（应用数学专业论文）关于静电开关动态响应的数学分析.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 本文首先简要介绍了微电子机械系统的各种模型，前人已做的工作，发展前景 等背景知识以及本文的主要结论 其次研究了静电开关动态响应中不含阻尼项的达芬系统，得到周期解的存在条 件和非周期解的存在条件 再次研究了静电开关动态响应中含阻尼项却不含非线性劲度的方程，得到局部 解的存在性，整体解的存在条件和平衡解的稳定性 关键词：微电子机械系统；静电开关；能量方法 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t f i r s t l y , t h i sp a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g es u c ha sv a r i o u sm o d - e l s ，p r e d e c e s s o r s w o r k ，p r o m i s i n gd e v e l o p m e n ta n dm a i nr e s u l t s s e c o n d l y , d y n a m i cr e s p o n s eo fe l e c t r o s t a t i cs w i t c h e sw i t hd a m p i n gi sp r e s e n t e d w e g e te x i s t e n c ec o n d i t i o n so fp e r i o d i cs o l u t i o na n dn o n p e r i o d i cs o l u t i o n t h i r d l y , d y n a m i cr e s p o n s eo fe l e c t r o s t a t i cs w i t c h e sw i t hd a m p i n g b u tn o n l i n e a rs t i f f - n e s si ss t u d i e d w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fl o c a ls o l u t i o n ，e x i s t e n c ec o n d i t i o no fg l o b a l s o l u t i o na n dt h es t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u ms o l u t i o n k e y w o r d s ：m e m s ；e l e c t r o s t a t i cs w i t c h e s ；e n e r g ym e t h o d 关于学仨论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学：士硕士学位申请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 人在导师的指导下j t 立宅成的，对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 = 中特别加说明、韦主南致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研声氏果，也j 垫括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过酌料。与栽一司2 - 作酌同事对本研究所做酌任何贡献均已在论文斗作 了明确垂兑明并表示谢意。 学位中? 人( 学位文作者) 鍪名：茎! 立 2 , o1 0 年6 月f 目 关于学位论文著作权1 更用授权书 本人经河南大学审核批准援予硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、饮用擘住论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学住论文( 茔氏质文 本和电子文本) 以供公众检索、奎阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目的。可以采取影印：缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 釜名：垫盈 2 0 f o 年6 月j 臼 学位论主指导教师釜名：登垄! 