（基础数学专业论文）我国权证定价有关问题的研究.pdf

本人郑重声 立进行研究所取 包含任何其他个 究做出重要贡献 的法律责任由本 论文作者签名：杰邀丑垒 e t期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：甚幽鉴导师签名：盎法 日 山东大学硕士学位论文 目录 中文摘要i a b s t r a c t i i 第一章引言1 1 1 研究背景及问题的提出1 1 2 相关文献综述2 1 3 本文的结构安排和创新点3 第二章权证概述5 2 1 权证的概念5 2 2 权证的分类5 2 3 权证的特点6 2 4 认股权证与股票期权的区别6 2 5 认股权证的发展历史8 2 5 1 认股权证在世界范围的发展历史8 2 5 2 认股权证在我同内地的发展历史8 2 6 认股权证在我罔金融市场中的作用9 2 6 1 认股权证对困有股减持的作用9 2 6 2 认股权证在股权分置改革巾的作用9 2 7 权证作为一个新兴的产品，在目前的市场中也出现了很多问题1 0 第三章权证定价模型l l 3 1 影响认股权证价格的因素1 1 3 2 b la c k - s c h o l e s 期权定价模型1 2 3 3 分数布朗运动期权定价模型16 3 46 a r c l i - m 框架下期权定价模型1 9 3 5f i g a r c h - m 期杖定价模型2 1 第四章实证分析2 3 4 1 标的股票收益率的检验2 4 4 2 模型参数的确定2 6 4 2 1 无风险利率2 6 4 2 2 波动率2 7 4 2 3 四种模型中其它参数的确定2 8 4 3 计算权证理论价格的步骤3 3 4 4 预测误差统计量的定义3 4 4 5 实证结果分析3 5 4 6 导致市场价格和模型价格差异的主要因素4 3 4 7 对我圈权证市场的建议4 4 第五章本文结论及后续工作展望4 5 5 1 本文结论4 5 5 2 后续工作展望4 6 附录4 7 参考文献5 3 致谢5 7 山东大学硕士学位论文 c o n t e n t c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t i i c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1 1r e s e a r c hb a c k g r o u n d 1 1 2l i t e r a t u r es u m m a r y 2 1 3f r a m e w o r ka n di n n o v a t i v ep o i n t s 3 c h a p t e r2w a r r a n ts u m m a r y 。5 2 1d e f i n i t i o no f w a r r a n t 5 2 2c l a s s i f i c a t i o no f w a r r a n t 5 2 3c h a r a c t e r i s t i c so f w a r r a n t 6 2 4d i f f e r e n c e sb e t w e e nw a r r a n ta n ds t o c ko p t i o n 6 2 5d e v e l o p m e n to fw a r r a n t 8 2 5 1d e v e l o p m e n to v e r s e a s 8 2 5 2d e v e l o p m e n td o m e s t i c 8 2 6t h er o l e so fw a r r a n ti nc h i n a sf i n a n c i a lm a r k e t s 9 2 6 1t h er o l eo f w a r r a n to f s t a t e o w n e ds h a r e s 9 2 6 2t h er o l eo f w a r r a n to f t h es p l i ts h a r es t r u c t u r er e f o r m 9 2 7t h ep r o b l e m si no u rw a r r a n tm a r k e t l0 c h a p t e r37 n l ep r i c i n gm o d e l so fw a r r a n t 1 1 3 1f a c t o r st h a ta f f e c tt h ew a r r a n tp r i c e 1 1 3 2b l a c k 。s c h o l e sm o d e l ，12 3 3f r a c t i o n a lb l a c k s c h o l e sm o d e l l6 3 。