（概率论与数理统计专业论文）一些随机变量序列部分和的大偏差定理.pdf

中文摘要 中文摘要 近两个世纪以来，有关随机变量序列部分和的各种收敛性问题，如大数定律和 中心极限定理等，一直是概率极限理论研究的主要问题，而关于随机变量序列部分 和的大偏差却研究得很少 设 】，n 1 是定义在概率空间( n ，芦，p ) 上的随机变量序列，岛= 鳌1 五， 妒，n21 ，1sp w ) = 0 ，z 0 更一般地，如果随机变量序列 ，n 1 ) 是强平稳的，则遍历性定理蕴含了 上述结果仍然正确有关p ( i 岛i n z ) 的收敛速度的问题，已经引起了很多学者 的关注，在这中间，n a g a e v ( t h e o r yp r o b a b a p p l 1 0 ( 1 9 6 5 ) ，2 1 4 - 2 3 5 ) 得到了估计t p ( j & l t 1 ) = o ( n 1 一p ) ， 1 p n ) e 一一1 扫，这个估 计对于强平稳和遍历的鞅差序列来说是最优的；如果鞅差序列 ，n 1 ) 满足 墨2 ，2 p n ) c n p 2 ，并且还证明了这个估计对于强平稳和遍历的鞅 差序列来说也是最优的；y u l i nl i ( s t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t yl e t t e r s ，6 2 ( 2 0 0 3 ) ，3 1 7 - 3 2 1 ) i 中文摘要 又将此结果推广到p ( 1 ，2 】的情形，利用b u r k h o l d e r 不等式g 不等式和鞅的极 大值不等式得到了估计- p ( i 岛l n ) m 1 ，在一定情况下，这个估计是最优的 本文主要利用p 混合序列妒混合序列f 混合序列，驴混合序列、n a 序列 、m - z 序列和线性过程序列的一些矩不等式，研究了它们的部分和序列岛的大偏 差定理，并且得到了与独立序列和鞅差序列类似的大偏差定理 关键词：大偏差；p 混合序列；妒混合序列；p 混合序列；庐混合序列；n a 序列；m - z 序列；线性过程序列 i i 英文藕要 a b s t r a c t i nr e c e n tt w oc e n t u r i e s ，k i n d so f c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sf o rt h ep a r t i a ls u m so f r a n d o m v a r i a b l es e q u e n c e s ，s u c h s t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r sa n dc e n t r a ll i m i tt h e o r e m ，h a v e b e e nt h ek e ys u b j e c t sf o rp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yr e s e a r c h b u tl a r g ed e v i a t i o n sf o rt h e p a r t i a ls u m so fr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e sh a v es e l d o r ab e e ns t u d i e d l e t 五 ，n 1 ) b ear a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e 8d e f i n e do l laf i x e dp r o b a b i l i t ys p a c e ( n ，y ，p ) ，a n dl e t 岛= 冬l 墨，2 ，t l 1 ，1 p n x ) = 0 ，z 0 m o r eg e n e r a l l y , i ft h es e q u e n c e 矗，n 1 ) i ss t a t i o n a r y ( i nt h es t r o n gs e n s e ) ，t h e n t h ee r g o d i ct h e o r e ma s s e r t st h a tt h er e s u l ti ss t i l lt r u e i nr e c e n ty