（基础数学专业论文）三类广义kdv方程的行波解.pdf

三类广义k d v 方程的行波解 基础数学 研究生殷俊指导教师赖绍永( 教授) 本文运用微分方程降阶法和辅助微分方程方法，讨论了三类非线性广义k d v 方 程的行波解，得到了一些新的结果，分别指出了导致解物理结构发生变化的主要参 数 采用微分方程降阶法，第二章研究了两类广义k d v 方 程毗+ ( a t t 扎一b u 2 n ) + 阻七( i t m ) 正z 】= 0 和毗+ ( a u n h 知) 札王+ u k ( u m ) 勰王= 0 ， 在不同的条件下，得到了相应的行波解，包括孤波解、孤子解、紧孤子解，周期 解和代数行波解。同时，指出了方程非线性项的指数，非线性项的系数和波速一起 决定解物理结构变化 第三章采用辅助微分方程方法研究了一类变系数广义k d v 方 程毗+ o ( 亡) ( 矿) 士+ p ( 亡) ( “# ) w 工= 0 ，n 1 通过m a p l e 运算，得到了方程行波解 的解析表达式，指出了解的物理结构由a ( t ) ，j 臼( 亡) 与指数n 共同决定 关键词：k d v m 耳d y 方程；广义k d v 方程；降阶法；辅助微分方程； 孤波解；周期解；孤子解；代数行波解；物理结构 第i 页，共2 3 页 t h ee x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rt h r e et y p e so f g e n e r a l i z e dk d ve q u a t i o n s f u n d a m e n t a l m a t h e m a t i c s w r i t e r ：j u ny i n s u p e r v i s o r ：s h a o y o n gl a i a b s t r a c t ：t h em a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e so ft h er e d u c t i o no fo r d e rf o rs o l v i n g d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ea u x i l i a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na p p r o a c h e sa x eu s e d t os t u d yt h r e et y p e so fn o n l i n e a rg e n e r a l i z e dk d ve q u a t i o n s t h ea n a l y t i c a le x - p r e s s i o n so ft h ee x a c ts o l u t i o n sf o rt h ee q u a t i o n sa x eo b t a i n e d t h em a i nf a c t o r s l e a d i n gt ot h ec h a n g ei nt h ep h y s i c a ls t r u c t u r e so fs o l u t i o n sa l eh i g h l i g h t e d i nc h a p t e r2 ，u s i n gam a t h e m a t i c a lt e c h n i q u eb a s e do i lt h er e d u c t i o no f o r d e rf o rs o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w es t u d yt w ot y p e so fg e n e r a l i z e dk d v e q u a t i o n s ，w h i c ha r e 啦+ ( a u n 一乩) + 心南( 壮”) 船】z = 0a n d 毗+ ( a u 一 阮2 n ) + 钍。( 让m ) 七船= 0 ，a n do b t a i ne x a c tt r a v e l h n gs o l u t i o n s ，t h es o l u t i o n s p r e s e n t e di nt h i sc h a p t e rp o s s e s sv a r i o u sf o m ：l si n c l u d i n gb e l lt y p eo rk i n kt y p e s o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ，s o l i t o n s ，c o m p a c t o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n sa n da l g e b r a i c