（课程与教学论专业论文）中学生运用一般化的策略的调查研究.pdf

一 d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0 1 1 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ：5 1 0 8 0 6 0 1 0 0 8 ea s tch i nan o r ma lu n i v e r s i t y s u r v e y o ng e n e r a l i z a t i o ns t r a t e g i e so f m i d d l es c ho o ls t u d e n t s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s d i r e c t i o n：m a t h e m a t i c se d u c a t i o n f i n i s h e di na p r i l ，2 0 11 哪92舢050川9 川l舢y 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文中学生运用一般化的策略的调查研究， 是在华东师范大学攻读硕士博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他 个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：伽“年5 月群日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 中学生运用一般化的策略的调查研究系本人在华东师范大学攻读学位期 间在导师指导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华 东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文， 并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷 版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同 意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学 位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部或“涉密学位论文奎， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名_ j 盈立l 伽。1 年5 月冲e l “涉密 学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密 委员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论 文“涉密 审批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学 位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 。 堕塞登硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 鲍建生教授华东师范大学主席 赵小平副教授华东师范大学 熊斌教授华东师范大学 吴颖康副教授华东师范大学 李俊副教授华东师范大学 摘要 代数的教学越来越重视发展学生的代数思维，而一般化作为代数思维的核 心，既是成功的代数学习所必备的能力之一，又是重要的数学思想方法。国内关 于学生一般化的实证及认知方面的研究很少，本研究在这方面进行了初步的尝 试，主要考察由算术学习向代数学习过渡阶段，在解决不同种类的模式问题中， 学生对数据和数量关系进行一般化的策略、能力及认知的情况。 本研究选取上海某普通中学六、七年级共2 0 1 名学生进行测试卷调查及个别 访谈，将收集到的数据进行编码、统计，通过量的及质的方面的分析，得到在学 生一般化的策略方面的主要结论有： l 、线性模式中，学生一般化所使用的策略多种多样，且随着问题表征方式、离 散或连续情况的变化，策略也呈现很大变化。 2 、非线性模式中，学生偏好从图形规律入手进行一般化，六年级的错误策略主 要由于对图形结构的认知错误；七年级的错误策略主要由于对数字规律的探 索错误。 3 、计算过程的模式问题中，六年级学生偏好用文字表达一般化，七年级学生偏 好使用形式化语言表达一般化。两个年级都表现出更加关注运算过程中的数 量关系而非运算结构的现象。 在学生的一般化的能力方面的主要结论是：学生最困难的是非线性模式问题 的一般化；对于离散的线性模式，图形表征下的一般化易于文字表征；六、七年 级直觉地表达一般化的方式是明显不同的；七年级学生对计算过程的模式问题以 及各种表征的离散型模式的理解比六年级学生更加深刻，但对于连续型模式问题 的理解与六年级相比变化不大。 