（工程热物理专业论文）pdf方程中的小尺度混合模型和当地自适应建表方法的研究.pdf

摘要 求解标量几率密度函数输运方程的方法是对湍流嫩烧问题进行数值模 拟的一种重要方法.因为在标量的几率密度函数方程中化学反应源项是封闭 的，不需要模拟， 所以具有其他方法无法比拟的优越性。但是， 在标量几率 密度函数的方程中， 小尺度混合项是不封闭的， 需要建立模型.另一方面， 在求解几率密度函数输运方程的方法中， 化学反应源项通过求解严格的反应 速率方程来得到， 这是它的优势，使得计算详细的化学反应机理成为可能， 但是，由于反应速率方程是一个强刚性强非线性的常微分方程组，它的求解 需要花费大量的计算时间，因此需要寻找减少求解化学反应速率方程的计算 时间的方法. 本文针对这两方面问题进行了深入研究. 爪减 少 化 学 反 应 速 率 计 算 时 间 的 方 法 的 研 究 中 ， 本 文 在 又 ， 可 行 的 各 种 方 法进行比较分析的基础上， 认为当地自 适应建表方法是目 前效率最高的方法， 因此将它作为研究的主要内容.然后，详细介绍了当地自适应建表方法的思 想及其基本概念;给出了零阶当地自适应建表方法和一阶当地自适应建表方 法的定义，详细分析了其误差控制方法;并在零阶建表方法的中引入了放大 节点的方法.最后， 编制了在配对混合搅拌反应器中实现零阶建表方法的计 算程序， 对之进行了详细的计算， 分析了化学当量比， 对流时间尺度， 小尺度 混合尺度，化学反应时间尺度以及采用放大节点的方法对其效率和精度的影 响.同时， 也编制了一阶建表方法的计算程序， 对其结果进行了简单分析. 通过对当地自 适应建表方法的研究， 本文证明了当地自适应建表方法是 一种效率非常高的方法; 本文采用的放大节点的方法可以在极大地提高效率 的同时保持高精确度的计算结果.同时发现当地自适应建表方法的效率受到 对流，小尺度混合以及化学反应的物理过程的影响，其中对流的影响尤其显 著;一阶建表方法在容许误差相同的情况下可以用比零阶方法少得多的节点 数覆盖相同的区域，因此能减少存储量， 所以很有必要对之作进一步研究. 在对小尺度混合模型的研究中， 本文首先在引言中对目前国内外对小尺 度混合模型的理论研究和相关的实验和直接数值模拟研究进行了全面综述和 探入分析， 指出对小尺度混合模型的研究的重点是在模型中考虑标量场长度 尺度，r e 数，p r 数以及d a 数等物理因素的影响， 同时指出小尺度混合模型 的构造缺乏有效的数学工具，因此发掘可以用于帮助构造小尺度混合模型的 i i -一一一一一- 数学工具也是小尺度混合模型研究的一个重要内容. 针对这些问题， 本文创 新性地提出了应用统计预报理论中的最小均方误差预报函数来构造混合模型 的思想， 并以详细的理论分析证明了最小均方误差预报的思想应用于构造小 尺度混合模型是合理的. 然后， 根据对小尺度混合项的直接数值模拟发现的 规律， 提出了一个非线性 i b m模型， 利用最小均方误差预报的思想推导得到 了其表达式. 在归纳大量实验数据的基础上， 提出了其中出现的标量脉动和 标量耗散率的相关的模型， 分析说明了该模型是和剪切流中的实验数据吻合 的. 通过标量脉动和标量耗散率的相关的模型， 非线性i b m模型在所有混合 模型中第一次考虑了r e 数，p : 数以及速度场长度尺度对混合速率的影响。 为了对非线性i b m模型进行检验， 本文编制了在抛物型流场中求解k - e 模型和标量几率密度函数的输运方程的计算程序. 在编制的程序中， 采用了比 前人工作更直观的坐标变换.同时， 通过调整速度场和标量场的求解次序， 消除了不相容性，并提出了匹配标量场和速度场的求解的一个改进方案. 本文最后应用非线性 i b m模型和 i b m模型计算了均匀定常湍流场中二元 标量的混合过程，有均匀平均温度梯度的网格湍流中温度脉动的发展过程， 以及h 2 / h e / 空气湍流射流扩散火焰. 计算结果表明， 非线性i b m模型的弛豫 性比i b m模型有明显改善， 同时， 非线性i b m模型对几率密度函数尾部特性 模拟得更准确. 在射流扩散火焰中非线性i b m模型计算得到的平均温度和绝 大部分的组分的密度加权平均质量分数的分布都比i b m模型的计算结果更接 近实验数据， 对 o h和氮氧化物n o的计算结果改进尤其明显. 这些结果说明 标量场的非平衡性产生的非线性效应以及r e 数和p r 数等物理因素对混合过 程有重要影响。非线性 e m模型考虑了这些因素的影响，因此得到了更接近 混 髯了 物理实际的计算结果.同时， 这些结果也说明了最小均方误差预报思 合模型的构造中的应用是合理的，因此将其进一步推广应用狠有意义 关键词 预报， 几率密小尺度混合模型，当地自适应建表， 最小均方误差 非线性 i e ab s t r a c t 争 御 杏 s o l v i n g t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n f o r t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e s c a l a r s i s a n i m p o r t a n t a p p r o a c h t o t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f t u r b u l e n t c o m b u s t i o n p r o b - l e m s . t h e a p p r o a c h i s a d v a n t a g e o u s o v e r t h e o t h e r m e t h o d s i n t h a t t h e c h e m i c a l r e a c t i o n s o u r c e t e r m s i s c l o s e d a n d n e e d n o m o d e l . b u t , i n