t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n s i ti ss h o w nt h a tt h ee x p o n e n t so ft h eu o n l i n e a rt e r m s j t h ew & v es p e e do ft h es o l u t i o n sa n dt h ec o e f f i c i e n t so ft h ed e r i v a t i v e so ft h e e q u a t i o n sp l a yam a j o rr o l ei nt h eq u a l i t a t i v ec h a n g eo ft h ep h y s i c a ls t r u c t u r e s o ft h es o l u t i o l t s c h a p t e r3s t u d i e sap r o t o t y p i c a la n dn o n l i n e a r 耳( n ，n ) e q u a t i o nw i t h v a r i a b l ec o e f f i c i e n t sb yu s i n gam a t h e m a t i c a lt e c h n i q u eb a s e do i la u x i l i a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h es y m b o l i cc o m p u t a t i o ns y s t e mm a p l e t h e 第i i 页，共2 3 页 e x a c ts o l u t i o n st ot h ee q u a t i o n a r ec o n s t r u c t e da n a l y t i c a l l y u n d e r 、m i 0 1 l s c i r c u 脚t a n c e s i ti ss h o w nt h a t t h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n dt h e 唧o n e n t 印p e a r i n gi nt h ee q u a t i o nd e t e r m i n et h eq u a n t i t a t i v ec h a n g e i nt h ep h y s i c a l s t r u c t u r e so ft h es o l u t i o n s k e yw o r d s ：c o m b i n e dk d ve q u a t i o n ；g e n e r a l i z e dk d v 掣譬幻n ； r e d u c t i o n o r d e rm e t h o d ；a u x i l i a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt e c h n i q u e ；导。警盯y w a v es o l u t i o i l s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；s o l i t o n s ；a l g e b r a i ct r a v e l l i n gw 撇s o l u t l o n s ； 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供 检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密 后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 一：角乏愎 声卯5年4 月1 日 第一章前言 1 1k d v 方程的研究背景现状 随着应用科学的发展，使得描述实际现象的非线性偏微分方程越来越突现 其重要性最早用于描述浅水波现象的k d v 方程 毗+ 8 眦z + h 甜z = 0 ，( 1 - 1 ) 在经过长时间沉寂后，随着孤波理论的发展，方程本身和解的意义被人们重新 认识吸引了科学家的研究兴趣人们发现各种不同形式的k d v 方程可以描述 很多领域中的不同现象，如：弱非线性，弱色散的平面波系统运动，等离子体 中的磁流体波，离子声波，弹性棒中的纵色散波，旋转大气中的r o b b y 惯性以 及液体气泡混合中的压力波等而方程的精确解能使物理现象得到进步的 科学解释( 见 1 _ 4 】) 因此，对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者 来说，寻找对应实用背景方程的精确解直是大家关注的问题 除了基本形式的k d v 方程，还存在着一些广义k d v 方程，分别为： ( 1 ) 混合k d v 一仇k d v 方程 饥+ ( 口札一6 钍2 ) + 7 = 0 ( 1 - 2 ) ( 2 ) 广义d v 方程 啦+ ( n 忭一b u 2 n ) 十霉= 0 ，( 1 - 3 ) ( 3 ) k ( m ，札) 方程 毗+ o ( u m ) z + 6 ( 乱n ) z 玎= 0 ( 1 - 4 ) ( 4 ) 耳( 孔，r t ) 方程 啦+ o ( 灶n ) 喜+ 6 ( u n ) 一= 0 ， 扎 1 ( 1 - 5 ) ( 5 ) 五阶k d v 方程 地+ o ! 