在学生推理、表达一般化的认知特点方面，研究结果将学生在一般化过程中 经历的认知层次大致分为六个：1 、寻找局部共同性尝试归纳阶段：2 、确定 局部共同性，但不能得到任意项的表达算术的一般化阶段；3 、通过数字操 作给出任意项的表达计算过程的一般化阶段；4 、压缩数字计算操作计 算对象的一般化阶段；5 、使用符号语言表达形式化的一般化阶段；6 、形成 图式图式的一般化阶段。 关键字：一般化，代数思维，策略，认知特点 a b s t r a c t i th a sp a i dm o r ea t t e n t i o nt od e v e l o ps t u d e n t s a l g e b r a i ct h i n k i n gi na l g e b r a i c t e a c h i n g a st h ec o r eo fa l g e b r a i ct h i n k i n g ，g e n e r a l i z a t i o ni sn o to n l yt h ee s s e n t i a l a b i l i t yt om a s t e ra l g e b r a ，b u tt h ei m p o r t a n tt h i n k i n gm e t h o do nm a t h e m a t i c s t h i s s t u d yt r i e st oe x a m i n es t u d e n t s g e n e r a l i z a t i o ns t r a t e g i e s ，a b i l i t i e sa n dc o g n i t i v e c h a r a c t e r i s t i c si n s o l v i n gp a t t e r n - b a s e dp r o b l e m si nt h et r a n s i t i o n a ls t a g ef r o m a r i t h m e t i ct oa l g e b r a 。t h i ss u r v e yo n2 01s t u d e n t si na no r d i n a r ym i d d l es c h o o li ns h a n g h a ih a ss o m e f i n d i n g s f r o mt h ea s p e c to fg e n e r a l i z a t i o ns t r a t e g i e s ，w ef r e dt h a t ， 1 、i nl i n e a rp a t t e r n s ，s t u d e n t su s es e v e r a l s t r a t e g i e s w h i c hc h a n g ea s t h e p r o b l e mr e p r e s e n t a t i o n , d i s c r e t eo rc o n t i n u o u sc h a n g e ； 2 、i nn o n l i n e a rp a t t e r n s ，s t u d e n t sp r e f e rt oe x p l o r ef i g u r et og e n e r a l i z e t h e f a l s es t r a t e g i e so fg r a d e s i xs t u d e n t sa r em a i n l yd u et ow r o n g c o g n i t i o no ft h ef i g u r e s t r u c t u r e ，w h i l eg r a d e s e v e ns t u d e n t sd u et ot h ef a l s ee x p l o r a t i o no fl a wo fn u m b e r s ； 3 、i nc o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r ep a t t e m s ，t h es i x t hg r a d es t u d e n t sp r e f e rt o e x p r e s sg e n e r a l i z a t i o ni nw o r d s ，w h i l es e v e n t hg r a d es t u d e n t si nf o r m a ll a n g u a g e b o t hg r a d ef o c u so nn u m b e rr e l a t i o n sb u tn o tc o m p u t a t i o n a l s t r u c t u r e si n c