t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n f o r t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e s c a l a r s , t h e m i c r o m ix i n g t e r m i s u n c lo s e d a n d m o d e l i s n e e d e d . o n t h e o t h e r h a n d , i n t h e m e t h o d o f s o l v i n g t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n o f t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f t h e s c a l a r s t h e c h e m i c a l r e a c t i o n s o u r c e t e r m s a r e o b t a i n e d t h r o u g h s o l v i n g t h e r a t e e q u a t i o n s o f c h e m i c a l r e a c t i o n s , w h i c h m a k e s t h e i n c o r p o r a t i o n o f d e t a i l e d c h e m i c a l r e a c t i o n m e c h a n i s m p o s s i b l e a n d h e n c e t h e a d v a n t a g e o f t h i s m e t h o d . b u t , d u e t o t h e s t r o n g n o n l i n e a r i t y a n d s t i ff - n e s s o f t h e s y s t e m o f r a t e o f e q u a t i o n s , t h e s o l u t i o n - fi n d i n g p r o c e d u r e c o n s u m e s a l o t o f c o mp u t a t i o n a l t i m e . t h u s , i t i s i m p o r t a n t f o r t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n m e t h o d t o s e e k w a y s t o r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n a l t i m e o f s o l v i n g t h e r a t e e q u a t io n o f c h e m i c a l r e a c t i o n . i n t h i s t h e s i s ; t h e a b o v e b o t h p r o b l e m s a r e i n v e s t i g a t e d d e e p l y . i n t h e r e s e a r c h o f r e d u c i n g t h e c o m p u t a t i o n a l t i m e , t h e a u t h o r fi r s t d e t e r m i n e s t h e i n s i t u a d a p t i v e t a b u l a t i o n m e t h o d t o b e t h e f o c u s o f p r e s e n t r e s e a r c h b e c a u s e i t i s t h e m o s t e ffi c i e n t . m e t h o d c o m p a r e d t o t h e o t h e r p r e s e n t l y a v a i l a b l e m e t h o d s . t h e n , t h e b a s i c c o n c e p t a n d t h e i d e a o f t h e i n s i t u a d a p t i v e t a b u l a t i o n m e t h o d a r e i n t r o d u c e d i n d e t a i l s . t h e d e fi n i t i o n s o f z e r o o r d e r a n d fi r s t o r d e r 爪s i t u a d a p t i v e t a b u l a t i o n m e t h o d s a r e t h e n g i v e n a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e r r o r c o n t r o l i n g m e t h - o d s a r e i n t r o d u c e d . t h e t e c h n i q u e o f e n l a r g i n g n o d e s i n t r o d u c e d t o i m p r o v e t h e e f f i c i e n c y o f t h e z e r o o r d e r t a b u l a t i o n m e t h o d b y t h e a n t h e r i s d e s c r i b e d . f i