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摘要 描述逻辑是人工智能的逻辑基础，能够对客观世界的概念和角色进行表示和推理。 但是由于概念的扩展有严格的限制，传统的描述逻辑系统不能够处理粗糙的( 或模糊的) 概念。本文将基于粗糙集语义的下近似和上近似引入描述逻辑系统中，使用一种简单的 方法将传统描述逻辑进行扩展，使其能够用定性的方法来处理近似概念定义，并且，扩 展后的语言中的推理问题可以简化为标准描述逻辑中的可满足性问题。这样，我们就可 以对粗糙的概念进行形式化描述并对概念的粗糙包含进行推理。本文的工作可以使得在 描述逻辑中对不确定的知识进行表示和推理更加方便。 本文主要分为以下六部分： 第一部分是绪论，阐述了本文选题的来源、课题研究的意义、研究过程和方法。 第二部分是背景知识，主要介绍描述逻辑和粗糙集理论的基本理论和基本思想。 第三部分是本文的核心部分，主要讨论描述逻辑a l c 的粗糙扩展，介绍扩展后所 得到的粗糙描述逻辑r a l c 的语法、语义和相关推理问题，然后讨论如何使用粗糙描述 逻辑来对不精确概念进行建模，最后提出了一个r a l c 的可满足性问题的推理算法。 第四部分简单介绍了能够有效处理近似概念的粗糙描述逻辑r a l c a c 的性质和语 义推理，它是r a l c 的近似概念扩展，能够使用近似概念对模糊知识进行精确建模。 第五部分用简单的例子来说明如何在粗糙描述逻辑中描述模糊的概念。 第六部分总结了全文的工作、讨论了相关工作并提出了今后研究方向。 关键词：粗糙描述逻辑，描述逻辑，粗糙集，近似概念 隶 a b s t r a c t d e s c r i p t i o nl o g i ci st h el o g i c a lb a s i so fa r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，w h i c hc o u l dr e p r c s e n ta n dr e a s o nt h e c o n c e p t sa n dr o l e so ft h eo b j e c t i v ew o r l d h o w e v e r , d u et ot h es t r i c tr e s t r i c t i o n so nt h ee x p a n s i o no ft h e c o n c e p t s ，t r a d i t i o n a ld e s c r i p t i o nl o g i cs y s t e m sa r e n o tc a p a b l eo fh a n d l i n gr o u g h ( o rv a g u e ) c o n c e p t t h i s p a p e ri n t r o d u c e sl o w e ra p p r o x i m a t i o na n du p p e ra p p r o x i m a t i o nw h i c ha r eb a s e do nr o u g hs e ts e m a n t i c st o d e s e r i p t i o nl o g i cs y s t e m sa n de x t e n d st h et r a d i t i o n a ld e s c r i p t i o nl o g i ci nas i m p l ew a yt oe n a b l ei tt od e a l w i t ha p p r o x i m a t ec o n c e p td e f i n i t i o n si naq u a l i t a t i v ew a y a n dw h a t si m p o r t a n t ，t h er e a s o n i n gp r o b l e m si n t h ee x t e n d e dl a n g u a g ec a nb er e d u c e dt ot h es a t i s f i a b i l i t yp r o b l e m si ns t a n d a r dd e s c r i p t i o nl o g i c i nt h i s w a y , w ec a nf o r m a l i z et h er o u g hc o n c e p t sa n dr e a s o na b o u tt h er o u g hs u b s u m p t i o no ft h ec o n c e p t s t h i s t a s km a k e su n c e r t a i nk n o w l e