（光学专业论文）一维非周期结构光子晶体的研究方法及性质.pdf

到的结果与数值法得到的结果进行了比较。在此基础上，再将积分值直接与一维 光子晶体的频率和波矢联系起来，得到了它的能带特性图。 4 、由m a x w e l l 方程组、电磁场的边界条件和矩阵理论，推导出了电磁波在 两种单负材料组成的一维周期结构中的传输特性公式，以及传输矩阵的表达式。 5 、在引入无序的条件下，分别讨论了色散和非色散两种情况。详细介绍了 由两种单负材料构成的周期结构中每层的厚度存在无序时，光在内部传输时的局 域特性，并与之前讨论的随机结构进行了比较。 关键词：小波积分、光子晶体、本征值求解、单负特异材料、局域长度、传输 矩阵法、退局域 n l i i i i iii i i i ii i iii i iiii y 17 6 8 3 8 9 t h ep r o p e r t ie sa n dm e t h o d so fo n e dim e n sio n a ln o n p e r io dic a b s t r a c t p h o t o nicc r y s t a l s m a j o r ：o p t i c s n a m e ：l i ud o n g m e i s u p e r v i s o r ：h a np e n g n o w d a y s ，s e v e r a lc o m m o n m e t h o d sw h i c hh a v eb e e nu s e df o rt h eb a n ds t r u c t u r e o fp h o t o n i cc r y s t a l sa l es t u d i e dal o t ，b u tt h ew a v e l e ta san e wm e t h o di sh a r d l y a d o p t e d t h ep a p e rp r e s e n t sad e t a i ld e r i v a t i o no fa l la n a l y t i c a lm e t h o dt oc a l c u l a t e t h ew a v e l e ti n t e g r a t i o nb a s e do nt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mf o rt h eb a n ds t r u c t u r eo f o n e - d i m e n s i o n a lp h o t o m cc r y s t a l s t h et r a n s p o r tp r o p e r t i e so ft h el i g h ti nt h ei n t e r f a c ea n di n t e r i o ro ft h ep h o t o m c c r ) ，s t a l sa r ed i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lm a t e r i a l sd u et ot h en e g a t i v ep e r m i t t i v i t y a n dp e r m e a b i l i t yo fm e t a m a t e r i a l s t h ea n d e r s o nl o c a l i z a t i o nb e h a v i o ri nd i s o r d e r e d s y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n ts i n g l e - n e g a t i v e ( s n g ) m e t a m a t e r i a l sw i l lr e v e a l s o m en o v e lc h a r a c t e r s r e c e n t l y , o n l yw a v ep r o p a g a t i o ni n1dr a n d o ms y s t e m sm a d e o fa l t e r n a t i n gl a y e r so fd pa n dd n gm e t a m a t e r i a l sh a sb e e ns t u d i e da n ds o m en e w l o c a l i z a t i o nl e n g t hb e h a v i o r sh a v eb e e nf o u n d ，b u ts n gh a sh a r d l yb e e ni n v e s t i g a t e d b yu s i n gt h et r a n s f e r - m a t r