（基础数学专业论文）基于区间值模糊集的三i推理算法研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 f m p ( 肯定前件式) 和f m t ( 否定后件式) 是模糊推理的两种基本模型 对f m p 和f m t 模型的研究是模糊推理理论研究的核心问题之一，三i 推理是针对f m p 和f m t 模型的一种新的模糊推理方法，区间值模糊推 理在实际中具有广泛的应用背景为此本文研究基于区间值模糊集的三i 推理算法，主要做了如下两方面的工作 1 关于区间值及区闯值模糊集的研究 给出了区间值的偏序关系，区间值的交，并，补，蕴涵及r 一模运算：给 出了区间值模糊集的偏序关系，以及区间值模糊集的交，并，补，蕴涵，模交， 模并等运算和性质这是研究区间值模糊推理的基础 2 基于区间值模糊集三l 推理算法的研究 首先研究了一类较广泛蕴涵算子下基于z a d e h 模糊集的三i 推理算 法接着研究了两类不同蕴涵算子下的区间值模糊集的三i 推理算法给 出了k ，明一三if m p 和陋，用一三if m t 原则，研究了陋，用一三if m p 及陋，仞一三if m t 算法，得到了推广的三i 解讨论了区间值模糊推理三 i 算法的还原性。最后给出了l u k a s i e w i c z 蕴涵算子下基于z a d e h 模糊集 的反向三i 推理算法 关键词区间值区间值模糊集模糊推理三i 推理算法还原性 反向三i 推理算法 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 l 页 a b s tr a c t f u z z ym o d u sp o n e n s ( f m p ) a n df u z z y m o d u st o l l e n s ( f m t ) a r et w o k i n d sf u z z yr e a s o n i n gm o d e l s i ti so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf i e l d s t o i n v e s t i g a t e f m pa n df m tr e a s o n i n gm o d e l so nt h e t h e o r y o ff u z z y r e a s o n i n g ，t r i p l e im e t h o di san e wk i n df u z z yr e a s o n i n gm e t h o dw i t h r e s p e c tt of m p a n df m t r e a s o n i n gm o d e l s i n t e r v a l v a l u e df u z z yr e a s o n i n g i ss p e c i a lr e a s o n i n gm e t h o d t h e r e f o r ei ti sg i v e ni nt h i sp a p e rt h a tt r i p l e i a l g o r i t h mo ff u z z yr e a s o n i n go ni n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s i sd i s c u s s e d ， t w o p a r t sa r ei n c l u d e d a sf o l l o w i n g p a r to n eo nt h es t u d yo fi n t e r v a lv a l u ea n di n t e r v a l v a t u e af u z z ys e t s i ti s g i v e n t h a td e f i n i t i o n so fp s e u d o o r d e r ，i n t e r s e c t i o n ，u n i o n ， c o m p l e t e ，i m p l i c a t i o na n d t - - r l o r l r lo ni n t e r v a lv a l u ea n di n t e r v a l 。