（计算数学专业论文）一类非局部非线性色散波方程的fourier谱方法.pdf

摘要 非局部非线性色散波方程是描述密度分层流体内重力波传播过程的一类模型 方程既然大多数重力内波产生于海水和大气，那么研究这类方程解的性质对于深 海石油钻探、水下导航、数值天气预报等都有重要的应用价值，同时对于流体力 学、大气学和海洋学等具有重要的理论意义但是这类方程的色散关系是非局部 的，分析方程解的性质不是件容易的事情因此寻求有效的数值算法是必要的目 前，f o u r i e r 变换与非局部算子之间的特殊关系使得f o u r i e r 谱或拟谱方法已经成为 数值求解这类方程的重要工具 本文主要解决了三个问题：首先，改进了p c u o n i 和d o u g a l i s 对一类非局部非 线性色散波方程( 包括b e n j a m i n o n o 方程和中等长波方程) 的f o u r i e r 谱方法给出 的l 2 误差估计；其次，最近t h o m 6 e 和m u r t h y , p e l l o n i 和d o u g a l i s 分别在文章中指 出，尽管f o u r i e r 拟谱方法对b e n j a m i n o n o 方程在数值计算方面是十分有效的，但 没有任何的误差分析，本文的工作很好地回答了这个问题；最后，改进了m a d a y 和 q u a r t e r o n i 对k o r t e w e g - d ev r i c s 方程的f o u r i e r 谱方法给出的l 2 误差估计 在第三章，对一类非局部非线性色散波方程的周期边界问题建立了能够显式 计算的全离散f o u r i e r 谱方法逼近格式，对方程的非线性项显式处理和对线性项隐 式处理，改进了p e l l o n i 和d o u g a l i s 的l 2 误差估计，使之提高到丰满( 最优) ，并且能 够放宽对时间步长的限制 在第四章，对最近t h o m 和m u r t h y , p e h o n i 和d o u g a l i s 分别在文章中指出的 问题，我们直接对一类非局部非线性色散波方程( 包括b e n j a m i n o n o 方程和中等长 波方程) 建立了能够显式计算的全离散f o u r i e r 拟谱逼近格式，利用分数次s o b o l e v 范数度量误差，证明了该格式的稳定性和收敛性，并且具有谱精度此外，通过一些 数值例子表明了本文算法的高精度性和稳定性，并且与其他方法作了比较 在第五章，将第三章中所涉及的方法和证明技巧成功地推广到k o r t e w e g - d e v r i e s 方程的周期边界问题，改进了m a d a y 和q u a r t e r o n i 给出的l 2 误差估计，使之提 高到丰满( 最优) 此外，通过数值模拟最近受到关注的初始状态重现实验( z a b u s k y 和k r u s k a l ) ，表明本文算法具有很好的计算稳定性 在第六章，讨论了一类非局部非线性色散波方程的修正f o u r i e r 拟谱逼近格式， 证明了该格式的稳定性和收敛性，并且l 2 误差估计是丰满( 最优) 的 关键词：非局部色散波方程，b e n j a m i n o n o 方程，中等长波方程，k o r t e w e g - d ev r i c s 方程，f o u r i e r 谱方法，拟谱方法 a b s t r a c t t h en o n l o c a l ，n o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n sa r eac l a s so fm o d e le q u a t i o n sf o r d e s c r i b i n gt h ep r o p a g a t i o no fg r a v i t a t i o n a lw a v e si nt h ed e n s i t ys t r a t i f i e d f l u i d s i n c e m o s to ft h eg r a v i t a t i o n a lw a v e sa r i s ei nt h es e a w a t e ra n dt h ea t m o s p h e r e ，s t u d y i n gt h e p r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nt ot h ee q u a t i o n sn o to n l yh a st h ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nd e e p - s e ao i ld r i u i n g ，u n d e r w a t e rn a v i g a t i o na n dn u m e r i c a lw e a t h e rp r e d i c t i o n ，b u ta l s oh a s t h et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ef o rf l u i dm e c h a n i c s ，a t m o s p h e r i cs c i e n c e sa n do c e a n i cs c i e n c e s b u tt h ed i s p e r s i v er e l a t i o n so ft h ee q u a t i o n sa r en o n l o c a la n dt h u si t i sn o