（光学专业论文）光子闭合轨道理论在介质板体系中原子自发辐射和分子荧光寿命问题上的应用.pdf

摘要 摘要 在本文中，我们主要利用光子闭合轨道理论研究了发光原子或分子的自发或 者荧光辐射速率随体系增加而呈现出的一种类正弦衰减振荡现像。所做工作主要 分为以下两部分： 第一部分，根据量子电动力学，我们计算了电偶极距在空间任意分布时 的原子相对自发辐射速率大小结果表明，处于三层介质板体系最外层发 光原子的相对自发辐射速率随体系逐渐增大而呈现出一种衰减的类正弦多周 期振荡图像。为了得到这些周期振荡图像中的频率，我们对相对自发辐射速率作 为体系大小的函数进行了傅立叶变换，结果发现了四个明显的频率。且任意相邻 频率之差是相同的。经过分析，从傅立叶变换得到的四个频率和光子闭合轨道理 论所预言的频率一一对应。 第二部分，实验上测得t e r r y l e n e 分子的荧光辐射光强即相对于真空的荧光 辐射速率随银质镜面位置变化而呈现出一种衰减的类正弦振荡图像。我们首先根 据光子闭合轨道理论尝试性地提出了它所满足的公式，然后利用该公式对实验数 据进行非线性拟合，结果表明该拟合曲线和实验结果相一致。 综上所述，光子闭合轨道理论成功地解释了发光原子分子的自发或荧光辐射 速率的振荡现象，并能够对该现象的产生提供一种简洁明了的物理图景。 关键词：自发辐射速率。量子电动力学，光子闭合轨道理论，傅立叶变换 一a l 一6 q ， a p p l i c a t i o n so fp h o t o nc l o s e d - o r b i tt h e o r yt oo s c i l l a t i o n si n t h es p o n t a n e o u so rn u o r e s c e n c ee m i s s i o nr a t eo f a t o m so rm o l e c u l e si nad i e l e c t “cs l a bs y s t e m i n 廿1 ep a p e r ，i ti sd i s c l l s s e db yt h e 璐eo fp h o t o nc l o s e d o r b i tt h e o 哆 t l l a tt h es p o n t a l l e o l l so rn u o r e s c e n c ee m i s s i o nr a ：t eo fa t o m s0 rm o l e c u l e s s h o w st oe ) 出i b i tap e r i o d i cd a i i l p i l l go s c i l l a t i o n 1 1 l e a t w op a r t so f o l l r w o r km a i n l y h 1 廿1 ef i r s tp a 坞踟m sa r eo u to ft h ed i e l e e t r i c s l a b ，w i t ht h e a s s 岫p t i o no fr a n d o mo r i e n t a t i o no ft h ea l o m i cd i p o l em o m e 咄t h e s p o n t a n e o u s e m i s s i o nr a t eo fa t o m si s c a l c u l a t e d b yq u 锄t u m e l e c 们d y n a i i l i c s ， 柚dr e s u l t ss h o wt 0 e ) 【t i i b i t p e r i o d i cd 锄p i n g o s c i l l a t i o n sw h e nt h es y s t e ms i z ei sv a r i e d w i m l eh e l po ff o u r i e r 仃a 粥f b 肌s ，w ee x n 粥tf o l i ro s c i l l a t i o n 舭q u e n c i e s n e s ef r e q u e n c i e s a p p e 盯p e r i o d i c a i l y ，柚dt h e ya g r e ew e uw i t ht h er e s u l t sp r e d i c t e db y p h o t o nc l o s e do r b i tt h e o r y i l l 廿l es e c o n dp a 吒t 董l en u o r