4g a r c h mm o d e l 1 9 3 5f i g a r c h mm o d e l 2 1 c h a p t e r4e m p i r i c a lr e s e a r c h 2 3 4 1y i e l dt e s t 2 4 4 2e s t i m a t i o no f m o d e lp a t a m e t e r s ：1 6 4 2 1r i s k f r e er a t e 2 6 4 2 ：11 0 7 i ) l a t i l i t y 2 7 4 2 3e s t i m a t i o no f o t h e rp a r a m e t e r s 2 8 4 3p r o c e s so f c a l c u l a t i o n 3 3 4 4d e f i n i t i o no ff o r e c a s te r r o rs t a t i s t i c s 3 4 4 5e m p i r i c a la n a l y s i s ：；5 4 6f a c t o r so fd i f f e r e n c e sb e t w e e nm a r k e tp r i c ea n dt h e o r i c a lp r i c e 4 3 4 7s u g g e s t i o nt oo u rw a r r a n tm a r k e t 4 4 c h a p t e r5c o n c l u s i o na n df o l l o w - u pp r o s p e c t 4 5 5 1c o n c l u s i o n 4 5 5 2p r o s p e c t z 1 6 a p p e n d i x z 1 7 r e f e r e n c e 5 3 a c k n o w l e d g e m e n t 5 7 功能。 随着2 0 0 5 年8 月2 5 日宝钢权证的上市交易，这种新型的金融衍生品再度成为 了市场的焦点，其价格也经历了跌宕起伏的大幅波动。传统的b l a c k s c h o l e s 模 型在无套利分析的框架下得出了欧式认股权证价格的定价公式，其重要的假设条 件是股票价格服从几何布朗运动，对数收益率足正态分布且无自相关，波动率为 一个恒定的常数。但是很多实证研究结果表明，股票对数收益率存在显著的“尖 峰厚尾 现象n3 ，不适合用正态分布去描述，而且其波动率存在明显的时变性和 长记忆性。所以，放宽股票对数收益率的无自相关性和波动率恒定的条件，进一 步研究相关定价模型在我国权证市场一卜的定价效果如何具有重要意义。 本文采用b l a c k - s c h o l e s 模型、分数布朗运动权证定价模型、g a r c h m 模型和 f i g a r c h m 模型对我国认股权证的定价问题进行实证研究。选取长电、鞍钢、围 电权证为研究对象，分别应用上述4 种模型进行定价，并建立误差修正模型，继 而对未来3 0 天的权证价格进行预测。结果显示g a r c h m 、f i g a r c h m 定价模型的定 价效果整体较好但并不稳定，存在局限性，究其原冈是m o n t e lc a r l o 模拟时使用 的初始波动率存在门限值，若初始波动率超过这个门限值，则g a r c h m 、f i g a r c h m 模型的定价效果甚至不女h b l a c k s c h o l e s 模型。通过做出这两个模型门限值的期 限结构图，我们发现g a r c h - m 模型门限值图呈u 型，而且距离到期日越长越平坦； f i g a r c h - m 模型的门限值图则相对较平坦。本文还提出了一种新的预测隐含波动 ， 率的模型，其预测结果的稳定性和精确性都相对较高。最后研究分析了理论价格 与市场价格存在差异的原因并对证券市场的发展提出了合理的建议。 关键词：b l a c k - s c h o l e s ；分数布朗运动；g a r c h m ；f i g r c h m ；风险中性； m o n t e l c a r l o ；e m s 山东大学硕士学位论文 a bs t r a c t w a r r a n ti sat o o lo ff i n a n c i a li n n o v a t i o nr o o t e df r o ma m e r i c a ，w h i c hh a s d e v e l o p e df a s ti nc h i n at h e s ey e a r sa n dh a sb e c o m ea l li m p o r t a n tt a c k l ef o ri n v e s t o r s w a r r a n t sc o m i n go u ti st h er e s u l to fs h a r e h o l d e rs t r u c t u r er e f o r ma n df i n a n c i a l i n n o v a t i o ni nt h es e c u r i t ym a r k e to fo u rc o u n t r y i th a sp r o v i d e dt h el e s sl o s ef u n c t i o n t oi n v e s t o r sw h e nt h e yh a v ew a r r a n t sa n ds t o c k s o na u g u s t2 5 ，2 0 0 5 ，b a o g a n gw a r r a n tc a m ei n t oc i r c u l a t i o n t h en e w f i n a n c i a l d e r i v a t i v eb e c o m e st h ef o c u so ft h em a r k e ta g a i n i t s p r i c eh a sa l s oe x p e r i e n c e d l a r g ef l u c t u a t i o n s b l a c k s c h o l e sm o d e l 【6 4 1h a sg i v e n e u r o p e a no p t i o np r i c i n gf o r m u l a w h o s ei m p o r t a n ta s s u m p t i o n sa r et h a tt h es t o c kr e t u ms e r i e sa r en o r m a l l yd i s t r i b u t e d ， n oa u t o c o r r e l a t e da n dt h ev o l a t i l i t yi sa c o n s t a n t h o w e v e r ，m o r ea n dm o r ee m p i r i c a l r e s u l t ss h o wt h a tt h es t o c k r e t u ms e r i e se x i s t s i g n i f i c a n t l yh i g hk u r t o s i sa n d f a t - t m l e d ，w h i c hi sg e n e r a l l yd i f f i c u l tt od e s c r i b et h en o r m a ld i s t r i t i o n a n dt h e v o l a t i l i t yh a sv a r i a b l i t i t ya n dl o n gm e m o r yc h a r a c t e r i s t i c s t h e r e f o r e r e l a x t i o n so fn o a u t o c o r r e l a t i o na n dc o n s t a n tv o l a t i l i t ya r ei m p o r t a n tf o rt h es t u d yo fw a r r a n t p r i c i n g i nt h i s p a p e r ，w eu s eb l a c k s c h o l e sm o d e l ，f r a c t i o n a lb l a c k s c h o l e sm o d e l g a r c h mm o d e l ，f i g a r c h - mm o d e lt od os o m ee m p i r i c a lr e s e a r c h e si n t h e w a r r a n tm a r k e t w es e l e c t e dc h a n g d i a nw a r r a n t ，a n g a n gw a r r a n ta n d g u o d i a nw a n a n t f o rs t u d y t h e nw eu s et h ef o u rm o d e l st op r i c et h e m ，m a k ee r r o rc o r r e c t i o nm o d e l s a n df o r c a s tt h ef u t u r ep r i c e si n3 0d a y ss e p a r a t e l y t h er e s u l t ss h o wt h a tg a r c h m a n df i g a r c h - mm o d e l sg i v eg o o dp e r f o r m a n c eb u tt h e ya r en o ts t a b l e b e c a u s e t h e r ee x i t sat h r e s h o l df o rt h ei n i t i a l v o l a t i l i t yw h e nw eu s et h em o n t e lc a r l o s i m u l a t i o nm e t h o d i ft h ei n i t i a lv o l a t i l i t yi sm o r et h a nt h et h r e s h o l d ，t h eg a r c h m a n df i g a r c h mm o d e l se v e np e r f o r mw o r s et h a nt h eb l a c k s c h o l e sm o d e l t h r o u g h t h et e