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i - j 海南大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成 果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成 果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律结果由本 人承担 论文作者签名 苟，藏 日期t 2 0 7o 年 月2 1 日 学位论文版权使用授权说明 本人完全了解海南大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即。学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权海南大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文本人在导师指导下完成的论文成果，知识产权归属海南大学 保密论文在解密后遵守此规定 论文作者签名t 苏孑赢 导师签名t j，_ 事金矽 j 咻2 6 p 年岁月2 7 日 啉锄i 口年6 月矸日 本人已经认真阅读”c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文提交 ”c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按”章程”中规定享受相关权益 同意论文提交后滞后。口半年；口年；o - - 年发布 论文作者签名。 艿，氟 啉2 c f 7 。年，月刁日 名；季每，吁 日期训奄年b - 月t 了日 海南大学硕士学位论文摘要 摘要 文章对于具有g r s b n e r 基理论的n - 分次k 代数r 上多项式环r t 】和自由代数 k x ，t ) 的理想分别引入了d h 闭齐次g r s b n e r 基以及d h 一闭分次理想的概念，通过处理 齐次化的生成元，给出了由非齐次元素生成的理想j 的g r s b n e r 基以及j 在r t 】中的齐 次化理想( j ) 和j 在k x ，t ) 中的齐次化理想7 ) 的齐次g r s b n e r 基的计算方法其 次，分别给出了与r 中的g r 6 b n e r 基和( 托，) 中的g r 6 b n e r 基一一对应的r t l 中的那些齐次g r s b n e r 基和k ( x 1 ，x 。，t ) 中的那些齐次g r s b n e r 基应满足的条件最 后，分别用g r s b n e r 基刻画与r 中的理想和k ( x 1 ，) 中的理想一一对应的r t 】中 的所有的分次理想和k ( x 1 ，t ) 中的所有的分次理想 关键词：分次代数；分次理想；g r s b n e r 基；齐次化；非齐次化 海南大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h en o t i o n so fad h c l o s e dh o m o g e n e o u sg r s b n e rb a s i sa n dad h - c l o s e dg r a d e di d e a lf o rt h ep o l y n o m i a lr i n gr t 】o v e ra nn - g r a d e dk - a l g e b r arw i t hag r s b n e r b a s i st h e o r y , r e s p e c t i v e l yf o rt h ef r e ek - a l g e b r ak ( 五，k ，t ) ，a n dd e m o n s t r a t e sag e n e r a l a l g o r i t h m i cp r i n c i p l eo fo b t a i n i n gag r 6 b n e rb a s i sf o ra ni d e a lig e n e r a t e db yn o n - h o m o g e n e o u s e l e m e n t sa n dt h e r e b yo b t a i n t i n gah o m o g e n e o u sg r s b n e rb a s i sf o rt h eh o m o g e n i z a t i o ni d e a lo f j ，b yp a s s i n gt od e a l i n gw i t ht h eh o m o g e