e s c e n c ei n t e n s i t yo f t e r r y l e r 坨m o l e c u l ei s m e 弱u r e di 1 1a ne x p e r i m e n t ，t h er e s u hs h o w st h a tt l l en u o r e s c e n c ei n t e n s 时e ) 【l l i b i t sap e r i o d i cd a m p i n go s c i l l a t i o nw h e nt h ep o s i t i o no fm i 删 c o a t e dw i ms i l v e ri sv a r i e d w ba t t e m p tt 0o b t a i no n et l l e o r e t i c a lf o 姗u i a 舶mm ep h o t o nc l o s e d0 r b i t 廿l e o r yf o r l ef i r s tt i m e 晰t ht h eh e l po f n 0 n - l i n e a rc u r v ef i t t i i l 岛m er e s u l to ft l l e o r e t i c a lf i ti sr e 舔o n a b l e a g r e 锄e n t w i t hi n t e 璐i t yd a t a s mt h ee x p e r i m e n t 一a 2 一 i nt h ee 咄t h ep h 哟nc l o s e d 科b i tt h e o 叮e x p l a i l l st h eo s c n l a t 渤i n t h es p o n t a l l e o 邯o rf l u o r e s c e n c ee m i s s i o nr a t eo f a t o m so rm o l e c u l e si na d i e l e c 仃i cs l a bs y s t e ms u c c e s s f u l l y 锄di ta i s op r o v i d e san e w s i m p l ep e r s p e c t i v et 0u n d e r s t a i i dt h eo s c i l l a t i o n k e y w o r d s ：s p o n t 雏e o 慨e m i s s i o nr a t e ，q u 锄t i l me l e c 仃0 d y n 锄i c s ， p h 0 协nc l o s e d - o r b i tt h e o r y ，f o u r i e r 仃m s f o n r i s 一a 3 一 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：贫熹君 日期：2 0 0 7 年3 月2 6 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 员京君 日期：z 0 0 7 年3 月2 6 日 第一章绪论 第一章绪论 1 。1 自发辐射 在没有外界干预的情况下，处于较高能量状态的原子、分子或离子 等微观粒子会自发地向较低能量状态过渡的现象称为自发跃迁。在自发 跃迁过程中，微观粒子所释放出的能量等于上述两个能量的差值，如果 该部分能量以光子的形式释放出来，则称为自发辐射。 实际上，自发辐射并不是物质的固有性质，而是物质与场相互作用的结 果，也就是说它本质上是电磁振荡为零时的受激辐射，即所谓的电磁真空场 【1 】。据量子电动力学的推导表明原予、分子的自发辐射速率正比于始、 末态间的电偶极跃迁矩阵元以及跃迁频率处电磁场的状态密度，可以简 单地用下式表示： 形= 等阡砌) ( 1 - 1 ) 其中v 为跃迁矩阵元，“曲为光子态密度，7 为与电荷电量和光速有关 的常数对于多原子体系来说，自发辐射完全是一个随机的过程，过程 的自发性将导致被发射光子在特性上的随机性。如自发辐射的时间、光子的 初位相、光子的传播方向和光子的振动方向等都是随机的，亦即不同原子的 自发辐射光子之间，或同一原子不同时刻发射的光子之间都没有任何依赖关 系。 1 2 分层介质板体系中原子的自发辐射 对于分层介质界面附近原子自发辐射特性的研究早在2 0 世纪7 0 年 代就引起了研究人员的极大注意【2 】。