（基础数学专业论文）几类中紧映射的研究.pdf

摘要 b u h a g i a r 和m i w a 定义了仿紧映射，次仿紧映射，亚紧映射和集式正规映射，并 在一定分离公理条件下给出了这些映射的一些等价刻划陈海燕又利用闭包保持 闭加细，内核保持加细进一步刻划了仿紧映射和亚紧映射，还定义了可数仿紧映射， 可数次仿紧映射，可数亚紧映射，可数次亚紧映射沈荣鑫引入了中紧映射，并证明 了中紧映射逆保持次中紧空间 本文引入并较为系统地研究了中紧映射和可数中紧映射，全文共分两章： 第一章是中紧映射首先引入了一个引理，然后给出紧式星形加细、闭包保持 闭加细和紧式w - n 细的等价刻划定理，最后利用定向开集族、半开加细、闭包保 持闭加细、紧式w - n 细、紧式星形加细和紧式星形一加细刻划了中紧映射，这 也是本文的重点 第二章是可数中紧映射本章不仅利用了半丌加细、闭包保持闭加细、紧式 w _ 力日细、紧式星形加细、紧式星形一加细和垫状加细刻画了可数中紧映射，还 利用了定向、单调递增和内部保持开集族刻画了可数中紧映射 关键词：紧有限：内部保持加细：闭包保持闭加细；紧式星形加细：紧式w - n 细： 紧式星形一加细：中紧映射：可数中紧映射 a b s t r a c t b u h a g i a ra n dm i w ad e f i n e dp a r a c o m p a c tm a p p i n g ，s u b p a r a c o m p a c tm a p p i n g ， m e t a c o m p a c tm a p p i n ga n dc o l l e c t i o n w i s en o r m a lm a p p i n g t h e yg a v es o m es i m i l a r c h a r a c t e r i z a t i o no ft h e s em a p p i n go nt h ec o n d i t i o no fo n es e p a r a t i o na x i o m s h a i y a n c h e ng a v eo t h e r ss i m i l a rc h a r a c t e r i z a t i o no fp a r a c o m p a c tm a p p i n ga n dm e t a c o m p a c t m a p p i n gb yc l o s u r e p r e s e r v i n gr e f i n e m e n ta n di n t e r i o r - p r e s e r v i n gr e f i n e m e n t s h e d e f i n e d c o u n t a b l yp a r a e o m p a e tm a p p i n g ，c o u n t a b l ys u b p a r a c o m p a e tm a p p i n g ， e o u n t a b l ym e t a c o m p a c tm a p p i n ga n dc o u n t a b l ys u b m e t a c o m p a c tm a p p i n g r o n g x i n s h e n gd e f i n e dm e s o c o m p a c tm a p p i n ga n dp r o o f e dt h a tm e s o e o m p a c tm a p p i n g i n v e r s e l yp r e s e r v es u b m e s o c o m p a c t n e s s t h ep a p e rl e a di n t om e s o e o m p a c tm a p p i n ga n dd e f i n ec o t m t a b l ym e s o c o m p a c t m a p p i n g t h e nt h ep a p e rp u tt h e mi n t ot h ei n d e p e n d e n c eo f t w oc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sm e s o c o m p a c tm a p p i n g i nf i r s ti n d u c eal e m m a ，s e c o n d l y g i v es o m es i m i l a rc h a r a c t e r i z