（计算数学专业论文）几个高精度单元的分析和stokes问题的二阶格式.pdf

摘要 本文主要介绍两个方面的问题：一是对用双参数有限元法构造的几个重要的 高精度单元进行分析，得到了一些非常有用的结论。二是针对s t o k e s 问题构造了 一个三角形h e r m i t e 型二阶格式，它具有结构简单自由度小等优点。 关键词：双参数高精度元构造分析s t o k e s 问题三角形h e r m i t e 型 二 阶格式。 a b s t r a e t i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so nt h es t u d yo ft w op r o b l e m s f i r s t l y , w ea n a l y z es e v e r a l i m p o r t a n th i g ha c c u r a c ye l e m e n t sp r o p o s e db yu s i n gd o u b l es e tp a r a m e t e rm e t h o d ，a n d g e ts o m ev e r yu s e f u l lc o n c l u s i o n s s e c o n d l y ，w ec o n s t r u c tan e w t r i a n g u l a rh e r m i t e t y p ew i t hf o r m u l a t i o nf o rm i x e ds t o k e se q u a s t i o n sw i t ho r d e ro ( b 2 ) ：t h i sf o r m u l a t i o n h a st h ea d v a n t a g e so f s i m p l es t r u c t u r ea n df e w e rd e g r e e so f f r e e d o m k e yw o r d s ：, d o u b l es e tp a r a m e t e r ，h i g ha c c u r a c ye l e m e n t ，s t r u c t u r ea n a l y z e ，s t o k e s e q u a t i o n s ，t r i a n g l eh e r m i t et y p ef o r m u l a t i o n 3 刖吾 有限元方法是当今数学物理、计算数学、科学与工程计算的非常有效的手段。 对于常规有限元来说，一般有两个困难，个是从构造简单，总体自由度少因而 计算量少出发，一般节点参数取为对称的单元顶点函数值和导数值，但难以保证 函数值及一阶导数值在单元边界上的平均连续，如z i e n k i e w i c z 元，a c m 元等， 另一个是为了保证收敛性，有些单元如v e u b e k e 元取边上外法线导数平均值及中 点函数值作为节点参数，但这时总体的自由度增加，给计算代来很大的不便。 为了克服以，h 的困难，工程力学界开始从力学角度寻找有效的构造方法，例 如唐立民提出的拟协调元，从离散应变入手，直接构造单元刚度矩阵，不需要位 移函数，但其收敛性条件验证起来比较麻烦。龙驭球提出了广义协调元方法，但 存在自由度选取不对称，形函数对单元的依赖性较强的缺点。石钟慈和陈绍春进 步发展了广义协调元，提出双参数有限元方法，由此构造了许多有限单元，也 统一分析了一些单元，其优点是：自由度和节点参数可独立选取，不需求出形函 数空间，这一方法开辟了非常规单元构造的新途径。然而就日前所构造的单元来 说，还有许多问题值得进一步研究，如有些构造方法的机制尚不完全明了，不同 方法构造的单元之间的等价性问题等等。 另一方面，关于s t o k e s 问题的混合元格式虽然已有大量文献，但是还是存在 着构造格式时自由度大、结构复杂、精度不高等问题有待解决。 本文针对上述问题，对几个重要的高精度非协调单元( 包括1 2 参三角形单元 及矩形单元) 的构造进行了详细的分析，为双参数有限元法的进一步扩展和应用 4 推得一些有重要价值的信息，有些是以往尚未发现的。同时，本文还构造了一个 结构简单、自由度小的h e r m i t e 型三角形单元，当它用于s t o k e s 问题时具有二阶 精度，是目前较好的单元之一。 1 关于对称双参数( 高精度) 三角形12 参元的分析 1 1 引言 石钟慈院士和陈绍春教授首先提出了双参数有限元方法“1 ，由此构造了一系列 有价值的单元，包括三角形元和矩形元，同时也将它用于单元分析和构造“，证 明了广义协调元、拟协调元。1 、九参数s p e c h t 元“1 等单元，等价于相应的非协调 双参数元。 b 小明基于泛函变分原理建立了使双参数列式对称化的途径，并构造了一个 九参数三角形板元”1 和十二参矩形板元”1 ，但遗憾的是这个九参三角形并不是新元 而是v z l 元“。