r ms t r u c t u r ed i a g r a mo ft h r e s h o l d ，w ef i n dt h a tg a r c h mm o d e ld i a g r a m s h o w sau t h r e s h o l dc u r v e ，t h el o n g e rt h e m a t u r i t y ，t h ef l a t t e rt h ec u r v e t h e f i g a r c h - mm o d e ld i a g r a mi s r e l a t i v e l ym o r ef l a t t e r t h i sp a p e ra l s op r o p o s e sa n e wf o r e c a s t i n gm o d e lf o r i m p l i e dv o l a t i l i t y ，w h o s es t a b i l i t ya n da c c u r a c ya r e i i 山东大学硕士学位论文 r e l a t i v e l yh i g h e r f i n a l l y w ea n a l y z et h er e a s o n sf o rt h ed i f f e r e n c e sb e t w e e n t h e o r e t i c a lp r i c ea n dt h em a r k e tp r i c ea n dm a k er e a s o n a b l es u g g e s t i o n st ot h es e c u r i t y m a r k e t k e yw o r d s ：b l a c k s c h o l e s ；f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ；g a r c h m ；f i g r c h - m ； r i s k n e u t r a l ；m o n t e l - c a r l o ；e m s 1 1 1 山东大学硕士学位论文 我国权证定价有关问题的研究 第一章引言 1 1 研究背景及问题的提出 权证是发行人与持有者之间的一种契约，其发行人可以是上市公司，也可以 是持有大量上市公司股票的第三者，如其非流通股股东、券商、投行等金融机构。 权证允许持有人在约定的时间用约定的价格购买或卖出其所对应的资产，这些资 产可以足个股，也可以是一揽子股票、指数或其他衍生品。自从1 9 1 1 年美国电灯 和能源公司( a m e r i c a nl i g h t & p o w e r ) 发行全球第一只权证融资至今，权证便以其 融资便利、对冲风险的特征一直受到投资者的青睐。按照成交金额计算，在困际 市场上已经形成了香港、中围大陆、德国、意大利、中国台湾、瑞士六大权证市 场。尤其是以中国香港、中国台湾、中国大陆为代表的亚太权证市场发展非常迅 猛。2 0 0 4 年中国香港以6 7 3 亿美元的总成交金额超过德因，跃居全球权证交易金 额的第一位。中围台湾地区在推出权证7 年的时间后，其交易金额就挤进全球前 五名胤 ，溉别。2 0 0 7 年，中国大陆在重新推出权证不到两年的时间内就已经跃居 全球权证交易金额的第一位。 1 9 9 2 年6 月，上海证券交易所推出了我国第一支权证大飞乐配股权证， 此后相继有 几种权证在沪深交易所上市交易心6 3 引。但至1 1 9 9 6 年底，权证市场上 出现了大肆恶意炒作的现象，管理层出于“抑制过度投机”的目的，取消了所有 的权证业务。2 0 0 5 年6 月1 4 日，上海证券交易所制定了上海证券交易所权证业 务管理暂行办法，我国证券市场重新开始了权证业务。2 0 0 5 年8 月2 日，宝钢认 股权证正式上市流通。随后，长电、万科、武钢等都陆续推出权证品种。权证的 再度复出，不仅为当前解决股权分置问题提供了一种有效的金融工具，而且也有 望成为独立于股改的真正的金融衍生产品。 我国权证业务起步较晚，由于证券市场制度、监管方面的不完善，再加上股 市的高波动性，出现了权证价格大大背离其价值的现象。以宝钢权证为例，在其 上市之初价格曾一度飙升，最高竞超过其理论价值的5 0 0 。对于公司来说，运用 山东大学硕士学位论文 权证融资比较方便；对于投资者来说，权证也是一利l 艮好的理财和避险的工具。 但同时权证本身也具有巨大风险，因此对待权证应持理性态度，进行科学的分析， 确定其合理的定价啪1 。虽然国外对于权证定价有了相当成熟的研究，但如何结合 巾同权证市场的实际情况对其合理定价仍是一个值得我们探索的问题，这也是本 文的研究目的。 1 2 相关文献综述 现代认股权证定价理论的最新革命始于1 9 7 3 年刚，b l a c k & s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 发表了 一p o x ( 3 一1 0 ) 问题转化为求解p ( s r x ) 和a 以昌，is t 柳。 求解p ( s x ) 由s r x o 稚f j l n 岛 l n x ，从而尸2p ( s t x ) 2 p ( 1 n 蚤 l n 妄) 。