仁化学校六年级奥数思维导引下.doc

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题 1如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少? 【分析与解】 我们知道如果有5个连 续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。 所以n小于5:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0； 如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4； 所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能：当n为3时，有123的个位数字为6，234的个位数字为4，345的个位数字为0，不满足：当n为2时，有12，23，34，45的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足 至于n取1显然不满足了所以满足条件的n是4 2如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168 所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168 3如果某整数同时具备如下3条性质： 这个数与1的差是质数； 这个数除以2所得的商也是质数； 这个数除以9所得的余数是5 那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数 【分析与解】 条件也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件 其中86与50不符合，32与68不符合，三个条件都符合的只有14所以两位幸运数只有144在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=51111001 =357111337显然其最大的三位数约数为7775从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米? 【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=17723177=3 不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米 6已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质请写出所有可能的答案 【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且abc，因为两两不互质，所以它们均是合数 小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=27，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数 所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18) 7把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1那么最少要分成多少组? 【分析与解】26=213，33=311，34=217，35=57，63=7，85=517，91=713，143=1113 由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组： 将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组所以，至少要分成3组 8图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远? 【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远 小圆周长为30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120 12030=412024=5所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A的直径另一点B这时两只甲虫相距最远 9设a与b是两个不相等的非零自然数(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=22233，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨设ab:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值 总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值 (2)60=2235，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b为60的约数，不妨设ab ：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是ab可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； 当a=30时，b可取4，12，20，于是ab可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以ab可取17，14，8，5； 当a=15时，b可取4，12，所以ab可取11，3； : 当a=12时，b可取5，10，所以ab可取7，2总之，ab可以有11+3+4+2+2=22种不同的值 10狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米? 【分析与解】 由于=，= 所以狐狸跳4个米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个米的距离时，将掉进陷阱 又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒. 距离为9=40.5(米)11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【分析与解】 我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次 1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999198=59，所以共有518+9=99个这样的数 12甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍求A等于多少? 【分析与解】 由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数 即603A=ak；(2939)A=bk；(4393)A=ck 于是有(1878603)A=ba；(18781572)A=bc；(1572603)A=ca 所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=173=51 于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍) 当A为51时，有60351=1142；93951=1821；39351=736不满足； 当A为17时，有60317=358；93917=554；39317=232；满足所以，除数4为17 13证明：形如11，111，1111，11111，的数中没有完全平方数 【分析与解】 我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除 现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数 评注：设奇数为2n+1，则它的平方为+4n+1，显然除以4余1 14有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍问：甲取走的一盒中有多少块奶糖? 【分析与解】 我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍 八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216 从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6 观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31 因此甲取走的一盒中有3l块奶糖 15在一根长木棍上，有三种刻度线第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段? 【分析与解】 10，12，15的最小公倍数10，12，15=60，把这根木棍的作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位 不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个 由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1 又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2 同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4 由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点沿这些刻度点把木棍锯成28段 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于33=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米 2如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【分析与解】 原来正方体的表面积为5 56=150 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(32)2=12，12150=0.08=8即表面积减少了百分之八 3如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积 现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1l=1(平方米)，所以表面积增加了921=18(平方米)原来正方体的表面积为61=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)4图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?