n a l l y , t h e z e r o o r d e r t a b u l a t i o n m e t h o d i s a p p l i e d t o t h e p a i r w i s e mi x i n g s t i r r e d r e a c - t o r . d e t a i l e d c a l c u l a t i o n i s p e r f o r m e d . t h e e ff e c t s o f c h e m i c a l e q u i l i b r i u m r a t i o , r e s i d u a l t i m e s c a l e , m i c r o m i x i n g t i m e s c a l e , c h e m i c a l r e a c t i o n t i me s c a l e a n d t h e e n - l a r g e me n t o f n o d e s o n t h e e ff i c i e n c y a n d a c c u r a c y o f z e r o o r d e r m e t h o d a r e a n a l y s i s . f i r s t o r d e r m e t h o d i s a l s o i m p l e m e n t e d a n d d i s c u s s e d b r i e fl y . t h e c a l c u l a t i o n r e s u l t s r e v e a l t h a t i n s i t u a d a p t i v e t a b u l a t i o n m e t h o d i s h i g h l y e ffi c i e n t , a n d t h e t e c h n i q u e o f e n l a r g i n g n o d e s c a n i m p r o v e t h e e f fi c i e n c y g r e a t l y i i i i v w h i l e r e t a i n i n g h i g h a c c u r a c y . i t is f o u n d f r o m t h e r e s u lt s t h a t t h e e f fi c i e n c y o f 角 s i t u a d a p t i v e t a b u l a t i o n m e t h o d i s a ff e c t e d b y t h e c o n v e c t i o n , m i c r o m i x i n g a n d c h e m i c a l r e a c t i o n , a m o n g w h i c h t h e e ff e c t o f c o n v e c t i o n i s t h e m o s t r e m a r k a b l e . i t i s a l s o f o u n d t h a t fi r s t o r d e r m e t h o d c a n r e d u c e t h e s t o r a g e 勿 c o v e r i n g t h e s a m e v o l u m e i n t h e c o m p o s i t i o n s p a c e w i t h l e s s n o d e s t h a t z e r o m e t h o d w i t h t h e s a m e 甲 e r r o r t o l e r a n c e , t h u s i s w o r t h y o f f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n a s f o r t h e r e s e a r c h o f m i c r o m i x i n g m o d e l , t h e p r o g r e s s o f t h e t h e o r e t i c a l r e - s e a r c h e s o f t h e m i x i n g m o d e l a n d r e l a t e d e x p e r i m e n t a l a n d d n s r e s e a r c h e s i s fi r s t o v e r v i e w e d t h o r o u g h f u l l y a n d i n - d e p t h a n a l y s i s i s p e r f o r m e d . i t i s p o i n t e d o u t t h a t a t p r e s e n t t h e m a i n t a s k o f t h e r e s e a r c h o f m i x i n g m o d e l i s t o i n c o r p o r a t e t h e e ff e c t s o f t h e l e n g t h s c a l e o f s c a l a r fi e l d , r e n u m b e r , p r n u m b e r a n d d a n u m b e r . i t i s a l s o p o i n t e d o u t t h a t a t p r e s e n t t h e c o n s t r u c t i o n o f m i x i n g m o d e l s u ff e r s f r o m t h e l a c