（一般力学与力学基础专业论文）轴向运动连续体横向振动及相关问题分析.pdf

上海大学上j 市应用数学与力学研究所硕士学位论文 摘要 本文主要对轴向运动连续体的振动及相关问题进行了研究。 首先，系统地叙述了轴向运动连续体的横向振动的研究背景和现 状。然后具体描述了本文所涉及的两种分析方法，即模态分析方法和 频域分析方法。本文将应用和发展这两种分析方法，研究轴向运动连 续体横向振动及其相关问题。 其次，研究了轴向运动弦线横向振动的两个问题。轴向运动弦线 是多种工程系统的模型，在弦线方面做了两个方面的工作。基于轴向 运动弦线的横向振动复模态分析推导出的固有频率和模态函数，研究 了其轴向运动弦线的共振，计算了共振时的振动响应。为了明确轴向 运动弦线横向振动的频域特性，以及探索频域方法的应用特点，文中 用频域方法分析轴向运动弦线的横向振动。基于轴向运动弦线横向振 动的无量纲动力学方程和边界条件，通过l a p l a c e 变换导出频率域中 的控制方程，并将该控制方程和边界条件用状态变量表示。由状态空 间中的控制方程导出特征方程，从而求出固有频率。由轴向运动弦线 的矩阵函数计算得到系统的传递函数，然后用留数定理计算传递函数 的l a p l a c e 逆变换，这样就可以得到时域响应。最后分析了齐次边界 条件下轴向运动弦线的横向共振和在运动集中力作用下的振动响应， 若简谐外激励的频率与系统固有频率相同，系统响应将随时间无限增 加。 再次，提出了阻尼连续体的复模态分析方法。模态分析法是处理 上海大学上待_ j 应用数学与力学讲究所硕l 学位论文 振动问题的一种有效方法虽然实模态分析法可以应用于离散系统和 连续系统，但复模态分析法通常局限于离散系统。对于连续系统，复 模态分析方法仅应用于陀螺系统，但尚未应用于阻尼系统。本文发展 了有阻尼连续体振动的复模态分析方法。利用正交的特征函数可以将 由两个对称微分算子定义的状态矢量形式的控制方程解耦，得到在任 意初始条件和外激励作用下的系统响应的明确表达式。并将复模态分 析方法应用于黏弹性梁的横向振动中。梁的材料是k e l v i n 模型。在 两端简支和两端固定的边界条件下，分别计算其固有频率、衰减系数 和模态函数。基于固有频率和模态函数，可以得到两种不同边界条件 下，黏弹性梁对于任意初始条件和外激励的响应。 此外，还运用频域分析方法分析了轴向运动黏弹性梁的横向振 动。以简支梁情形为例，研究了随黏弹性系数、轴向力和轴向运动速 度对固有频率和衰减系数的影响。 最后，对本文所做的工作和得到的结果进行了总结，并且展望需 要进一步深入研究的工作。 关键词：轴向运动弦线，共振，传递函数，黏弹性梁， 复模态分析法，频域分析 ! ：查查兰圭塑立窒旦垫兰兰塑兰翌窒堑堡主堂垡! ! 苎 a b s t r a c t t h ep a p e rs t u d i e dt h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gc o n t i n u aa n d r e l a t e dp r o b l e m s f i r s t ，t h i sp a p e rs y s t e m a t i c a l l yp r e s e n t e d t h er e s e a r c h b a c k g r o u n d a n d n o w a d a y sp r o g r e s so ft h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no fa na x i a l l ym o v i n gc o n t i n u a t h e n t w om e t h o d s ，n a m e l yt h ec o m p l e xm o d ea n a l y s i sm e t h o da n dt h ef r e q u e n c yd o m a i n a n a l y s i sm e t h o d ，w e r ed e s c r i b e d t h et w om e t h o d sw o u l d b ed e v e l o p e da n da p p l i e d i nt h et h e s i s s e c o n d ，t w op r o b l e m so ft a n s v e r s ev i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gs t r i n g sw e r e s t u d i e d a x i a l l ym o v i n gs t r i n g sc a r tr e p r e s e n tm a n ye n g i n e e r i n gd e v i c e s t h et h e s i s w o r k e do nt h et o p i c b a s e do ni t sn a t u r a lf r e q u e n c ya n dm o d a