理论研究方面，1 9 9 8 年u r b a c h 和 r i k k e n 等人运用量子电动力学计算了三层平行介质板中的电磁场零点 涨落，并研究了非吸收介质板的自发辐射速率f l 】，他们的计算结果与 实验结果符合得相当好【3 】。最近，基于u r b a c h 和r i k k e n 的工作，王福 合等人引进了原子自发辐射寿命分布函数，研究了对称型和非对称型三 第一章绪论 层介质板中原子的自发辐射，给出了原子自发辐射的寿命分布随介质板 厚度的变化，发现不同厚度的介质板中，原子的自发辐射寿命分布会变 宽或者变窄，自发辐射的增强和抑制效应同时存在【4 】。实验上，y a b l o n o v - i t c h 等人在a l g a a s ，g a a s ，a l g a a s 三明治结构里面发现了自发辐射的抑制和 增强效应【5 】。m a n i n i 等人观察到有机分子在法布里一玻罗( f a b r y p e r o t ) 型 微腔中自发辐射的寿命由于非局域的空间对称性的破坏而发生改变【6 】。r k - k e n 等人观察到聚苯乙烯薄膜中的稀土铕离子( 助“) 的自发辐射跃迁几率 与聚苯乙烯薄膜所在的基底有很大关系，不同的基底折射率和膜厚可能引起 铕离子自发辐射跃迁的增强或者减弱【3 】。最近b u c h i e r 等人利用扫描探测技 术在实验上得到了原子自发辐射速率随银质镜面位置变化呈现出一种衰减 的振荡图像结果【7 】。 1 3 原子的自发辐射速率振荡现象 众所周知，空间电磁场的模式依赖于材料的电磁性质，分层介质的存在 必然引起界面和边界处的电磁场模式的改变，从而光子态密度以及光子模式 的强度也会产生很大的变化，这样的改变会引起局域的电磁场零点涨落。按 照公式( 1 1 ) 可知，原子的自发辐射速率必然发生相应的改变。当介质板 连续变化时，由于不同介质板厚度下，原子的自发辐射可能增强也可能减弱 【4 】，所以原子的自发辐射速率表现出一种多周期衰减类余弦振荡现象。b u c h l e r 等人利用扫描探测技术在实验上得到了这样的类似结果【7 】。实验装置如 下图1 1 所示。 图1 1 实验装置图 2 第一章绪论 耐光性较强的t e r r y l e n e 分子被放置于对联三苯介质板( p t ) ，它距介 质板上表面的距离为h 介质板上放置一个可移动的银质反射装置，通过它 的上下移动来改变分子在整个介质体系中的相对位置。介质板下方放置一个 泵浦激光器，t e r r y l e n e 分子在泵浦光的作用下产生荧光辐射而放出光子 该光予以波长为5 8 0 n m 的电磁波形式传播，一部分光穿过板的上分界面，经 过上方的银质镜面反射，再通过板的上分界面和下分界面，最后被雪崩光电 二极管( a p d ) 或者电荷藕合器件图像传感器c c d ( c h a r g ec o u p l e dd e v i c e ) 接收，从而测出t e r r y l e n e 分子寿命和发光强度( 具体参见文献 7 ) 。 实验结果表明，t e r r y l e n e 分子的辐射寿命随银质界面距离变化呈现出 一种多周期的类余弦振荡图像。如何去解释该现象呢? 经过分析该振荡图像 类似于光子闭合轨道理论所描述的振荡图像，于是我们试着直接利用光子闭 合轨道理论给以合理的解释。 1 4 光子闭合轨道理论 1 9 8 7 年杜孟利和戴劳斯( d e l o s ) 教授一起创立了闭合轨道理论 图1 2 电子闭合轨道理论的物理图像 2 3 ，具体说明见文中 第一章绪论 ( c l o s e d o r b i t t h e o r y ) 【8 一1 0 】，主要用于解释处于电磁场中的原子受光 照射后从低激发态到高激发态的复杂吸收谱现象。由于激发态原子中的 电子受到库仑力和实验室电磁场的共同作用。原子吸收谱中表现为多周 期的振荡。 该理论所解释的原子在强外场下吸收的物理过程如图1 2 所示【1 0 】。 假设原子的初始态为2 儿，并且受到频率为加的激光场的作用。电 子首先获得能量，处在初始态附近，然后以电子波的形式向四面八方传 播。当传播的距离大于5 0 个原子核半径时，可以作半经典近似，这 时可以利用经典的轨迹线的概念。往外传播的轨迹线由于动力学原因 出现聚焦，发散，再聚焦等物理过程，接近原予，回归到原子 处。、和。描述电子波回到原子附近的仔细情况，回到原子的 电子波与向外发射的电子波进行干涉，导致吸收谱中的振荡现象。 由于原子自发辐射速率振荡类似于闭合轨道理论的振子强度密度振荡 图像，于是杜孟利等把用于电子系统的闭合轨道理论推广到光子系统中，从 而提出了光子闭合轨道理论【1 1 1 4 】。