（运筹学与控制论专业论文）一个非线性电路的混沌分析.pdf

摘要 梅尔尼克夫方法是研究混沌的少数解析方法之一。它主要适用于形如 j = ，( 工) + 占g ( x ，) 的方程，即研究带有弱周期扰动的具有同宿环或异宿环的二 阶常微分方程，并且要求厂( z ) 和g ( x ，t ) 是充分光滑的。本文介绍了文献【3 3 中对 梅尔尼克夫方法的一个推广，然后证明了在厂( 工) 和g ( x ，f ) 能展开成收敛的傅立 叶级数条件下，梅尔尼克夫方法仍然成立。根据这个结果我们分析了一个由方 波电源激励的非线性r l c 串联电路，得到了出现梅尔尼克夫意义下的混沌的参 数区域也就是系统的双曲不动点的稳定流形和不稳定流形横截相交的条件。最 后我们用数值方法对上面的结果加以验证，发现结果是相当吻合的。 关键诃：梅尔尼克夫方法，混沌，非线性电路 t h e a n a l y s i so f t h ec h a o s p h e n o m e n o n i nan o n l i n e a rc i r c u i t a b s t r a c t m e l n i k o v sm e t h o di so n eo f t h ef e w a n a l y t i cm e t h o d sf o rs t u d y i n gc h a o s i ti sm a i n l y a p p l i e dt ot h et w oo r d e ro d es y s t e mw i t ht h ew e a k l yp e r i o d i cp e r t u r b a t i o na st h e f o l l o w i n gf o r m 主= s ( x ) + e g ( x ，f ) w h i c hh a sh o m o c l i n i c ( h e t e r o c l i n i c ) o r b i tw h e n s = 0 ，w h e r e f ( x ) ，g ( 工，r ) a r ee n o u g h s m o o t h t h i s p a p e r i n t r o d u c e a g e n e r a l i z a t i o n t om e l n i k o v l sm e t h o di nb i b l i o g r a p h y 3 3 】w ea d o p tt h es i m i l a rm e t h o di n 3 3 t o p r o v et h a tw h e n 厂( 工) ，g ( 工，f ) c a nb ee x p a n d e di n t oac o n v e r g e n tf o u r i e rs e r i e s ， m e l n i k o v sm e t h o dc a ns t i l lb eu s e dt o p r e d i c t i fc h a o sh a p p e n si nt h e s y s t e m a c c o r d i n gt ot h i sr e s u l tw ea n a l y z e dan o n l i n e a rr l c c i r c u i ts t i m u l a t e db yas q u a r e w a v e p o w e r s o u r c ea n do b t a i n e dt h e p a r a m e t e rr e g i o n i nw h i c hc h a o s h a p p e n s ，n a m e l yt h ec o n d i t i o n sf o rt h es t a b l ea n du n s t a b l em a n i f o l do fs a d i ep o i n t i n t e r s e c t i n gt r a n s v e r s e l y 。f i n a l l yw et e s t a n dv e r i 毋t h ea b o v er e s u l t b yu s i n g n u m e r i c a lm e t h o d k e y w o r d s ：m e l n i k o v sm e t h o d ，c h a o s ，n o n l i n e a rc i r c u i t 一个非线性电路的混沌行为分析 第一节引言 混沌顾名思义就是混乱复杂，这样一个名字出现在以精确严密著称的数学中，确 实足够引起人们的好奇和兴趣。但这尚不足以解释对混沌的研究何以在短短几十年 的时间里就以惊人的速度兴起，并在众多领域内得到广泛的应用。有些人为了强调 混沌的重要性，甚至把混沌同相对论和量子力学相提并论，列为二十世纪最伟大的 三项科学成就之一。这当然是夸张之辞，并非所有的科学家都同意这种观点，至少 看来霍尔姆斯( p h i l i ph o l m e s ) 就是对此抱怀疑态度的。