最近h 小明又提出了建立双参数元的一般化形式，并构造了一个 12 参三角形板元“。 本章节将指出这种所谓的对称化一般途径，实际上是只有对构造1 2 参数板元 ( 包括三角形元及矩形元) 才有真正实用意义的一种特殊的选择方式而已。 1 3 也给出了构造高精度三角形板元的方法，但为了保证基函数的对称性，我们发现 ：1 3 中提出的那个对称单元正好与 1 0 所提出的单元是等价的，且 1 0 中的离散 矩阵g 是奇异的，因此 1 0 中的g 的计算是不正确的，所得的结论( 见 1 0 中( 2 6 ) 及( 2 8 ) 式) 也是不对的。另一方面 1 3 中指出1 0 r ( g ) 1 1 ，这里我们进一步 地计算得到r ( g ) = 1 l 。 由上所述， 1 0 中的单元是一个高精度单元，因为它满足 13 的主要定理1 当m = l 时的情形，其整体误差阶为0 ( h 2 ) 。 1 2 单元精度分析 按上 1 0 ，一般化的对称参数形式为 f d j = w j i - 1 273 ( o r4 ) 1 如雨l f 一面0 w ，扪 p - d m ， d 【n 2 南 抚 旷州，n f ，为单元的边，if ，l 为相应的长度，通常n 2 n ，n 。+ 1 下面我们给出其分析 ( 1 ) 当n ，= n 。= o 时，条件( 1 1 ) 变为 驾。i 3 似们 如2 南扣幽 ( 1 2 ) 对通常认为比较合理的z ie n k e w i c z 三角形元位移模式来说，利用( 1 2 ) 来构 造的三角形板元等价于 1 中提出的v z l 元，而对a d i n i 矩形元位移模式来说，用 ( 1 2 ) 作为节点参数则无法构造出双参数元来，因为此时的插值矩阵是不适定的。 ( 2 ) 当n ：l ，n 。+ 1 2 时，由 1 1 分析知道，构造高阶的双参数元是无多大意义 的。因为随着节点参数的增加，一但自由度对节点参数的离散形式对真正的形函 数空间中的元素精确成立时，它就回到单参数常规有限元的情形，2 l 参及1 8 参拟 协调元都是如此。 而当n z 1 ，r l - 2 时，由( 1 1 ) 所构造的单元就是种高阶双参数元，因此研 究价值不大。所以，可以看出( 1 1 ) 式实际上只有对1 1 1 = 1 ，n ：= o 时的情况才真正 有使用价值。 ( 3 ) 当l i t = 1 ，n 。= o 时，分三角形元及矩形元来分析。 ( a ) 对于矩形来说，一个是可以构造如 9 中的1 6 参双参数元，个是可以 通过约束离散方式来构造1 2 参矩形元，这时可按据( 1 ) 按 7 及 9 中的方法分 别构造1 2 参双参数元，且取得了十分理想的数值结果。具体步骤不再叙述。 ( b ) 对1 2 参三角形单元，这时实际上 1 0 中的单元与 1 3 中所构造的对称1 2 参元是一样的， 1 3 中还给出另外一些元，但其他的基函数都是不对称的。 因此，( 1 1 ) 是一种构造1 2 参三角形板元的特殊选择。 接下来进一步分析一下 1 0 中给出的1 2 参三角形元。按 1 0 的方法，其形函 数空间为： i 。c k ，；，c m ，u z 。 z z ，c z 。一，z 。- ：z ，c z z 一；，, 2 1 2 2 2 3c a s 一，) 尸( 卅) ；印a 一缸。，丑2 ，屯，a l 丑2 ，丑2 如，2 3 2 。，五 五2 一五。雹，丑i 也一 ；丑2 ，正五l 一五；如l 自由度为： d 1 2 w ，i 2 1 ，2 ，3 如3 = l f j 挈， 瓠6 2 静挚， 蝣南渺 c = 设 】2 w = q f ，一i 。( 世) ，“= ( 口。：) 7 r “ 其节点参数为 q = w i ，q 。，q ，。，w 。，q ，。，q ，。，q 。，q 。，) ， 运用双参数法，经过积分可得 d = c a 10oo00000000 0100ooooooo0 ool t ir k r j r kt r 【 r r i tk 0 ，j 2 f f 2 “ 2 1三 ooo c 等+ 争 式中的符号与 6 中相同，可以验证 d e t c 0 o 9 00 0 t j 0 00 t 女 ， 14 hj 42 l 一 4 0 4 r j 4 “ 2 1 4 0 t f 1 2 0 0 r f 2 4 “ 1 2 0 0 00 0 o00 00 o “一他一如。一m“一抖 。 一 一l 一 一 。专。啬去去。 o 02，吖一2“一2 0 6 ，1 3 0 4 o 一4一4 。 。一：o一：k一：。一，4。“一。 。一。 应b 0 6 + 一6“一3一6 oy丘。生，土。 0 2 02“一2一2一2 一2、一2一2一2 o 02坛2 0 2 o ，一2 再进行数值离散显然d l = w ，i = l ，2 ，3 对于d 。d 。采用梯形积分公式，对于d ， d 。采用s i m p s o n 积分公式，就可以满足离散精度的要求而对于d ，。d 。