（计算数学专业论文）多元样条与分片代数簇计算的若干研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文主要对多元样条与分片代数簇计算展开若干研究一方面，我们对多元样条函 数在数值分析中的若干应用进行了讨论，主要包括二元样条在有限元，二维奇异积分的 计算，以及近似隐式化中的应用另一方面，我们讨论了分片代数簇计算的某些问题，主 要包括零维分片代数簇的区间迭代算法和实根分离算法主要工作如下： 首先，我们讨论了_ 二元b 一样条有限元方法在有限元方法中，多元样条函数主要用 来构造各种类型的模型函数本章我们主要构造了一类均匀( 非均匀) 2 一型三角剖分下 的二元样条基函数组用咀插值于边界函数，并且结合均匀( 非均匀) 2 型三角剖分下带齐 次边界条件的样条空间鹾0 ( 瓣) ，利用有限元方法来求解椭圆型偏微分方程；而后，我 们研究了二元样条函数在二维奇异积分中的应用近年来国内外许多学者都采用多元 样条函数来求解数值积分特别地，拟插值算子常被应用于各种奇异积分，包括c a u c h y 主值积分和有限部分积分以及振荡积分的计算上它们在奇异积分方程的求解中有着 重要的应用由于2 一型三角剖分下的二元b 样条基函数具有结构简单，对称性好，并且 具有良好逼近性质的拟插值算子，因此它在实际应用中有广泛的应用本章我t f j s t j 用均 匀2 一型三角剖分下样条空间箕2 , 3c 、a ( 2 ) 。) 上的两类具有良好逼近性质的拟插值算子，构造 了具有更高精度的数值积分公式并且将其应用到h a d a m a r d 有限部分和的计算上 然后，我们讨论了三次代数样条在参数曲线近似隐式化中的应用由于参数曲线曲 面的精确隐式化不一定可以实现即使可以实现，许多情形下我们也不必这么做这主 要由于精确隐式化的计算很复杂并且系数很大，以及隐式曲线曲面具有不希望的自交 奇异点和多余分支，这就引起了计算的不稳定性和几何造型中拓扑结构的不一致性，从 而大大限制了隐式化在实际问题中的运用与三次参数曲线类似，三次代数曲线成为人 们广泛研究和应用的代数曲线因此，我们构造了整体g 2 连续的三次代数样条来逼近 参数曲线以实现近似隐式化 最后我们讨论了分片代数簇计算中的某些问题分片代数簇作为多元样条组的公 共零点集合，是经典代数簇的推广，丰富和发展它不仅和许多实际问题如多元样条插 值，代数簇的光滑拼接，c a d 和c a g d 等有关，而且还为研究经典代数几何提供了理 论依据c a g d 中大量的曲线曲面类型是样条曲线曲面因此给出样条曲线曲面的求 交算法是c a g d 中的重要问题之一，而这一问题的本质可以归结为分片代数簇的计算 因此，研究分片代数簇的计算是十分重要的针对分片代数簇的计算，我们做了以下两 方面的工作：一方面，我们讨论了任意剖分下分片代数簇的区间迭代解法，主要将代数 簇的区间迭代算法有效应用到分片代数簇的计算上该算法主要通过引入一偏差解和 多元样条与分片代数簇计算的若干研究 给出区域内极值的有效估计来实现另一方面，我们给出了零维分片代数簇实根简单而 有效的分离算法该算法主要基于凸多面体内代数簇的计算和一元区间多项式实根的 计算来实现 关键词：多元样条；有限元方法；奇异积分；近似隐式化；分片代数簇 l l 大连理工大学博士学位论文 s o m er e s e a r c h e so nm u l t i v a r i a t es p l i n e sa n dc o m p u t a t i o no f p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d ys o m ea p p h c a t i o n so fm u l t i v a r i a t es p l i n e sa n dc o r n - p u t a t i o no fp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s o no n eh a n d ，w es t u d yt h ea p p l i c a t i o n so f m u l t i v a r i a t es p l i n e s ，p r i m a r i l yi n c l u d i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，s i n g u l a ri n t e g r a la n d a p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o nw i t hb i v a r i a t es p l i n e s ；o nt h eo t h e rh a n d ，w es t u d yt h e c o m p u t a t i o no fp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s ，m a i n l yi n c l u d i n gt h ei n t e r v a li t e r a t