但无论如何，混沌就其受到 的关注程度，以及它在现代科学各领域应用的广泛性来说，其巨大的价值意义和非 凡的重要性确实已经是毋庸置疑的事实。 为了说明问题，我们可以列举出几个混沌在不同科学领域应用的例子 大家都知道地球的磁场是处于不断变化中，这种变化可以用混沌来加以说明。一 方面地球上各地的磁倾角和磁偏角在不断变化。比如英国伦敦的磁偏角1 6 0 0 年偏东 8 度，以后一直向西偏，到1 8 0 0 年偏西2 4 度，从那以后又反向偏移回来，1 9 5 0 年偏 西只有8 度了。同时地球的磁场强度也在不断发生变化，从1 6 7 0 年以来，磁场强度 已经下降了1 5 ，目前大约只有5 1 0 - 5 特斯拉，而根据岩石的地质年代和它们的化 石磁性，可以了解到，在最近4 5 0 万年里，地磁场的极性曾经发生过九次倒转。1 1 这种地磁场的强度和方向的急剧不规则的变化具有混沌的属性，可惜的是现在还没 有一个好的理论来对这种地磁场的混沌演化加以完美的的解释。 鸟类的飞行是动物学家关心的问题，海普厄( f r a n k h h e p p e r ) 对鸟群进行了二 十多年的观察，试图找到能解释鸟类行为的模型。后来他学习了数学混沌的概念， 掌握了用相对简单的数学方程产生复杂的空间图象的逻辑工具，与人合作设计出四 条简单的规则，据此用计算机编制程序，在屏幕上以一群小的三角形来模拟鸟群的 行为。结果使他兴奋，这种模拟产生的模式与鸟群行为极其相似，通过改变规则的 强度，可以得到许多鸟类飞行的典型行为。f 2 1 心脏和大脑中的混沌运动已经被认真地研究过。比如可以研究心率变化中的混沌 现象，用x 轴表示第一次和第二次心跳的时间间隔，用y 轴表示第二次和第三次心 跳的时间间隔，画出心率变化的相空间图，可以明显发现心脏运动的混沌特征，研 究正常心跳和异常心跳不同的奇怪吸引子，可以更好的判断心脏病人发病的危险性 【3 】。通过分析癫痫病人的脑电图数据，采用一定的数据处理方法，可以发现其中的 混沌现象，通过确定混沌的不同特性，可以确定不同的种类的癫痫病，更进步采 用这种方法可以研究大脑兴奋的作用种类 4 】。大脑的发育过程也可以用混沌来解 释。大脑皮层褶皱呈现出自相似的分形结构。并且具有强烈的对初始条件的敏感依 赖性，任何初始条件，刺激信息的差异，都会对以后大脑的发育演化造成强烈影 响。“所以甚至基因完全相同的双胞胎，脑中复杂的神经原连接模式也不同，每个 大脑有其独一无二的分形” 5 。 戴维凯尔西说“经济学有一个悖论，微观经济学中，所有经济变量都是具有最 大化行为的经济活动主体的理性活动决策的产物，因此在微观经济学中所有变量都 是完全确定性的，然而在宏观经济学中，经济变量却经常被当作随机的。相同的变 量怎么能同时既是随机的，又是确定性的呢? 如果经济是混沌，这个悖论或者就可 以得到解释”【6 6 。混沌在经济学上的可能的实际应用则是多方面的，象股票市场的 波动，货币总量的动态行为，消费者选择随其财富增长的变化，经济周期的不规则 变化等等 在数学应用的比较成熟的那些自然科学领域中，混沌的例子更多。我们仅拿天文 学来说，混沌研究中有名的伊侬映射就是法国天文学家从研究球状星团中得来的。 此外如火星和木星之间小行星空隙带的研究。小行星带由许多围绕太阳运动的小天 体组成，但是在离太阳的某些距离上却没有小行星，有空隙，对这些空隙的解释， 过去一直不能令天体力学家满意。而现在用位于共振区的小行星具有混沌性质的轨 道形状似乎可以给出这个问题的一个比较好的解释。天体力学中著名的i 1 体问题更 是导致混沌理论萌芽产生的一个问题。关于气象学，物理学，化学等学科中的混沌 的例子更是不胜枚举，我们这里就不一一列举了。 通过上面的例子，我们可以看到混沌在现代科学中应用的广泛程度确实是相当惊 人，而且上面举出的仅仅是一小部分的例子。用完全客观的话来说，混沌在现代科 学中是相当时髦的，而在通俗科学中，更是常常挂在人们嘴边的一个名词，现在出 的科普书籍往往是不谈一下量子力学，不谈一下混沌，就觉得不算科普一样。造成 这种情况的原因，在我看来有这样一些因素。一方面在众多的科学领域中，可以观 察到的简单的确定的现象仅仅是少数，大量观察到的是复杂的和看似偶然的现象。 因而随着自然科学各领域研究的不断深入，仅仅满足于对这类复杂现象进行部分的 近似的描述，显然是不够的。虽然也有概率论等数学工具可用来研究这些现象，但 未必对来自确定性系统的复杂现象提供令人满意的解释，混沌的出现正好给所有这 些现象提供一个从新的视角，用新的有力的手段和工具进行研究的可能。而且也可 以说正是由于各个学科有这方面的强烈需求，混沌研究的真正兴起才成为可能。另 一方面，无序和有序，偶然和必然，简单和复杂之间的关系一向是科学家们长期思 考和强烈感兴趣的问题，混沌正好为这些矛盾概念之间建立起了沟通的桥梁，用中 学课本上哲学的话说，就是为矛盾对立面之间的统一转化提供了更为深入和真切的 认识，满足了人们的哲学好奇心。这也难怪混沌理论一出现就受到了广泛的关注。 当然对于各个科学领域混沌研究热火朝天的局面，一方面我们可以感到高兴：另 一方面，也应该保持清醒的头脑。事实上许多严肃的科学家对此是有他们自己的意 见的。