因( 1 3 ) 式 的w 在单元边界上为一个三次多项式，故可用h e r m i t 积分精确地表出，因此略去 所有不影响单元收敛的误差余项后，有 式中 g d = g q o00oooo oo000 o00000l0 oo0 o 一旦一b i 0 一旦 222 o 一! 生oo 22 00 一- 二一 旦堕。一生垒oo 2222 00 0 一 0o 00 1d ， 21 2 1 一b k 21 2 不难验证 d e t g 一1 l e 2 7 l 1 00000 一 0 oo 00 00 o0 o o o 0 o 生! 生垒oooo0 1 221 21 2 恢慷i d e t g + o o o以一2钆一2 o 以一6 o o q 一他勺一心 。 。 “一他一心 o 0 一2 1 2 。 钆一。q 一他 。 o 一o 4 一幢 o 0 0 ，一2 0 钆卜。 o o 奠他 g + 10 0000000 l | 。 ，。i j 000000 1001 oooo 一生一生。一旦蔓l 2222 i o 一! 生oooo 一旦蔓l 2222l o 一垒丝。一鱼生ooo 2222 ooo三一生一生! 生生l 2 1 21 221 2 1 2 三兰! ooo 三一生一到 21 21 221 21 2 i ! 一生一垒三生生ooo ( 见 1 5 ) d e tg + = 0jd e t g = 0 r a n k ( g + ) = 8j r a n k ( g ) = 1 1 所以， 1 0 中的( 2 6 ) 及( 2 8 ) 式是不正确的 下面说明 1 0 中1 2 参元与 1 3 中的那个对称的单元是等价的，4 事实上， 九。九。九。( 九一) 十九。 。 。( 。一；) + ，九： 。( 九。一；) ；九。 。 。p 3 ( k ) 因此， p 4 ( 岸) 3 尸3 ( ) 。( k ) = b ( k ) u 置也如，驾丑也， 1 0 中单元形函数空间与1 1 3 中的那个对称单元等价，只是表示形式一开 始不一样而己，由于二者自由度又一样，故二单元是完全一样的。 因为 1 0 中没有给出误差分析，我们现在又证明它与 1 3 的对称单元是同一 个单元，因此可按 1 3 中的方法估计误差，显然它满足 1 3 中的m = l 时的情况， 因此当精度u h 4 时有相容误差估计0 ( h 2 ) ，又真正形函数空r a 包括p 。( k ) ，故插 值误差为0 ( h 2 ) ，所以，整体误差为0 ( h 2 ) ，即为一个高精度单元。 1 2 2 1 引言 2 一类1 2 参高精度矩形板元的分析 众所周知常规的1 2 一参矩形元( a d i n i 元 1 8 和广义协调元 1 9 ) 在位移 f e m 研究领域是非常成功的，并且被广泛应用于实际工程计算当中。但遗憾的是 a d i n i 元是一个c o 元，其函数值是连续的，但其外法向导数在单元间是不连续 的，广义协调元的自由度是非几何对称的，并且其非对称性破坏了其几何不变性， 其误差是o ( h ) 。最近，研究者已经进一步发展了高精度元 7 ，9 j 7 从力学角 度用特殊的方法构造了一个1 2 参矩形元，但没有进行精度分析和几何对称性的检 验，并且这种方法使用起来也有一定的困难。 7 用增加一些限制条件的方法进 步研究了这种元，但是其仍然建立在a d i n i 元的形函数空间上。 1 7 用非常规 法选择了形函数空间并且用双参数及待定系数法，使得其几何对称元的相容误差 为o ( h2 ) ，节点参数为1 6 。另一方面，构造一个恰当的形函数空间是不容易的，因 为q ，( k ) 或q ；( 世) 加上一些高阶项会使插值问题奇异，所以 1 7 中形函数空间的基 函数中1 4 参数固定，最后两个自由。 本文，我们首先证明所有的在 1 7 中提到的矩形元事实上是_ _ 个，尽管其形 式截然不同。同时我们的分析和计算说明了，虽然彼此的构建程序很不相同，但 真正的形函数空间和a d i n i 元形函数空间完全相同，并且这种新的元克服了a d i n i 元和广义协调元的不足。我们的分析揭示了后两个高次项和其他两个高次项的作 用只是使得插值矩阵为非奇异阵，且其对真正的形函数空间没有影响，从而影响 不到刚度矩阵的表示形式，这和 1 4 、 2 0 中分析的矩形元、 4 中著名的s p e c h t 元及 2 、 3 中分析的许多其他的九参三角形元是截然不同的。从而我们知道上 面的特性在常规的1 2 参矩形元如： 4 1 中的拟协调元、! 1 9 中的广义协调元以及 其他的非传统的双参元 6 、7 等等中均未被发现。 所以，我们这里的分析在有限元研究领域是非常重要的，因为一方面展示了 选择形函数空间和刚度矩阵构成的实质。另一方面，为我们进一步研究实际应用 当中不能由传统的方法构造的新的高精度元，提供了一种简单的新的研究方法。 同时，这种方法从某中意义上来看比 7 中的方法更简单和容易。 2 21 2 一参矩形元的构造 如 1 7 中所描述，假设矩形元是中心在( ，y 。) 