o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r e f r o mt h ea s p e c to f g e n e r a l i z a t i o na b i l i t i e s ，m o s td i f f i c u l ti st h en o n l i n e a rp a t t e r n s ； i nl i n e a rd i s c r e t ep a t t e r n s ，f i g u r er e p r e s e n t a t i o ni se a s i e rt h a nn u m b e rr e p r e s e n t a t i o n t w og r a d e sa r ed i f f e r e n ti ne x p r e s s i n gg e n e r a l i z a t i o ni n s t i n c t i v e l y t h es e v e n t hg r a d e s t u d e n t sh a v ead e e p e r u n d e r s t a n d i n g i n c o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r ep a t t e r n sa n d d i s c r e t ep a t t e r n st h a ng r a d e s i xs t u d e n t s b u ti nc o n t i n u o u sp a t t e r n si th a sl i t t l e d i f f e r e n c e f r o mt h ea s p e c to fc o g n i t i v ec h a r a c t e r i s t i c si ng e n e r a l i z a t i o n ，w ef r e ds i xl a y e r s i nt h e p r o c e s so fg e n e r a l i z a t i o n ：1 f i n d i n gl o c a lc o m m o n a l i t y , t r yt om a k ea n i n d u c t i o n ；2 d e f i n i n gl o c a lc o m m o n a l i t y , b u tf a i li ne x p r e s s i n gw h a t e v e rt e r m ；3 e x p r e s s i n gw h a t e v e rt e r mb ya c t i o n sp e r f o r m e do nn u m b e r s ；4 c o n d e n s i n gt h e n u m b e rp e r f o r m e da c t i o n s ；5 e x p r e s s i n gg e n e r a l i z a t i o ni nf o r m a ll a n g u a g e ；6 d e v e l o p i n gas c h e m a k e y w o r d s ：g e n e r a l i z a t i o n , a l g e b r a i ct h i n k i n g ，s t r a t e g y , c o g n i t i v ec h a r a c t e r i s t i c 第一章引言。 目录 1 1 1 研究背景1 1 1 1 代数课程的重要性1 1 1 2 代数教学理念的转变2 1 2 研究问题。3 1 3 研究意义4 1 3 1 丰富了数学学习的理论和实践研究4 1 3 2 为学生顺利进入代数学习提供新途径5 第二章文献综述6 2 1 代数的特点的相关研究：6 2 2 代数思维的相关研究6 2 3 模式的相关研究：8 2 3 1 对模式概念的界定一8 2 3 2 国内外研究中的模式问题9 2 3 3 对模式问题的界定1 0 2 4 一般化的相关研究1 1 2 4 1 对数学的一般化的定义1 1 2 4 2 对一般化类型的相关研究1 2 2 4 3 对一般化能力的相关研究1 4 2 4 4 关于教学建议的研究1 6 第三章本研究的理论基础。 3 1 认知结构发展的理论1 8 3 2 表征的理论1 9 第四章研究设计与过程2 l 3 1 研究思路2 1 3 2 研究方法2 2 3 2 1 测试卷调查。2 2 3 2 2 访谈调查2 4 l 3 3 研究对象2 4 第五章研究结果 5 1 文字表征的线性离散型模式问题的一般化情况2 6 5 1 1 策略使用实例的分析2 6 5 1 2 策略使用实例的讨论2 9 5 1 3 策略使用情况的数据统计3 0 5 1 4 策略使用统计情况的讨论3 2 5 2 文字表征的分段线性连续型模式问题的一般化情况j 3 3 5 2 1 策略使用实例的分析3 3 5 2 2 策略使用实例的讨论3 5 5 2 3 策略使用情况的数据统计3 5 5 2 4 策略使用统计情况的讨论。