（控制理论与控制工程专业论文）欠驱动机械系统的非线性控制研究.pdf

摘要 摘要 欠驱动机械系统是指系统的独立控制变量个数小于系统自由度个数的一类 非线性系统。它在减少执行元件个数，减轻系统重量以及降低成本方面具有很 大的优势，因此对它的研究具有重要的理论意义和实用价值。同时由于欠驱动 系统的高度非线性、参数摄动、多目标控制要求等原因，使得欠驱动系统的控 制具有较大的难度。本论文以欠驱动机械系统p e n d u b o t 和f u r u t a 摆为对象，研 究一类非完整欠驱动机械系统的控制方法。p e n d u b o t 和f u r u t a 摆系统都有两个 自由度，但只有一个驱动装置。p e n d u b o t 是一个在垂直平面上运动的二杆机械 臂，在肩部有一个驱动器( 电机) ，肘部没有驱动装置。控制目标是将系统从 其平稳下垂位置，通过肩部的电机力矩驱动及依赖系统本身的非线性耦合摆动 至垂直竖立位置并使之最终平衡。f u r u t a 摆是由位于水平面上的杆联接竖直平面 的杆组成，其中在平面上转动的杆带有驱动电机，并通过末端的铰带动竖直面 的欠驱动杆摆动，控制的目标是将欠驱动杆从其平稳的下垂位置，通过水平杆 的转动力矩摆动到垂直竖立的位置并使之最终平衡。 论文首先利用拉格朗日动力学方程，建立p c - n d u b o t 和f u t u r e 摆欠驱动机械 系统动力学模型，根据该模型及系统参数提出了欠驱动系统的控制策略。利用 基于无源的控制方法设计摇起控制器，通过切换转为基于线性二次调节器 ( l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r - - l q r ) 平衡控制策略或神经网络平衡控制策略建 立的平衡控制器，实现了对p e n d u b o t 和f u r u t a 摆欠驱动机械系统的摇起和平衡 控制。其次，引入响应速度快、鲁棒性强的滑模变结构控制方法，设计系统的 摇起和平衡为一体的控制器。从理论和仿真实验两个方面说明了滑模变结构控 制方法的可行性及有效性。同时在各种控制算法中运用粒子群进化方法对各类 控制器参数进行优化，以改善系统的控制效果。 关键词：p c n d u b o t ，f u r u t a 摆，无源控制，神经网络，滑模变结构，粒子群算法 a b s t r a c t t h eu n d e r - a c t u a t e dm e c h a n i c a ls y s t e m sa l ec h a r a c t e r i z e ab yt h ef a c tt h a tt l l e yh a v e f e w e ra c t u a t o r st h a nt h ed e g r e e so ff r e e d o mt ob ec o n t r o l l e d b e c a u s et h e yh a v em a n y a d v a n t a g e s ，w h i c hi n c l u d ed e c r e a s i n gt h en u m b e ro fa c t u a t o r s ，l i g h t i n gt h es y s t e m , r e d u c i n gt h ec o s t , e t c ，t h e yh a v eb e c o l l l em o r ea n dm o r ev a l u a b l ei nb o t ht h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s a tt h es a m et i m e , t h e r ea r em a n y d i f f i c u l t i e si nc o n t r o lo fu n d e r - a c t u a t e d m e c h a n i c a ls y s t e m sb e c a u s eo ft h eh i g hn o n l i n e a r i t y , c h a n g eo ft h ep a r a m e t e r s ，a n d m u l t i - o b j e c tt ob ec o n t r o l l e d t h i st h e s i su s 懿t h ee x a m p l eo fp e n d u b o ta n df u r u t a p e n d u l u mt oi l l u s t r a t et h ec o n t r o lm e t h o do f s u c hs y s t e m s t h e r ea r et w of r e 倒l o m so f t h ep c a d u b o ts y s t e ma n dt h ef u m t ap e n d u l u ms y s t e m , b u to n l yo n ea c t t l a t o r t h e p c a d u b o ti sat w o - l i n