（计算数学专业论文）非线性方程的迭代与adomian级数解法.pdf

摘要 非线性问题在现代科学计算中占有相当重要的地位，由实际问题经过数学 模型化后导出的方程( 组) 往往是非线性的，因此如何更好的合理解决这些非线 性方程( 组) 在近几十年来成为一个非常热门的研究课题。文章研究的主要内容 是解非线性方程( 组) 的迭代法和a d o m i a n 级数法，全文共分为四章。 在第一章中，主要介绍了非线性问题与迭代法研究的背景和历史。对全文 经常用到的几个概念作了交代。由于构造迭代法的一个重要于段是通过儿何途 径或者结合使用多步法的技巧，所以本章着重对由此方法构造的一些比较重要 的方法作了介绍。 在第二章中，介绍了基于单点信息的迭代族构造方法，也就是构造一个迭 代法只用到在一点处的函数或者导数信息。先通过对一般的二次曲线近似代替 函数厂与z 轴交点作为下一步的迭代值构造一含参数的无理迭代族，再通过近似 处理将无理迭代族转化为相应的有理迭代族。给出了相应的收敛性分析以证明 新构造的无理与有理迭代族均为三阶收敛的。由于在用二次函数逼近非线性函 数厂构造迭代法时要进行开方运算，这有时是不方便的，为了避免对根式的计 算，在构造迭代法时先对二次方程进行线性化处理，由此构造出一种新型的有 理迭代族。通过收敛性分析可知，此迭代族也是三阶收敛的。以上构造的有理 迭代格式中均含有对厂，的计算，为了避免对函数二阶导数的运算，文中分别用 了两种方法对此进行了近似处理。最后在数值例子中分别对迭代族中参数取固 定常数与每步自动调整与以往的经典方法进行了比较。当采用参数每步自动调 整的方法时，在不增加额外函数与导数值计算的前提下，有较好的收敛效果。 在第三章中，介绍了基于两点信息的迭代族构造方法，也就是构造一个迭 代法要用到在两个点处的函数或者导数信息。其中用以逼近函数厂的函数分别 取了抛物线和有理函数，即用抛物线或有理函数与z 轴的交点作为下一步的迭 代值。当用抛物线法构造时，导出了相应的无理与有理迭代族。当用有理函数 法构造时，导出了相应的有理迭代族。通过收敛性分析证明了上而两种方法导 出的迭代族均可达到五阶收敛。由于在以卜两种有理迭代族中均要对，7 ( ) 进 行计算，其中磊是相应迭代的牛顿步，为了避免对f 7 ( 锄) 的计算以减少每步迭代 所需的开支，文中利用了在两点处的差商代替导数的技巧，在差商代替时如果 摘要 选择适当的参数，则可使相应免f ( ) 计算的迭代族为四阶收敛。在最后给出了 相应的数值例子，与以往的经典方法进行了比较，以说明新构造的迭代族的有 效性。 在第四章中，主要讨论了a d o m i a n 级数法在构造迭代法时的一些结 论。a d o m i a n 级数法是美国数学家g a d o m i a n 在8 0 年代初提出的用以解决 非线性问题的一种级数分解方法，在近二十多年中被广泛应用在物理等众多科 学领域，形成了一股热潮。2 0 0 3 年，a b b a s b a n d y 币0 用a d o m i a n 级数法构造了一 种解决非线性方程问题的迭代族，并在文中声称可使迭代族达到超三阶收敛甚 至更高。在本章中给出了一个收敛性定理，指出- j a b b a s b a n d y 构造的迭代族至 多是三阶收敛的。并且利用a b b a s b a n d y 的构造思想，构造了一四阶收敛的迭代 族，给出了相应的数值例子以说明新方法的有效性。 关键词：非线性方程( 组) ，迭代法( 族) ，收敛阶，计算效能，线性化，自动调整， 渐近误差系数，牛顿法，a d o m i a n 级数分解。 a b s t r a c t n o n l i n e a rp r o b l e mp l a yag r e a tr o l ei nm o d e r ns c i e n t i f i cc o m p u t i n gd i s c i - p l i n e s m a n ye q u a t i o n sd e r i v e df r o mp r a c t i c a lp r o b l e ma r ea l w a y st h en o n l i n e a r f o r m s s oh o wt os o l v et h e s en o n l i n e a rp r o b l e ma p p r o p r i a t e l yb e c o m e sm o r ea n d m o r eh o ti nr e s e a r c hd i s c i p l i n e s t h em a i nc o n t e n to ft h ea r t i c l ei sc o n s t r u c t i n g i t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n s t h ew h o l ea r t i c l ec o n t a i