（计算数学专业论文）分块矩阵drazin逆的表示及广义逆在矩阵方程中的应用.pdf

摘要 矩阵广义逆在许多领域中都有着广泛的应用如在微分方程，积分方程，算子理论，统计学， 控制论，m a r k o v 链，最优化等方面因此，自上个世纪中期以来，矩阵广义逆就成为一个非常重要 的研究领域至今，仍然是国际上非常活跃的研究分支之一 1 9 5 8 年m p d r i n 提出了结合环和半群上的广义逆，后称为d r i n 逆g r e v i l l e 和a i n e 于 1 9 8 0 年提出长方矩阵的加权d r i i l 逆的概念，它是方阵d r 犯i n 逆的推广，有其实用背景在近几 十年中，一直有学者在研究分块矩阵的d r i n 逆，但都是在对各分块加以限制条件下给出的表达， 文章部分解决了c 岫p b e l l 在1 9 8 3 年提出的关于一个偏微分方程的问题本文在第一、二章中，重 点讨论了2 2 分块矩阵的d r i i l 逆的表示形式利用两个矩阵和的d r i n 逆的多项式展开以及 现有的对分块矩阵的d r 驰i n 逆的研究结果，对十几种情况下的d r i n 逆的袭达都给出了分析，并 对其中八种不一样的分块进行了相应的统一所以，本文在一定程度上补充了现有的研究成果 通过几个数值算例，来说明本文方法的正确性和有效性另外，在第二章中，还对长方分块矩阵进 行了较细致的分析，完整了本文在这个问题上的思想结构 本文除了讨论分块矩阵的d r 酩i n 逆以外，还进一步研究了广义逆在矩阵方程反问题中的应 用对近十几年来的矩阵方程问题( 正问题和反问题) 涉及的各种矩阵进行了总结再通过特殊的 矩阵分解，将得到的具有特殊结构的解的最佳逼近化为线性方程组的最小二乘问题，从而利用广 义逆的相关知识进行分析在矩阵方程的问题研究中是一个有意的补充 在最后一章中我们还讨论了矩阵方程的正定解这是关于广义逆的另一个重要的应用 关键词：广义逆，d r a z i n 逆，加权d r a z i n 逆，分块矩阵，特殊矩阵，反问题，最佳逼近，正定 解c c d 分解 a b s t r a c t g e n e r a l i z e di n v e r 8 ei 8w i d e l yu s e di nm a n y 盯e a 8s u c ha sd i 踟r e n t i a le q u a t i o n ，i n 七e - g r a le q u a t i o n ，o p e r a t o rt h e o r y ，8 七a t i 8 t i c s ，c y b e r n e t i c s ，m 舡l c h a i n ，o p t i m i z a t i o n a n ds oo ns of o r t h t h e r e f o r e ，g e n e r a l i z e di n v e r 8 eh a u bb e e nav e r yi m p o r t a n tr e _ s e a r c ha r e as i n c et h em i d d l eo ft h el a s tc e n t u r y u pt on o wi ti 88 t i uw a so n eo f e x t r e m e l ya c t i v er e 8 e a r c hb r a i l c h e so ni n t e r n a t 主o n a l i n1 9 5 8 ，m p d r a z i np r e s e n t e dg e n e r a l i z e di n v e r s eb a s e do nt h ei n t e g r a t i o no fr i n g a n ds e m ig r o u p ，w h i c hw a 8l a t e rc a l l e dd r a z i ni 舢e i n1 9 8 0 ic l i n e 帆dg r e - v i l l ep r o p o s e dt h ec o n c e p to fw e i g h t e dd r 舵i ni r l v e r s eb a 8 e do nr e c t a n g l em a t r i x i tw a 8t h ee x t e n t i o no f8 q u 跗ed r a z i ni n 、他r s ea n d 、) l r a 8a c t u a l l yq u i t ea p p l i c a b l e i nt h ep a 8 td e c a d e s8 0 m ee x p e r t 8h a v eb e e nd e v o t i n gt h e m 8 e l v e 8t ot h er e 8 e a r c h 0 fb l o c km a t r 