lf u n c t i o n sd e r i v e df r o m t h ec o m p l e xm o d ea n a l y s i s ，t r a n s v e r s er e s o n a n c eo fa na x i a l l ym o v i n gs t r i n gw a s i n v e s t i g a t e d ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s p o n s ew a sc a l c u l a t e d i no r d e rt ou n d e r s t a n d t h et r a n s v e r s ev i b r a t i o ni nt h e f r e q u e n c yd o m a i n ，a n d t oe x p l o r et h e a p p l i c a t i o no f f r e q u e n c yd o m a i na n a l y s i s ，t h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gs t n n g sw a s a n a l y z e dv i at h ef r e q u e n c yd o m a i nm e t h o d t h el a p l a c et r a n s f o r mw a sa p p l i e dt o t r a n s f o r mt h eg o v e r n i n ge q u a t i o no ft h et r a n s v e r s ev i b r a t i o no f a x i a l l ym o v i n gs t r i n g s f r o mt i m ed o m a i ni n t of r e q u e n c yd o m a i n ，t h et r a n s f o r m e dg o v e r n i n ge q u a t i o na n d b o u n d a r y c o n d i t i o n sw e r ee x p r e s s e di nt e r m so ft h es t a t ev a r i a b l e s ，t h ec h a r a c t e d s t i c e q u a t i o nw a sd e r i v e df r o mt h eg o v e r n i n ge q u a t i o ni nt h es t a t es p a c e ，a n dt h en a t u r a l f r e q u e n c i e sw e r es o l v e df r o mt h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n t h et r a n s f e rf u n c t i o nw a s d e r i v e df r o mt h em a t r i xf u n c t i o no f a x i a l l ym o v i n gs t r i n g s t h e nt h ei n v e r s el a p l a c e t r a n s f o r m ，w i t ht h er e s i d u et h e o r e m ，w a se m p l o y e dt oc a l c u l a t et h et i m ed o m a i n r e s p o n s ef r o m t h e f r e q u e n c y d o m a i n r e s p o n s e t h e tr a n s v e r s er e s o n a n c eo f a x i a l l y m o v i n gs t r i n g sw a sa n a l y z e d i tw a sf o u n dt h a tt h er e s p o n s ew o u l di n c r e a s ew i t ht h e t i m ei ft h ef r e q u e n c yo ft h ee x t e r n a ls i m p l yh a r m o n i ce x c i t a t i o nw a se q u a lt oo n eo f t h es t r i n g sn a t u r a lf r e q u e n c i e s w h a t sm o r e ，t h er e s p o n s e so ft h es t r i n gs u b j e c t e dt oa m o v i n g c o n c e n t r 缸e dc o n s t a n tl o a dw a sa l s o p r e s e n t e d i i ! ：查叁兰兰童! ! 