v a l u e d f u z z ys e t s ，t h e i rp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y i t i st h ef o u n d a t i o no n s t u d y i n gi n t e r v a l - v a l u e df u z z yr e a s o n i n g p a r tt w o t r i p l eim e t h o d o ni n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s f i r s to f a l l ，i ti si n v e s t i g a t e dt h a tt r i p l eia l g o r i t h m o nz a d e hf u z z ys e t s u n d e rag e n e r a li m p l i c a t i o no p e r a t o r s e c o n d l y , i ti sa l s oi n v e s t i g a t e dt h a t t r i p l eia l g o r i t h mo ni n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t sr e n d e rt w ok i n d sd i f f e r e n t _ i m p l i c a t i o no p e r a t o r s 【口， 一t r i p l e if m p p r i n c i p l ea n d 口， 一t r i p l e i f m t p r i n c i p l ea r eg i v e n ，a l la l g o r i t h mw h i c h c a l lb eo b t a i n e dt h es o l u t i o no f 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 ii 页 【口，卢 一t r i p l eif m pa n d 口，卢 一t r i p l eif m t i sg i v e n i ti sa l s od i s c u s s e d t h a tt h es o l u t i o n so f t r i p l eif m pa n dt r i p l eif m t a r er e d u c t i v er e s p e c t i v e l y o ns o m e s p e c i a lc o n d i t i o n s f i n a l l yo p p o s i t ed i r e c t i o nt r i p l eim e t h o du n d e r l u k a s i e w i c z i m p l i c a t i o no p e r a t o ro n z a d e h f u z z y s e t si sd i s c u s s e d k e y w o r d si n t e r v a lv a l u e ，i n t e r v a l v a l u e df u z z ys e t s ，f u z z yr e a s o n i n g ，t r i p l e im e t h o d ，r e d i a c t i v i t y ，o p p o s i t ed i r e c t i o nt r i p l eim e t h o d 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 引言 1 1 1 模糊推理概述 第1 章绪论 1 9 6 5 年，美国加利福利亚大学的控制论专家l a z a d e h 教授发表了题 为“模糊集”( f u z z ys e t s ) 1 1 和“模糊集与系统”( f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ) 2 1 两篇 开创性的论文，奠定了模糊数学理论和应用的基础三十多年来，数学王国里 的这支奇葩在广大科技工作者辛勤劳动下得到了迅猛的发展，这种研究在 理论与应用方面都取得了丰硕的成果，相对而言，模糊系统研究在应用方面 取得的成功似乎更为引人注目，特别是模糊控制技术被广泛应用于包括各 类家电产品在内的各工业领域作为模糊控制的理论基础，模糊推理的理论 与方法研究也因此受到了学术界的广泛关注，成为模糊数学与应用研究的 热门研究方向之一 在现实生活中，人们常常进行如下形式的推理 “如果是红灯信号，则停车现在是红灯信号，因此停车” 这里，“如果是红灯信号，则停车”是推理所必须服从的规则，由于“现 在是红灯信号”( 推理的前提) ，因此根据这个规则得出推理的结论是 “停车”。这一推理可以用下式表示： 规则如果是红灯信号，则停车 前提红灯信号 结论停车 这就是著名的三段论推理 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 在现实生活中，人们也常常考虑如下推理 “如果苹果个儿大，则价格较高。现在苹果个儿稍大，价格如何? ” 这一“推理”可以用下式表示： 规则如果苹果个儿大，则价格较高 前提个儿稍大 结论价格?