e a r s ，s o m ea u t h o r sh a v e p a i dm u c ha t t e n t i o n st ot h ep r o b l e mo fg r o w t hr a t eo fp ( i 岛l n x ) ，f b re x a m p l e ，n a - g a e v ( t h c o r yp r o b a b a p p l 1 0 ( 1 9 6 5 ) ，2 1 4 - 2 3 5 ) g o tt h ee s t i m a t i o np ( i 岛| n ) ；o ( n 1 - p ) f o r 置2 ，1sp n ) se - w 5 ，t h i sb o u n d i so p t i m a lf o rt h ec l a s so f m a r t i n g a l ed i f f e r e n c es e q u e n c e s w h i c ha r ea l s os t r i c t l ys t a t i o n a r ya n de r g o d i c ；i ft h es e q u e n c e 五l ，n 1 i sb e l i n d e di n 妒，2 p n ) sm p 2 ，w h i c hi sa g a i no p t i o n a lf o rs t r i c t l ys t a t i o n - a r ya n de r g o d i cs e q u e n c e so fm a r t i n g a l ed i f f e r e n c e ；y u l l nl i ( s t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t y l e t t e r s ，6 2 ( 2 0 0 3 ) ，3 1 7 - 3 2 1 ) g e n e r a l i z e dt h er e s u l t t ot h ec a s ef o r1 n ) sc n l - p ，t h e s ea r eo p t i m a li nac e r t a i ns e n s e i nt h ep a p e r ，w es t u d yt h el a r g ed e v i a t i o n sf o rt h ep a r t i a ls u i l ho fp - m i x i n gs e - i i i 英文摘要 q u e n c e ，妒- m i x i n gs e q u e n c e ，芦m i x i n gs e q u e n c e ，庐- m l x i n gs e q u e n c e ，n as e q u e n c e ，m - 压 t y p es e q u e n c ea n dl i n e a rp r o c e s ss e q u e n c eu s i n gs o m em o m e n ti n e q u a l i t i e s ，a n do b t a i n t h es i m i l a rr e s u l t so p t i m a lu p p e rb o u n d sf o ru ( i 晶i n ) a st h 0 6 ef o ri n d e p e n d e n ta n d i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e ds e q u e n c ea n dm a r t i n g a l ed i f f e r e n c es e q u e n c e k e y w o r d s ：l a r g ed e v i a t i o n s ，p - m i x i n gs e q u e n c e ，妒- m i x i n gs e q u e n c e ，芦m 龇s e - q u e n c e ，乒- m i x i n gs e q u e n c e ，n as e q u e n c e ，m - z - t y p es e q u e n c e ，l i n e a rp r o c e s ss e q u e n c e i v 符号 说明 i i d m ，p ) 岛( 刁 c o r r ( x ，y ) 1 