与电子闭合轨道理论相比，光子闭合轨 道理论的研究对象不是电子波而是电磁波，光和电子的性质有着很大的差 异，所以光子闭合轨道理论的公式在形式上与电子闭合轨道理论的公式有点 类似，但是实际内容上会有很大的不同。我们将在此基础上，应用光子闭合 轨道理论对原子处于较复杂结构时其自发辐射特征给出令人满意的解释，并 且尝试性地把该理论应用到实验结果的解释上。 1 5 本论文的结构安排 第二章，我们在u r b a c h 和r i k k e n 等人工作的基础上，利用量子电 动力学的方法推导出三层介质板体系中原子自发辐射速率计算公式。第 三章，利用第二章推导的公式编程计算出原子的自发辐射速率，利用光 子闭合轨道理论解释原子自发辐射速率呈现衰减的多周期振荡现象【1 4 】。第 四章，我们尝试性的利用光子闭合轨道理论对实验结果【7 】直接进行解释，从 实验上说明光子闭合轨道理论在解释自发辐射速率振荡现象是成功的。第五 章，本论文的简要总结。 4 第一章绪论 参考文献 1 h p u r b a c h ，g l j a r i k k e n ，。s p o n t a n e o u se m i s s i o nf r o mad i e l e c t r i c s l a b ”，p h y s r e v a 5 7 ，3 9 1 3 ( 1 9 9 8 ) 2 c k c a m i g l i aa n dl m a n d e l ，p h y s r e v d3 ，2 8 0 ( 1 9 7 1 ) 3 g l j a r i k k e n ， “s p o n t a n e o u se m i s s i o nf r o ms t r a t i f i e dd i e l e c t r i c s ”， p h y s r e v a 5 l4 9 0 6 ( 1 9 9 5 ) 4 f - h w 她g ，x h w a n g ，b - y g u ，y - s z h o u ， “l i f e t ；m ed i s t r i b u t i o n o f s p o n t a n e o u se m i s s i o nf r o ma na s s e m b l yo f a t o m si nad i e l e c t r i cs l a b ”， p h y s r e v a 6 70 3 5 0 8 2 ( 2 0 0 3 ) 5 e y a b l o n o v i t c h ，t j g m i n e r ，a n dr b h a t ，p h y s r e v l e t t 6 l ，2 5 4 6 ( 1 9 8 8 ) 6 f d em a r t i n i ，g i n n o c e n t i ，g r j a c o b o v i t z ，a n dp m a t a l o n i ，p h y s r e v l c n 5 9 ，2 9 5 5 ( 1 9 8 7 ) 7 b c b u c h l e r ，t k a l k b r e n n e r ，c h e t t i c ha n dv s a n d o g h d 盯 m e a s u r i n gt h eq u a n t u me f 行c i e n c yo ft h eo p t i c a le m i s s i o no fs i n g l e r 丑d i a t i n gd i p o i e su s i n gas c 粕n i n gm i r r o r ，p h y s r e v l9 5 ，0 6 3 0 0 3 ( 2 0 0 5 ) 8 m l d r i l ，j b d e l o s ， “e f 绝c to fc l o s e dc i a s s i c a lo r b i t so nq u a n t u m s p e c t m ：i o n i z a t i o no f a t o m si nam a g n e t i cf i e l d ”，p h y s r e v l e t t 5 8 ， 1 7 3 l ( 1 9 8 7 ) 9 m l d u ，j b d e l o s ， “e f 诧c to fc l o s e dc l a s s i c a lo r b i t so nq u a n t u m s p e c t r a ：i o n i z a t i o no fa t o m s i nam a g n e t