提出奇怪吸引子概念的茹厄勒( r u e l l ed ) 说：“我们不知道生物学和软科 学中的基本运动方程( 仅有与数据定性一致的模型是不够的) ，并且很难获得非 常精确的长时间序列，动力学特性通常又不简单。此外，在许多情况下( 生态学， 经济学，社会科学) ，不管他们基本的演化方程是什么，随时间的变化都非常缓 慢。因此，对于这些系统而言，混沌的影响目前还仅仅处于科学哲学，而不是定 量科学的水平上。”当然茹厄勒最后表示了乐观，“进步是可能的：要知道庞加莱 在气象学可预报性方面的想法当时也只是科学哲学，而这一领域现在是定量科 学。” 7 】 霍尔姆斯表达的观点可能更为尖刻。他说“在过去的1 0 2 0 年间。不仅非专业人 士，甚至数学家和其他科学家都在误用和滥用混沌概念。许多不规则的或无序的现 象，仅仅由于它们不是定常的，不是周期的或者不具有其他好的容易理解的性质， 就被描述成混沌的。尽管我们可以按照自己的喜好来称谓一件事物，但是给予几百 种不同的对象以同样的名称只能导致混乱混沌理论被形窑为一门新科学和 其他许多过分的称谓”“我一点也没看见什么新科学，我甚至未见到混沌理 论成为一种有凝聚力的客体，比如象量子力学和相对论那样而存在”“虽然为研 究混沌而发展起来的许多技术可能满足科学的定义，但它们是已经充分确立的一门 科学数学的一部分。更精确的讲，它们是动力系统的数学理论的一部分， 而且并不是很大的一部分，这些技术不能构成像生态学和计算机科学那样意义上的 一门新科学”“那么较谦虚地称为混沌理论又如何昵? 即使如此我们觉得这种说法 仍有误导。一种理论通常是为描述特定范围内的现象提供规律和模型。相对论和量 子理论作为现代物理学的基石，就是上述理论的实例。相反混沌包含微分方程和动 力系统分析中的一系列的方法。符号动力学，庞加莱映射和我们讲过的其他工具， 皆不能直接用于描述外部世界；它们只能帮助我们理解和分析其他理论和模型。人 们可以说混沌所以不能成为一种理论，是因为它的适用范围太广”【8 1 9 】 我们不必全部接受霍尔姆斯的观点，比如把理论的概念定的如此狭隘显然就没有 必要，但他的观点之中确实有一些值得我们认真思考和接受的东西，并非说一定要 等对混沌的本质有非常清晰深刻的认识才能把混沌理论运用到实践中去，而是说在 在把混沌理论不断运用到实践当中去的时候，应该力求对混沌的一些基本的概念和 思想有更加明确深入的认识，同时应该避免不适当的把随便什么现象都不动脑筋往 混沌上一推了事，以为有了混沌就什么样的奇迹都能发生( 这在某些科幻小说中是 能看到的) 。明确的认识到现在的混沌理论究竟能使我们对自然的认识达到一个什 么样深度，能够帮助我们做到哪些事情，有哪些局限性，有哪些依然令人困惑和令 人不理解的地方以及如何才能更一步发展这一理论，而不是任意夸大其作用才是科 学的态度。这对于混沌理论更好的深化，使之具有更强的生命力来说是必要的。否 则就会如霍尔姆斯所说“当混沌一词至今依然令人着迷时，它已经丧失缺乏某些科 学基础的含义了”。因此听取霍尔姆斯下面的教诲是有非常大的益处的“最好离开 混沌的夸张不切实际的描述，仅保留其严格的有着深刻基础的内涵，而物理学家和 其他应用科学家将在实际应用中继续检验他们得到的新的定义和结果。正是通过这 种方式。今日被许许多多数学以外的科学家用做工具的微积分和概率论才发展起 来。真正的混沌理论也应该沿着类似的途径发展。那时，我们更愿意使用不常见的 没有引起人们注意的术语：动力系统理论”【9 】。 接下来，让我们回顾一下动力系统和混沌发展的历史。 混沌的思想最早可以追溯到电磁学家麦克斯威尔( m a x w e l l ) ，他在1 8 6 0 年， 在研究气体运动理论的论文中，描述两三个小球之间相互作用运动时就可能已经意 识到在简单系统中也存在对初值条件的敏感依赖性。后来1 8 7 3 年，在剑桥大学发表 的文章中，他更明确的表达了自己的观点。他说“由相同的前提得到相同的结论是 形而上学的，这毋庸置疑。但这套理论对真实的世界没有太大的用处。相同的前提 不再发生，任何事情不会发生两次，与之相近的物理学原理是：相近的前提得 出相近的结果，但我们忽略了对绝对精确和粗略近似所引起的差异。正如我已说 明的，有一类现象，小误差不会导致大的变化。例如太阳系中的大量现象就是如 此，动力学的基本原理得出的大量结果亦是如此。这种情况下发生的事情是稳定 的。还有一类现象。它更加复杂不稳定性也会发生，在变量增加的同时，这类现 象也以异乎寻常的速度增加。”“因此如果物理学者开始探求奇异性和不稳定性的 秘密，而不是事物的稳定性和连续性，自然知识的增长就会倾向于摈弃喜好确定论 的偏见，确定性似乎源于认为物理学的未来仅仅是放大过去的图象而已” 1 0 】。 后来庞加莱( p o i n c a r e ) 也说过类似的话“如果我们确切的知道某一时刻自然 的法则和宇宙的位置，我们可以精确地预测将来时刻它的位置。然而，即使自然规 律对我们来说不再是秘密，我们也只能粗略地知道它的初始状态。如果我们的预测 也在相同的精度内，正如我们所需要的，我们说这个现象被预测了，这是由规律控 制的，但事实并非总这么好，初始条件的小小差异可能使最终状态大相径庭，失之 毫厘，谬以千里，预测也不可能了” 1 1 。