n i z e dg e n e r a t o r s ；s e c o n d l y ，a l lh o m o g e n e o u sg r s b n e r b a s i si nr mt h a tc o r r e s p o n db i j e c t i v e l yt oa l lg r s b n e rb a s i si nr ，r e s p e c t i v e l ya l lh o m o g e - n e o u sg r s b n e rb a s i si nk x ，t ) t h a tc o r r e s p o n db i j e c t i v e l yt oa l lg r s b n e rb a s i si nk ( x ) ，a r e c h a r a c t e r i z e d ；f i n a l l y , a l lg r a d e di d e a l si nr 嘲t h a tc o r r e s p o n db i j e c t i v e l yt oa l li d e a l si nr ， r e s p e c t i v e l ya l lg r a d e di d e a l si nk ( x ，t ) t h a tc o r r e s p o n db i j e c t i v e l yt oa l li d e a l si nk ( x ) ，a r e c h a r a c t e r i z e di nt e r m so fg r s b n e rb a s i s k e yw o r d s ：g r a d e da l g e b r a ，g r a d e di d e a l ，g r s b n e rb a s i s ，h o m o g e n i z a t i o n ，d e h o m o g e n i z a t i o n i i 海南大学硕士学位论文 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 引言1 1 预备知识3 1 1s 一分次代数3 1 2 单项式序和相容系统4 1 3 单项式的除法与g r s b n e r 基7 1 3 1 单项式的除法7 1 3 2g r s b n e r 基1 0 1 4g r s b n e r 基和正规元1 1 1 5 具有斜乘法小基( s k e wm u l t i p l i c a t i v ek b a s i s ) 的代数中的g r s b n e r 基1 2 2 中心( 非) 齐次化g r s b n e r 基1 4 2 1 中心( 非) 齐次化方法1 4 2 2 中心( 非) 齐次化g r s b n e r 基1 5 2 3r m 中的d 1 1 闭齐次g r 6 b n e r 基1 8 2 4 冗吲中的d h 闭分次理想1 9 3 非中心( 非) 齐次化g r s b n e r 基2 2 3 1 非中心( 非) 齐次化方法2 2 3 2 非中心( 非) 齐次化g r s b n e r 基2 4 3 3k ( x ，t ) 中的d h 闭齐次g r s b n e r 基2 8 3 4k x ，t ) 中的d h 闭分次理想2 9 4 由d h 闭齐次g r 6 b n e r 基定义的代数3 2 参考文献3 5 硕士期间发表的论文3 6 后记3 7 i i l 海南大学硕士学位论文引言 引言 b b u e h b e r g e r 在1 9 6 5 年给出了多项式理想的g r b b n e r 基的定义，并给出了g r s b n e r 基 的算法- - b u c h b e r g e r 算法它在交换代数与交换代数几何中起到重要的作用，如；方程组的 求解问题，理想成员问题，理想准素分解问题，定理机械证明，代数簇维数的确定等不久， 这理论又被推广到非交换代数中，如：自由代数，w e l y 代数，李代数及其包络代数，可解 多项式代数等，也成为解决其中许多问题强有力的工具在计算g r s b n e r 基的理论当中，对 于交换多项式代数k 【z l ，o n 】与非交换自由代数k x 1 ，) ，已经非常清楚的知道 k x l ，n 1 的每一个理想都有一个有限的g r s b n e r 基，而k x i ，) 的每一个理想 都有一个有限或无限的g r s b n e r 基，同时，借助结构优势和计算优势，一般来说，一个齐次 g r s b n e r 基是比较容易得到的，因此，大部分使用的计算交换和非交换g r s b n e r 基的算法都 