n so f f o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fn o n l i n e a rp r o b l e ma n d i t e r a t i v em e t h o d sa r ep r e s e n t e d t h ec o n c e p tw h i c ho c c u ri nm a n yp l a c e so f t h ea r t i c l ei si n t r o d u c e df i r s t l y b e c a u s et h em a i nm e t h o dc o n s t r u c t i n gi t e r a - t i v em e t h o d sa r eg e o m e t r i cw a y sa n dm u l t i s t e pw a y s ，s o m ei m p o r t a n tm e t h o d s c o n s t r u c t e dt h r o u g ht h e s ew a y sa r eg i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，p r e s e n tt h ei t e r a t i v em e t h o d sw h i c hc o n s t r u c t e du s i n g t h ef u n c t i o na n dd e r i v a t i v ea b o u to n l yo n ep o i n t f i r s t l y , u s i n gq u a d r a t i cc u r v e a p p r o x i m a t es u b s t i t u t ef u n c t i o nf ，a n dt a k et h en e x ti t e r a t et h r o u g ht h eg r a p ho f q u a d r a t i ce q u a t i o ni n t e r s e c t i n gw i t ht h ex - a x i s s oai r r a t i o n a li t e r a t i v ef a m i l y i n c l u d e dap a r a m e t e rki sg i v e n a f t e ru s i n gaw e l lk n o w na p p r o x i m a t i o n ，a r a t i o n a li t e r a t i v ef a m i l yi sp r o p o s e dc o r r e s p o n d i n 9 1 y t h ec o n v e r g e n c et h e o r e m p r o v et h et w oi t e r a t i v ef a m i l i e sa r ea l lt h i r d o r d e r b e c a u s eq u a d r a t i cc u r v e s u b s t i t u t i n gft oc o n s t r u c ti t e r a t i v em e t h o dw i l lc o m p u t et h es q u a r er o o ta t e v e r yi t e r a t es t e p s o m e t i m e si ti sn o tc o n v e n i e n tf o rp r a c t i c a lu s e ，e s p e c i a l l y s u c ho p e r a t i o ni sn om e a n i n gi ns o m es e n s ea n dt h ei t e r a t i v ef o r mc a n n o tb e e x t e n d e dt ot h em u l t i d i m e n s i o n a ls p a c e s oaw e l lk n o w na p p r o x i m a t i o ni su s e d t oa v o i dt h es q u a r er o o tc o m p u t i n g t h ec o n v e r g e n c et h e o r e mp r o v et h ei t e r a t i v e f a m i l yi sa l s ot h i r d o r d e r b e c a u s et h er a t i o n a li t e r a t i v ef o r m u l a ea r ea l lh a v e f 7 