km a n i p u l a t o ro p e r a t i n gi nav e r t i c a lp l a n e 诚t ha na c t u a t o ra t t h es h o u l d e r mc o n t r o lo b j e c t i v ei st os w i n gi tl l pf r o mas t a b l ed o w n w a r d e q u i l i b d u mp o s i t i o nt ot h eu n s t a b l es t r a i g h t - u pe q u i l i b r i u mp o s i t i o na n db a l a n c 洽i t t h e r e t h ef u r u t ap e n d u l u mi sap h y s i c a lp e n d u l u mw i t har o t a t i n gs h a f to ft h em o t o r a t t a c h e dt ot h ec a dw h i c hi sf r e et os p i na b o u ta na x i sp a r a l l e lt ot h ea x i so fr o t a t i o n o ft h ep e n d u l u m t h ec o n t r o lo b j e c t i v ei st os w i n gi tu pf r o mas t a b l ed o w n w a r d e q u i l i b r i u mp o s i t i o nt ot h eu n s t a b l es t r a i g h t - u pe q u i l i b r i u mp o s i t i o nb yt h er o t a t i n g a r ma n db a l a n c ei tt h e r e a d y n a m i cm o d e li sd e r i v e df r o mt h el a g r a n g i a ne q u a t i o nf o rb o t ht h ep c a d u b o t s y s t e ma n dt h ef u r u t ap e n d u l u ms y s t e m ac o n t r o ls t r a t e g yo ft h i sm a n i p u l a t o rw a s p u tf o r w a r db a s e dt h em o d e la n dp a r a m e t e r s f o rt h ep c n d u b o ta n d f u r u t ap e n d u l u m , i tw a ss w i n gu pb yu s i n ge n e r g y - b a s e d ( p b c ) s w i n g - u pc o n t r o l l e r , w h e ns o m e c o n d i t i o n sw a ss a t i s f i e di tw a st r a n s i t i o nf r o mt h es w i n g - u pa r e at ot h eb a l a n c ea r e a w h i c ha r eb a s e d0 1 1l q rc o n t r o l ( l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r - - l q r ) o rt h eb p n e u r a ln e t w o r kc o n t r 0 1 o nt h i sb a s i s ，w ei n t r o d u c ean e wm e t h o d , t h es l i d i n gm o d e v a r i a b l es t r u c t u r a lc o n t r o lm e t h o d ( s m c ) ，w h i c hi sa b l et or e s p o n s eq u i c k l y , 谢t l l l l i g hr o b u s tv a r i a b l e u s i n gt h i sm e t h o dw ec a na c h i e v es w i n g - u pa n db a l a n c ew i t h t h es a m ec o n t r o l l e ro n a b s t r a c t p r e s e n t e ds h o w i n gt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o d sa e f f e c t i v ea n dc a nb ei m p l e m e n t e d e a s i l y a tt h es a m et i m e , w eu s et h eu t i l i z e dp a r t i c l es w a l mo p t i m i z a t i o nt oo b t a i na l l o p t i m a lv a l u eo f t h es y s t e mp a r a m e t e r sw h i c hw i l li m p r o v ep e r f o r m a n c e k e yw o r d s ：p e n d u b o t ；f u r u t ap e n d u l u m ；p b c ；l q rc o n t r o l ；n e u r a ln e t w o r k ；s m c ； p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n i i i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解北京机械工业学院关于收集、保存、使用学位论文 的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以 及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向 国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名：萎文专 沙侈年 月蝴旧 经指导教师同意，。本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月日 硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名；美文专 、卯8 年2 月潞e t 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 欠驱动机械系统是指系统的独立控制变量个数小于系统自由度( 或广义坐标 变量) 的个数的一类非线性系统，它既便于进行整体的动力学分析和试验，同时 也便于研究和验证各种算法的有效性。在现实生活中，欠驱动机械系统是广泛 存在的，但是系统欠驱动的原因却各不相同，通常可以归纳为如下几种情况： 1 ) 系统本身存在一些运动约束： 2 ) 机器人具有柔性操作臂和柔性操作关节； 3 ) 为增加系统的灵巧性、降低系统成本以及减少质量而在设计机械系统时 减少系统的驱动装置； 4 ) 系统的部分执行装置发生故障而造成系统欠驱动； 5 ) 人为设计为用来检验各种算法等情况。 欠驱动机械系统还可根据是否考虑系统势能( 如重力、弹力等) 分为两类：第 一类是考虑系统势能的欠驱动机械系统，如体操机器人、桥式吊车等；第二类 是不考虑系统势能的欠驱动机械系统，如水平面内的欠驱动机械臂等。对于后 一类系统，一般具有无限多个平衡状态，并且在平衡状态近似线性不可控，无 法使用连续反馈控制将其镇定于平衡位置，因此一般需要通过路径规划才能到 达其目标位置，对于这类欠驱动机械系统的控制问题己经出了很多研究成果。 本文将针对前一类现实中较常见的欠驱动机械系统进行研究。 ： 本论文研究的对象是p e n d u b o t 系统和f u r u t a 摆系统。两种模型都具有两个 自由度，但只有一个驱动装置。p e n d u b o t 是一类欠驱动两连杆平面机械臂，在 肩部关节处有一个驱动装置，而肘部关节处为铰连接。f u r u t a 摆是一个在立面上 运动的二杆机械臂，其中在平面上转动的杆带有驱动电机，并通过末端的铰与 在立面摆动的欠驱动杆相连接。这两个系统都是多变量、非线性和动力学耦合 系统，其运动都是由带驱动装置的第一杆带动第二杆运动，两杆之间用转动铰 相连接。本论文首先设计了摇起、平衡分步控制器，即将控制过程分为摇起、 切换、平衡三个阶段。利用系统的无源性和线性二次调节器( l q r ) 方法，分 第1 章绪论 别建立系统的摇起、平衡控制器，并在系统满足相应条件时进行切换，达到系 统的控制目标。其次，利用滑模变结构的控制方法，将系统的摇起、平衡整合 在一起，实现摇起、平衡控制器的统一，更好的达到了系统的控制目标。在此 过程中结合粒子群算法，优化控制器的参数，达到缩短控制时间，降低切换力 矩的目标，使仿真结果能够满足实物实验的需要。同时由于这类系统是验证现 代控制理论方法的典型试验对象，所以具有重要的理论意义。 1 2 欠驱动机械系统的控制概述 近年来，有关欠驱动机械系统的控制问题越来越多地受到广大国内外学者 关注与重w , c i - n 。欠驱动系统的控制问题逐渐成为一个非常活跃的研究领域。在 理论上，s p o n g 1 】研究了欠驱动系统的动态特性及其可控性，分别用驱动关节和 未驱动关节的相关动态方程进行部分反馈线性化，提出了被动和能量控制方法 以及混合开关控制方法，并研究了欠驱动系统的非完整性问题；o r i o l o 2 1 给出了 欠驱动系统为非完整约束系统的条件，并研究了欠驱动系统的可控性，提出了 将系统稳定于平衡流形的方法；i 沁y h a n o g “9 】研究了欠驱动机械系统的动力学和 控制问题，给出了一些判断欠驱动机械系统的可控性及稳定性的条件；l i 划列 给出了欠驱动机械系统小时间局部可控的条件。