三角函数在中学数学中的核心地位

三角函数在中学数学中的核心地位陈振宣【专题名称】中学数学教与学（高中读本）【专 题 号】G35【复印期号】2009年10期【原文出处】数学通报(京)2009年6期第2530页【作者简介】陈振宣，上海市陕西南路348路314室(200031)。笔者于2008年10月1719日应邀参加人教社中教室的“中学数学核心概念与思想方法教学设计研究”课题组的活动，笔者长期从事数学教育实践，直觉感到这一课题具有深远意义。本文基于笔者从1978年开始对三角函数概念系统改造的实践，借探讨三角函数在中学数学中的核心地位来阐述个人对中学数学核心概念研究的一些思考。请同行批评指正，希望有助于课题研究的深入，推动我国的数学教育改革。一、数学史的视角中学数学的核心概念大多是经过前贤深入研究的，往往是一门学科发明的本源。数学史的视角便于我们看清概念产生的过程，如其间是否经过曲折，认识上是怎样获得突破的。三角函数发源于三角形边角关系的研究，以三角比的形式呈现在研究的初期，后来受了函数思想的渗透，从而引发任意角的三角函数的研究。从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，应该说是认识上的一次大的飞跃。这一飞跃由数学大师欧拉引入直角坐标系完成了，这就是欧拉在其名著无穷小分析引论中提出的三角函数的定义，这一定义一直沿用至今。为了方便学生学习，有人把角的动径r取作单位长度，即r=1，于是出现了单位圆，三角函数以圆函数的面目出现。这就是目前多数国家教材（如我国现行人教A版教材）所采用的定义。后来笔者发现向量的正交分解与三角函数有着密不可分的联系，以此为背景对三角函数的概念系统作如下改造，这一改造使得向量的正交分解全盘自动化，使向量的运算化归为实数的运算，并且使所有三角函数的公式、定理、性质、图像都成了三角函数定义的直接推论。上述定义显然与传统定义是等价的。三角函数的活动模型中的点P的坐标，实际上就是（cos，sin）。转化为x轴上的有向线段OM和y轴上的有向线段ON，观察OM、ON的变化规律，即可把握cos、sin的变化规律，使余弦函数、正弦函数的性质尽显眼底。读者可以试一试重新发现余弦函数、正弦函数的定义域、零点、正负值区间、值域（包括最大值、最小值）、周期性、奇偶性、单调性，并画出余弦函数、正弦函数的图像。为了说明这一定义的应用，请按下述引导独立发现并证明的诱导公式及加法定理。以上过程就是加法定理的发现和推导过程。这样，一部三角学的内容都成了三角函数定义的直接推论，全在我们的掌握之中了。其实上述定义与向量相结合，也可方便地推出正弦定理、余弦定理，这样以三角函数定义为辐射中心，一部三角学在教师启发下便都成了学生创新思维实践的成果。欲知其详细过程请参考文1。这种处理方式与现行教材尚有距离，如果教材作相应的改革，那么按此设计教学，将大大缩短学时，使学生享受创新思维实践的成果，激发对客观规律的好奇心、探究欲，使课堂成为创新思维的乐园。上述分析揭示了三角函数概念在三角学中的核心地位。二、思维科学的视角数学的学习与应用都离不开数学思维活动，因而对数学核心概念的研究自然不能忽视思维科学的视角。充分利用思维科学的研究成果，剖析核心概念的方方面面，对于提高对核心概念的理解与应用有不可忽视的作用。下面谈一些个人的认识供讨论与研究。1.三角是数形结合的桥梁这是张景中院士提出的观点，是否可从以下两方面作探讨。三角函数的出现使平面几何的研究从定性向定量深化。例如三角形中“两边之和大于第三边”，“大边对大角，小边对小角”，都是定性的，有了正弦定理和余弦定理就可以精确地度量。在近世几何中有大量新定理作了定量的描述。例如欧拉曾出色地应用三角工具证明了“三角形外接圆的半径与内切圆的半径之比不小于2”2，又如“拿破仑三角形”，“莫雷(Morley)定理”3等不借助三角工具是难以证明的。这些新定理在欧几里得时代是不会出现的。三角函数的概念与向量的正交分解的交汇，使向量的运算化归为实数的运算，并实现了坐标化，促成了向量、坐标、复数三位一体，促成了极坐标与直角坐标的互化。这正是三角函数数形结合功能的体现。