a t i o no fm e s o c o m p a c tm a p p i n gb yd i r e c t i o n a lo p e ns e t f a m i l y , s e m i - o p e nr e f i n e m e n t ，c l o s u r e - p r e s e r v i n gr e f i n e m e n t ，c o m p a c tw - r e f i n e m e n t ， c o m p a c t s t a rr e f i n e m 锄t 觚dc o m p a c t s t a rp r e f i n e m e n t t h es e c o n dc h a p t e ri sc o u n t a b l ym e s o c o m p a c tm a p p i n g t h ec h a p t e rn o to n l y i n d u c es o m es i m i l a rc h a r a c t e r i z a t i o no fc o u n t a b l ym e s o c o m p a c tm a p p i n gb y s e m i o p e nr e f i n e m e n t ， c l o s u r e p r e s e r v i n gr e f i n e m e n t ， c o m p a c tw - r e f i n e m e n t ， c o m p a c t - s t a rr e f i n e m e n t ，c o m p a c t s t a rp r e f i n e m e n ta n dc u s h i o n e dr e f i n e m e n t b u ta l s ot h ec h a p t e rg i v es o m es i m i l a rc h a r a c t e r i z a t i o no fc o u n t a b l ym e s o c o m p a c t m a p p i n gb yd i r e c t i o n a l ，m o n o t o n i ci n c r e a s ea n di n t e r i o r - p r e s e r v i n go p e ns e tf a m i l y k e yw o r d s ：c o m p a c tf i n i t e ；i n t e r i o r - p r e s e r v i n g ；c l o s u r e p r e s e r v i n g ；c o m p a c t s t a r r c f i n e m e n t ；c o m p a c tw r e f i n 锄e n t ；c o m p a c t s t a rp r e f i n 锄e n t ； m e s o c o m p a c tm a p p i n g ；c o u n t a b l ym e s o c o m p a c tm a p p i n g i i ! 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 引言 许多拓扑学者把纤维覆盖的特征用于研究和刻划拓扑空间上的连续映射，从 而产生了一般拓扑学的一个新的研究方向映射拓扑学映射拓扑学的研究引 起了许多拓扑学者的兴趣映射拓扑学包含了许多重要的概念和结果，这些结果 为本文的研究提供了重要的依据在不同的空间中，具有不同的性质，这些可参看 2 0 ， 2 1 1 和 2 2 1 在这几本中，表述了许多不同内容，也写许多重要的结论 在r e n g e l k i n g 和i m j a m e s 的研究前提下，b u h a g i a l 和m i w a 又定义了仿紧 映射、次仿紧映射、亚紧映射和集式正规映射，并在一定分离公理条件下给出了 这些映射的一些等价刻划；利用闭包保持开加细、挚状加细、局部有限和y - 闭局 部有限刻划了仿紧映射；利用户星加细和户离散开加细刻划了仿紧t 2 映射；利用可 数开集族、单调递增可数开集族和单调递减序列刻划了可数仿紧映射：利用局部 有限闭加细、闭包保持闭加细、垫状加细刻划了次仿紧映射，也利用局部有限闭 加细、闭包保持闭加细、垫状加细刻划了亚紧映射和次亚紧映射等等陈海燕等 人又利用内核保持定向开覆盖的闭包保持闭加细和内核保持开星加细进一步刻 划了仿紧映射和亚紧映射，还定义了可数仿紧映射、可数次仿紧映射、可数亚紧 映射、可数次亚紧映射沈荣鑫引入了中紧映射，证明了中紧映射逆保持次中紧空 间本文进一步研究了中紧映射和可数中紧映射，得到了一系列新的结果 本文的空间是指王空间，邻域是指开邻域，用x ，y 表示拓扑空间，f ：x 专y 是连续满的映射，n ( x ) 表x 的邻域系，a 表示a 的相对于整个空间的闭 包，口，7 等表示序数，缈表示非负整数集或最小无限基数，1 人i 表示集合人的基 数对空间的子集族“及子集彳，集族“ a 表示 una ：u m ，( “) 。