i v ea l g o - r i t l m lf o rc o m p u t i n gt h ez e r o - d i m e n s i o n a lp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t ya n dt h er e a lr o o t i s o l a t i o no fz e r o - d i m e n s i o n a lp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t y o u rp r i m a r yw o r ki so r g a n i z e d a sf o l l o w s ： f i r s t l y ，w ed i s c u s st h eb i v a r i a t eb s p l i n ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s i nf i n i t ee l e m e n t m e t h o d s ，m u l t i v a r i a t es p l i n e sa r em a i n l yu s e dt oc o n s t r u c ta l lk i n d so fm o d e lf u n c - t i o n s ak i n do fq u a d r a t i cb - s p h n eb a s e sw h i c hi n t e r p o l a t et h eb o u n d a r yf u n c t i o no n u m f o r m ( n o n - u n i f o r m ) t y p e - 2t r i a n g u l a t i o n si sc o n s t r u c t e d t h e r e f o r e ，t h ep o i s s o n s e q u a t i o no na n yr e c t a n g u l a ro rp a r a l l e l o g r a mr e g i o ni ss o l v e dw i t hc o m b i n a t i o no fs p l i n e s p a c e 岛加( 瓣) s a t i s 母i n gh o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h ec o n s t r u c t e db - s p h n eb a s e sb yu s i n gb i v a r i a t eb - s p l i n ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s m o r e o v e r w ed i s c u s s t h ea p p l i c a t i o n so fb i v a r i a t es p l i n e so nt w o - d i m e n s i o n a ls i n g u l a ri n t e g r a l i nr e c e n t y e a r s ，m a n yr e s e a r c h e r ss t u d yt h en u m e r i c a li n t e g r a t i o nb yu s i n gm u l t i v a r i a t es p l i n e s i np a r t i c u l a r ，b i v a r i a t es p l i n eq u a s i - i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r sa r eu s e dt os o l v ea l lt y p e so f s i n g u l a ri n t e g r a l ，m a i n l yi n c l u d i n gc a u c h ys i n g u l a ri n t e g r a la n ds i n g u l a ri n t e g r a ld e f i n e d i nt h eh a d a m a r df i n i t ep a r ts e n s ee t c i th a sb e e nw i d e l yu s e di ns o l v i n g s i n g u l a ri n t e g r a l e q u a t i o n s s i n c et h eb i v a r i a t eb - s p l i n e so nt y p e 一2t r i a n g u l a t i o n sh a v et h ea d v a n t a g e s o fs i m p l ec o n f i g u r a t i o n ，g o o ds y m m e t