是首先将理想的生成元齐次化，然后利用算法得到个齐次g r s b n e r 基并使用非齐次化方 法，从而得到非齐次化g r s b n e r 基对于一般的交换多项式代数r = k z l ，z n l ，由文献可 知，使用齐次化和非齐次化方法，可以得到k x l ，z n l 中的g r s b n e r 基与k 扛l ，z n l 嗍 中的齐次g r s b n e r 基的关系另一方面，g r s b n e r 基和齐次化以及非齐次化的技巧已经 被结合起来研究由关系定义的代数的一些整体结构( 见文献【1 1 】， 6 】 【7 】， 8 】) 对于一般的n 分次k 代数r = o p n 岛，令b 是r 的由n - 齐次元素( 若叫8 ，那 么，存在p n 使得叫) 构成的斜乘法k 基( 见定义1 1 1 ) ，并且使得r 有g r s b n e r 基理论，n i t l 是r 上的关于交换变元t 的多项式环，使用齐次化和非齐次化技巧，可以 得到r 中的g r s b n e r 基与n i t 】中的齐次g r s b n e r 基的关系( 见定理2 3 ，定理2 4 ) 对于非交换的自由代数，使用齐次化和非齐次化技巧，同样可以得到k ( x ) 中的 g r s b n e r 基与k x ，q 中的齐次g r s b n e r 基的关系( 见定理3 3 ，定理3 4 ) ，其中k x ) = k ( 墨，) 是域k 上的由n 个生成元生成的自由代数，而k x ，t ) = k x 1 ，x n ，t ) 是域k 上的由佗+ 1 个生成元生成的自由代数 在上述的理论基础上，本文实现了以下目的t 首先，在上述两种情况下，通过处理齐 次化的生成元，给出了由非齐次元素生成的理想，的g r 6 b n e r 基以及，在n i t 】中的齐次 化理想( j + ) 和j 在k ( x ，t ) 中的齐次化理想( j ) 的齐次g r s b n e r 基的计算方法( 命题2 7 ， 命题3 7 ) 其次，分别给出了与r 中的g r s b n e r 基和k ( x i ，) 中的g r 6 b n e r 基一一 对应的n i t 】中的那些齐次g r s b n e r 基和k ( x i ，t ) 中的那些齐次g r 6 b n e r 基应满足 的条件( 定理2 8 ，定理3 8 ) 最后，分别用g r s b n e r 基刻画与r 中的理想和k x i ，) 中的理想一一对应的n i t 】中的所有的分次理想和k x 1 i k ，t ) 中的所有的分次理想 j 2 海南大学硕士学位论文1 预备知识 1 预备知识 在这一章中，我们详细的介绍了s 分次代数和g r 6 b n e r 基的基本知识 1 1s 分次代数( s - g r a d e da l g e b r a ) 令s 是个半群，a 是一个弘代数，a g 为k 向量空间，则k 一向量空间族 a 9 9 e s 称为a 的s 分次，如果它满足， ( a ) a = 0 9 e s a 9 ( h ) a 9 a h a 9 h ，9 ，h s 如果代数a 具有个s 一分次，则称它是一个s 一分次弘代数，并且称a 9 为a 的9 次 齐次部分若8 a 9 ，则我们称n 是个次数为9 的s 一齐次元素，记n 的次数为d ( n ) = 9 若我们令s = z ，则a = o n z a n 是一个压分次胙代数，如果当n 0 时，a n = 0 ， 即a = o n e n a n ，则我们称a 是一个n - 分次k - 代数 下面介绍一种特殊的分次，权n - 分次( w e i g h tn g r a d a t i o n ) 令a = k m 是由t = 啦) 讵- ，生成的k - 代数，则每一个，a 可以写成以下有限和 的形式 ，= 九噼n 挈 其中，凡k 。，t ，s n ，s 1 我们称元素。等0 0 为a 的一个单项式令8 是由单项式构成的a 的k 基，我们用小写字母3 ，t ，u ，t ，叫表示b 中的元素 若叫召，叫= a 等，则我们用z ( 伽) 表示t u 的长度，即 l ( w ) = o t l + + o t 5 并且记l ( w ) = l 1 对于每一个p n ，令a p 是由召中的长度为p 的单项式张成的a 的k 子空间，即 山- - - k - s p a n b ) = p ) 很明显a = u a p ，若a 同时满足以下条件 a p a q a p 十q ，p ，q n r 海南大学硕士学位论文1 预备知识 则a 是一个n - 分次k - 代数此时，称 厶) p e n 为由8 的单项式的长度定义的a 的自 然n 分次 若我们给代数a 的每一个生成元凸t 赋一个权值n i ，n i n ，t ，对每一个凹= 噼n 挈，令 i 叫i = n i l o t l + + n i 口。 