当然庞加莱真正的贡献并不是说了上 面的话，而在于，他一手创立的微分方程定性理论以及给出对混沌第一个事实上的 数学描述。“1 8 8 1 年1 8 8 6 年间，庞加莱发表了一组四篇题为由微分方程确定 的积分曲线，独创性地探讨了稳定性，奇点领域内积分曲线的几何拓扑结构，奇 点的指数以及奇点在大范围全局分布，极限环问题以及环面上的积分曲线，开创了 微分方程的定性理论”【1 2 】。庞加莱对天体力学三体问题的研究是在试图赢得奥斯卡 国王就n 体问题的悬赏时进行的，成果发表在1 8 9 0 年数学学报第十三卷上，占 了2 7 0 页。后来在这篇论文的基础上，出版了天体力学新方法一书，共三卷。 在这项工作中庞加莱独立发展了许多新的数学工具并把它们应用到三体问题中，后 来动力系统和混沌研究中采用的许多概念手段如庞加莱映射等都是首先由他给出 的。我们这里简要介绍一下后来被成为庞加莱同宿栅栏的现象。庞加莱发现在三体 问题中，存在庞加莱映射产生的不动点，它的稳定流形和不稳定流形会在一点吼发 生横截相交。通常把吼称为横截同宿点，由一个横截同宿点会产生无穷多个新的横 截同宿点。稳定流形和不稳定流形在横截同宿点之间的弧段在庞加莱映射正向负向 的迭代作用下不断趋向于不动点，并不断被拉伸，导致稳定流形和不稳定流形的进 一步相交，这个过程无限重复下去就形成了同宿栅栏。在天体力学新方法最后 一卷，庞加莱这样描绘了同宿栅栏“当我们试图去描绘他们的无穷多次相交产生的 图形时，每一个交点都对应于一个双向渐进解，这些交点形成一种含有无穷多个很 细网眼的格子或网状结构。这两条曲线中的任何一条都不会再次与自身相交，但是 它却以一种极其复杂的方式弯曲着回到自身附近，从而无限次地穿过格子结构中的 所有网眼”【9 。庞加莱栅栏是混沌的第一个几何描述。 与庞加莱同一时期，俄罗斯数学家李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 建立了稳定性的数学 理论。1 8 9 2 年李雅普诺夫在哈尔科夫完成的博士论文运动稳定性的一般问题 中，给出了常微分方程的解的稳定性的一般概念的定义，开创了现代稳定性理论。他 同时提出了一种通过寻找李雅普诺夫函数来确定稳定性和不稳定性的方法【1 3 】。李雅 普诺夫的另一个贡献是定义了李雅普诺夫指数，能用数量表示线性化方程的解在相空 间的各个方向的增长或衰减速率。李雅普诺夫指数在现代混沌的研究中具有重要意 义，现在往往通过正的李雅普诺夫指数来判别一个系统中是否存在混沌。 美国数学家伯克霍夫i r k o f f ) 是在庞加莱之后对动力系统理论作出重要贡献的科 学家。现代动力系统的抽象概念就是他给出的( 见上海辞书出版社的数学词典 3 8 5 页 1 4 】，不过在数学史辞典一书中却说是1 9 3 1 年苏联马尔科夫( 小) 总结伯 克霍夫的工作，正式提出动力系统的抽象概念的) 。1 9 2 7 年他出版的动力系统 一书中重新考察了同宿栅栏，证明了同宿点的无穷集合的存在，还证明了在横截同宿 轨点的任何邻域中，都存在无穷多条周期轨道。1 9 3 5 年他出版的另一本关于动力 系统的新研究中，研究了不变流形横截相交的进一步结果。 1 9 3 7 年，苏联的安德罗诺夫和庞特里亚金提出了常微分方程结构稳定性的概念， 这对以后动力系统的发展起了非常关键的作用。动力系统中分岔理论就是结构稳定性 研究的产物。1 9 4 2 年德国数学家霍普夫( h o p f ) 将结构稳定性的理论推广到了任意 高维的微分方程中去，现在有名的霍普夫分岔就是以他的名字命名的。对于结构稳定 的系统，外部参数的微小变化和数据的误差并不会改变系统的定性性质，如果是结构 不稳定，我们就说系统处于分岔状态。新的数学分支突变论也来源于对系统的结构稳 定性的研究，此外在其他许多科学领域，结构稳定性理论都发挥着重要作用。 1 9 5 4 年，在阿姆斯特丹的国际数学家大会上，苏联的数学大师科尔莫哥罗夫作了 一次题为“论动力系统的一般理论与经典力学”的报告。在这篇报告里科尔莫哥罗夫 指出在近可积哈密顿系统中，大多数非共振环面将发生轻微的形变，但不会破裂， 这意味着对一个可积的哈密顿系统进行扰动，所有的共振环面和一些非共振环面在最 轻微的扰动下确实被破坏，但是当扰动越来越小，被破坏的非共振环面组成的集合越 来越小。柯尔莫哥罗夫在同一年发表了关于这个结论的证明梗概。但他没有给出证明 的全部细节，到了1 9 6 1 年，苏联的阿诺德和美国的莫泽各自独立地用不同方法给出 了严格完备的证明，也正因为此，这个理论被称为k a m 理论。该理论表明正则轨道 和混沌可以共处于同一个系统中 斯麦尔( s m a l e ) 是1 9 6 6 年莫斯科数学家大会上的菲尔兹奖得主之一，他是因为 证明了在拓扑学中维数大于等于5 情形时的庞加莱猜想而获奖的。斯麦尔在动力系统 领域同样作出了非常卓越的贡献。就在他获奖的那届数学家大会上斯麦尔应邀作了题 为“微分动力系统”的大会报告【1 5 ，这个报告意味着微分动力系统的正式诞生。 