r ya n dq u a s i - i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r s ，i th a sw i d e u s ei np r a c t i c a lf i e l d s u s i n gt w ok i n d so fq u a s i - i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r sp o s s e s s i n gg o o d a p p r o x i m a t i o nb e h a v i o ro ns p h n es p a c e 瑶3 ( 嚣) ，w ec o n s t r u c tt h ei n t e g r a t i o nf o r - m u l a sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n so nt h ee v a l u a t i o no f2 ds i n g u l a ri n t e g r a ld e f i n e di nt h e h a d a m a r df i n i t ep a r ts e n s e 1 1 1 多元样条与分片代数簇计算的若干研究 s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ea p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o no fp a r a m e t r i cc u r v e sb yu s i n g c u b i ca l g e b r a i cs p l i n e s f o ra g e n e r a lp a r a m e t r i cc u r v e s u r f a c e ，w eu s u a l l yc a n n o tc o m - p u t ei t se x a c ti m p l i c i tf o r m ，e v e ni ft h ee x a c tf o r mc a nb ec o m p u t e d ，i ti sn o tn e c e s s a r y t od oi nm a n yc a s e s t h i si sp a r t l yd u et ot h ef a c tt h a tt h ee x a c ti m p l i c i t i z a t i o na l w a y s i n v o l v e sr e l a t i v e l yc o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o na n dt h er e s u l t e di m p l i c i tf o r mm i g h th a v e l a r g en u m b e ro fc o e f f i c i e n t s a n o t h e rd i f f i c u l t yi st h a ti m p l i c i tc u r v e s s u r f a c e sm a yh a v e u n w a n t e dc o m p o n e n t sa n ds e l f - i n t e r s e c t i o n sw h i c hl e a dt oc o m p u t a t i o n a li n s t a b i l i t ya n d t o p o l o g i c a li n c o n s i s t e n c yi ng e o m e t r i cm o d e l i n g a l lt h e s eu n s a t i s f i e dp r o p e r t i e sl i m i t t h ea p p l i c a t i o n so ft h ee x a c ti m p l i c i t i z a t i o ni np r a c t i c a lf i e l d s s i m i l a rt ot h ec u b i cp a r a - m e t r i cc u r v e s ，c u b i ca l g e b r a i cc u r v e sb e c o m et h em o s tw i d e l yu s e da l g e b r a i cc u r v e s i n o r d e rt os o l v ei t ，w en s eap i e c e w i s ec u b i ca l g e b r a i cc u r v et og i v eag l o b a lg 2c o n t i n u i t y a p p r o x i m a t i o nt ot h eo r i g i n a lp a r a m e