( 1 1 2 ) “推理”( 1 1 2 ) 与“推理”( 1 ，1 1 ) 相比有两个明显不同之处： ( i ) 前提与规则的条件部分( 即“个儿大”) 不一致，因此一 般说来，结论也将与规则的结论( 即“价格较高”) 不一 致 “大”、“稍大”、“较高”都是模糊概念，因此般说 来，结论也是模糊概念 用x 表示“个儿”( 设其论域为x ) ，y 表示“价格”( 设其论域为 y ) ，x 上模糊集4 ，a 分别表示模糊概念“大”、“稍大”，y 上 模糊集b ，占+ 分别表示模糊概念“较高”及结论中“? ”，并用“爿叶日” 表示“如果，则b ”，那么，可以将( 1 1 _ 2 ) 改写成如下模型 f m p 问题( f u z z y m o d u sp o n e n s ) 规则 4 一占 事实 a + 求 b ( 1 1 3 ) 另外还存在一种模型 f m t 问题( f u z z y m o d u s t o l l e n s ) 规则彳斗曰 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 事实 求( i 1 4 1 其中a ，a + 是某论域x 上的模糊集，占，占是论域】，上的模糊集，即 a ，a f ( x ) ，b ，b 芒f ( y ) 推理模型( 1 1 3 ) 与( 1 1 4 ) 是模糊推理的典型模型，对此，l a z a d e h i 3 】己 于1 9 7 3 年提出了求解f m p 与f m t 问题的合成推理c r i 方法继l a z a d e h 之后，j f b a l d w i n ，t s u k a m o t o ，s u g e n o - - t a k a g i ，d u b o i s - - p r a d e ，y a g e r ，陈永义， 徐扬，吴望名，应明生等在文献 4 一 1 2 中也对模糊推理模型的方法进行了 广泛的研究，分别提出了真值限定( t v r ) 的模糊推理方法，广义假言推理，多 重模糊推理，多维模糊推理，多重多维模糊推理方法，研究了模糊推理的单 调性，各种模糊推理之间的等价条件等等汪培庄等人在文献 1 3 1 4 】中提 出了因素空间的概念和真值流推理方法，该方法能与神经网络及现有的模 糊推理方法衔接起来，并对模糊推理机的研制具有指导意义，徐扬在文献 1 0 中基于两条推理原则提出了一种新的模糊推理方法，此外，还有一些类 似人类推理的近似推理方法如合情推理，量化命题的推理方法 1 5 等等此 后针对c r i 方法人们进行了大量的研究并提出了许多新的派生推理方法 由于c r i 方法一般不具有还原性，文献1 2 对于某些常用的复合运算与蕴 涵算子讨论了c r i 方法的m p 近似特征， z a d e h 的c r i 方法实际上只使用一次推理( m f e r 矗c e ) 一b ，当给定 a 去求b 时，它不再考虑4 - 占及其与爿一口之间的逻辑蕴涵关系，而 是简单地让a + 与a 寸b 复合以求得b ，这种算法在计算上是简便的，但是 它缺乏严格的逻辑依据，因而不可避免地受到学术界以及领域专家的怀疑 与批评因此，近年来模糊推理逻辑基础问题受到极大的关注经过诸多学 者的共同努力，已取得了一些有意义的成果，其中我国学者王国俊教授在模 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 糊逻辑和模糊推理的结合研究方面所取得的成果受到国内外同行的关注 1 2 0 , 2 7 , 4 2 , 4 7 特别是，王教授首先提出了在每一步推理都使用蕴涵运算的全蕴 涵三i 算法【1 6 ，有效地改进了经典的c k i 算法，并使用部分赋值理论从语义 上将三i 算法纳入模糊逻辑框架之中。其基本思想是： 已知a f ( z ) ，b f ( y ) ，且给定a + f ( x ) ( 或b f ( y ) ) 寻求最优的 b + f ( y ) ( 或a f ( x ) ) ，使得a - b 最大程度地支持a + 一b 即对任意 算x y 】， ( 爿( x ) 曰( _ y ) ) ( 4 + ( x ) 一b ( y ) )( 1 1 5 ) 具有最大的可能值 王国俊提出三i 算法后又有不少学者对这种三i 推理算法进行了深入 研究宋士吉，吴澄m “8 1 提出了模糊推理的反向三i 约束度理论，并给出了 蕴涵算子取r 。的反向三i 算法，洪平洲1 1 ”讨论了不同蕴涵算子的三i f m t 算法，周保魁，王国俊印1 分别给出了蕴涵算子取为r l ，r g r 和k 时f m p 模 型的三i 算法，裴道武给出了f m t 问题的两种三i 算法及其还原性，文 献【2 2 】讨论了一类较为广泛的蕴涵算子( 剩余型蕴涵) 下的三i 推理算法 及其还原性。以上的模糊三i 推理都是基于z a d e h 模糊集进行讨论。 1 1 2 本文的研究工作 近几年来，对区间值模糊集的研究兴趣与曰俱增，其主要原因是在 实际应用中，模糊集的隶属函数往往不易确定，而区间值隶属度相对而 言较易确定，此外，模糊推理的结果用区间值模糊集来表示更能反跌日 常推理的模糊性。