则a = o p e n a p 且 a p = k - s p 矗( 伽eb = p ) 若a 同时满足以下条件 a p 以口+ 口，p ，q n 则a 是一个n - 分次k - 代数此时，称 锦) p n 为a 的权n - 分次。 1 2 单项式序和相容系统 令冗是一个弘代数，b 是冗的一个肛基， 二a i u i ，a k ，t 正i 召，u l 锄 t 上a ， i = 1 我们定义 ，的首项单项式l m ( f ) = u 。 ，的首项单项式系数l c ( y ) = 九 ，的首项l t ( f ) = 九 若s 是冗的个子集，我们用l m ( s ) = ( l m ( f ) l ，s ，记s 中所有元素的首项单项式 的集合 定义1 1 设 是b 上的个良序关系， ( i ) 如果 满足以下条件。 ( a ) 若t i ，t i ，”，3 b ，t l 牡，并且l m ( v w s ) ，l m ( v u s ) 叠k u o ) ，则l m ( v w s ) l m ( v u s ) ( b ) 对于w ，t 召，若存在口，s 1 3 ，且u 1 ，s 1 ( 当1eb 时) 使得u = l m ( v w s ) ，那 么伽 t ( 因此，对所有的t 召，u 1 ，有1 乱成立) 则我们称 是b 上的一个单项式序 4 连宣盔堂硕士_ 学位论文l 预备知识 ( i i ) 如果 满足以下条件； ( a ) 若 t o ，u ， b ，叫 缸并且l m ( v w ) ，l m ( v u ) gk + u ( o ) ，贝0l m ( v w ) l m ( v u ) ( b ) 对于钮，t l 召，若存在口口，口1 ( 当1 8 时) 使得让= l m ( v w ) ，那么叫 l , ( 因 此，对所有的t b ，乱1 ，有1 - gt 成立) 我们称 是8 上的一个左单项式序 定义1 2 令r 是一个k - 代数，召是r 的一个胙基，若 是8 上的( 左) 单项式 序，那么，我们称( 召， ) 为r 的一个( 左) 相容系统 令r = o 唯r q 是一个r 分次弘代数，其中r 是个有序的半群， 是r 上的一 个全序关系，若召是由r 齐次元素构成的r 的k 基， 是召上的一个良序关系，则 序关系 g r 的定义如下： 若u v 召，t 矿男5 么1 豪，二d 。u ，且u 口 id ( t ) d ( u ) 其中d ( ) 表示关于兄中的r - 齐次元素的一个次数函数若 g r 是廖上的一个( 左) 单项 式序，则我们称 9 r 是r 上的( 左) r - 分次单项式序 下面我们给出交换多项式代数与自由代数中几种常用的单项式序 例1 令r = k x l ，z n 】是域k 上关于未定元z 1 ，z n 的交换多项式代数， b = z 口= z 1 z ：“i 口= ( q ，口n ) n “) 是兄的标准k 一基，下面给出8 上的几种单项式序。 ( a ) 字典序 l e z 使得 x i l q e xz i 2 l e z l e zx i “ 对于矿= z 嚣1 z 挈，= 瑶z 窦召，字典序- q 。z 定义如下： 若矿 i 。护，则存在1s j n 使得对所有的z j 有伽= 屈且 岛 ( b ) 反字典序 瑚蛔使得 砧l r e v l e xx i 2 r e v l e z 岛 ( c ) 分次字典序 g g r l 设关于字典序 l 有 z l g l e xz i 2 l e z l e xz n 对于铲= z 挈z 留，护= z 0 z 拳b ，分次字典序 矿l 口定义如下： 若z a 矿l 凹z p ，那么 或 id ( z a ) d ( z p ) 1d ( z 口) = d ( z a ) 且铲 l 口护 类似的，我们还可以定义b 上的分次反字典序 矿。l 如下； l d ( z 。) d ( z 卢) 若护 g r e v k 扩，那么 或 id ( z a ) = d ( z 卢) 且z a ，c l e zz p 其中d ( ) 表示b 上的关于r 的自然n 分次的一个次数函数 因此，r = k x x ，】有以下的相容系统： ( b ， l ) ，( b ， r 删l 盯) ，( b ， l 比) ，( b ， g g r e v l ) 例2 令r = k ( x 1 ，) 是由x = x 1 ，) 生成的自由代数，作为域k 上的 代数，k ( x ) 具有k 基 b = 伽= 五。五，i 扎x ，p 1 ) u 1 ) 我们首先给出b 上的字典序 l 缸，令 x i l f x i 2 g l e 2 l c z 托n 对于“= x t 。