d g er e p r e s e n t a t i o na n dr e a s o n i n gi nd e s c r i p t i o nl o g i cm u c hm o r ec o n v e n i e n t t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gs i xs e c t i o n s ： t h ef i r s tp a r ti st h ei n t r o d u c t i o n ，i nw h i c ht h ea u t h o re x p l a i n st h es 0 1 l r c eo ft h et o p i co ft h i sp a p e r , t h e s i g n i f i c a n c eo f t h er e s e a r c h ，t h er e s e a r c hp r o c e s sa n dm e t h o d o l o g y t h es e c o n dp a r ti st h ep r e l i m i n a r i e s ，w h i c hi n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r i e sa n db a s i ci d e a so fd e s c r i p t i o n l o g i ca n dr o u g hs e t t h et h i r dp a r ti st h ec o xo ft h i sa r t i c l e ，w h i c hf o c u s e so nt h er o u g he x t e n s i o no fd e s c r i p t i o nl o g i ca l c s p e c i f i c a l l y , i ti n t r o d u c e st h es y n t a x ，s e m a n t i c sa n dr e l a t e dr e a s o n i n gp r o b l e m so fr o u g hd e s c r i p t i o nl o g i c r a l co b t a i n e da f t e re x t e n s i o n ，a n dt h e nd i s c u s s e sh o wt om o d e li m p r e c i s e c o n c e p t su s i n gr o u g h d e s e r i p t i o nl o g i c f i n a l l y , i tp r e s e n t sar e a s o n i n ga l g o r i t h mo fs a t i s f i a b i l i t yl i r o b l e mo fr a l c t h ef o u r t hs e c t i o nb r i e f l yi n t r o d u c e st h ep r o p e r t i e sa n ds e m a n t i cr e a s o n i n go fr a l c a c i ti st h e a p p r o x i m a t ec o n c e p te x t e n s i o no fr a l ca n dc a l le f f e c t i v e l yd e a lw i t ht h er o u g ha p p r o x i m a t i o nc o n c e p t s ， w h i c hc o u l dp r e c i s e l ym o d e lv a g u ek n o w l e d g e u s i n ga p p r o x i m a t ec o n c e p t s p a r tvi l l u s t r a t e sh o wt od e s c r i b ef u z z y c o n c e p ti nr o u g hd e s c r i p t i o nl o g i cw i t has i m p l ee x a m p l e p a r tv is u m m a r i z e st h ew o r ko ft h ef u l lt e x t ，w h i c hd i s c u s s e st h er e l a t e dw o r ka n d p r o p o s e st h ef u t u r e i i i k e y w o r d s ：r o u g hd e s c r i p t