ta ne a s yt h i n g t oa n a l y z et h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nt ot h ee q u a t i o n s h e n c ei t i sn e c e s s a r yt of i n d a ne f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d a tp r e s e n t ，t h ef o u r i e rs p e c t r a l p s e u d o - s p e c t r a lm e t h o d p r o v i d e sap o w e r f u lt e c h n i q u ef o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so fs u c hp r o b l e m sd u et ot h e s p e c i a lr e l a t i o n sb e t w e e nf o u r i e rt r a n s f o r ma n dn o n l o c a lo p e r a t o r t h i sp a p e rm a i n l ys o l v e st h r o ep r o b l e m s f i r s t ，w ei m p r o v et h ee r r o re s t i m a t e si n l 2n o r mo ft h ef o u r i e rs p e c t r a lm e t h o df o rac l a s so fn o n l o c a l n o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v e e q u a t i o n si n c l u d i n gt h eb e n j a m i n - o n oe q u a t i o na n di n t e r m e d i a t el o n gw a v ee q u a t i o nb y p e l l o n ia n dd o u g a l i s ；s e c o n d ，r e c e n t l yt h o m 6 ea n dm u r t h y , p e u o n ia n dd o u g a l i s ，p o i n t o u ti nt h e i rp a p e r sr e s p e c t i v e l yt h a tf o u r i e rp s e u d o - s p e c t r a lm e t h o ds o l v e st h eb e n j 址m i n - o n oe q u a i t o nw e l lb u tn oe r r o ra n a l y s e sa r eg i v e n ，a n do u rw o r k sa n s w e rt h ep r o b l e mw e l l ； t h i r d ，w ei m p r o v et h ee r r o re s t i m a t e si nl 2 一n o r mo ft h ef o u r i e rs p e c t r a lm e t h o df o rt h e k o r t c w c g - d ev r i c se q u a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s ht h ef u l l yd i s c r e t es p e c t r a lm e t h o df o rt h ee x p l i c i t l yn u - m e r i c a ls o l u t i o nt op e r i o d i cb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mf o rt w on o n l o c a l ，n o n l i n e a rd i s p e r s i v e w a v ee q u a t i o n s ，t h eb e n j a m i n o n oa n dt h ei n t e r m e d i a t el o n gw a v ee q u a t i o n s w et r e a t t h el i n e a rt e r m si nt h ee q u a t i o ni m p l i c i t l ya n dt h en o n l i n e a rt e r m se x p u c i t l y w ei m - p r o v et h ee r r o re s t i m a t e si nl 2 - n o r mb yp e l l o n ia n dd o u g a l i sa n dm a k et h e mo p t i m a l i n a d d i t i o n ，w er e l a xt h er e s t r i c t i o no nt h et i m e - s t e p i nc h a p t e r4 ，f o rt h er e c e n tp r o b l e mp o i n t e do u ti nt h ep a p e r sb yt h o m d ea n d m u r t h y , p c l l o n ia