k o f e f f i c i e n t m a t h e m a t i c a l t o o l s , h e n c e , e ff o r t s s h o u l d b e m a d e t o e x p l o r e t h e ma t h e - m a t i c a l t o o l s t h a t c a n b e a p p l i e d t o f a c i l i t a t e t h e m o d e l i n g o f m ix in g t e r m . a i m i n g a t t h e s e p r o b l e m s , t h e a u t h e r i n n o v a t i v e l y p r o p o s e s t h e i d e a t h a t t h e c o n c e p t o f o p t i m a l me a n s q u a r e e s t i m a t i o n i n s t o c h a s t i c p r e d i c t i o n t h e o r y b e i n t r o d u c e d t o h e l p t h e c o n s t r u c t i o n o f m i x i n g m o d e l a n d p r o v e s w i t h d e t a i l e d t h e o r e t i c a l a n a l y s i s t h a t t h e a p p l i c a t i o n o f o p t i m a l m e a n s q u a r e e s t i m a t i o n c o n c e p t i n t h e c o n s t r u c - t i o n o f m i x i n g m o d e l i s r e a s o n a b le . a n o n l i n e a r i e m m o d e l is t h e n p r o p o s e d o n t h e b a s i s o f d n s d a t a o n t h e m ix i n g t e r m , w h o s e f o r m u l a i s d e d u c e d w i t h t h e o p t i m a l m e a n s q u a r e e s t i m a t i o n c o n c e p t . t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s c a l a r fl u c t u a t i o n a n d i t s d i s s i p a t i o n r a t e a p p e a r s i n t h e f o r m u l a i s t h e n m o d e l e d a f t e r t h e a n a l y s i s o # a la r g e a m o u n t o f e x p e r i m e n t a l d a t a . t h e m o d e l i s a r g u e d t o b e c o n s is t e n t w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a i n s h e a r fl o w s . t h r o u g h t h e m o d e l i n g o f t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n s c a l a r fl u c t u a t i o n a n d i t s d i s s i p a t i o n r a t e , t h e n o n l i n e a r i e m m o d e l f o r t h e fi r s t t i m e , a m o n g a l l p r e s e n t. m ix i n g m o d e l , i n c o r p o r a t e s t h e e ff e c t s o f r e n u m b e r , p r n u m b e r a n d t h e l e n g t h s c a l e o f t h e v e l o c i t y fi e l d o n t h e m i x i n g t e r m 母 粉 i n o r d e r t o t e s t t h e n o n l i n e a r i e m m o d e l , a c o d e t o s o l v e k 一 m o d e l f o r v e l o c i t y fi e l d a n d t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n o f t h e s c a l a r p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n f o r s c a l a r fi e l d i s d e v e l o p e d . t h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n a m o r e i n t u i t i v e c o o r d i n a t e t r a n s - f o r m a t i o n t h a n p r e v i o u s w o r k . t h e i n c o