在风 险中性概率下研l n ( 蚤) 】= ( r - 0 5 0 - 2 ) ( 丁一，) ，妇n ( 鲁) 】：盯z ( r 一，) 。 因此州噜汕抄p c 1 4 s 一( r 一0 5 0 2 ) ( 丁一，) o - ( t 一，、 若记4 ：竺竺掣，咖4 一仃厉， 若记4 = j 茜一，d z 24 一仃丁一， 则上式可简化为 州唔 l n 争p 【坠芑铲 却盯厉h - ( 吐) - ( 吃) 即鹏t = ( 呦。 ( 3 1 1 ) 求解p e ( s i ti 墨 柳。 由于s = se x p ( r 一0 5 a 2 x t t ) + c r 以黾】服从对数正态分布，密度函数为： 厂( s r ) = ( s 1 ，2 刀) e x p 一0 5 ( 三一e ( 三) 2 v 2 ) 】 ( 3 1 2 ) 其中l = l n s ， e ( l ) = e ( i n s 7 ) = i n s 7 + o 一0 5 ，) ( r f ) ，v 2 = v a r ( l ) = o 2 ( t f ) 。 由定义j p e ( 岛is 7 x ) = j ：。s r f ( s 7 ) d s t ，带入化简得到 s , r f ( s 7 溺嘶咿卅c ”( 爵v 历) 1e x p 鲤譬笋盟坶1 3 ) 4 - r - 坠半丛：坠掣，贝, t j d y = ( 昌v ) 一揖。 1 ，v 一 于是 e e ( s ti s , 柳= s e ( 压) 一e x p ( = 0 5 y 2 ) d y = s 矿眦) ， ( 3 1 4 ) 由( 3 11 ) 、( 3 - 1 4 ) 得： 尸吒曰晦i s 一羽+ ( 1 一，加= b 丘晦is - p x = s , d 1 7 _ a 獬) 一州) ( 3 15 ) 所以欧式买权e 在f 时的价值 g = e - r ( t - t ) e t m a x ( s t - x ，0 ) 】= s ( 4 ) 一x e 叫r 叫n ( d 2 ) ( 3 一1 6 ) 由期权的平价公式：g + 影= p + s我们可以得到欧式认沽权证b s 定价公式，在假设上述条件成立的基础上，行权价格为x ，到期日为t 的欧式认 沽权证在时刻t ，标的资产价格为墨时的价值为： e = x e 一7 h n ( - d ：) - s , n ( 一d 1 ) ( 3 - 1 7 ) 其中，碣：= ( 1 n ( s x ) + ( ，仃2 2 ) ( r f ) ) 仃历，( ) 为标准正态分布的累积概率。 1 5 山东大学硕士学位论文 3 3 分数布朗运动期权定价模型 j b la c k s c h o l e s 模型由于其严密的逻辑、形式上的优美及计算上的简单，使 得其在实践应用方面得到广泛采用，其后各种期权交易随之产生。其后一些基于 b l a c k - s c h o l e s 模型基本思想和理念的更为复杂的模型也相继产生。欧式认股权 证在进行定价时，往往利用b l a c k s c h o l e s 期权公式，而美式权证一般采用二叉 树图和蒙特卡罗模型来进行求解。 运用b l a c k s c h o l e s 期权模型对权证进行定价得到了广泛的应用，但这一传 统的公式是建立在有效市场假设之上，认为金融资产的价格波动是相互独立的， 其对数收益率呈现独立同分布的随机变量，并服从正态分布。但近年来，对我国 股票市场的大量研究结果表明股票市场的价格变化并不符合正态分布，它们呈现 的是一种“尖峰厚尾”分布，即呈现分形结构。可见，传统b l a c k - s c h o l e s 模型 存在着一定的局限性，因此应对传统的b l a c k s c h o l e s 公式进行修改。 p e t e r s 提出资本市场的分形理论，认为资本市场是一个分形市场，是一个由 整体确定性和局部随机性创造出的稳定的、自相似的结构；分形时间序列在局部 上是随机的，且有整体的统计结构，该结构是随机的并存在长期的相关性，因此 有自己的趋势、循环、信息存在不均等消化现象，对信息的非线性反映导致有偏 的随机游动( 分数次布朗运动) ，在收益中反映为偏移。因此分数次布朗运动才是 对资本市场价格运动较为准确的刻画。有偏的随机游动也是一种随机游动，与布 朗运动的无相关性随机游动不同的是，它具有记忆性和长期的相关性。h u r s t 和 m a n d e l b r o t 在上世纪不同年代先后对有偏的随机游动做了全面的研究。1 9 6 8 年 m a n d e l b r o t 和v a nn e s s n 町首次将有偏的随机游动命名为分数次布朗运动，并给出 了一种数学构造形式。因此我们用分形布朗运动的指数对定价公式中的参数进行 修正，建立分形权证定价模型即分形b l a c k - s c h o t e s 模型。啪1 分形b s 模型是传统b s 模型由布朗运动向分形布朗运动延伸拓展而形成的。 在分形市场中，存在两种资产，一是风险资产，二是无风险资产，其中风险资产 价格变动过程满足姆= 墨衍+ 盯s 魍，0 ，t ，其中1 - 1 和仃为常数，彰为具 有h u r s t 指数日的分数布朗运动油1 。