仅d r a z i ni i l v e r s ea n da t h er e 8 e a r ( 盘e 8w 聊ec a r t i e do u to nc o n d i t i o nt h a 乞e a c hb l o c kw a sr e s t r i c t e d a l lt h er e s e a r c hf r u i t8 i m p l yf o u n dp 甜t i a l s o l u t i o n st ot h ep r o b l e m sg i v e nb yc a m p b e l li n1 9 8 3 i nt h i be s 8 a y c h a p t e r1 a n d2m a i n l yd e a lw h hf o r m so fd r a z i ni n v e r 8 eo fb l o c km a t r i x2 2 t 幽n e a d v a n t a g eo fp o l y n o m i a le x p a n s i o no fd r a z i ni 蝴e o ft w om a t r i 】( e s8 u ma i l de x i s t i i 培e x p r e s s i o n so fd r a l z i ni n v e r 8 eo fb l o c km a t r 投t h ee s s a yp r o v i d e sc o n c l u s i o n s o fr e p r e 8 e n t a t 主o no fd r a z i ni n v e r s e ，w h i c h 甜ea d d i t i o 璐t oe x i s t i n g 丘n d i n 9 8t o s o m ed e g r e e 8b e 8 i d e 8 ，i nc h a p t e r2i tg i v e 8ad e t a i l e da n a l y s i so fr e c t a n g l eb l o d k m a t r i ) ( ，w h i c hc o m p l e t e st h e8 t r u c t u r eo ft h i se s s a y a p a r t 行o mt h ed i s c u s s i o no nf o n n 8o fd r a z i ni n v e r 8 eo fb l o c km a 七r i x t h i 8e 8 s a yf u r t h e re x p l o r e 8t h ea p p l i c a t i o n g e n e r a l i z e di n v 嚣8 et or h e t o r i c a lq u e 8 t i o n o fm a t r 议e q u a t i o n t h r o u g ht h ed e c o m p o s i t i o no fm a t r i x ，t u r n i n go p t i m a la p p r o x i m a t i o no f 日o l u t i o nw i t hs p e c i a ls t r u c t u r ei n t ok a s t - 8 q u a r e 8p r o b l e mo fl i n e a r e q u a t i o n 8i sam e a n i n g f u ls u p p l e m e n ti nt h es t u d yo fm a t r i xe q u a t i o n a tl a s t ， w ea l s og i v et h ep 0 8 i t i v es o l u t i o nt os o m em a t r i xe q u a t i o n s i ( e yw b r d s ： g e n e r m i z e di i l v e r s e ，d r a z i ni n v e r s e ，w b i g h t e dd r a z i ni n v e r s e ， b l o c km a t r i x ，s p e c i a lm a t r i x ，i n v e r s ep r o b l e m ，o p t i m a l a p p r 0 x i m a t i o n ，p o s i t i v e s 0 1 u t i o n ，c c dd e c o m p o s i t i o n 学位论文独创性声明 本人所星交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向 国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少 量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：虿提 导师签名 日期： b 日期：别。