1 9 8 5 年d g s c h w a r z t 2 3 1 讨论了语言真值的区间表示， 1 9 8 6 年i t 3 t u t k s e n l 2 4 1 研究了基于范式的区间值模糊集，1 9 8 9 年a t a n a s s o v 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 等吲引入区间值直觉模糊集。这些文献中对区间值模糊集的基本运算交 和并大多是作为z a d e h 模糊集的推广来定义，而区间值模糊推理也是普 通模糊推理的推广。随后1 9 9 1 年吴望名教授脚1 提出了区间值模糊集的一 组新的交并运算，进而讨论了区间值模糊关系的合成运算，给出了区间 值模糊推理的合成规则，1 9 9 9 年王国俊教授鲫提出的区间值模糊推理问题 是基于规则的前件为区间值模糊集，而规则的后件，事实及结论都为z a d e h 模糊集的f i r eo n eo rl e a v e ( f o o l ) 原则推理算法。文献【2 8 针对规则前 件，后件和事实都是区间值模糊集给出了c r i 算法，这些文献多是讨论 区间值模糊推理的c r i 算法。 蕴涵算子的多样性是模糊逻辑区别于经典二值逻辑的本质特征之 一。在模糊逻辑中，人们针对不同具体问题提出了不同的蕴涵算子。由 于采用的蕴涵算子的不同，所得的结论常常不同，因此模糊推理呈现出 多样性。e h m a m d a n t 8 l , w b a n d l e r ，l ，k o h o u t i ”1 与m ，m i z 啪o t o 嗍相继定义 了不同的蕴涵算子，同时归纳列出了十五个蕴涵算子的定义，并对不同的 蕴涵算子作了分析比较。法国学者d d u b o i s 和h p r a d e m l 提出了蕴涵算子 的公理系统，即著名的d - p 条件。王国俊对d p 条件进行了分析讨论，指出 各个条件之间的关系 我们知道如果( 1 1 3 ) 及( 1 1 4 ) 中的模糊集都是区间值模糊集 万，万+ ，百，百时，那么( 1 1 3 ) 及( 1 1 4 ) 就成了如下区间值模糊推理两个重 要模型 f m p 问题( f u z z y m o d u sp o n e n s ) 规则a l 丑 事实4 求( 1 1 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 f m t 问题( f u z z y m o d u st o l l e n s l 规则彳与百 事实百 求j ( 1 1 7 ) 其中j ，万+ 是某论域x 上的区间值模糊集，百，百是论域y 上的区间值模糊 集，即j ，a 一f ( r ) ，b 一，b 一f 一( r ) 相应地，( 1 1 5 ) 变成如下区间值模糊集的全蕴涵三i 推理 己知孑童f ( x ) b e f ( y ) ，且给定一a f ( x ) ( 或b 一f ( y ) ) 寻求最优 的百p ( h ( 或a 一f ( 盖) ) ，使得j o 百最大程度地支持j + 与百+ 即 对任意x x ，y y ( j ( x ) 百( y ) ) 上( j + ( 工) _ 百+ ( y ) )( 1 1 8 ) 具有最大的可能值 从现有的文献来看，研究三i 算法多是基于z a d e h 模糊集，区间值模糊 推理多是考虑c k i 方法我们试图把区间值模糊集和三i 推理结合起来， 研究区间值模糊集的三i 算法，得n t 更为一般的结论，基于z a d e h 模糊集 的三i 推理是基于区间值模糊集三i 推理的特殊情形 本文是基于王国俊教授提出的三i 推理思想，从蕴涵算子的定义出 发，借助蕴涵算子的性质，讨论两类较为广泛蕴涵算子下基于区间值模糊 集的三i 推理算法，并在满足某些条件下讨论模糊推理还原性问题。 本文由三章组成。第1 章为引言，第2 章为本文的基础理论部分， 主要介绍区间值及区间值模糊集的基本概念及其运算性质，第3 章是本 文的核心部分，主要讨论模糊推理的三i 算法及其还原性问题。3 1 讨 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 论推广蕴涵算子下基于z a d e h 模糊集的口一三i 推理算法，三i 推理及其 还原性3 2 讨论剩余型蕴涵算子下基于区闻值模糊集的【口，仞一三i 推理 算法，所得结果是一个区间值，最后给出一个实例，运用c r i 方法和三i 方 法进行推理，得到的结果都有其合理性3 3 针对另一类具有换质位子。” 蕴涵算子，讨论区间值模糊集的【口，用一三i 推理算法，三i 推理算法及其 还原性问题3 4 针对l u k a s i e w i c z 蕴涵算子，讨论基于z a d e h 模糊集的 反向三i 推理算法 1 2 预备知识 定义1 2 1 设p 是一个集合，p 上的二元关系“”称为一个偏序 关系，如果对任意盘，b ，c p ，如下三条性质成立： ( i ) 反身性：矗口 ( i i ) 反对称性：a b ，b j a = b ( i i i ) 传递性：a b ，b c j a c 一个具有偏序关系“”的集合p 称为一个偏序集，记为( p ，) 定义1 2 2 设( p ，) 是偏序集，若对任意的a ，b e p ，a v b ， a b 都存在，则称( p ，) 为一格 定义1 2 3称格l 是一完备格，如果对工的任意非空子集a ，v a ，八a 都存在。 