的平面( x ，y ) 上，其边平行于 相应的坐标轴，边的长度分别为2 a 和2b ，( j ( x ，y ，) ，f = h 口。 ，1 i 4 为k 的顶点和边。参考元霞是一个中心在( 0 ，o ) 的平面( f ，7 7 ) 上的正方形，它的边平行 于相应的坐标轴，长度是2 ，1 2 一参元构造如下： 自由度是 其中 d ( v ) = ( j 。( v ) ，d 2 ( v ) ，d 1 6 ( v ) ) 7 ， ( 2 1 ) 川一”“2 南肛1 “纠， 州= 一：薏如氐”；老出， ) = 一鲁未西，州咖；鲁出， ( 2z ) 啪，= i 等未出，州v ，= ；半翥出， 啪，= ：半尝血州v ，= ；f 半言出 过渡形函数空间是 f ( 世) = s p 口n p - ，p z ，一p s ) ， ( 2 3 ) 这里 p l = ( 1 一f ) ( 1 一口) ，p 2 = ；( 1 + f ) ( 1 一_ ) ，p 3 = i 1 ( 1 十f ) ( i + 7 ) ， p 4 = ；( 1 一f ) ( 1 + ) ，p 5 = ( 1 一f 2 ) ，p 6 = 0 - 口2 ) p 7 。( 1 一f 2 ) 叩，p 8 。( 1 一叩2 ) f ，p 9 = ( 1 一f 2 ) f ，p 1 。= ( 1 一叩2 ) 叩， ( 2 4 ) p ，- = ( 1 一f 2 ) ( 一f 2 ) ，p 2 = ( i - _ 2 ) ( ；一口2 ) ， p 13 = ( 1 一f2 ) 白，p 1 4 = ( 1 一_ 2 ) 白， p 15 = p ( f ) ( 口) ，p 1 6 = y ( ) ( f ) 其中，矿符合条件下列条件，符合条件1 和条件3 或条件2 和条件3 。 条件1 ：( ) = f 。o 弦= f ，v ( t ) d t = 0 ， 条件2 ：妒( ) = ( ) = f ( k ( t ) d t = 0 ， 条件3 ：( 矿。( 1 ) 一妒( 一1 ) ) f ，f p ) 破( ( 1 ) 一( 一1 ) ) f 。t q ( f ) d r 0 d ( v ) 的自由度可以确定过渡形函数空问f ( k ) 一个独特的元，也就是： 让v 。f f 丘1 其可以表示为 1 6 v ( l y ) = i ( f ，1 7 ) = 卢。p ，( f ，r 1 ) 把( 2 5 ) 代入( 2 1 ) 可以得到 d ( v ) = c b 其中 b = ( 届，：，届。) 。 c 是 1 7 中的插值矩阵且d e t ( c ) 0 。 其实际参数和a c m 元的参数一样 q ( v ) = ( v l , v l x , v l y ，”2 ，”2 x ，”2 y ，”3 ，”3 x ，”3 y ，”4 ，”4 z ，”4 y ) r ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 然后用 1 7 中的方法： d 。( v ) ( f = 1 , 2 ，3 ，4 ) 取精确值：d 5 ( v ) 一d 8 ( v ) 用v 在上相应的h e r m i t e 插值的对应值 来代替；d ，( v ) 一d 1 2 ( v ) 用梯形公式：d 1 3 ( v ) 一d , 6 ( v ) 用s i m p s o n s 公式所以离 散结果可以表示为 d ( v ) = g q ( v ) ， 其中g 是n 7 中矩阵 从( 2 6 ) 和( 2 7 ) 我们得到 b = c 。1 9 q ( v ) ( 2 9 ) 是( 2 5 ) 中与参数q ( v ) 有关的系数届卢。，届。 3 3 1 2 一矩形元的分析 由计算我们惊奇的发现 ( 2 8 ) ( 2 9 ) c 叫g 1o00 000 l 0000 0000 o0 o0 52 5 a 3 21 9 2 55 口 3 21 9 2 00 oo o 0 5 3 2 5 3 2 0 o 0 0 00 鱼 o 8 2 5 口5 b 1 9 21 9 2 5 a2 5 b 1 9 21 9 2 o o o o 00 一皇o 8 2 5 a5 65 1 9 21 9 23 2 5 a2 5 b5 1 9 21 9 23 2 o 2 48 0 0 2 5 a 1 9 2 5 a 1 9 2 00o0 000000 这 说明，一方面，系数b 有相同的表示式，因为上而的矩阵是一个常数阵，且所 谓的“一类1 2 一参高精度矩形板元”其实是一个；另一方面，由( 2 9 ) 的计算，我 们得到与1 2 参有关的届。= 届：= 届，= 届。= 0 ，所以，插补函数中的四项 p p 1 2 ，p 1 5 ，p 1 6 没有作用，也就是函数y 和的选择不影响刚度矩阵的表示式，所 以真正的形函数空间是 p ( k ) = s p 协1 ，p 2 ，p l o ，p 13 ，p 1 4 j = s p 口 i ，f ，_ ，勃，f 2 ，口2 ，f3 ，f 2 v ，_ 2 f 川3f 3 矾r 1 3 f 1 7 o o o o 68 o 6 8 6 一烈 0 o o o 竺8 0 1 8 o 旦8 o o 站一墨!