7 t l t + 卢船+ y t t x z x x 善= 0 ( 1 - 6 ) ( 6 ) k d v b u r g e r s 方程 饥+ 圳一a t 虹霉+ 卢札掰= 0 ( 1 - 7 ) 第1 页，共2 3 页 第一章前言 ( 7 ) k d v b u r g e r s k u r a m o t o 方程 饥+ u u z q z + t k 嚣+ 7 u z 船王= 0 ( 1 - 8 ) 以上这些方程具有一定物理意义，许多学者对它们进行了深入的研究如： 文 8 - 1 0 】指出方程( 1 3 ) 是描述弱色散现象的近似模型，并研究了方程的孤波 解，代数解，孤子的碰撞和孤波的不稳定性等w a z w a z 1 5 】运用t a n h 方法和两 种拟设，得到了方程( 1 3 ) 在不同情况下相对应的k i n k 孤波解，b e l l 孤波解和 代数行波解 r o s e n a u 和h y m a n 【1 1 】研究了方程( 1 5 ) 通过实验，r o s e n a u 和h y m a n 发 现了一类特殊的解，即具有紧支集的孤立子，他们称之为紧孤子( c o m p a c t o n ) 这种紧孤子一方面具有孤立波弹性碰撞的性质，另一方面又不同于孤立子，伴 随着碰撞总会成对出现紧性结构和非紧结构( c o m p a c t o n - a n t i c o m p a c t o n ) 这 一发现对以后非线性偏微分方程的研究与发展起到了重要作用随后w a z w a z 【1 7 运用a d o m i a n 分解法探寻了在仃= 2 、礼= 3 及礼 1 三种情况下方程( 1 5 ) 的紧孤子解i s m a i l 和t a h a 【2 0 1 采用有限差分和有限元方法，求取了方程( 1 5 ) 在几= 2 和礼= 3 时的数值解 1 2 非线性偏微分方程精确解的相关构造方法 求解微分方程在理论和实际中都有重要作用，显示解，特别是行波解可以 很好地描述各种物理现象，如振动，传播等随着数学方法的发展，产生了一系 列构造精确解的方法，如反散射法，b h c k l u n d 法，d a r b o u x 变换法，h i r o t a 双线 性法，延拓法，p a i n l e v 百分析法，t r i 。h a m i l t o n i a n 算子法，有限差分法，a d o m i a u 分解方法，t a n h 方法和s i n c o s 等( 见f 5 - 1 1 ，1 3 1 7 ，2 0 】) 尽管科学工作者已经运用以上的一些方法去研究许多的非线性问题，但是 每一种方法都有局限性，仍需要对方法本身进行不断研究和更新，即一般情况 下，我们不可能用一种方程去求出非线性方程的所有精确解。 r o s e n a u 和h y m a n 1 1 使用了a d a m s b a s f o r d m o u l t o n 方法去研究一类具 有高阶非线性项的方程，得到了其行波解的具体表达式 在文献 7 】中，张桂戍等使用双曲函数方法和借助于计算机去研究了一类非 s h i z h e c r y s t a l y a h o o c o r n a n 第2 页，共2 3 页 毕业论文 第一章前言 线性波方程，他们把非线性波方程的孤波解表示成关于双曲函数的多项式，从 而把这类非线性方程转化为代数方程，然后借助计算机去算出对应系统的解， 达到求出方程精确解的目的使用此方法得到了许多精确解的表达式 使用e x t e n d e dt a n h 方法和齐次平衡法，范思贵f 3 ，4 1 研究了广义m k d v 和z k 方程，得到了大量行波解的表达式 w a z w a z 【1 卜1 6 】使用了s i n - c o s 拟设方法研究了几种非线性方程并得到了其 行波解的具体表达式，其中包括紧孤子解，孤波，孤波相似解和周期解并指出 了引起解物理结构变化的主要参数 总之，很多研究领域涉及对非线性偏微分方程精确解的研究，进一步解决 的问题还很多( 见f 1 1 2 2 1 ) 1 3 主要工作 本文主要运用了微分方程降阶法和辅助微分方程方法，研究了三类广 义k d v 方程，在已有工作的基础上，找出了它们的一些新行波解 。 第二章研究了两类广义k d v 方程 瓴+ ( a u 住一b u 2 “) 乱z4 - 陋知( 钍仇) z 2 】z = 0 ( 1 - 9 ) 其中口和6 都是常数。