蜀，t ，= x 1 x t 。召，字典序 蛔定义如下： 若u 妇u ，则存在1 p m i n s ，m ) 使得对所有的k p 有置。= x k 且x t ， 蛔x t p 6 类似的，我们可以定义b 上的分次反字典序 # r e v l 。 因此，r = k ( x 1 ，) 有以下的相容系统： ( 召， 9 r l 。z ) ，( b ， 矿删l 故) 若我们给交换多项式代数和自由代数都赋予一个权n - 分次，则得到的n - 分次单项 式序被称为权n - 分次单项式序 此后，若无特殊说明，任何分次单项式序都记作 矿 1 3 单项式的除法与g r s b n e r 基 令r 是一个k - 代数，( b ， ) 为冗的一个( 左) 相容系统，即b 是r 的个k 基， 是召上的( 左) 单项式序，在这一部分，我们介绍单项式的除法，引入g r s b n e r 基的概 念，并证明若单项式的除法是可传递的，则每一个理想有一个极小的g r 6 b n e r 基 1 3 1 单项式的除法 定义1 3 ( i ) 设( b ， ) 为r 的一个相容系统，对于缸，口召，如果存在”，8 b 使得 口= l m ( w u s ) ，我们就说u 整除u ，记做u h 7 海南大学硕士学位论文1 预备知识 ( i i ) 如果( 召， ) 为r 的一个左相容系统，对于u ，口b ，如果存在 t o b 使得u = l m ( 伽乱) ，我们就说u 从左边整除u ，也记做t h 很明显，如果l b ，那么，对于所有的 u 召，1l t 上 上面定义的单项式的除法可以很自然的扩充到r 中的两个元素上来令，r 一 o ) ，夕r k ，若l m ( g ) ll m ( f ) ，则存在 t o ，s 召使得l m ( f ) = l m ( w l m ( g ) s ) ；更确切 的说 9 = l c ( g ) l m ( g ) + 9 ，l m ( 夕，) l m ( g ) a = l c ( w g s w d s ) 则 ，= 舄w g s + ，满足l m ( f ) = l m ( w l m ( g ) s ) ，l m ( y 7 ) - l m ( f ) 若l m ( g ) ll m ( f ，) ，则对，7 重复上述过程若l m ( 9 ) f l m ( f ) ，则令 = ，一l t ( f ) ，考虑 用l m ( g ) 对l m ( f ) 作除法，由于 是一个良序关系，上述除法过程在有限次后停止， 并可得到如下表达式。 ，= a i 伽i 9 吼+ r ，其中k k ，讹，巩1 3 且r ，= a m 口m ，a m k + ，1 3 满足w i l m ( g ) s i 0 ，l m ( w i g s i ) ! l m ( f ) ，l m ( r i ) 三l m ( f ) 且对所有的，有 l m ( 9 ) 若用9 对，实行左除法，则得到，的相应的表达式如下： ，= ) q w i g + r ， 其中九k + ，w i 召且r ，= h ，h k + ，召 仇 满足w i l m ( g ) 0 ，l m ( w i g ) 墨l m ( f ) ，l m ( r ，) 5l m ( f ) 且对所有的u m ，有l m ( 9 ) z 若scr k 是个非空集合，用s 对冗中的元素进行约化，即对于非零元素，r ， 我们首先检验是否存在吼s 使得l m ( 9 i ) il m ( f ) ，则在有限次约化后，的表达式如 下： ，= a o w i i g i s o + r ! , 其中a t j k + ，鲰sw i i ，s 巧8 且r ，= 乏二a m u m ，a m k ，b t j m 满足w 0 l m ( g i ) s o 0 ，l m ( w i j 9 i s i i ) 5l m ( f ) ，l m ( r ，) 5l m ( f ) 且对所有的，彩s ， 有l m ( g j ) x 8 海南大学硕士学位论文l 预备知识 若用s 从左边对r 中的元素进行约化时，得到，的表达式如下： ，= a i j w i j g i + 7 ，其中b k + ，g i s ，w j 8 且r ，= h ，k k ，b i , j m 满足w i j l m ( g i ) 0 ，l m ( w i j g i ) 5l m ( f ) ，l m ( r ，) 5l m ( ) 且对所有的，毋s ，有 l m ( g j ) x 若s = ( 9 1 ，吼) 是一个有序的有限集合，则上述除法过程给出以下算法； a l g o r i t h m - d i v ： i n p u t ：g l ，9 3 ，i o u t p u t ：幻，r i n i t