n s i s t e n c y i n p r e v i o u s c o d e i s r e m o v e d勿 a d j u s t i n g t h e o r d e r o f s o l v i n g s c a l a r fi e l d a n d v e l o c i t y fi e l d . a b e t t e r a l g o r i t h m t o 奄 v 甲 匆 ma t c h i n g t h e s o l v i n g p r o c e d u r e o f s c a l a r fi e l d t o t h a t o f v e l o c i t y fi e l d i s d e v e l o p e d a s w e l l . t h e n o n l i n e a r i e m m o d e l , as w e l l as i e m m o d e l , i s fi n a l l y a p p l i e d t o s i m u l a t e t h e b i n a r y m i x i n g o f a i n e r t i a l s c a l a r i n h o m o g e n e o u s s t a t i o n a r y t u r b u l e n t v e l o c - i t y fi e l d , t h e e v o l u t i o n o f p ass i v e t e m p e r a t u r e fl u c t u a t i o n i n a g r i d t u r b u l e n c e w i t h i m p o s e d u n i f o r m m e a n t e m p e r a t u r e g r a d i e n t , a n d a h 2 / h e / a i r t u r b u l e n t ,je t n o n - p r e m i x e d fl a m e . t h e r e s u l t s r e v e a l t h a t t h e n o n l i n e a r i e m m o d e l i s s u p e r i o r i n r e l a x a t i o n p r o p e r t y a n d t h e a b i l i t y t o c a p t u r e t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t a i l s o f t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n s . i n t h e s i m u l a t i o n o f t u r b u l e n t ,j e t n o n p r e m i x e d fl a m e t h e n o n l i n e a r i e m m o d e l p r o v i d e s b e t t e r r e s u l t s f o r t h e m e a n t e m p e r a t u r e a n d t h e d e n s i t y - w e i g h t e d a v e r a g e d m as s f r a c t i o n f o r t h e m o s t s p e c i e s t h a n i e m m o d e l , as c o m p a r e d w i t h t h e e x p e r i m e n t a l d a t a . t h e i m p r o v e m e n t o n t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s o f n o a n d o l t i s p a r t i c u l a r l y o b v i o u s . t h e s e r e s u l t s m a n i f e s t t h a t t h e n o n l i n e a r i t y e ff e c t c o m e s f r o m t h e n o n e q u i l i b r i u m o f s c a l a r fi e l d a n d t h e p h y s i c a l e ff e c t s o f r e n u m b e r a n d p r n u m b e r a ff e c t t h e m i x i n g p r o c e s s s i g n i fi c a n t l y . b y a c c o u n t i n g f o r t h e s e e ff e c t s , t h e n o n l i n e a r i e m m o d e l o ff e r s p r e d i c t i o n s c l o s e r t o t h e p h y s i c a l r e a l - i t y . t h e r e s u l t s a l s o p r o v i d e a i n d i r e c t p r o o f t o t h e f a c t t h a t t h e a p p l i c a t i o n o f t h e o p t i m a l m e a n s q u a r e e s t i m a t i o n c o n c e p t i n t h e c o n s t r u c t io n o f m i x i n g m o d e l i s r e a s o n a b l e . t h u s i t i s v a l u a b l e t o g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t t o t h e o t h e r a p p l i c a t i o n s . 