t r i cc u r v e l a s t l y , w ed i s c u s ss e v e r a lc o m p u t a t i o np r o b l e m so np i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s a st h ez e r o so fm u l t i v a r i a t es p l i n e s ，t h ep i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t yi sag e n e r a l i z a t i o n o ft h ec l a s s i c a la l g e b r a i cv a r i e t y t h ei n t e r s e c t i o no fs p l i n ec u r v e s s u r f a c e sb e c o m e sa n i m p o r t a n tp r o b l e mi nc a g d h o w e v e r t h i sp r o b l e mb o i l sd o w nt ot h ec o m p u t a t i o no f p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s h e n c e ，i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h ep i e c e w i s ea l g e b r a i c v a r i e t y a st oi t ，w em a i n l yd ot h ef o l l o w i n gt w oi t e m so fw o r k o no n eh a n d ，w e d i s c u s st h ei n t e r v a li t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h ep i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t y t h ea p p r o a c hp r e s e n t e dh e r ei sp r i m a r i l yb a s e do nt h ei n t r o d u c t i o nt oa c o n c e p to fg - d e v i a t i o ns o l u t i o n sa n dt h ee f f e c t i v ee v a l u a t i o nt h eb o u n do nt h ev a l u eo ft h ed e r i v a t i v e o ft h ef u n c t i o no nag i v e nr e g i o n o nt h eo t h e rh a n d ，w eg i v et h ee f f e c t i v ea n df a s t a l g o r i t h mo fr e a lr o o ti s o l a t i o nf o rz e r o - d i m e n s i o n a lp i e e e w l s ea l g e b r a i cv a r i e t y i ti s p r i m a r i l yb a s e do nt h ec o m p u t a t i o no fa l g e b r a i cv a r i e t yo nag i v e nc o n v e xp o l y h e d r o n a n dt h er e 8 1r o o t so ft h eu n i v a r i a t ei n t e r v a lp o l y n o m i a l k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t es p l i n e s ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；s i n g u l a ri n t e g r a l ； a p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o n ；p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s l v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：数必日期：2 1 盘：篁：兰! 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士，博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：堡堕磊 聊繇丝唆 q 饩o7 导师签名： 么：么垒 盟年月三日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 在第一节中，我们先对多元样条函数的研究概况作简单的介绍，而后在第二节中对 本文的工作给出扼要的概括。 