运用微分方程降阶法得到方程( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 的紧孤子解， 孤波相似解，孤立子和周期解 第三章采用辅助微分方程方法研究了一类广义k d v 方程 让t4 - q ( ) ( 札n ) z4 - p ) ( 札n ) 2 霉z = 0 ，n 1 ，( 1 - 1 1 ) 其中q ( t ) 和卢( t ) 是t 的函数通过m t r p l e 运算，得到了( 1 一i i ) 各种形式的行波解 s h i z h e c r y s t a l y a h o o c o l d a l l 第3 页，共2 3 页毕业论文 哦 = 站b 扩 七 u+ 胁 乩一矿 + 锄 和 第二章两种广义k d v 方程的行波解 2 1引言 w 如w a z 1 5 1 研究了如下非线性广义k d v 方程 u t + ( 口u 住一b u 执) + t 正2 嚣= 0 ， ( 2 - 1 ) 其中口，6 都是常数当礼= 1 ，a 0 ，b = 0 ，方程( 2 1 ) 变为k d v 方程，当n = l ，a = 0 ，b o 时，方程( 2 1 ) 变为m k d v 方程 本章工作是在文 1 5 】的基础上，讨论如下广义k d v 方程 饥+ ( o 矿一聍n ) + 缈( 俨) 砧】z = 0( 2 2 ) 和 u t + ( a u n b u 2 n ) + 矿 m ) z 托= 0 ， ( 2 3 ) 这里n ，b ，七，m ，扎是满足一定条件的常数我们将用不同于文 1 3 - 1 6 的方法来研 究方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，得到了方程的各种行波解 2 2 广义k d v 方程( 2 2 ) ” 假设方程( 2 2 ) 有形如乱( z ，t ) = u ( ) 的解，这里= p ( x - - c t ) ( p o ，c o ) ， 将波变量带入方程( 2 2 ) 得到如下非线性常微分方程 一。+ 业n + 玉l 一鲨2 n 生+ 1 + 办七( u 嘲e = 。 ( 2 - 4 ) 在下面的讨论中，假定n 0 ，一；，- 1 ，m 0 ，m - k + l 0 ，m + n k + l 0 和2 佗+ m 一+ 1 0 对方程( 2 4 ) 积分并令积分常数为o ，得到 一优+ 筹一筹以妒k 如一优+ 而一云雨+ p 珏“i 鼍) “= u 。 令z = ( 珏m ) e ，则( u m ) “= z 洲d z 。结合方程( 2 - 5 ) 可得 ( 一优m - k + 丽a u n + m - k 一等等) 也+ i # 2 z d z - 0 在( 2 6 ) 中对钍积分，并令积分常数为o ，则有 ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) r“m k + l a 让n + m k + l b 让2 n + m j c + 1 【一c 石i = 而+ 百l f i 币i i 丽f = 丽一匹而j _ 巧匹磊j 写i = 丽 第4 页，共2 3 页 第二章两种广义k d v 方程的行波解 + 等卸z 7 ，l 整理得如下方程 n 乱竹 篆( m 仳m l d u ( n + 1 ) ( n - i - m k - f1 ) 设矿= w ，则 让= w 丢 和 必 + c m 一尼- t - 1 ( 2 几- i - 1 ) ( 2 几十m k + 1 ) d u ：三w 昙一1 讥杉 ：n 情况2 1 当m - fk = l ，将( 2 9 ) 带入方程( 2 8 ) ，我们得到 1 ：兰竺二：二：士兰必 毒一而甬2 丽a w + 丽蒜罱丽p 3 ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 若c 丢 r ( 2 1 3 ) 毕业论文 一 护 u = 景一 f 【 厂1， 第二章两种广义k d v 方程的行波解 ( 2 1 4 ) 这里= 两稍知砰一而而b e 丽而 数 若c 0 ，丽雨b 而e 丽 = 0 在这种情况下，c 成为一固定常 a 2 m ( 2 n + 1 ) ( 礼+ m ) 归国2 可再酽贯葡 我们得到如下形式的k i n k 孤波解 和 和 钍= 籍锩剖 乱= 击( 2 - 1 6 ) ( 三士扣h 朵俪( z 一卅】) 产( 2 - 1 7 ) 若c 0 ，丽丽一而可吓a 2 研= 0 得到方程( 2 2 ) 的解为 u = 器瑞蚓 缸弋s 币a ( 2 干n + 砺1 ) ( 两m + n ) 这里i = 二t ( 三士丢t a n 蠡佤( z c o 嘲击( 2 - 1 8 ) ( 三千扣【芴n 俪( z 一卅 ) ) 击，( 2 - 1 9 ) 注1 当七= 0 和m = 1 ，( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) - ( 2 1 9 ) 变成 f 让2 l f 乱2 l f t ( n - i - 1 ) ( 礼+ 2 ) c 8 士a ( n + 1 ) ( n + 2 ) c 0 口 c o s 沁、局( z 一嘲 ( 死+ 1 ) ( n + 2 ) c a 士a s i n h n v 尼( x 一叫】 s h i z h e c r y s t a l y a h o o c o r n e l l 第6 y i ，共2 3 页 r r f c o ， lo 士o v 1 一n 3 + 5 2 n n 2 “+ 8 n 一+ , 4 参c o s h n v f c ( x 一矗) 】j 。 