n dd o u g a l i s ，w ed i r e c t l yp r e s e n tt h ef u l l yd i s c r e t es p e c t r a lm e t h o df o r t h ee x p l i c i t l yn u m e r i c a ls o l u t i o nt op e r i o d i cb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mf o rt w on o n l o c a l ， n o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n s ，t h eb e n j a m i n - o n oa n dt h ei n t e r m e d i a t el o n gw a v e e q u a t i o n s u s i n gt h ef r a c t i o n a lo r d e rs o b o l e vn o r mf o rm e a s u r i n gt h ee r r o r ，w ep r o v et h e s t a b i l i t ya n ds p e c t r a la c c u r a c yo ft h em e t h o d i na d d i t i o n ，s o m e n u m e r i c a le x a m p l e sa r e l v 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 g i v e nt os h o wt h eh i g ho r d e ra n ds t a b i l i t yo fo u rm e t h o da n do u rm e t h o di sc o m p a r e d w i t ho t h e rm e t h o d s i nc h a p t e r5 ，w es u c c e s s f u l l yg e n e r a l i z et h em e t h o d sa n dp r o v i n gs k i l l si n v o l v e di n c h a p t e r3t ot h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rt h ek o r t e w e g - d cv r i e se q u a t i o n w ci m p r o v e t h ee r r o re s t i m a t e si nl 2n o r mb ym a d a ya n dq u a r t e r o n ia n dm a k et h e mo p t i m a l i n a d d i t i o n ，n u m e r i c a l l ym o d e l i n gt h er e c e n ta t t r a c t i v ee x p e r i m e n tf o rt h er e c u r r e n c eo fi n i t i a l s t a t e sb yz a b u s k ya n dk r u s k a l ，s h o w st h a to u rm e t h o dh a sg o o dc o m p u t a t i o n a ls t a b i l i t y i nc h a p t e r6 ，w ed i s c u s st h em o d i f i e df o u r i e rp s e u d o - s p e c t r a lm e t h o df o rac l a s so f n o n l o c a l ，n o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n s w ep r o v et h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo f t h em e t h o da n do b t a i nt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e si nl 2 n o r m k e y w o r d s n o n l o c a ld i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n ，b e n j a m i n o n oe q u a t i o n ，i n t e r m e d i - a t el o n gw a v ee q u a t i o n ，k o r t c w c g d ev r i e se q u a t i o n ，f o u r i e rs p e c t r a lm e t h o d ，p s e u d o - s p e c t r a lm e t h o d 插图清单 4 12 n = 5 1 2 7t = 0 时的波形5 0 4 2 2 n = 5 1 2 7 - = 0 2 5 = 1 2 0 ( = 1 个周期) 时的波形5 0 4 3 2 n = 5 1 2 ，7 7 - - o 1 5 ，= 1 2 0 0 ( 1 0 个周期) 时的波形5 l 4 4 2 n = 5 1 2 ，7 = 0 0 5 ，t = 1 2 0 0 0 ( = 1 0 0 个周期) 时的波形，5 l 4 5 双孤子相互作用的数值模拟，2 