3 7 5 3 图形表征的线性离散型模式问题的一般化情况3 8 5 3 1 策略使用实例的分析。3 8 5 3 2 策略使用实例的讨论4 0 5 3 3 策略使用情况的数据统计4 1 5 3 4 策略使用统计情况的讨论4 3 5 4 图形表征的非线性模式问题的一般化情况4 3 5 4 1 策略使用实例的分析4 3 5 4 2 策略使用实例的讨论4 6 5 4 3 策略使用情况的数据统计4 7 5 4 4 策略使用统计情况的讨论。4 8 5 5 数字表征的计算过程的模式问题一般化情况4 9 5 5 1 策略使用实例的分析4 9 5 5 2 策略使用实例的讨论51 5 5 3 策略使用情况的数据统计5 1 5 5 4 策略使用统计情况的讨论5 3 5 6 学生一般化能力的年级比较5 4 5 7 学生推理、表达一般化的认知特点5 6 6 1 3 学生推理、表达一般化的认知特点7 2 6 2 教学启示7 3 6 2 1 重视模式问题对代数学习的促进作用7 3 6 2 2 善用多种表征促进一般化7 3 6 2 3 发展学生对一般化的深入理解7 4 6 3 不足之处7 4 参考文献 附录一预测测试卷 附录二正式测试卷 致谢。一 7 5 7 9 。一9 1 1 1 研究背景 1 1 1 代数课程的重要性 第一章引言 从全世界范围看，代数在各国的基础教育中都占有十分重要地位，国际数学 教育界在2 0 世纪8 0 年代初提出了大众数学( m a t h e m a t i c sf o ra 1 1 ) 理念后，又将 大众数学的思想聚焦于代数领域，提出了“为所有人的代数”( a l g e b r af o ra 1 1 ) 的 口号，旨在所有中学生都应该有机会学习代数的基本观念和方法，使每个学生都 能在代数学习中获得成就。 代数是数学的基础，也是数学方法与思想的重要来源，它提供了一种一般化 的语言和结构去分析量之间的关系，建立模型以及说明和证明( 鲍健生，2 0 0 9 ) 。 数学的代数化是2 0 世纪数学发展的一个重要特征( 张继平，2 0 0 2 ) 。由于代数的 方法与结果具有广泛性，代数在从其他领域汲取新思想、新方法的同时，也在不 断深入到数学的其它领域以及数学之外的领域，代数的发展推动了许多新学科相 互交织发展。2 0 世纪3 0 年代所谓抽象代数的一些基本内容，现在已经成为每个 数学工作者必备的理论知识，甚至是某些领域科学技术工作者需要掌握的有力的 数学方法。美国数学教育者以及课程决策者认为，代数已经成为通向高等教育和 机遇的大门，成功参与民主社会和科技市场离不开抽象的代数思维( 曹一鸣等，一 2 0 0 7 ) 。 我国全日制义务教育数学课程标准( 以下简称标准) 安排了“数与代 数 、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用 四个学习领域。 课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、 统计观念，以及应用意识与推理能力。其中，数感和符号感的培养已成为数学学 习的核心概念。标准中对数感和符号感提出明确要求：“数感主要表现在理解 数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能 用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择恰当的算法；能估计运算的结果， 并对结果的合理性做出解释”，“符号感主要表现在能从具体情境中抽象出数量关 系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进 行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”。 其中“数与代数 领域的学习对发展和培养学生的数感以及符号感有重要作 用，因此在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位。代数重要的教育价值在于： 有助于学生理解现实世界中的数量关系和变化规律；有助于学生形成运用数量关 系进行思考的思维方式。 1 1 2 代数教学理念的转变 随着数学教育改革的不断深入，代数的教学理念发生了许多变化。九世纪开 始，花拉子米等阿拉伯数学家认为代数是解方程的科学，一直以来，这一观点并 没有太大改变，当完成算术学习后，学生在中学阶段才正式开始学习代数的符号 语言及操作( k i e r a n ，2 0 0 4 ) 。 然而由于2 0 世纪发达国家中学教育的普及，国际上代数教学经历了很大的 变化。由算术的学习直接进入形式化的代数符号语言的学习对大多数学生来说是 很具有挑战的。2 0 世纪末期的许多研究指出学生在初学代数时的困难，这促使 教育者们反思代数的教学，如果代数仅仅被看作符号工具，那么它就脱离了日常 生活，也使学生越来越疏远数学。