在具体控制器设计方面，各国 学者针对不同的欠驱动对象提出了许多不同的控制方法。【4 】采用模糊控制实现 平行双倒立摆控制；t a m ( 1 0 l 采用混杂控制方法实现了p e n d u b o t 的摆起控制和平 衡控制的同步控制；x i n 5 】针对a c r o b o t 这一欠驱动对象提出一种的新型的鲁棒 控制器；s p o n d 】采用能量的方法研究了a c r o b o t 的摆起控制策略；h a u s 一6 等 给出了板球系统系统的非线性控制策略；s u g i d n 等采用近似线性化的方法实现 了对倒立摆系统的平衡制；l e d 8 】对三维吊车系统进行了建模与控制，这些都体 现了欠驱动系统对象的广泛性以及控制方法的多样性。 在国内有关欠驱动系统控制问题的文章也层出不穷【1 2 1 8 】。傅雪冬【1 2 】从能量 的角度研究了p e n d u b o t 系统的非线性控制问题，采用l y a p u n o v 方法设计摇起控 制，然后利用一种改进的l q p 控制器实现其平衡控制；栾楠【1 3 1 等针对含有非驱 动关节的机器人一高尔夫机器人提出了一种学习控制方法，通过学习获得高精 度的前馈控制，实现了欠驱动机器人的高精度运动控制；朱齐丹【1 4 】等以具有非 驱动关节的水平两自由度机械手为对象，利用平均值法对模型进行了处理，得 2 第1 章绪论 到了平均值系统，然后利用l y a p u n o v 稳定性设计方法设计了非驱动关节的任意 位置闭环控制，仿真结果表明平均系统与原真实系统具有相同的动力学特性， 其设计的位置闭环控制是有效的；翁正新【1 5 】等采用基于观测器的鲁棒从状态反 馈控制实现了两级倒立摆的平衡控制：蒋国飞f 1 6 】等基于q 学习算法和b p 神经 网络相结合的方法实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制，成功解决 了确定和随机模型倒立摆的平衡控制问题；李德毅l ”堠；出了云模型的概念并将 之用于三级倒立摆的控制中，使三级倒立摆处于动态平衡模式状态下；王伟u s , z g 等基于稳定性分析提出一类欠驱动系统的滑模变结构控制器设计方法，实现了 摇起、平衡控制器的统一，简化了控制器的模型等等。 1 2 1p e n d u b o t 的国内外研究现状 p e n d u b o t 作为一种欠驱动机器人模型具有重要的研究价值。首先，它是欠 驱动机器人的典型模型，对它的研究可以促进其发展；其次，p e n d u b o t 具有二 阶非完整约束的平面欠驱动系统，对它的研究可以促进非完整系统和欠驱动机 械系统理论的发展；最后，p e n d u b o t 还是在实验室研究与高校教学中经常采用 的机器人模型，可以用来验证各种算法以及进行示范教学，因此对它的研究对 于教学科研也具有同样的重要意义。 欠驱动机器人p e n d u b o t 的控制目标是要将其从下垂位置摇起并稳定平衡在 倒立位置。由于不存在定常光滑的状态反馈来实现控制( b r o c k “邳，因此对其控 制往往分为摆起和平衡两部分来进行。目前国内外关于p e n d u b o t 的控制方法主 要有四种：( 1 ) 能量方法。s p o n g 2 i 】从能量角度提出了一种摆起控制方法，将 p e n d u b o t 摆起到一个椭圆的平衡域内，并用拉萨尔不变定理给出了平衡域的范 围。( 2 ) 无源性方法。f a n t o n i 2 2 1 等从欠驱动系统所具有的无源性角度来研究 p e n d u b o t 的摇起控制，给出了稳定性分析及收敛域。( 3 ) 混杂控制方法。z h a n g _ 【3 】 采用混杂控制形式，在摇起阶段采用连续控制将p e n d u b o t 摆到一个平衡域附近， 然后加入离散控制量实现平衡控制。( 4 ) 智能控制方法。b e g o v i c h 2 4 】将p e n d u b o t 在不同位置的模型线性化，并通过t s 算法进行逼近，再对各个线性化模型设计 在不同位置的线性调节器。这些控制方法都存在着控制力矩大、调节时间长或 是抗扰性能差等缺点，因此有必要进行进一步研究。 1 2 2f u r u t a 摆的国内外研究现状 3 第1 章绪论 f u r u t a 摆作为一类欠驱动机器人模型同样具有重要的研究价值。首先，它是 平面模型向立面模型的发展：其次，f u r u t a 摆也属于一个典型的具有二阶非完整 约束的欠驱动系统，是在实验室研究与高校教学中经常采用的机器人模型，与 p e n d u b o t 模型一样，在理论与科研方面具有重要的价值。 相对于p e n d u b o t 系统，f u r u t a 摆的研究成果较少。f u r u t ac ta 1 【2 5 舶】等在整 个状态空中利用代空间设计提出一种鲁棒摇起控制，他们的控制器采用 b a n g - b a n g 状态反馈控制方法最先实现了f u r u t a 摆的摇起控制；在此基础上，他 们又提出非线性最优控制方法，更好的实现了f u r u t a 摆的控制目标； o l f a t i - s a b e 产7 】等提出了具有降阶作用的控制器设计方法，这种方法的优势在于 减少了总系统的控制量，把控制的重点放在了低阶非线性子系统上，从而简化 了控制系统的模型；f a n t o 一2 s j 等从欠驱动系统所具有的无源性角度来研究f u r u t a 摇起控制，给出了稳定性分析及收敛域。