i o nl o g i c ，d e s c r i p t i o nl o g i c ，r o u g hs e t ，a p p r o x i m a t ec o n c e p t i v ， 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 目录v 第一章绪论1 1 1 问题的提出1 1 2 课题研究的意义2 1 2 1 理论意义2 1 2 2 实践意义2 1 3 课题研究过程与方法3 1 3 1 研究过程3 1 3 2 研究方法3 第二章背景知识5 2 1 描述逻辑5 2 1 1d l 的基本元素概念和角色6 2 1 2 知识库6 2 1 3d l 的语法和语义一7 2 1 4 描述逻辑中的推理9 2 2 粗糙集理论l o 2 2 1 粗糙集中的基本定义。l0 2 2 2 近似的性质1 2 2 2 3 使用近似来表示模糊概念的关键思想1 3 第三章粗糙描述逻辑15 3 1 粗糙描述逻辑简介15 3 2r d l 的语法和语义l8 3 2 1 语法( s y n t a x ) 18 v 3 2 2 语义( s e m a n t i c s ) 19 3 3 近似的性质2 0 3 4 粗糙描述逻辑r a l c 中的相关推理问题2 4 3 4 1r a l c - - a l c 的翻译函数2 5 3 4 2r a l c 可满足性算法的推理规则2 6 第四章粗糙描述逻辑r a l c 的近似概念扩展r a l c a c 2 9 4 1r a l c a c 简介2 9 4 2r a l c a c 中近似概念的语义解释2 9 4 3r a l c a c 中近似概念的性质3 0 4 4r a l c a c 中的推理问题3l 第五章粗糙描述逻辑的应用举例3 3 第六章结论和相关工作3 7 参考文献3 9 致谢4 l 攻渎学位期间发表的学术论文目录4 3 独创性声明4 5 关于论文使用授权的说明。4 5 v i 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题的提出 描述逻辑”1 是人工智能【1 2 】的逻辑基础，是知识表示和推理的有效工具。近年来，关 于描述逻辑【7 1 的研究进展很快，主要集中在以下两个方面【1 2 】：( 1 ) 描述逻辑的基础研 究。研究描述逻辑的构造算子、表示和推理的基本问题，如可满足性、包含检测、一致 性、可判定性等。这些研究一般是在最基本的a l c 1 5 】的基础上再扩展一些构造算子， 如数量约束、逆关系、特征函数、关系的复合等。( 2 ) 描述逻辑的扩展研究。a a r t a l e 和e f r a n c o n i ( 1 9 9 8 ) t 4 】提出了一个知识表示系统，用时间约束的方法将状态、动作和规 划的表示统一起来。为了能让描述逻辑处理模态词，eb a a d e r t 2 0 1 将模态操作引入描述逻 辑，证明了该描述逻辑公式的可满足性问题是可判定的。另外，其它的描述逻辑扩展研 究有时序扩展( a r t a l e ，w o l t e r ) 8 1 、模耄舭n ( s t r a c c i a ) t 1 8 1 等。 目前，大多知识建模技术主要适用于对清晰的( c r i s p ) 知识建立模型，但是，在实 际应用中，很多时候我们很难对实际问题中的对象做出明确清晰的区分，即在建立模型 时经常需要考虑到边界情况( b o r d e r l i n ec a s e s ) 。目前很多方法对此都需要将不确定性 ( u n c e r t a i n t y ) 和模糊性( v a g u e n e s s ) 考虑进来，通过某些加权的机制或某些基于模糊 集的方法来处理边界情况。虽然描述逻辑能够对客观世界的概念和角色进行表示和推 理，但是它们缺乏处理不确定信息的机制。根据描述逻辑【1 , 7 , 1 2 】的形式语义，概念表示为 客观世界中对象的清晰的( c r i s p ) 子集。因此，传统的描述逻辑系统不能够处理粗糙的 ( 或模糊的) 概念。 由于传统的描述逻辑d l s 只能对确定( 或精确) 的知识进行表示和推理，而不适于 对粗糙的( 或模糊的) 知识进行表示和推理，因此，一些研究人员将传统描述逻辑d l s 进行扩展，使其能够表示模糊的( 或不精确的) 知识，如模糊描述逻辑【1 8 】( f u z z y d l s ) ， 概率描述逻辑i t 7 】( p r o b a b i l i s t i cd l s ) ，粗糙描述逻辑【l o 】( r o u g hd l s ) 等。使用描述逻 辑来描述模糊( 或不精确) 的概念通常使用数值计算方法，如概率( p r o b a b i l i s t i c ) 方法 或可能性( p o s s i b i l i s t i c ) 方法【1 9 】，它们的缺点是：方法本身需要引入不确定性 ( u n c e r t a i n t y ) ，因而使得这些方法中的概念或者是计算性更加复杂【6 】。