n = 5 1 2 ，7 = 0 1 5 2 5 1 解在t = 0 ，1 和3 6 时刻的形状6 3 5 2 物理实验图6 4 5 3 数值实验图6 4 5 4 2 n = 6 4 ，t = 1 5 2 丌( = 半个周期) 时的波形，6 4 5 5 2 n = 2 5 6 ，t = 1 5 2 7 r ( = 半个周期) 时的波形6 4 5 6 2 n = 6 4 ，= 2 0 时的波形6 5 5 7 2 n = 2 5 6 ，t = 2 0 7 r 时的波形6 5 5 8 2 n = 6 4 ，t = 3 0 4 丌( = 1 个周期) 时的波形6 5 5 9 2 n = 2 5 6 ，t = 3 0 4 1 r ( = 1 个周期) 时的波形6 5 v 1 1 表格清单 4 1 用格式( 3 2 2 ) 求解b o 方程( 4 5 1 ) 在t = 1 时的误差，其中卜厶l j = - 3 3 ，3 3 】4 9 4 2 用格式( 4 2 3 ) 求解b o 方程( 4 5 1 ) 在t = l 时的误差，其中【一l ，l 】 【一3 3 ，3 3 】 4 9 4 3 求解方程( 4 5 1 ) 误差比较：拟谱格式( 4 2 3 ) 与t h o m e 和m u r t h y 的 格式，其中 一ll 】= 【一1 5 ，1 5 1 ，2 n = 5 1 2 ，r = 0 2 5 5 0 4 4 求解方程( 4 5 3 ) 相对误差比较：拟谱格式( 4 2 3 ) 与m i l o h 等的格式， 其中【一l ，l 】= 【一5 ，5 】，2 n = 5 1 2 ，7 = 1 0 3 5 1 5 1 用格式( 5 2 2 ) 求解k d v 方程( 5 5 1 ) 在t = 1 时的误差，其中一4 0 z 4 0 6 2 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第一章引言 1 1 背景 非局部非线性色散波方程是描述密度分层流体内重力波传播过程的一类模型 方程既然大多数重力内波产生于海水和大气，那么研究这类方程解的性质对于深 海石油钻探、水下导航、数值天气预报等都有重要的应用价值，同时对于流体力 学、大气学和海洋学等具有重要的理论意义但是这类方程的色散关系是非局部 的，分析方程解的性质不是件容易的事情因此寻求有效的数值算法是必要的目 前，f o u r i e r 变换与非局部算子之间的特殊关系使得f o u r i e r 谱或拟谱方法已经成为 数值求解这类方程的重要工具 典型的非局部非线性色散波方程包括t ( i ) b e n j a m i n o n o ( b o ) 方程 ( 1 1 1 )o t v + u 如u + h 磋u = 0 ， 其中日是由下面主值积分定义的h i l b e r t 变换 酬= 一如仁兰白 ( 详细内容，见b e n j a m i n 【1 】；o n o 【2 】；1 6 r i o 【3 】；c a s e 【4 1 ；a b d e l o u h a b ，b o n a ，f c l l a n d 和 s a u t 【5 】；a b l o w i t z 和c l a r k s o n 【a l ；s t e i n 【7 】) ( i i ) 中等长波( i n t e r m e d i a t el o n gw a v e ，缩写为i l w ) 方程 ( 1 1 2 )o t u + 6 1 a i u + 以u + a 磋u = 0 ，0 6 0 0 ， 其中a 是由下面主值积分定义的奇异积分算子 俐= 一去肌仁锄掣岫， ( j o s e p hf 8 j ；k u b o t a ，k o 和d o b b sf 9 j ；a b l o w i t z ，f o k a s ，s a t s u m a 和s e g u rf l o 】；a b d e - l o u h a b ，b o n a ，f e u a n d 和s a u t 【5 1 a b l o w i t z 和c l a r k s o n 【6 】) 这类方程与著名的k o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) 方程之间有非常密切的联系比如，在浅 水的限制中，当6 0 时，( 1 1 2 ) 式约化为k d v 方程，而在深水的限制中，当6 一 时，( 1 1 2 ) 式约化为b o 方程因此i l w 方程可以被看作在k d v 方程和b o 方程之 间的一个中间方程( s a n t i n i ，a b l o w i t z 和f o k a s 【1 1 1 ) 我们知道k d v 有许多重要的物 理特征，例如，具有孤立子，具有完全可积性和色散性与非线性的统一等( g a r d n e r 和 m o r i k a w a 【1 2 】；j e f f r e y 和k a k u t a n i 【1 3 】；m i u r a ( 1 4 l ；a b l o w i t z 和s c g u r 【1 5 1 ；n e w e u 【1 6 9 】 2 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 非局部方程除了享有这些性质外，与k d v 方程的区别在于它们的色散关系都是非 局部的，即不能用多项式来近似它们的线性色散关系分析这类方程解的性质不是 件容易的事情，因此寻求有效的数值方法是必要的我们知道，微分方程的数值解 法主要有三类：差分方法，有限元方法和谱方法( 包括拟谱方法) 目前采用上述三 类方法求解k d v 方程的工作很多，但是，我们知道，前两种方法不适宜处理非局部 算子，而f