3 a 7 x e x 口( 置，i i ) d i s t ( 最t ) l o g x 符号说明 独立同分布 高阶无穷小 几乎处处 概率空间 所有，可测且p 阶绝对矩有限的随机变量全体 随机变量x 和y 的相关系数 随机变量x 的方差 随机变量x 的期望 随机变量 由随机变量( 置，i i ) 生成的口域 集合s 和t 的距离 记l o g e x v i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得到数火亏或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文储始多弓盲签字日期沙7 年r 月” 学位论文版权使用授权书 、 ： 本学位论文作者完全了解凌 畚爻必亏有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权燃吾可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：彦芬辱 签字魄1 年芦月7 丑 学位论文作者毕业去向： 工作鞭喀煽敦弓豸彩 通讯地址：抽戈强，豸百自 导师签名 签字峨细j 7 年f 月7 日 0 牛p v 7 千， p 矿 。 5 弓，话编电邮 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 近两个世纪以来，有关随机变量序列部分和的各种收敛性问题，如大数定律和 中心极限定理等，一直是概率极限理论研究的中心问题，而关于随机变量序列部分 和的大偏差却研究得很少 设 ，n 21 ) 是定义在概率空间( q ，_ ) 上的随机变量序列，& = 翟lx i ， 妒，l21 ，1 p ) 20 ，? 0 更一般地，如果随机变量序列 弱，n 1 ) 是强平稳的，则遍历性定理蕴含了 上述结果仍然正确有关p ( i 晶i 一) 的收敛速度的问题，已经引起了很多学者的 关注，在这中间，n a g a e v 1 】得到了估计。肛( i 晶i n ) = o ( n 1 1 ) ，1 p n ) e m v 3 ，这个估计对于强平稳和遍历的鞅差序列来说是最优的；如 果鞅差序列 ，n 2 1 满足t 置妒，2 p ( o o ，l e s i g a e 和v o l n y 2 又得到了如 下的估计， 1 一些随机变量序列部分和的大偏差定理 定理a 【2 】设p22 ， x l ，恐，是一个有限的鞅差序列，且对每一个 1 i n ，五口，j i 五i i p 圭( g l x d ) 1 p m 0 ，则 p ( 酬 ) ( 1 8 p q l 2 ，m 妒p n p ，2 其中q 是一个实数，并且满足1 p + 1 q = 1 l e s i g n e 和v o l n y 【2 】还证明了上述这估计对于强平稳和遍历的鞅差序列来说也 是最优的 y u l i nl i 3 1 又将此结果推广到p ( 1 ，2 】的情形，利用b u r k h o l d e r 不等式和g 不 等式，他得到了如下的结果； 定理b 【目设p 1 ， 置，x 2 ，一，j 乇) 是一个有限的鞅差序列，且对每一个 1 i n ，玉妒，则 啄，引五i ，e i s ，2 1 晖e i x t i 啄9 2 - 1 e l x d s e i s 1 9 s 蟛e i x i l ，1 p 2 其中。唧= 1 8 p q ，= 1 8 p q ”，并且q 满足1 p + 1 q = 1 利用定理b 和鞅的极大值不等式，y u l i nl i 3 1 还得到了部分和品的大偏差结 定理c 【3 】设1 n z ) 万m r 晖n 1 一p 2 第一章绪论 p ( m m a x 。i 最1 一) s 万u p 晖n 1 1 其中，6 p = l s p q ，并且g 满足1 p + 1 q = 1 受到文献 2 】和文献【3 1 的启发，本文将重点研究p 混合序列、妒混合序列，f 混合序列、庐混合序列、n a 序列、m - z 序列和线性过程序列的大偏差，并且得到 了与独立序列和鞅差序列类似的大偏差定理 1 2 重要的不等式和引理 在本文中，将用到一些重要的不等式和引理，具体如下z 一、重要的不等式 1 m i n k o v s k i 不等式【qz 设p 1 ，若e ( i x i n ) 0 0 ，e ( i y p ) ，则 ( e i x + y i p ) 1 p ( e x i p ) 1 p + ( e i y i n ) 1 i , 若0 1 , 3 m a r k o v 不等式【4 】，设p 0 ，若e ( i x i ) 0 ，成立 p ( i x i2t ) 丁e ( i x i p ) 一些随机变量序列部分和的大偏差定理 特别地有p ( x e x l2 t ) s 墨址羔产 4 j e n s e n 不等式【4 1 设随机变量x 取值于区间( 口，b ) ，一a 1 ， ，n 1 ) 是均值为0 的p 混合序列，存在某个 0 0 ，使p ( n ) = d ( n 一8 ) ，。