定义1 2 4 设是一个格，称是分配格，如果它满足分配律： vd ，6 ，c l 口八( b vc ) = ( a a b ) v ( a a e ) ：口v ( b 八c ) = ( 口v b ) a ( a v c ) 定义1 2 5 称犯，v ，a ，) 为有余格，如果满足： ( 1 )犯，v ， ) 为一格； 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 ( 2 ) ：l l 为一逆序对合映射，即对任意d b l 若口 占= 露，则口t , b = ，o ) 7 = 口。 定义1 2 6 函数o ：i i _ ，( i = 【o ，1 】) 称为丁一模，如果满足： 对任意口，b ，c ，d ， ( 1 ) a o b = b 圆口 ( 2 )2 o ( b o c ) = 0 0 b ) o c ( 3 )当d c ，b d 时，0 6 c o d ( 4 ) d 0 1 = 口 如果。满足( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 和( 5 ) 口0 0 = 口 则函数。称为s 一模 定义1 2 7 。”二元函数r ：【o ，1 】【o ，1 】斗 o ，1 】为 0 ，1 】上的 蕴涵算子，如果满足： ( 1 ) r ( 1 ，0 ) = 0 ，r ( 0 ，0 ) = r ( o ，1 ) = r ( 1 ，1 ) = 1 ； ( 2 ) r 关于第一个变量单调减，关于第二个变量单调增。 一般来讲，蕴涵算于是一个满足一定条件的二元函数有不同的定义 方式，法国学者d d u b o i s 与h p r a d e 对蕴涵算子提出了十个条件，即如下 的d _ p 条件 i )口口时，r ( a ，b ) r ( d ，b ) ，2 )b b 时，r ( a ，b ) r ( a ，b ) ， 3 ) r ( o ，6 ) = 1 ，4 ) r ( 1 ，6 ) = b ， 5 ) r ( d ，6 ) b ，6 ) r ( ，口) = 1 ， 7 ) r ( a ，( 6 ，c ) ) = g ( b ，( d ，c ) ) ，8 ) r ( a ，b ) = 1 当且仅当4 蔓b 9 ) r ( a ，b ) = g ( b ，口) ，l o ) r ( x ，y ) 关于x ，y 连续 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 第2 章区间值及区间值模糊集 本章主要讨论区间值及区间值模糊集的概念、运算和性质，它是区 间值模糊推理的基础。 2 1 区间值 定义2 1 1 。2 1 称闭区间万- 【口一，a + ( 0 口一蔓4 + 1 ) 为区间值，记区 间值的全体为3 0 , 1 _ _ ：五= a , a + 】垦 o ，1 】) 。显然口= 【口，a 为特殊区间 值。 定义2 1 2 m 1 ( 1 ) 万的否定：、万= 【1 一以，1 一以 ： ( 2 ) 万，i 的逻辑和：万v 石= 口一v b ，a + v 以 ( 3 ) 万，i 的逻辑积：万 云= 【口一 6 - ，+ 6 + 】。 定理2 1 1 3 对任意万，f ，石研0 ，1 ，以下各式成立。 iv b = 6v 万，万ab = 6 万i 万v ( f v 石) = ( 万v i ) v 石，万八( f 八石) = ( 万八i ) 八i 万v ( i 八万) = ( 万v i ) 八( 万v 石) ， 万a ( f v 亭) = ( 万八石) v ( 万八石) ： 万v 百= 万。万八万= 万： a - v ( 百八b ) = 万 ，万八( 万vb ) = 万； 、( 一a - ) ：- 万 ： 、( 万vb ) 万八，b ， - , ( a - b ) = - 万v 1 b ； 万八l = 万，万v0 = 万： 万v 】= 】 ，百八0 = 0 m 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 0 页 证明：只给出( 3 ) 与( 7 ) 的证明，其它的证明雷同。 记万= 【口一，a + 】，b = 垃，以】，五= i t _ ，c + 】 ( 3 ) 万v ( i 八石) = 口一，口+ 】v 6 - 八c 一，b + 八c + 】 = 以一v ( 6 - ac - ) ，口+ v ( 6 + 八q ) = 口一v t ，口+ v 以】八 口一vc 一，口+ vc + 】 = ( 万v i ) a ( 万v 舌) 类似可证i 八( i v 石) = ( 万八b - ) v ( 万八石) ； ( 7 ) ( 万v 石) = 一 d v6 - ，口+ v b + 】 = 【1 _ ( 口+ vb + ) ，1 一( 口一v6 - ) 】 = ( 1 一。) 