【分析与解】原正方体的表面积是446=96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形 从而，它的表面积是96+46=120平方厘米 5图11-5是一个边长为2厘米的正方体在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面 所以，最后得到的立体图形的表面积是：226+1l4+4+4=29.25(平方厘米)6有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为330.06：0.54立方米； 放在小水池里的碎石的体积为220.04=0.16立方米； 则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为66=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.736=米=厘米=厘米 7如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米?【分析与解】 容器的底面积是(13-4)(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：452=90(立方厘米) 8今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体问剩下的体积是多少立方厘米?【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体. 易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米 所以剩下的体积应为：211512-()=1107(立方厘米) 9如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析与解】 圆锥的体积是，圆柱的体积是所以，圆锥体积与圆柱体积的比是. 10张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析与解】底面周长是3，半径是，所以今年粮囤底面积是，高是2 同理，去年粮囤底面积是，高是1因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍 11一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中求这时容器的水深是多少厘米?【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：（厘米）；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形 底面积为，水的体积保持不变为 所以有水深为(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出于是厘米即为所求的水深 12如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米?(取314)【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即 即这个物体的表面积是32.97平方米 13某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，高+长=(405-5)=200，长+宽=(485-5)=240，-得 长-宽=20，+得 长=130，则宽=110，代入得高=70，所以长方体得体积为：7011030=1001000(立方厘米)=1.001(立方米)14有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?【分析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个 于是，大正方体的棱长至少是5事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：555-1333-7222=42(块)因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)15有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个? 【分析与解】一面染红的长方体，显然应将45的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体，个数最多 二面染红的长方体，显然应将两个45的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个数最多 三面染红的长方体，显然应将45，45，43的面染红，于是产生4(5+5+3-4)=36个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个 四面染红的长方体，显然应将45，45，43，43的面染红，产生4(5+5+3+3-24)=32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个 五面染红的长方体，应只留一个35的面不染，这时就产生(3-2)(5-2)+(4-1)(5+5+3+3-24)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27 六面染红的长方体，产生2(3-2)(5-2)+(5-2)(4-2)+(4-2)(3-2)=22个一面染成红色的小正方体 于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体几何图形的设计与构造涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题 1今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】 如下图所示，我们给出四种不同的排法 2已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米求这个六边形的周长 【分析与解】 如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母， 因为BAF=120，而么IAF=180-BAF=60又EFA=120，而IFA=180-EFA：60，则IAF为等边三角形 同理BCG、EHD、IGH均为等边三角形 在IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)， 在BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米) 则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)3图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】 如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长所以，最少的量出下列6段即可 4将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少? 【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1 5如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为1612(12+6)=24(平方厘米)而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24612=48(平方厘米) 6如图12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA若三角形ABC的面积是1则阴影部分的面积是多少? 【分析与解】 ABC、ADC同高，所以底的比等于面积比，那么有而E为AD中点，所以连接FD，DFE、FAE面积相等，设则的面积也为x，而，解得.所以，阴影部分面积为7如图12-7，P是三角形ABC内一点，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四边形AIPD的面积是12，四边形PGCH的面积是15，四边形BEPF的面积是20那么三角形ABC的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD与平行四边形PGCH的面积比为IP与PH的比，即为12：15=4：5 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5如图12-7(a)，连接PC、HD，有PHC的面积为DPH与PHC同底PH，同高，所以面积相等，即，而DPH与EPH的高相等，所以底的比即为面积的比，有，所以如图12-7(b)所示，连接FH、BP，如图12-7(c)所示，连接FD、AP， 有 8如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，号正方形的边长是长方形长的，号正方形的边长是长方形宽的那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 有号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的. 而号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的. 所以在长方形中有：长=宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k，宽为8k，则号正方形的边长为5k，又是整数，所以k为整数，有长方形的面积为96,不大于100所以k只能为1，即长方形的长为12，宽为8 于是，图中号正方形的边长为5，号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 9如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】 以下用表示E部分横向的长度，竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似有：=5：4，：=l：2而+=+，所以有：=5：4：1：2而+=+对应为5+1=6，那么对应为3而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以=有+竖对应为6，所以=对应为3那么长方形的竖边为6+对应为9，长方形横边为+6+对应为5+6+4=15所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3 10如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】 如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变 并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积 所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12 有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2 11如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米现在从4处沿45方向打出一球，碰到桌边后又沿45方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45方向弹出，如此继续下去假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中? 