i xm e t h o d ，w es t u d yt h ea n d e r s o nl o c a l i z a t i o nb e h a v i o ri n o n e d i m e n s i o n a lp e r i o d i c - o n a v e r a g ed i s o r d e r e ds y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n t s i n g l e n e g a t i v e ( s n g ) m e t a r n a t e r i a l s n o n - d i s p e r s i v ea n dd i p e r s i v em o d e l s h a v eb e e n s t u d i e dr e s p e c t i v e l y s o m eu n i q u ef e a t u r e so ft h ep e r i o d i c o n - a v e r a g er a n d o ms n g s y s t e m s a r ec o m p a r e dw i t ht h er a n d o ms i n g l e - n e g a t i v es y s t e mw h i c hw ee v e r d i s c u s s e d i l l t h em a i nw o r ko ft h ep a p e ri sg i v e na sf o l l o w s ： 1 w es e l e c ta p p r o p r i a t ew a v e l e tf u n c t i o n si nt e r m so fw a v e l e tt h e o r y , m r aa n d p e r i o d i cw a v e l e tb a s i st om a k et h es h a p eo ft h e s ew a v e l e tf u n c t i o n sf a m i l i a rw i t ht h e f i e l da n dp e r m i t t i v i t yo ft h ep h o t o n i cc r y s t a l s f o ri n s t a n c e ，h a a rw a v e l e ti sas t e p f u n c t i o n ，w h i c hi sw e l la d a p t e dt ot h ep i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o n s 2 t h ew a v e l e t i n t e g r a t i o nw h i c hh a ss e v e r a lw a v e l e tf u n c t i o n sh a sb e e nr e s o l v e d w ee m p l o yo r t h o n o r m a lp r o p e r t i e s ，r e f m e m e n te q u a t i o na n d c h a n g ev a r i a b l e so f i n t e g r a t i o nt oc o n s t r u c te i g e n f u n c t i o n ，a n ds o l v et h ee i g e n f u n c t i o nu s i n gm a t l a b 3 w ea d o p tt h ew a v e l e tm e t h o da n dt h en u m e r i c a im e t h o dt oc o m p u t et h e i n t e g r a lo fw a v e l e tw i t ht h eh a a rw a v e l e ta n dt h ec o h e n d a u b e c h i e sf e a u v e a u ( c d f ) w a v e l e t t h er e s u l t ss h o wt h eh i g hp r e c i s i o no fo u r m e t h o d f u r t h e r m o r e ，t h em e t h o d i sa l s oa d o p t e dt oc a l c u l a t et h eb a n ds t r u c t u r eo f p h o t o n i cc r y s t a l s 4 i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h et r