门sc o m p u t i n g ，i no r d e rt oa v o i dt h es e c o n d d e r i v a t i v ec o m p u t i n g t w ot e c h n i q u e a r ep r e s e n t e d n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e na tt h ee n do ft h ec h a p t e r w h e n t h ep a r a m e t e rk i sc o n s t a n to ra u t o m a t i cv a r i a b l eo fi t e r a t i v ef a m i l i e sc o m p a r e w i t hc o m p a r ew i t hs o m ew e l l k n o w nm e t h o d s i ti si n t e r e s t i n gt h a tt h ei t e r a t i v e f a m i l i e sw i t hp a r a m e t e ra u t o m a t i c t h i r d o r d e rm e t h o d s a n di td o n t d e r i v a t i v e v a r i a b l eh a v eb e t t e r c o n s u m ea d d i t i o n a l p e r f o r m a n c et h a nc l a s s i c c o m p u t i n go ff u n c t i o no r i nt h et h i r ds e c t i o n ，p r e s e n tt h ei t e r a t i v em e t h o d sw h i c hc o n s t r u c t e du s i n g t h ef u n c t i o na n dd e r i v a t i v ea b o u tt w op o i n t s t h ep a r a b o l aa n dr a t i o n a lf u n c t i o n a r et a k e nt os u b s t i t u t en o n l i n e a rf u n c t i o n i no t h e rw o r d 、u s i n gp a r a b o l aa n d r a t i o n a lf u n c t i o na p p r o x i m a t es u b s t i t u t ef u n c t i o n | ia n dt a k et h en e x ti t e r a t e t h r o u g ht h eg r a p ho fq u a d r a t i ce q u a t i o ni n t e r s e c t i n gw i t ht h ex - a x i s w h e nu s i n g t h ep a r a b o l am e t h o d ，i r r a t i o n a la n dr a t i o n a li t e r a t i v ef a m i l i e sa r ep r e s e n t e d w h e nu s i n gr a t i o n a lf u n c t i o nm e t h o d ，ar a t i o n a li t e r a t i v ef a m i l yi sp r o p o s e d t h r o u g ht h ec o n v e r g e n c et h e o r e mp r o v et h et w oi t e r a t i v ef a m i l i e sa r ea l lc a n h a v e f i f t h o r d e r b e c a u s et h et w or a t i o n a lf o r m u l a ea l lh a v et h ec o m p u t i n go ff 7 ( ) ， w h i c hp o i n t i st h en e w t o ns t e p i no r d e rt oa v o i dt h ec o m p u t i n go f ，7 ( 磊) f o rl e s sc o m p u t i n gc o n s u m p t i o n ，at e c h n i q u eo fd i f f e r e n c eq u o t i e n ts u b s t i t u t e d e r i v a t i v