【分析与解】 将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为： (0,150)(150,0) (260,110) (220，150) (70，0) (0，70) (80，150) (230,0) (260，30) (140，150) (0，10) (10，0) (160，150) (260，50) (210,0) (60，150) (0，90) (90，0) (240，150) (260，130) (130，0) 因此，该球最后落入E袋 12长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止如图12-12当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2 因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，19942=997 所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次1310个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆 那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3 14在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，1=2=15.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(取3.14)【分析与解】有AO=OB，所以AOB 为等腰三角形，AO=OC，所以AOC为等腰三角形.ABO=1=15，AOB=180-1-ABO=150.ACO=2=15,AOC=180-2-ACO=150.所以 BOC=360-AOB-AOC=60，所以扇形BOC的面积为(平方厘米) 15图12-15是由正方形和半圆形组成的图形其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(取3.14)【分析与解】 过P做AD平行线，交AB于O点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点有.阴影部分面积为第14讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题 典型问题 1ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCDEFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小 A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759234是满足条件的最小乘积； 它们的差为12347591759234=(1000+234)759一(1000+759)234=1000（759234)=5250002.有9个分数的和为1，它们的分子都是1其中的5个是,另外4个数的分母个位数字都是5请写出这4个分数 【分析与解】 l一(+)= 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3371l的约数因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693 经试验得693+231+77+9=1010所以，其余的4个分数是：,.3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式 【分析与解】 1988=2277l=4497，+，在等式两边同时乘上，就得+显然满足题意 又+=，两边同乘以，就得+显然也满足 +，+均满足. 4小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表141的表中有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正问改正后的两个数的和是多少? 【分析与解】 甲组的前三个数0.625，都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，4，4；不论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号现在验算一下：20.625=4.05；2=3；2=3；23=. 从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4是错的 按照算式 乙组的数甲组的数+1* 23+1=1，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.53+1=1，而1.50.625+l=3.4，1.5+1=3.25 由此可见，确定的算式*是正确的表中有两个错误，4应改为4，2应改为1.5，4+1=5+=6改正后的两个数的和是6 5图143中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上 (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由 (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由 【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等 事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k 在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次 因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为： 8k=(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的 (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+411 而411共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一图(a)和图(b)是两种填法 6图145中有11条直线请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+11)+a=66+a； 在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+11)+4a66+4a 综合以上两式， 5-4得66-11a=0，所以a=6，则S=18 考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+11)-t=5S=90即4*-t=24，由t是111间的数且t*，可知*=7，而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x， 首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有： (111)112+a=4S，即66+a=4S 再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S 综合两个等式，可得a为6，每条直线上和S为18 最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到： 66+4xe=5S=90，即4x-e=24，由e是111间的数且ex可知x=7即每行相等的和S为18，*所填的数为7 7一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数 【分析与解】方法一：=，=，。 对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍 且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意 所以这个六位数为142857 方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为，那么6个六位数中必定存在一个数为. 而个位数字1，只能由11，37或99得到但是只能对应为(26)，所以只能是3得到即=3 于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857方法三：部分同方法二，=3那么有10+l=(100000+)3，解得=42857所以这个六位数为142857第15讲 计数综合1内容概述 将关键的已知数据看作变量，得到一类结构相同的计数问题，通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系，逐步地求得原问题的答案与分数、几何等相关联的计数综合题典型问题 1一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分? 【分析与解】 一个长方形把平面分成两部分第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分 同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分 第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加34=12个部分而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分 所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26 2一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法? 【分析与解】 我们知道最后一步可以迈1级台阶、2级台阶或3级台阶，也就是说可以从倒数第1、2或3级台阶直接迈入最后一级台阶 即最后一级台阶的走法等于倒数第1、2和3级台阶的走法和而倒数第l级台阶的走法等于倒数第2、3和4级台阶的走法和， 如果将1、2、3级台阶的走法依次排成一个数列，那么从第4项开始，每一项等于前3项的和有1，2，3级台阶的走法有1，2，4种走法，所以4，5，6，7，8，9，10级台阶的走法有7，13，24，44，81，149，274种走法 3一个圆上有12个点A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法? 【分析与解】我们采用递推的方法 I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法 如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法 如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形此时，其余的6个点可能分布在： A1