a n s p o r tp r o p e r t i e so ft h el i g h ti no n e d i m e n s i o n a l p e r i o d i cs y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n ts i n g l e - n e g a t i v e ( s n g ) m e t a m a t e r i a l s ，t h e f r e s n a lf o r m u l ai sg e n e r a l i z e db a s e do nt h em a x w e l l e q u a t i o n , e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dm a t r i xt h e o r y 5 b o t hn o n d i s p e r s i v ea n dd i s p e r s i v em o d e l sh a v eb e e na d o p t e di nt h i ss t u d y w h e nt h er a n d o m n e s si si n t r o d u c e di n t ot h es y s t e m s t h ep a p e rp r e s e n t sad e t a i l d i s c u s s i o no ft h ea n d e r s o nl o c a l i z a t i o nb e h a v i o ri no n e d i m e n s i o n a l p e r i o d i co n a v e r a g e d i s o r d e r e d s y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n ts i n g l e n e g a t i v e ( s n g ) m e t a m a t e r i a l s k e y w o r d s ：w a v e l e t i n t e g r a t i o n , p h o t o n i cc r y s t a l ，e i g e n v a l u e p r o b l e m ， s i n g l e - n e g m i v em e t a m a t e r i a l ，l o c a l i z a t i o n l e n g t h ，t r a n s f e r - m a t r i xm e t h o d ， d e l o c a l i z a t i o n i v 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 目录v l 绪论。1 1 1 光子晶体的提出及研究现状1 1 1 1 光子晶体的提出l 1 1 2 光子晶体的研究现状2 1 1 3 光子晶体的计算方法3 1 2 无序光子局域化材料的提出及研究现状i 5 1 2 1无序光子局域化材料的提出5 1 2 2光子局域化的理论基础及研究内容6 1 2 3 光子局域化的研究现状7 1 2 4 光子局域化材料的应用前景i o 1 3 本文的主要工作1o 2 理论基础1 2 2 1 变分法1 2 2 2 传输矩阵法1 3 2 2 1透射率和反射率的一般表达式1 3 2 2 2 一维光子晶体的色散关系1 7 2 3 多分辨分析和常见小波基函数1 9 2 3 1 多分辨分析1 9 v 2 3 2 常见小波基函数2 2 2 4 本章小结2 7 3 小波法计算一维光子晶体的能带结构2 8 3 1引言2 8 3 2 小波方法计算光子晶体2 8 3 3 多个小波函数相乘的积分计算3 0 3 3 1简化积分3 0 3 3 2 构建本征方程3 2 3 4 小波解析法的计算结果3 3 3 4 1 k l = k ：= on 三个函数的积分3 4 3 4 2 k 。= 2 ，k ：= 2 时的积分求解3 8 3 5 本章小结一4 6 4 含单负特异材料的一维无序扰动光子晶体中的光子局域 特性研究4 7 4 1 引言4 7 4 2 结构描述4 8 4 3 非色散材料的局域特性5 0 4 4 色散材料的局域特性5 4 4 5 本章小结5 7 5 全文总结5 9 5 1 本论文的主要成果5 9 5 2 有待解决的问题及今后的工作展望6 0 v i 参考文献6 1 致谢6 8 攻读硕士学位期间参与的项目及发表的学术论文6 9 v 1 绪论 1 1 光子晶体的提出及研究现状 1 1 1光子晶体的提出 半个世纪以来，电子器件迅猛发展并广泛应用于社会生产的各个领域，它促 进了通信和计算机等产业的巨大发展。但由于电子的本征特征，使得电子器件在 进一步小型化、减小能耗等前提下提高运行速度成为难题，人们提出了用光子作 为信息的载体代替光子的设想。