窒旦塑兰皇垄兰里塞里塑圭兰堡丝苎 一 t h i r d ，t h ec o m p l e xm o d a la n a l y s i sw a sd e v e l o p e df o rd a m p e dc o n t i n u u m m o d a la n a l y s i si sa ne f f e c t i v ea p p r o a c ht ot a c k l ev i b r a t i o np r o b l e m s f o rv i b r a t i n g s y s t e m s w i t hn e i t h e rd a m p i n gn o rg y r o s c o p i ct e r m s ，r e a lm o d e s c a nb ei n t r o d u c e dt o d e c o u p l e t h ee q u m i o n so f m o t i o nf o rb o t hd i s c r e t ea n dc o n t i n u o u ss y s t e m s i nd i s c r e t e c a s e ，c o m p l e xm o d a la n a l y s i sw a sd e v e l o p e d b o t hf o rd a m p e d s y s t e m s i nc o n t i n u o u s s y s t e m s ，c o m p l e xm o d a la n a l y s i sw a sd e v e l o p e df o rgy r o s c o p i cs y s t e m s h o w e v e g t h el i t e r a t u r et h a tw a s s p e c i a l l y r e l a t e dt oc o m p l e xm o d a la n a l y s i so f d a m p e dc o n t i n u a w a sv e r yl i m i t e d t h i st h e s i s p r o p o s e dt h ec o m p l e xm o d a la n a l y s i sp r o c e d u r ef o r v i b r a t i o no fd a m p e dc o n t i n u a t h eg o v e r n i n ge q u a t i o ni nt h es t a t ev e c t o rf o r m ， d e f i n e db yt w os y m m e t r i cm a t r i xd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，w a sd e c o u p l e db yu s eo f c o m p l e xe i g e n f u n c t i o n st h a tw e r eo r t h o g o n a lt oe a c ho t h e r t h ee x p l i c i te x p r e s s i o n w a so b t a i n e df o rt h er e s p o n s e st oa r b i t r a r yi n i t i a lc o n d i t i o n sa n de x t e r n a le x c i t a t i o n t h ec o m p l e xm o d a la n a l y s i sw a sa p p l i e dt ot r a n s v e r s ev i b r a t i o no fav i s c o e l a s t i c b e a m t h eb e a m sm a t e r i a lw a sc o n s t i t u t e d b y t h ek e l v i nm o d e l t h en a t u r a l f r e q u e n c i e s ，t h ed e c r e m e n tc o e f f i c i e n t s ，a n dt h em o d a lf u n c t i o n sw e r ec a l c u l a t e d u n d e rth esi m p l ysu p p o s e db o u n d a r yc o n d i t i o n so rf i x e d e n db o u n d a r yc o n d i t i o n s b a s e do nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dt h em o d a lf u n c t i o n s ，t h er e s p o n s e so ft h eb e a m t ot w o t y p i c a le x t e r n a le x c i t a t i o n sw e r e a l s o p r e s e n t e d i na d d i t i o n ，t h et r a n s v e r s e “b r a t i o no ft h ea x i a l l ym o v i n gv i s c o e l a s t i cb e a m w a sa n a l y z e dv i at h ef r e q u e n c yd o m a i na n a l y s i sm e t h o d i nt h ec a s eo fas i m p l y s u p p o s e db e a m ，t h ee f f e c t so f t h ev i s c o e l a s t i c i t yc o e f f i c i e n t ，t h ea x i a lt e n s i o n ，a n dt h e a x i a l l ym o v i n gs p e e do nt h en a t u r a lf r e q u e n c i e sa n dt h ed e c r e m e n tc o e f f i c i e n t sw e r e n u m e r i c a l l yd e m o n s t r a t e d f i n a l l y , t h er e s u l t so f t h et h e s i sw e r es u m m a r i z e d ，a n dt h ef u r t h e rw o r kw a s s u g g e s t e d k e yw o r d s ：a x i a l l ym o v i n gs t r i n g ，r e s o n a n c e ，t r a n s f e rf u n c t i o n ，v i s c o e l a s t i cb e a m ， c o m p l e x m o d a l a n a l y s i s ，f r e q u e n c yd o m a i na n a l y s i s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导f 进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：垒】蔓e t 期丝丝圭j 一 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：蛆导师签名；! 至圭墨垒日期： 夏廿r 第一章前言 第一章前言 1 1 概述 1 。1 1 研究背景和意义 在过去的几十年里，轴向运动连续体的横向振动的控制和分析已有了广泛的 研究。动力传送带、磁带、纸带、纺织纤维、带锯、空中缆车索道、高楼升降机 缆绳、单索架空索道等多种工程系统元件，在适当的假设条件下均可以模型化为 轴向运动连续体。轴向运动连续体的振动及其控制的研究有着重要的应用价值 i , 2 , 3 1 。例如：在磁带装置中，振动导致信号调制和加速磁带磨损；汽车发动机的 平带驱动系统中带的振动将产生噪声并影响发动机运转的平稳性和可靠性；带锯 的振动导致较差的切削质量等等。因此，研究轴向运动连续体的横岛振动对这些 工程设备的设计是尤为重要的。 轴向运动的柔性弦线和轴向运动欧拉一伯努利梁是轴向运动连续体的最普 通的模型。弦线是忽略抗弯刚度的一维连续体，它的重力和它所受的张力相比充 分的小。一些细长的工程元件像皮带、电缆、链子、磁带等在它们的抗弯刚度相 对很小时，可以模型化为弦线；然而当它们有相当大的抗弯刚度时，则可以模型 化为运动梁。研究轴向运动连续体的横向振动和控制也有重要的理论意义。比如 弦线和梁都是简单的一维连续体，对于研究更复杂的连续体有一定的指导意义。 本文主要是应用复模态分析方法和频域分析方法来分析连续体的振动。下面 着重论述一下弦线和粱的振动研究的发展及频域分析方法。 1 1 2 轴向运动弦线和梁的振动研究的发展 轴向运动连续体的研究历史可以上溯到1 8 7 8 年a i k e n n 的实验观测和分析 “j ，但相关研究受到广泛关注并成为活跃的领域开始于上一世纪后半叶。轴向 运动弦线采用线性振动模型时有严格的要求：( 1 ) 横向位移与跨距相比很小，( 2 ) 初始张力充分大，这样由于弦线的伸长导致的振动就可以忽略。考虑单位长度 质量为p 的均匀弹性弦线，其弹性模量为e ，张力为p ，其轴向运动速度为n 弦线通过相距为的固定小孔，横向位移为饥五力设它受分布力为月嘁乃 第一章前言 作用。采用经典轴向运动弦线振动分析的假设。