拗一墨! o o 0 0 一8 l 一8 o 0 o 6 8 6一抖68 o o o o o o 口一8 o 旦8 o 旦8 旦m o o o o ，一8一8 o o 5一让5一弛 o o 6 8 6一抖68 o o 。o o 旦o o o 旦抖 0 0 0 o 一0 o 一0 o 6 一。 o 6一。6一抖6一。 。一。 。 。 。 ! 。兰舛 o o o o 一一。一一8 o o 砧一量|狲一m o o 这和a d i n i 元的形函数空间完全相同。 从( 2 5 ) 和( 2 8 ) 我们可以得到精确的和真正的参数q ( v ) 有关的1 2 个基本 函数的表达式 l = p 1 一百1 ，9 一n 。+ 瓦5p 1 3 t 西5 p 】4 ， 0“2 ) “j a 。v l x 。i p 5 一i p 7 8 p 9 一万p l o + 面p 1 3 + l 面p 1 4 bbbb5 b2 5 b 8 p 6 一i p 8 一面p 9 一i p l o + 面p 1 3 + 面p 1 4 11ee 。：2 p z + i p ，一扣。一妻伽一云肌 n 2 x = 一詈”詈旷；”i a 舶+ 裔肌+ 裔肌 bbbb5 b2 5 b i p 6 + p 8 + 瓦p 9 一i p l o 一面用3 一面i p l 4 _ v 3 ：”i 1 ”如+ 妻舶+ 如。 j v 3 d口“2 5 a5 “ i p 5 一i 97 一i 9 9 一j i 9 1 。一t i i p l 3 一i 西p 1 4 bbbb5 b2 5 b 虿p 6 一i p 8 一互孑p 9 一百p l o 一面p 1 3 一t 万p t 4 n = 肌一p ，+ m 一五5 朋一五5 肌 = ；”詈p ，一；p 。+ 云p 一。一卺舶一蔷p - n bbbb5 62 5 b i p 6 + 百p 8 + 面p 9 一百p l o + 面p 13 + 面a 4 进一步的整理得到 1 8 m = 击( 8 - 1 2 f 川口十1 8 白+ 4 f 3 + 4 0 3 _ 5 3 7 - 5 q 3 f ) 2 = 去( 8 十1 2 f 一1 2 r 一1 8 勃一4 f 3 + 4 7 1 3 + 5 ( 3 q + 5 口确， 3 = 击( 8 化f + 1 2 + 1 8 勃一4 f l 4 _ 3 - 5 ( 3 ，7 - s r z 3 4 ) ， 4 = 壶( 8 1 2 4 + 1 2 7 _ 1 8 翻+ 4 4 - 3 _ 4 r 3 + 5 向+ 5 朽) ， h = 1 9 击( 2 4 2 4 - 3 2 r + 3 0 f 口一2 4 f 2 + 2 4 f 2 _ + 2 4 f 3 + 8 口3 2 5 3 r - 5 口3 f ) ， 2 ，= 面1 ( - 2 4 - 2 4 ( ； + 3 2 口十3 0 勃+ 2 4 , - 2 _ 2 4 + 2 4 f 3 _ 8 q 3 _ 2 5 岛一5 r 1 3 ( ) = 击( 之4 - 2 4 ( + 3 2 q - 3 0 勃+ 2 4 - 2 + 2 4 ( z r + 2 4 ( 3 + 8 2 5 响劲， 4 ，= l 壶2 ( 2 4 2 4 ( 一3 2 _ 一3 0 4 q 一2 4 f 2 2 4 f 2 口+ 2 4 f 3 8 口3 + 2 5 f 3 _ + 5 13 f ) = 击( 2 4 - 3 2 - 2 4 r + 3 0 勃+ 2 4 r 1 2 栩幽+ 2 4 矿+ 8 广一5 勃一2 5 r 劲， n 2 y 面1 ( 2 4 + 3 2 ( 一2 4 q 一3 0 ( , 1 2 4 7 2 2 4 ( 2 7 + 2 4 l ；, 3 8 尹+ 5 f 3 q + 2 5 r 3 f ) ， = 击( _ 2 4 - 3 2 f - 2 4 一3 0 ( , z + 2 4 r 2 + 2 4 + 2 4 1 7 3 + 8 ( 3 + 5 ( 3 r 1 + 2 5 以) ， 4 ，= 面1 ( 一2 4 + 3 2 ( 一2 4 r l + 3 0 ( ，z + 2 4 1 7 2 2 4 f 2 _ + 2 4 ，7 3 - 8 ( 3 5 ( 3 r - 2 5 栩 3 4 结论 由以上证明和分析我们得到 1 、上述性质在其他相似和非相似元中均未见到过，例如， 9 中分析的矩形 元，1 4 中分析的著名的s p e c h t 元。 2 、上述分析提供给我们一种新的非常简单的且对进一步研究相容误差为 o ( h ：) 的矩形板元行之有效的方法。 例如：我们可以直接取自由度和形函数空问如下 d ( v ) = ( 4 ( v ) ，d 2 ( v ) ，d 9 ( v ) ，d l o ( v ) ，d 】3 ( v ) ，d 1 4 ( v ) ) 7 p + ( 足) = x p a n p 】，p 2 ，p l o ，p 】3 ，p ，4 ( 这就是a d i n i 元形函数空间) 真正的1 2 参离散形式和上面是一样的。 