u = a ( 2 n + 1 ) ( 1 士t a n ha n 酉c 埘阱 ( 2 2 3 ) f o r 揣 。a n dc 0 ，= 丽a 2 丽( 2 n + 1 ) ，( 2 - 2 4 ) 让= a ( 2 n + 1 ) ( 1 士c o t h 乱= 糕( ，蚓a n 一t 莉l k 矾锄【 u = a ( 2 ( 川n + 1 ) ) - ( 1 寸t 霸 ( 2 2 5 ) f o r 揣 。，( 2 - 2 6 )幻r 丽 o ( z 嘞) m 寺， 、，、 f o r 揣 0 ，葡磊面b c 两一而酉南0 ，方程( 2 - 2 ) 的孤波解具有下列 u = 芈掣 万赤两坶t n n 曙 s h i z h e c r y s t a l y a h o o c o r n a n第7 页，共2 3 页毕业论文 这里夕= b e 丽一两稍杀砰 若彘 0 ，硒再辆一而焉杀砰 孤波解 和 仳2 c 斧 ：5 ：n d 弘 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 0 ，方程( 2 3 ) 具有如下形式的b e l l 丽赢丽- 4 - 何s i n h 杀锯( z 一啪 c 矛 面雨名南再而4 - 否c o s h 景、焉( z 一统) 】 其中g = 两看杀研一硒磊b 丽c ) 丢 若景 0 ，静而鬲b 丽ei 再而一面再辆= 0 ，c 被固定为 方程( 2 3 和 和 若豪 口2 仇2 ( 2 n + m ) c2c 0 32 ( 2 m + n ) 2 ( m + n ) b 让= a ( 2 n + m ) 1 f 士互1t a n h 朵1 票( z 嘞圳) 广 让= a ( 2 n + m ) 1 f 士- c 0 1 t h 【朵 票( z 圳) r 0 ，矛而二b e 而i 丽一而；南0 ，方程( 2 3 ) 有如下形式的孤波 解 fm 2 ， 归f 丁( 2 m n ) ( m 一仃) s h i z h e c r y s t a l y a h o o t o m c n 第1 0 页，共2 3 页 毕业论文 l i ，一n 、， illfj r，l r 【 和 和 fm 2 ， 忙t 了i “= 0 2 c 2 = 0 ，e l 0 ，c 3 0 ，4 c l c 3 一连0 5 c 3 0 ，c 1 0 且q ( t ) p ( t ) 0 ，鼋一4 c l c 3 0 ，a ( t ) f l ( t ) 0 方程( 3 1 ) 具有如下形式解 和 钆= c 2 + v 谚- 1 c 8 ：夕。 譬- 4 c l c 8 酬掣 蜊+ 剐击邝啪， 乱= p ! 学一压2 c 3 砌【掣 蜊一罢 一蚴， 让= g o c 2 + e v 奄- 4 0 c z ：卯卜譬v 奄- 4 c l c 3 咖h 掣 捌一剐击涵2 9 ， u = 9 0 - 华9 。l 孥4 c ；2 - - 4 c l c 3s i 曲c 掣 蜊+ 剐由肛3 。， 这里卯是任意非零常数，= 士1 ，g 满足( 3 1 5 ) 情况4 5 若c 3 0 方程( 3 1 ) 的解为 s h i z h e c r y s t a l y a h o o c o m c i l第1 6 页，共2 3 页毕业论文 竺和 帕l i 啊堡州 竺廿 第三章变系数k ( n ，礼) 方程的行波解 f 乱= g o + 【 譬2 夕0 士例一剐击邝趣， 峄c , z + e v 雹- 4 c l c 3 筋 譬c o s r 掣 士氘翻+ 剐击邝翘， = c 2 + c v c 2 - 4 c l c 3 ：卯。 v 孚奄- - 4 c l c 3s i n 掣- 1 ) 和 u2 夕0 土佩一剐由3 ， 唑笔芦踟v 孚奄- 4 c l c 3 酬掣- 1 ) 士而翻+ 剐击一? 