因此，重新建构充满联系的代数教学体系，并 使学生能够认识到这种联系成为迫切需要的任务。这需要使学生和教师清楚地认 识到代数不仅仅是符号工具，而且代数对象和过程都是有意义的。 一些主张改革的学者猜测，如果能够考虑什么是代数的核心，并较早的在小 学阶段介绍某些元素，使这些元素成为联系正式代数教学与算术学习的纽带，构 建联系的代数教学体系，也许代数对大多学生会不再困难。于是许多国家开始提 出“早期代数 ( e a r l ya l g e b r a ) 的观点，重视在k - 1 2 年级发展学生的代数观念， 在正式学习形式化的代数课程之前向学生介绍代数的观点，发展学生的代数思 维。“早期代数是必要的，但不同于过早地教授传统意义上的代数，而是重新 思考将代数作为贯穿所有年级的课程的线索，并将它建立在发展代数核心观念 ( b i gi d e a ) 和代数推理的基础上。 美国学校数学教育的原则和标准( 下文称n c m 2 0 0 0 ) 中提到，“通常， 学校数学课程要等到初中或高中才明确地包括传统的代数。建议在小学就包括代 数 ，“在六至八年级的标准中对代数己有相当重视，并包括比一般初中更多的几 何内容，提倡代数和几何的综合。假定到八年级底，已打下了代数的坚实基础”， 2 九至十二年级的标准“提倡各观点的综合与关联，最终达到成熟。 在构建联系的代数教学体系过程中，一般化成为联系算术教学与代数教学的 重要纽带。u s i s k i n ( 1 9 8 8 ) 提出代数的五个不同方面，其中第一个方面是一般化 的算术，他将数学教学概括为转化和一般化。m a s o n ( 1 9 9 6 ) 指出“表达一般性” 是代数的基础之一，是通向代数的途径。k a p u t ( 1 9 9 9 ) 定义代数是模式和限制 的一般化和形式化。他建议理解性地引入代数，低年级就开始涉及不同领域的一 般化，如算术、几何和建模情境。 “早期代数 观点下，许多国家课程标准建议用模式问题帮助学生联系代数观 点与先前知识，通过探索模式问题，学生参与发现相同与不同，分类，寻找算法， 猜测，证明，建立数量关系，以达到对数据和数量关系的一般化。通过这些活动， 发展学生代数语言、对符号的意义的理解及相应的图形、表格等表征体系。 我国的新课程改革，新的标准的一大特色是目标体系的变化，在知识技 能领域的基础上又扩充了发展性领域的目标，强调了对数学的认识，思维能力和 解决问题。与几何课程相比，代数课程的变化并不大，标准将“代数 改为 “数与代数 ，目的是为了突出了这部分内容的教育价值。以前的代数教学主要 侧重“数、代数式、方程、函数的运算”，而新课程改革后，“数与代数 则强调 从实际问题出发。强调探索事物之间的关系和变化规律，突出研究对象一般化的 过程，使学生获得运用代数的思想和方法认识和解决问题的能力、推理论证能力、 数学表达与交流能力，进而不断丰富对数学的认知和感受。可见，随着课改的展 开，我国标准中也渗透着“早期代数的观念，同样重视对代数思维能力的 培养。 1 2 研究问题 综合国内外代数教学理念的转变可以发现，代数教学越来越重视代数的思想 和方法的教学，发展学生的代数思维。使学生通过代数的学习，体会数学可以发 现、描述和分析客观世界中多种多样的模式，从多个角度获得对数学概念和数学 过程的感受和认识，把握事物变化和事物之间的关系，初步发展学生的符号意识， 进行符号运算。 在发展学生的代数思维中，一般化的能力的培养是至关重要的。可以说，一 般化思想在代数中是无所不在的，从最简单的“以符代数”，到一元二次方程的 公式解，再到抽象代数中的各种代数系统。事实上，代数的本质就是发现处理问 题的一般模式，因此，一般化思想应该成为代数学习的基础。 在早期代数运动影响下，各国代数教学将一般化思想作为代数的核心思想之 一贯穿、联系了小学和初中的学习。许多国家在低年级就开始涉及不同领域的一 般化活动，在教学中提供学生不同背景的模式问题，使学生主动地从事观察、比 较、猜测、验证、推理与交流等数学活动，进而达到对数量关系的一般化。我国 标准中虽然没有模式问题一说，但也有类似的活动、任务来培养学生一般化 的思考方式。在小学数学中没有正式定义变量与函数的概念，然而学习中却渗透 了变量和函数的思想以发展学生的“函数感 ，从一年级开始，学生就开始经历 数量关系比较的问题解决，一般化以及问题情境的建模。 可见，学生在未正式学习代数或学习代数的初期，虽然不一定有标准、流畅 的代数表达及代数句法操作能力，但已经具有一定的对数据和数量关系进行一般 化的能力，但目前国内对这一时期学生一般化的能力的研究很少，在向代数过渡 阶段，学生对数据和数量关系的一般化能力如何，在一般化过程中使用怎样的策 略，表征，遇到怎样的困难，弄清这些问题有助于更加了解学生代数思维的特点， 对帮助学生更顺利地从算术的学习过渡到代数的学习，具有重大的意义。因此我 将围绕学生的一般化的能力展开研究，研究问题主要是： 1 、在学生从算术的学习向代数学习过渡的阶段，学生对数据和数量关系进 行一般化的能力如何? 