与电子相比，光子具有更高的信息容量、更快的 运行速度、更强的并行能力和更低的能量损耗。类似于利用半导体材料控制电子 1 d2 d3 d p e n o d i ci np e n o d i ci np e n o d i cm o n ed i r e c 五o nt w od i r e d j o n st h r e ed i r e c k o n s 图卜l 一、二、三维光子晶体典型结构 1 1 2光子晶体的研究现状 自从1 9 8 7 年y a b l o n o v i t c h n l 和j o h n 2 1 分别提出光子晶体和光子能带结构 的概念以来，光子晶体的理论研究和相关实验及其应用得到了迅速的发展。由于 光子能带具有一系列崭新的特性，如频率落在完全光子带隙内的电磁波( 光波) 不能在光子晶体内的任何方向传播和抑制自发辐射等脚。光子晶体的这些奇特性 质激起了人们对它的理论和实验研究的广泛兴趣，促使人们去研究光子晶体的各 种可能的效应和应用，因此近年来光子晶体的研究成为人们普遍关注的研究热 点。1 9 9 0 年，c m h o 等人从理论上提出了在一种类金刚石结构的三维光子晶体 中存在完整的光子带隙，带隙的位置出现在第二条和第三条能带之间。1 9 9 1 年， y a b l o n o v i t c h 研究小组f 4 】用活性离子束在高介电常数的介质底板上打孔的方法 制造出了第一块具有完全p b g 的三维光子晶体。这是人类实验室制造的第一块光 子晶体。1 9 9 5 年，u g r u n i n gv l e h m a n n 等人 s l 用电化学刻蚀方法在硅基上制作 出了具有红外波段光子带隙的二维光子晶体。随后j o a n n o p o u l o s 的研究小组设 计出了工作于可见光波段的光子带隙材料，从而使得光子晶体朝应用方向的发展 又前进了一大步。1 9 9 8 年，j o a n n o p o u l o s 等1 6 1 发现一维光学薄膜也有全方位反射 现象，并实现了红外波段的完全带隙一维光子晶体，使一维光学薄膜可以用来设 计全角反射镜。接着在1 9 9 9 年又设计制作出了可见光波段( 6 0 4 3 - 6 3 8 4 n m ) 完全 带隙一维光子晶体。 理论分析是光子晶体研究的重要内容，对光子晶体器件的设计和制作起着指 2 导作用1 7 , s 。依据电磁波在光子晶体中的传输行为，许多奇异的光学特性已被人 们发现，如光子局域化1 9 1 、非线性增强m l 、光学延迟i l l , t 2 j 、光孤子传输u 3 j 、负 折射率等畔1 ，其潜在的应用引起了越来越多的科学工作者对它的研究兴趣。 由于光子晶体具有独特的电磁现象和特性以及广阔的应用前景，使其成为国际性 的一个研究热点。目前人们知道的光子晶体的一些应用包括：低阈值激光振荡 1 1 5 , 1 6 、高效发光二极管f i l l s 、光波导器件呻1 、慢光装置1 2 0 , 2 1 1 、光子晶体谐振腔 2 2 , 2 3 1 、窄带频率和空间滤波器1 2 4 - - 矧等等，几乎可以涉及到光的各个领域。 1 1 3 光子晶体的计算方法 光子晶体的计算方法属于电磁学中的数学方法的范畴。电磁学是一门古老 而又不断发展的学科，其中的数学方法也层出不穷，主要包括通过建立和求解微 分方程或积分方程，可将解答表示为已知函数的显式，从而可计算出精确数值结 果的如分离变量法，变换数学法等的解析法，也有利用高性能的计算机以数值的、 程序的形式代替解析形式来描述电磁场问题，以差分代替微分，以有限求和代替 积分从而将问题化为求解差分方程或代数方程问题的数值方法。在这些众多的方 法中，目前比较成熟的电磁波带隙计算方法有平面波展开法、时域有限差分法、 传输矩阵法、小波分析法、多重散射法等等。 ( 1 ) 平面波展开法 这是在光子晶体能带研究中用得比较早和用得做多的一种方法，电磁场在倒 格矢空间以平面波叠加的形式展开，可以将麦克斯韦方程组化为一个本征方程， 求解本征方程便可得到传播光子的本征频率。 平面波展开法矧处理周期性结构问题具有自身独特的优点，它可以被用 来处理一、二、三维问题。它能计算光子带隙的位置、宽度，也可以计算光子晶 体的结构缺陷问题。但是这种方法也有其缺点：计算量与平面波数有很大的关系， 几乎正比于所有波数的立方，因此当光子晶体结构复杂或处理有缺陷的体系时， 由于需要大量平面波数，就可能因为计算能力的限制而不能计算或者难以准确计 算。另外，对于介电常数不是恒值，而是随着频率变化的情况，由于没有一个确 定的本征方程形式，而且有可能在展开中出现发散，从而导致根本无法求解。我 3 们可以从 l a x w e l l 方程等得到磁场的全矢量方程，表示为： v 南v 幔】_ - 等以 这里k 是模式传播矢量，t ( r ) 是和位置有关的介电常数，由于6 ( r ) 的周期性，根 据布洛赫理论，h x 可以写为平面波的叠加形式，为 以= 五( k g ) e x p ( 一f ( k g ) ，) 这里g 为倒格子空间的晶格矢量。