八( 卜b + ) ，( 1 - 一) a ( 卜6 _ ) 】 = 【1 一口+ ，1 - a 一】八 卜b + ，1 - 6 - ；- 1 万八- 1 石 类似可证( 万八f ) = ，万v ，b - 。 推论2 1 2 ( 3 【0 ，1 】，v ， ) 成为完全分配格。 推论2 1 3 ( p r o ，1 】，v ， ，) 是一完备的d em o r g a n 代数a 定义2 1 3r 3 2 设万= 口一，口+ 】i = 【n ，以】3 【0 ，1 ，如果口一b 且d + b + ，贝0 记石s 2 b 。 显然，以下的( i ) 一( i i i ) 成立。 ( i ) 万s f 曹口一6 且口以： ( i i ) 引o ，1 】上的关系 b ( y ) ) _ 。( y ) 一a 。 ) ) ) = a ( b ( y ) - - - ( ( 4 ( x ) b ( y ) ) 斗a 。( y ) ) ) = b 。( y ) 一位斗 d ( y ) = d ( y ) - - - 位呻( ( 4 ( 曲寸占( y ) ) 一a 。( 功) ) = a - - ( d ( y ) 斗( ( 一( z ) _ b o ) ) 斗a 。( x ) ) ) = 口- - ( ( 爿( x ) 哼b ( 力) _ ( 4 ( x ) 一d ( y ) ) ) = 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 可得缸- 4 ( ( a 0 ) 一日( y ) ) _ a ( x ) ) ) 7 s d ( y ) ，从而 口( j ，) = s u p ( a ( ( 彳( z ) 丑( y ) ) 哼a 。( x ) ) ) sd ( y ) x e x 推论3 1 1 在定理3 1 1 中，若蕴涵算子”_ + ”取为r 。，则 口+ ( y ) = a ! 蓝( ( 彳( x ) 一b ( y ) + a “( x ) ) v 4 。( x ) ) ，y y ( 3 1 3 ) 其中d 。= z r ：口 a 。( 五) v ( 4 ( 上) 一丑( y ) + 爿。( 工) ) 证明 当蕴涵算子”斗”取为r 。时， ( 爿( j ) _ 占( y ) ) _ a 。( x ) = ( 1 一a ( x ) + 曰( y ) ) a l 4 l ( 工) = ( ( z ( 工) 一君( y ) + 4 。( 羔”v a ( z ) ) 1 = ( ( 以( j ) 一b ( y ) + a 。( i x t ) v a 。( z ) 故 ( 口 ( ( ( z ) 四( _ y ) ) 一a 。( 工) ) ) = ( 口一( ( 一( 工) b ( y ) ) a o ( z ) ) ) v 0 = ( ( a 一4 ( 工) + 曰( y ) 一a ( 工) ) ( 口一a ( 力) ) v 0 于是，x d y 时，_ ( ( 爿( x ) _ 曰( y ) ) 斗( 工) ) ) = 0 ，x d y 时 ( o t 一( ( 爿( x ) _ b ( y ) ) _ a 。( 曲) ) = ( 口一a ( 工) + 占( y ) 一a 。( 工) ) ( 口一a ( 工” = g 一( ( 4 ( x ) + b ( 一a 。( 瑚v a 。( ) 从而 b ( y ) = s u p ( a ( ( 一( x ) - - ) b ( ) ，) ) 一+ a ( 工) ) ) 7 z e x ：s u p ( a 一( ( 4 ( x ) + b ( y ) 一a 。( x ) ) v a 。( z ) ) ) z e n = 口一i n f ( ( 4 ( 工) + b ( y ) - a 。( x ) ) v a 。( x ) ) 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 4 页 推论3 1 2 在定理3 1 1 中，若蕴涵算子”斗”取为r o ，则 b + ( y ) = s u p ( 4 ( x ) r o ( 4 ( 曲，b ( y ) ) ) 口y y ( 3 1 ，4 ) x e e p l q k ” 其中e 。= x x ：a ( 工) + 月o ( 4 ( x ) ，b ( y ) ) 1 ) k 。= x x ：口+ a + ( x ) r ( 爿( 工) 口( y ) ) 1 ) 证明若z e y ，即( 曲+ 民( 4 ( 工) ，曰( y ) ) 1 ，故 缸一( 彳( 工) 斗b ( y ) ) 斗a 。 ) ) ) = 陋j 1 ) = 0 ； 若x 甚k 。，则口+ 4 ( 砷a r o ( 4 ( 工) ，b ( y ) ) 1 ， 即( a ( x ) ) v r 。( 4 ( 工) ，曰( y ) ) 口， 故( 4 ( x ) - - f f b t y ) ) 一a ( 石) ( 一( z ) ) 7 v r o ( a c x ) ，b ( y ) ) 口 m - a t (