占易 第一章分块矩阵的d r a z i n 逆 广义逆的概念最早是i n e d h o l m 于1 9 0 3 年提出的，他给出积分算子的广义逆，并称之为“伪 逆”1 9 2 0 年，e h m o o r e 首先提出了矩阵广义逆，他利用投影矩阵定义了矩阵唯一的广义逆 然而，矩阵广义逆真正得到迅速发展，并在各个领域中得到广泛应用是在上世纪5 0 年代以后 1 9 5 5 年，r p e n r 0 8 e 证明了m o o r e 所定义的广义逆是满足四个矩阵方程 ( 1 ) a x a = a ( 2 ) x 4 x = x ( 3 ) ( j 4 。y ) + = a x ( 4 ) ( x a ) = x a 的唯一矩阵，并称这个唯一的矩阵为m o o r e p e i l m s e 逆1 9 5 8 年，m p d r i n 提出了结合环和半群 上的广义逆，后来称为d r a z i n 逆 d r i n 逆只对方阵有定义，下面给出方阵指标的定义 定义1 o 1 设a 口一。我们把满足 r a n k ( a 1 ) = r a n k ( a 。) 更l j 赫x 为a 的d r a z i n 逆，记作x = a d 或者a t l 。2 ，”当= 1 时，x 为a 的群逆，记为舻 d r a z i n 逆在很多领域中都有很重要的应用背景，如偏微分方程、m a r k w 链、迭代算法 等对于分块矩阵( 三三) 的。r 8 2 t n 逆的表示，许多学者都作出相应的研究。但大多数都 足在各分块满足一定条件的情况下的在1 9 7 7 年，作者【27 】首先给出上三角块矩阵f 下三角块 怒i 晖) 的d r 妣i n 惩的表述；文1 2 6 ，3 5 j 遗辽核心一幂琴分解的万珐，对尸= ( 一a “刖b ，q = g 0 一a 。a ) ，z = e g 且d b 等条件的讨论，给出相应的分块矩阵d r i n 逆表达近期，又有学 者【5 】讨论了在条件g a d 以= aa 。目e = b c _ d 下左上三角和右下三角块矩阵的袭达显然，关 引理t 皿力矩阵m = ( 三三) ，= ( ：；) ，r n d c a ，= r ，- n d c 启，= s ，刖 聊= ( 篓二) ，聊= ( 等二) 其中x = ( b 。) 2 ( 萎( b 。) l c a ) a - 十b - ( 葚b g ( a 。) t ) ( a 。) 2 一b 。a a 。 引瓢工。【5 】矩阵鸠= ( 三b ) 一= 删时如卯m 州2 砌钆 脚= 卜r 1 + a 。b g r 2 ) ( b g ) 。j 4 ( ( b g ) 。d + r 1 ( b g ) ”) b 。 o ( ( 且g ) d + r l ( 8 g p )g ( 一a ( ( b g ) d ) 2 + r 2 ( b c ) * ) 日 其中 r l ：萎a ( 2 曩j ) ( a 。) 筇+ 2 ( 口g ) j ，产 r 2 = 荟a + 1 ，j ) ( a 。) 料3 ( b g ) j g ( 2 j ，j ) = ( 琴) ( 当，= 。时，g ( 巧，j ) = - ) 引理1 1 3 矩阵地= ( 三三) ，且g a 。a = g ，a 。b g = b g a 。，n d c c a d ，。b c ，= n 劓 御：卜( 一a ( ( b a ) d ) 2 + r 2 ( 日回”) 占 g ( ( b d + r 1 ( 口g ) ”) ( ( 且g ) d + r l ( b e r ) b( r l + a d b e r 2 ) ( b g ) - a 其中 r l = g ( 2 j ，j ) ( a 。d ) 玎+ 2 ( b c ) 。 r 2 = g ( 巧十1 ，) ( a d ) 卸”( b 0 ) g c 句，- ，= ( 了) c 当，= 。时，a c 巧，力= t ， 2 证明：s之耋乏j要三芒?手(f?善；。)0：)，从而易得结论 。 所以有( 三言) 。= ( ：) ( 三三) 。( ：) ，从而易得结论 n ( 尸+ q ) d = q * 【，+ 0 p d + + q 一1 ( p d ) 一1 p d + q d 【f + q d 尸+ + ( q d ) 一1 p 一1 】p ” 其中m a x i n d ( p ) ，i d ( q ) sk i n d ( p ) + i n d ( q ) 引理l 1 5 【25 】若a g a m ，b g x i ，则 ( 三：) 。= ( 。b 三。b ( a ：。a ) 引理7 口币m = ( ：三) ，则w 。