介电常数也可以用傅里叶级数展开为 丽1 = 旧e x 邸，) 其中 咿) = 石1 焉e x p ( f g 渺 ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 ) 在( 1 - 4 ) 式中彳v 是表征单包的一个量。只要将( 卜3 ) j ( 卜2 ) 式代入( 卜1 ) 则可求得本征值，就是在周期性结构中允许存在的模式频率。 ( 2 ) 时域有限差分法 时域有限差分法舢妇在电磁场数值模拟领域正受到越来越多的关注。它直 接在时域求解离散化了的麦克斯韦方程组，能模拟任意几何形状的结构；它的另 外一个优点是可以通过脉冲输入响应的傅里叶变换，一次计算出包含大频率范围 的结构。最近几十年的发展和计算机技术的突飞猛进更为它处理很多实际问题打 下了坚实的基础。时域有限差分法直接将有限差分式代替麦克斯韦时域场旋度方 程中的微分式，得到关于场分量的有限差分式，用具有相同电参量的空间网格去 模拟被研究体，选取合适的场初始值和计算空间的边界条件，可以得到包括时间 变量的麦克斯韦方程的四维数值解。通过f o u r i e r 变换可求解三维空间的频域 解。在将时域有限差分法应用于光子晶体光纤时，由于光波长相对一般电磁波长 较短，故要求网格密度大，从而对计算机资源要求高，不过我们可以通过一系列 技术克服这些困难。正如前面所提到的，时域有限差分法较为普适，它可以用来 计算光子晶体光纤的各种问题，比如模式、光子带隙、非线性等。 ( 3 ) 传输矩阵法 4 传输矩阵法2 。3 钔是由磁场在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组转化成 传输矩阵形式，同样变成本征值求解问题。传输矩阵表示一层格点的场强与邻近 的另一层格点场强的关系，它假设在构成空间中在同一个格点层上有相同的态和 相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体空 间。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，由于传输矩阵小，计 算量较平面波方法大大降低，只与实空间格点数的平方成正比，精确度也非常好， 而且还可以计算反射系数和透射系数。 传输矩阵法是本文研究含单负特异材料的无序扰动光子晶体局域特性所采 用的主要方法，将在后面的章节中对它进行详细的介绍。 ( 4 ) 小波分析法 小波分析法删是用布洛赫定理将麦克斯韦方程进行变形，把电场磁场和 介电函数在小波基上展开，把变形后的麦克斯韦方程化为矩阵的形式，转化为求 解本征矢的问题，而矩阵元是几个小波函数相乘的积分值。小波分析法具有精度 高、收敛快等优点，且计算量大大小于平面波展开法，所以近年来备受科学研究 者的青睐。小波分析法是本文一维光子晶体能带计算的主要方法，将在后面的章 节对它进行详细的介绍。 1 2 无序光子局域化材料的提出及研究现状 1 2 1无序光子局域化材料的提出 在凝聚态物理学中，电子局域化是安德森( p w a n d e r s o n ) 于1 9 5 8 年发表 的“扩散在一定的无规点阵中消失 的著名论文啪3 中提出的概念，它开创了非晶 态固体物理学研究的新领域，并在半个世纪以来一直是非晶态材料科学的理论基 础之一，其应用范围已广泛地涉及了日常见到的各种非晶半导体、玻璃、高分子 聚合物和新近发展起来的金属玻璃、非晶态超导体、非晶态离子导体乃至干变万 化的生物世界。为此，p w a n d e r s o n 和发表了该理论的n f m o r t 以及阐明了固 体磁学性能的j h v a nv l e c k 分享了1 9 7 7 年的诺贝尔物理学奖，由此可见电子 局域化的研究工作对人类科技文明的贡献作用。 所谓电子局域化，是相对于能带理论中晶体或近似晶体中电子公有化运动 的扩展态而言的，它出现在无序固体中：由于结构周期性被破坏，电子遭受到较 大的势能涨落，低能电子的波函数就局限在某一局域范围内，并随着与研究中心 距离的增大而呈指数衰减。通俗的讲，在传统的电子系统中，电子局域化发生在 低能区，这时电子面临许多高势能壁障，因而被局域在势阱中，所以它是无规散 射波干涉效应的体现。 光子和电子一样是凝聚态物质和原子物理中基本的相互作用媒介子，光子的 波动特性也类似于电子的波动特性，但人们研究光子局域化则始于2 0 世纪8 0 年代口9 1 ，这比电子局域化的提出晚了2 5 年。 1 2 2光子局域化的理论基础及研究内容 一束频率为c o 的光在不均匀的无损耗介质中传播时，它的电矢量e 所满足的 m a x w e l l 方程可化为： 一v 2 e + v ( v 一等“邶= 7 c 0 2 啦( 1 - 5 尊)c c 嚣 式中：s 。是复合介质的平均介电常数，。( ，) 是介电常数扰动。 