特别值得指出的是，一维向量、二维向量、三维向量的基本定理转化为直线坐标系、平面直角坐标系、空间直角坐标系的基本定理，它们实即解析几何发明的本源之一，这一点对提高解析化（坐标化）的能力有积极作用。下面看从余弦函数的定义直接推出向量的射影定理的事实。从平面直角坐标系基本定理推广得空间直角坐标系基本定理，推演出空间解析几何的许多公式，也不难推出n维空间坐标系的基本定理以及有关的公式。三角函数作为数形转化的桥梁的核心作用跃然纸上。为了印证以上观点，不妨以2008年浙江高考理科第20题的解法为例，考察数学核心概念的理解在提高思维能力上的作用。此时，直线l的方程为y=2(x+1)，即2x-y+2=0。当然，本题还有利用直线的参数方程求解等其他解法，但将直线坐标系的基本定理与向量射影定理整合在一起的上述解法，更显和谐优美。由此可见数学核心概念在提高思维能力上的巨大作用。另外，两个向量的数量积又通过余弦函数把两个向量的夹角联系在一起。，为应用向量研究几何图形（如空间角度、空间距离）提供了计算工具。如果再引入平面的法向量（实质就是平面上任意两个不共线向量的向量积），那么许多立体几何问题都可以运用向量的运算来解决，这都为三角函数是数形转化的桥梁作了有力的注解。下面特别谈谈利用空间向量研究球面上任意两点球面距离的方法，这一点目前还未引起太多重视。设地球球面上任意两点A、B的纬度、经度分别为A（，m）、B（，n），地球的半径为R。如图8，取球心O为原点，经度为0的大圆与赤道平面的交线为x轴，赤道平面内过球心O且与x轴垂直的直线为y轴，过球心O与北极N的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则点A、B的坐标分别为推论1当=时，点A、B在同一纬度圈上，它们的球面距离为由此可知，三角函数与形的研究密不可分，其核心地位不容置疑。图82.三角与周期性思考除了数形结合角度的思考外，三角函数还提供了对周期性变化的思考，它是一类反映周期运动的数学。比如，在机械自动化中有一种正弦机构。有一种把转动转换成往复直线运动的机构，叫做正弦机构（也称偏心驱动机构），如图9，它由曲柄OP(=OA)、十字头连活塞OQ、滑槽CD、机架（包括活塞在其中作往复直线运动的圆筒）组成。其工作原理如下：电动机带动曲柄OP作匀速圆周运动，偏心梢P通过滑块在滑槽CD中运动，十字头推动活塞在圆筒中作往复直线运动。正弦机构的作用是传递动力，完成运动形态的转化，常用于各种机床上。图9曲柄OP的初始位置为，称为初相，OP旋转的角速度为，也称为角频率。取旋转中心O为原点，OP的水平位置OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系。设经过t秒后，曲柄到达OP的瞬时位置。活塞Q的位移，即点P的纵坐标为。这里，正弦函数是刻画点P的纵坐标变化的工具。正弦机构是正弦函数反映周期运动的一个实际模型。与此类似，交流电也是按正弦函数规律变化的。没有三角函数就很难描述这类周期变化的运动，无法建立周期性运动的数学模型。三角函数的这一功能也是在数学中核心地位的反映。3.三角与极限变化的思考对于三角函数在数学中的核心地位的分析，以上只是从主要方面的一些思考，很难说全面。如果从三角函数学习与研究的角度思考它所涉及的思维方法也是十分丰富的。在中国数学教育近三十年的发展中已有许多成果。限于篇幅就不展开了。有兴趣的读者请查阅徐利治先生关于数学思想方法的专著。三、启示笔者通过三角函数这一核心概念的分析以及曲线与方程7等核心概念的研讨，获得了对中学数学核心概念的一些粗浅认识。数学核心概念并非孤立的知识点，往往是一门学科发明的本源。当全面考察它与本学科以及其他分支的内在联系，并获得由此带来的思想方法结构体系，充分认识其核心作用，才能在教学中发挥核心概念提高思维能力的作用。上述对三角函数概念的分析可以说明这一认识的来源。数学核心概念研究的发展必将聚焦于教材改革。笔者通过长期教材改革实验与课题研究发现核心概念乃学科发明的本源，正如莱布尼茨所说，“我打算把书写成这样：让学习的人总能够看清他所学知识的内在道理，甚至使发明的本源能够显露出来。因此这样写，学者便能明了一切，仿佛就是他自己发明的一样。”抓住数学核心概念研究这只“牛耳”是促进教师成长与学生发展的正确道路，也是提高教学质量的关键。中国的数学