1 9 5 8 年斯麦尔在莱夫谢茨( s l e f s e h e t z ) 和佩雪托( m p e x i o t o ) 等人的帮助下对大于 2 的一般维数拓扑空间中动力系统的结构稳定性问题进行研究，在托姆 1 1 1 0 m ) 横截 理论的基础上进一步提出“稳定与不稳定均衡流形互相横截”这一推广到更高维的思 想，并写出了“关于一类动力系统的莫尔斯不等式的论文”。其中斯麦尔“提出一个 关于结构稳定的微分方程和映射的不动点、周期轨道和它们的稳定流形与不稳定流形 的结构的猜想。他觉得这些系统在它们的相空间的任何有界区域内只能有有限组周期 轨道，如果在一个有限的区域中存在无穷多个周期点，其中的一些必定在某处任意近 地聚集在一起，系统的任何小的改变都将破坏这样精致的结构”。麻省理工学院的莱 文森( n l e v i n s o n ) 看到斯麦尔的论文后，写信给斯麦尔，提出质疑，说他的论文已 经举出反例，存在无穷多周期解，而不能把它们都摄动掉。他建议斯麦尔去看一下他 的论文，并去考察一下v a i ld e rp o l 方程。莱文森的文章实质上是讨论v a nd e rp o l 方程 的庞加莱映射，但没有图形。而斯麦尔在听从了莱文森建议后，研究v a nd e rp o l 方程 的庞加莱映射的过程中不断画出各种线条，将他们拉伸压缩弯曲相交重叠，这导致了 动力系统领域中一项重大成果斯麦尔马蹄雏形的诞生，后来纽沃思( l n e u w i r t h ) 修 改了斯麦尔的图形使之更加简单明了，结果也就成了我们现在所看到的s m a l e 马蹄 9 】 1 5 。当然仅仅构造出斯麦尔马蹄是不够的，更重要的是斯麦尔证明了马蹄映射同 符号动力系统中的移位映射是拓扑等价的，从而由移位映射的混沌性质推出马蹄映射 的混沌性质。进一步斯麦尔揭示出了横截同宿轨道附近的庞加莱映射与马蹄映射之间 的联系。 1 9 6 4 年，阿诺德发现了一种现象，这就是现在以他的名字命名的阿诺德扩散现 象，阿诺德扩散实质上是k a m 理论的补充。它蕴涵了一种特别形式的混沌。前面在 叙述k a m 定理时说过对一个可积的哈密顿系统进行微小扰动，大部分的非共振环面 不会被破坏，这样当自由度为2 时，被破坏的环面处在没有被破坏的非共振环面之 间。事实上这些有理圆环破坏后形成的鞍形周期点集的稳定流形和不稳定流形会发生 横截相交，产生同宿栅栏和混沌不变集，但是这种混沌夹在两个没有被破坏的环面之 间他们彼此不能通过扩散而连通。这实质上意味着混沌运动与规则运动交织在一 , ) - z ( 1 - y v 2 1 i + v 3 = b c o s v t fy c = - 盯( x - y ) y 2 p x y 一艋 1 2 = 一p z + x y 6 篇文章交给数学教授约克( j a y o r k e ) ，约克在阅读罗伦兹的文章后，产生了一些 有价值的想法，后来在1 9 7 3 年，他把想法告诉了他带的研究生李天岩，让他写篇论 文f 1 7 1 。这就是非常有名的那篇周期三意味着混沌，其重要意义在于首次在数学 文献使用了混沌这个名词。不过里面李一约克定理的前半部分，实际上是苏联数学家 萨克夫斯基在六十年代证明的一个定理的推论。 1 9 7 8 年费根鲍姆( f e i g e n b a u m m ) 等人发现了倍周期分岔现象中的标度性和普 适常数。 进入8 0 年代，混沌的研究开始进入普及推广，混沌方面比较系统的著作也开始 陆续出现。格拉斯波( g r a s s b e rp ) 等人于1 9 8 7 年提出重构动力系统的理论方法，通过 由时间序列提取分数维，李雅普诺夫指数等混沌特征量，从而使混沌理论进入到实 际应用阶段。 到二十世纪九十年代混沌研究又有新的突破，混沌控制，混沌同步，混沌反控制 等相继提出。为混沌真正实际的应用开辟了更广阔的渠道【1 8 。 对动力系统和混沌发展的历史，我们就叙述到这里。 通过上面的叙述，我们对混沌是已经可以有一个大致的了解。如果用比较简单的 话说，混沌就是决定论系统中的非确定性现象，也就是说在初始条件完全精确给出 的情况下，系统的行为是完全决定的，可以预测，但问题是任何初始条件的微小误 差都会使系统在经过一段时间演化后的行为变的无法预测。 研究混沌的模型分为离散和连续两种。比较著名的离散模型有逻辑斯谛映射 ( l o g i s t i cm a p ) ，伊侬映射( h 6 n o nm a p ) 等，连续模型有前面说过的罗伦兹方 程，还有达芬( d u f f r a g ) 方程，罗斯勒( r o s s l e r ) 方程等。 对混沌的精确概念，在数学上也并没有一个统一的定义，一般常见的对混沌的定 义有李一约克混沌，迪万尼混沌，在处理实际问题时通常也根据是否有正的李雅普 诺夫指数，正的拓扑熵，还有分数维等来判断混沌的存在 梅尔尼克夫( m e l n i k o v ) 方法是用来判别某一类受到周期性扰动作用的微分方程 中是否会出现混沌的少数解析手段之一，但实际上它并不是直接判别系统中混沌的 存在，而仅仅是判别系统的同宿轨道( 或异宿轨道) 在受到微小扰动发生破裂后， 什么情况下双曲不动点的稳定流形与不稳定流形会发生横截相交，也就是发生了庞 加莱在研究天体力学三体问题时描述过的庞加莱栅栏情况。