当光子在一个介电常数做周期性变化( 周期为n ) 的介质中传播时，则有： 占l ( ，) = l ( 厂+ 加 ( 卜6 ) 若此时的是光波长的量级时，则此种复合介质叫做光子晶体，其规律类似于 完整晶体中的电子波动： 一篆v 2 y 川，渺= 民l f ， ( 1 - 7 ) ly ( 厂) = v ( r + ) 光子在光子晶体中同电子在普通晶体中一样，具有光子能带结构和相应的光子带 隙，因而有“光子半导体 的美称，人们期望它会像半导体一样有极为广泛的用 途，所以各国投入了大量的研究力量。 当一种介质中含有随机分布的另一种介电常数( 或折射率) 的材料时，扰 动介电常数是随机涨落的，它满足： ( s ，( ，) ) = 0 ( 卜8 ) 此材料中光子运动规律就类似于无序电子系统中的电子波动。当介电常数涨落足 6 够大( 即散射体与基质的折射率比足够大) 和散射体的间距足够小时，就会发生 光子局域化。这样入射光的透射率就会随着厚度的增加呈指数衰减，局域化的显 著特征是计算它的局域长度。 十几年来，物理学家们使用了随机矩阵理论、自洽场理论和量子场论等复 杂数学工具做了许多理论工作，并在可见光、近红外和微波频段做了大量的实验， 虽未能实现真正意义上的强光子局域化，但在理论与实验上仍取得了很大的进 展。光子局域化研究涉及的内容非常丰富，这些研究包括： ( 1 ) 无序光子晶体( 含有缺陷或结构适当无序) 的光子局域化模州； ( 2 ) 无序光学介质的等效介质理论h m 3 ； ( 3 ) 弱光子局域化和相干背散射m 3 ； ( 4 ) 光波能带输运( 透射4 7 。艚1 、扩散4 9 3 、吸收) ； ( 5 ) 光波在强散射介质中的强局域化洲羽： ( 6 ) 光子局域化的统计特征； ( 7 ) 激光增益介质中的光子局域化； ( 8 ) 磁性散射粒子的光子局域化理论阻1 ； ( 9 ) 外磁场中的光子局域化理论畸5 1 。 另外，声子局域化的理论与实验研究嘶也大大推动了光子局域化的研究。 1 2 3光子局域化的研究现状 一维无序系统中光子局域研究的现状主要包括数值计算一维无序结构中 光子局域问题、讨论斜入射时的局域问题、讨论吸收对局域的影响、以及利用无 序进行器件设计等等。有关一维光子局域的问题大都是采用数值计算的方法，而 理论分析的文章较少，主要是理论分析过于复杂。理论分析的手段及方法大部分 来源于电子局域中发展的方法。对于一维问题，传输矩阵的方法非常适合，所得 的结果与实际较为接近，因此在一维无序介质中光的传输问题大都采用传输矩阵 的方法，称为仿真。 近年来，随着无序材料的理论研究工作取得突破性进展，科学家不仅对传统 7 的无序材料，还对含特异材料的无序结构进行了光子局域特性的研究。对外界入 射的光，当厚度小于局域长度时，局域表现为透射率随厚度的增加呈指数衰减， 如图卜2 所示。s j o h n 嘲对任意无序度的局域情况进行了研究，发现在任意的 无序度下，所有频率的光都被局域，但它们的局域强度不一样。 f i g1 i nk 0 n d i l i s 9 2 图1 - 2 透射率随厚度的增加呈指数衰减 1 9 8 7 年，s j o h n 等人嘲1 在一些介电常数足够高的无序超晶格微结构中发现 了光子的强局域现象，这为从实验上研究光子局域提供了向导。 1 9 9 2 年，a k o n d i l i s 等人嘲1 用传输矩阵的方法计算了任意厚度多层结构的 光子局域，发现在弱无序情况下，局域长度随光子能量的变化和相应的有序结构 超晶格的带隙结构的变化接近。除了一层厚度为常数，另一层厚度随机变化的多 层结构外，在所有非零光子能量处，得到的局域长度都是有限的。还发现吸收和 无序对波的衰减的影响是相互独立的。 1 9 9 3 年，a r m c g u r n 等油3 研究了一维无序周期结构光学系统的安德森局域特 8 性。在垂直入射的有限长无序样品中计算局域长度，发现：在带隙中局域长度很 小，而在通带中局域长度很大。还计算了消散系中局域长度的相关性，得到了一 个简单的关系。 2 0 0 5 年，韩鹏等嵋n 以一维周期结构光谱对称性为基础，提出了无序扰动周期 结构有关局域长度的一个新的变换关系：对称等价变换，并用数值计算加以验证。 该等价变换描述了不同无序度的结构对不同频率光子局域能力之间的等价关系， 为无序结构中光子局域性质的进一步研究提供了一个新的工具。 2 0 0 7 年，h r aa h s a t r y a n 等人旧1 研究了含特异材料无序结构中的安德森局 域化的抑制特性，发现在一维混合排列的无序系统中，特异材料的引入大大地抑 制了安德森局域化。在长波极限，无序结构中的局域长度正比于波长的六次方， 而正常结构中的衰减长度与波长的平方成正比，它们二者相差好几个数量级。在 引入左手材料时，证实了长波谐振腔中的局域抑制作用将大大消失。 2 0 0 8 年，p h a n 等人应用传输矩阵法讨论了由两种单负材料随机排列而 成的无序系统。