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第二章 函数课标解读一、函数1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义.5.学会运用函数图像理解和研究函数的性质.二、幂函数通过实例,了解幂函数的概念;结合函数的图像,了解它们的变化情况.2.1 生活中的变量关系知识结构梳理一、要点扫描生活中的变量关系函数关系依赖关系区别与联系并非有 关系的两个变量都有 关系.只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有 确定的值时,才称它们之间有函数关系.答案: 依赖 函数 唯一二、要点点拨1.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系.2.研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系.典型例题分析例1某高速公路加油站的圆柱体储油罐如右图所示,油面宽度为w,储油量为V,若w和V有函数关系,则自变量( ) (A)是V,不是w (B)是w,不是V (C)是V也可能是w (D)是w也可能是V分析 只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值时,才称它们之间有函数关系.解 对于同一w值,有两种油面高度和它对应,于是可以有两种储油量V和它对应,所以V不是w的函数;但当V确定时,油面高度唯一确定,从而油面宽度也随之确定,故w是V的函数,故选A.点拨 研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系.变式训练 写出函数关系式,并指出式中的函数与自变量.(1)周长为20m的长方形,求它的长y与宽x之间的关系;(2)计划用200元购买乒乓球,求所能购得的球的个数w(个)与球的单价n(元)的关系.解 (1),其中x是自变量,y是x的函数;(2),其中n是自变量,w是n的函数.例2 某出租公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,若租出去的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.试求每辆车的月租金x(元)与出租车公司的月收益y(元)的关系.解 根据题意租金为x元时,每辆车所得收益为元,租出车辆数为辆,未租车辆数为辆.列式为.整理得.点拨 当变量之间关系较复杂时,可先将其分解成几个简单部分,然后按照题目要求组合成一个整体.变式训练 出租车收费按路程计算,2千米(包括2千米)收费3元,超过2千米每增加1千米加收1元,则路程时车费y(元)与x(千米)之间的函数关系式为 .答案 课堂基础自测1.6支球队举行单循环赛,下列关系中是依赖关系而不是函数关系的有:排名与胜场;排名与败场;球队与排名;胜场与败场.( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与物体的质量x(kg)有下面的关系:x/kg012345678y/cm1212.51313.51414.51515.516那么,弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为( )(A) (B) (C) (D)3.某人从家去单位上班,先跑步,后步行,若y表示该人离单位的距离, x表示出发后的时间,则下列图像中符合y与x函数关系的是( ) (A) (B) (C) (D)4.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加3m/s,到达坡底时,小球速度达到15m/s.(1)求小球速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数关系式;(2)求几秒时,小球的速度为12m/s.5.星期天晚饭后,小红从家里出去散步,右图描述了她散步过程中离家的距离s(m)与散步所用时间t(min)之间的函数关系.试用一段话描述小红的散步过程.Os/m1003002004000500t/min246810121614186.某批发市场规定,批发苹果不少于50千克时,批发价为每千克2元.小王带现金200元到这个市场采购苹果,并且以批发价买进,设采购苹果x千克,小王剩余现金y元,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.7.举出一个函数实例,满足在变量中, 是的函数,但不是的函数.2.2 对函数的进一步认识知识结构梳理一、要点扫描函数函数的表示法函数的概念解析式映射列表法图象法一一映射1.函数的定义给定两个 A和B，如果按照某个对应关系，对于A中 ，在集合B中都存在 与之对应，那么就把对应关系叫作定义在A上的函数，记作 或 .其中,叫作自变量.2.函数的三要素 ,值域, .3.区间的概念(1)有穷区间的定义及表示定义名称符号数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 (2)无穷区间的定义及表示定义符号 4.函数的表示方法(1)列表法:用 的形式表示两个变量之间函数关系的方法.(2)图像法:用 把两个变量之间函数关系表示出来的方法.