o u r i e r 变换与非局部算子之间的特殊关系，使得f o u r i e r 谱或拟谱方法成 为求解b o 方程和i l w 方程的重要工具 通常，以三角多项式为基函数的g a l e r k i n 方法和配置方法分别称为f o u r i e r 谱 方法和拟谱方法，统称f o u r i e r 谱方法实际上，f o u r i e r 谱方法是用f o u r i e r 三角级数 展开的有限和近似微分方程的真解由于秉承了f o u r i e r 三角级数的性质，所以对周 期边界问题，当原方程解的正则性增加时，f o u r i e r 谱方法近似解的收敛速度会越来 越快因此f o u r i e r 谱方法是一类高精度的微分方程数值方法基于快速f o u r i e r 变 换( f f t ) 1 7 】的f o u r i e r 谱方法是1 9 7 1 年，由o r s z a g 【1 8 】提出并成功应用于不可压 缩流体的数值模拟随后，f o u r i e r 谱方法被广泛应用于求解各种实际问题，比如湍 流模拟、数值天气预报、海洋动力学、生物数学和电路模拟等关于谱方法理论及 其应用的详细介绍，可参考一些著作，例如g o t t l i c b 和o r s z a g 【1 9 1 ，g o t t l i e b ，h u s s a i n i 和o r s z a g 2 0 ，c a n u t o ，h u s s a i n i ，q u a r t c r o n i 和z a n g 2 1 1 ，m e r c i e r 2 2 ，f o r n b e r g 2 3 ， b e r n a r d i 和m a d a y 2 4 ，g u ob e n y u 2 5 ，t r e f e t h e n 【2 6 ，b o y d 【2 7 1 最近，非局部非线性色散波方程( 包括b o 型方程和i l w 型方程等) 的实际应用 背景越来越广，因而关于它们的数值解研究，特别是f o u r i e r 谱方法，已经受到了越 来越多学者的关注关于这类方程的数值方法，早期工作包括k u b o t a ，k o 和d o b b s 9 】，j a m e s 和w e i d e m a n 2 8 】，m i l o h ，p r c s t i n ，s h t i l m a n 和t u l i n 【2 9 ，p e l l o n i 和d o u g a l i s 3 0 】在 9 】中使用分步f o u r i e r 拟谱方法计算出i l w 方程的数值解在 2 8 】中分别 使用f o u r i e r 拟谱方法和有理拟谱方法求解b o 方程在 2 9 】中使用f o u r i e r 拟谱方 法，并结合指数积分因子技术求解b o 方程在 3 0 】中，先采用f o u r i e r 拟谱方法在 空间方向离散b o 方程，然后对半离散化导出的关于时间的常微分方程组使用四阶 精度、隐式的r u n g c - k u t t a 方法进行离散尽管这些工作都表明f o u r i e r 拟谱方法对 这类问题在数值计算方面是有效的，但是没有给出任何的收敛性分析最近p e l l o n i 和d o u g a l i s 3 1 1 分析了一类非局部色散波方程( 包括b o 方程和i l w 方程) 的全离 散f o u r i e r 谱格式在 3 1 】中已经证明，在l 2 范数意义下，当解析解属于s o b o l e v 空 间时半离散f o u r i e r 谱格式的误差仅是r 一1 阶的，不是丰满的( 最优的) 此外， t h o m 6 e 和m u r t h y 3 2 】的工作也是值得在此提及的，尽管不是谱方法在【3 2 】中，采 用混合方法在空间方向离散b o 方程，即采用守恒型差分方法处理非线性项，而对 一类非局部非线性色散波方程的f o u r i e r 谱方法 3 非局部积分微分项( 即色散项) ，利用h i l b e r t 变换的f o u r i e r 变换性质和用中点求积 公式将h i l b e r t 变换近似为一个离散f o u r i e r 变换尽管逼近方式不一样，但是该方 法与谱方法都是充分利用了非局部算子的f o u r i e r 变换的性质 最近，初始状态重现实验 3 3 】由于能用来验证算法的计算稳定性而倍受关注 惮，3 5 ，3 6 】这个实验是1 9 6 5 年，由z a b u s k y 和k r u s k a l 设计的，用来发现k d v 方 程解的重要性质，借助的数学工具是差分方法自那之后，不仅关于k d v 的理论研 究一直受到数学和物理界的关注，而且关于k d v 的数值研究也没间断过目前除 了差分方法和有限元方法外，f o u r i e r 谱方法已经成为k d v 方程数值解的重要工具 关于这类问题的工作主要有t a p p e r t 【3 7 1 ，s c h a m e l 和e l s 赫s e r 【3 8 1 ，c a n o s a 和g a z d a g 【3 9 ，f o r n b e r g 和w h i t h a m 4 0 1 ，a b e 和i n o u e 【4 l 】，g u ob e n y u 4 2 】，c h a r t 和k e r k h o v e n 【4 3 】，m ah e p i n g 和g u ob c n y u 阻】，m a d a y 和q u a r t e r o n i ( 4 5 】，k a l i s c h ( 4 6 ，b j 口r k a v a g 和 k a l i s c h 【4 7 1 