= ( 苫品) ，n d c m ，= m a x t ，z 试c a ，z n d c e ， 【2 7 】若肚( ：三) 川删蝌m c 哪圳c 耶m t 卅砌t q 特别地，当g = o 时，有i n d ( a ) 曼m a x i n d ( a ) ，1 si d ( m ) i n d ( a ) + l ；当g 非奇异时 引理t 。当r c b ，r c a ，时，有z n d ( ( ：言) ) = z n a c a ，； 当r t b ，譬r c a ，时，有，n d ( ( ：言) ) = ，n a c a ，+ ， 3 r a ：n k ( ( 言言) + 1 ) = r 口n 七c a k + 1 ， 的乏，r a n o 卜m 蛐d ( ( ：言) ) 劬 r a n k ( ( ：言) + 1 ) = = r 舡血c a ，r a n t ( ( ：言) + 2 ) = ：r a ：n t c t k + 1 ， ( ( ：聃川 n 引理- 。当r c a ，兄c e ，时，有- n d ( ( 三三) ) = z n d c e ，； 当r c a ，垡r c e ，时，有- n d ( ( 三三) ) = - n d c f ，+ ， m ：( 三：) 脚a n 风眇，g n ， 1 2 在新条件下的d r 嬲i n 逆的表示 本文主要通过矩阵的拆分来讨论分块矩阵韵d r i n 逆，早在1 9 5 8 年，d r 且z i n 就在p q = q p = o 的前提条件下，提出( p + q ) d = p d + q d 在文【2 7 】中，作者给出了块下三角( 块上三角) 矩阵 的d r a z i n 逆的表达形式，在文 5 】中，又有作者给出块左上三角( 块右下三角) 矩阵的d r 衄i n 逆的表 达形式同时，也出现了很多关于和矩阵的d r 8 z i n 逆的多项式展开式的表达这些理论为本文的 1 情况一：b g = o ，e e = 0 令m 一只- + q ，一( 言：) + ( 三：) 又口g = 。，e g = 。，则r - q 、t = 。 而由引理，t ，得瑚= ( 等；) ，其中，n a c 司= r ，n a c a ，= s ， 利用引理1 1 ，4 和q 的幂零性，有m d = ( j + q l l 瑚) 礤 将p 1 。，q 。，璐，q 矗代入，有 肌( g 茎粕批+ 轰趴e 。) 另一方面，令m = r t + q t 。= ( ：三) 职= ( ：口警r ) 昏( g 箸，：) 砚= ( ：一莒。) 砚5l o驴j 耻( 一。：) q 孔= l g a 。jj 晗( ：e 豁= 一，) t 段删；( 麓嚣搿。) f ob 一恤d e) ) + ( 三：) ，易知b z q 。= 。且有 弧圳圳( ( 瑚( ( 三： 再令 k 一1 - 啊= a b ( e d ) + 1 = 1 k 一1 l 吃= e u 1 日( e 。) 件1 + ， t = l k l 砰鼍= ( a 。) b e 一1 t = 1 k 1 w ：= e ( a d ) 件1 b e 仁1 + j 5 ( 1 2 1 ) ) ) 母日a ， e k， g 取 “酽姐 弋d ua 口 + 以 驴所罢 ，零幂 “铷是 n 吖口 于= 由x 外且另 我们得到不同于先前的m d 的表达，即 m 。：f a 。 舢( e 。) 2 + 叫e 。+ 且。川e 。一 。日e 。 e ( a d ) 2g ( a d ) 2 w 翟f ”一e ( a d ) 2 b e d e a d b ( e 。d ) 2 一g 以d - 嵋e d + 州e d ( 1 2 2 ) 通过上面的讨论，基本上已经反映了本文的具体思路利用引理1 1 1 和引理1 1 4 ，对分块添 加一定的条件，就可以得到它的d r a z i n 逆的表达形式 再次观察式( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) ，它们在相同条件b g = 0 ，e g = o 下给出的，所以这两式在形式 上应该是统一的首先，根据引理1 1 9 ，我们易知 i n d ( ) m 8 x i d ( a ) ，i n d ( f ) ) 其次，我们有 a ”b ( e d ) 2 十a 。暇e d + a d 联e ”一4 d b e d e 一1 = b ( e d ) 2 + a ”一b ( e d ) 件2 + a d ( a 口) 丑p 一1e ”一 d b e d = a ”b ( e d ) 2 + a ”a b ( 日d ) + 2 + a d ( a d ) b e 卜1 e 一一a d b 王尹 。一1 i - l r 一1 k l = a 。a 日( e d ) ( e d ) 2 + ( a d ) 2 ( a d y b e e ”一a d 县居d e ( a _ d ) 2 删伊一d ( a 。) 