ei st a k e n t h ec o n v e r g e n c et h e o r e mp r o v et h er a t i o n a li t e r a t i v ef a m i l y i sf o u r t h o r d e r n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e na tt h ee n do ft h ec h a p t e ra n d c o m p a r ew i t hs o m ew e l l k n o w nm e t h o d s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dw h i c hp r o p o s e di n 1 9 8 0 sb ya m e r i c a nm a t h e m a t i c i a na d o m i a nd i s c u s s e df o rs o l v i n gn o n l i n e a r p r o b l e m i n2 0 0 3 ，a b b a s b a n d yu s i n ga d o m i a nd e c o m p o s i t i o nt e c h n i q u ec o n 。 s t r u c t e d ai t e r a t i v ef a m i l yf o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n s i nh i sa r t i c l e ，h e d e c l a r et h ef a m i l yh a v es u p e r c u b i cc o n v e r g e n c eo rm o r eh i g h e r i nt h i sc h a p t e r ， w ep r o v et h ef a m i l yp r o p o s e db ya b b a s b a n d yi sa tm o s tt h i r d o r d e r a n da f o u r t h o r d e ri t e r a t i v ef a m i l yi sp r e s e n t e du s i n ga b b a s b a n d y si d e a n u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e na n dc o m p a r ew i t hs o m ew e l l k n o w nm e t h o d s k e y w o r d s ：n o n l i n e a re q u a t i o n s ，i t e r a t i v em e t h o d ( f a m i l y ) ，o r d e ro fc o n v e r - g e n c e ，e f f ，l i n e a r i z a t i o n ，a u t o m a t i cv a r i a b l e ，a s y m p t o t i c e r r o rr e l a t i o n ，n e w - t o n sm e t h o d ，a d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝江盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位做作者虢荔轨签字吼。留年月6 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝江盘堂 有权保留并向国家有关部门或机构 送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝江盘堂可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文储繇拇 签字同期：。粥年珀飞日 导师签名： 弘 | 签字日期：知滞年月p 百 致谢 本文是在我的导师韩丹夫教授的悉心指导下完成的。导师的辛勤指导和谆 谆教诲使我顺利完成学业并在学习上不断取得进步。导师严谨治学的学风，精 益求精的精神和言传身教的作风将使我终身受益。在此，我向韩老师表示衷心 的感谢! 在三年的求学过程中，我也得到了王兴华教授、程晓良教授、黄正达教授、 吴庆标教授对我的关心和指导，在此向各位先生致以诚挚的谢意! 同时，在这三年的讨论班学习过程中，我也得到了胡闲良、周天和、尚绪 风、武鹏、练晓鹏、邵新平等同学朋友的热情帮助、关心和支持，与他们在一起 的学习生活是非常愉快和丰富的! 我也要感谢我所在的工作单位浙江工商大学，统计与数学学院及杭州商学 院的各位领导和同事们，是你们给了我这次进一步提高自己的机会，在排课时 为我所提供的便利! 