i cf i e i d i p h y s i c a lp i c t u 坞a n d c a l c u l a t i o n s ”，p h y s r e v a3 8 ，1 8 9 6 ( 1 9 8 8 ) l o m ld u ，j b d e i o s ，“e f f c c to fc l o s e dc l a s s i c a lo r b i t so nq u a n t u m s p e c t r a ：i o n i z a t i o no fa t o m si nam a g n e t i cf i e l d i i d e r i v a t i o no ff o m u l a s ， p h y s r e v a3 3 ，1 9 1 3 ( 1 9 8 8 ) l1 f - h w a n g ，x - h w a n g ，b - y g u ，y 一s z h o u ，“l i f c t i m ed i s t r i b u t i o n o fs p o n t a n e o u se m i s s i o nf 如ma na s s e m b l yo fa t o m si nad i e l e c t r i cs l a b ”， p h y s r 七v a 6 7 ，0 3 5 0 8 2 ( 2 0 0 3 ) 1 2 f - h w a n g ，y p j i n ，b - y g u ，y - s z h o u ，x 一h w a n g ，m l d u ， 5 第一章绪论 “a p p l i c a t i o no fc l o s e d - o r b i tt h e o r yt ot h es p o n t a n e o u se m i s s i o no f a t o m sn e a ras i n g l ed i e l e c t r i ci n t e r f a c e ”，p h y s r e v a 7 1 ，( 2 0 0 5 ) l3 h a i j u nz h a o ，m e n g l id u “e x t r a c t i n go s c i l l a t i o nf r e q u e n c i e si n s p o n t a n e o u se m i s s i o nr a t eo fa na t o mb e t w e e nt w om i r r o r s ”， c o m m u n i c a t i o n si nt h e o r e t i c a lp h v s i c s4 7 ：1 2 7 ( 2 0 0 7 ) 1 4 y u ns u - j u n ，w a n gf u - h e ，z h o uy u n - s o n ga n dd um e n g l i ， “c o h s d o n d e n c eb e t w c e nt h eo s c i l i a t i o n sa n de m i s s i o nr a t eo fa na t o m n e 盯ad i e i e c t r i cs i a b ”，c o m m u n i c a t i o n 3i nt h e o r e t i c a lp h y s i c s ， 4 7 ( 2 0 0 7 ) 6 第二章理论模型及公式推导 第二章理论模型及公式推导 本文所采用的理论模型如图2 1 所示，折射率为刀的介质板被半无限大的上 下两层介质加在中间，构成了一个三明治结构体系。其中上下层介质的折射 率分别设为和，且体系中材料均为非磁性、非吸收均匀各向同性介质。我 们采用笛卡尔坐标，坐标原点为介质板厚度的中点位置，z 轴垂直于介质板，善、 y 轴平行于介质板表面。设介质板的厚度为矾且处于折射率为介质中的发光 原子与上介质板界面的距离为西。 t ，1 2噍 i l m f 。- 一l i 图2 1三层介质板结构示意图 2 1 介质中的麦克斯韦方程组 根据电磁理论，介质中的麦克斯韦方程组的微分形式为【l 】： v 一一詈， v h 讲罢， v d = p ， v b = o 其中e 代表介质中的电场强度，b 为磁感应强度， 为介质中的自由电荷密度：h 和d 是辅助物理量。 7 ( 2 一1 ) j 为自由电流密度， p 分别称为磁场强度和电 第二章理论模型及公式推导 位移矢量。 