尽管这些工作已经报道了很好的计算结果，但是误差分析方面仍未出 现丰满( 最优) 的结论在【4 5 】中已经证日月在l 2 范数意义下，当解析解属于s o b o l e v 空间日时半离散f o u r i e r 谱格式的误差仅是r 一1 阶的 1 2 论文的主要工作 本文主要解决了三个问题：首先，改进了p c l l o n i 和d o u g a l i s 3 1 1 对一类非局部 非线性方程( 包括b e n j a m i n - o n o 方程和中等长波方程) 的f o u r i e r 谱方法给出的l 2 误差估计；其次，最近t h o m 6 e 和m u r t h y 【3 2 】，p e l l o n i 和d o u g a l i sf 3 0 】分别在文章中 指出，尽管f o u r i e r 拟谱方法对b e n j a m i n o n o 方程在数值计算方面是十分有效的，但 没有任何的误差分析，本文的工作很好地回答了这个问题；最后，改进了m a d a y 和 q u a r t c r o n i 4 5 】对k o r t e w e g - d ev r i e s 方程的f o u r i e r 谱方法给出的l 2 误差估计 在第三章，对一类非局部非线性色散波方程的周期边界问题建立了能够显式 计算的全离散f o u r i e r 谱方法逼近格式，对方程的非线性项显式处理和对线性项隐 式处理，改进了p e l l o n i 和d o u g a l i s 的三2 误差估计，使之提高到丰满( 最优) ，并且能 够放宽对时间步长的限制 在第四章，对最近t h o m 葡和m u r t h y , p e l l o n i 和d o u g a l i s 分别在文章中指出的 问题，我们直接对一类非局部非线性色散波方程( 包括b e n j a m i n o n o 方程和中等长 波方程) 建立了能够显式计算的全离散f o u r i e r 拟谱逼近格式，利用分数次s o b o l c v 范数度量误差，证明了该格式的稳定性和收敛性，并且具有谱精度此外，通过一些 数值例子表明了本文算法的高精度性和稳定性，并且与其他方法作了比较 在第五章，将第三章中所涉及的方法和证明技巧成功地推广到k d v 方程的周 期边界问题，改进了m a d a y 和q u a r t e r o n i 给出的l 2 误差估计，使之提高到丰满( 最 4 2 0 0 7 上海大学博士学位论文 优) 而且，通过数值模拟最近受到关注的初始状态重现实验( z a b u s k y 和k r u s k a l 【3 3 1 ) 表明我们的算法具有很好的计算稳定性 在第六章，讨论了一类非局部非线性色散波方程的修正f o u r i e r 拟谱逼近格式， 证明了该格式的稳定性和收敛性，并且l 2 误差估计是丰满( 最优) 的 第二章基本知识 2 1 基本概念和记号 设j = ( - - 7 1 ，7 r ) c 表示复数 l 2 ( i ) = “：j cl 札可测，( u ) 。) ，其中内积和范数分别为 ( u ， ) = u ( z ) 石两妣 = ( u ，u ) p 对任意实数 0 和1 口 。o ，”忆q 表示通常的s o b o l c v 空间w m ( ，) 的范 数对q = 2 ，定义日r ( ，) ：= w r 2 ( j ) 相应的范数和半范数分别用l | 1 | r 和i 。l r 来表 示此外，记l ( ，) = w o , o o ( n 群( ，) 表示日r ( ，) 中所有以2 1 r 为周期的函数构成的子空间，相应的等价范数 和半范数如下： 忆n r = 鬯川印川训2 ) 1 2 r = 鬯- ：- - 0 0 铲铲) 1 2 其中 u ( z ) = a l e i l x , 口l = 去丘u ( z ) c - i 2 x 缸 对0 0 ，那么 ( 2 2 1 0 ) l u v h l 2 sc ( ) l1 2 1 2 其中常数c ( e ) 与e 有关 82 0 0 7 上海大学博士学位论文 引理2 1 0 1 5 1 l 如果u ，u ( j ) 且r 三，那么 其中常数c ( r ) 与，有关 t , v l l ，c ( r ) l l t | l l ，i l v l l ， 引理2 1 1 1 4 8 】如果乱h 7 ( n 那么 u l l “c l l u l l ：l l u l l l 9 ，0 p r ， 奥专e = 嗡| r 引理2 1 2 1 5 0 】如果u ，u c ( d ，那么 ( u ，v ) l v = ( ：z j v u ，虱 ) = ( 知“，知1 曩 容易验证接下来的两个引理是成立的 引理2 1 3 如果札h 1 ( o ，丁；l 2 ( 驯，那么 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) u ( ) 1 1 2 _ 2 i i 札( 。) 1 1 2 + 2 t o i i 仇乱( s ) 1 1 2 d s ，0 一 0 、 1 ， 先考虑不等式( 2 2 3 ) 在七= 1 的情形对方程( 2 3 2 ) 关于t 微分，得到下面方程 ( 2 3 6 )( 疋1 侥叼+ 丁磋a 叼+ f 7 ( u ) 以a 叩，t ，+ n 一2 丁磋t ，) = ( g a 。, 7 ，u + n 一2 丁磋u ) ， u 矿， 其中g = f ( u ) o t u 首先，利用上面方程得到下面不等式对充分大的成立： ( 2 3 7 )n 一2 1 1 0 2 0 , , ，1 1 2 + j i o z , 1 1 1 2 c ( 1 c 1 ( o t , 7 ，a t 7 7 + n 一2 丁磋侥7 7 ) + (