并且对每个 2 1 ，引五l 则对任意整数m 2 1 ， 存在正常数c ( m ) ，使得 e i s 。i c ( m ) n 6 ( “e i x i i ) ，1 2 ( 2 2 2 ) 其中6 ( m ) = ( p 一1 ) a m ，0 口 1 注2 2 1 由于0 n 1 ， ，n l 是均值为0 的p 混合序列，如果存在某个 口 0 ，使得p ( n ) = o ( n 一9 ) ，则对任意正整数m 1 ，存在正常数c ( m ) ，有 e i s i ps2 c ( m ) n 6 ( “) 押2 1 e i x i l ，p 2 ，v n21( 2 3 1 ) 进步假定对所有的i 1 ，i i x d l p 圭( e i x d p ) 1 p s m 0 ，有 p ( 1 5 1 ) 万m p g ( m ) y b l + 以m ) - p ，l 1 p ( i s i ) 了2 m p c ( m ) n 一p 2 ，p 2 ，v n 1 其中，j ( m ) = ( p 一1 ) a ”，0 a 2 ，则0 0 时， 1 + 6 ( m ) 一p 0 ，6 ( m ) 一p 2 0 定理2 3 2 设 弱，n 1 ) 是均值为0 的p 混合序列，若存在常数p 2 ，m 一) 号生一 ( 2 3 ! 其中，c ( m ，p ) = 2 k m p e x p 2 k 。i - - - - - 0 矿p ( 2 ) ) ，k 由引理2 2 2 所确定 证明因为p 2 ，并且0 p ( j ) 1 ，所以p u ) 矿加o ) 由j e n s e n 不等式 ( e 砰) p 2 e ( 霹2 = e i x i i p 由上式及i i x , i f p m ，得e 砰( e i 五l ) 2 p m 2 从而 ( m ! j a ! x 。e x ，? ) p 2 ( ，2 ) p 7 2 = 护，l ! ! 装e i 乃i m 9 ( 2 3 1 0 ) 9 一些随机变量序列部分和的大偏差定理 由引理( 2 2 2 ) 中的( 2 2 3 ) 式及( 2 3 1 0 ) 式，得 1 0 9 n e ( m 怒, , i s k l ) 9s k ( 2e x p 2 k 薹p ( 2 q m p 一一l = u 【l o gn j + n e x p 2 k p ：p ( 2 ) ) 舻) s2 k m 9 矿2e x p 2 k 矿加( 2 ) ) = c ( m ，p ) n p 2( 2 3 1 1 ) 由m w k o v 不等式及( 2 3 1 1 ) 式，得 雌( m ；a ，x 。i & 一) 生字掣一2 定理证毕 定理2 3 3 设 五。n 1 ) 为均值为0 的l p 混合序列，且存在一个常数p 1 ， 使得n ( 仍力 2 ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) 进步假定对所有的i 1 ，i l x d l p 圭( e i x i l p ) 1 i t , m 0 ，有 p ( 1 s i t l s 万m p c l ( p ) n 1 一，1 p 2 p ( i s i ) s 万m p c l p ) n 刮2 ，p 2 其中，c l p ) = l c p ) n ，p ) ，j 0 ) ，c ( p ) ，口( 仍p ) 由引理2 2 3 所确定 ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) 证明1 ) 若1 ps2 ，则由引理( 2 2 3 ) 中的( 2 2 5 ) 式可得( 2 3 1 2 ) 式由 1 0 第二章p 混合序列和妒混合序列部分和的大偏差定理 m a r k o v 不等式及( 2 3 1 2 ) 式，得 p ( i s 。l 一) 等 2 ，则0 一) 面e i s 万4 i p 等c l ( p ) n 一2 定理证毕 定理2 3 4 设 墨。