睁 k e y w o r d s p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t io n , m i c r o m ix i n g m o d e l , i n s i t u a d a p t i v e t a b u l a t i o n , o p t i ma l m e a n s q u a r e e s t i m a t i o n , n o n l i n e a r i e m m o d e l 卜 笙 1音已!古 n+一. 弓函-，二二j 1 . 1研究背景 目前， 人类利用能源的主要途径还是通过燃烧过程将矿物燃料中蕴藏的 化学能转化为热能， 然后再转化为其他形式的能量. 因此， 燃烧这一现象无论 是对工业生产， 还是日常生活都有很大影响. 为了节约能源， 需要提高燃烧 效率;为了减少燃烧造成的污染， 需要减少然烧过程中出现的各种污染物. 要解决这些问题，都首先需要对燃烧过程的机理有清楚的了解. 同时， 新技 术的发展使得在应用中出现了一些在特殊条件下的燃烧现象， 这些条件下燃 烧过程也需要我们进行研究. 这些， 使得对燃烧问题的研究成为必要， 并且 获得持续的动力. 实际燃烧过程通常是湍流燃烧由于湍流和燃烧过程本身的复杂性，以 及他们之间的复杂相互作用， 对它的研究一般需要理论，实验和数值模拟有 机结合. 其中数值模拟方法由于它的经济性和信息量大的特点， 成为传统的 实验方法无法替代的一种研究手段， 在各种数值模拟的方法中， 求解几率密 度函数的输运方程的方法作为求解湍流燃烧问题相当成功的方法，目 前是研 究的热点之一 因为湍流燃烧场是一个随机场， 对它的描述必然涉及到速度和标量的单 点和多点联合儿率密度函数. 在传统的统计矩模型中，包含了对有关几率密 度函数的假定. 但在燃烧问题中，由于化学反应是化学热力学状态参数的强 非线性函数， 它的统计平均对组分和温度等标量的联合几率密度函数的形状 比较敏感， 很难用组分和温度的低阶统计矩来精确模拟. 而在标量的几率密 度函数的输运方程中，化学反应项是封闭的， 不需要模拟， 使得对湍流燃烧 中点火、 熄火以及污染物排放等对精度要求比较高的问题的研究成为可能. 虽然在标量的几率密度函数方程中化学反应源项是封闭的， 但是其中扩 散项的条件期望值，也就是小尺度混合项是不封闭的，需要建立模型， 称为 小尺度混合模型， 这是对几率密度函数方法研究的一个焦点， 也是难点.同 时，因为化学反应速率方程组具有很强的刚性。在求解实际间题时，它的求 解需要消耗大量的计算时间，所以， 如何减少这个计算时间也是一个重要的 研究课题.为此， 本文将对这两个间题进行了研究，下面首先对几率密度函 数方法以及这两个问题研究的历史和现状进行一个回顾. 第i 章 引言 1 . 2 几率密度函数方法概述 几率密度函数方法的应用首先从湍流速度场开始. 用数学的观点看， 对湍 流场的完整的描述需要给出任意时刻流场中所有点上的速度的联合几率密度 函数1 . 从n - s 方程可以 推导出这个联合几率密度函数满足的输运方程2 . 这个方程包含了速度场所有点的信息， 理论上是一个封闭的方程。 但却是一 个泛函微分方程，目 前的数学技术无法求解2 ， 因此没有得到实际应用. 在 实际应用中采用相同的方法可以推导有限个空间点上的速度的联合几率密度 函数的输运方程， 这样得到的方程是普通的偏微分方程， 但是由于整个速度 场的脉动是捅合的， 这样得到的方程必然是不封闭的， 需要引人模型，目前 实际应用的几率密度函数方法通常只求解单点几率密度函数的输运方程， 而 对其中的不封闭项则引人模型以封闭之. 根据这样的思路，l u n d g r e n 3 首先推导并模化了单点速度的联合几率密 度函数的输运方程. 其后，d o p a z 。 和o b r i e n 4 , p o p e 5 等先后提出了求解描 述流场的化学热力学状态的标量的儿率密度函数的输运方程的方法以及求解 速度和标量的联合几率密度函数的输运方程的方法!6 , 刀， 并且对其中的不封 闭项的模拟进行了深入研究. 在这些方程中， 速度和标量的联合几率密度函 数的方程是单点的几率密度函数方程中最完整的. 在这个方程中，非线性的 对流项和化学反应源项是封闭的，因此湍流燃烧过程中的湍流产生和化学反 应这两个主要的过程均可以精确计算， 不需要模拟. 另一方面， 这个方程中脉 动压力梯度项， 分子粘性项和分子扩散项是不封闭的. 这些项都是梯度项， 因 此是和多点相关有关的，所以在单点模型的水平上必然是不封闭的. 从另外 一个角度来看， 这些项表征了湍流功能或者标量脉动的耗散过程， 结合前面 的分析可以看到在求解速度和标量的联合几率密度函数的输运方程时，我们 可以精确的计算决定湍流燃烧现象的三个主要物理过程中的两个， 这正是比 统计矩模型优越的地方.如果只求解标量的几率密度函数的输运方程，其中 的湍流扩散项也需要模拟， 但是仍然保留了化学反应项不需要模拟的优点. 上面所述各种几率密度函数方程需要和包含了多点相关信息或者说表征 耗散过程的特征量的方程结合求解.和统计矩模型一样，可以用平均的揣流 动能耗散率作为这个特征量. 为了在几率密度函数的层次上封闭方程，p o p e 和c h e n 8 和p o p e 9 建立了脉动的湍流动能耗散率的随机微分方程， 由此得到 一个完备的速度， 标量和湍流动能耗散率的联合几率密度函数的输运方程. 在建立几率密度函数的输运方程的同时， 对其中不封闭项的模型的研究 1 . 3小尺度混合模型研究的历史和现状 和计算方法的研究也同步发展.