表示 “：un a o ) 集族蹦，表示“中元的所有有限并构成的集族c ( x ) 表示 x 中所有紧子集的集族 本文中所涉及的其他有关概念、性质及记号和表示方法都可参见文 1 、文 2 和文 3 第一章中紧映射 第一节定义及相关概念 定义1 1 1i l l 空问x 的覆盖“称为定向的，如果甜，加细甜 定义1 1 2 t l l 空间x 的子集族甜称为内核保持集族，如果对目的每个非空子 集族甜，都有h ( n w ) = n i n t u ：u 掰 定义1 1 3 t 1 1 空间x 的子集族“称为闭包保持集族，如果对“的每个非空子 集族”，都有u a ：a 甜 = u a ：a 甜 定义1 1 4 t 2 t 设搿是空间x 的一个覆盖，阶被称为是空问x 的半开覆盖，如 果对x x ，s t ( x , t 2 ) 是x 的一个邻域 定义1 1 5 t 2 1“称为空间x 的局部有限集族，若对于每一x x ，存在x 在x 中的开邻域u 使得 v b ：v 厂、u g 是有限的 定义1 1 6 【3 1 空间x 中的集族“称为紧有限的，如果对任意k l c ( x ) ， ( “) r 都是有限的 定义1 1 7 f 3 1 设甜，y 是空间x 的两个覆盖，称“是1 夕的点式w - n 细，如果对任 意x x ，集族( 甜) ，部分加细v 的某个有限子族 定义1 1 8 1 3 1 设“，y 是空间x 的两个覆盖，称纠是y 的紧式w 力u 细，如果对任 意k x z ( x ) ，集族( 甜) k 部分加细y 的某个有限子族 定义1 1 9 t 3 1 设“，y 是空间x 的两个覆盖，称甜是1 夕的点式星形加细，如果集 族 s t ( x ，甜) ：工x 是v 的加细 定义1 1 1 0 t 3 】设1 2 ，y 是空间x 的两个覆盖，称甜是y 的紧式星形加细，如果 对任意k x z ( x ) ，存在v y 使得s t ( k ，1 2 ) cv 定义1 1 1 11 3 1 设“，y 是空间x 的两个覆盖，称“是y 的紧式星形，一加细， 如果对任意k x z ( x ) ，存在有限子族kc ( v ) k 使得s t ( k , , , ) cu 磙 显然，若空间x 的覆盖“有一个紧式星形加细，则甜有一个紧式w - n 细；若空 间x 的覆盖弘有一个紧式w - n 细，则掰有一个紧式星形f k 加细；若空间x 的覆盖 “有一个紧式w - 办细，则“有一个点式w - h n 细；若空间x 的覆盖y 是覆盖甜的一 个加细，覆盖w 是y 的一个紧式w - n 细，则w 是甜的一个紧式w - 力口细 定义1 1 1 2 t 3 1 空间x 称为中紧空问，如果x 的每个开覆盖有紧有限的开加细 覆盖 江西师范大学硕十学位论文 定义1 1 1 3 t 8 l设a ，e u 为空间x 中的子集，若a n u ，b n u 在u 中有互不 相交的邻域，则称a ，b 在【，中是邻域可分的 定义1 1 1 4 t 9 1 连续映射f ：x y 称为正则映射，如果对每一x x 及x 中 的任一闭集f 使得x 叠f ，存在f ( x ) 的一个邻域d 使得 x ，在厂。1 ( d ) 中邻域可 分 定义1 1 1 5 4 1f 称为闭映射，若f 是x 的闭子集，则是y 的闭子集 定义1 1 1 6 t 】称映射f ：x y 是亚紧的，如果对任意y y 和x 中任意覆盖 ( y ) 的开集族所，存在y 的一个邻域q 使得“覆盖一( q ) 且u f 。1 ( g ) 在 厂1 ( 瓯) 中有一个点有限开加细 定义1 1 1 7 t 6 1 称映射：x 专】，是中紧的，如果对任意y y 和x 中任意覆盖 厂。1 ( y ) 的开集族“，存在y 的一个邻域q 使得甜覆盖厂叫( q ) 且b l f - 1 ( q ) 在 f 一( d ，) 中有一个开加细v ，1 夕；t e f 一( d ，) 中是紧有限的 第二节主要结论及其证明 引理1 2 1 3 1 映射厂：x y 是闭的充要条件是对每个点y y 和每个开集 u cx f f t f - 1 ( y ) cu ，在y 中存在y 的邻域y 使得f 。