，n 2 1 ) 为均值为0 的妒混合序列，若存在常数p 2 ，m 一) 掣n - p 2 1 1 一些随机变量序列部分和的大偏差定理 其中，c ( m ，p ) = 2 k m v e x p 2 k 罂= o 妒1 p ( 2 ) ) ，k 由引理2 2 2 所确定 式 证明因为p 2 ，并且0 l p ( j ) 1 ，所以妒1 2 妒1 p ( j ) 由j e n s e n 不等 由上式及i i x l l ，m ，得 从而 ( e 霹) p 2 e ( 研) p 2 = e i x d p f 蟹( er x d p ) 2 p s m 2 ( 。m 9 a 三x 。e x ? ) p 2s ( m 2 ) p 2 = 胛， l m y a x 。e l x j l 9 矿 ( 2 3 1 9 ) 由引理( 2 2 2 ) 中的( 2 2 4 ) 式及( 2 3 1 9 ) 式，得 峨叫 e ( 。m a x 。i s k l ) k ( n p 7 2 e x p 2 k 妒1 2 ( 2 。) ) 舻 t = u + n e x p 2 k o l p ( 2 i ) m v i = o 2 k m p r t p 2 e x p 2 k i p l p ( ) = c ( m ，p ) n p ，2 由m a r k o v 不等式及( 2 3 2 0 ) 式，得 定理证毕 p ? o l s , f 一) 生铲s 掣n 硼 第三章 p 混合序列和庐混合序列部分和的大偏差定理 第三章声混合序列和驴混合序列部分 和的大偏差定理 声混合序列和驴混合序列是两类极其广泛的随机变量序列，在本章中，我们将 利用p 混合序列和庐混合序列的一些矩不等式，重点研究声混合序列和乒混合序 列部分和的大偏差定理 3 1 定义 设n 为自然数集， ，n v ) 是定义在概率空间( o ，p ) 上的随机变量序 列，b = 口陇，i sc ) ，辟圭口，is ) ，磁。未口，f2 + n ) 为n 域，记( 刀为所有，可测且p 阶绝对矩有限的随机变量全体，s 圭垒1 五， i i x i i p 圭( e i x i ) “在，中给定口域f 和r ，令 p 矗) = s a p t c n r r ( x , y ) ：x 岛( d ，y 如( 脚 妒( e 励= s u p ( i t ( b i a ) 一p ( b ) l ：a f ，p ( a ) o ，b r ) 其中。( x ，y ) = 了e x 霖y - 丽e x e y 为相关系数，对k 兰o ，令 p ( n ) 2s u p , ( f s ，厅j ：有限子集s , tc ，且g f s t ( s , t ) n 事( n ) 2s u p 妒( f s ，厅) ：有限子集s ，t c n ，且出武? ) 2n ) 其中a i s t ( s , t ) 表示集合墨t 的距离显然， 0 烈n + 1 ) 声( n ) 1 ，卢( o ) = 1 1 3 一些随机变量序列部分和的大偏差定理 0 驴( n + 1 ) 庐( n ) 1 ，驴( 0 ) = 1 定义3 1 1 对随机变量序列 ，n 1 ) ，如果存在n o21 ，使得p ( 瑚) 1 ( 庐( 伽) 1 ) ，则称 墨。，i 1 ) 为p 混合混合) 序列 注3 1 1 混合序列概念1 9 9 0 年才由b r a d l e y 2 4 引入，p 混合序列概念2 0 0 4 年由吴群英和林亮嘲引入，有关它们的极限理论的讨论可见文献【2 4 】一【圳等在 极限性质的讨论中，对混合混合) 序列 ，n l ，即存在n o21 ，使得 ( n o ) t ( n o ) 1 ，可考虑 ) 的n o 个子列( 矗“卅；i ， j = 0 ，l ，2 ，n o - 1 ，而每一个子列的f ( 1 ) ( 1 ) ) 即为原序列的p ( 伽) ( 乒( 珊) ) 因此， 在研究混合混合) 序列的极限性质时，可不失一般性，假设j 5 ( 1 ) 1 ( 9 7 ( 1 ) 1 ) 注3 1 2 由定义可知，p 混合混合) 序列与通常的p 混合( 妒混合) 序列有 一定的类似，但并不相同，它们互不包含事实上，在通常的p 混合( 妒混合) 系数 p ( n ) ( 妒( n ) ) 中，芦( ”) 和驴( n ) 中的只t 分别是【1 ，n 】和【n + k ，o o ) 中的子集；另外， 声混合混合) 序列只要求存在某n o 1 ，使得k ( n 0 ) l ( 庐( t l o ) 1 ) ，在这一点上 要比p 混合( 1 p 混合) 序列的要求p ( n ) 一0 ，n o 。