1 1 多元样条函数简介 样条函数( s p i n eh m c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数 1 9 4 6 年，i j s c h o e n b e r d l j 以研究无穷区间上的等距节点数据的平滑问题为背景引入了 样条函数，深刻指出了研究一元样条的四种观点，它们分别是截断多项式差商的观点， t a y l o r 展开的观点，f o u r i e r 变换的观点和概率的观点按前两种观点、s c h o e n b e r g 较为 系统的建立了一元样条函数的理论基础但是。s c h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重 视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展，样条函数也得到了迅速的发展和 广泛的应用鉴于客观事物的多样性和复杂性，开展有关多元样条函数的研究，无论在 理论上还是在应用上都有着十分重要的意义+ 一方面，它在函数逼近、计算几何、计算 机辅助几何设计、有限元及小波等领域中均有较为重要的应用另一方面，随着多元样 条理论的发展，人们发现它和基础数学的某些学科，如抽象代数，代数儿何和组合数学 等都有千丝万缕的关系【2 叫下面我们重点对光滑余因子协调法作介绍 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f 和c a r ld eb o o r 等研究并建立了一系列 关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论c a r t e s i a n 乘积型多元样条虽然有一定的应1 h j 价 值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简单推广 由于样条函数严重依赖剖分的几何性质，王仁宏教授在1 9 7 5 年【2 q 从研究相邻 胞腔上两个多项式入手，引入了光滑余因子及整体协调条件，亦称光滑余因子协调法 ( s m o o t h i n gc o f a c t o r - c o n f o r m a l i t ym e t h o d ) 作者刻划了多元样条函数光滑连接的内在 本质将多元样条问题归结为求解整体协调方程的问题，建立了多元样条函数的基本理 论框架任何多元样条问题都等价于代数几何问题 设d 为二维e u c l i d 空间r 2 中的有界区域以巩记二元k 次实系数多项式集合 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，将剖分记为，于是d 被分为有限个 胞腔d ，d 2 ，d 多元样条函数空间定义为 甜( ) ：= s ( d ) ls l q 耽，i = l ，) 8 础( ) 为一个在d 上具有肛阶连续偏导数的分片k 次多项式函数 基于代数几何中b e z o u t 定理，王仁宏教授指出了多元样条函数光滑连接的条件， 表现为如下定理 1 多元样条与分片代数簇计算的若干研究 定理1 1 1 2 ，5 】设z = 8 ( x ，y ) 在两相邻胞腔d i 和d j 上的表达式分别为 2 = 肌( 丑y ) 和o = 功( o ，可) ， 其中p l ( x ，掣) ，功( z ，) 巩为使s ( z ，) c ( d i u d j ) ，必须且只须存在多项式 m j ( z ，y ) p 一( “+ 1 ) d ，使得 肌( z ，y ) 一岛( 。，口) = 1 i j ( x ，) ”+ 1 - q i ( x ，) ， 其中瓦与瓦的公共网线为 ：l t j ( x ，y ) = o ， 且不可约代数多项式b ( z ，y ) 啦 定理所定义的多项式因子q i i ( x ，y ) 称为内网线k ：b ( z ，y ) = 0 上的( 从d i 到b 的) 光滑余因子( s m o o t h i n gc o f a c t o r ) 设a 为一内网点，定义a 点处的“协调条件”( c o n f o r m a l i t yc o n d i t i o n ) ：为 嘣舢) p q i j ( x ，秽) = 0 ， 其中a 表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，而( z ，) 为r 玎上的光滑余因 子 设的所有内网点为a 1 ，a m ，则“整体协调条件”为 ( 础) p q l j ( x ，) 兰0 ，口= 1 ，m a ” 壬仁宏教授给出了下述定理，建立了多元样条的基本理论框架 定理1 , 2 1 2 ，5 1 对给定剖分a ，多元样条函数s ( x ，y ) 鹾( ) 存在必须且只须s ( x ，y ) 在每条内网线上均有一光滑余因子存在并且满足整体协调条件 由此可以建立多元样条函数的一般表达形式对给定剖分，任意选定一个胞腔， 例如d 1 作为“源胞腔”，从d 1 出发，画一流向图0 ，使之满足： 1 口流遍所有的胞腔d 1 ，d n 各一次； 2 口穿过每条内网线的次数不多于一次； 3 口不允许穿过网点 显然，流线d 的选择不是唯一的流线口所经过的内网线称为相应于口的本性内 网线，其它的内网线则为相应于0 的可去内网线 设r 玎：“i ( 。