1 ( 矿) c u 据此引理，易知每个亚紧映射和中紧映射都是闭映射 引理1 2 2 设任意y y ，t , 力( y ) n ， 是x 中覆兰f f t f 。( y ) 的开集族序列， 是y 的邻域序列，使得：对任意疗，刀( y ) n ，珥覆盖 厂1 ( q ( n ) ，q + l y ) cq ( ，m + 。是 厂1 ( q ( ，) ) 在厂1 ( q ( ) 中的紧式w 力日细则“ 有一个开加细u ：g 使得每个g 在一( q ) d e 是紧有限的另外，对任意 刀 1 ，kc f 一1 ( q ( ，) ) ，若( + 。) k 是有限子族甜cm 厂1 ( q ) 在厂1 ( q ( y ) ) 中的 一个部分加细，则i ( 玩+ 。) k 圈“i 证明首先，由紧式w - 】j r l 细和点式w - n 细定义知，+ 。是人厂一( q ，) ) 在 厂一( q ，) ) 中的点式w - 力l l 细则有： 论断( 1 ) ：“有一个开加细u ：或使得合于：对任意门 1 ，kcf 1 ( 0 ：，( y ) ) ，且若 ( m + 。) x 是有限子族“cm 厂一( q ( y ) ) 在厂1 ( q t y ) ) 中的一个部分加细，则 i ( 瓯+ 。) ki - 1 “1 下面证明论断( 1 ) 设“= ：口 = 口( u ) 下面我们先证明论断( 2 ) ：u ：7 - 。覆盖厂- ( y ) 设x f - 1 ( y ) ，对刀 l ，令为忸( u ) ：u ( ) ， 的上确界由于珥是“在 厂- 1 ( y ) 中的点式w - 加细，故有 l ，珥+ 。是珥a t 。( q ( y ) ) 的加细， 所以+ 。因而存在 1 及口 1 及口 l ，kc 厂一( q j l ，) ) ，甜是比 厂- 1 ( q t y ) ) 的有 限子族，使得( m + 。) 胃是甜的一个部分加细令 a = 口( u ) ：u “b = 口 因为甜是内核保持的，是闭包保持的，所以w = 形( x ) ：工f 叫( 仇) 是x 中覆盖 厂- 1 ( q ) 的内核保持开集族因为c ( f 一( d j ，) ) 加细厂，所以对任意k c ( f 叫( q ) ) ， 存在f ，使得kcf 对任意f 厂，存在l g ( f ) 是珂的有限子集族，使得 f c ( u 列( ，) ) n 厂1 ( q ) 下面证明：对任意f 厂，集族( w ) ，u ( f ) a f 一( d y ) 的 部分加细设f 厂和x f - 1 ( q ) 使得w ( x ) ( 3 f a ，由w ( x ) 的定义知工f 因 此存在u “( ，) 使得x un f 一( q ) 对集合u “( ，) ，有 形( 工 c 【u ( 搿) ，】n 1 ( q ) cur 、，叫( q ) 因此集族( w ) ，是u t f ) a f 。1 ( q ) 的部分加细如果w ( x ) ( w ) x 即w ( x ) c 、k 缪， 那么v c ( x ) c 、f 囝，也可以得到w ( x ) c 7 ur 、厂( d v ) u ( f ) a f - 1 ( d ，) ，故( w ) f 是 u ( f ) a f - 1 ( q ) 的部分加细因为厂是厂。( d y ) 的覆盖和f 芦，u ( f ) a f 一( g ) 是 有限的，所以得证w 是u f 。( 仇) 的紧式w - n 细 ( 3 ) j ( 2 ) 是显然的因为“ 厂- 1 ( 仇) 在厂一( d ，) 中的任意紧式妒加细都是 甜fa f 卅( q ) 在厂一( d v ) 中的紧式星形加细 ( 2 ) j ( 1 ) 设对任意y y ，“是x 中任意覆盖厂卅( y ) 的内核保持开集族，q r ：y 的一个邻域，使得甜覆盖厂- 1 ( d ，) ，v 是“， 厂1 ( q ) 在厂。1 ( q ) 中的一个开的 内核保持紧式星形加细对u 。c1 a t ，令 f ( u 9 = u k 瓦( 厂_ ( d y ) ) ：s t ( k ，y ) c 7 ( w u g n f 川( g ) 9 r = f ( u 9 ：“c 7 m 且“是有限的 则丁g f 。1 ( d ，) 中的闭包保持闭集族 事实上，对任意x 而，其中甜c 7 “ru 是有限的，因为v 是“f 厂( q ) 6 儿类中紧映射的研究 在厂。( q ) 中的开的内核保持紧式星形加细，在工的邻域厂、( y ) ，中含有，( 翻) 的点 z ，于是( y ) ，c ( v ) ：，从而s t ( x ，v ) = s t ( z ，v ) c ( u u g n f 一( g ) 所以x e f ( u 9 ，即 ，( “) 是闭集如果厂c 厂，对任意x u f ( “) ：f ( u 9 厂) ，那么x 的邻域n ( y ) ， 中含有某个f ( “) 厂中的点，与上面同样推得 x ，( “) cu ，( “) ：f ( u 9 广 故厂是厂。