丞 2 0lo 年6 月日 第一章预备知识 1 1 引言 m e m s 是m i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m s 的缩写，即微电子机械系统它是指对 纳米材料进行设计，加工，制造，测量和控制的技术而静电激发器由于其低能耗以 及具有与微型制作技术相容的特性，因此在微电子机械系统中越来越盛行静电激 发器通常由一个固定的板和一个可移动的板组成，在两个电极之间作用不同的电压 可以产生使可移动电极偏离的静电力许多静电激发器的响应都是非线性的【l ，2 】， 由于平行板非线性静电力的存在导致能量损耗，所以对系统的平衡性是一个很大的 挑战 在开关应用领域中，击穿通常可以理解为激发器开关在两个位置之间的迅速转 换它包括动态击穿，静态击穿和共振击穿按照微电子机械系统的应用，可以将静 电激发器分为三类 第一类为横向线性激发器：这种激发器包括线性梳型激发器 第二类为纵向非线性激发器：这种激发器包括平行板激发器，它的动力结构不 同于梳型激发器，实际上可以看作是非线性的达芬系统，其表达式为【3 ，4 r e x - - k 7 + 惫1 z + 七3 2 3 = 丽e o f a v 再2 ( 1 1 ) 其中m ，b ，k 1 ，蚝，g o ，a ，g o 分别为模质量，阻尼系数，线性弹性系数，非线性弹性系 数，最初平行板的距离，平行板的面积，空气的容许度特别地当大的弯曲或几何非 线性出现时，立方劲度通常会增加对这一类型的激发器来说非线性劲度的影响可 能是重要的某些类型的激发器( 但不是所有的静电驱动) 或平行板结构( 通常为固 定的波束) ，如果偏转超出了结构厚度，达芬的影响不可忽视现阶段这类装置主要 用于超速罚款的应用定位，微镜【5 】和光栅光阀【6 】 第三类为击穿激发器：这种激发器包括射频微电子机械系统开关f 7 , 8 】或光学 微电子机械系统开关1 5 ，6 】射频微电子机械系统开关是特殊的微电子机械系统开关， 它优于p i n 二极管或f e t 开关具体表现在接近零耗能，高度绝缘，低损耗，线性互 1 河南大学硕士学位论文 调，低价等方面但是该开关在系统的可靠性以及包装上有一定的局限性尽管如 此，射频微电子机械系统开关在卫星，基地台，防护装置上有很大的应用潜力静电 激发器的临界状态称作击穿为了使系统得到平衡，静电力通常和弹性力相平衡然 而，当作用的电压增大或最初的空气缝隙减小时，静电力比线性弹性力增加的速度 要快，以致于平衡稳定性被打破直到作用的电压超过l 临界值，击穿发生一些静电激 发器的击穿能够用有限元素法，s i m u l i n k 仿真和m a t l a b 方法模拟出来在参考文 献( 9 中，c h e ne ta 1 提出了击穿激发器的有形开关技术分析和模拟 以上三种模型已经覆盖了静电激发器的大部分范围从数学的角度来说，它们 代表了三种不同的动力系统，几乎覆盖了所有静电加速器的应用领域m e m s 开关 在无线电通讯行业引起了人们的普遍关注，它克服传统微电子机械系统开关和固态 开关的局限，具有像小功率消耗和高度绝缘非常吸引人的特性而这种装置主要的 缺点是要求很高的驱动电压和具有很低的可靠性虽然线性开关技术有很大的发展 前景，但是有关的数学理论研究相对较少所以本文我们主要运用数学分析方法来 研究静电开关的各种动态响应 对于方程( 1 1 ) ，若b = 0 ，即不含阻尼项的达芬系统其表达式为【3 带有初值条件 m x + k x + z 3 = 石e o a 哥v 2 ， 。， ( 1 2 ) 0 x ( t 1 g ( 1 3 ) 在很多模型结构中都存在非线性劲度，例如平行板或受到过度扭转振动的夹板 1 0 】 通常情况下，在完成两个固定板之间快速转换的同时大量的残差振动会出现，系统 在指定的时间内也不能完成相应的动态响应在不牺牲速度的前提下，通过施加外 力可以保持系统的稳定性参考文献 3 】主要利用有限元素法来模拟静电加速器，所 得到的结果表明由开关控制的静电加速器有很好的动态响应我们将运用数学分析 方法来研究不含阻尼项的达芬系统 2 河南大学硕士学位论文 对于方程( 1 1 ) ，若b 0 ，k s = 0 即含有阻尼项却没有非线性劲度的方程其表 达式为【1 1 】 耐，+ d + 施。矗辛， ( 1 4 ) 带有初值条件 0 0 使得平行板达到 o e o b i t t - v 3 击穿位置即当t t 。时，z ( t ) _ g 因此，睇t = 尝三称为临界击穿电压 第三章，我们研究了含阻尼项的非线性常微分方程的初值问题，得到了： 定理1 3 当a m ( p 2 鬲- - - i i , 1 ) o l 3 时，方程( 1 4 ) 及初值条件( 1 5 ) 的局部解存在 且唯一。 定理1 4 当i a 寺时，( 1 4 ) 没有稳定的平衡解 3 第二章不含阻尼项的非线性常微分方程 本章，我们研究微电子机械系统中不含阻尼项的动态响应，方程为 带有初值条件 r e x + k x + 舻= 器， 。 ( 2 1 ) 方程( 2 1 ) 对应的能量函数为 x ( o ) = 0 ，z 7 ( 0 ) = 0 ( 2 2 ) e ( z ) ：互1 m z l 2 + 丢七z 2 + 三k 3 x 4 一面e o a v 2 ( 2 3 ) 关于t 求导 掣= ( 僦i i + k x + k a x 3 一器- o 由能量守恒，我们得到 e ( z ) ( t ) = e ( z ) ( 。) = 一1 e o a 厂v 2 ， 。 ( 2 4 ) 考虑位移函数z ( t ) 是非负的，即 由( 2 3 ) ，整理得 其中 ( ) 2 z ( 亡) 0 = 2 e o a v 2 x 写k xk3mggm2 m z 4 = 一z 一 一z 一 = f ( x ) = 一1 疋x 2 mg 9 ( z ) = 一一，i z l z j 、， m ，= 去吉 x 4 - - k 3 g x 3 - 1 - 2 k x 2 - 2 k g x + 丁4 e o a v 2 ) = 土2 m 熹g 夕( z ) o = 一一仃i z i ，i - 一z j 、，二- 夕( z ) = 乜x , 4 - - b 3 + 2 k x 2 _ 2 k + 下4 e o a v 2 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 河南大学硕士学位论文 2 1 周期解的存在条件 我们记 萝( z ) ：2 x 2 - - 2 强+ 丁4 e o a v 2 当电压足够小且满足 吹器 时， ( z ) = 0 有两个实根 1 ：百g 一一、g 2 - 石一，如：百g + 丝，2 z 12 百一1 一，z 2 2 i 十1 一 0 葫 2 0 ，g ( x 1 ) 0 根据一元三次方程根的判别式，我们可知g l ( z ) 仅有一个实根换句话说，夕( z ) 在( 0 ，g ) 内仅有两个实根 引理2 1 证明完毕 从而，( 2 7 ) p - j 以表示为 f ( x ) = 丽1 瓦x i ( x l - x ) ( x 2 - - x ) g ( z ) ( 2 2 1 ) 其中q ( x ) 为有正常数下界的二次函数，不失一般性，设q ( x ) q o 0 如果乜充分小，观察( 2 2 1 ) ，我们看到满足物理背景的解为 0 z ( t ) sx 1 ( 2 2 2 ) 由( 2 2 2 ) ，我们将( 2 6 ) 分解成两部分， z ，= i l x i ( z 1 一z ) ( z 2 一z ) g ( z ) ，t o ， ( 2 2 3 ) 和一 z ，= 一1 x i ( z 1 一z ) ( 。2 一z ) g ( z ) ，t o ， ( 2 2 4 ) 河南大学硕士学位论文 它们都可以看做是( 2 1 ) 的首次积分 定理2 1 当电压充分小g t 芮足：v 2 0 时，不妨考虑z ( 亡1 ) = 等，也就是 0 x ( t ) 等，0 t 亡1 ( 2 2 5 ) 得到不等式 赴、x ( x l - - x ) i 譬，。吲。 ( 2 2 6 ) 在0 tst 1 上对( 2 2 6 ) 进行积分，我们得到t l 的上界： n 瘁2 ( 2 2 7 ) 下面我们证明存在较大的时间以 t l 满足x ( t 。) = z 1 在参考文献【2 】中，t 。称 为停滞时间，z 。称为停滞位移 事实上，对于t 1 t t 。，我们利用( 2 2 3 ) 和 育x l z ( t ) x l ( = ) ( 2 2 8 ) 得到不等式 对( 2 2 9 ) 进行积分，我们得到不等式 ，t 1 t t s ( 2 2 9 ) 坯瘁2 + 丽2 。 上述关系说明存在有限的时间t 。 t 1 使得 成立 z ( 如) = z 8 = z 1 7 f 2 3 1 ) 河南大学硕士学位论文 其次，考虑方程( 2 2 4 ) 及初值条件z ( 如) = x 1 由于在停滞时间t 。达到停滞位移 x l 之后平行板将做往返运动因此，当亡 t s 时，z ( t ) 随着t 的增加而逐渐递减这 种关系恰巧反映在方程( 2 2 4 ) 中也就是说，当t t 。时，我们可以利用方程( 2 2 4 ) 来拓展方程( 2 1 ) 的解事实上，我们可以明确定义 z ( t ) 叫x ( 2 t 。一亡) ，t 如( 2 3 2 ) z c t ，= z 。主1 2 。，曼乏乞乏芝2 c 2 3 3 ， 当0 t t 。时，满足方程( 2 2 3 ) ；当t 。亡2 t 。时，满足方程( 2 2 4 ) 这种结构清晰 地给出了方程( 2 1 ) 在初值条件( 2 2 ) 下的周期解并且周期为 定理2 1 证毕 t = 2 t 。 2 2非周期解的存在条件 仍器 正如在第二章的第一节中，我们仍可指定t 1 时刻x ( t 1 ) = 等 由( 2 3 5 ) ， 幽肛丁4 o a v 2 一譬兰如。 