(3)解析法:用 的解析表达式(简称解析式)表示出来的方法.5.映射两个集合A与B间存在着对应关系,而且对于A中的 元素,B中总有 的一个元素与它对应,就称这种对应为从A到B的映射,记作 .其中,A中的元素称为 ,B中的对应元素称为的 ,记作 .6.一一映射一一映射应同时满足以下三个条件:(1)A中 元素在B中都有 与之对应;(2)A中的不同元素的像也 ;(3)B中的 都有原像.有时,集合A,B之间的一一映射也叫作 .答案: 1.非空数集 任何一个数 唯一确定的数 2.定义域 对应关系 3(1)第一行: ; 第二行: ; 第三行: ; 第四行: (2) 4.(1) 表格 (2) 图像 (3) 自变量 5. 每一个 唯一 原像 像 6. 每一个 唯一的像 不同 每一元素 一一对应二、要点点拨1.函数的三种定义(1)传统定义:在变化过程中,有两个变量和,如果给定一个值,相应地就确定了一个值,称是的函数,其中是自变量, 是因变量.(2)从集合的观点看: 给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系，对于A中任何一个数，在集合B中都存在唯一确定的数与之对应，那么就把对应关系叫作定义在A上的函数，记作或,.集合A称为函数的定义域,集合B称为函数的值域.(3)从映射的观点看:设A,B是两个非空数集, 是A到B的一个映射,那么映射就叫作A到B的函数.在函数中,原像的集合称为定义域,像的集合称为值域.2.函数概念的理解(1)“A,B是非空集合”.今后若求得定义域为,则此函数不存在;(2)定义域、对应法则和值域是函数的三要素.其中, 定义域和对应关系是两个关键性的要素,如果定义域和对应法则确定了,值域也就确定了.因此,判定两个函数是否相同,只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同即可.(3)中为对应法则.当情况比较简单时,对应法则可用一个解析式来表示.但在不少问题中,对应法则也可能不便用或不能用一个解析式来表示,这时就必须采用其他方式,如数表或图像等.(4)函数符号“”是“是的函数”的数学表示,仅仅是函数符号,不是表示“等于与的乘积”, 也不一定是解析式.符号与既有区别又有联系, 表示当自变量时函数的值,而表示自变量的函数.一般情况下, 是一个变量,是的一个特殊值.3.函数定义域的求法当函数用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数的集合;当函数用图像给出时,函数的定义域是指图像在轴上的投影所覆盖的实数的集合;当函数用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合;当函数由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的意义确定.求函数定义域的常见类型整式函数的定义域是;分式函数的定义域是使分母不为零的实数的集合;二次根式(或以后学习到的大于2次的偶次方根)的被开方式是非负值;零次幂的底数不等于零;用四则运算连结起来的函数的定义域是各个函数定义域的交集;实际问题给出的函数的定义域应根据实际问题的存在条件为依据去运算.4.函数值域的求法当函数用表格给出时,函数的值域是指表格中实数的集合;当函数用图像给出时,函数的值域是指图像在轴上的投影所覆盖的实数的集合;当函数用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定;当函数由实际问题给出时,函数的值域由实际问题的意义确定.求函数值域的常用方法:直接法.如一次函数的值域为R,反比例函数的值域为,二次函数的值域,这些都可直接写出;图像法.如求函数的值域,可将原函数转化为分段函数的形式,并画出它的图像,再由图像求得;换元法.如求函数的值域,则可令代入原式进行求解;判别式法.如求函数的值域即可用判别式法,判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意对二次项系数是否为零进行讨论;分类讨论.如求分段函数的值域,可先分类求出每一段的值域,再求出它们的并集即可.5.函数解析式的求法常用的方法有代入法,待定系数法,配凑法,换元法.而对于根据的表达式,求的表达式的问题,常用的方法有换元法,配凑法,待定系数法或利用方程思想,采用解方程的方法消去不需要的函数式子,从而得到的表达式的方法,简称方程法,此外还有赋值法等.6.函数三种表示法优缺点的对比(1)解析法的优点:一是简明,全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.缺点:不够形象,直观,具体,而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来.(2)列表法的优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.缺点:它只能表示自变量取较少的有限值时的对应关系.(3)图像法的优点:能形象直观地表示出函数的变化情况.缺点:只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大.7.映射概念的理解(1)映射包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.8.