1 ( d ，) 中的闭包保持闭集族 对任意k 1 c ( f 。( d v ) ) ，都存在某个u “甜，使得 s t ( k ，v ) c ( u “) r 、厂_ ( d ，) ，可以得到kc ，( 甜 ) ，即c ( f 1 ( q ) ) 加细芦显然歹是 厂- 1 ( d v ) 中的覆盖，又对任意甜c 甜，其中“是有限的，都有 f ( “) c ( w b l ) m f 一( q ) ，故，是甜， 厂1 ( 0 v ) 在厂1 ( q ) 中的加细口 下面利用定向覆盖得到中紧映射的一个刻划 定理1 2 4 映射f ：x 】，是中紧的充要条件是对任意y y 和x 中任意覆盖 厂。1 ( y ) 的定向开集族甜，存在y 的一个邻域q 使得甜覆盖厂一( q ) h _ b l a f 叫( q ) 在厂。1 ( q ) 中有一个开加细y ，y 在厂- 1 ( q ) 中是紧有限的 证明必要性是显然的下面只需证明充分性设对任意y y ，甜是x 中的任 意覆盖厂叫( y ) 的开集族，则“，是x 中的覆盖厂。( y ) 的定向歼集族由条件知，存 在y 的一个邻域q 使得1 4 ，覆盖厂1 ( q ) 且甜， 厂1 ( q ) 在厂1 ( q ) 中有一个开加 细y ，y 在厂1 ( 仉) 中是紧有限的对任意y v ，取定u ( y ) “，使得 vc u ( v ) o f - 1 ( d v ) 由取法知存在刀( y ) n ，存在甜中的有限个集合 u ( y ) ，( y ) ，砜( y ) ( 矿) 使得u ( v ) = u 髫( y ) 令 w = vm u , ( v ) m f 叫( 瓯) ：f 刀( y ) ，v 肼 因为v n u i ( v ) o f 一( d ) c 7 u i ( v ) o f 一( q ) u f 一( 仇) ，所以w 是u f 一( q ) 的部分加细又对任意x f 。( q ) ，存在v y 使得存在n ( v 9 n 和u ( v 9 其中 f n ( v 9 ，使得x eu ( v 9 故x ey n ( 矿) r 、厂1 ( d ，) 从而w 是u f q ( d ，) 在 厂1 ( q ) 中的一个开加细对任意k c ( f - 1 ( q ) ) ，则( v ) k 是有限的从而( w ) k 是 有限的，即w 在厂。1 ( d ，) 中是紧有限的故厂是中紧映射口 定理1 2 5 设厂：x y ，且】，是正则空间，则下列论述等价： ( 1 ) 厂是中紧映射 ( 2 ) 对任意y y 和x 中任意覆盖厂1 ( y ) 的开集族“，存在y 的一个邻域q 使 得“覆盖厂1 ( d ，) 且u f 叫( q ) 在厂1 ( q ) 中有一个半开加细v ，v 在厂1 ( d ，) 中 7 江西师范大学硕十学位论文 是紧有限的 ( 3 ) 对任意y y 和x 中任意覆盖厂一( y ) 的开集族“，存在y 的一个邻域q 使 得“覆盖厂一( q ) 且“ 。1 ( q ) 在厂一( q ) 中有一个开的紧式”加细 ( 4 ) 对任意y y 和x 中任意覆盖厂_ ( 少) 的定向开集族“，存在y 的一个邻域 q 使得甜覆盖厂_ ( q ) 且u f 叫( q ) 在。1 ( q ) 中有一个闭包保持闭加细厂，且 a s ( f 一( q ) ) 加细厂 证明( 1 ) j ( 2 ) 由每个开覆盖都是半开覆盖即可证明 ( 2 ) j ( 3 ) 设对任意y y ，l , t 是x 中的任意覆盖厂1 ( y ) 的开集族，则存在y 的 一个邻域q 使得“覆盖厂。1 ( q ) 且u f 。1 ( q ) 在厂- 1 ( o ，) 中有一个半开加细 1 夕，y 在厂。( q ) 中是紧有限的对任意v y ，选定一个u ( v ) 甜使得 vc u ( v ) n f 。1 ( 瓯) 设k c ( f 。1 ( q ) ) 令 甜( k ) = ( y ) ：矿( y ) k 由y 在厂一( d v ) 中是紧有限的知，甜( k ) 是翻的有限子族令 缈( k ) = i n t s t ( k ，1 ) ) n ( n h ( k ) ) nf 叫( 仇) 则( k ) 开于厂。( d ，) 再令 w = v c ( k ) ：k u ( f q ( d v ) ) 断言：w 是u f 。