李银鹏【冽等采用连续模糊动态的控制 方法达到了控制目标，其方法的特点是稳定区域较大、调节时间较短。但是这 些控制方法都存在着控制力矩大或是抗扰性能差等缺点，因此有必要进行进一 步研究。 1 3 课题背景及研究意义 本课题来源于导师的国家自然科学基金项目( 1 0 7 7 2 0 2 0 ) 欠驱动机械系统之所以能够客观存在并受到普遍重视，是因为它在节约能 量、降低造价、减轻重量、增强系统灵活度等方面都较完全驱动的机械系统具 有无法比拟的优越性。如空间机械臂在空间作业常常要求机械臂有足够的灵活 性和冗余度，在微重力环境下，机械臂可以使用高强度碳纤维等重量极轻的材 料，但驱动电机目前还无法做的非常轻巧，而用欠驱动非完整系统就可以大大 减轻重量。另外对于某些结构特别紧凑、无法安排驱动装置，或者对降低成本 有特殊要求的场合，也可以考虑欠驱动系统的设计。此外还包括各类欠驱动机 器人、车辆、船舶、飞行器等。这类系统由于其复杂的动力学方程、非最小 相位零动态品质、非完整的内部约束，很难用一般的线性化方法实施控制，使 得对于这一类系统的研究成为热点问题，对其在控制方法上的研究具有一定的 理论与应用意义。充分研究欠驱动系统动力学特征与控制方法可为上述各类系 统的设计和运行提供基础理论和技术。 4 第1 章绪论 本课题将以p e n d u b o t 系统和f u r u t a 摆系统为模型，综合应用多种控制理论 ( p b c ，t o g ，神经网络，滑模变结构等) 对其加以控制研究，探索简洁有效的 控制方法，以达到理想的控制效果。充分研究这两种具有代表性的欠驱动非完 整系统的动力学特性与控制方法，可为上述各类系统的设计和运行提供基础理 论和技术支持。因此对这两种系统的动力学与控制研究具有重要的应用价值， 并可对上述各类工程技术的发展起到积极的推动作用。 1 4 论文的主要研究工作 本论文针对p e n d u b o t 系统以及f u r u t a 摆系统这两种典型的欠驱动非完整 系统，分别设计了摇起、平衡分步式控制器以及摇起、平衡整合式控制器。具 体结构如下： 第l 章对欠驱动机械系统的概念、分类、应用背景以及控制问题进行了介 绍，总结了目前欠驱动机械系统以及两个典型的欠驱动对象p e n d u b o t 和f u r u t a 摆的研究现状，进雨介绍了本课题的研究背景和研究意义。 第2 章利用拉格朗日动力学方法建立了欠驱动机械系统的动力学模型。以 p e n d u b o t 和f u r u t a 摆两个典型的欠驱动机械系统为例，介绍了整个建模的过程。 进而总结了欠驱动系统的结构特性，将系统的矩阵形式的数学模型转化成一种 状态方程形式的标准模型。该部分内容是整个欠驱动机械系统控制研究的前提 和基础。 第3 章对用到的各种控制方法进行了简要的介绍。包括基于无源的控制方 法，l q r 方法，神经网络及其优化算法，滑模变结构方法 第4 章研究了p e n d u b o t 系统的控制问题。根据控制过程时间短，摆动幅 度合理，施加的力矩符合实际电机的输入的特点设计了不同的控制方法。针对 p e n d u b o t 系统的摇起控制，设计了基于无源的摇起控制器。对平衡控制方面， 要求平衡区尽可能大，在平衡区内控制器能适应状态模型参数的变化，实时提 供合理的控制输出。设计了基于l q r 的平衡控制器以及神经网络平衡控制器。 在此基础上，引入分层滑模控制器模型以及一种改进的滑模控制器模型，实现 摇起、平衡控制器的统一，极大的简化了控制器模型。并在控制器设计全过程 中加入粒子群优化算法( p s o ) ，使控制模型的参数达到更优。最后对每个控制 器进行仿真试验，证明了各自方案的有效性。 第1 章绪论 第5 章主要针对f u r u t a 摆系统的控制方法研究。根据控制过程时间短，摆 动幅度合理，施加的力矩符合实际电机的输入的特点设计了不同的控制方法。 针对f u r u t a 摆的摇起控制，设计了基于无源的摇起控制器。对平衡控制方面， 要求平衡区尽可能大，在平衡区内控制器能适应状态模型参数的变化，实时提 供合理的控制输出。设计了基于l q r 的平衡控制器以及神经网络平衡控制器。 在此基础上，引入分层滑模控制器模型以及一种改进的滑模控制器模型，实现 摇起、平衡控制器的统一，极大的简化了控制器模型。并在控制器设计全过程 中加入粒子群优化算法( p s o ) ，使控制模型的参数达到更优。最后对每个控制 器进行仿真试验，证明了各自方案的有效性。 第6 章总结了本论文的主要工作，并对今后的研究方向提出了几点看法。 6 第2 章欠驱动机械系统的动力学模型 2 1 引言 第2 章欠驱动机械系统的动力学模型 在研究欠驱动机械系统模型的控制策略之前必须先得到它们的动力学模型。法国 数学家拉格朗日建立了能应用于完整和非完整系统的拉格朗日方程。这组方程式用广 义坐标为自变量，通过拉格朗日函数来表示。