在计算方法方面，由于在几率密度函数的输 运方程中除了通常的时间和空间坐标外， 速度的三个分量和所有标量均为自 变量，因此是一个高维数的偏微分方程. 对于高维数的偏微分方程通常的差 分方法是无法应用的. 例如， 假设一个方程有。个自 变量， 如果对每一个自 变 量都采用差分方法，在其定义域上取n个网格点的话，总的网格数是n -, 也就是说计算量随自 变量的个数指数增长6 ， 因此， 对通常涉及十到数十个 标量的实际燃烧问题， 几率密度函数方程是无法用通常的差分方法求解的. 而另一方面， 能够处理高维问题正是m o n t e c a r lo 方法的一个优点1 0 ， 因为 通常m o n t e c a r lo 方法的计算量只随问题的维数线性增加.p o p e l l , 1 2 首先发 展了求解标量几率密度函数方程的一种有限差分和m o n t e c a r l o 方法相结合的 算法， 对空间坐标做有限差分， 而用一个由一系列颗粒( 或者称为样本) 构 成的系综来近似几率密度函数， 从几率密度函数 满足的方程推导出颗粒满足 的发展方程， 通过求解颗粒方程来得到几率密度函数随时间和空间变化的规 律. 因为在这种方法中， 每个空间点上都有固定数目的颗粒， 颗粒的位置是不 变的， 所以通常被称为欧拉方法 【 1 3 . 在文献6 中p o p e 还提出了一种拉格朗 日 方法， 在这种方法中颗粒的位置也是随时间变化的， 是需要求解的变量. 文献1 3 对这两种方法进行了比较和改进. 对于速度和标量的联合几率密度 函数，p o p e 6 提出了一种m o n t e c a r l o 方法和求解平均压力的泊松方程相结合 的算法. 其后又在一系列工作中发展并检验了各种改进的算法 1 5 , 1 6 , 1 7 , 目前， 虽然在模型方面还有相当多物理过程没有能够恰当地模拟， 几率 密度函数方法已经在各种问题中得到广泛应用! 1 8 ; 1 9 , 2 0 , 2 1 .同时， 也进行 了把几率密度函数方法和大涡模拟相结合的工作!7 , 2 2 , 2 3 . 可以预见， 求解 儿率密度函数方程的方法将得到越来越广泛的应用， 对它的研究也会继续深 入发展. 1 . 3 小尺度混合模型研究的历史和现状 无论是在标量的n率密度函数( p r o b a b i l it y d e n s it y f u n c t io n , p d f ) 还是标 量和速度的联合几率密度函数的输运方程里面， 都会出现标量扩散项在给定 标量的瞬时值的条件下的数学期望值， 称为小尺度混合项.其数学表达式是 ( d o 2 0 10 ( ? , t ) = v ) ) ， 其中0 为标量，0为标量0 在相空间的取值. 在单点的 p d f 方程里面， 这一项是不封闭的， 需要建立它的模型， 称为小尺度混合模 型，或简称混合模型.如前所述，在 p d f方程中这一项表征标量方差的耗散 第1 章 引言 过程，所以它的模型的好坏对计算结果影响很大， 一直都是研究的重点. 对 小尺度混合模型的研究包括实验研究和理论研究两方面，实验研究是理论研 究的基础.下面分别对实验研究和理论研究目前的现状做简要综述. 1 . 3 . 1 情性和反应标量湍流混合特性的实验和 d n s 研究 通过大量实验和d n s 的研究， 人们认识到标量场的长度尺度， 标量扩散 系数和d a 数等因素对标量的混合过程有很大的影响， 并且对其中机理和规律 有了一定程度的了解.下面简要介绍一下这方面的一些结果. 在标量场长度尺度对混合速率的影响方面，w a r b a f t 和l u m le y 2 4 最早发 现在均匀的网格湍流中， 标量场和速度场的积分长度尺度的比决定了标量方 差的衰减速率，标量的长度尺度越小标量方差衰减越快;同时两者长度尺度 的比不趋向于一个平衡值. 这些结论得到其后s ir iv a t 和w a r h a f t 2 5 的实验和 j u n e j a 和p o p e 2 g 的d n s 结果的证实. 而另一方面，s ir iv a t 和w a r h a f t 2 7 在有 横向平均温度梯度的网格湍流中发现温度场和速度场的积分长度尺度比趋向 于一个平衡值，因此相应地温度场和速度场的时间尺度比也趋向于平衡值， 这和b e g u i e r 等2 8 1 在剪切流中总结的实验数据一致. 在均匀揣流中，e s w a r a n 和p o p e 2 9 的d n s 结果也支持时间尺度比趋向于常数的结论， 但是在o v e r h o l t 和p o p e 3 0 对均匀各向同性湍流速度场里有平均梯度的标量场的混合过程的 d n s 中发现这个比 值对雷诺数有一定依赖性. 上述结果明确地说明标量场的 长度尺度对混合速率有很大影响，尺度越小混合速率越快;但是仍无确定性 的数据否定对剪切流中标量场和速度场时间尺度比为常数的假定. 组分的不同扩散系数和 d a 数对惰性和反应标量的影响是目 前极为热门 的研究课题.y e u n g 和p o p e 3 1 , y e u n g 3 2 , y e u n g 等3 3 和n i ls e n 和k o s a ly 3 4 等通过d n s 对标量的不同扩散系数的影响进行了深入研究。 对于惰性标量， 可以通过不同标量的相关系数， 均方差以及标量梯度的相关系数等参数的值 或谱分布来描述不同扩散系数的影响. 文献3 1 对两个具有不同扩散系数的 标量在均匀湍流中的混合过程的谱特性做了详细分析， 其结果表明，随着混 合的发展，初始相关很强的两个扩散系数不同的标量相关程度逐渐减弱，这 种解相关 ( d e c o r r e l a t e ) 过程在小尺度是通过分子扩散作用产生的， 然后通过类 似反散射( b a c k - s c a t t a r i n g ) 的过程向大尺度传播. 因为这个传播过程和能量传 播的级联过程方向相反， 所以对标量在大波数区的相关的影响有比较长时间 的延迟， 往往比积分时间尺度