，y ) ：0 为d 的任意一条本性内网线将从源胞腔出发，沿e 前进时， 只有越过f ；，后才能进入的所有闭胞腔的并集记作u ( r 去) ，将从源胞腔出发沿c 前进 2 大连理工大学博士学位论文 时，在越过f o 之前所经过的各闭胞腔的并集记为u ( 巧) 称u ( r s ) u ( r i ) 为网线 的“前方”，记作 ( r d ) 定义1 1 e ，6 l 设：幻( z ，y ) = 0 为相应于流向d 的本性内网线多元广义截断多 项式定义为 洲? = 胪朋p 嚣搿黑蹦 由此，有如下的二元样条表现定理： 定理1 3 2 ，6 】任一s ( x ，y ) 鹾( ) 均可唯一地表示为 s ( 。，可) = p ( 刚) + 附z ，可) 胪( 舢) ，( 剐) d ， 声 其中p ( x ，y ) 巩为8 ( x ，掣) 在源胞腔上的表达式，d 表示对所有本性内网线求和，而 且沿d 越过f d 的光滑余因子为妁( z ，可) 耽一p _ 1 于是，可以得到二元样条函数的基本结构定理 定理1 4 1 2 t6 】对于给定的剖分a 与确定的流向图百，s ( z ，! ，) 碟( ) 必须且只须 s ( 删) = p ( 删) + 瞰删) 眇( 则) ，( 删) d ， 0 瞰刚) p - ( 训) = 0 ， a t | 其中 表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，a 。取遍所有内网点 在专著中，王仁宏教授等详细介绍了光滑余因子方法在多元样条中的理论及其应 用，重点详细地讨论了均匀( 非均匀) 1 一型和2 型三角剖分上的样条函数空间，包括维数， 具有紧支集的样条基函数组，拟插值算子及其相应的逼近阶等等f - n 1 显然，光滑余因子方法可以处理任意剖分下的多元样条问题，是最普遍通用的方法 当剖分为特殊剖分时，也可以利用b 网方法和b 样条方法来解决多元样条问题b 网 方法用于任意单纯型剖分上样条的研究，b 样条方法主要用来研究多面体样条每种方 法都有丰富的结果下面我们简要介绍一下b 网方法和b 样条方法 b 网方法，就是利用两个多项式在两个相邻单纯形上b e r n s t e i n 表达形式的系数之 间的关系，给出光滑拼接的条件f a r i n 在在1 9 8 0 年的博士论文中考虑了多元样条的 b 6 z i e r 坐标和光滑性之间的关系，从而使b 网方法成为研究多元样条的重要方法之一 d eb o o r h s l l i g 等人对b 网方法的发展起过重要的作用此外，中国学者苏步青、刘鼎 元、郭竹瑞、贾荣庆、常庚哲、冯玉瑜等人也作了许多有意义的工作 3 多元样条与分片代数簇计算的若干研究 b 网方法要求剖分为单纯形剖分，一般不能考虑任意剖分下的样条空间但由 于剖分的针对性，b 网方法对处理单纯形剖分上的样条函数有其特殊的优越性迄今为 止，单纯形剖分上样条函数的一些问题的最佳结果，如任意三角割分上二元样条函数空 间的维数问题，由b 网方法就容易得到下面简单介绍二元b 网方法的基本思想，详细 内容可参考 1 2 17 】 设v 1 ， 2 ，地是三角形6 按逆时针方向排列的三个顶点，则任意z r 2 可唯表示 为 o = t l v l + 死口2 + 码地， 其中，n + 记+ 乃= 1 ，并不难得到 。：! 壁! 丝二兰! 塑二塑。：垡壁( 丝二兰! 塑二型。：垡壁f ! ! 二兰! 丝二塑 n 2 夏面高_ 二_ 五i 高乃5 夏函声_ 二瓦i 两n5 五磊i _ 二i i 瓦习 称t 1 ，t 2 ，t a 为z 关于三角形6 的面积坐标 令y = z 2 一z 1 ，岛的面积坐标为r ( ) = ( 矗”，“，矗) ，i = 1 ，2 ，并记口= ( q 1 ，0 2 ，3 ) = r ( 2 ) 一r ( 1 1 函数，( z ) 的自变量z 用面积坐标7 - 替换后得到的函数仍 用f ( r ) 表示，替换前后函数的偏导数与方向导数有如下关系： 叭) = d a f ( r m 掣恂掣+ 衄等， 珥m ) = b ；( c o d l ，( 丁) 1 l = 7 其中，b 2 ( r ) = 碧r 1 = 而j 赫寸1 霄2 雷3 ，a z + a 2 + a 3 = 礼，九z + 称b 2 ( 7 - ) 为n 次 b e r n s t e i n 基函数其具有如下性质： 1 b ! ( 7 - ) 0 ，7 - 6 = i v l ，现，v 3 2 怍。