而后我们得到一类建立在常见的a d i n i 元形函数上的1 2 一参对称矩形元，并 且克服了a d i n i 元和广义协调元的不足经验证和 9 、 7 中的元是相等的。但 和 9 、 7 中的方法相比较，我们可以发现这种疗法更容易和简单。 3 s t o k e s 问题的一个新的三角形h e r m i t e 型二阶格式 3 1 引言 定常sl o k e s 问题是流体力学中的一个重要问题，它的混台有限元方法是一种 同时计算速度和压力的计算方法，即速度和压力被同时包含在变分形式中，这种 方法由h o j d 和t a y l o r 首先于1 9 7 4 年提出“，而后有众多的学者对此作了进一步 的研究，取得了许多漂亮的结果，如文献 2 3 3 0 等，但总体看来其论证方法都较 繁，自由度也较大，对于三角形元的二阶格式来说，到目前为止，最新的结果是 3 0 用l3 n p 构造了一个二阶h a p r a n g e 型格，同时又用1 i n p 自由度在速度形函数 空间为p o = p ；( e ) 2 + s p a n 智码驾) 2p 。( e ) 为受限制的三次h e r m i t e 型插值多项式时 构造了协调的h e m i t e 型二阶格式，显然此形函数空间太复杂。 本文构造了一个新的二次元h e r m i t e 型二阶格式，总体自由度也是1 i n p ，但 其形函数空间仅为p ：( k ) ，结构十分简单，计算量少，是到目前为止形函数空间 最为简单的二阶格式之一。 3 。2 一般知识 考虑下面s t o k e s 问题 一“+ 眇d 咖= ，在n 内， d i v u = 0 ，在q 内， “= 0 在t = 铀上， 其变分形式为： 求( u ，p ) em h 使 ( 3 1 ) 其中 i 口( “，v ) + 自( v ，p ) = ，( v ) ，v v m i lb ( u ，g ) = 0 ， v q h b ( v ，q ) 一f q d i vv d x d y ，f ( v ) n 设m 。c m ，h c h 是相应的有限元空间，则( 3 1 ) 的逼近问题为 求( ，p ) m h 使 口( “ ，v ) + b ( v ，p ) = f ( v ) ， v q h 以下用到的常数c 均与h 无关，不同的地方可以不相同 由 3 0 ，若存在线性算子r 。：m m h ，使对v v e m 6 ( v 一”，吼) = 0v q h 那么，就有离散的b b 条件成立 且若：( “，p ) 及( p ) 分别为( 3 1 ) 及( 3 3 ) 的解 则有： i i - 一l l 。+ 既i i 。_ c 。i n f l l , - v h ”嚣。卜吼 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 3 3 单元的构造及逼近格式 设qc r 2 是边平行于x 与y 轴的矩形区域，t 。是q 的一族正则三角形剖分 1 8 vk e t 。，设z 。( x ，y ) 为其三个顶点并令 0 j | y dxd q f n ) q (l q = ) q z 0 y l d = x m dv ：， v ) u ) v q f n ( = n ) _ _ ( x a v ，= v ，( z 。) v - x 2 筹( 铂，v 。，2 芸( 铂，d y e=coy ( v 。v 。) ，石= ( 矿_ ，圹y ，) 7 o x oo+ j 为其面积坐标( i = l ，2 ，3 ) 定义有限元( k ，p 。，。) 如下 p k = p 2 ( k ) = s p a n ( 。， 2 ，x 。， 。 i ， ! 。， 。 。( 3 4 ) n 。 v 1 ，v 2 ，v 3 ，；( d v l - d v 2 ) 再，( d v 2 - d v 3 ) 豸，l ( d v - d v i ) 磊 ( 3 5 ) 则v + v p 。，v 可表示为 v = v 1 2 1 + v 2 2 2 + v 3 3 + j ( 历。一d v 2 ) 平，z ：+ ( d v ：一d v 3 ) i 再z 2 勺+ ；( 所3 一肌，) 磊勺 设由( 3 6 ) 形成有限元空间为x n 2 f v j 。，v i 。= 0 ) 记 m = h ( h 6 ( q ) ) 2v a | kt ( i ) 2 ，v 盯e j ； ，e c 0 ( q ) ia i k e p l ( k ) , v ke f h , q 讹= o j ( 石) 2 = ( s p a n 2 1 2 2 2 3 ) 2 ( 3 6 ) 则f r 中元素v 可由k 上的自由度及f v 出咖唯一确定，而p ( k ) 中元素则可 由顶点的函数v ，( i = l ，2 ，3 ) 唯一确定。 