( 妒( n ) 一0 ，n o o ) 弱得多因 此，j 混合( 乒混合) 序列是两类极为广泛的相依混合序列，对其进行研究是很有价 值的 3 2 必要的引理 引理3 2 1 2 9 , 删设 ，n 1 是均值为0 的p 混合序列，纠矗1 9 0 ，则存在仅依赖于p 和p ( ) 的正常数c = c o , ，f ( ) ) ，使得对v n 1 ，v a 20 ， 有 e i 品( n ) p “e i 置1 9 ) ，0 2 口+ n e ( m m a x 。i ( n ) 佻c l 呼e i x i l ) ，o 2 其中，晶( n ) = 盘1 五，n 1 ，d 0 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 引理3 2 2 e 3 1 1 设 ，n 1 ) 是均值为0 的驴混合序列，e i x 。i p 1 ， 则存在仅依赖于p 和p ( ) 的正常数c = c ( p ，乒( ) ) ，使得对v n 1 ，v a 0 ，有 e ( 。m 、j a 、x 。i s g 口) 佻c l o g p ，e l x d 9 ) ，1 2 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 其中，岛( 口) = ：0 。五特别地，当n = 0 时，记岛圭品( o ) = ：鍪l 五，有 e ( 。m a xi 岛1 ) 5c l o g p t l 薹聃1 9 ) ，1 2 ( 3 2 ” ( 3 2 8 ) 引理3 2 3 嘲设 五。n 1 ) 是均值为0 的随机变量序列，e i x l i p 1 及0 sr 1 ，有p ( ) l ，m w ) c m ，p p n * ，1 一) s 警n p 2 ，p 2 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 证明因为i i x , i i p 圭( e i x d ) 1 p m 2 ，则由( 2 3 7 ) 式，得 n x d 9 + ( e x h 蛆( x 1 ) p 1 2 2 r i p 2 1 e i x i i 2 m n p 2 根据m a r k o v 不等式引理3 2 1 中的( 3 2 2 ) 式和( 3 3 3 ) 式，可得 p ( 1 5 1 ) e 妒i s 妒i 型了2 c m p n p 2 从而证明了( 3 3 2 ) 式 定理证毕 定理3 3 2 设 矗，n 2 1 ) 是均值为0 的# 混合序列，若存在常数p 1 ，m 嘲号笋舻一，l 一) 丝笋扩p 2 ，p ； ( 3 3 5 ) 其中，6 0 为任意个常数，a 0 为某一个常数 证明w 0 ，由于 撬雩= on + 忆。 所以存在正常数a 0 ，使得l o g p n a n s 类似于定理3 3 1 的证明过程，并借助 于m a , r k o v 不等式。引理3 2 1 中的( 3 2 3 ) 式和( 3 2 4 ) 式，可证得( 3 3 4 ) 式和( 3 3 5 ) 式 定理证毕 类似于定理3 3 2 的证明，对于驴混合序列，利用引理3 2 2 中的( 3 2 7 ) 式和 ( 3 2 8 ) 式以及( 2 3 7 ) 式，可以得到如下的定理3 3 3 ， 定理3 3 3 设 ，n 1 ) 是均值为0 的庐混合序列，若存在常数p 1 ，m 一) 等脚，1 ) 2 c a 厂m n n 5 刮2 ，p 2 ( 3 删 其中，6 0 为任意一个常数，a 0 为某一个常数 注3 3 1 在定理3 3 2 和定理3 3 3 中，由于6 0 为任意一个常数，所以可以 选取适当的6 ，使得1 + j p 0 ，j v 2 0 一些随机变量序列部分和的大偏差定理 定理3 3 4 设 ，n 1 为0 均值的随机变量序列，且存在常数m ，p 2 2 ，使得对所有的i 1 ，都有i i x d l p m 1 及0 r 一) 丝笋n - p 2 ( 3 - 3 8 ) 证明由( 2 3 7 ) 式及| | 玉i i p m ，得 e l x d + ( e 霹) 2 2 n p 2 1 e i x t i n 2 m n n p l 2 ( 3 3 9 ) 根据m a r k o v 不等式、引理3 2 3 中的( 3 2 9 ) 式以及( 3 3 9 ) 式，得 雌( m 。