最后，我还要感谢我的妻子和家人在这三年中对我学习、工作和生活上的 支持和帮助，可以说没有他们对我的支持和宽容，本文是没有可能完成的! 第一章背景介绍 1 1引言 在现代科学技术中非线性问题变得越来越重要了，因为现在面临的问题常 常是非线性介质与材料( 材料非线性) ，而且是大范围、大幅度的变化( 几何非线 性) ，它们都会导致非线性微分或积分方程( 组) 的出现。如流体力学、弹性力学、 热传导、半导体、电磁波、现代光学等，主要就是用各种复杂的偏微分方程来描 述的。在工程设计中，如飞机、水坝、高层建筑、核反应、石油勘探、天气预报 等，多是高维问题。我国已故的科学计算老前辈冯康院士曾指出：“现代科学计 算的主题是数学物理中的各种微分方程的数值求解，它们包括n e w t o n ，e u l e r ， l a g r a n g e ，l a p l a c e ，n a v i e r s t o k e s ，m a x w e l l ，b o l t z m a n n ，e i n s t e i n ，s c h r s d i n g e r ， y a n g - m i l l s 等方程”。而非线性问题可能出现一些线性问题所没有的奇特性质 和结构，如奇点、分岔、多解、强间断、孤立波和混沌等等，因此构成了内容丰 富多彩、复杂多样的非线性科学和非线性数学。 比如首先由k o r t w e g $ 1 d ev r i e s 在1 8 9 5 年研究浅水表面波时导出的k d v 方程 赛砘赛+ 象- o 及其一系列变形推广的方程，虽然我们可以对某些特殊方程求出它的解析解， 但是用到的方法都比较复杂，推导困难。有些方程我们只能作出解的存在性和 稳定性分析，至于解的形式还是无法得到。而对大多数方程来讲，用解析的手 段我们都无从下手。而科技工作者和设计工程师们却需要真实的、定量的数据， 所以必须依靠数值计算了，这也是数值计算的最重要的意义。所以数值求解这 些非线性方程( 组) 有了它广泛的实际应用背景，也构成了当今最有趣，也最困 难的大课题。 求解非线性方程( 组) 的数值解法有很多种。如二分法、迭代法、级数法、同 伦法等等，在下面一节中，我们着重介绍一下迭代法的历史及进展。 1 2 迭代法的历史与进展 在开始介绍迭代法的历史之前，我们先给出几个在本文通篇经常用到的定 第一章背景介绍2 义。对于一般的非线性方程 ，( z ) = 0 ，( 1 1 ) 总可以将它改写成为所谓的不动点形式 z = 妒( z ) ( 1 2 ) 由( 1 2 ) 出发，选择适当的初始值：t o ，就可以构造迭代 z n + 1 = 妒( z n ) ，n 0 ( 1 3 ) 由此得到的数列 z n ) 是有极限的，则称迭代( 1 3 ) 是收敛的。这时 z + = l i mx t l 显然是方程( 1 1 ) n 根，称z 。为妒的不动点。 定义1 1 设序列 z n ) 收敛到z + ，e 。= z n x + ，x n z + ，若存在实数p 1 及非 辅凯地使l i m n - * o o 哥：c 4 ，肇掣：c ( 1 4 ) l e n l p 则称序列 z n ) 是p 阶收敛的，c 称为渐近误差系数。 定义1 2 我们如下定义计算效自t e f f 3 】 e f f = q l d ，( 1 5 ) 其中g 是迭代法的收敛阶，d 是每步迭代所需关于函数信息的计算。 众所周知，牛顿迭代法( n e w t o n s m e t h o d ) 又称为牛顿一拉夫逊方法( n e w t o n r a p h s o nm e t h o d ) 【1 】 ，r 巾、 z 州= z n 一菥罴，佗0 ( 1 6 ) j “n ， 是牛顿在1 7 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解非线性方程( 1 1 ) 的 方法。方法可通过使用函数厂( z ) 的泰勒级数的前而几项来寻找方程( 1 - 1 ) 的根。 其优点是迭代函数简洁，所以广泛应用于计算机编程。其迭代序g u x n ) 在方 程( 1 1 ) 的单根附近具有平方收敛，计算效育 e f f = 以1 4 1 4 。而且该法还可 以用来求方程的重根、复根。 第一章 背景介绍 3 牛顿法具有明显的几何意义。由( 1 6 ) w - - i 知，x n + l 是点( z 几，f ( x n ) ) 处可= ，( z ) 的切线 y = f ( x n ) + ，( z n ) ( z z 。) 与z 轴的交点的横坐标。也就是说，新的近似值z 。+ l 是用代替曲线秒= ，( z ) 的 切线与z 轴相交得到的。继续取点( z n + 1 ，f ( x n + 1 ) ) ，再作切线与z 轴相交，又可 得z 礼+ 2 ，只要初值z o 充分靠近z + 时，这个序列便会很快收敛于z + ，见图1 1 。 