1 ( g ) 在厂_ ( q ) 中的开的紧式w _ 加细 事实上，对任意x f - 1 ( d v ) ，设k = 工 ，显然k 紧于厂1 ( q ) 因为y 是 b t a f 卅( q ) 在一( d ，) 中的半开加细，所以i n t s t ( x ，功是x 的一个邻域，即 x i n t s t ( x ，v ) 对任意v ( y ) ，有x vc 7 u ( y ) 贝ux r 、“( x ) 所以x 形( 工 ) 对任意k c ( f 一( 0 v ) ) ，设kn w ( k 9 g ( 其中k 紧于厂1 ( 0 。) ) 设 p knw ( k ) ，由y 在厂_ 1 ( q ) 中是紧有限的知( y ) x 是有限的，因为 w ( k 9c 盯( k 1 夕) 和p w ( k 9 ，所以p s t ( k ，v ) 从而存在v y 使得p v 且 v n k o 但是p k nv ，得到v ( 1 夕) x 且v ( y ) p 故 矿( k ) c n h ( k ) n f - 1 ( q ) = n u ( v 9 ：y ( v ) k n f 川( q ) c u ( v ) nf 1 ( q ) h ( k ) 厂( d ，) 其中v ( y ) x 则由( v ) 置有限知( w ) 置是b l ( k ) a f - 1 ( d ，) 的部分加细故w 是ua f 一( d ，) 在 厂一( d ，) 中的一个开的紧式w - ) j h 细 ( 3 ) j ( 1 ) 对任意y y 和x 中任意覆盖厂1 ( y ) 的开集族甜= “，则存在y 的 一个邻域q = q ( y ) 使得“覆盖厂1 ( q ) 且u f _ 1 ( q ) 在厂1 ( q ) 中有一个开的 几类中紧映射的研究 紧式w - ) j h 细u 2 显然址是x 中覆盖厂1 ( y ) 的开集族，则存在y 的一个邻域 d 2 i ， c q 使得覆盖厂1 ( q ( y ) ) 且a t 一( d 2 ( y ，) 在厂一( d 2 ( y ) ) 中有一个开的紧式 w - l l ：l 细m 继续下去，得到一列覆盖厂1 ( y ) 的开集族 和一列y 的邻域 ，珥覆盖厂。1 ( q ( y ) ) ，q + 。y ，cq ( y ) 且 厂一( q ( y ) ) 在厂1 ( q ( y ) ) 中有一个 开的紧式w - 加细珥则由引理1 2 2 知“有一个开加细w = u ：w ，其中每个 w 在厂1 ( q 。，) 中是紧有限的对任意” 1 ，令 呒_ u w ：w w r = u ：。2 冗= r ：n l 对任意工f 叫o ) ，存在n l 和w 1 睨使得x wc 呢cr ，则冗是x 中覆盖 厂1 ( y ) 的定向开集族由条件( i i i ) 知存在y 的一个邻域d ，使得冗覆盖厂一( q - ) 且 冗at 。1 ( q ) 在。1 ( q ) 中有一个开的紧式w - 加细p 对任意刀 l ，令 c = 缸f q ( q ) ：s t ( x ，p ) crn ，_ ( q ) )曩= o 易见墨ce c ec 则c 闭于厂- 1 ( q ) 事实上，只需证明：厂一( q ) 一e 开于 厂1 ( q i ) 设y f 1 ( q ) 一只，则s f ( y ，p ) 仨兄n 厂1 ( q ) ，从而存在y ”s t ( y , p ) 且y ”仨r 厂、厂1 ( d v ) 故存在p p 使得y ，y 。p 下面证明pcf 一( q ) 一只若 p 岱f _ ( q ) 一只，则存在p p ，且p 只，从而s t ( p ，尹) crn 厂一( o ，) 因为 p ，y ”p p ，所以y ”s t ( p ，p ) cr 厂、厂1 ( d v - ) 这矛盾于y ”萑rn 厂1 ( q - ) 所 以y 。pc f 叫( q ) 一只，而p 开于厂_ ( q - ) 故证厂q ( q ) 一c 丌于厂_ ( q 对任意以 1 ，令m = wn f - 1 ( 瓯) 一e 一。：w 叱 则y = u ：v 是 “ 厂一( d ) 在厂1 ( q ) 中的一个开加细事实上，设工f 。1 ( q ，) ，取最小的自然数 刀使得x 睨则存在w w 使得x 形厂、厂_ ( 0 v ) 必有x 矽n 厂。1 ( q - ) 一c 中 - f n 证nx 矽n 厂。( q - ) 一e - 1 若x c 一，则s t ( x ，p ) c 也一。n 厂一( q ) 但是p 覆 盖厂1 ( q - ) ，所以工s t ( x ，p ) cr i 厂、厂1 ( 瓯) ck j n - ! 则存在k n - 1 使得 工这与刀的最小性矛盾所以从而1 夕覆盖厂- 1 ( d v ) 对任意聆 l 和形w ， 存在u 1 a ，使得： 形r 、厂- 1 ( q ) 一e 一。