2 日凹d 甜d 口( 胪) 2 一删d 删胪+ 吩目d = g ( a 。d ) 2e ( a d ) b 目一1 e ”一g ( a d ) 2 日e d g a d b ( 上尹) 2 一g a d 甚a 日( e d ) 件1 e d k 一1 “ i 2 l + c 1 b ( e d ) + 1 e d + f d 。；一l。 g 量( 4 d ) 件3 b e e 。一g ( d ) 2 b 曰d g a d 日( e d ) 2 + e a 一葚a t b ( e d ) + 3 + e d 同运j u 也有 。o c a d x + g x e d + e o r 11 = a ( a d ) 3e ( a d ) 日e e ”一g ( a d ) 2 b e d g a d b ( e d ) 2 + a a - e 掣b ( e 口) ( e d ) 3 + e d 根据上面莳花简，我们可以得到第种情况下的分块矩阵的d 。i i ：莛的表达，有如下的定理 定理1 2 1 若b a = o ，e c = o ，且s = i n d ( a ) ，r = i n d ( e ) ，则 m 。：f 胪 g ( a d ) 2 6 ( 1 2 3 ) 、l 咿 护 d 产 胪 一 叫 一 m i 2 护 即 b q a a 一 ：萤叩 1 饵 a 协 弘苣 旧 旧 肛蛳 h 枷叩 1 暑：i c 且有 i i l d ( f ) i n d ( a ) + 1 1 1 d ( e ) + 1 证明关于m d 的表达如上面的推导咀下只讨论i n d ( m ) 的上确界 由前提条件，我们得到 ， 一】 f 屉 a 。1 b 口 1 肘i l 专o i 1 i c a 一1 g a “。2 b e + e j 胪一匕c 葚笔，) f 。 d 九善( a d 归) f + ( 蔓b ( e d ) ) i 胪p “叼胪l 1 1 0t 2 ” l 、c ( 叩g 美( 叫十3 b f 妒+ 口印宝b ( 目d ) t ”句( 胪) 牺胪一“即( 胪) 2 帖。 、 i = 0 t z u 我们可以得到 m 州吖。( 1 ，1 ) = a 州a d 彳件1 彳d f 2 ，1 ) = g a a d m m 。( 2 ，2 ) = c 小蔓( a d ) b e - + g a t 美舳【e 吖+ 2 一。小a d 日e 。+ 。薹 t - “1 口一日。+ 驴 一 一 r l t l = e ( a 。一一2 b e e “+ a 一一1 b 曰e d ) + e r 一1 t 一2 = e ( a 一一2 b e e 。+ 岔一一2 b e e e d ) + e 。 = g ( 宁a 一一2 b e t + a 十2 日e 曰e d ) + e = g ( a 卜卜2 b e 。+ a 一2 日e 曰e d ) + e l = 0t = r = g ( a 一一2 b e 十a “。2 b e ) 十e f = 0 t 一2 = g a 一一2 日e 十e = 0 m 件1 m 。( 1 ，2 ) = a h d ( a 叩( 薹( 叩b 驯e ”+ 。蔓a 吲e 。) “? 一a ”1 a 。b e 。十盎“日一护 = + 1 ( a d ) 2 ( ( a d ) 。日e ) e ”+ 4 。一j b e e d t = 0 t = 1 = a 。一一1 b e + a 一口e e 。 扛= oi = l f l = a 。i 卜1 日e 7 所以，当t i n d ( a ) + i n d ( e ) + l 时，有m m m d m 由引理1 1 1 l ，易知i n d ( m ) si n d ( a ) + i n d ( e ) + 1 拆分m = 马z + q 。= ( 三：) + ( ：) 由已知条件，得到马- 。t = 。情况一中我 肌( a d “淼g 主) q 。锄 ( 曰d ) 2 ae d r l0 1 其中x = ( a d ) 2 ( ( a d ) b e ) e ”+ a 。( a b ( e d ) ) ( e d ) 2 一a d 丑e d 再拆分m = 岛。+ q 。：；( 三三) + ( ：言) 仍然满足岛：。z 。= 。又因为 瑚= ( 三三) 。= ( 。e 三。g 三) q 墨= ( 言言) 。= ( 等a ：2 b ) ( q 曼) t p ；。：( a 。y + ? e “1 e a 。r ：1 日2 p ) 、00， ( 删：f 心。鲫件。1 以矿y1 、 oo j = ( ：一竽b ) = ( 一刍e 三) ：! “d ( ( 三三) ) ，i n d ( ( ：言) ) ，墨si d ( ( 三三) ) + 一n d ( ( ：言) ) 一l = a 。1 b e ”1 e + ， 8 肘；= 小1 b ( e d ) = 1 一i 蟛= ( a d ) + 1 b e - 1 c + j i = l 七一l = ( a d ) 讳1 b e 那么有 一( 。