图1 1 ：牛顿迭代法 正因为牛顿法是用切线方程的零点近似代替曲线y = f ( x ) 的零点，所以牛 顿法也称为切线法。 虽然牛顿法是个非常有效的求解非线性方程( 1 1 ) 的方法，但是在某些情况 下，它的缺点也是很明显的。比如说，在迭代公式( 1 6 ) 中，作为分母的。厂7 ( z n ) 小 能趋向于零，否则迭代序列【z n 】可能会发散。如果对多维情况来讲，牛顿法的 求导逆运算可能非常复杂，甚至是无意义的。所以几百年来，数学工作者们从 来没有停止对新型或高阶收敛迭代法的研究。 其中，构造迭代法的一个重要手段是通过几何途径或者结合使用多步法的 技巧。例如经典的e u l e r 法【2 】，可以看成是抛物线y = f ( x n ) + f 7 ( z 竹) ( z z n ) + 掣( z x n ) 2 与z 轴交点作为下一步迭代值 x n + l n 一再刁f 2 霭丽7 丽 厂( z n ) 其中 洲= 掣铲 几0 ， ( 1 7 ) 第一章背景介绍 4 h a l l e y 法 2 】，可以看成是双曲线一，( z 几) 一f ( x n ) ( z z n ) 一芳潞( z z n ) ( 一 f ( x n ) ) = 0 与z 轴交点作为下一步迭代值 =zn一2f(xn)xn+l 2 - l f ( x ) f f ( x ) ，死。 ( 1 8 ) 2z n 一，死2u 【上苍j c h , j b y s h e v 法 2 】，可以看成是抛物线一毒糕( 可一，( z n ) ) 2 + y 一，( z n ) 一，7 ( z n ) o z n ) = 0 与z 轴交点作为下一步迭代值 x n + l = x n - - ( 1 + l i ( z n ) ) f f ( x n ) f ( x n ) i ，n o ( 1 9 ) 以上方法都是三阶收敛的，在迭代公式中均需计算厂、，7 和厂在z n 点处的值，所 以e f f ：明1 4 4 2 。 四阶收敛的o s t r o w s k i 法【4 】，可看作是牛顿法和推广割线法的组合 z n + 12z n 一 ，( )f ( x 。) f ( x n ) 一2 f ( z n ) f7 ( z 竹) n 0 ，( 1 1 0 ) 其中 z n = x n 一怒， 是牛顿步。在o s t r o w s k i 法中，需计算函数，在z n 和及导数厂7 在z 竹的值，所 以e f f = 4 ：3 1 5 8 7 。 在最近十几年中，对牛顿法的改进更是数不胜数。我们这里仅列举几个比 较重要的方法。例如s w e e r a k o o n y ： t g i f e r n a n d o 5 】提出的算术平均牛顿法 z n + - = z n 一7 可篇，扎。 m f r o n t i n i ，e s o r m a n i 6 及a y o z b a n 【7 】分别独立提出的中点牛顿法 z n + - = z n 一7 兰骞，几。 j ， a y 0 z b a n 【7 】提出的调和平均牛顿法 z n + = z n 一! 竺导；苫拶，钆。 z 州2z n 一1 死雨而r 一眨u 第一章背景介绍 5 t l u k i 6 ，n m r a l e v i 6 8 提出的几何平均牛顿法 z n + - = z n 一吾毫五i 7 1 ；：焉 赫，礼。 a b 。k a s t u r i a r a c h i 9 提出的蛙跳牛顿法或称牛顿名0 线法 z n + = z n 一( f i i j _ 兰，礼。 v i h a s a n o v 等【1 0 】在对牛顿定理l 厂( z ) = f ( x n ) + ，他) 出利用辛普森求积公 式进行近似导出的变形牛顿法 z n + = z n 一吾【万石：厂干i ；专兰毫硼，n o 以上的修正牛顿法都是三阶收敛的，e f f = 帕1 4 4 2 ，其原理也是利用了几 何构造法和多步法的结合。 其它的如王兴华、郑士明、韩丹夫等 x a 1 6 1 利用s m a l e 点估计理论与优 序列方法所构造的变形迭代法及相关收敛性分析；s a m a t 等 1 7 - 1 8 】、j r s h a r m a 1 9 1 、m g r a u 2 0 1 、a m e l m a n 2 1 】、d b p o p o v s k i 2 2 2 3 l 、i a b u a l s h a i k h 2 4 1 、m k a l l a y 2 5 1 禾0 用几何法构造的迭代法( 族) ；m f r o n t i n i 2 6 】、 武鹏、韩丹夫f 2 7 】、n v j e v i l 2 8 3 0 利用数值积分公式构造的迭代法；g a d o m i a n 3 1 3 3 1 、y c h e r r u a u l t 3 4 3 5 1 、a m w a z w a z 3 6 3 7 】、a p