本文将粗糙集理 描述逻辑的粗糙扩展研究 论【9 】的基本思想引入描述逻辑【7 】系统中，弓l , k t 粗糙描述逻辑【1 0 l ( r o u g hd l s ) 的概念。 粗糙描述逻辑是对传统描述逻辑的扩展，它能够处理基于粗糙集【9 】语义的近似概念定义 ( 概念的下近似和上近似) ，其中，模糊概念可以通过其下近似和上近似组成的一对集 合来定义，而下近似和上近似是基于粗糙集【9 】理论中的不可区分关系( i n d i s c e m i b i l i t y r e l a t i o n s h i p ) 来定义的。粗糙描述逻辑允许对模糊的知识使用概念的( 下、上) 近似的 清晰描述来进行建模，这样，我们就可以对粗糙的概念进行形式化描述并对概念的粗糙 包含进行推理。 1 2 课题研究的意义 1 2 1 理论意义 粗糙描述逻辑【l o l ( r o u g hd l ，r d l ) 是传统描述逻辑( d l ) 的保守扩展，即r d l 增强了d l 的描述能力，但并没有增强d l 的表达能力。具体来讲，r d l 引入两个运算 符：( ! ) 和( ：) ，分别表示概念的下近似和上近似，用来描述那些肯定( d e f i n i t e l y ) 和可 能( p o s s i b l y ) 属于某个概念的元素构成的集合。这些运算符引入了近似的概念，而没 有增加原来语言的表达能力。因此，我们可以轻而易举地对模糊的知识进行表示和推理， 而不需要设计新的计算方法，并且也没有增加其计算复杂性。 严格的说，r o u g hd l 的语义非常简单，因为它们具有传统d l 的优点但却没有增 加传统d l 的表达能力( e x p r e s s i v e n e s s ) 。这意味着我们可以通过适当的翻译函数使得 r d l - d l ，就可以使用现有的描述逻辑推理机( d lr e a s o n e r ) 进行推理，因此，使用 r d l 的方法不需要专门设计特定的决策程序，也不需要丌发新的工具就可以使用优化的 d l r e a s o n e r 。换句话说，r o u g hd l 严格意义上来讲表达能力并不比传统d l 强，但是它 却能够给那些不能被清晰描述的概念和知识提供非常有用的建模工具。 1 2 2 实践意义 在医学或心理学领域中，许多概念都不能用明确而清晰( c r i s p ) l 拘方式来进行定义。 如，当不存在某一单独的标志能够区分某一病人是否患有某种疾病的时候，其中疾病潜 在的病理暂不清楚，这种疾病的定义就不能明确的表示。这些情况在心理学和疾病学中 经常会遇到，非常普遍，这就给实际的应用带来了困难。而r o u g hd l 提供了能够描述 那些不存在被明确而清晰的定义的概念的可能性，在其中我们可以使用适当的子概念 2 第一章绪论 ( s u b c o n c e p t ) 和超概念( s u p e r - c o n c e p t ) 来对原概念进行约束定义。在本文中，我们 将使用粗糙描述逻辑( r o u g hd l ) 来研究关于病人是否患有s e p t i c ( 败血症) 疾病的医 疗试验1 0 1 ，这是对模糊知识进行精确建模的典型应用。这项研究表明，基于r o u g hd l 的推理可以作为现实中的使用案例，对模糊知识进行建模可以帮助我们更好的解决在诸 如临床试验等设计中的重要问题。 1 3 课题研究过程与方法 1 3 1 研究过程 第一阶段：准备阶段。文献研究，搜集资料，为课题研究做好前期准备工作。( 2 0 0 9 年4 月2 0 0 9 年7 月) 第二阶段：研究阶段。根据资料和文献分析，梳理现有的国内外理论成果。( 2 0 0 9 年8 月一0 0 9 年1 2 月) 第三阶段：总结阶段。全面总结，整理有关资料，完成研究报告，撰写论文。( 2 0 1 0 年1 月一0 1 0 年3 月) 1 3 2 研究方法 作者在研究过程中进行了大量的资料和文献的阅读和搜集，本文主要使用文献研究 的方法。具体来讲，对国内外的相关资料，进行分析、整理和归类，掌握相关理论最新 研究成果，关注最新的研究动向并实证研究的发展动态，最终形成科学的推论。 第二章背景知识 第二章背景知识 弟一早月京刘状 本文将粗糙集【9 】理论的基本思想引入描述逻辑【7 】系统中，使用一种简单的方法将传 统描述逻辑( d l ) 进行扩展。具体来讲，本文将基于粗糙集【9 】语义的下近似( 1 0 w e r a p p r o x i m a t i o n ) 和上近似( u p p e ra p p r o x i m a t i o n ) 引入d l 中，使其能够用定性的方法来 处理近似概念定义，并且，扩展后的语言中的推理问题可以简化为标准d l 中的可满足 性问题。