在色散和非色散两种模型下，计算了长波极限条件下无序系统的 局域长度，并与传统的无序系统进行了比较，发现了很多独特的性质，这为进一 步研究光子无序结构提供了有力的依据。 理论分析是无序材料光子局域特性研究的重要内容，对于器件的设计有指 导作用，目前光子局域材料的应用主要是用于宽带反射镜设计口。 通过这些研究工作，人们对含特异材料的无序结构的局域特性有了进一步 的了解，对其潜在的应用前景也有了更深的认识。由于特异材料具有负的介电常 数和磁导率，光在其界面及内部的传输特性与传统材料有很大的不同，因此可以 预见，在含有特异材料的无序结构中的安德森局域将具有一些特有的性质。 9 1 2 4光子局域化材料的应用前景 由前面的介绍我们可以看出，光子局域化是凝聚态物理学前沿领域之一， 它在2 1 世纪基础研究中占有很重要地位。理想的光子局域化材料对其内部的光 来讲是陷阱，对于外部的光来讲是一个完美的反射镜，因而有人称之为白洞 ( w h i t eh o l e ) 4 2 o 当周期性完整的光子晶体中出现线缺陷时，光子带隙中也产生 局域模，且允许出现大于直角的光路弯曲。用此原理，英国巴斯大学从1 9 9 5 年 开始了空气一二氧化硅结构的光子晶体光纤( p c f ，p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ) 订 的研究并直到现在，目前除了正在试图用于传输超高功率的激光外嗽1 ，还用在了 精确测量光学频率的飞秒激光梳技术中旧1 。 同样，光子带隙和局域化并非结构规整的光子晶体所独有的特征，就像非晶 硅和非晶锗中存在大的电子赝隙那样，基于无序介电微结构的带隙材料也可成为 大尺度和极廉价的光子材料。 自从2 0 世纪6 0 年代初第一台激光器问世以来，研究人员一直在努力寻找具 有新的产生机理和特性的激光介质以拓宽激光的应用范围。常规激光器通常有反 射镜构成的谐振腔，所以输出具有较好的方向性。当激光增益介质为含有较大折 射率光散射体的粉末材料时，如果散射体间的距离足够近，即粉末介质的散射平 均自由程小于散射光波长时，该材料就成了增益型光子局域化材料。光子在这样 的薄层粉末中的路径就可以是封闭的，这就等效于存在多个随机环型谐振腔，因 而该激光就有不同的输出方向。1 9 9 9 年，美国科学周刊以“来自一把粉尘 的激光 为题报道了这种强光子局域化粉末材料( z n o 和g a n ) 中获得的上百倍 随机激光辐射。研究人员立刻意识到它将会在提高平板场发散显示器的亮度和分 辨率上大展宏图。 1 3 本文的主要工作 鉴于目前对光子晶体的能带结构的研究中，常用的几种研究方法已经较为深 入，但这些计算方法都出现了一些缺点，而小波分析法作为一种新的计算方法， 它具有精度高、收敛快等优点，采用它来计算光子晶体的能带结构的文献却少有 报道。文中我们将小波法作为主要的计算方法，通过构建本征矩阵，求解小波积 l o 分，来研究一维光子晶体的能带特性。 另一方面，由于特异材料具有负的介电常数和磁导率，光在其界面及内部的 传输特性与传统材料有很大的不同，因此可以预见，在含有特异材料的无序结构 中的安德森局域将具有一些特有的性质。然而，相关的研究还较少开展，现有的 文献仅讨论了由双负材料和正折射率材料交替构成的无序系统中的光子局域系 统。我们详细讨论了由两种单负材料构成的周期结构中的每层材料的厚度存在一 定程度的无序扰动时，光在其内部传输时的局域特性，并与我们之前讨论的随机 结构进行了比较。 2 1 变分法 2 理论基础 变分法 3 5 - 3 7 的主要思想是将函数和算子在合适的基函数上展开。像平面波展 开法和有限元法就属于这一类，它们分别使用了f o u r i e r 基函数和非振荡的基函 数来进行展开。下面将详细介绍一下平面波展开法。 从m a x w e l l 方程组出发，构建本征方程，有 去v x v 蝴) _ _ 吉导聊) ( 2 - ，) v 去v 删和) ) - 专等聊) ( 2 - 2 ) 利用b l o c h 定理，上面两式可以写成 辨 去v v x 冽= 等砸) ( 2 - 3 ) 弧 去v 堋辨= 等研) ( 2 4 ) 将电场和介电常数向平面波上展开，可以得到 “ e 妇( 尹) = 瓦( 6 ) e x p f ( 云+ 6 ) 芦) ， ( 2 5 ) h 蛔( 尹) = 巩( 吞) e x p 砸+ 6 ) 尹) ( 2 6 ) 运用b l o c h 定理：e ( 芦) = ( 尹) = ( 尹弦积7 并- dh ( f ) = h _ b ，( 尹) = ，切( 尹) p 融7 。介电 常数可以展成 丽1 = 丢，c ( 否) e x p ( 面力 将( 2 5 ) 、( 2 6 ) 和( 2 - 7 ) 代入( 2 - 3 ) 、( 2 - 4 ) 得 ( 2 - 7 ) 一善k ( g 一吞) ( 云+ g ) ( | j i + 6 。) 氏( 6 ) ) = 等2 ( g ) ， ( 2 - 8 ) 1 2 一莩k ( 。