其中g o 是任意非零常数，e = 土1 ，q 满足( 3 - 1 5 ) 情况4 6 当c 3 0 ，奄一4 c l c 3 = 0 ，( 3 - 1 4 ) 变成 则方程( 3 1 ) 的解为 c 2 9 12 石夕0 ( 3 - 3 5 ) 让= 卯+ 暑跏 去e ( 掣厂磊蚪而，一去 ) 击， ( 3 粕) 这里g 满足( 3 1 5 ) 注6 事实上，当方程( 3 1 ) 的指数n 1 毕业论文 旺佗 州 譬“譬 坐 第三章变系数k ( n ，n ) 方程的行波解 和扎 1 两种情况下，其物理结构是完全不一样的 s h i z h e c r y s t a l y a h o o c o l d c n 第1 8 页，共2 3 页 毕业论文 参考文献 【1 】a e l g a r a y h ia n da e l h a n b a l y ，n e we x a c tt r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s f o r t h et w o - d i m e n s i o n a lk d v b u r g e r sa n db o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，p a y s l e t t a 3 4 3 ( 2 0 0 5 ) ，8 5 8 9 2 】a l u d u ，j p d r a a y e r ，p a t t e r n s o nl i q u i ds u r f a c e s ： p a c t o n sa n ds c a l i n g ，p h y s i c ad 1 2 3 ( 1 9 9 8 ) 8 2 9 1 【3 】e g f a n ，h q z h a n g ，n e we x a c ts o l u t i o n sf o ras y s t e mo fc o u p l e dk d v e q u a t i o n ，p a y s l e t t a 2 4 5 ( 1 9 9 8 ) 3 8 9 3 9 2 4 e g f a n ，e x t e n d e dt a n h f u n c t i o nm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n st on o n l i n e a r e q u a t i o n s ，p a y s l e t t a 2 1 2 ( 2 0 0 0 ) 2 7 7 - 2 8 4 【5 p r o s e n a u ，o nn o n a n a l y t i cs o l i t a r yw a v e sf o r m e db ya n o n l i n e a rd i s p e r s i o n ， p a y s l e t t a 2 3 0 ( 1 9 9 7 ) 3 0 5 3 1 8 6 】s h a o y o n gl a i ，y i nq i n g ，an e ws t u d yf o r t h em o d i f i e dn o n l i n e a rd i s p e r - s i v em k ( m ，n ) e q u a t i o n si nh i g h e rd i m e n s i o n a ls p a c e s ，j o u r n a lo fp u r ea n d a p p l i e dm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，a c c e p t e d 【7 】z h a n gg u i x u ，l iz h i b i n ，d u a ny i s h i ，e x a c ts o l i t a r yw a v es o l u t i o n so fn o n - l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r i e sa ) 4 4 ( 2 0 0 1 ) 3 9 6 - 4 0 1 【8 d p e l i n o v s k y , r g r i m s h a w ，a na s y m p t o t i ca p p r o a c ht os o l i t a r yw a v ei n s t a b i l i t ya n dc r i t i c a lc o l l a p s ei nl o n g - w a v ek d v t y p ee v o l u t i o ne q u a t i o n s ， p h y s i c ad 9 8 ( 1 9 9 6 ) 1 3 9 1 5 5 【9 m k l a u s ，d p e l i n o v s k y ，v r o t h o s ，e v a n sf u n c t i o nf o rl a xo p e r a t o r sw i t h a l g e b r a i c a l l yd e c a y i n gp o t e n t i a l s ，j n o n l i n e a rs c i 7 ( 2 0 0 5 ) 1 4 4 第1 9 页，共2 3 页 参考文献 f 1 0 d p e l i n o v s k y , v a f a n a s j e v ，y k i v s h a r ，n o n l i n e a rt h e o r yo fo s c i l l a t i n g ， d e c a y i n ga n dc o