在无损耗的各向同性介质中有： ：生，d ：e ，j ：0 ，口：o( 2 2 ) ( 胁g 分别为介质的磁导率和介电常数) 假设介质中的电场和磁场强度分别为： e ( r ，f ) = e ( r ) g 叫删 h ( r ，f ) = h ( r ) p “ 则介质中的麦克斯韦方程组变为： v e = f 舢h v h = 一，彩f e v e = 0 ( 2 3 ) v = o 麦克斯韦方程组是电磁场的基本方程。如果电磁场在初始时刻的状态 已知，而且电荷电流的分布也给定的话，以后任何时刻的电磁场的状态都 应当通过求解麦克斯韦方程组唯一地确定。麦克斯韦方程不仅揭示出电荷 和电流可以激发电磁场，更为重要的说明了电磁场可以独立于电荷之外而 存在。不仅变化的电场可以激发磁场，同时变化的磁场也可以激发电场， 电生磁、磁生电，电磁波就这样一直不停的运动着、传播着。 2 2 电磁波在两种介质界面上的边界条件 在实际问题中通常会遇到有介质交界面的情况。在这种面上，由于介 质的性质有一个突变( 如面电荷电流的出现等等) ，故电磁场亦会有突变。 因而对这些面上的各点，麦克斯韦方程组的微分形式已失去意义，须考虑 电磁场的边值关系即边界条件。我们可以利用麦克斯韦方程组的积分形式 在边界上仍然成立的特点，推导出电磁场在界面上的边界条件( 具体推导 过程参见【l 】) ： n ( e 2 一e i ) = o n ( 心一h ) = 口 n ( d 2 一d i ) = 仃 8 ( 2 4 ) 第二章理论模型及公式推导 n ( b 2 一b 。) = o 其中a 为自由电流线密度，a 为自由电荷面密度。 对于我们所要研究的无损耗三层平行绝缘介质板模型来讲，在介质的 分界面处，无自由电荷和自由电流，所以n = 0 ，盯= o ，则上式变为 n 慨一e ) = o n ( 耳h ) = o n ( d 2 d 1 ) = o n ( b 2 b i ) = o 即： 毛= ，= 喝。 q 。= d kj 一2 互。；也2 z 瓦= j “乩= 飓如 ( 2 5 ) 式就是在介质分界面处的边界条件。 磁场在分界面上的法向分量和切向分量。 2 3 三层介质板模型所使用的边界条件 ( 2 5 ) 式中以，f 分别表示该量是电 接下来我们针对如图2 1 所示的模型，将( 2 5 ) 式的边界条件更加 具体化。平面电磁波可以表示为两种正交电磁模( t e 模和t m 模) 的线性组 合，t e 模是指电场方向平行于k 力平面的电磁波，t m 模是指磁场方向平 行于g ，力平面的电磁波即，对于t e 模和t m 模分别有： 巨= o 以= o 我们知道，平面电磁波可以表示为： e ( r ，f ) = e o p 岫卅 而e ( r ) = e o e m 7 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 第二章理论模型及公式推导 对于t e 模有： e ( r ) = 远+ 羁+ 蛭= 退+ 晖幢= o ) 因为有： 乳e c 。= ；唔一暑) + ，( 警一考) + k ( 警一等) = _ 誓+ ，警+ k ( 誓一等 同时由c 2 吲式知h = 壶v e = 壶( 一t 鲁+ ，誓+ k ( 誓一等 z 叩，咄i 出 出 l 出砂，j 所以皿：一士拿 l uo z 由( 2 5 ) 式边界条件知：且，= 皿， 所以得：譬：譬 ；主：筠：鲍：忿：硒 以院= 二 即：在介质分界面处有：孚连续 院 v 。襄j 敏；嘎秒曙一割 ( 日：= 0 ) = 警+ ，警+ k ( 警一警) 一 。 同时由c 2 吲式知：e = 去乳h = 去卜警+ ，警+ k ( 警一警) 】 删喇i 庞彩i 窿却j j 所以巨：之【_ 誓，同时由边界条件巨，：易，知三譬在分界面处连续， l s 【把 “ 一 g 砚 咕警在分界面处也麟 1 0 第二章理论模型及公式推导 主堡警垃在分界面处连续：t e 对于模有e 。( y ) ，警在分界面处也连续。n 宓垃 2 4 三层介质板内电场的计算 2 】 考虑平面电磁波在其中传播的情形。波矢k = 限，屯，乞) ，且 t 。2 + 七。2 + | ，2 = _ j 2 玎2 ， ( 2 8 ) 其中七= 如风) l “为真空中波矢的模。假设屯，七，均为实数，则 七；= 睡2 矿一t 2 一七，2y “， ( 2 9 ) 如果巧+ 后，2 矿玎2 ，则屯是纯虚数，表示平面波沿：方向是逐渐衰减的。 平面电磁波可以表示为两种正交极化平面波的线性组合，这两种电磁波的 模式分别为t e ( s ) 模和t m ( p ) 模。