a xr & l 嘲生铲竽n - p 2 ( 3 3 1 0 ) 从而证明了( 3 3 8 ) 式 定理证毕 注意到( i s i w ) ( m a x l _ i _ 。i s i ) ，所以由定理3 3 4 ，立即可得到下面 的推论3 3 1t 推论3 3 1 设 凰，n 1 ) 为0 均值的随机变量序列，且存在常数m 0 0 ，p 2 ，使得对所有的i 2 1 ，都有| | 五| i p m 1 及0 r ) 2 d 妒p m n n 叫2 ( 3 3 ，1 1 ) 第四章n a 序列部分和的大偏差定理 第四章n a 序列部分和的大偏差定理 在二十世纪五十年代中期，继独立随机变量和的经典极限理论获得较为完善 的发展之后，许多概率统计学家相继提出，讨论各种混合序列以及相依序列的收敛 性质相依变量极限理论有关问题的提出，一方面是由于统计问题的需要，如样本 并非独立，又如独立样本的一些函数也不是独立的；另一方面是来自理论研究及其 它分支中出现相依性的要求，如在马氏链、随机场理论和时序分析中等n a 序列 是一类极其广泛的负相关随机变量序列，在本章中，利用n a 序列的矩不等式，重 点研究n a 序列的大偏差定理 4 1 定义及性质 定义4 1 1 称随机变量 局，x 2 ，矗) 为n a ( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) 的，如 果对于 l ，2 ，n ) 的任何两个不相交的非空子集a 1 和也，都有 o o v f ( x | ，t a 1 ) ，9 ( 工j ，j 屯) ) 0( 4 1 1 ) 其中，和g 是任意两个对每个变元均非降( 或对每个变元均非增) 且使上述协方差 有意义的函数称随机变量序列t ，n 1 ) 是n a 的，如果对任何自然数n 2 ， 噩，x 2 ，) 都是n a 的 n a 序列这一概念是j o a g - d e v 和p r c h n 于1 9 8 3 年提出来的，它是一类重 要的相依随机变量由于n a 序列在可靠性理论、渗透理论和多元统计分析理论等 方面均有广泛应用，从而引起了很多学者的广泛兴趣近年来，有关n a 序列极限 1 9 一些随机变量序列部分和的大偏差定理 理论的研究，已经取得了不少成果，例如m a t 山删于1 9 9 2 年给出了n a 序列的 k o l m o g o r w 型的上界不等式和同分布n a 列的k 0 l 靴y 型强大数定律；苏淳和 王岳宝嘲于1 0 年证明了在一般条件下，强平稳n a 序列的一个弱不变原理； 苏淳和王岳宝又在1 9 9 8 年给出了同分布n a 序列的m a r c i n l 【脚i c z 强大数定律 等，详见文献【3 3 】一【4 2 】等 关于n a 序列，我们给出以下两个注解 注4 1 1 由n a 序列的定义可知，若f ，n 1 1 为独立随机变量序列，则它 必为n a 序列 注4 1 2 设 j 0 ，n21 ) 为n a 序列，则其单调不减( 或单调不增) 的函数 列亦为n a 序列，即t vm 2 ，a 1 ，a 2 ，是集合 1 ，2 ，n 的两两不相 交的非空子集，如果 ， = 1 ，2 ，m 是对每个变元都非降( 或非增) 的函数，则 ( 乃；j a 1 ) ，2 ( 玛；j a 2 ) ，m ( 玛；j ) 仍是n a 序列进一步，若假定 五20 ，i = 1 ，2 ，m ，则还有 mm e ( ( 玛；j a ) ) e ( 乃；j a ) ( 4 1 2 ) 4 2 必要的引理 引理4 2 1 【柚1 设p 1 ， 品，n 1 1 是均值为0 的n a 序列，v n 1 ，对每 一个1 n ，倒托p i ， ，n21 ) 是均值为0 的n a 序列，若存在正常数 m ) 了2 3 - p m p t l l - 口，1 ) 了”“， 一) 2 ( 4 3 1 ) ( 4 3 2 ) 证明因为i i 托圭( e l x d p ) 1 p m 2 ，则由( 2 3 7 ) 式，得 一) 生铲 1 为实数如果存在与n ，d 无关的正常数c ，使得 ， a + nd + n e i x d s c e ( 譬) p 2 ，1 ，n 0 ( 5 1 1 ) =a+l=口+1 则称 矗，t l l 为p 阶m - z 型随机变量序列( 以下简称m - z 型序列) 注5 1 1 设 ，n 1 是m - z 型序列，1 p 2 ，从而1 2 1 ， 矗，n 2 l 为p 阶m - z 型序列若存在正常数m m ) s 警一l