这样，我们就可以对粗糙的概念进行形式化描述并对概念的粗糙包含进行推理。 例如，在医学或心理学领域，许多概念不能够用简明清晰的( c r i s p ) 方式来定义，但是 我们可以使用适当的子概念( s u b c o n c e p t ) 和超概念( s u p e r - c o n c e p t ) 对原概念进行约 束定义。 2 1 描述逻辑 描述逻辑1 , 7 , 1 2 1 ( d e s c r i p t i o nl o g i c ，d l ) 又称概念表示语言、术语逻辑、概念逻辑、 术语包含逻辑等，它是一种基于对象的知识表示的形式化，它可以用来以结构化的方式 表示应用领域的术语知识，它是一阶谓词逻辑f o l 的一个可判定子集。描述逻辑理论 i , 7 , 1 2 1 建立在概念和角色之上，其中，概念解释为对象的集合，角色解释为对象之间的二 元关系。目前，描述逻辑【1 ，刀已经被成功应用于很多领域，如语义w e b ，本体，数据库， 软件工程等。 一个描述逻辑系统中的名字可分为三类【l ，7 ，1 2 】：概念( c o n c e p t ) ，角色( r o l e ) 和个 体( i n d i v i d u a l ) 。d l 的字母表包含三个不相交的集合：概念名集合、角色名集合、个体 名集合。 ( 1 ) 概念( c o n c e p t ) ：一般而言，概念名等价于一元谓词，概念等价于含有一个自 由变量的公式。 ( 2 ) 角色( r o l e ) ：一般而言，角色名等价于二元谓词，角色等价于含有两个自由 变量的公式。 ( 3 ) 个体( i n d i v i d u a l ) ：个体名等价于常量。 5 描述逻辑的粗糙扩展研究 2 1 1d l 的基本元素概念和角色 ( 1 ) 概念( c o n c e p t ) 翠释为领域的子集。 例如：学生：缸is t u d e n t ( x ) ) ，已婚的：如im a r r i e d ( x ) ) 。 ( 2 ) 角色( r o l e ) 解释为领域上的二元关系。 例如：朋友：( lf r i e n d ( x , y ) ) ，爱人： 咿il o v e s ( x , y ) ) 。 2 1 2 知识库 一个描述逻辑知识库 1 , 7 , 1 2 k 由t b o x 和a b o x 两部分构成，即：k = ( t a ) ，其中， t 代表t b o x ，a 代表a b o x 。 t b o x 是一个描述领域结构的公理集，其包含的断言形式有两种： ( 1 ) 包含从理( i n c l u s i o na x i o m ) ，形如c 量d ，其中c 、d 为概念，表示概念d 包含 概念c 。 ( 2 ) 定义公理( d e f i n i t i o na x i o m ) ，形如c 量d ，也即是cs dt qosc 的缩写。 a b o x 是一个描述关于具体个体事实的公理集，其包含的断言形式为： ( 1 ) 概念断言( c o n c e p ta s s e r t i o n ) ，c 表示概念，a 表示个体实例，那么c ( 口) 表示概念 c 的一个个体实例a 。 ( 2 ) 角色断言( r o l ea s s e r t i o n ) ，r 表示角色，a 、b 表示个体实例，那么r ( a ，6 ) 表示个 体实例a 和个体实例b 之间存在关系r 。 6 图2 1 基于描述逻辑的知识表示系统基础框架 第二章背景知识 图2 1 描述的是基于描述逻辑的知识表示系统基础框架，从中我们可以看出t b o x 、 a b o x 和基于知识库的推理系统在基于描述逻辑的知识表示系统中的重要地位。下面， 我们来具体讨论它们的形式定义。 ( 1 ) t b o x ：是关于概念术语的断言，描述的是领域结构的公理的集合。 包含：声明包含关系的公理。 术语公理的形式为：c d 。 例如：b i r dsa n i m a l ，3h a s - d e g r e e m a s t e r s 3h a s - d e g r e e b a c h e l o r s 。 等价：声明等价关系的公理( 左边是一个原子概念的公理也称为定义) 。 术语公理的形式为：c 三d ( c 兰d c d n d c ) 。 例如：w o m e n 基p e r s o nnf e m a l e ，f a t h e r 暑m a nn3h a s c h i l d h u m a n 。 ( 2 ) a b o x ：是关于个体的断言，描述的是具体情形的公理的集合。 概念断言表示一个对象是否属于某个概念。 概念断言的形式为：a ：c 或者c ( 口) 。 