由于拉格朗日动力学方法仅需计算模型 的动能与势能，与牛顿欧拉方程相比更为简洁，而且还能够充分反应模型的动力 学结构特征，因此本章将基于拉格朗日动力学模型建立机械臂p e n d u b o t 和f u r u t a 摆 的动力学模型。 2 2p e n d u b o t 的动力学模型 p e n d u b o t 是一个在垂直平面上运动的两杆机械臂，它在肩部有一个驱动装置，在 肘部没有驱动。设两杆均为刚体，结构如图2 1 所示。 系统的各参数定义如下： 吼：连杆1 和垂直线的夹角； 9 2 ：连杆2 和连杆l 的夹角； 帆：连杆l 的质量； ：连杆2 的质量； ：连杆l 的长度； 1 2 ：连杆2 的长度； c t ：连杆1 的质心到转轴间的距离； c z ：连杆2 的质心到转轴间的距离； - ：连杆l 的转动惯量； 2 ：连杆2 的转动惯量； g ：重力加速度图 7 第2 章欠驱动机械系统的动力学模型 系统的拉格朗日函数为 l ( q ，雪) = x ( q ，香) 一以g ) 其中k ( q ，叠) 为系统的总动能 k 。是连杆i 的动能， 赶是连杆2 的动能， ( 2 1 ) k = k l + k 2 ( 2 2 ) 墨= 三“+ ，l i 2 。飓, 2 ( 2 3 ) 如= 三仉+ m ：之：c o s g ：+ 毪+ m ：毛2 肠2 + ( 1 2 + m e 厶2 i c ：c o s 9 2 + m 2 吃) 口。圣2 + 三( l 饥釉2 q ：2 ( 2 - 4 ) 地) 是机械臂的总的势能 p ( g ) = ( 观乙+ ，1 2 ) g c o s 吼+ 鸭乏2 9 c o s ( q l + 吼) 引入下列参数表达式： q = 强瑶+ 军+ 幺= 鸭巴+ 厶 岛= ，乞t ： 只= 强乞l + 刀吃 岛= 之： 利用拉格朗日方程可以得到系统的动力学方程： d ( g ) 誊+ c ( 钐圣) + g ( 粤) = f 她g = 嘲f 之踟 吣瞄嚣魄 c c 蚴= 捌，2 一幺s n q 2 直2 0 一只豇n q 2 矗11i 8 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 a ) ( 2 7 b ) ( 2 7 c ) 第2 章欠驱动机械系统的动力学模型 础，= 只= 端q 2 可以发现矩阵_ d ( g ) 是对称的，而且 盔l = 日+ 0 2 + 2 岛c o s q 2 二瑶+ 埘2 ( 彳+ 毪+ 2 乞2c o s q 2 ) + l + 2 ，瑶+ + 厶+ m 2 ( 一之2 ) 2 o d e t ( j d i ( 窖”= q b 一聍c 0 5 2 q 2 = 魄2 + i i x m 2 1 c 2 2 + 1 2 ) + 鸭2 j i l + m 2 2 2 l 。2 2 s i n 2 q 2 0 即d ( q ) 是对称正定的。从式( 2 7 b ) 和( 2 7 c ) 还可得 址2 c c 叫也衄：“：，蛐2 j 为反对称矩阵。 ( 2 7 d ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 2 3f u r u t a 摆的动力学模型 f u r u t a 摆是一个在立面上运动的二杆机械臂，其中在平面上转动的杆( 连杆1 ) 带有驱动电机，并通过末端的铰与在立面 摆动的欠驱动杆( 连杆2 ) 相连接。结构 如图2 2 所示，系统的各参数定义如下： o o ：连杆l 到y 轴的转角； ：连杆2 到z 轴的转角； ：连杆2 的质量； j i ：连杆2 的转动惯量： ：o 点到连杆2 的质心的长度； 0 ：连杆1 的转动惯量； h ：连杆l 的长度； f ：电机对连杆1 的控制输入力矩。 9 图2 2f u r u t a 摆模型图 第2 章欠驱动机械系统的动力学模型 2 3 1 系统的能量 连杆1 的动能 x o = 昙，o 0 0 2 由于连杆1 只是在水平面上转动，故重力势能不发生变化。 连杆2 的动能 墨= 三五馥2 + 五i 砚厶2 聍+ 芝1 , 2 馥2 + 三m 五2 s i n s i n 2o , o ! 0 2 + 啊厶毛c o s o 一, 岛! o ! , + i m 厶 + 啊上。毛 连杆2 的势能 p 毒强矾( s 幺一1 ) 2 3 。2 拉格朗日动力学方程 利用拉格朗日方程 面a ( 矿a l ) 着t 巧 其中l = k - p ，k = 民+ 墨，则 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 a ) ( 嚣h 厶+ 强( 厶2 埘甜o , ) i o o + m 他啷q 谚 ( 2 1 3 ” ( 2 1 3 c ) ( 2 1 3 d ) ( 暑= 衍咖q o o s 瞬一啊五厶咖q 盆硗+ m , g l , s i n e , ( 2 1 3 e ) 最后得到f u m t a 摆系统的动力学方程 1 0 qr啊 + 以 + 酿q k 0 = t t 静静 第2 章欠驱动机械系统的动力学模型 可简写为 其中 【厶+ 强佤2 + 五2s i n 2 鼋) 】或+ 嘲盂z oc o s 研耷 + ，啊五2 蚰叹2 q ) 反馥一m l l l l os i n 0 幅2 = f ( + 玛五2 ) 龟+ ，l i 厶c o s 幺菇 - , , 1 1 1 2s i n o lc o s q 晓2 - - m i “s i n 0 1 = o d ( 窖) 季+ c ( 够圣) + g ( g ) = ， 口= 嘲，= 三 。