分数布朗运动具有如下3 个性质： ( 1 ) h u r s t 指数为h 的分数布朗运动是一个连续的高斯过程 ，t 0 ) ，璐= 0 ， 1 6 山东大学硕士学位论文 且e 喊卜0 ， ( 2 ) e ( 矽形) ：委( i f2 h - - i g - l , - , 1 2 ) ，v ，s r + 成立。 ：1 2 ，即为标准布朗运动，表现为随机游走特性。 0 h 0 对所有的刀= 1 2 ，且i r ( n ) i = 0 0 。 即过去的增量与现在的增量呈正相关关系，随着越接近于l ，其持久性趋势越 强。 h 指数的特点可以简洁地描述为：当h = 1 2 ，过去与未来的增量之间没有 关联，即增量服从随机运动过程；当h 1 1 2 ，增量的变化有持久效应，即增量 的过去值与未来值有正相关关系，日越接近1 ，这种持久性越明显；当0 日 1 2 ， 增量的过去值与未来值有负相关关系，h 越接近0 ，这种负相关关系越强。 ( 3 ) 自相似性，b h ( a t ) = 口彰。 c i p r i a nn e c u l a n l 利用傅立叶变换的方法推导出分数布朗运动下的b s 模型。 我们在此基础上给出了基于分形的权证定价模型。h u & 0 k s e n d a l 1 通过使用关于 掣类型的随机积分，证明分数布朗运动假设下市场是一个无套利的完伞市场。 假设标的资产价格满足分数布朗运动， d s t = “s l d t + 6 s t d b 7 0 t 冬t 0 h 、 婚一1 8 ) 方程的解为： s ：s o e 4 州三2 d 2 ，”。 这样经过一系列的推导和证明，可以得到行权价格为x 、到期日为丁的欧式认购 权证在时刻f 、标的资产价格为s 时的价值g 服从的分数次b l a c k s c h o l e s 偏微分 方程： 1 7 山东大学硕士学位论文 丝+ 心箜+ h c r 2 s 2 ，2 一8 2 c ：心a ta s8 s z c ( o ，f ) = 0 c ( s ，丁) = m a x ( s x ，0 ) ( 3 一1 9 ) 其解为 c f = c ( s ，f ) = s , n ( d i ) 一屁。7 叫n ( d 2 ) ( 3 - 2 0 ) 其中： i n ( 导) 州t - t ) + 譬( p h )i n ( 导) + r ( t - t ) 一譬( p _ f 2 ) 正= 尘7 = = = 鱼= 一， 以= 丛了= = = 垒= ，一 叮 j t 。h t 2 h 。 叮0 t 2 h 一产h ( ) 为标准正态分布的累积概率分布函数。 根据期权的平价公式：c ：+ 尼卜= p + | 5 ：我们可以得到欧式认沽权证分 形b s 定价公式。在假设上述条件成立的基础上，行权价格为x 到期日为丁的 欧式认沾权证在时刻t ，标的资产价格为s 时的价值为： p = x e 。卜o ( 一畋) 一s ( 一4 ) ( 3 2 1 ) 从分形b s 模型可以看出，分形定价公式中用丁珊一f 2 岸代替b - s 定价公式中的 t - t 。权证的理论价格由6 种变量决定，包括标的股票价格s ，执行价格x ，权 证的到期日丁，当前时间点f ，无风险利率尸，标的股票收益率的h u r s t 指数即 日( o 何 0 ， 层0 ，殷0 。 利用d u a n ( 1 9 9 5 ) n 3 1 的定价结果，在局部风险中性测度q 下资产收益过程可 以写为： 1 i n s + 1 s , = r 一= 1q + 1 2 + 专+ l ( 3 2 3 ) 矗，= 反+ 届砰+ 反( 专- a a , ) 2 岛+ ，i # n ( 0 ，戎。) 这里缶+ 。= q + 。+ 旯q + 。茧在局部风险巾件测度q 下是标准正态随机变量，注意在 风险中性系统中仍然是一个g a r c h m 模型。q 的平稳方差矿在概率测度q 下是 屁( 1 一局一层) 。风险巾性系统是期权定价的主要部分，因为在测度q 下简单地取 贴现平均就能够得到一个欧式期权合约的价值。 虽然在前面已经提至 l j b l a c k s c h o l e s 模型用到的同方差过程是g a r c h 过程的 一个特例，但足在g a r c h 框架下b 1a c k s c h o l e s 模型的解释却相当复杂。当实际控 制过程是异方差时，在不正确的同方差假定下，为了保持模型的一致性，风险q 1 性必须是一个伞局性质。这个不正确的假定凶此要求资产波动率必须关于风险中 件保持不变。当标的股票收益率遵循g a r c h m 过程时使用b l a c k - s c h o l e s 模型，在 这应该认为在b l a c k - s c h o l e s 公式中使用g a r c h 资产收益过程的平稳方差。也就是 说，g a r c h m 框架下的b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式应该解释为对风险巾性资产收 益过程利用了一个不正确的同方差假定和一个不正确的无条件标准差。畸门 特别地，b s 看涨期权价格可以写为： c ? s = s i n ( 4 ) 一e - r ( t - t ) k n i 一6 一t t ) ( 、p 2 4 ) 这里 t ：竺竺! ! ；竽，仃2 = 风“1 一屈一屐) 。 