取( 7 _ ) 三1 3 b ：( 丁) ，= n ) 是多项式空间n 的一组基底 4 j e 发( 7 _ ) 在点7 = ：处取唯一极大值 由性质3 可知，任一亿次多项式p 可唯一表示成 p ( - r ) = ：h 毋( 丁) ， l = “ b ，= 几) 称为p ( r ) 关于j 的b 6 z i e r 坐标，插值于 ( ：，6 ) ：= n ) 的分片线性函数 称为p ( r ) 关于j 的b 6 z i e r 网，简称b 网下述定理显示了b e r n s t e i n 形式的升阶公式 定理1 5 令e 1 = ( 1 ，0 ，o ) ，e 2 = ( 0 ，1 ，o ) ，e 3 = ( 0 ，0 ，1 ) 炉击参- 4 大连理工大学博士学位论文 则 e 6 - b 2 ( r ) = 1 1 = “ 6 妒b r l ( r ) l = n + 1 定理1 6 ( d ec a s t e u a u 算法) 假设n 次多项式p ( 7 - ) = e ：。h 毋( 下) 若令 6 7 ( r ) = 6 x ，6 0 ( 7 _ ) = g ：，弓6 黜( 丁) ，= n r 则 p ( 7 _ ) = e6 # b ：一( 7 - ) ，0 r n ， l i = 一7 特别地，取r = n ，则得p ( r ) = 毋( r ) f 述定理给出了，n 次多项式p ( 1 - ) 的方向导数 定理1 一 珑即) = 志炉( r ) 剐q ) 1 a l = r 设t 为以 。，忱，v 3 为项点的三角形，于为以 1 ，v 2 ， 3 为顶点的三角形，于与t 有 公共边v 2 v 3 两个相邻三角形上的n 次多项式之间的c 光滑连接条件为 定理1 8 设p ( 丁) - b 声( 7 _ ) 分别是定义在相邻三角形t = i v l ，也，u 3 】和于= 1 ，口2 ，忱】上的n 次多项式， h ，= n 和瓜，= n ) 分别是p ( 7 - ) 和卢( 7 - ) 关于t 和 于的b 6 z i e r 坐标，则p ( r ) 与声( r ) 之间c r 光滑拼接的充要务件是 瓦。= 6 赠( ) ，s = 0 ，1 ，r 其中，宇是 l 关于t 的面积坐标，”= ( 8 ，a 2 ，a 3 ) ，a o = ( 0 ，a 2 ，a 3 ) ，a 2 + a 3 = n s b 样条方法起源于c u r r y 和s c h o e n b e r g 关于一元样条的工作，是一种定义b 样条 的几何直观方法这种方法的本质是研究高维空间中的多面体在较低维空间投影的 测度函数一元b 样条是由c u r r y 和s c h o e n b e r g 在1 9 6 6 年引入的1 9 7 6 年d eb o o r 将 其推到多元样条但这种几何定义的推广不便于理论研究，直到便于理论研究的泛函 形式推广的出现，多元b 样条的研究才开始活跃起来多元b 样条的泛函形式的推广 有多种形式，如单纯形样条，b o x 样条，锥样条等分别由m i c c h e l i ，d eb o o r - d ev o t e ， d a h m e n 等人给出与上面方法相比，b 样条方法对剖分的要求更为严格，通常为均匀 的剖分下面我们作一些简单介绍 令v = f 地，1 i n cr 8 其中饥可重复，使得s p a nv = 彤多元b 样条 尬。( zv ) 定义为 上，m 。( zl ，( 茁) 出= z u ( d ，( 喜屯地) 比v ，岛( 研) 5 多元样条与分片代数簇计算的若干研究 其中d t = d t l d k ，q 为毋的凸区域 若取w ( t ) = 刑，q = 铲，则由此定义的b 样条就是m i c c h e u i 引入的单纯形样条， 记为m ( x iy ) 若取u ( t ) = 1 ，q = - 1 2 ，1 2 “，且0 v 则由此定义的b 样条就是d e b o o r - d e v o r e 引入的b o x 样条，记为b ( xl 矿) 若取u ( t ) = 1 ，q = 霹且0 9y ，则由此定义的b 样条就是d a h m e n 引入的锥样 条，又称为多元截断幂，记为t ( xy ) 下面以b o x 样条为例，介绍多元b 样条的基本性质 定理1 9b o x 样条b iy ) 具有如下的性质： 1 s u p p b ( xv ) = 墨1 t 饥l 一 t i j ) ； 2 b ( zy ) 的函数值非负，且在支集内部严格大于0 3 b ( xy ) 是次数不大于n 一8 的分片多项式 4 令肛；m i n n ( v ) l8 p a n ( x v ) p ) 一2 ，则b 和iy ) 是p 阶光滑的 5 b 扛lv ) b 0w ) = b ( zy u l ) 1 2 本文主要工作 本文主要对多元样条与分片代数簇计算展开若干研究一方面，我们对多元样条函 数在数值分析中的若干应用进行了讨论，主要包括二元样条在有限元，二维奇异积分的 计算，以及近似隐式化中的应用另一方面，我们讨论了分片代数簇计算的某些问题，主 要包括零维分片代数簇的区间迭代算法和实根分离算法主要工作如下： 在第二章中，我们首先讨论了二元b 一样条有限元方法在有限元方法中，多元样条 函数主要用来构造各种类型的模型函数本章我们主要构造了一类均匀( 非均匀) 2 一型 三角剖分下的二元样条基函数组用以插值于边界函数，并且结合均匀f 