羞叫啪d + a 唧f + d ) 船) ( 1 z s ， m 。：i 一 。川e 。a 一 叩日f 。 ”蟛胪_ 即胪+ a 。叫矿州 d r 茸矿i ( 1 2 5 ) ( e d ) 2 e 胪 7 化简，并注意到k m b x i n d ( a ) ，l n d ( _ e ) ) m d ( 1 ，1 ) = m ；( e d ) 2 e a d b ( e d ) 2 g + a d 且繇一a d m ：e d e ( a d ) 2 b _ e d g = a 一( 萎a 一1 日( e 。) ) ( f 。) 2 e j 4 。b ( j 尹) 2 a + a 。十a 。萎( 。) + 1 日上严一- g 一1 一1t = l a d ( ( a d ) + 1 b ) e d g 一( a d ) 2 b e d g _ 1 = j 4 ”( a - 1 b ( e d ) ) ( e d ) 2 g a d b ( e d ) 2 g + a d + a d 竞( a d ) 件1 b 一1 g a d ( ( a d ) 件1 b 分) e d g ( 月d ) 2 b e d 口 = a 。( 堇a 1 b ( e 口) ) ( e 口) 3 e a d b ( 曰d ) 2 g + a d + ( a d ) 3 甚( a d ) b e e g 一( 。d j 诌e d g 2 0 肘d ( 1 ，2 ) = a ”弼f d 一以d 口e d + a d 心e ”+ ( 且d ) 2 b 驴 = ”葚a t _ l b ( e 。) e 。一a 。雪e 。+ a 。莹( a 。) + 1 曰e 点，+ ( a 。) 2 b e t ：二： ，一1 。1 = a ”a 卜1 日( e d ) e d + ( a d ) 2 ( a d ) + 1 b e e 一一a d b e d = x 在式( 1 2 ，4 ) 中，商样进行化简，得到 。 a d + a d x c + x e d g = a d + ( a d ) 3 ( a d ) 件1 b e t e t g a d b ( e d ) 2 e 。一1 ”o + a ”( 小b ( e d ) ) ( e 。) 3 g 一( a d ) 2 b e d e 那么，我们可以得到以下的楚麓： 定理1 2 2 若g a = o ，e b = 0 ，且s = i n d ( a ) ，r = i n d ( e ) ，别 n 彳。= ( “。薹： b ( e 。r + 3 c 十蔑( 。r + 3 ；：j ；一 。b ( e 。) 2 。+ 。一( 。) 2 日e 。g 耋、) c ，。， ( e d ) 2f d 、 9 且有 其中x = ( a 。) 2 ( t = o 证明因为有 肌f a l + 甏 又m 。有如式( 1 2 6 ) 的表达，再根据引理1 1 1 l ，经计算得到，i d ( m ) si n d ( a ) + i n d ( e ) + 1 3 _ f 青况三：b g = 0 ，b e = 0 在这种情况下，我们拆分m 为 那么有q 景 根据b ( ：言) + ( 三三) ，并令b ，= ( ：言) ，。札= 根据条件，验证得p 3 - q 3 。= o 易知璐= o 班( 篓小鬟：腓b ( 1 2 7 ) 我们再来看个“z + z ”分块之和，即m = b ：+ q 。z = ( ：言) + ( 三三) = 铴。+ 岛。 由引理1 1 4 和p 3 2 q 3 2 = 0 ，以及以下等式 q 品c 璐，”= ( e 。一，当。a 。，。曰。一。g 。三。，。+ ，b ) c “瑶= ( 渺，二呦。纛啪) ， ， 1 0 f8 十 驴 a ：重 、ii 0 g a g ，ill d ac d 醪一 严 d a ) d age x e 十 f aag 、， d e ：i 严 d e = xe以i = g adn i i i p 令若 ， 得，以。胪佩 胪x 蛾 ，一1 | | 理 b m m d d a a g g 一 一 n e f h 富一 f | | | m 鸠 我们有 m d ： 卿n 一篇叩御舻：篓孑) f 。g a d + e - m l o + ( 富。) 1 g a 。+ f 。m 3 。l ( 1 2 8 ) 通过推导得到的式( 1 2 7 ) 和( 1 2 8 ) ，部是在相同的条件下得到的所以在结论上两式是等价的- 由于 推导的思路和前面两种情况相同，所以，这里不再加以讨论我们直接给出定理1 2 3 定理1 2 3 若b g = o ，b e = 0 ，且p = i n d ( a ) ，q = i n d ( 司，刖 一( ：删。静p 鬈麓脚归邶叩御口) 。