庞加莱当年说过系统在 这种情况下会变的非常复杂。由于斯麦尔等人的工作，我们现在已经知道，这实际 上就意味着系统中存在我们现在科学意义下谈论的混沌。 本文第二节对梅尔尼克夫方法作一下介绍，内容包括首先给出迪万尼混沌，李一 约克混沌的严格定义，然后通过对符号动力系统中移位映射的混沌性质的介绍以及 斯麦尔马蹄变换的介绍表明当一个系统中双曲不动点的稳定流形与不稳定流形发生 横截相交时，确实发生混沌，这也就是有名的斯麦尔伯克霍夫定理，接着给出受到 微小扰动的平面哈密顿系统的梅尔尼克夫函数的推导过程，然后再叙述对梅尔尼克 夫方法的一些推广，以及梅尔尼克夫方法的局限性的问题，本文第三节将运用推广 了的梅尔尼克夫方法分析一个由非线形电感，线性电阻，线性电容，以及矩形波电 压源构成的串联电路，判别混沌存在，第四节则用数值方法进行了验证。 第二节梅尔尼克夫方法 一、预备知识 我们首先给出混沌的迪万尼定义： 定义1x 是一个度量空间。厂：工_ x 是一个连续映射，如果 1 、厂是拓扑传递的。 2 、厂的周期点在x 中稠密 3 、具有对初始条件的敏感依赖性 则称厂是x 上迪万尼意义下的混沌。 口 我们这里有必要说明一下，混沌的迪万尼定义中的第三个条件是多余的，参考文 献【1 9 】已证明，只要一个映射，满足了前面两个条件，也就是说，是拓扑传递的，而 且有稠密的周期点，那么必定具有对初始条件的敏感依赖性。更进一步，在文献 2 0 中还证明了如果，是区间上的映射，那么只要，是拓扑传递的，那么f 就会有稠 密的周期点和对初始条件的敏感依赖性。 接下来给出李一约克混沌的定义 定义2 、f ：x 哼j 是一个连续映射，x 是紧的度量空间，存在不可数集合 s oc x - p e r ( f ) ，满足 1 、l i m s u pd ( ，“( x ) ，f 1 ( y ) ) o ，y 墨x y 2 、j i m i n fd ( “( x ) ，f “( y ) ) = o ，v x ，y s o 3 、l i m s u pd ( “( x ) ，f “( p ) ) o ，v x s o ，v p 尸p ， 则称氐是混沌集合，厂称为l i - - y o r k e 意义下的混沌【2 1 7 7 为了说明这些混沌定义的原始数学模型，我们叙述符号动力系统的一些概念和 结果 2 2 2 3 。 定义3 取q ，嘎作为两个不同的符号，令符号集4 = q ，嘎j 。( 爿) 表示一切形 如 s _ - - s i 是2 5 一l j 0 5 卢2 矗其中墨ai z 的双向无限序列组成的集合。也可以将( 爿) 表示成笛卡儿乘积形式，即 x ( a ) = h a j 其中4 = a j v s ，t ) 定义距离 ) ：妻掣 称( a ) 为双边符号空间 定义4 在双边符号空间x ( a 1 上， 定义移位映射 盯：x ( a ) - , x ( a ) v s x ( a 1 满足 盯( s l 晶丑s 2 ) = s _ 2 s 一1 互s 2 称移位映射盯在( 爿) 上定义了一个双边符号动力系统，记为( ) ，盯) a ( ( 爿) ，盯) 如下的一些性质，关于这些性质的证明可以看参考文献 2 2 。 性质1 ( 一) ，盯) 中所有的周期点的周期组成的集合为n ，也就是说盯具有任意 自然数为周期的周期点 性质2 仃的周期点集合p e ，( 仃) 在( 4 ) 中稠密，即尸s ，( 盯) = x ( a ) 性质3 盯在( 爿) 上是拓扑混合的，即设u ，v 是( 4 ) 上的任意非空开区间， j n n ，使得当胛 n 时，盯“( u ) n 矿a 注：由性质3 的拓扑混合性可以推出盯在( 爿) 上是拓扑传递的，即盯至少有一 条稠密的轨道，了s ( 爿) ， 矿( 。) 扣z ) - - x ( a ) 显然根据上面的性质我们马上可以得出，符号动力系统上的移位映射具有 d e v a n e y 意义下的混沌。 性质4 存在不可数集合s c ( 4 ) 一_ p e r ( 1 y ) ，其中心r ( 盯) 是( 爿) 上的周期点集 合，满足 9 ( 1 l l i n l s u pd ( 盯“( x ) ，盯“( y ) ) o ，弧，y s , x y ( 2 ) 基妥i n fd ( 盯“( x ) ，仃“( y ) ) 2 0 ，溉，y s ( 3 ) 坦翌s u pd ( 盯“( x ) ，盯“( y ) ) 。，帆s ，砂e 尸e r ( 盯) 很显然移位映射确实也具有l i y o r k e 意义下的混沌。 总结起来，符号动力系统中移位映射是具有混沌属性的一个原始的数学模型，如 果我们能证明一个映动力系统同移位映射是拓扑共轭的，那么我们也相应的证明了 这个动力系统具有迪万尼意义下的混沌和李约克意义下的混沌，这无疑为我们判别 一个系统中混沌的存在提供了重要的手段。但是耍通过证明与移位映射之间的拓扑 共轭来判断混沌的出现，仍然有相当的难度。斯麦尔构造的马蹄为我们实现这种证 明提供了一个漂亮的例子。斯麦尔马蹄变换的基本思想是把一个正方形q 纵向拉长 两倍多，横向压缩一半多，再弯成一个马蹄形放回原来的正方形q 中，然后考察用 这种方式定义的斯麦尔马蹄变换所具有的性质。