非均匀) 2 一型三角 剖分下带齐次边界条件的样条空间霹o ( 黝) ，利用有限元方法来求解椭圆型偏微分方 程：而后，我们研究了二元样条函数在二维奇异积分中的应用近年来国内外许多学者 都采用多元样条函数来求解数值积分特别地，拟插值算子常被应用于各种奇异积分， 包括c a u c h y 主值积分和有限部分积分以及振荡积分的计算上它们在奇异积分方程的 求解中有着重要的应用由于2 型三角剖分下的二元b 样条基函数具有结构简单，对 称性好，并且具有良好逼近性质的拟插值算子，因此它在实际应用中有广泛的应用本 章我们利用均匀2 一型三角剖分下样条空间岛p ( 瓣) 上的两类具有良好逼近性质的拟 6 大连理工大学博士学位论文 插值算子，构造了具有更高精度的数值积分公式并且将其应用到h a d a m a x d 有限部分 和的计算上 在第三章中，我们讨论了三次代数样条在参数曲线近似隐式化中的应用由于参数 曲线曲面的精确隐式化不一定可以实现即使可以实现，许多情形下我们也不必这么 做这主要由于精确隐式化的计算很复杂并且系数很大，以及隐式曲线曲面具有不希望 的自交奇异点和多余分支这就引起了计算的不稳定性和几何造型中拓扑结构的不一 致性，从而大大限制了隐式化在实际问题中的运用与三次参数曲线类似，三次代数曲 线成为人们广泛研究和应用的代数曲线因此，我们构造了整体g 2 一连续的三次代数样 条来逼近参数曲线以实现近似隐式化 在第四章中，我们讨论了分片代数簇计算中的某些问题分片代数簇作为多元样条 组的公共零点集合、是经典代数簇的推广，丰富和发展它不仅和许多实际问题如多元 样条插值，代数簇的光滑拼接，c a d 和c a g d 等有关，而且还为研究经典代数几何提 供了理论依据c a g d 中大量的曲线曲面类型是样条曲线曲面因此给出样条曲线曲 面的求交算法是c a g d 中的重要问题之一，而这一问题的本质可以归结为分片代数簇 的计算因此，研究分片代数簇的计算是十分重要的针对分片代数簇的计算，我们做了 以下两方面的工作：一方面，我们讨论了任意剖分下分片代数簇的区间迭代解法，主要 将代数簇的区间迭代算法有效应用到分片代数簇的计算上该算法主要通过引入一偏 差解和给出区域内极值的有效估计来实现另一方面，我们给出了零维分片代数簇实根 简单而有效的分离算法该算法主要基于凸多面体内代数簇的计算和一元区间多项式 实根的计算来实现 7 多元样条与分片代数簇计算的若干研究 2 多元样条在数值分析中的应用 2 1多元样条在有限元方法中的应用 本世纪6 0 年代，随着计算机科学的发展，诞生了有限元法，使工程、物理等领域中 的数仓全析与计算发生了突破性进展有限元法是计算力学在本世纪最重大和最辉煌 发展的一个领域，7 0 年代，样条函数理论在国际上迅速发展起来，它在计算物理、最优 控制、计算机渐力设计以及计算力学等领域中，得到了推广和应用 在国外，早期的工作是基于变分原理与截断多项式函数在矩形板、圆板、h a r t m a n n 流动等问题上的应用h a n t e s 1 8 】最先提出了应用样条函数求解矩形板的弯曲问题，他 采用截断式三次b 样条函数来构造位移场函数c h e r i 等【1 9 | 提出了求解h a r t m a n n 流动 问题，沿一个方向采用样条函数，另一个方向采用多项式和三角级数来构造流场函数 在国内，1 9 6 5 年冯康在他的论文基于变分原理的差分格式中奠定了有限元的数学 理论基础1 9 7 9 年石钟慈建立了基于势能原理与三次b 样条函数的样条有限元 法计算格式，该文系统地论述了三、五次b 样条函数的特性及边界条件的处理等问题， 求解了矩形板、斜板、弹性地基板的弯曲以及梁板组合结构的计算问题，给出了具体 算式、算例与解题方案等在这篇文章的影响下，国内学者进行样条有限元及其应用的 研究，取得不少成果【2 。_ 25 i 其中，刘焕文等【2 4 1 讨论了矩形( 平行四边形) 薄板弯曲问题的 二元b 样条有限元法，也就是利用专著【2 中给出的二元二次样条空间岛( 瓣) 来计算 第一边值问题的双调和方程 有限元法，实质上就是r i t z - g a l e r k i n 方法它和传统的r i t z g a l e r k i n 方法的主要 区别在于，它应用样条函数方法提供了一种选取“局部支集基函数”或“分片多项式 空间”的技巧，从而在很大程度上克服了选取基函数的固有困难有限元方法首先成功 地应用到结构力学和固体力学，咀后又用于流体力学，物理学和其他工程科学现在，有 限元方法和差分方法一样，已经成为求解偏微分方程，特别是椭圆型偏微分方程的一种 有效数值方法【2 6 127 】文【2 5 】介绍了基于变分原理和样条函数理论的样条有限元法在近 2 0 多年来的进展以及进一步发展的趋势 样条函数在有限元理论中有广泛的应用在有限元中，多元样条函数主要用来构造 各种类型的模型函数为了构造具有一定光滑度的分片多项式，一般要求任意剖分下的 分片多项式的次数较高例如，a r g y r i s 三角元( 1 阶光滑要求5 次多项式) 所以，我们需 要进行细分改变原有拓扑结构从而去降低分片多项式的次数，例如：h c t 元，f v s 元和 p o w e l