例如：t o m 是个学生，表示为t o m ：s t u d e n t 或者s t u d e n t ( t o m ) 。 角色断言表示两个对象是否满足一定的关系。 角色断言的形式为： ：r 或者r ( a ，b ) 或者a r b 。 例如：j o h n 有个孩子叫m a r y , 表示为 ：h a s c h i l d 或者h a s - c h i l d ( j o h n ，m a r y ) 。 ( 3 ) t b o x 和a b o x 上的推理机制 一个解释，满足：c 暑di f f 一= o ； 一个解释，满足：c di f f 一互d ，； 一个解释，满足t b o xti f f 它满足r 中的每个公理，记为：，# = 丁； 一个解释，满足：a ：ci f f 一一； 一个解释，满足： ：ri f fq lb i r 7 ； 一个解释，满足a b o x ai f f 它满足彳中的每个公理，记为：i a ； 一个解释，满足知识库= i f f 它同时满足r 和a ，记为：i 。 2 1 3d l 的语法和语义 ( 1 ) 语法 7 描述逻辑的粗糙扩展研究 d l 中基本的描述有原子概念和原子角色，通过使用构造算子，复杂的描述可以在 基本描述的基础上归纳性地构建，在简单的概念和关系上构造出复杂的概念和关系。在 抽象符号中，我们使用字母彳、曰代表原子概念，使用字母r 代表原子角色，使用c 、 d 代表概念描述，描述语言由本身提供的构造器的不同而不同。通常，d l 至少包含以 下算子：合取( n ) ，吸取( u ) ，非( 1 ) ，存在量词( j ) ，全称量i 百l ( v ) ，它是最基本的d l ， 称之为彳d 1 5 1 。下面我们主要讨论包含构造算子1 、n 、u 、v 、j 的a l c 语言。 a l c 中的概念术语由以下规则构成： t 和上是概念术语； 如果c 和d 是概念术语，则c n d ，c u d ，1 c 也是概念术语； 如果r 是一角色术语，c 是一概念术语，则c ，弧c 也是概念术语。 a l c 1 5 】语言中的概念描述是根据下面的语法规则构成的： c ，d 一彳 l( 原子概念) t l( 全局概念) 上 i( 底层概念) 1 cl( 原子否定形式) c a dl( 交集) c u di( 并集) v r c i( 全称变量) 3 r cl( 存在变量) ( 2 ) 语义 在描述逻辑0 , 7 , 1 2 1 中，一个解释，= ( ，) ，由解释的领域，和解释函数7 构成。解 释函数7 将原子概念么映射为，的子集，将原子角色尺映射为，x ，的子集，通过如 下规则，解释功能可以被扩展到复杂概念描述。 彳， a lc & x & 弋l = & 上。= a ( 1 0 7 二，c 。 ( c a d ) = c n d 8 第二章背景知识 ( c u d ) l = c lu d l ( v r o = x 7iv ) ，7 ， r 一y c 7 ) o r c ) 7 = x 7i 砂7 ， r ay c 。) 表2 1a l c 中的构造算子及其语法和语义 构造算子语法语义例子 全局概念tom a l e ( j - - m a l e 底层概念上am a n n - - , m a n 原子概念 彳a 7c o h u m a n 原子关系 rc 7 7h a s c h i l d 合取c n de 叭dh u m a n nm a l e 析取c u d eud d o c t o rl , jl a w y e r 非 一c7 cm a l e 全称量词 v 尺c 伽iv y q y 尺7 y 一) vh a s c h i l d d o c t o r 存在量词 j 兄c 扛i3 y 电j ， r j a y 一) jh a s c h i l d m a l e 2 1 4 描述逻辑中的推理 描述逻辑的重要特征是其具有很强表达能力的同时又具有可判定性，它能保证推理 过程总能停止并能返回正确的结果【7 1 。 a l c 中的一些推理问题包含有【1 4 】： ( 1 ) 包含问题( s u b s u m p t i o np r o b l e m ) ：给定概念术语c 和d ，判定 c d 是否 成立。 ( 2 ) 一致性问题( c o n s i s t e n c y p r o b l e m ) ：给定知识库，判定是否是可满足的。 ( 3 ) 可满足性问题( s a t i s f i a b i l i t yp r o b l e m ) - 给定概念术语c ，判定 c - 上是否成 立。 ( 4 ) 实例检测问题( i n s t a n t i a t i o np r o b l e m ) 给定知识库和断言公式( a s s e r t i o n a l f o r m u l a ) 缈，判定# = 9 是否成立。 