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射函数集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应9.对分段函数的认识在定义域中,自变量的取值范围不同,对应关系也不同,这样的函数即为分段函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,如 是一个函数,而不是三个函数,同时要注意分段函数的每一段的定义域的交集是空集,并集是整个函数的定义域,书写时要做到不重、不漏.典型例题分析例1 求下列函数的定义域(1); (2);(3); (4);分析 一般地,若函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围.当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.解 (1)要使函数有意义,必须有,故函数的定义域为.(2)无意义,即.分式分母不能为零,偶次算数根被开方数不能为负,从而.综上可得函数的定义域是.(3)要使函数有意义,必须由(1)得, 解得 或.由(2)得.函数的定义域为.(4)要使函数有意义,必须.函数的定义域为.点评 若将函数(1)变化为,然后按求解这是错误的,因为变形后自变量的允许取值范围可能扩大或缩小,这样得到的函数与原来的函数是不同的函数,所以在求定义域时,一般不将解析式变形;求函数的定义域,其实质就是使解析式的各部分都有意义,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.变式训练 求函数的定义域.答案:例2 求下列函数的值域(1); (2);(3); (4)(5).分析 (1)是关于的一次分式函数,可采用分离常数法.(2)可从函数式中反解出,利用从而求出的范围.(3)二次函数在定义域内求值域可用配方法,结合函数的图像求解.(4)函数式为根式形式,可用换元法去掉根号.(5)将函数式化为关于的一元二次方程,利用求的取值范围.解 (1).(2)方法1:方法2:用表示得.Oyx12234566841012值域为.(3)配方,得画出函数在上的图像(右图),由图像得函数的值域为2,11).(4)函数的定义域是.令问题转化为求则有原函数值域为.(5)由可知,对,分母恒不为零.则原式可变形为,整理成关于的方程得 ,解之得的值域为.点评 (1)求函数值域的常用方法:分离常数法,配方法,换元法,判别式法,分段讨论法,数形结合法等.(2)利用换元法求函数值域时,一定要注意确定辅助元的取值范围,否则,就可能造成错误.(2)利用判别式法求值域时,一定要注意二次项系数不为零,这是用判别式判定方程有实根的必要条件.变式训练 求下列函数的值域:(1) (2)(3) (4);(5)答案: (1) (2) (3) (4) (5)例2 设是定义在上的一个函数,且有求.分析 欲求,必须消去已知中的.不难想到可利用与的倒数关系再寻找到一个方程,将两个方程联立即可求出的解析式.解 用代换,又得 将代入消去,得即点评 本题解法主要是利用方程思想,采用解方程的方法消去不需要的函数式,从而得到的表达式,此种方法称为消去法,也称解方程法.变式训练 设满足关系式求.答案: 例4 某家庭今年一、二、三月份的煤气用量和费用如下表所示:月份用气量煤气费一月份44元二月份2514元三月份3519元该市煤气收费的方法是: 煤气费=基本费+超额费+保险费.若每月用气量不超过最低限定,只付基本费3元和每户每月的定额保险费元;若用气量超过时,超过部分每立方米付元,又知保险费不超过5元.根据上面的表格求.解 设每月煤气用量为,支付费用为元,根据提设条件,得由,知,从表格中看出此家庭二、三月份的费用均大于8,故用气量均大于最低限度,所以将分别代入(2),得再分析一月份的煤气用量是否超过最低限度,不妨设,将代入(2),得 ,并由此得,矛盾.,即一月份付费方式为(1),即.从而.点拨 此类问题必须用分段函数表示,再分析一、二、三月份分别符合哪一段上的解析式,应用分析、推断、验证等一系列方法来完成.变式训练 某医院研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量使用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图曲线.(微克)(小时)(1)写出服药后与之间的函数关系式;(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中(至)第一次服药为,问一天中怎样安排服药时间、次数,效果最佳?答案: 解 (1)依题意,得(2)设第二次服药在第一次服药后小时,则, 解得 .因而第二次服药应在.设第三次服药在第一次服药后小时,则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和,即有, 解得 .故第三次服药应在.设第四次服药在第一次服药后小时(),当时,血液中含药量为第一、二、三次之和,即有, 解得 ,舍去;当时,第一次服的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次之和,即有 , 解得 .故第四次服药应在.由于只第四次服用的药就可以坚持3个小时,故至之间不用再服药.课堂基础自测1.