一哪+ 弧衙西日h ( 鳓= 研c - - - i - h 白, ( g ) ( 2 9 ) 而在本文中我们用到的小波分析法也是属于变分法的范畴，它是在截断的小波基 上展开，详细的展开过程请见第三部分。 2 2 传输矩阵法 传输矩阵法 6 4 - 6 6 是将m a x w e l l 方程组转化成传输矩阵形式来求解电磁场的 传播。传输矩阵表示一层格点的场强与紧邻的另一层格点场强的关系，假设在构 成的空间中在同一个格点层上有相同的态和相同的频率，这样可以利用m a x w e l l n b = e 瓜。 光波在介质中的传播满足m a x w e l l 嘲3 方程组： v 岳一筹 v 胁一等+ 7 ( 2 - 1 0 ) v 雹2p v b = 0 在自由空i 司的条件f ，得到波动方程组： | v ：辱+ ：p s 兽2o(2-11) i v 2 b + 朋b = 0 首先我们考虑频率为c o 的单色平面电磁波入射，其偏振态为t e 波时有： 豆= ( o ，b ，o ) ，膏= ( 皿，0 ，皿) 。前行波波矢为疋= ( t ，0 ，砖) ，反射波波矢为 定= ( t ，0 ，一氏) 。由( 2 1 1 ) 知，在一维光子晶体中任意一层( y 4j 层) 内的光 场满足以下波动方程： 善矽b 石) + 导哕b 石) + 等“( ) 矽b 石) = 。 ( 2 1 2 ) 在同一介质内，方程的解的一般形成可表达成： e ( y j ( x ，z ，f ) = e x p ( i k ! 5 x 7 ) 【e ( 4 - ( x j - l ，乃- 1 ，c o ) e x p ( i k l 7 a z 】 + 矽( x j - 1 ，乃- l ，r o ) e x p ( - i k ! 门a z u ) 】 ( 2 - 1 3 ) 其中嘭和屯分别为第j 层的折射角和光波波矢。a r 7 = _ - x j 一，和止7 = 乃- - z j 一。 分别为在第j 层内光波沿x 方向和z 方向传播的距离。( + ) ( 一) 分别表示为前行波 和反射波。 在第j 层介质中传播的光波波矢为： k j2 厕= = 鼍厄 ( 2 - 1 4 ) 由式子 1 4 得到 v x e = 卸。以 ) 日 ( 2 1 5 ) 硭 夥 ，y ，c o ) = o ) p o p ，( 国) 趔( x ，y ，) 以( ) 叫7 ，y ，) = 一硭7 ) 【黟( x j l ，乃一l ，) e x p ( f z 1 即磁场分量为： ( 2 - 1 6 ) 一矽( - l ，z j - l ，c o ) e x p ( - i k l 7 a z ) e x p ( i k ! 。缸1 ( 2 17 ) 趟气x , z , c o ) = 桫础( x ，z ，) 掣。以( ) = 犁旦e y ( j ( x , z , c o ) ( 2 1 8 ) q p o 以 叫。( 墨弘) = 羔【黟( _ 小乃小国) e x p ( f 。z “) 一矽( - l 乃- l ，w ) e x p ( - i k ! a z ) e x p ( i k l 7 a x 7 ) ( 2 1 9 ) 在第j 层的电磁场可以通过定义一个二分量矩阵4 2 1 来描述： 其中 胂，= 陵矧 甲l ( x ，y ，) = 夥( x ，z ，) 甲2 j ( x ，y ，) = i ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 从( 2 4 ) 式和( 2 1 0 ) 式，可以通过一个传输矩阵来联系甲，( x j 一。+ 缸，z j 一。+ 止，国) 和甲一。( 书乃书) ： 甲j ( _ 一l + 缸，乃一l + 心，c o ) = e x p ( i k ! 血) m j ( 应，国) 甲一l ( x j - l 乃- l c o ) ( 2 2 3 ) 其中传输矩阵哆( 位，c o ) 表示为： m j ( z ，c o ) = 辱j 再l c o s ( 砭7 a z ) 其中砭。= 詈后厄 s i n ( k 1 7 a z ) s 酞z )c o s ( 砭力a z ) ( 2 - 2 4 ) ，由于电场分量e ( y j ( x ，z ，) 和磁场分量 l - i ( y j ( x ，z ，国) 在界面上是连续可导的， 所以在空间任意位置 ( x = x j 一。+ a x ，z = z j 一。+ 止) 的电磁场可以通过一个矩阵和入射段的电磁场联系起 来： 其中 甲j ( x j l + a x ，乃一l + a z ，c o ) = r ( x j l + a x ，c o ) q ( z j l + a z ，c o ) e ( x o ，z o ，c o ) ( 2 2 5 ) j - i y ( x j l + a x ，t o ) = e x p ( i k ，( a x ) 兀e x p ( i k ，( o 缸) ( 2 2 6 ) j - q