2 、在对数据和数量关系的一般化中使用怎样的策略，不同年级策略的使用 情况怎样? 3 、在对数据和数量关系进行一般化的过程中，学生认知有哪些特点，经历 怎样的认知阶段? 1 3 研究意义 1 3 1 丰富了数学学习的理论和实践研究 一般化在数学成就和学习中占据重要地位。波利亚( 1 9 8 2 ) 将许多科学发现 和数学结果归功于他所谓的“幸运的一般化 ，声称一般化是数学知识发展的核 4 心，因为一般化中涉及更高级别的思维，如抽象、整体思考、视觉化、灵活性和 推理等。一般化也是代数的重要方面，m a s o n ( 1 9 9 6 ) 指出“表达一般性 是代 数的基础之一，是通向代数的途径。k a p u t ( 1 9 9 9 ) 定义代数是模式和限制的一 般化和形式化。 国外对学生一般化能力的研究较多，但是国内对于一般化的研究，往往是作 为数学思想方法研究中的- d , 部分，将数学的一般化与特殊化作为一种重要的解 题方法，通过具体的解题过程来介绍一般化与特殊化的思想方法。对学生一般化 能力的实证研究很少，对一般化过程中的认知过程方面的研究则更为少见，鉴于 一般化在代数乃至整个数学中的重要地位，对于数学学习的理论和实践研究来 说，关于一般化能力的研究是十分必要的。因此本研究可以视为对我国这方面研 究的一种丰富。 1 3 2 为学生顺利进入代数学习提供新途径 “为所有人的代数 的口号，旨在所有中学生都应该有机会学习代数的基本观 念和方法，使每个学生都能在代数学习中获得成就。“早期代数 的观点下，越 来越重视在小学阶段介绍代数的一些核心观念，一般化就是这些核心观念中重要 的组成部分。许多初学代数的学生遇到的一大困难是对从具体数字情境转到一般 的结构、关系情境的困难。 因此，通过对学生对数据、数量关系的一般化能力的研究，更好地了解在一 般化过程中，学生使用的正确及错误策略及认知情况，可以使教师更加了解这一 时期学生的代数思维的特点，从而帮助学生更顺利的转向代数的学习。 第二章文献综述 一般化是代数的重要内容，也是代数思维的重要方面。对一般化能力的研究， 国外的研究居多。模式问题成为研究一般化能力的重要载体。以下就对代数的特 点、代数思维、模式问题以及一般化的国内外研究情况进行综述。 2 1 代数的特点的相关研究 关于代数的特点，u s i s k i n ( 1 9 8 8 ) 描述了代数的四个方面：一般化的算术； 解决问题的一系列程序；研究量之间的关系；研究结构。k a p u t ( 1 9 9 5 ) 定义了 代数的五个方面：一般化和形式化；句法指导操作；研究结构；研究函数、关系 和变量：建模的语言。n c t m ( 2 0 0 0 ) 讨论了中学代数的四个主题：函数和关系， 建模，结构，语言和表征。 k i e r a a ( 1 9 9 6 ) 根据学生典型的活动把中学代数划分为：一般化的活动，变 形的活动，整体的活动。根据k i e r a n ( 1 9 9 6 ) 的模型，代数一般化的活动是指形 成表达式或方程等代数的对象。包括：1 、表征问题情境的方程；2 、从几何或数 字模式中得到的一般化的表达；3 、数字关系规则的表达式。另外变量、未知量、 等号也属于代数一般化的活动。第二种代数活动，变形( 基于规则) 活动包括： 提取公因式、分解因式、展开、替换、多项式的运算，解方程，化简等。这类活 动是改变表达式或方程的形式而保持其等价。第三种是整体活动，这类活动不仅 限于代数领域，活动中代数是作为工具，包括问题解决，建模，注意结构，研究 变化，一般化，分析关系，检验，证明和预测。实际上，这是更一般的数学过程 和活动，是其它数学活动，尤其是一般化活动的核心。 2 2 代数思维的相关研究 从算术到代数过渡阶段的研究很多，早在二十世纪八十年代， k a p u t & s i m s 鼬n i g h t ( 1 9 8 3 ) 研究了与符号使用有关的错误，k i e r a n ( 1 9 8 1 ) 指出了等号的不 同概念。一些年后，f i l l o y & r o j a n o ( 1 9 8 9 ) 证实了初学代数的学生在解方程时 6 厂一 遇到的主要问题。后来，g r a y & t a l l ( 1 9 9 4 ) 从区别过程与对象方面分析学生的困 难，上世纪8 0 到9 0 年代的研究是不充分的，不可避免的产生了一个困难的问题： 代数思维的本质是什么。1 9 8 7 年在乔治亚大学召开的代数研究议程大会上， k i e r a n 提出代数思维是一个迫切需要研究关注的领域。 尽管也包含变量和表达式，代数思维却比代数有更广和不同的含义。n c t m ( 2 0 0 0 ) 中这样定义代数思维：强调数量之间的关系，包括函数，表征数学关系 的方式和对变化的分析。k i e r a n ( 1 9 9 6 ) 定义代数思维：从关系的角度处理数量 情境的各种表征。s w a f f o r da n dl a n g r a l l ( 2 0 0 0 ) 定义代数思维：像操作已知量那 样操作未知量的能力。 k r i e g l e r ( 2 0 0 1 ) 将代数思维分为代数思维工具和基本代数观点。