s w o p e 和a m e s 【5 】( 1 9 6 3 ) 利用 牛顿第二定律以及a r c h i b a l d 和e m s l i e f 6 】( 1 9 5 8 ) 利用哈密顿原理都得到其动力学 方程为 尸( 【7 + 2 阿盯+ v2 u x x ) 一p u x x = f ( x ，) ( 1 1 ) 令 z = 享“= 兰= 稚，兰p t l - - 一矿摇 2 ，z = 一“= 仆 ，= v = y ， 二：l iz ) 三 上 三p 。 v 尸 、。 则得到轴向运动弦线横向振动的动力学方程的无量纲形式为 亭十2 v 嘉( 1 ) 窘叫) ( 1 3 ) 最基本的边界条件是齐次边界条件，即 u ( o ，f ) = 0u ( 1 ，r ) = 0 ( 1 4 ) 对于轴向运动弦线的研究，其早期的工作主要讨论了振动的频率和对各种具 体激励的响应。s k u t c h t 7 埽0 用两个波反向传播的方法得到了该系统的基频。s a c k s l 研究了一端受简谐横向位移激励时运动弦线纵向振动的响应，由共振关系得到了 该系统的固有频率 驴等 等居 s ， m a h a l i n g a m t 9 1 以轴向运动弦线为力学模型研究动力传输链的振动，由于齿轮上的 链为多边形而非理想的圆形，弦线在两端边界受到同频异相横向位移激励的作 用，用叠加的方法可以得到系统响应，他还在计及阻尼时发现共振振幅随轴向速 度减小，与实验结果一致。c h u b a c h i t l 0 】研究了小刚度和张力的轴向运动弦线，并 发展了计算固有频率的迭代法。 模态分析是处理线性振动的一种很有效的方法( m e i r o v i t c h 【u j 2 1 1 9 6 7 ，1 9 9 7 ) ，现 在已发展到用来研究离散陀螺系统( m e i r o v i t c h 【1 3 3 4 1 1 9 7 4 ，1 9 7 5 ) 或连续陀螺系统 ( d e l e u t e r i o 和h u g h e st l ( 1 9 8 4 ) ，h u g h e s 和d e l e u l e r i o t i ( 19 8 6 ) ) 。w i c k e r t 和 m o t e l l 7 1 ( 1 9 9 0 ) 最先采用模态分析的方法来处理轴向运动弦线的横向振动的，并得 n t 对于一般激励的响应。方程( 1 3 ) 可以写成无穷陀螺系统无量纲形式： 2 第一章前言 m 娑+ g 孚+ k u ：f( 1 。6 ) 8 t 2 a 、 其中 吖= g = 2 v 旦o x 石叫1 ) 罢o x ( 1 - 7 ) _ 迸一步可以定义个对称算子和一个反对称算子将方程( 1 6 ) 用状态空间表达式 的形式表示，在给定边界条件下，例如在方程o 4 ) 下，可导出系统的本征值私本 征函数，最终利用g r e e n 函数得到了任意外激励作用下响应的积分表达式 u ( x ，) = i b ( 孝) g ( x ，善；，) + 口【孝) ( g ，( x ，f ；，) 一2 v g f ( x ，孝；，) ) d 善 + 1e g ( x ，善；f 一，) 厂( f ，f ) d 善d ， 1 8 其中g r e e n 函数为 g ( 置鲫= 仃( r ) 善意8 i n 觚1 - - v 2 ) 7 c v ( x f ) s i n ( 行冗x ) s i n ( 仰f )( 1 9 ) 初始条件为 “( z ，o ) ：a ( 工) ，掣攀：6 ( x )( 1 i l o t 川力为h e a v i s i d e 函数。 关于轴向运动梁的研究，首先是m o t e 用h a m i l t o n 原理建立了轴向运动梁的 数学模型，并计算两端是简支的边界条件时前三阶固有频率和模态【18 1 。他的结 果得到实验证实1 9 1 。s i m p s o n l 2 0 1 细致地研究了轴向运动梁在两端固定边界条件下 的固有频率和模态函数。 轴向运动梁的横向自由振动动力学方程的无量纲形式为【嘲 窘砌翥一c i 奶窘+ 雾一o ， 其中无量纲横向位移“为横向位移与两端点距离的比，无量纲坐标z 为轴向坐标 与两端点距离的比，为无量纲时间，如，0 为无量纲外激励，无量纲轴向运动速 度v 为轴向运动速度与静态弦中波速的比，为无量纲轴向初始张力。方程( 1 1 1 ) 可以写成同弦线一样的无穷陀螺系统无量纲形式 m 0 2 u + g 害+ 雅= ( i 哟 苎二兰堕童一 其中 m ：，g 功昙= 一( 2 - - v 2 ，导+ 若 功 锻 w i c k e r t 和m o t e t l 7 1 ( 1 9 9 0 ) 不仅完全解决了轴向运动弦线线性振动响应问题， 并且得到了轴向运动梁振动频率数值解。r e n s h a w 和m o t e 2 1 ( 1 9 9 6 ) ，k a o 等 2 2 ( 1 9 9 8 ) 及r i e d e l 和1 2 3 1 ( 1 9 9 8 ) 在轴向运动弦线( 梁) 的振动分析方面做了许多 工作。 1 1 3 频域分析方珐 传递函数法是处理分布参量系统的一种有效方法，尤其是处理那些具有约 束和耦合的复杂问题。y a n g 和t a n1 2 4 2 5 ( 1 9 9 2 ) ；f f f $ f i ：得到了一维分布参量系统的 传递函数法。