c 缈n 厂- 1 ( q - ) cu 厂、厂_ 1 ( d ，) 甜at - 1 ( qi ) 故证1 夕= u ：m 是u f 。1 ( q ) 在厂1 ( d y ) 中的一个开加细 设k 厄( 厂。1 ( q ) ，则由p 是冗at 。( d ，) 在厂_ 1 ( q - ) 中的一个开的紧式胪 加细知存在有限子族冗c 冗使得( p ) k 是冗 厂1 ( d 。- ) 的部分加细由冗是有限 子族及冗是定向开集族知存在n ( k ) 1 使得s t ( k ，p ) cr ( k 1n 厂。1 ( qi ) 设 p k ，则p s t ( k ，p ) 因为s t ( p ，p ) cs t ( k ，p ) cr ( k ) n 厂- 1 ( g ) ，所以p c ( k ) o 江曲师范大学硕士学位论文 故k c 厶七，对任意甩刀( k ) + l ，都有k n ( 缈广、厂- 1 ( gi ) 一c 一。) = 乃所以 w ) ki 二：i ( v ) 并1 ：芝i ( v ) x | ) 加细芦 事实上，先证f ( u ) 是闭集对任意j ，f 一( d v ) 一，( u ) ，有 s t ( y , 1 2 ) 旺u n 厂1 ( q ) ，从而存在v ( ，使得v 旺un 厂1 ( d ，) 此时对任意 y 。v ，有时( y 气v ) 正u n 厂1 ( q ，则y 。芒f t u ) ，即y ”厂( d 。) 一f ( u ) 于是 v c f 。( q ，) 一f ( u ) g x f - 1 ( q ) 一f ( u ) 是厂- 1 ( d ，) 中开集，即f ( u ) 是闭集 再证芦在厂1 ( q ) 中是闭包保持的，且加细u f 。( d ，) ，对任意甜c 甜，须证 u ，( u ) ：u 翻。 是闭集对任意y f 一( d v ) 一( u ，( u ) ：u 甜 ) ，有 y 匹u ，( u ) ：u 甜) ，即对任意u “，有y 垡，缈) 由，( u ) 的定义知 s t ( y ，y ) 旺u n 厂一( q ) 由于v 在厂- 1 ( q ) 中是紧有限的，因此v 在。( d ，) 中也是 点有限的不妨设 ( ，= k ：y k v ，汪l ，2 ，刀 令v = n = k ，易知y 是非空开集对任意y ”v ，则以( v ) ，( i = 1 ，2 ，n ) 从而鲥( y t ，y ) cs t ( y , v ) 于是对任意u 翻，有s t ( y “，v ) 旺un 厂1 ( d ，) ，则 y 。萑f ( u ) 由此可推知y ”仨u f ( u ) ：甜 ，即y 。f - 1 ( d ，) 一( u ，( u ) ：u “ ) 1 n 儿类中紧映射的研究 于是y vc 厂- 1 ( d v ) 一( u ，( u ) ：u 甜 ) 故u f ( u ) ：u “ 是闭集 显然对任意u “，有f ( u ) c u n f “( d y ) 对任意x f 一( q ) ，则单元集 工) 1 c ( f 叫( q ) ) ，所以( v ) ，是有限族注意到v 加细u f 。1 ( d y ) ，且“是定向集，故 存在u 甜，使得： s t ( x ，y ) = u ( y ) ，cu n f - 1 ( q ) ， 则工，( u ) ，所以厂覆盖厂1 ( d v ) 综上可知，厂是厂( q ) 中的闭包保持的闭加细 最后证明c ( f 1 ( q ”加细厂设k c ( f q ( d y ) ) ，因为y 在厂卅( d ，) 中是紧有 限的，所以存在有限子族y c y _ y 使得s t ( k ，v ) cu 1 ) 由于y 是u f _ ( 仇) 在 厂_ 1 ( q ) 中的加细，因此存在有限子族“c 甜使得y 部分加细“ 厂_ 1 ( d v ) 于是 s t ( k ，y ) ct ) b l c 、f 1 ( d v ) 因为甜是定向的，所以存在u “使得 s t ( k ，y ) c 7 u r 、。1 ( q ) 则kcf ( u ) 故j c ( f 一( q ) ) 加细厂 ( 4 ) ( 3 ) 由条件( i v ) 和文【8 】定理3 4 知厂是亚紧映射设y y ，1 4 是x 中任意 覆盖。1 ( y ) 的开集族，则存在y 的一个邻域q 使得“覆盖厂一( q ) 且“ 厂。1 ( q ) 在厂- 1 ( 0 v ) 中有一个点有限歼加细v 易知v f 是x 中覆盖厂_ ( y ) 的定向开集族，由 条件( 4 ) 知存在y 的一个邻域q 。