o u r d a r v i s h 3 8 l 、 w e n h a ic h e n 等【3 9 】、y o n g g u iz h u 等【4 0 】、s a b b a s b a n d y 4 1 4 2 】、t z o n g - m o u w u 4 3 禾l j 用a d o m i a n 级数法构造的迭代法及相关成果：a m e l m a n 4 4 1 、j r s h a r m a 4 5 4 6 1 、j g e r l a c h 4 7 1 、w f f o r d 等4 8 】、c t k e l l y 4 9 】、a s h o u s e h o l d e r 5 0 1 、j m g u t i 6 r r e z 等f 5 1 5 2 1 、s a m a t 等 5 3 5 4 】、d b p o p o v s k i 5 5 5 6 1 、i k a r g y r o s 5 7 - 6 0 1 、j a e z q u e r r o ，m a h e r n h n d e z 等【6 1 6 4 】、g h n e d z h i b o v 6 5 6 6 1 、m g r a u 6 7 6 9 1 、m f r o n t i n i 7 0 】、c h a n g b u mc h u n 7 1 7 8 l 、 j i s h e n gk o u 7 9 8 8 1 、v k a n w a r 等8 9 9 3 】、m a n o o r 等【9 4 9 5 】、n o s a d a 9 6 9 9 1 、m s p e t k o v i 6 等 1 0 0 一1 0 2 】、h h h h o m e i e r 1 0 3 - 1 0 5 】、j i h u a nh e l l 0 6 】、m z d a n h o o 等 1 0 7 1 、x i n l o n gf e n g 等1 0 8 】利用多步或者修正迭代项等技巧来加速 迭代收敛速度等等，均在各自的工作中提出了许多有效的迭代方法或进行了非 常有意义的收敛性分析及相关工作，为解非线性方程( 组) 作出了自己的贡献，在 此对他们的工作表示由衷的敬意。 第二章基于单点信息的迭代族 2 1引言 在第一章中，我们曾经指出，目前存在的大多数迭代法，均可基于几何的途 径构造。例如解非线性方程( 1 1 ) 的牛顿法( 1 6 ) ，可以看成是直线 y = a x - 4 - b( 2 1 ) 在第7 t 步迭代点z 。处加上切线条件 y ( x n ) = f ( x n ) ，可7 ( z n ) = ，7 ( z n ) ， 后解出( 2 1 ) 的待定系数a 和b 后得直线方程为 y ( x ) 一f ( x n ) = f 7 ( z n ) ( z z n ) ，( 2 2 ) 令( 2 2 ) 与茁轴交点为下一步迭代值便为二阶收敛的牛顿法( 1 。6 ) 一一怒，佗抛 因为以上构造方法可以看作是未知直线( 2 1 ) 与( l 1 ) 中的非线性函数，( z ) 在 单点处的函数值及一阶导数值相等，“以直代曲”来求( 1 1 ) 的根，所以在本文中， 我们称此种构造法为基于单点信息的。 既然利用直线加上在单点处的切线条件可构造出二阶收敛的迭代法，数学 工作者自然想到利用二次曲线加上单点处的直到二阶导数的切线条件来构造更 高阶收敛的迭代法。如e u l e r 法或称无理h a l l e y 法便是利用如下抛物线 z 2 + b y= ，(23ax-4- - 4 - c0 ) z += ，() 加上在点z 礼处的切线条件 y ( x n ) = ，( z n ) ， 萝7 ( z n ) = _ 厂( z n ) ，( z n ) = 厂”( z n ) ，( 2 4 ) 第二章基j ：单点信息的迭代族7 即把( 2 4 ) 代入( 2 3 ) 中得到如下形式的抛物线 秒( z ) 一，( z 。) ：，( z n ( x - - x n ) + 二辜芋立( z z 。) 2 ( 2 5 ) ( 2 5 ) 也可看为是泰勒级数直至l j z _ - 次项的展开。将抛物线( 2 5 ) 与z 轴交点作为下 一步迭代值便得i 阶收敛的e u l e r 法( 1 7 ) 。 同样的，如果我们利用如下双曲线 a x y + y + b x + c = 0 ， ( 2 6 ) 加上在点z n 处的切线条件( 2 4 ) 便得双曲线 秒一f ( x n ) ( z n ( x - - x n ) 一锱( x - x , o ( 秒叫训( 2 7 ) 把双曲线( 2 7 ) 与z 轴交点作为下一步迭代值便得三阶收敛的h a l l e y 法( 1 8 ) 。 如果我们利用如下抛物线 a y 2 + y + b x + c = 0 ， ( 2 8 ) 加上在点z n 处的切线条件( 2 4 ) 便得抛物线 一篇( 叫) 2 + 可叫_ ，( x - - x n ) _ 0 ( 2 9 ) 把抛物线( 2 9 ) 与z 轴交点作为下一步迭代值便得二阶收敛的c h e b y s h e v 法( 1 9 ) 。 