如果充分小， 如1 x i 夕( z ) 焘厄t 孤 在陋1 ，t 】上x t ( 2 3 7 ) 进行积分，我们得到不等式 2 俪面+ 焘( t - t ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 河南大学硕士学位论文 上述不等式说明存在有限的时间 使得 t 。= t 1 + 堡a ( 2 锕一2 j 丽a ) t 1 ( 2 3 9 ) n m x t t ) 。“( z 4 0 ) t - - - * t f 、 成立其中t 。称为接触时间，当t 超过t c ，方程的解不存在并且当( 2 4 0 ) 成立时，开 关装置处于击穿位置因此，临界电压 儿器( 2 4 1 ) 称为击穿电压 定理2 2 考虑控制激发器动态响应的方程( 2 1 ) ，初始条件( 2 2 ) 以及条件充 k ，1 5 分小当电压足够大且满足v 2 兰毛时，存在有限的时间t c 0 使得平行板达到 子n a 一 击穿位置即当t _ t 。时，z ( 亡) 一g 因此，v 2 i = 器称为临界击穿电压 9 第三章含阻尼项的非线性常微分方程 3 1局部解的存在性 本章，我们研究含阻尼项微电子机械系统的动态响应，方程为 带有初值条件 m x i i - b 凹l + k x = 上( 1 - x ) u x ( o ) = 0 ，z 7 ( 0 ) = 0 以及由物理背景得到约束条件为 考虑线性齐次方程 对应的特征方程为 0 x ( t 1 4 i n k 时，( 3 5 ) 有两个不相等的实根， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) p 1 = - c - v 互 c 磊2 - - 4 i n k ，p 2 = - c + x 互c 磊2 - - 4 i n k ( p 1 p 2 o ) ( 3 6 ) p 1 = 互磊- 一，p 2 = 互磊- 一 p 1 p 2 o ) ，妒( z 竹) 在0 口 1 和 0 击的条件下满足 妒( z n ) e 。 ( 3 1 3 ) 任取z n ，x n - - 1 e ， 妒( z 佗) 一垆( z n 一。) l = 去, 0 2 ( e 幻。一8 ，一e p l t t 一8 ，) ( 可- = 三云一南) d s 赢唆m a x ，口蓦抬筝胁瓦而唆，上i _ 寸i 藏f i 孑一峥s 志幽丝二坐ixn-xn-1re(u 二 2 一p 1 ) 2 t = a l z 竹一z ，l 一1 i i 妒( z n ) 一妒( z 竹一1 ) isa i z t l x n - - 1 1 ，0 a 1 ( 3 1 4 ) 由此可见，序列 z n ) 收敛且存在不动点 引理证毕 定理3 1 当as r n ( p 2 西- - # l 一) a 3 时，方程( 3 1 ) 及初值条件( 3 2 ) 的局部解存在 且唯一 1 1 河南大学硕士学位论文 3 2整体解的存在条件 我们假设能量函数 e ( z ) = 互1 m ( z ，) 2 + l k = 一而a ( 3 1 5 )e ( z ) = 石m ( z ，) 2 +一f = () 关于t 求导并利用方程( 3 1 ) ， t d e ( x ) = ( m x + k 茹一南) z 7 = _ c x t 2 su 因此，能量e ( z ) 关于t 是不增的，即 e ) ( t ) e ( z ) ( o ) = - a ， 觇 ( 3 1 6 ) 重新整理( 3 1 6 ) ， ) 2 嘉南( x 2 - x + 警) 慨1 7 ) 定理3 2 当 垒 三 ik8 ( 3 1 8 ) 一一 1 _ l 、 、。， 时，( 3 1 ) 的解整体存在且满足z ( t ) 0 时，即( 3 1 8 ) 成立，r ( z ) = 0 有两个不相等的实根 一三一丢、1 一警，一丢+ 去 1 一- 卧e z l2 互一互v 上一i ，z 22 互+ 互vl 一 【文l 圳 结合( 3 1 7 ) 可知，满足物理意义的解z ( t ) z 1 石1 类似第二章第一节中的具体分 析推理，即当会 - 1 z - m e 景8 ( 入一七) d s = t x - k ( e 景t 一1 ) ( 3 2 3 ) 圣( 亡) 2 下x - k1 一e 咏) 对( 3 2 4 ) 进行积分， ) 学z 1 - - e - 蠹8 ) 如 ：坐“+ 竺e 一景f 一1 1 c c 学( ) 由0 z ( t ) 1 知，存在有限的时间亡1 + _ = t c 使得 一厅 1 i m z ( t ) = 1 t 啐t c 、7 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 成立 因此，( 3 2 6 ) 表明存在有限的时间t c = l + 丁妥( 入 七) ，平行板在该时刻击穿 3 3 平衡解的稳定性 定理3 4 当百1 会芴4 时，( 3 1 ) 有一个渐近稳定的平衡解；当会 衍4 时， ( 3 1 ) 没有稳定的平衡解 证明：考虑( 3 1 ) 的平衡解，将= z ，- 0 代入( 3 1 ) 并整理得 z 3 2 x 2 + z x k = 0 ( 3 2 7 ) 1 3 河南大学硕士学位论文 令 对g ( z ) 求两次导， q ( x ) = z 3 2 x 2 + z 一入七( 3 2 8 ) 口7 ( z ) = 3 x 2 4 x t - 1 ，口( z ) = 6 x 一4 ( 3 2 9 ) 由( 3 2 9 ) ，我们可知z = 1 3 和z = 1 分别为q ( x ) 的极大值点和极小值点 易见， q ( 0 ) - g ( 1 ) = 一会7 9 ( 丢) = 刍一会j 口( 三) = 百1 一安“2 ) = 2 一会 1 当i x = 否1 时，( 3 2 7 ) 有三个不相等的实根 z 12 i 一， z 22 互， z 3 。j _ 一 o x l o 1 9 z 2 = 丢 o ；v l ( z 2 ，o ) 0 ，v l ( 2 ，o ) 0 所以当会= 丢时，( 3 1 ) 有一个渐近稳定的平衡解z = z 2 当 妻 刍时，( 3 2 7 ) 有三个不相等的实根 z ，= 2 咖( 丢一罢) ，z 。= 昙s 辞罢，z 3 = 2 咖( 吾+ 罢) 河南大学硕士学位论文 其中 0 - - = a r e a 。s p p = i 一面2 7 x ，一l p 1 o z 1 亏1 z 2 互1 1 z 3 2 由( 3 3 ) 可知，z = x 3 没有物理意义，应舍去 我们利用前面的方法来判定平衡解的渐近稳定性，可以得到满足渐近稳定解的 条件为 o z i 1 或丢 z o 3 7 0 1 注意到q ( o 。3 7 0 1 ) 0 1 4 7 一砉和丢 妻 0 又因为g ( z 2 ) = 0 ，所以 0 。3 7 0 l 霉2 互1 。 我们可知，( 3 1 ) 只有一个渐近稳定的平衡解z = z 1 除非当套充分接近刍= 0 1 4 8 时，( 3 1 ) 有两个渐近稳定的平衡解z = x l ，z = z 2 3 当会= 西4 时，( 3 2 7 ) 有三个实根 14 z 12 。22 百，。3 。否 0 2 ：1 。x 2 1 z 3 譬5 ：= h 州舯墙】 1 5 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 河南大学硕士学位论文 构造l i 印啪，函数 咐1 甜垮1 卜南) + - k 其中 1 其中a 1 ，h ，c 1 是实数 由( 3 3 ) 可知，。= z 3 没有物理意义，应舍去 所以当会 万4 时，( 3 1 ) 没有稳定的平衡解 1 6 参考文献 【1 】d e l a t aa n dh b a m b e r g e r ，al o w e db o u n df o rt h ed y n a m i cp u l l - i no fe l e c t r o s t a t i ca c t u a t o r s 【j ，i np r o c e u r m i c r on a n os y s t ，2 0 0 4 ，8 3 8 5 【2 】d e l a t aa n dh b a m b e r g e r ，o nt h ed y n a m i cp u l l - i no fe l e c t r o s t a t i ca c t u a t o r sw i t hm u l t i p l e v o l t a g es o u r c e 【j ，j m i c r o e l e c t r o m e c h s y s t ，1 5 ( 1 ) ，2 0 0 6 ，1 3 1 1 4 0 3 】k s c h e na n dk 一s 。o u ，c o m m a n d - s h a p i n gt e c h n i q u e sf o re l e c t r o s t a t i cm e m s a c t u a t i o n ： a n a l y s i sa n ds i m u l a t i o n 【j 】，i e e e 工m i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls u e t e 脚，1 6 ，2 0 0 7 ，5 3 7 - 5 4 9 f 4 】a n d r e uf a x g a s - m a r q u e sa n da n d r e im s h k e i ，r e s o n a n tp u l l - i nc o n d i t i o ni np a r a l l e l - p l a t e e l e c t r o s t a t i ca c t u a t o r s 【j 】，j o u r n a l 巧m i c r o e