国 且有 i n d ( f ) 茎h l d ( a ) + l n d ( e ) + 1 其中x = ( 昱d ) 2 妻( 昱d ) g a a ”+ 主p 董e g ( a d ) ( a d ) 2 一e d g a d 其中x = ( 昱d ) 2 ( 昱d ) g a a ”+ 主p e g ( a d ) ( a d ) 2 一e d g a d 证明m 。的裂杀可以上面的推导耋盏化简得到下面说明i 。d ( m ) 的上确界根据条件，得到 j l p = e 三w 譬矿篡。卜， 一2 ii 牡1j e ”一一1 g 4 f “一一2 g a “口+ e “j 、一。 l = 0 由得到的m 。表达，当u t 一2 i n d ( e ) “= o ，l ，2 ，一，i n d ) 一1 ) m 1 m d ( 1 ，1 ) = 印+ 1 a d = a “ m “+ 1 m d ( 1 ，2 ) = a ”+ 1 ( a d ) 2 b = a ”一1 日 + f u + 1 宅( 届口) + 2 c 且t a - + e u + 1 e 一董e g ( a d ) 4 ( a d ) 2+ f “+ 1 ( 届口) + 2 c 且2 a ”+ e “+ 1 e ”e g ( a d ) 4 ( a d ) 2 i = ol = u lp l = e “一1 一g a ( a a d ) + e i 一。c a 小 t = 0i = 0 = 。e ”一1 一g a 2 + e “一一1 g a ( a a d ) 1 1 胆胪卟叫 p l 、卜小 d d，一矿胪 “ a d 翻一一 啦 of|0=。 m 慨 胁 蜘 “：l d ag d f u e d aa g u p 。：l l i d m +u m = f e u 一1 一g 介 蜀 f u + 1 m 。( 2 ，2 ) ：妻e u 一c a ( a 。) 2 b + z 产+ 1 e 一董g ( a 。) 件3 b e u 十1 ( j 尹) 2 a a d 日 t = 0 = 0 + e “+ l 葚( e 。) + 3 g a a t 日+ 日卧1 e 。一e u + 1 上尹g ( a d ) 2 日 = 壹e ”一g 以( a 。) 2 _ 日一e u 十1 ( 刀。) 2 g a 。口+ 上弘+ l 董( e d ) 仆3 e a - b 日“+ 1 e d g f a d ) 2 b + e “+ 1 e d = 妻e u t g ( a 。) 2 b + 毫e u 一 一2 ( 7 a t a - b e u + 1 ( e 。) 2 g a 。日+ e u t = 1 量0 t 口一l = 酽一g a “舻b + - + 2 g 岔小b + 俨 t = 2i = o “一】 f l = e ”一一1 e a a d _ 8 + 。e 上严一一2 a a ( j a a d ) 日十驴 i = li = 0 一2 = f e 一2 g a i b + e “ 即 f “+ 1 f d = z “ ( t i d ( a ) + i n d ( e ) + 1 ) 由引理1 1 1 1 ，得到i n d ( m ) 曼i n d ( a ) + i n d ( e ) + 1 把分解成为( 三三) + ( ：言) 或者( 三：) + ( ：主) 类似于以上三种情况的 分析和讨论，得到以下的定理： 定理1 2 4 若a b = o ，e b = o ，且p = i n d ( a ) ，口= i n d ( e ) ，则 m - d ：f 胪伸矿墓”：t ? 1 “3 + b 蔓怛。：“u 一雎d 。似d ) 。耳矿p 伽。b ( e 。p ( ，2 ，。) ( e 。) 2 宅( e 。) g a - + f - 譬点? o ( 。) ( 。) 2 一e d g d e d 。 且有 i n d ( m ) 茎i n d ( a ) + i n d ( e ) + 1 5 其他 在上面八种分块中，有四种是属于“2 十2 ”分块的在这里，我们将继续完成最后两种 “2 + 2 ”的分块首先拆分 m 确协= ( ：三) + ( 三吾) 1 2 磺= ( 苫三) 昏( 。z 。g 徊? ) 蠕= ( 吉三) 镰一( 引g pg 。品口曰) = ( q ；z ( 础) t = 当t 为奇数时，印；t ( 蹭) = ( g ( 日e ) ( a 。) 。b e 日e 。r ) ； 当t 为偶数时，q ；- c 硝r ( b g ：a 1 。g b ，? 。e 。，。) 、 0 ( g b l i f e 口1 j ( 嬲瑚徽州蝴= ( 哪b 晶警岔驯f 日岔) i 当i 为偶数时，t 。盆，瑶2 ( k b a 了p a 。g b 孓，；e 。) 