下面是关于a l c 中推理的一个简单例予： 9 描述逻辑的粗糙扩展研究 s e x 暮m a l euf e m a l e m a l e n f e m a l e 上 p e r s o n h u m a nn3h a s s e x s e x m a l e p e r s o n p e r s o nn3h a s s e x m a l e j o h n ：p e r s o nojh a s s e x - - f e m a l e k b j o h n ：m a 】e p e r s o n 通过对术语公式增加一定的限制条件( 包括非循环性和唯一定义条件等) ，上述推理 问题可以转化为断言公式( a s s e r t i o n a lf o r m u l a ) 集合的一致性问题。 2 2 粗糙集理论 著名哲学家gf r e g e 认为“概念必须有明确的边界。没有明确边界的概念，将对应 于一个在周围没有明确界线的区域”。2 0 世纪8 0 年代初，波兰的p a w l a k 针对qf r e g e 的边界线区域思想提出了粗糙集【9 1 ( r o u g hs e t ) ，他把那些无法确认的个体都归属于边 界线区域，而这种边界线区域被定义为上近似集和下近似集之差集。由于它有确定的数 学公式描述，完全由数据决定，所以更具有客观性。粗糙集理论【9 , 1 1 , 1 2 】是集合理论的扩 展，其中，论域的子集通过两个子集：下近似和上近似来描述。目前，粗糙集理论 9 , 1 1 , 1 2 】 已经在许多领域中成功应用。 2 2 1 粗糙集中的基本定义 定义2 1 一个近似空i 司( a p p r o x i m a t es p a c e ) ( 或知识库) 定义为一个关系系统( 或二元 组征三( u ，r ) ，其中u a 是一个被称为全域或论域( u n i v e r s e ) 的所有要讨论的个体的集合， r 是u 上等价关系的一个族集。 定义2 2 设p c r ，且p 囝，p 中所有等价关系的交集称为p 上的一种不可区分 关系( i n d i s c e m b i l i t yr e l a t i o n ) ( 或称不分明关系) ，记作i n d ( p ) 【工】粕，) = n x 】且 露e ， 注意，i n d ( p ) 也是等价关系且是唯一的。 定义2 3 给定近似空间肛( u ，r ) ，子集x c _ u 称为u 上的一个概念( c o n c e p t ) ，形 式上，空集也视为一个概念；非空子族集pgr 所产生的不分明关系n d ( p ) 的所有等价 类关系的集合即u n d ( p ) ，称为基本知识( b a s i ck n o w l e d g e ) ，相应的等价类称为基本概 l o 第二章背景知识 念( b a s i cc o n c e p t ) ；特别地，若关系q r ，则关系q 就称为初等知识( e l e m e n t a r y k n o w l e d g e ) ，相应的等价类就称为初等概念( e l e m e n t a r yc o n c e p t ) 。 一般用大写字母只q 尺等表示一个关系，用大写黑体字母p ，q ，r 等表示关系的族 集；m 或尺表示关系r 中包含元素工u 的概念或等价类。为了简便起见，有时用p 代替n d ( p ) 。 根据上述定义可知，概念即对象的集合，概念的族集( 分类) 就是u 上的知识，u 上分类的族集可以认为是u 上的一个知识库，或说知识库即是分类方法的集合。 定义2 4 给定近似空间胙( u ，r ) ，等价关系r 将集合u 划分为不相交的子集， 表示为u r ，如果元素x ，y e u 属于相同的等价类，我们称工和y 是不可区分的 ( i n d i s t i n g u i s h a b l e ) 。 定义2 5 令x u ，尺为u 上的一个等价关系，当x 能表达成某些r 基本概念 的并时，称x 是尺可定义的；否则称x 是r 不可定义的。r 可定义集也称作r 精确集， 它可以在知识库置中使用等价类尺精确地定义；而尺不可定义集也称作r 非精确集或尺 粗糙集，它不能在知识库置中定义。这种情况下，我们可以使用两个精确集( 即粗糙集 x 的下近似( 1 0 w e ra p p r o x i m a t i o n ) 和上近似( u p p e ra p p r o x i m a t i o n ) ) 来近似地描述粗糙 集兄 定义2 6 下近似( 1 0 w e ra p p r o x i m a t i o n ) 、上近似( u p p e ra p p r o x i m a t i o n ) 和边界区 域，这些概念是基于领域中元素的等价关系来定义的。 x 的下近似：星( x ) = 扛lx u 【x 】。