i a l i z a t i o n ：= 0 ，= 0 ，h = ，d i v o c c u r ：= f a l s e w h i l e ( h 0 且d i v o c c u r = = f a l s e ) d o f o r ( i = 1 ) 到sd o i fl m ( h ) = l m ( s i j l m ( g i ) w i j ) ，其中s 玎，加巧bt h e n q o ：= 奶+ 蒜s o g i w o h ：= 一撩m 们巧 ( 其中9 t = l c ( g i ) l m ( g i ) + 9 且l m ( 9 ：) l m ( g i ) ，= l c ( s o g i w i i s 巧 u ) ) d i v o c c u r ：= t r u e e l s et ：= i + l i fd i v o c c u r = = f a l s et h e n r ：= r + l c ( h ) l m ( h ) h ：= h l c ( h ) l m ( h ) e n d e n d ：l j 3 】f i d 上述算法中出现的元素r 称为用s 对，作除法得到的余式，一般而言，r 不是唯一 的，但是，在下文中我们用_ s 表示用s 对，作除法所得到的任何余式 然而，g r s b n e r 基可以解决余式7 s 的唯性的问题以及理想成员问题，下面我们介 绍g r 6 b n e r 基的相关知识 9 海南大学硕士学位论文 1 预备知识 1 3 2g r s b n e r 基 定义1 4 ( i ) 设( 召， ) 为r 的个相容系统，icr 是r 的个理想，gci 一 o ) ，我们 说9 是川| g 个g r s b n e r 基，如果对任意非零元素f ，存在g g ，使得l m ( g ) jl m ( f ) ( i i ) 设( 层， ) 为r 的一个左相容系统，l 是r 的个左理想，夕l 一 o ) ，我们说g 是l 的一个左g r s b n e r 基，如果对任意非零元素f l ，存在g 9 ，使得l m ( g ) il m ( f ) ( i i i ) 若在上面的( i ) 和( i i ) 中，r = o g e s r 9 是个s 一分次k 代数，s 是一个半群， 则称一个由s 一齐次元素构成的( 左) g r 6 b n e r 基为齐次g r 6 b n e r 基 ( i v ) 设9 是的一个g r s b n e r 基，如果9 的任意真子集都不是，的g r 6 b n e r 基，那 么，我们称夕是j 的个极小的g r 6 b n e r 基 如果单项式的( 左) 除法是可传递的，那么9 是个极小的( 左) g r 6 b n e r 基当且仅当， 对于任意的9 1 ，卯9 ，g l 9 2 ，我们有l m ( 9 1 ) x l m ( 9 2 ) 设( 召，- r ) 为r 的一个( 左) 相容系统，我们说子集qc 召是既约的，如果对任意的 让， q ，u v ，则t f1 ，若s 是冗的一个子集，使得l m ( s ) 是既约的，则我们称s 是 l m 一既约的很显然，理想，的一个g r s b n e r 基9 是l m 一既约的当且仅当9 是一个极 小的g r 6 b n e r 基此外，任意的非零理想j 都有一个平凡的g r s b n e r 基j = j 一 o ) 因 此，我们就有以下命题成立 命题1 5 ( i ) 设( 8 ，- k ) 为r 的一个相容系统，且单项式的除法是可传递的，那么每一 个理想ic 冗有一个极小的g r s b n e r 基： g = g ji 如果9 7 ，且g l 夕，那么l m ( 9 7 ) l m ( g ) ) ( i i ) 设( b ， ) 为r 的个左相容系统，且单项式的左除法是可传递的，那么每一个 左理想lc 冗有个极小的左g r 6 b n e r 基t 9 = g ll 如果g l l 且g j g ，那么l m ( 9 7 ) fl m ( g ) ) ( i i i ) 若在上面的( i ) 和( i i ) 中，r = g e s r 9 是一个s 一分次k 代数，s 是一个半群， 则每一个s 一分次理想有一个极小的齐次( 左) g r s b n e r 基 定义1 6 如果( 召， ) 是r 的一个( 左) 相容系统，使得关于 单项式的( 左) 除法是 可传递的，那么，我们就说r 有一个g r s b n e r 基理论 1 0 海南大学硕士学位论文l 预备知识 如果r 有g r 6 b n e r 基理论，并且每一个( 左) 理想有一个有限的( 左) g r 6 b n e r 基，那 么，我们就说r 有一个有限的( 左) g r s b n e r 基理论 1 - 4g r s b n e r 基和正规元 本节中假设肛代数r 关于相容系统( b ， ) 有g r s b n e r 基理论 定义1 7 设r 是个k 一代数，j 是r 的一个( 左) 理想，对于，j ，令，= j 心岣， 其中心k 。