、 o f f g b l d l i e ， 定理1 2 5 若a b = o ，e e = o ，且k 为满足m h i n d ( a ) ，i n d ( b ) ，i n d ( g ) ，i n d ( 曰) ) s 女s i n d ( a 1 + i n d f b 、+ i n d f g l + t n d fg 、古b 一小幅幽-酬 一( 器篡誊嚣裙：= 馨： 其次，我们相应拆分m ；p 5 2 + q 5 2 = 嘴= q 器= ( 三言) + ( 言 1 3 类似的，我们有 0 目 8 回o 8 叼。胪 。哪， 俨o ，。，一 q ；2 ( j 氇) ：当t 为奇数时 当i 为偶数时 ( q 晶) 4 砭l ：当i 为奇数时 q ( 端) q 。( 只d ) ( q 晶) p 岛 当 为偶数时，( q ) 焉2 o a i ( 曰g ) d 】! 去呈b ( e b ) d 掣g o 厂 【( b g ) d 】砉 o o 【( g b ) o 】 ， o ( a d ) ( b c ) ! 手b ( e 。) ( g b ) 警g o ( a d ) ( _ 8 c ) o o ( e 。) i g b ) 7 定理1 2 6 若b e = o ，口a = o ，且k 为满足m “ r n d ( a ) ，i n d ( 曰) ，i n d ( g ) ，1 n d ( e ) i n d ( a ) + i n d ( b ) 十i n d ( g ) + 1 n d ( e ) 的一个奇数，则 m 。：f 酽俨叫一+ 卺叩心吲 盯砭胪妒p 慨卺叩m 唧归r1 ， 一at 一1一l一1、 百e 憎即舻】州c + 百( f 。尸心c 驯。( 嬲) t百e 唧妒l + 匹( e 叩+ 1 t b c ) t 即 ( 1 2 1 2 ) 至此，我们已讨论所有的“2 + 2 ”分块下面我们分析最后的四种“3 + l ”分块从而，按分 块来讨论分块矩阵的d r a z i n 逆趋于完整的 对于左上三角分块和右下三角分块，根据引理1 1 2 和引理1 1 3 ，在一定的条件下，我们也 可以得到一些结论。下面的四种情况，就是从这里出发，并利用引理1 1 4 的关于两个矩阵的和 的d r a z i n 逆展开得到最后的结论这里不加以证明，直接列出结论 定理1 2 7 若b e = 0 ，a a d a = ga d b g = b g a d ，且有i n d ( ( a d ) 2 曰g ) = r ，岛满足 m “t r n d ( ( 三言) ) 、r m c e ，墨e s t n d ( ( 三言) ) + z n d c e ， 批，= ( 三小t = ( 则 a f d = q 邑【j + q 。- 只翕+ ，十q 旨1 ( 础) 。一1 】p 器+ q 器i j + q 晶p 6 - + - + ( q 盆) 。一1 甫1 】磁 ，1、 、 d 四 哆、 f o 酽。小。 ，一f = = 其中 r l = 薹：g ( 刁，j ) ( a 。) + 2 ( b a ) ，r 2 = 萎a ( 2 j + 1 ，j ) ( a 。) 材+ 3 ( b a ) x l = ( r l + a d b c r 2 ) ( 口g ) ”，尥= ( 日g ) d + r l ( _ b g ) 。，凰= 一a ( ( b g ) d ) 2 + r 2 ( b e ) 。 础= ( 发篡) 嬲= ( ：二) 塌= ( 搿踊“芒箸徊) 蕊= ( ：三) 卜盼= ( z ，。z 。) 、m 1 3 = e c x t ，m 1 4 = e c x 3 b i + 1 j = e ，3 x l a + f a o 恐， + l ，4 = f ，3 b + e ，4 g x 拶 jc q 器，”瑶= ( 芝，。z ，。) i 1 3 = e d g ，1 4 = o i “+ 1 ，3 = e d m ，3 a + 俨巩，4 gm + l ，4 一曰d 帆，3 b ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 ，1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) ( 1 2 1 8 ) 又g a 。a = g ，a d b g = b g a d ，由引理1 1 2 和引理11 4 ，易得定理的结论 1 交换p iq 的位置、我们又可以得到下面的定理： 定理1 2 8 若e g = o ，g a d a ；aa d b g = b g a d ，且有i n d ( ( a d ) 2 口g ) = r ，七满足 m a ：x t - n d ( ( 三言) ) ，- n a c f ，s 七z n a ( ( 三言) ) + - n a c e ， 椭。= ( ：小z = ( 三 a ，d = q 邑【，+ q 6 2 p 蛊+ + q 3 i 1 ( _ p 器) 一1 】端+ q 晶【j + q 品p 6 z + + ( q 晶) 一1 户占1 】p 晶 其中 r l2 薹以瓤烈俨) 2 j + 2 ( 朋nr 22 霎叫针1