在x x ，4 吏 | 导v ( x ) - - 矿，则称丁：x 一2 r 在x 中有极大元 定义l o t 5 1 设x 、】，是两个集合，s ：x 专2 y 是集值映像，s 一1 ：yj2 j ，s ：y 一2 j 分别定义为x s - 1 ) 当且仅当y s g ) ，s ) = x s - 1 ) 显然z s ) 当且仅当 y 芒s ( x ) 定义1 1 阴设x 是非空集合，( 膨，1 1 ) 为h 空间，矽：m xx r u + o o ) 是泛函， 若对任意彳= 扛。，x ：， ( x ) ，都存在b = 涉。，y ：，y 。 ( m ) ，使得对任意的 ，少如，y ijc 。，y ：，) ( 1 尼聍) 和任意的 y 1 1 饥，托，y “量 都有 m s 脚i n o 、v , x , ，) y ， 则称泛函矽，x ) 关于x 是广义7 h 一对角拟凹的 使得对任意的 注定义1 5 将定义1 4 从h 度量空间推广到g 凸度量空间 -，1 证明因为m ：s 寸2 j 是一具有有限度量紧闭值的g h k k m 映像，由引理1 知， 膨g ) ：x s 具有有限交性质考察 必g 。) nm g ) ：x s ) ，由m k ) 是紧的， 有n m g ) = n 似g 。) n m g ) ) j e sx e s 注显然当s ：x 是h 度量空间时，专i 理2 的结论仍然成立 定理1 设伍，d ，r ) 为h 度量空间，集值映像s ，t ：x 专2 x 满足下面的条件： ( 1 ) 对垤x ，丁g ) 是x 的有限度量紧闭子集，_ r 对v x x ，有s g ) c 丁g ) ； ( 2 ) x s ( x ) ，v x x ； 则n r g ) 矽 z e x 证明由引理2 的注只需证明t ：x 专2 是一个g h k k m 映像 若不然， 则存在4 = b 。，x ：，矗) ( x ) ，对任意b = 。，y ：，y 。) ( x ) ， 存在 侈 ，y f 2 ，y jc 。，y ：，y 。 0 - k - ，z ) ， 有1 1 饥，y 矿，y j 旺o 丁k ) ，所以存在y r 饥，虼，y j ，y 诺丁b ，) ( ，：1 ，2 ，。) ， j = l 9 , f f f f 有i x 丁) ( ，= 1 ，2 ，尼) 又s g ) c 丁g ) ，v x x ，所以丁) cs ) ，跏x 从而_ s ) u = l ，2 ，七) ，故y 芒s b 。，) ( ，= 1 ，2 ，尼) ，这与条件( 2 ) 矛盾，所以结 一1 5 论成立 注定理1 推广了文 5 】中的定理2 3 ，由f c 空f 司至l j h 度量空间，由紧闭值映像 到有限度量紧闭值映像 3 2k k m 定理的应用 3 2 1 不动点定理 定理2 设伍，d ，r ) 为h 度量空间，集值映像s ，t ：x 2 x 移) 满足下面的条 件： ( 1 ) 对v x x ，有s g ) c 丁g ) ； ( 2 ) s g ) 是j 的有限度量紧闭子集，v x x ； 则存在x ，使得r ( x 。) 证明假设结论不成立，即v x x ，x 萑丁g ) ，所以眠x ，x s + g ) 由条 件( 2 ) ，+ s g ) 是x 的有限度量紧闭子集，v x x ，又条件( 1 ) s g ) cr g ) ，v x x ， 有丁g ) cs + g ) ，魄x 故由定理l 可以得到r s g ) 矽令乩r s g ) ，则 y 。s g ) ，v x x 所以x s ( y 。) ，v x x ，从而s 。) = 这与s 的定义矛盾， 所以结论成立 注定理2 是h - 度量空间的一个不动点定理，推广了文 5 】中的定理2 4 ，由f c 空间到h 度量空间，由紧闭值映像到有限度量紧闭值映像 3 2 2 极大极小不等式 定理3 设，d ，r ) 为h 一度量空间，五r ，泛函厂，g ：x x x 专r 满足下面的条 件： ( 1 ) g g ，y ) 厂g ，y ) ，v ( x ，y ) x x x ； ( 2 ) 集x ：g (