引理i vv ( h 3 ( n ) ) ：，则存在w n x h 使 ( v w ，v ” ) 2 ( v v , v v h ) ，v ” 6 也 w 。i | t c ( 3 7 j i i v w n ! i 。c h l l v l l 证事实上取w 为p 。v 的投影即可 ( v ( 卜p l v ) 。，v v h ) = o v ” 6 屯 先对h 1 模项估计： 由于在h 1 。( q ) 中，半模和模等价，故有 c i i v - p l v 峰i v - _ v i = ( 审( v p l v ) ，v ( v p 1 v ) ) = ( v 。一q v ) ，v ( v x ) ) + ( v ( v q v ) ，v o q v ) ) = ( v 。一v ) ，v 。一x ) ) s0 v p l v l l l i v - x 1 1 ，v x s x 于是，由引理4 1 ( 见 3 0 ) 得 ii 1 1 _ c 。i n f 。| v x j c r 5 再对p 模项估计 考虑辅助问题： i 一2v p l v 在q 内， i y = 0 ，在a q 上 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 其变分形式为： ( v ，v w ) = ( v 一气v ，w ) ，v w h j ( q ) ， ( 3 1 1 ) 由l a x m i i g r a m 定理i 1 知，( 4 1 1 ) 存在唯一的解h 1 。( q ) nh 2 ( q ) 且有 ：c 酬。 ( 3 - 1 2 ) 由( 3 一1 ) 及搬x ，( ( v v p l v ) ，v x ) = 0 和引理4 - 1 ( 见 3 1 ) 有 i v - p l v 唁= ( v p 1 v ，v 一1v ) = ( v v ( v 一0 v ) ) ：( v ( y 一。) ，v o p l 。) ) + ( v 。，v ( v q ，) ) 5 l 妒一x l l 。卜o v l l ，垤e s l ：| | v | l 。s c h 刊i 。 i v - 酬。 于是，有 f l v 一与v 0 。c h 5 | f v l l 。，( s s 3 ) 结合( 3 9 ) 和( 3 1 4 ) 即得( 3 7 ) 证毕 虮在足义：rn ( h 1o ( q ) ) 1 3 ( h 4 ( q ) ) 一m n ， v l k = 乍vv 丘_ ， r 世v = w f k + c a k ，五2 ， w ，、为引理所定义，a 。= ( a 。a 。) 为待定常数。 ( 事实上，口r2 k ( v - ” ) a u + f r 2 1 卫2 五3 出咖) 汶时有： ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) b ( v - - r h v l , q h ) 2i n d i v ( v - - r h v 聃咖一f n 刖矧v - - r h v 蚴2 f 一吖) 柳心嘲) i r 一莓r 。- w ，, - c t x 2 t 2 2 2 3 蚴( 鳓加。 另一方面，由剖分的正则性知 故有 m 酬i 。s 胁讹如) 2 十( a 2 a l 2 2 2 3 ) 2 a x a y + 胁t 学) 2 + ( a ：学) 2 协咖 c ( a ? + 。；) = c l l a l l 2 。”w 难。 由定义知： 圳k 蚓1 1 , k + c h 一9 v - w h k 0 v 幢k = 乏| | v 忆2 k c 乏e 1 1 w 一幢k + h - 2 1 1 v w 一晤丘， 。望1 c ( 帅。州i i 。) s e l l v 嵫 ( 3 1 5 ) 定理3 1设( u ，p ) ( h 3 ( q ) nh 1 。( q ) ) 2x ( h 2 ( q ) ) 2 及( un ，p n ) 分别为 ( 3 1 ) ，( 3 ，3 ) 的解 则有： 则 l u - u h | | 1 + | 卜砒茎2 ( s 圳j ：) 证：设q h 是h 2 一h h 上的l 2 投影算子 v q h ( q ) 。i n 巩f i i ”- v , , | | 1 i i u i i “u l 。“2 | | “i i 。 ( i i 、：为( h3 q ) ) 2 一m 、的插值算子) f l 卜一“! 十1 | p p i i o k c ，。i 。n f 。，。i i 一”n m + 。i 。n f h 。j l p g 一4 。 g 鼢 一 嘞酌 情又 c ( i lu i i 。ul l ，+ | | p - q 、pl l 。) 证毕。 致谢 在此，我非常感谢我的导师石东洋教授，石老师渊博的知识、高尚的师德、 严谨的治学态度和勇攀科研高峰的精神令我佩服，从石老师处我不但学到了许多 理论知识，同时也学到了许多做人的道理。尤其是在本文的写作过程中，石老师 给予了很多的帮助和指导，使我深深体会到导师的辛苦，在此，我向石老师表示 由衷的感谢和深深的敬意! 