代数思维 工具包括：问题解决技能、表征技能、推理技能；基本代数观点包括：代数是算 术的一般化，代数是数学的语言，代数是函数和数学建模的工具。 r a d f o r d ( 2 0 0 6 ) 用不详尽的三个相互关联的元素来刻画代数思维。首先， 对基本代数对象如未知数、变量、参数的不确定性的理解。第二，分析地处理不 确定的对象，这也是为什么1 6 世纪许多数学家称代数为分析的艺术。第三、指派 对象的特有的符号体系。 国内研究中，代数思维是一种形式的符号操作，具体包括表征、符号变换和 意义建构；代数思维是基于规则的推理，是一种数学建模活动。( 鲍建生，2 0 0 9 ) 。 代数思维是由关系或结构来描述的，它的目的是发现( 一般化的) 关系或结构， 并把他们联系起来( 徐文彬，2 0 0 3 ) 。 从已有的研究看，对代数思维的理解主要有两类，一类是认为代数的符号操 作、代数地表达是代数思维的重要组成部分，另一类是把代数符号与代数思维分 开，侧重代数思维中对变化、关系的分析，不确定性的理解，一般化、关注结构 的层面，而代数符号则被认为是简化论证的语言和解决问题的工具。这种把代数 符号与代数思维分离的研究趋势主要有几点原因：1 、进一步承认了无思维符号 操作的可能性。2 、小学阶段的“早期代数 的观点，关注结构而非计算。这种 观点十分重视一般化在代数思维中的地位，认为模式的一般化与形式化是代数推 理的重要组成，一般化( 包括深思及逐步系统地表达一般化) 是代数的基础，代 数推理是学生对数据和数学关系进行一般化的活动，通过猜想和论证建立一般 7 化，并用逐步形式化的过程表达一般化。 本研究的研究对象是向代数学习过渡阶段的学生，他们虽然没有开始或刚刚 开始学习代数的表达及语法操作，但已经在小学阶段经历了数量关系比较的问题 解决，一般化以及问题情境的建模，具备一定的代数思维能力。因此本研究中对 代数思维的理解与后一种观点相似，即认为掌握代数符号的操作不是代数思维的 必要条件，因此在本研究中定义的代数思维更适合低年级学生，其定义为：通过 分析量之间的关系，注意结构，研究变化，一般化，问题解决，建模，验证，证 明，猜想等活动发展的思考方式，这些活动不局限于代数领域，字母符号可以作 为工具，但不依赖符号也可以进行。 2 3 模式的相关研究 2 3 1 对模式概念的界定 数学是模式的科学，数学的结构可以通过模式的概括而被发现理解。n c t m ( 2 0 0 0 ) 中将“理解模式、关系和函数 作为贯穿1 3 个年级的代数教学的主线， 建议学生有机会分析、扩展、一般化、表征模式，并以此作为代数思维的重要方 面。 n c t m ( 2 0 0 0 ) 并没有对模式作出明确的定义和说明，综合国内外的相关研 究，有关模式的定义主要有以下几种： r a n d a l li c h a r l e s 在n c t m2 0 0 5 年会上，提出模式作为l o 个代数核心观念 之一，是指一些数学情境中的数字和对象，可被用来定义关系和进行概括，是将 现实情境和数学问题联系起来的桥梁( c h a r l e s ，2 0 0 5 ) 。 史亚娟博士研究了儿童的模式能力，她定义模式是客观事物和现象之间本 质、稳定、反复出现的关系。模式是一个抽象概念，是从许多事物中抽象出来的 一种关系( 史亚娟，2 0 0 3 ) 。 曾晓新，唐彦芳( 1 9 9 4 ) 从三个方面对模式的概念作出解释。对于数学对象 而言，模式是反映事物量化规律的关系结构( 微观模式) ；对于数学理论而言， 模式是一种理论框架、规范化的样板( 宏观模式) ：对于数学活动而言，模式是 心智操作程序、参照和仿效的式样( 中观模式) 。 刘长明、孙连举在对n c t m ( 2 0 0 0 ) 的对比分析中，认为“模式指的是存在 8 于现实情境中的数量形式，关系指的是模式中的数量之间的联系，函数是对关系 的抽象概括，是模式中的一种( 刘长明等，2 0 0 4 ) 。 徐利治教授认为，数学模式是指“按照某种理想化的要求( 或实际可应用的 标准) 来反映( 或概括地表现) 一类或一种事物关系结构的数学形式。当然，凡 是数学模式在概念上都必须具有一义性、精确性、一定条件下的普适性及逻辑上 的演绎性( 徐利治，2 0 0 1 ) 。 c h a r l e s 、刘长明和孙连举对模式的界定比较具体，限于具体情境中的数量形 式、数量关系。曾晓新，唐彦芳界定的模式，在前一界定基础上又拓展到作为数 学理论和数学活动的模式。史亚娟对模式的界定则是宏观的，不限于数学领域， 是事物间的抽象关系。徐利治、郑毓信教授的观点是从数学哲学的角度对模式进 行了界定，较之前几个观点更抽象，是更一般的模式，不仅包括内容上的模式， 而且还包括数学方法以及思维的模式。 由于本研究侧重研究向代数过渡时期学生的一般化能力，所以不研究作为数 学方法和思维的模式，更偏向采用r a n d a l li c h a r l e s 、刘长明和孙连举等人对模 式的界定，即模式是数学情境中的数字和对象，可被用来定义关系和进行概括。 