最近s a m a t 等 1 7 $ 1 j 用双曲线 a y 2 + b x y + y + c z + d = 0 ，( 2 1 0 ) 加上在点z 竹处的切线条件( 2 4 ) ，类似可得如下形式的一族i 阶迭代法 x n + 1 = x n - - ( 1 + 互1 雨顶l f 而( x n ) 怒，n 0 仁1 1 ) 其计算效能e f f = 饴1 4 4 2 。因为方法( 2 1 1 ) 中带有一个任意参数h ，所以 在本文中称此类方法为迭代族。 j r s h a r m a 【1 9 】则利用二次曲线 z 2 + a y 2 + b x + c y + d = 0 ，( 2 1 2 ) 第二章基r 单点信息的迭代族 8 加上在点z n 处的切线条件( 2 4 ) ，得如下带参数a n 的三阶迭代族 x n + l2x n - - 监f # c x n ) ，礼0 ( 2 1 3 ) e f f = 瓶1 4 4 2 。 基于以上思想，我们在下节中给出一个在几何上利用二次曲线构造迭代法 的统一方法，并由此得出一个新型的迭代族。而上述很多已有的方法可作为新 型迭代族的一些特例。 2 2 迭代族的构造 2 2 1 无理迭代族的构造 上节中提到的各种三阶收敛迭代法( 族) ( 1 7 ) 一( 1 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) ，都是通 过特殊的抛物线或双曲线加上切线条件( 2 4 ) 构造的，而抛物线和双曲线均是二 次曲线，所以为了统一迭代法的构造过程，我们考虑如下形式的二次曲线 a x 2 - 4 - b y 2 + c x y - 4 - d x - 4 - e y - 4 - g = 0 ， ( 2 1 4 ) 其中o ，b ，c ，d ，e ，g 均是参数。我们同样在( 2 1 4 ) 上加上点z n 处的切线条件( 2 4 ) ，并 将由此所得二次曲线与z 轴交点作为下一步迭代值，只要在( 2 1 4 ) 中取特殊的参 数值，口j 得不同的迭代法，例如 若取a = 1 ，b = c = 0 ，便得e u l e r 法( 1 7 ) ； 若取n = c = 0 ，e = l ，便得c h e b y s h e v 法( 1 9 ) ； 若取a = b = 0 ，e = 1 ，便得h a l l e y 法( 1 8 ) ； 若取a = 0 ，e = 1 ，便得a m a t 法( 2 1 1 ) ； 若取a = 1 ，c = 0 ，便得s h a r m a 法( 2 1 3 ) 。 现存我们在( 2 1 4 ) q a i 汉a = l 和6 = 0 ，得p a t - - 次曲线 z 2 + a y + b x + c x y + d = 0 ， ( 2 1 5 ) 第一二章 基于单点信息的迭代族 9 其中o ，b ，c ，d 为参数。为了计算方便，我们把( 2 1 5 ) 改写成如下形式 q ( x ，y ) = ( z x n ) 2 + o n ( 可一y n ) + ( z z n ) + ( z z n ) ( 耖一y n ) + d n = 0 ( 2 1 6 ) 在( 2 1 6 ) 上加上点z n 处的切线条件 q ( 。n ，y ( x n ) ) = 0 ，q 7 ( z n ，y ( x n ) ) = 0 ，q ( z n ，y ( x n ) ) = 0 ，( 2 1 7 ) 得 ib 。= 一o n ，k n ) ， 卜一葛掣， 仁 【厶：o 方程组( 2 1 7 ) 当，( z n ) o 时存在惟解。把系数( 2 1 8 ) 代k ( 2 1 6 ) ，并把二次曲 线( 2 1 6 ) 与z 轴交点作为下一步迭代值，即解方程q ( x n + 1 ，0 ) = 0 ，便得如下带参 数a 。的迭代族 x n + 1 - - = - x n - - 怒，礼0 ( 2 1 9 ) 因为公式( 2 1 9 ) 比较复杂，所以我们将( 2 1 9 ) 中等式右边分式的分子分母均除 以o 。，并i 一1 2 + 1 ( 厂( z n ) ) = a n ，简化后得带参数a n 的迭代族 z t l + l2x n 一 2 f ( x n ) 1 一a n l 加n ) 士面孓币忑f 萌两，他n ) 当我们选取合适的h ，一些经典的三阶收敛法便成为( 2 2 0 ) 的特例。例如 若取k = 0 ，则正好是e u l e r 法( 1 7 ) ； 若取h = 互1 ，则为h a l l e y 法( 1 8 ) ； 若取h = 承4 2 + + l l 出( x n 。) 万，则为c h e b y s h e v 法( 1 9 ) ； 若取h = 硒笔高，则为s u p e r h a l