sx ) 或丛= u y ly 【，raysx 或 星( x ) = u 【z 】。 x h g x x 的上近似：r ( x ) = 缸lx u 工】霄n x 囝) 或r x = u f fy u ra 】，n x 囝) 或尺( x ) = ui x 。 x x f l j o 、 其中，m 萨钞i x r y 是包含x 的等价类。 x 的边界区域：b n 。( x ) = 麟一路 若拥。( x ) g ，则集合石就是一个粗糙概念。下近似包含了所有使用知识r 可确 切分类到x 的元素，上近似则包含了所有那些可能是属于石的元素。概念的边界区域由 上近似和下近似之差构成的所有元素组成。p o s 。( x ) = 丛称为集合x 的r 一正区域， n e g 。( x ) = u 一麒称为集合x 的r - 反区域，显然：r x = p o s 。( x ) u b n 。( x ) 。下近似集 1 l 描述逻辑的粗糙扩展研究 合上近似集的关系如图2 2 表示。 图2 - 2 集近似图示 定义2 7 ：近似度( a c c u r a c yo f a p p r o x i m a t i o n ) 蚋= 矧 其中，因表示石o 的基数。 很明显，o 口 s 1 如果口 ( x ) = l ，则x 关于r 是清晰的( x i sc r i s pw i t hr e s p e c tt or ) 。 如果口 ( x ) 1 ，则x 关于只是粗糙的( x i sr o u g hw i t hr e s p e c tt o 尺) 。 2 2 2 近似的性质 在粗糙集 9 , 1 1 , 1 2 理论中，概念的近似有如下性质： ( 1 ) 丛x r x ( 2 ) 婴= 囝= r o ，斛= u = r u ( 3 ) r ( x u 】，) = r x u r y ( 4 ) 基( x n 】，) = 垦x n 斟 ( 5 ) 石yj r x 拶 ( 6 ) x y r x r y ( 7 ) 星( x u y ) 2 星x u ( 8 ) r ( x n y ) r x n r y ( 9 ) 堡( z ) 一肘 1 2 念，即一个不精确的概念具有模糊的不可被明确划分的边界。为刻画模糊性，每个不精 确的概念由一对称为上近似与下近似的精确概念来表示，它们可以用隶属函数来进行定 义。 设u 为一论域，尺为u 上的一个等价关系，x c u 为u 上的v a g u e 集，则模糊概念 z 可以用一对清晰的( c r i s p ) 概念来表示： ( 1 ) 子概念( 或下近似) ：该集合中的元素一定属于v a g u e 集凰 ( 2 ) 超概念( 或上近似) ：该集合中的元素可能属于v a g u e 集兄 子概念( 下近似) 鲋包含了所有使用知识尺可确切分类到工的元素，超概念( 上 近似) r x 则包含了所有那些可能是属于x 的元素。二元组( 丛，g x ) 称为由关系r 诱 导的关于集合x 的广义粗糙集，其具体意义依赖于在特定应用领域中对论域和关系r 的解释。操作符星，r ：2 u 一2 u 称为广义粗糙算子。如果r 是明确的，我们也可以用( 当，x ) 来表示关于x 的粗糙集( 或称为近似概念) 。在以下部分我们将使用二元组( 笸，x ) 来描 述近似概念k 第三章粗糙描述逻辑 第三章粗糙描述逻辑 在医学或心理学领域中，许多概念都不能用明确而清晰的方式来进行定义。如，当 不存在某一单独的标志能够区分某一病人是否患有某种疾病的时候，其中疾病潜在的病 理暂不清楚，这种疾病的定义就不能明确的表示。这些情况在心理学和疾病学中经常会 遇到，非常普遍，这就给实际的应用带来了困难。而粗糙描述逻辑提供了能够描述那些 不存在被明确而清晰的定义的概念的可能性，在其中我们可以使用适当的子概念 ( s u b c o n c e p t ) 和超概念( s u p e r - c o n c e p t ) 来对原概念进行约束定义。即，虽然有些概 念不能够形式的定义，但我们可以明确的说明它的下近似和上近似。如s e p t i c t l 0 1 ，下近 似用集合“s t r i c tc r i t e r i a ”来定义，上近似可以用“b o n ec r i t e r i a ”来定义。在r o u g hd l 中，我们可以用精确的方式来对模糊的知识进行建模，并且具有明确的形式的语义。该 研究可以用来更好地对临床试验中的概念s e p t i c 进行定义。通过近似来描述s e p t i c 可以 得到很强的语义结论。r o u g hd l 是对模糊概念进行建模并对查询提供清晰答案的有效 逻辑表示语义，因此，它可以帮助检验已有的试验，最终可以辅助建立新的试验。这项 研究表明基于r o u g hd l 的推理可以作为现实中的使用案例，对模糊知识进行建模可以 帮助我们更好的解决在诸如临床试验等设计中的重要问题。 3 1 粗糙描述逻辑简介 经典描述逻