同时，我还要感谢陈绍春教授，在读硕士课程期间，陈绍春教授一直以来都 给予了我很多的关怀、帮助和鼓励，使我终生受益。 最后要感谢所有给予我关心、帮助、鼓励和支持的老师、同学、同事、朋友 及家人，大家的关心和帮助我会永远记在心间，并以此为鼓励不断提高自己学术 水平，同时也希望你们在今后的生活、工作和学习当中能身体健康、工作顺利、 不断进步、勇创佳绩! 参考文献 1 陈绍春，石钟慈，构造单元刚度矩阵的双参数法，计算数学，1 9 9 1 ，1 3 ( 3 ) 2 8 6 2 9 6 2 j 石钟慈，陈绍春，九参数广义协调元的收敛性，计算数学，1 3 ：2 ( 1 9 9 1 ) 1 9 3 2 0 3 3 石钟慈，陈绍春，九参数拟调元的直接分析，计算数学，1 9 9 0 ，1 2 ( 1 ) ：7 6 8 4 4 z c s h i ，s c c h e n ，a n a l y s i so fan i m ed e g r e ep l al eb e n d i n ge 1e m e n t o fs p e c h t ，m a t h n u m s i n ，1 9 8 9 ，1 l ( 3 ) ：r 1 2 - 3 1 8 ( c h ir e s e j n u m m a t h a p p l ，1 9 8 9 ，1 1 ( 4 ) ：7 3 7 9 ) 5 s h iz h o n g c i ，t h ef - e m t e s tf o rc o n v e r g e n c eo fn o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n t s ，m a t h c o m p u t ，4 9 ( 1 9 8 7 ) ，3 9 卜4 0 5 i 6 h 小明，九参数双参数元与广义协调元的对称列式，计算数学，1 5 ：4 ( 1 9 9 3 ) 4 7 2 - 4 7 7 7 h 小明，双参数法的一些扩展及其在矩形板元中的应用，计算数学，1 7 ：1 ( 19 9 5 ) ，6 5 7 2 8 s c c h e n ，d y s h i ，1 2p a r a m e t e rp l a t ee l e m e n tw i t hg e o m e t r i cs y m m e t r y n u m e r m a t h j c h i n e s eu n i v e r s e r a ，1 9 9 6 ，1 8 ( 3 ) ：2 3 3 2 3 8 9 石钟慈，陈千勇，一个高精度矩形板元，中国科学，2 0 0 03 0 ( 6 ) ：5 0 5 5 1 5 1 0 h 小明，关于对称双参数法的一般化，计算数学，1 2 ：2 ( 1 9 9 6 ) ，1 5 5 1 6 0 1 1 陈绍春，有限元的双参数法，博士学位论文，中国科技大学，合肥，1 9 8 8 1 2 石东洋，非协调有限元问题的研究，博士学位论文，西安交通大学，1 9 9 3 1 3 z c s h i ，s c c h e n ，h c h u a n gp l a t e e l e m e n t sw i t hh i g ha e c u r a c y ，i n l i t t e d c o l l e c t g e o m a n a l ，m a t h p h y s ，s i n g a p o r e ，w o r l ds o i e n t i f ic 1 9 9 7 ：1 5 5 1 6 4 ：i 4 d y s h j ，s c c h e n a c c u r a c ya n a l y s js o f 1 2 一p a r a m e t e rr e c t a n g u l a r e i e m e n tw i t h g e o m e t r i cs y m m e t r y s y s t e m s s c i e n c ea n dm a t h e m a t ic s s c i e n c e2 0 0 0 ，1 3 ( 2 ) ：1 4 6 1 5 i i 5 石钟慈，石东洋，关于双参数九参板元及广义协调元的对称列式，计算数 学1 9 9 6 1 8 ( 2 ) ：4 2 2 - 4 2 5 1 6 陈绍春，石东洋，非协调板元一般误差估计式，计算数学，2 2 ：2 ( 2 0 0 0 ) ， 2 9 5 3 0 l 1 7 陈绍春，罗来兴，一类高精度1 2 参板元，高校应用数学学报 l 8 p g c i a r l e t ，t h e p i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r e l l i p t i cp r o b l e m ， n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 7 8 1 9 y q l o n g 。k g