( 。= r m 厶4 + , 厶强c ( o 厶s 0 2 + , 砰s i n 氇) 玑l , l o + c o m s r o , a 钐圣) = 圭2 豳_ ( 2 1 9 i 礁一厶s i i 峨反+ 主观2 s i n ( 2 b ) l i d i 1 鸭2 s i n ( 2 0 , ) a o o ( 2 1 4 a ) ( 2 1 4 b ) ( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 b ) ( 2 1 5 c ) ( 2 1 5 d ) 甙们2 h g ，l 叫1 ( 2 1 5 e ) 系统动力学方程矩阵d ( q ) 是对称的，并且 ， 盔l + 啊( 厶2 + 2 s i n 2 b ) j l d + 强0 o ( 2 1 6 ) d e t ( d ( g ) ) = 瓴+ q # + 2 s i n 2 q ) ) + 朋l 2 ) - - m 1 2 2 l 0 2 c o s 2 q = ( ，o + 2 s i n 2 0 1 ) “+ m l 2 ) + 弧厶2 + 研1 2 2 l 0 2 s i n 2 q o 即矩阵d ( q ) 是正定的。从式( 2 1 5 c ) 和( 2 ，1 5 d ) 还可得到 玩) - 2 c ( 叫邪峭娥一厶反) 0 ：1 ( 2 1 7 ) 则该矩阵为反对称矩阵，且满足 矿( 乃( 虿) 一2 c ( q , q ) ) z = 0 v z ( 2 1 8 ) 其中z 为任意向量。 由此，我们可以总结欠驱动机械系统的几点特性： 第2 章欠驱动机械系统的动力学模型 1 ) 系统的惯性矩阵d 是正定对称的； 2 ) 西( g ) 一2 c ( q , i l ) 对于任意的g 和4 均为反对称矩阵； 3 ) 大多数欠驱动系统都要受非完整约束。 由于惯性矩阵d 是可逆的，因此通过适当变换，总是可以将欠驱动系统的模型 转化为如下标准形式： 叠= d 。1 i f - c ( q , 4 ) 4 一g ( 口) i = 一d - 1 【f ( 钐香) 圣+ g ( 蟹) 】+ d q 歹 ( 2 1 9 ) = f ( q , 4 ) + b e 因此对于p e n d u b o t 和f u r u t a 摆欠驱动机械系统，可以进一步表示为： 屯= ( x ) + 屯( x ( 2 2 0 ) i = 厶( x ) + 也( x 扣 ：，( f ) = k ，】r 在后面的章节中，将从这种标准模型出发，研究欠驱动机械系统变结构控制方法。 2 4 小结 本章利用拉格朗日动力学方程分别建立了欠驱动机械臂p e n d u b o t 和f u r u t a 摆的 动力学数学模型。该类模型不仅结构简单，而且能够充分体现机械系统的动力学特征， 是研究控制方法的基础。并总结性地讨论了欠驱动机械系统的结构特性，根据其结构 上的特点将矩阵形式的欠驱动机械系统模型转化为一种状态方程形式的标准模型，并 将此模型作为研究对象为后面章节的控制方法研究作了准备。 1 2 第3 章控制方法简介 3 1 引言 第3 章控制方法简介 本论文中涉及到的控制方法有：基于无源的控制方法、l q r 方法、神经网络控 制和分层滑模控制方法。这些理论奠定了本论文研究欠驱动机械臂非线性控制的基 础。考虑到控制器参数可调的情况，引入粒子群优化算法对控制器参数进行优化。 3 2 基于无源的控制方法 将无源性理论用于控制系统，是基于能量及其转化的角度来对系统进行分析， 即将一个动态系统看作一个能量转换装置。一个复杂的系统可以分解为几个简单的 子系统，可以采用各个子系统能量的总和来决定整个系统的行为。于是，可以将控 制器看作对被控对象的动态特性进行修正的另一个动态系统，控制问题就转化为： 寻找一个动态系统和相互作用方式，使总的能量函数达到要求的形式。也就是说， 无源性理论是一种能量“整形修的方法，可以通过重新分配系统的能量，分离出“无 功力节并注入非线性阻尼，使系统在满足无源性的条件下达到要求的性能。这种方 法从系统能量角度出发，使控制器的设计得到一定的简化，并且提高了系统的鲁棒 性。首先介绍下无源的基本概念。 定义l ：设非线性系统 童= 八力+ g ( x ) u ，口，、 o 上， y = j i l ( 功 其中状态向量工x ，x 为r “空间中含原点的子集或者整个空间；”r p 和y r p 分别为p 维的输入信号和输出信号；厂( 功和| j l ( 力分别为靠维和p 维的函数向量； g ( 力为n x p 维函数矩阵。对于系统，若存在半正定的函数y ( 曲( y ：x - - - h 尺) 使得 f y ( 工( d ) 一h 缸o ) 【y 丁( r ) u ( r ) d r ，v r 0 ( 3 2 ) 则把满足式( 3 2 ) 的不等式称为耗散不等式，若对任意的输入信号 r p 都成立， 则称系统是无源的。