对应这两种不同极化的电磁波模式， 我们规定了单位矢量： 冰一= 南卧 睢咖赢憔，j 且它们满足下列关系【2 】： i ( k ，s ) i ( k ，s ) = l ，i ( k ，尸) i ( k ，力+ = l i ( k ，s ) i ( k ，p ) = o ，i ( k ，s ) i ( k ，) + = o ( 2 一l o ) ( 2 一1 1 ) 我们知道，s 极化平面电磁波可以表示为如下式子： e ( r ) = 么e ) 甲( j 1 ( r ) i ( k ，s ) ， h ( r ) = 心坩z 丛要丛唧( 删( 娜 其中一是场强度振幅。类似的， e ( r ) = 4 c x p ( 1 1 ( r ) i ( k ，) ， ( 2 一1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 一1 4 ) ( 2 一1 5 ) 我们也可以得到p 极化平面电磁波： ( 2 一1 6 ) 第二章理论模型及公式推导 h ( r ) = 一4 ( 岛，鸽广2 南。x r ( | r ) i ( k ，s ) ，( 2 一1 7 ) 对于给定的实数屯，t ，我们规定： 七矗* 仁2 n ；一一t ；y “，_ ，= 1 ，2 ，3 而平面波矢量k ；，k ；为： k ；= ( 七i ，b ，屯) ，k j = ( t ，一k ) 如下图2 2 所示，反射系数1 2 和透射系数 2 为： ( 2 一1 8 ) ( 2 一1 9 ) f ， 一j j l ：一| i 2 z 一黼卜著：，。：删， 射嘞饼酏徽氰k - ：n ：丧2 。2 对于p 极化平面电磁波有： 图2 2 反射系数r 1 2 和透射系数f 1 2 的示意图【2 】 2 4 1 辐射模电场的计算 我们仍然采用如图2 1 所示的模型。假设一束光( 平面电磁波) 从介质2 中入射，当 霹+ 砖 l 一2 3 p 一 “ 根据正交归一化条件： f - 豆咖= j ( t t ) 万( _ 一e ) 6 ( 七一正) ， c z 一，。) 则可得归一化系数： 1 4 砷葡 动丽 二一 二一 qq，|q 第二章理论模型及公式推导 爿= 南( 玎 c z 叫， 其中t ，t ，t 的大小满足( 2 2 2 ) 式，且罾跟e 一样也是s 极化电磁场。 占是分段的常数函数，随着介质材料的变化而变化：艿函数的意义为：当 l = e 时，万b t ) = 1 ，否则为o 。同理可得到： 矗咖= d t t g ，一e b 仁一f ) ( 2 3 s ) 所以对应于t ，_ | ：和t ，e ，t 的两种极化磁场也是正交归一的。因此我们 就有电磁场能流密度： 扣暗嘶+ 争霄肛屯一跏b 一弓一f ) c z 嘣， 对于p 极化电磁波，我们一样可以假设t ，k ，t 满足关系式( 2 2 2 ) ， 那么我们可以写出电场的表达式： e ( r ) = 一! ! ( ! 学r 。，( t k ：，) j ( k ：，p ) ：；a ，z 一! 二f ! i 掣 u 。，( ：，) i ( k ：，p ) + r 。，( ，k ：，) i ( k i ，p ) 一手s ：s 吾 4 c z p ( f k ：r ) i ( k ；，p ) + r c 印( ；k ；r ) i ( k ；，) z s 一手 ( 2 3 7 ) 根据边界条件一样可以得到胄，【，n r 满足( 2 2 9 ) ，( 2 3 0 ) ，( 2 3 1 ) ， ( 2 3 2 ) ，且当4 的取值如式( 2 3 4 ) 时也满足正交关系( 2 3 3 ) ， ( 2 3 5 ) ， ( 2 3 6 ) 另外，两种s ，p 电磁波也是相互正交的。 当光从介质3 入射时，计算s ，p 极化辐射电场的方法与上述算法类似 这里就不赘述了。 1 5 第二章理论模型及公式推导 2 4 2 导模电场的计算 在我们所研究的模型中，导模存在的条件是：m a x ：，殇) 强，定义传 播常数卢，声；佗+ 七；y ”，指的是波矢在g ，y ) 平面上投影的长度。很明显 口满足下列式子： m a ) 【如：，) 幢+ i ：y ” ，：传时，s 极化导模的传播常数的个数m 。满足方程【2 】： 炉斗t + 陟甜一三一n ( 籍一卅， 其中网代表小于或等于孝的最大的整数。 列不等式： 七m a ) k ，) 释放出一个能量为a 峨的光子，这就是 原予的自发辐射。假设原子进行自发辐射时所处环境中的电磁场频率为 或者等效地有= q c ，如果仍以参数i ，z ，来标记该电磁场( | i 是真空 中波矢的模) 那么原子的跃迁几率为【5 】： 等l ( ，| 屯晰j ( 毛一七) ， ( z 叫) 其中疗。