2 3 2 国内外研究中的模式问题 国内外研究中涉及的模式问题基本是提供一个问题背景，要求学生提供规则 确定模式中的其它具体例子及给出任意项的表达。其中模式类型有数字模式，图 形、几何模式，计算过程的模式，线性模式，二次模式，重复模式等。下面这道 是我国标准中的一道模式问题： 1 + 3 = ? l + 3 + 5 = ? 1 + 3 + 5 + 7 = ? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ? 根据计算结果，探索规律。 这是一个计算过程的模式问题，问题会引导学生思考：从上面这些算式中能 发现什么? 让学生经历观察( 每个算式和结果的特点) 、比较( 不同算式之间的 异同) 、归纳( 可能具有的规律) 、提出猜想的过程。教师也可以提供一些帮助。 如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律，进而鼓励学生推测出 9 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + 1 9 等于多少，此后，教师还可以根据学生的实际情况，把这个问 题进一步推广到一般的情形，推出l + 3 + 5 + 7 + + ( 2 刀一1 ) = 刀2 ，当然应该认识到 这个结论的正确性有待进一步证明。 oo o o o 0 oo ll + 3 4i + 3 + 5 - 9 国外有关这类模式问题的研究很多，通过模式问题，学生主动地从事观察、 比较、猜测、验证、推理与交流等数学活动，进而达到对数量关系进行一般化， 这是理解变量、函数等代数概念的基础并促进学生形成自己对数学知识的理解和 有效的学习策略。我国标准虽然没有明确提出模式问题的概念，但教学要求 中也有类似的问题，但针对这类问题所作出的教育研究很少。 2 3 3 对模式问题的界定 总结国内外研究涉及的模式问题，总结出这类问题的形式，在一个序列s 中 给出前面几项a ，p 2 ，p 3 ，n ，从这些特殊对象中a ，仍，p 3 ，既抓住共同性，将 这个共同性扩展或一般化到所有随后的项仇巾仇伽办+ 。，并能利用共同性给出 一个直接表达式来计算序列任意项。这个概念涉及许多方面，首先，一个局部共 同性，称之为c ，存在于s 的一些项中，这个过程需要个人决定什么是相同的什 么是不同的。第二，这个共同性c 被一般化到序列的所有项，在一般化过程的最 后，c 成为假设并推测出序列元素的表达式，序列的项的直接表达式需要一个明 确的规则。图1 总结了模式问题的结构。 图1 模式问题的结构 l o 1 的“幸运的一般化”，声称一般化是数学知识发展的核心，因为一般化中涉及更 高级别的思维，如抽象、整体思考、视觉化、灵活性和推理。m a s o n ( 1 9 9 6 ) 指 出，一般化是数学的心脏，如果教师忽视它的存在，忽视让学生表达自己的一般 化，那么数学思维就不存在了。 由于一般化是数学教育的核心以及一般化的目的不同，不同的研究者对一般 化的定义不同。 在哲学领域，一般化是人们认识事物普遍规律的一种方式，是由个别到普遍 的认识方法。在数学领域，波利亚( 1 9 8 2 ) 定义一般化“从考虑一个对象到考虑 包含那个对象的一个集合；或从考虑一个有限制的集合到考虑包含那个限制的更 广泛的集合 。根据波利亚，一般化是一个逐渐的过程。这个过程始于“尝试性 的一般化 努力理解观察到的事实，做类比，进一步检验特殊情况，最初尝 试性的一般化引出更好的一个一般化，一般化的确定需要可靠的数学证明。 k a p u t ( 1 9 9 9 ) 定义一般化涉及扩大已有的推理或交流的范围，明确地识别 和呈现对象的共同性，或把推理交流的水平从个例和特有情境提高到模式、程序、 结构和关系水平，但表达一般化是使用某种语言描述一般化，如形式化语言，对 儿童来说可以是语调和动作。 p i a g e t ( 1 9 7 0 ) 把一般化看作更高水平的操作，是由不断反省抽象发展来的。 d u b i n s k y ( 1 9 9 1 ) 用p i a g e t 反省抽象的观点，提出了图式的概念，以理解数学过 程的结构。图式包括认知对象和内部过程。认知对象是处理各种经历的结构( 知 觉、行为、思考) ：内部过程是心理上操作认知对象的能力。d u b i n s k y 认为一般 化是在新的、不同以往的情境中表征、使用一个现有图式( s r i r a m a n ，2 0 0 4 ) 。 s k e m p ( 1 9 8 6 ) 年写道：数学的一般化是一个复杂且强有力的活动，复杂因 为它需要深思方法的形式而临时忽略具体内容。强有力是由于它是有意识的，控 制的，并精确的重建现有图式。不是遇到新情境后回应同化的需求，而是先于这 种需求。 k r u t e t s k i i ( 1 9 7 6 ) 给出了一般化传统但操作的定义。任何数字和符号领域的 有效的一般化可以从两方面看待：一方面必须看见一个相似的情境( 应用到哪 里) ，另一方面必须掌握解法的一般类型、证明的一般体系( 应用什么) 。每一 方面都需要对特