y ( 曲称为能量存储函数，简称存储函数。无源性是与系统的外 部输入、输出信号相关的概念。如果视矿( z ) 为系统在t 时刻所具有的能量总和，那 第3 章控制方法简介 么耗散不等式的左端就代表系统从初始时刻t = o 到r 时刻的能量的总增量。如果进 一步把y r “解释为伴随着输入材o ) 由外部注入到系统的能量供给率，那么右端就是 由t = 0 到z 时刻从外部注入系统的能量总和。 在满足无源性的基础上，设定基于能量的正定的v ( x ) 函数，对y ( 力求导，推导 出使得矿( x ) 导数负定的控制力矩，从而得出摇起控制器的表达式。 3 3l q r 方法 如果系统是线性的，性能泛函是状态变量和控制变量的二次型函数积分，则这 样的最优控制问题称为线性二次型最优控制问题。简称线性二次型。这种最优控制 问题的解最简单，应用十分广泛，是现代控制理论中最重要的成果之一。 l q r ( l i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r ) 即线性二次规划法，其基本公式为系统的状 态方程 j - a x + b u( 3 3 ) y = 仅 ( 3 4 ) 二次型性能指标为 d - _ 1 2j c o ( ，参+ ，i 盖站) 出 ( 3 5 ) 在系统完全可控的条件下，其全状态反馈为 ”= 一f x( 3 6 ) 其中 f 一只。b p( 3 7 ) 这里p 是r i e e a t i 方程 a r p + p a p b r 。b r - p + o = 0 ( 3 8 ) 的正定解。 3 4 神经网络控制及优化算法 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k - - a n n ) t 3 0 1 ，简称为“神经网络( n n ) ， 作为对人脑最简单的一种抽象和模拟，是探索人类智能奥秘的有力武器。神经网 1 4 第3 章控制方法简介 络的研究始于2 0 世纪4 0 年代。半个世纪以来，它经历了曲折的发展，直到2 0 世 纪8 0 年代中期以来，神经网络的应用研究才取得了很大的成绩。神经网络具有分 布并行处理、非线性映射、自适应学习和鲁棒容错等特性，这使得它在模式识别、 控制优化、智能信息处理以及故障诊断等方面有非常广泛的应用。 b p 神经网络通常是指基于误差反向传播算法( b p 算法) 的多层前向神经网络， 它是r u m e l h a r t 和m c c e l l a n d 及其研究小组在1 9 8 6 年研究及设计出来的。b p 算法 已成为目前应用最广的神经网络学习算法，据统计有近9 0 的神经网络应用是基于 b p 算法的。b p 网络的神经元采用的传递函数通常是s i g m o i d 型可微函数，所以可 以实现输入和输出间的任意非线性映射，而且网络结构简单、学习速度较快，这使 得它在诸如函数逼近、模式识别、系统辨识和控制领域有广泛的应用。但是神经网 络的结构和参数的确定比较困难，只要能确定合适的b p n n 网络权值和阈值，对非 线性系统，它便能表现出优良的控制性能。本论文用p s o 在线调整b p n n 的网络 权值，增强系统在切换过程中的适应性。 b p 网络误差反向传播学习算法的基本思想是： 向网络提供部分训练样本，然后通过下述方法对其进行训练，使其能够完成某 个特定任务。步骤如下： ( 1 ) 向网络提供谰练样本，本文中采用l q r 方法得到的输入输出作为训练样本， 对网络进行初始化训练，通过b p n n 的强大逼近能力使经过初始训练的b p n n 可以 达到l q r 的控制性能。 ( 2 ) 将经过初始训练的b p n n 连入仿真系统，运行p s o 程序，子程序中运行 s i m u l i n k ，采样出优化算法p s o 需要的适应度值，调整b p n n 中的网络权值。 ( 3 ) 改变网络中所有连接权值，使网络产生的输出更接近于期望输出，直到满 足确定的允许误差。 3 4 1 粒子群优化算法 本论文所用的控制方法都含有至少3 个可调参数，如果采用手动调节的方式， 既费时，控制效果也不理想。为了得到更理想的控制效果，特引入粒子群算法对每 个控制参数加以优化。粒子群优化算法( p a r t i c l es w a i no p t i m i z a t i o n ，p s o ) 是种 进化优化方法，由e b e r h a r t 和k e n n e d y 于1 9 9 5 年提出。该算法源于对鸟群捕食行 为的研究。p s o 同遗传算法类似，具有全局搜索能力，能够比较好的找到优化问题 第3 章控制方法简介 的全局最优解。系统初始化为满足条件的一组随机解，通过一群粒子在解空间追随 最优的粒子进行搜索。由于粒子群算法相对简单，易于实现，效率也比较高，因此 吸引了众多学者对其进行研究，已提出多种参数选择方案【3 1 删目前p s o 已广泛应 用于函数优化，控制参数优化等领域。 p s o 源于对鸟群捕食行为的研究，一群鸟在随机搜寻食物，如果这个区域里只 有一块食物，那么找到食物的最简单有效的策略就是搜寻目前离食物最近的鸟的周 围