一维分布参量系统表示成一维玎阶线性微分算子方程 等+ b 妄+ c ) w ( 列) = m ，f ) x ( o ，1 ) ， o( 1 1 4 ) 非齐次边界条件为 m j w ( x ，) ，；o + a 0 w ( x ，) j ，：l = ，毋( f ) ， ，0 j = 1 , 2 聍( 1 1 5 ) 其中w ( x ，f ) 是系统响应，以砖t ) 是p b 激励，a 、b 和c 是如下形式的空间微分算 子 彳= 静等b = 挚篆c = 酗n - f i 扩r a k , b k 和气是常数，r i a ij 2 + b kf2 + fc 女f 2 0 ，m j 和n j 是第- ，阶时域空间线性微 分算子，( ，) 是已知函数，分布参量系统的初始条件可以写成如下形式 w ( 为圳t = o = g o ( x ) 昙氓圳l t = o v 0 ( 班舵( o ，1 )( 1 1 7 ) 将方程( 1 1 4 ) 进行l a p l a c e 变换得到 5 2 一+ 5 b + c 面t 5 ! f ( x ：( 叫+ b ) u 。( x ) + a v 。( 。) ( 1 1 8 ) = ，s ) + ( 叫+o ( x ) +o ( 工) 、 其中万( ，j ) 和夕( s ) 分别是w ( ，) 和厂( ，) 的l a p l a c e 变换，s 是一个复参数。边 界条件式( i 1 5 ) 的l a p l a c e 变换为 4 苎= 兰萱宣 鸩以不d k - 0 + ，缸芦“黧慨， 川l , z 。 ( 1 1 9 ) 2 y 8 | u ) + y | i u ) ， j2 。n 其中甄和z 是分别是算子码和，在时l 日j 导毅舁于瓦0 利矿0 2 被s 和s 2 替代后 得到的形式。如( 5 ) 是y 毋( ，) 的l a p l a c e 变换形式，而乃( s ) 表示在边界工2 0 和严1 时用5 表示的初始条件的多项式，方程( 1 1 8 ) 和方程( 1 1 9 ) 的解为t 2 6 1 而( 舻) = f g 。( z ，善，j 坑( 删d + 乏办( 玩( s ( 1 2 0 ) 其中g 。( x ，手，s ) 是分布参量系统( 1 ) 的传递函数，( x ，5 ) 表示系统响应中非齐次 边界条件( 1 1 8 ) 的影响。值得注意的是g o ( x ，f ，j ) 的l a p l a c e 逆变换恰好正是分布 参量系统( 1 1 4 ) 的格林函数口7 l 。方程( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 写成状态空间的形式 丢拈一卵( 咖( ”) 州舻) ，髓( o ，1 ) ( 1 12 1 )取、z ， m ( s ) g ( o ，s ) + n ( s ) g ( 1 ，s ) = y ( s ) ， 其中 孵渤= k s ) 去嘶) 筹晰) 7 ( 1 z z ) 1 0 ) 和 ) 是n x n 的复数矩阵包含丽，和丙，的微分算子。 分布参量系统的特征方程为 d e t m ( s ) + n ( s ) e 7 5 ) = 0 ( 1 2 3 ) 方程( 1 2 3 ) 的根就是分布参量系统的特征值，也是g 。( x ，善，5 ) 和妒，( x ，s ) 的极点。 t a n 和c h u n g 2 8 1 ( 1 9 9 3 i ) 发展了一种广义位移的方法( g d m ) 来计算约束分布 参量系统的自由振动响应和受迫振动响应。这种方法仅需要利用广义力约束。 c h u n g 和t a n 口9 1 ( 1 9 9 3 1 1 ) 主要将这种方法运用到两种典型的约束分布参量系统 中，种是关于两端都自由的梁的自由振动分析，另一个是部分弹性基础上的弦 线和梁的动力特性的研究。 1 2 研究内容 第一章前言 在弦线和梁的振动分析和控制方面已有大量的研究，作者在前人研究的基础 上做了一些工作。 1 2 1 在轴向运动弦线方面的工作 这部分的研究都是在线性弹性体的基本假设的基础上进行的。其假设为：材 料是均匀连续的：在所有情况下应力都不超过弹性极限，并服从虎克定律：任意 一点的变形都是微小的，满足连续条件等。这是建立连续系统振动理论的前提。 1 w i c k e r t 和m o t e 研究了轴向运动连续体包括弦线的横向振动【l ”。他们得 到了一般激励的响应，但并不能直接用于共振的情形。在这方面本文主要分析轴 向运动弦线横向共振时的振动响应，在求解的过程中主要运用了l a p l a c e 变换及 其反交换的方法来求解主坐标，得到弦线共振时的横向共振响应。 2 w i c k e r t 和m o t e 把轴向运动弦线作为陀螺连续系统，应用复模态分析方法 和格林函数方法得到了对一般激励作用下的振动响应i 。y a n g 和t a n 提出了一 维分布参量系统的传递函数分析方法 2 4 , 2 5 1 。t a n 和c h u n g 将传递函数法应用于受 约束分布参量系统的振动问题分析 2 7 , 2 8 】。轴向运动弦线是多种工程系统的模 型。