表示总的原子跃迁哈密顿量中场与电偶极子相互作用的部分。 根据费米黄金规则，原子总的自发辐射率是由( 2 5 7 ) 式对所有的 末态积分而得。假定原子的偶极跃迁矩阵元沿q 方向，其中g = 五y ，z ，丘4 为横向电场算符沿q 方向的分量；则在，处的原子的跃迁几率可以写为【6 】： = = 等j d l 2 | 2 蹦z ) ( 2 吲) 其中p 为电子的电量，d ，是原子跃迁的偶极矩阵元。且有： f ( z ) = 抛，耋k 嘭r 嘲等p t 扣( r ) 1 2 占( 毛一j i ) 观辑斑 + 磊喜k ，等( r ) 陬一彬( ) ) 魄吩， ( 2 5 9 ) 上式第一项中= 如，而第二项中国= 如? ，f ，o ) 明显依赖于z 而不依 赖于x ，_ ) ，这里它指的是所有波矢的模为的电磁场对零点场涨落g 分量 的贡献。所以我们将p 0 ) 称之为零点场涨落的q 分量，这里只指波矢的 模为的电磁场的贡献。为了便于计算，引入极坐标= 户c o s 仍t ，= s i n 伊， 则( 2 5 9 ) 式变为： 第二章理论模型及公式推导 p ( z ) = 。，砉r 。r 等i e ：和( r ) 阼= ( 胁，豳，射d 却 + 善了等嘶吼州恻触) 警( ) 觑 ( 2 6 0 ) 如果原子的偶极跃迁方向是任意的，则取平均值f ( z ) = 【p + p + p 】，3 为其零点场涨落的大小。我们知道在公式中 j i = ( 卢c 伊，声s i n 仍b ) ，i = ( ( ) c o s 矿，形) s i n 妒) ，而电场振幅的平方为： i e 脚( r ) 1 2 = l e ：舢( r ) 1 2 ( 2 6 1 ) f e 孙( r ) 1 2 = l e ( r ) 1 2 ( 2 6 2 ) 口 它们都是独立于伊的，因此我们可以在式( 2 6 0 ) 取矿= o ，则该公式变 为： 朐乞。，纱了争洲脚 + 。，若r 。等| e 飘小1 2i q 。) ( ) 簪( ) ， 式中的第一项和第二项分别代表辐射模和导模对电磁场零点涨落的贡献。 这里= ，c 是真空中辐射光波矢的模，岛是真空中的介电常数，s 代表 t e 偏振态，这时电场分量平行于如图3 1 所示的( x ，y ) 平面。p 代表t m 偏振态，这时磁场分量平行于( y ) 平面。七= ( 卢c o s 矿，s i n 矿，七豇) ， t 。= ( t ；”；一声2 ) ，( j = l ，2 ，3 分别代表介质板内、上层及下层 不同的介电材料) ；( 毛) 代表导模的传播常数它可以通过解本征模方 程得到。e 代表介质内部r 处s 或者p 模的电场强度。 剩余的就是对公式( 2 6 3 ) 进行数值编程计算了。经计算知真空 中的零点场涨落是k = 石簪，则沿q 方向跃迁的原子相对于真空中的 零点场涨落为： 2 1 第二章理论模型及公式推导 f - ( z ) 通过( 2 5 8 ) 和( 2 6 4 ) 式，我们可得： ( 2 6 4 ) = f ( z ) k ( 2 6 5 ) 本论文中主要利用( 2 6 3 ) 和( 2 6 5 ) 式计算相对于真空中原子的自发 辐射速率。 2 7 本章小结 本章从麦克斯韦方程组出发推导了介质分界面的边界条件，利用我们 所引用的模型，再将该边界条件具体化。然后利用该边界条件和正交归一 化条件求解电磁场的系数。最后利用跃迁速率公式推导原子的自发辐射速 率公式。 参考文献 1 郭硕鸿，电动力学( 第二版) ，( 高等教育出版社，1 9 9 5 ) 2h p u r b a c h 卸dg l j a r i k k e n ，p h y s r e v a5 7 ，3 9 1 3 ( 1 9 9 8 ) 3 c ，f k l i n g s h m ，s e m i c o n d u c t o r o p t i c s ( 半导体光学) ( 世界图书出版公司北京 公司，1 9 9 9 ) 4g l j 九r i k k e na n d y a r & k e 雠n p h y s r e v l c t t 7 4 ，8 8 0 ( 1 9 9 5 ) 5r ，l o u d o n ，孤q ”枷mz 抛d 秒矽互堙域c l a r c n d o n 胁s s ，o x f o f d ，1 9 8 3 ) ，2 n dc d 6h k h o s r a “锄d & l o u d o n ，p r o c r ，s o c l o n d o n ，s a4 3 6 ，3 7 3 ( 1 9 9 2 ) 第三章三层介质板体系中原子的自发辐射振荡 第三