设厂为斯麦尔马蹄变换，找到，的 不变集，记为、，可以看到、实际上是一个cx c 点集( 这里的c 是康托尔点集) ， 然后斯麦尔证明了马蹄变换厂在 上的作用拓扑共轭于移位映射盯在符号空间( a ) 的作用即有 定理：对马蹄映射厂，存在( a ) 与 间的同胚映射妒： 一，使得 p ( ，1 f z ) ) - d 妒( z ) ，对一切： 成立 这时称，1 与( ( 椰，) 拓扑共轭【2 4 】，这样斯麦尔马蹄变换也就有混沌性质，现 在文献上习惯称之为斯麦尔马蹄意义下的混沌。 利用斯麦尔马蹄变换的性质，可以证明当系统鞍点稳定流形和不稳定流形横截相 交时会发生斯麦尔马蹄变换，也就能推出混沌的存在了，这就是所谓的斯梅尔伯克 霍夫定理，现叙述如下 斯梅尔伯克霍夫定理：令p ：豫2 _ r 2 为一个微分同胚且相对于双曲鞍点p 有一 个横截同宿点9 ，则p 有双曲不变集、，且存在 帕，使得第n 次迭代尸”在 上 与两个符号的移位映射是拓扑共轭的 关于这个定理的历史在引言已经叙述过了，用霍尔姆斯的话来说这个定理实际上 揭示了1 9 世纪末庞加莱为之奋斗的同宿栅栏问题的奥秘，所以也可以把它表述为 庞加莱一伯克霍夫一斯梅尔定理。 二、梅尔尼克夫方法的推导 梅尔尼克夫方法是用来检验二阶非自治系统的庞加莱映射是否存在横截同宿 点或异宿点的一种方法，它是从理论上判定系统是否会发生混沌的少数解析方法 之一。其基本原理是通过判定系统在什么条件下出现横截同宿点或横截异宿环来 预测系统出现混沌的条件，根据斯梅尔伯克霍夫定理，如果系统有横截同宿点的 话，那么就会出现斯麦尔马蹄映射，而斯麦尔马蹄映射又拓扑共轭于符号动力系 统中的移位映射，从而可以推断出混沌的存在f 2 5 2 6 】。 考虑方程组 童= 厂( x ) + g ( x ，f ) ( 2 21 ) 其中 z = ( ： ； r 2 ，c x ，= ( 兰 ：暑 c ，gc x ，t ，= ( 量墨：； e c 7 这里，2 2 ，g 是t 的周期为t 的周期函数。并且j r ，g 在有界集上有界 设占= 0 时，( 22 1 ) 是哈密顿系统，即存在哈密顿函数日( “，v ) e c ，使得 ：豢，工：一掣，且占：o时(221)有唯一的双曲鞍点p。以及连接p。的同o卯v 。 宿轨线鼋o ( z ) = ( “。( f ) ，v o ( f ) ) ( 2 2 1 ) 的等价扭扩系统为 艇外) + 昭( 啪( 口) 副(221 l 口= 、7 。 s 1 代表周长为t 的圆，取全局横截截面 然后定义庞加莱映射 砖：“呻“ 它定义为 6 = 她口) r 2 s 18 - - t o o ，丁】) ( 22 3 p ? ( 吼( i o ，f o ) ) = 吼( 毛+ ，f 。) ( 224 ) 吼( f ，f o ) 表示初始时刻为t o 的解，所以q ( t o ，t o ) 表示初始位置。 可以证明方程组如下的两个性质 性质1 对充分小的5 ，方程组( 2 ，2 1 ) 有唯一的双曲周期轨道譬( t ) = p 。+ 0 0 ) 。 性质2 对于充分小s ，方程组( 2 2 1 ) 的双曲周期轨道的0 ( t ) 的局部稳定流形 ( ? ( f ) ) 和局部不稳定流形聪( # ( f ) ) 是c 7 接近= o 时的系统周期轨道风s 的局部稳定流形嵫( p 。) 和局部不稳定流形雌( p 。) 。初始点在上，位于 ( p ( ，) ) 和( p ( 嘞上的轨线虻( f ，t 。) 和畦( f ，矗) 有关于参数s 的一致有效渐近 展开式为 ( f ，r o ) = q o ( 卜t o ) + c q ；( t ) + d ( 2 ) ，te f o + 。) ( f ，t o ) = q 。( f f o ) + s 酊( f ，t 。) + d ( 2 ) ，f ( 一。，f 0 】 ( 22 5 ) 其中当t t o 时，讲( t , t 。) 满足方程 拼( f ，t o ) = d j ( q 。( t - t o ) ) q ：( t ，t o ) + g ( q 。( f t o ) ，t ) ( 2 26 ) 当t t o 时，盯( f ，t o ) 满足方程 群( f ，t o ) = d ，( g 。( ，一岛) ) w ( f ，t o ) + g ( q 。( 卜t o ) ，f ) ( 2 27 ) 现在我们来推导梅尔尼克夫函数 设彰( f o ) = q ：( t o ，f o ) ，“) = q ：( t o ，f o ) 是“i - ；茁f 1 ( 矿( o ) ) 方向上，关于双曲点 成的稳定流形与不稳定流形上最接近的两个点，1 ( g o ( o ) ) 是厂( 矿( o ) ) 的法线方 向。然后定义稳定流形与不稳定流形在，1 ( 9 0 ( o ) ) 上的距离 m ) = 堂铲 眩z 剐 其中 是法向投影箅予，对口= ( q ，a 2 ) ，b = ( 6 l ，6 2 ) 具体运算为： 口 。2 l 著乏i 2 q 如一q 岛 我们的目的是讨论是否存在f ，使得毛= f 时，d ( t o ) = o 。