cd ，使得v ，覆盖厂( q ) 且1 夕， 厂1 ( q ) 在 厂_ 1 ( q ) 中有一个闭包保持闭加细厂，且u ( f 一( q ) ) 加细尸对任意石f 一( q ) ， 令 形( x ) = n ( y ) ，n 厂叫( q ) 一u ，y - x 诺，w = 形( x ) ：x f 叫( q ) 显然w 覆盖厂一( q ) 对任意f 厂，存在v f 是y 的有限子族，使得 f c ( u 1 ) r ) n f - 1 ( d ，) y ， 厂1 ( q ) ，则( w ) ，是y ， 厂1 ( q ) 的一个部分加细事 实上，对任意w ( x ) w 使得r v ( x ) nf g ，由w ( x ) 的定义知x f 所以 f c ( u 诈) n f 一( q ) = ( u k ，圪，k ) r 3 f 一( d ，- ) 从而存在i k 使得 石形r 、厂。1 ( q ) ，又因为 w ( x ) cr 、( v ) 工n 厂- 1 ( q ) c 形r 、厂q ( q ) 皓 厂一( d ，) 所以( w ) ，是诈人q ( d v ) 的部分加细 对任意k 6 ( f 。1 ( d ，) ) ，存在f ( k ) 尸使得kcf ( k ) ，所以( w ) k 是 v f 一( q ) 的有限子族y ，x ) 厂1 ( q - ) 的部分加细事实上，对任意r v ( x ) ( w ) 石， 有w ( x ) c 、k 囝因为kcf ( k ) ，所以w ( x ) nf ( k ) 囝，从而矽( 石) ( w ) ，( k ) ，由 上面的证明过程知( w ) f ( k ) 部分加细v f ( k ) 厂1 ( q ) ，即存在v y ，( x ) 使得 江两师范人学硕七学位论文 w ( x ) cy n 厂叫( d ，- ) 对任意w ( x ) w ，由w ( x ) 的定义知存在v y 和u “使得 形( 工) cyn 厂1 ( d ，) cun 厂( q - ) ha f 叫( q - ) ，所以w 是h af 。( d ，) 在 厂。1 ( 仇) 的一个开的紧式w - 力l l 细口 定理1 2 6 设f ：x y ，且y 是正则空间，则下列论述等价： ( 1 ) 厂是中紧映射 ( 2 ) 对任意y y 和x 中任意覆盖厂1 ( y ) 的开集族“，存在j ，的一个邻域q 使 得甜覆盖厂1 ( q ) 且ha f 。1 ( q ) 在厂1 ( q ) 中有一个开的紧式星形，一加细 ( 3 ) 对任意y y 和x 中任意覆盖厂。1 ( y ) 的定向开集族“，存在y 的一个邻域 q 使得翻覆盖厂。1 ( q ) 且b l a f 一( q ) 在厂叫( q ) 中有一个开的紧式星形加细 证明( 1 ) ( 2 ) 设厂是中紧映射，对任意y y 和x 中任意覆盖厂q 杪) 的开集 族甜，由定理1 2 5 知，存在y 的一个邻域d 。使得“覆盖厂1 ( q ) 且“ 厂一( q ) 在 厂。1 ( d v ) 中有一个开的紧式w - n 细由紧式肌加细和紧式星形一加细的定义知， h a f 一( q ) 在厂1 ( 瓯) 中有一个开的紧式星形一加细 ( 2 ) j ( 3 ) 设对任意y y 和“是x 中任意覆盖厂1 ( y ) 的定向开集族，则存 在y 的一个邻域g 使得“覆盖厂1 ( d ，) h l a f 。1 ( q ) 在厂一( q ) 中有一个开的紧 式星形f 一加细y 下面i i e ny 是b t af _ ( q ) 在1 ( q 中的一个开的紧式星形 加细设对任意k c ( f 一( d 。) ) ，则存在有限子族故c ( “) 足使得 s t ( k ，y ) c ( u 敞) n f 一( 瓯) 由于“是定向的，因此存在u “使得u 皈cu 故 s t ( k ，y ) cu c a f 。( q ) 从而y 是b l a f 。( q ) 在厂1 ( g ) 中有一个开的紧式星形 加细 ( 3 ) ( 1 ) 设对任意y y 和“是x 中任意覆盖厂1 ( y ) 的定向开集族，由条 件( 3 ) 知存在y 的一个邻域q 使得“覆盖厂。( q ) j | b a f 一( q ) 在厂- 1 ( q ) 中有一 个开的紧式星形加细y 对任意u “，令 f ( u ) = x 厂- 1 ( q ) ：s t ( x ，y ) cu n f - 1 ( q ) 广= f ( u ) ：u “) 仿定理1 2 5 的证明知，芦是b l a f _ ( q ) 在厂叫( q ) 中的一个闭包保持闭加细设 对任意k c ( f 叫( d ，) ) ，由于v 是甜人厂- 1 ( d ，) 在厂1 ( q ) 中有一个开的紧式星形 加细，则存在u “使得s t ( k ，y ) cu r 、厂- 1 ( d ，) ，于是kc ，( 【，) 故c ( f - 1 ( d ，) ) 加 细歹由定理1 2 5