，吻b ，如果对任意9 j ，l m ( 9 ) 吃，则称，是一个模j 正规的元素 定理1 8 ( i ) 设icr 是r 的一个理想，9 是j 的g r s b n e r 基，那么，每一个非零元 素，r 有个有限表示 f = 入巧s 巧彩+ 严，入巧k ，s 莳，w i j 召，毋g ， j 其中s i j l m ( g i ) w i j o ，l m ( s i j g j w i j ) 5l m ( f ) 并且或者芦= 0 ，或者芦是唯一的模j 正 规的元素因此，f i 当且仅当尹= 0 ( i i ) 设lcr 是r 的一个左理想，蛋是l 的左g r s b n e r 基，那么，每一个非零元素 f r 有一个有限表示 f = a i j s i j g i + 严，b k ，s t j b ，毋9 ， i j 其中s i j l m ( g j ) o ，l m ( s i i g j ) 5l m ( f ) 并且或者芦= 0 ，或者芦是唯一的模l 正规的 元素因此，f l 当且仅当尹= 0 由g r s b n e r 基的定义以及定理1 8 ，我们得到以下定理 定理1 9 ( i ) 设icr 是r 的个理想，9ci ，那么，9 是，的g r s b n e r 基当且仅当 对任意，i ，f 0 ，f 有个g r s b n e r 表示，即 f = 芝二a i j w i j g j i j ，a 玎k ，w i j ，b ，毋9 t j 满足l m ( w i g j v i j ) 5l m ( f ) ，且存在j 使得l m ( w i j 乃) = l m ( f ) ( i i ) 设lcr 是冗的个左理想，gcl ，那么，9 是l 的左g r 6 b n e r 基当且仅当对 任意f l ，f 0 ，f 有一个左g r s b n e r 表示，即 ，= a i j w i j g j ，a t j k + ，w i j 舀，9 j g i , j 1 1 海南大学硕士学位论文1 预备知识 满足l m ( 巧毋) 5l m ( f ) ，且存在j 使得l m ( w i j 毋) = l m ( f ) 由定理1 9 我们可得到以下命题 命题1 1 0 每个( 左) 理想cr 有一个( 左) g r 5 b n e r 基，具有以下陛质： ( 1 ) 若g g ，则l c ( g ) = 1 ( 2 ) 若g l ，夕2 9 ，则l m ( 9 1 ) xl m ( 9 2 ) ( 3 ) 若g 9 ，则g l m ( g ) 是模j 正规的元素 我们称这样的g r 5 b n e r 基为( 左) 既约g r s b n e r 基 1 5 具有斜乘法k 基( s k e wm u l t i p l i c a t i v ek - b a s i s ) 的代数中的g r s b n e r 基 定义1 1 1 设r 是一个k 代数，且是冗的一个胙基，如果召满足以下条件t 觏琊么僻等似召 则我们称b 为r 的一个斜乘法肝基 具有斜乘法弘基的代数包括有序半群代数，自由代数，交换多项式代数，道路代数 以及外代数等 若( 8 ， ) 是r 的一个( 左) 相容系统，8 是一个斜乘法k - 基，则日上的单项式的 ( 左) 除法叙述如下。 ( a ) 对于t ，t ，b ，如果存在叫，s 尽，入k 。使得1 ，= a w u s ，我们就说u 整除1 1 ，记做 u i 口 ( b ) 对于t ，口召，如果存在t ，8 ，a k 使得 = a w u ，我们就说t 从左边整除u ， 也记做u 命题1 1 2 设r 是一个k - 代数，( 日， ) 是r 的一个( 左) 相容系统，b 是个斜乘 法k 一基，则单项式的除法是可传递的且r 有( 左) g r s b n e r 基理论 定理1 1 3 令兄是一个k 一代数，( 层，_ ) 是兄的一个( 左) 相容系统，即召是r 的斜 乘法基， 是召上的单项式序，i = 9 ) 是由g 生成的r 的一个理想，对于集合 9ci ，以下论述是等价的 1 2 海南大学硕士学位论文1 预备知识 ( i ) g 是j 的一个g r s b n e r 基 ( i i ) 对任意fei ，f 0 ，有一个g r s b n e r 表示，即 ，= b 硼巧毋，bek ，w i j ，b ，仍eg i j 满足l m ( w i j g j v i j ) 曼l m ( f ) ，且存在j + 使得l m ( w t j 彩) = l m ( f ) ( i i i ) ( l m ( i ) ) = ( l m ( 9 ) ) ，其中( l m ( i ) ) 表示由集合l m ( i ) = l m ( j ) l ，e ， 生成的 冗的理想，( l m ( 9 ) ) 表示由集合l m ( g ) = l m ( j ) i ，e9 ) 生成的r 的理想 命题1 1 4 令r 是一个k 代数，( 8 ， ) 是r 的个( 左) 相容系统，即且是r 的斜 乘法k 基， 是层上的单项式序，则以下论述成立 ( i ) r 的每个理想，有个极小的g r s b n e r 基。 g = 【夕eji 如果g l i 且9 ，夕，那么l m ( g ) xl m ( g ) ) ( i i ) 若r = 。p n 局是一个n 分次k 一代数，则每一个分次理想j 有个极小的齐次 g r s b n e r 基，即由齐次元素构成的极小的g r s b n e r 基 令r 是一个k - 代数，( 8 ， ) 是r 的一个( 左) 相容系统，召是冗的斜乘法k 基， 若s 是r 的个子集，则用n ( s ) = 硼ebl m ( j ) x 伽，es ) 表示b 中模s 正规的单 项式的集合若j 是r 的一个理想，g 是j 的g r 6 b n e r 基，则n ( i ) = ( 9 ) 下面给出的定理将通过n ( o ) 来刻画g r 6 b n e r 基9 ，同时将给出k 一空间冗的基本分 解定理 定理1 1 5 令j = ( 9 ) 是由9 生成的r 的一个理想，则以下论述是等价的 ( i ) g 是j 的一个g r 6 b n e r 基 ( i i ) 考虑由( 9 ) 张成的舴子空间k s p a n n ( 9 ) ，则舴空间r 有以下分解 r = iok s p a n n ( g ) = ( l m ( i ) ) ok s p a n g ( 9 ) ( i i i ) l v ( g ) 在商代数r ( l m ( i ) ) 和n i 中的典范像万两分别形成商代数r ( l m ( i ) ) 和r x 的k 基 1 3 海南大学硕士学位论文2 中心( 非) 齐次化g r s b n e r 基 2 中心( 非) 齐次化g r s b n e r 基 本章通过建立自然n 分次k 一代数r t 】与r 的环的同态，使用齐次化和非齐次化方 法得到了r 中的g r s b n e r 基与多项式环r t 】中的齐次g r s b n e r 基的关系，通过处理齐次 化的生成元，给出了由非齐次元素生成的理想，的g r s b n e r 基以及，在r t 1 中的中心齐 次化理想( j 。) 的齐次g r s b n e r 基的计算方法，并给出了与r 中的g r s b n e r 基一一对应的 r t 】中的那些齐次g r s b n e r 基应满足的条件，最后，用g r 5 b n e r 基刻画与r 中的理想一 一对应的r t 】中的所有的分次理想 2 1 中心( 非) 齐次化方法 令r = o p n 昂是一个n - 分次弘代数，( 召， g r ) 是冗的一个相容系统，即b 是r 的由n - 齐次元素( 若 t o 召，那么，存在p n 使得 t o 嘞) 构成的斜乘法弘基， 眇 是日上的n - 分次单项式序，由第一章可知，r 有g r s b n e r 基理论，即r 的每一个理想 有一个g r s b n e r 基令r t 1 是r 上的关于交换变元t 的多项式环( 即对任意的r r ，有 r t = t r ) 在下文中，我们将看到r t 】具有混合n 分次，且r l t 】关于该混合n 分次和个 合适的单项式序有g r s b n e r 基理论，特别的，r t 】的每个分次理想有个齐次g r s b n e r 基 。 注意到r 吲有混合n - 分次，即r t 】- n r 【】p 是一个n - 分次k 代数，且p 次齐 次部分为 ri1 r = r 1 只r ，歹o ，p n ， l 件j - p i j 我们定义环的满同态：r t 1 一冗，( t ) = 1 ，那么我们就有k e r 4 = ( 1 一t ) ，因 此r 竺r l t ( t t ) 对于每个f r ，存在一个齐次元素f r i t 】p ，使得( f ) = f ， 更确切的说，如果，= f p + 厶一1 + + 厶一。，厶嘞，p j 昂一j 并且，p 0 ，那么 ，= 厶+ t 矗一1 + + t 5 厶一。是a n p 中的次数为p 的齐次元素，并且满足咖( 广) = i ，我们 称齐次元素，为，关于t 的中心齐次化另一方面，对于f a n ，我