为明确轴向运动弦线横向振动的频域特性，及探索频域方法的应用特点，拟 用频域方法分析轴向运动弦线的横向振动。基于轴向运动弦线横向振动方程和边 界条件，通过l a p l a c e 变换导出频率域中的控制方程，并将该控制方程和边晃条 件用状态变量表示。由状态空间中的控制方程导出特征方程，从而求出固有频率。 由轴向运动弦线的矩阵函数计算得到系统的传递函数，然后用留数定理计算传递 函数的l a p l a c e 逆变换，这样就可以得到时域响应。最后分析了轴向运动弦线的 横向共振，若简谐外激励的频率与系统固有频率相同，系统响应将随时间无限增 加。运用传递函数法分析轴向运动弦线的横向振动问题，得到了频域响应，并计 算其时域的共振响应，其结果与前一部分直接由模态函数方法的求解相一致。 1 2 2 黏弹性梁振动分析的相关工作 1 黏弹性材料在工业界有着越来越广泛的应用1 30 1 ，因此黏弹性系统的振动 分析问题也越来越受到重视。黏弹性系统的自由振动和简谐受迫振动通常利用待 定系数法进行分析川，但该方法应用于计算对任意激励的响应有一定困难。模 6 苎= 主萱童 态分析法是处理振动问题的一种有效方法。虽然实模态分析法可以应用于离散系 统和连续系统，但复模态分析法通常局限于离散系统 3 2 】。对于连续系统，复模 态分析方法仅应用于陀螺系统1 1 6 , 1 7 , 3 3 ，尚未应用于阻尼系统。本文发展有阻尼连 续体振动的复模态分析方法，并以黏弹性梁的弯曲振动为例阐述了其应用。 发展复模态分析研究黏弹性梁的横向振动。将梁的控制方程写作状态变量的 形式，然后利用复模态的正交性可解耦为无穷多个彼此独立的常微分方程组。基 于固有频率和模态函数，可以得到黏弹性梁对于任意初始条件和外激励的响应。 分别在两端简支和两端固定的边界条件下确定黏弹性梁的固有频率，衰减系数和 模态函数，并计算了两种边界条件下。梁在两种典型外激励作用下的响应。 2 关于轴向运动黏弹性梁的研究，笔者没有发现关于它的文献。本文黏弹 性梁的振动分析和弦线振动分析的基础上进行运动黏弹性梁的振动分析。笔者认 为轴向运动黏弹性梁横向振动用频域分析相对复模态分析方法来说要简单，而且 适用于计算机编程计算。基于轴向运动黏弹性梁的横向振动方程和边界条件，通 过l a p l a c e 变换导出频率域中的控制方程，并将该控制方程和边界条件用状态变 量表示。由状态空间中的控制方程导出特征方程，从而求出固有频率。由轴向运 动黏弹性梁的矩阵函数计算得到系统的传递函数，进而求出系统的频域响应。对 于轴向运动黏弹性梁的横向振动，文中主要分析了系统的各个参数对系统固有频 率和衰减系数的影响。 第二章轴向运动弦线横向共振分析 第二章轴向运动弦线横向共振分析 2 1引言 动力传输带、录音机磁带、空中缆车索道、高楼升降机缆绳带等诸多工程系 统元件，忽略抗弯刚度时，可模型化为轴向运动弹性弦线，其振动和稳定性问题 已有大量研究t l , 2 1 。w i c k e r t 和m o t e 研究了轴向运动连续体包括弦线的横向振动 t 3 1 。他们应用g r e e n 函数的方法得到了般激励的响应但并不适用于共振的情形。 而共振是振动研究的一个很重要的方面。基于w i c k e r t 和m o t e 关于轴向运动弦 线的横向振动复模态分析，本篇主要用复模态分析方法研究轴向运动弦线的共 振，并计算共振时的振动响应，分析了外激励频率与系统一阶频率相同时产生共 振的横向振动响应，其余共振情形以次类推。 2 2 轴向运动弦线的横向振动的复模态解耦 2 2 1 固有频率和模态的推导 考虑单位长度质量为p 的均匀弹性弦线，其弹性模量为e ，张力为尸，其 轴向运动速度为n 弦线通过相距为l 的固定小孔，横向位移为u 誓d ，设它 受分布力为月乃作用。采用经典轴向运动弦线振动分析的假设。其动力学方 程为 p ( ，玎+ 2 f 7 ，0 + 矿2 e ，i 桃) 一p u x x = f ( x ，r ) ( 2 1 ) 令 肛享忙旦，= 端z = 万f l l脚据 ( 2 2 ) 工2 。i “3 7 2 z j 万 r 2 万”。矿1 暑 ( 2 。2 ) 则得到轴向运动弦线横向振动动力学方程的无量纲形式为： 害砌嘉- ( 1 ) 害= l ( x , t ) ( z 3 ) 其中无量纲横向位移“为横向位移与两端点距离的比，无量纲坐标x 为轴向坐标 与两端点距离的比，r 为无量纲时间，石( x ，0 为无量纲外激励，无量纲轴向运动速 度v 为轴向运动速度与静态弦中波速的比，在多数工程问题中都满足亚临界运动 第二章轴向运动弦线横向共振分析 咐，= 鼢如，忙 书 曼，剖占5 【。蔫邓 肚l 叫h 2 ，刮肚k ：翟、 ( 2 4 ) ( 2 5 ) = j w i 。w 2 d x ( 2 6 ) 式( 2 6 ) 中面z 上面的横线表示复数的共轭，由于a 是对称的，且当弦线的轴向运 动速度充分小( 仄1 ) ，算子爿是正定的。曰是反对称的；则有 = ( w l ，a w 2 = 一( 2 7 ) 弦线两端固定时，在其边界条件0 即，0 = 0 ，“( 1 ，0 = 0 ) t ，式( 2 ，1 ) 的鳃具有分离变量 形式 u ( x ，f ) 2 妒( x ) e 。 