粗略地讲，g a r c h m 期权定价和它对应的b l a c k - s c h o l e s 期权定价可以认为是利用 了两个不同的资产收益波动率水平。 2 0 山东大学硕士学位论文 3 5f i g a r c h _ 堋期权定价模型 波动性足金融市场中最重要的特性之一，直接与市场的不确定性有关，影响 着企业和个人的投资等行为，是证券组合理论、资本资产定价模型( c a p m ) 、套利 定价模型( a p t ) 及期权定价公式的核心变量，因此，对波动性的估计和预测一直 是金融经济学研究的持续热点之一。自从m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) n 踟并i f a m a ( 1 9 6 5 ) 阳1 的研究，特别是e n g l e ( 1 9 8 2 ) n 1 和b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) b 1 的a r c h 和g a r c h 模型提出以 来，股市收益波动性的参数模型有了很大的发展。股市和汇率收益序列方面的大 量研究都显示了金融市场具有很高的波动持续性，为了考虑这种特续性，e n g l e 开i b o l l e r s le v ( 1 9 8 6 ) 坼1 提出了积分g a r c h ( i g a r c h ) 模型，该模型假定系统受到的 冲击将在很长的时间内保持常数，但这显然是不现实的。为了克服这种缺陷，同 时捕捉绝对值收益等波动替代指标自相关缓慢衰减的特征，b a i l l i e ，b o l l e r s l e v $ 1 m ik k e ls e n ( b b m ，1 9 9 6 ) 他0 1 提出分数积分g a r c h ( f i g a r c h ) 模型，该模型足条件均 值a r f i m a 模型在条件方差方而的扩展。理论研究表明，f i g a r c h 模型和非正态分 布函数具有很大适应能力，能够更准确地估计出证券市场的波动性特征。 1 9 8 6 年b o l l e r s l e v 将a r c h 模型进行扩展得- 至t g a r c h ( p ，q ) 模型，该模型的条 l 件方差可写为：矿= 缈+ 口( 三) + 风三) ，其巾( ) = 屈r 。该模型的平稳条件 是：所有1 - a ( l ) 一( ) 的根都在单位圆以外。当自回归滞后二项式1 一口( 三) 一( 三) 包含一个单位根时，我们就得到e n 9 1 e 和b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 的i g a r c t l ( p ，q ) 模型 了，将该模型写为a r m a 形式有： ( 上) ( 1 一l ) 4 = c o + ( 1 一( 三) ) _其中v ，= f z 。 ( 3 2 5 ) b b m ( 1 9 9 6 ) 提出t f i g a r c h ( p ，d ，q ) 过程，来考虑股市或汇率收益序列波动中 所发现的长期记忆现象。这个模型通过采用分数差分算子来替换公式( 3 2 5 ) 中的 一阶差分算子，使其l 匕g a r c h 模型或i g a r c h 模型更具有适应性。这个过程可以用 a r f i m a 形式加以定义： ( 三) ( 1 一三) d 考= c o + ( 1 一( ) ) v其中o d 1 。( 3 2 6 ) 上式也可以等价为： 2 1 山东大学硕士学位论文 ( 1 一f l ( l ) ) c r 2 , = 国+ ( 1 一f l ( t ) 一o ( l ) o 一三) d ) z ( 3 - 2 7 ) 为了保证方差为正，上述波动率方程中的系数需满足 o 矽+ d ，o j 矿，v 是布朗桥的极差，给定5 的显著 4 n 吒【g j 性水平，若v ( q ) 落在区间 0 8 0 9 ，1 8 6 2 外，则表明时间序列存在长记忆性。 和传统的r s 分析方法相比，修正的r s 分析方法的主要优点是在于避免直 接计算t - h r s t 指数，并且它不受短记忆干扰，也就是说，它可以广泛应用于许多不 同的短期记忆结构。但是它最大的缺点是必须选择一个合适的滞后阶数g 。如果 选取的9 太小，则序列仍然存在短期记忆，这样检验结果不可靠；相反，如果g 太大，则统计量v ( q ) 对长记忆不敏感。 a n d r e w s 在1 9 9 1 年给出了截取q 值的机械方法，即： 州吼砰( 秒( 啬) 2 ，3 ( 4 _ 4 ) 其中【】是取整符号，p 是a r ( 1 ) 模型的自回归系数。 经过计算，求得三种权证对应标的股票的u r s t 指数如表4 6 所列： 表4 6 三支股票的h u s t 指数值 山东大学硕士学位论文 从上表可知，三支权证对应的标的股票的- h 贼s t 指数值都大于0 5 ，说明股 票收益率具有长期依赖性，并不是互相独立的。 ( 3 ) g a r c h m 模型和f i g a r c h - m 模型： g a r c h m 模型和f i g