l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m s ，1 6 ( 5 ) ，2 0 0 7 【5 】t k u r z w ee t 以，s y s t e ms i m u l a t i o no fag l vp r o j e c t i o ns y s t e m 【j 】 p r o c i e e e , 8 5 ( 1 1 ) ， 1 9 9 7 ，1 8 3 3 - 1 8 5 6 【6 】m c w u ，m i c r o m a c h i n i n gf o ro p t i c a la n do p t o e l e c t r o n i cs y s t e m 【j 】，p r o c i e e e , 8 5 ( 1 1 ) ， 1 9 9 7 ，1 8 3 3 - 1 8 5 6 【7 】b b o r o v i c ，a q l i u ，d p o p a ，h c a l ia n df l l e w i s ，o p e n l o o pv e l 苫u sc l o s e d - l o o pc o n t r o l o fm e m sd e v i c e s ：c h o i c e sa n di s s u e s 【j 】，zm i c r o m e c h m i c r o e n g ，t 5 ( i 0 ) ，2 0 0 5 ，1 9 1 7 - 1 9 2 4 【8 】g m r e b e i z r fm e m s ：t h e o r y , d e s i g na n dt e c h n o l o g ym h o b o k e n ，n j ：w i l e y i n t e r s c i e n c e ，2 0 0 3 【9 】b m c c a r t h y , g g a d a m s ，n e m c g r u e ra n dd p o t t e r ，ad y n a m i cm o d e l ，i n c l u d i n g c o n t a c tb o u n c e ，o fa ne l e c t r o s t a t i c a l l ya c t u a t e dm i c r o s w i t c h j 】，zm i c r o e l e c t r o m e c h ，s y s t ， 1 1 ( 3 ) ，2 0 0 2 ，2 7 6 - 2 8 3 f 1 0 k - s c h e r t ，t - s y a n ga n dj - f y i a ，r e s i d u a lv i b r a t i o ns u p p r e s s i o n f o rd u f f m gn o n l i n e a r s y s t e m sw i t he l e c t r o m a g n e t i c a l l ya c t u a t i o nu s i n gn o n l i n e a rc o m m a n d - s h a p i n gt e c h n i q u e s 【j 】，t r a n s a s m s , zv i b a c o u s t s t r e s sr e l i a b d e s ，1 2 8 ( 6 ) ，2 0 0 6 ，7 7 8 - 7 8 9 f 1 1 】d o n g - m i n gf a n g ，x i a n g - m e n gj i n g ，p e i - h o n gw a n g ，y o n gz h o ua n d x i a o - l i nz h a o ，f a b r n c a t i o na n dd y n a m i ca n a l y s i so ft h ee l e c t r o s t a t i c a l l ya c t u a t e dm e m sv a r i a b l ec a p a c i t o r 【j 】， s p r i n g e r - v e r l a g ，1 4 ，2 0 0 8 ，3 9 7 - 4 0 2 】7 河南大学硕士学位论文 【1 2 】v l e a sa n dd e l a t a ，o nt h ed y n a m i cr e s p o n s eo fe l e c t r o s t a t i cm e m ss w i t c h e s 【j 】，i e e e 正1 7 ，2 0 0 8 ，2 3 6 - 2 4 3 【1 3 】z m g u o ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fac l