f 2 8 1 其中五为纯虚数，记为厶= i 翰；复函数( x ) 为 0 0 掣( 功+ i 以( x ) ( 2 。9 ) 设方程( 2 4 ) 赞 。1 w ( x ，f ) = r e 斜( ! ) e “ ( 2t o ) 其中复模态函数以( x ) 的实部和虚部分别为群( x ) 、妒：( x ) 。则 肌，2 一兹h 胁( 一凇曲 眨 且簖( x ) 和( x ) 满足正交关系 ( a 妒：l 庐： = 6 。 = 0 = 吃。 b 配 = 0 9 心 口 嚷 0 砖 声 玳吼 第二章轴向运动弦线横向共振分析 将“0 ，0 = 仃) e m 代入方程( 2 2 ) 的齐次形式中可得： 名i f ，( x ) + 2 v 五( x ) 一( 1 一v 2 ) p “( x ) = 0( 2 1 3 ) 则有 ( z ) = c le i 。+ c 2 e l + v ( c i ，c 2 是常系数)( 2 1 4 ) 考虑弦线两端固定的边界条件则有 妒( o ) = 0( 1 ) = 0( 2 1 5 ) 将式( 2 1 4 ) 代入式( 2 1 5 ) 则可以得到固有频率= 门( 1 - v 2 ) ，且由正交关系式( 2 1 2 ) 可褥 2 2 2 复模态解耦 记w ( x ，r ) 的主坐标的实部和虚部分别为等( r ) 和爿( ，) ，则协，) 的展开式为 w ( x ，f ) = 舅( ，) 簖( x ) + 影( f ) 彰( x ) 将式( 2 17 ) 代入式( 2 4 ) ， 并代入正交性关系式( 2 12 ) 得到解耦形式： 尝( f ) 一甜。彰( f ) = r ( f ) 舅( ，) + 等( f ) = 刀( r ) 其中 ( r ) = ( 吼卯) = 飞c 以( x ) 五( 州) d z ( ，) = q ，删= f 簖( x ) 丘( t t ) d x 2 3 共振分析 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 仅考虑齐次初始条件( 蜥0 ，0 ) = 0 ，u ( x ，0 ) = 0 ) ，则有主坐标初始条件 等( o ) = 0 ，舅( f ) = 0 r 2 ，2 0 ) 三 删 嗍 蛳 蚴 厝厝一j 船上觚 孵 以 第二章 轴向运动弦线横向共振分析 设外部激励频率与第一阶固有频率相同，即假设外激励为 厂x ，f ) = x s i n ( ( 1 一v 2 ) 7 t ，) 可以计算式( 2 1 9 ) 的内积，得到 ，? ( f ) = 一4 2 ( 1 一v 2 ) 以s i n ( ( i y 2 ) 冗f ) 爿0 ) = 2 ( 1 一v 2 ) bs i n ( ( 1 一v 2 ) 亢f ) 其中 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 4 = f x s i n ( n g x ) s i n ( n 7 c v x ) d x ：-sin(nn(1-v)+志cos(n兀(1-v)一tk一sin(nz(1+v)一cos(nn(1+v) 2 n n ( 1 一v )2 n 2 n z ( 1 v ) 2n 27 【2 ( 1 一v ) 22 h7 c ( 1 ；万一2 n 2r c 2 ( l + v ) 2 e = 【x s i n ( n r c x ) c o s ( n n v x ) d x ：_-cos(nn(1+v)+!堑；竺必一cos(nn(1-v)+sin(nn(1-v) 2 n n ( 1 + v ) 。2 n 2 兀2 ( 1 + v ) 22 n 颤1 一v )。2 n 2 兀2 ( 1 - v ) 2 f 2 2 3 ) 将式( 2 1 8 ) 取拉普拉斯变换，并代入主坐标的初始条件，可以解出主坐标实部和 虚部的象函数可得 牙( s ) = 爵( j ) = 兰! ! 二! ：! 堑耍而( 一爿。h 最) ( j 2 + 国。2 ) ( j 2 + 丁【2 ( 1 一v 2 ) 2 ) ( 2 2 4 ) 再对式( 2 t 2 4 ) 驭l a p l a c e 反变换，就可以得到主坐标，但是必须分开l 和胛：1 两 种情况讨论。 耆1 时，由拉普拉斯反变换可得主坐标 舶) = 采等_ 。妇椰却h o s ( 呱1 ) ) ) + 鼠( s i n ( 胍( 1 一v z ) ，) - n s i n ( 冗( 1 - v 2 ) ，) ) 1 彰c 。：；石! ! ! ! i i ；! ：；未耻t ( c 。c 胎托c ，一。：，：。丌。，一，：，) + q 2 5 彳。( s i n ( 行兀( 1 一v 2 ) ，) 一疗s i n ( 冗( 1 一v z ) r ) ) 当n = l 时，由于存在共振效应，由拉普拉斯反蛮换可得 塑三至塑皇堡垫堕丝垡蜜苎塑坌堑 舶) ：平i n ( z ( 1 - v 2 ) f ) + 丽b i s i n ( n 0 - v 2 ) t ) 一b ，i c o s ( 州) f ) ) 熟) ；掣( b i t s i n (