把( 2 2 5 ) 代入 ( 22 8 ) 得 d(ro)=占!：91=。!；!铲+。(占2)c：z， 其中群( t o ) = 群( t o , t o ) ，盯( t o ) = q ( t o ，t o ) 。 则 。 f 毛? 5 厂1 9 ：( ，一f 0 ) ? “群( l 毛) ( 2 2l o ) 【( ，) = 厂( g 。( f 一矗) ) ，、q i ( f ，乇) 旦d t ( t , l o ) = d ，( 矿( f _ f 。) ) 尊。( t - , o ) n g ? ( f ，f 0 ) + ，( g 。( ，一f 0 ) ) 酊( ，f 0 ) ( 22 ，1 1 ) 由矿( 1 - t 。) = 厂0 。( f 一1 0 ) ) ，再把( 2 2 6 ) 中的酊( f ，t o ) 代a ( 2 2 1 1 ) 中，得到 景( ，t o ) = 巧( g 。( h 。) ) ，( g 。( 卜乇) ) g 沁，o ) + 巾。( f f o ) ) ，、 巧( g 。( f 一矗) ) g 沁，厶) + g ( q 。t - t o ) ，f ) ( 221 2 ) 经过适当计算，就可以得到 d ，( g 。l - t o ) ) m 。( r f 。) ) n 酊( r ，乇) + 几。( r f o ) ) ，、 d ，( g 。l - t o ) ) 拼( f ，f 。) = t r d f ( q 。( f f 0 ) ) 岔( f ，f 0 ) 而 t r d f ( g 。( f 一毛) ) = a f ( q 。j ( ：t 一- t o ) ) + c 。f ：( q 了o ( t - 从而推出 = 0 ( 2 21 3 ) 昙( ) 2 s ( q 。( ) ) g ( q 。( 卜t o ) ，f ) ( 22 1 4 ) 再把( 2 2 1 4 ) 式两边从矗到+ m 积分，得到： 。( 帆t o ) 一岔( f o ，矗) = ：”，( 矿( 卜矗) ) g ( q 。( 卜f 。) ，f ) 魂( 2 2 1 5 ) 而 ( 坞毛) 2 鲤( f ，f 0 ) = 熙f ( q 。( r f 。) ) n 酊( f ，t o ) 由熙，( g 。( f f o ) ) = 厂( 风) = o ，盯( f ，乇) 为一致有效渐进解，故有界。从而 。( + m ，f o ) = 0 ，- i 以得至0 州( ，t o ) = c 。厂( g 。( f 一，o ) ) g ( 矿( ，- t o ) ，f ) 加 ( 2 2 1 6 ) 类似可以得到 ”( 岛，乇) = 1 0 厂( g 。( f - f 。) ) ，、g ( q 。( f k ) ，f ) 斫 ( 22 1 7 ) ( 22 1 6 ) 和( 2 2 1 7 ) 式推出 1 3 ( “。) 一( f ，f 。) = c i ( q 。( f f 。) ) ，、g ( g 。( 卜t o ) ，f ) 斫 ( 2 21 8 ) 将( 2 21 8 ) 代入( 2 2 9 ) 式得到 d(b)=占：!：!二1；：产+。(2)c：，。， 称 m ( r 0 ) = c 厂( g 。( f _ f o ) ) g ( 9 。( 卜矗) ，f ) 西 ( 2 22 0 ) 为同宿轨道g o ( f ) 的梅尔尼克夫函数 为了便于计算，可以做代换f t + t o ，可得梅尔尼克夫函数的另一种表达式 m ( t 。) = c j ( q 。( f ) ) g ( g 。( 啦f + t o ) d t ( 22 2 1 ) 这样我们就得到梅尔尼克夫定理 梅尔尼克夫定理：如果m ( f 0 ) 具有不依赖于的简单零点，则对充分小的s ，就能保 证流形w ( 砖) 与w 。( 廖) 横截相交，反之若v t o 【o ，r 】，都有m 瓴) 。，则 w 4 ( 砖) n 。( p ? ) = a 口 在上面的推导过程中实际上求m ( f 0 ) 的零点意昧着变动庞加莱截面。，固定 g 。( 0 ) 来观察扰动的稳定流形与不稳定流形什么时候相交。但也可以用另一种方法来 进行推导，固定庞加莱截面“，沿着没有受扰动的同宿环移动窖0 ( 0 ) ， 2 7 中就是采 用后者来推导的。 三、梅尔尼克夫方法的一些推广 梅尔尼克夫方法可以加以推广。 首先可以把梅尔尼克夫定理推广到具有异宿轨的的平面啥密顿系统中。我们先 给出横截异宿环的定义。 定义( 2 。3 1 ) ：设平面点映射，具有双曲鞍点p ，。，p 。，且对每一i = 1 , - - ， w 。( 只) 与1 ( p 。，) 横截相交于一点吼，其中以+ 。= 只则称具有一个横截n 。环 参考文献 2 8 证明了如果具有横截n - 环，就必有横截同宿环，从而说明在横截 异宿环的情况下，厂同样具有斯麦尔马蹄变换意义下的混沌。 如果当5 = 0 ，系统有 异宿轨组成的异宿环。与同宿轨一样可以得出关于第i 条 异宿轨道的梅尔尼克夫函数m ，“) ： m ，( f o ) = c ，( 群( f ) ) n g ( 秽( r )