下例能确定是的函数的是( )(A) (B) (C) (D)2.下例与表示同一函数的是( )(A) (B)(C) (D) 3.设,在图中能表示从集合A到集合B的映射的是( )1212121212121212 (A) (B) (C) (D) 4.函数的定义域为0,2,则函数的定义域为( )(A)0,2 (B) (C)2,4 (D)5.设,则的表达式为( )(A) (B) (C) (D) 6.设,则的值为( )(A)10 (B)11 (C)12 (D) 13117.集合A,B是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A到B的映射则像(10,3)的原像是 .8.已知函数的图像如右图所示:则的解析式是 .9.求下列函数的定义域.(1) (2).10.求下列函数的值域.(1); (2); (3).11.已知函数满足求.12.某汽车以52千米/时的速度从A地到260千米远处的B地,在B地停留1.5小时后,再以65千米/时的速度返回A地,试将汽车离开A地后行走的路程表示为时间的函数.能力拓展提高1.已知集合,下列从P到Q的对应关系不能构成映射的是( )(A) (B) (C) (D) 2.设A到B的函数为则A到C的函数是( )(A) (B) (C) (D) 3.已知函数则的值为( )(A) (B) (C) (D) 4.函数的值域为( )(A) (B) (C) (D) 5.已知函数的定义域为1,9则函数的定义域为 .6.如果则一次函数= .7.已知函数,那么的最大值是 .8.已知函数的值域为1,3,求的值.ADCBPPAP9.已知求.10.如右图,动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发经过B,C,D,再回到A,设表示P点的行程,表示PA的长,求关于的函数关系式.2.3 函数的单调性知识结构梳理一、要点扫描函数的单调性判定方法定义应用1.在函数的定义域内的一个区间A上,如果对于 两个数当时,都有 ,那么,就称函数在区间A上是增加的,有时也称函数在区间A上是 的.在函数的定义域内的一个区间A上,如果对于 两个数当时,都有 ,那么,就称函数在区间A上是减少的,有时也称函数在区间A上是 的.2.单调区间如果在区间A上是 的或是 的,那么称A为单调区间.3.在单调区间上函数图像的特点如果函数在单调区间上是增加的,那么它的图像是 的;如果函数是减少的,那么它的图像是 的.4.单调性如果函数在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数在这个子集上具有 .5.单调函数如果函数在 是增加的或是减少的,称这个函数为 ,统称为 .答案: 1. 任意 递增 任意 递减 2. 增加 减少 3. 上升 下降 4. 单调性 5. 整个定义域内 增函数或减函数 单调函数二、要点点拨1.关于函数单调性的理解(1)函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有些函数在整个定义域内可能是单调的(即单调函数),如一次函数;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数,而在另一部分区间上可能是减函数,如二次函数;还有的函数是非单调的,如常数函数又如函数(2)函数在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质.因此,若要证明在上是递增的,就必须证明对于区间上任意的两个自变量的值,当时都有不等式成立.若要证明在上不是单调递增的,只须举出反例就足够了,即只要找到两个特殊的,满足,有即可.(3)关于单调区间的书写.函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点处的单调性没有意义.书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可;若函数在区间端点处没有定义,则必须写成开区间.(4)的三个特征一定要予以重视.函数单调性定义中的有三个特征:一是任意性,即“任意取”,“任意”二字决不能丢掉.证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定;三是同属一个单调区间.三者缺一不可.(5)若函数在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一般不能简单认为在上是增(减)函数.如在上是减函数,在上也是减函数,但不能说它在定义域上是减函数.(6)函数增减性(单调性)的几何意义反映在图像上,若是区间上的增(减)函数,则图像在上的部分从左到右是上升(下降)的.2.函数单调性的判定方法(1)利用定义:步骤为“”.(2)利用已知函数的单调性:增(减)函数+增(减)函数=增(减)函数;函数与函数的单调性:当时,单调性相同;当时,单调性相反.当恒为正或恒为负时,函数与函数的单调性相反(3)利用函数图像:根据函数单调性的几何意义进行判断.3.复合函数的单调性增增增增减减减增减减减增复合函数单调性的判断方法可简记为”同增异减”,即内层函数与外层函数的单调性相同时为增函数;相反时为减函数.4.有关函数单调性的几条结论(1)若函数在区间上单调递增,且,则;(2)若函数在区间上单调递减,且,则;(3)若函数在区间上单调递增,则当时, ;(3)若函数在区间上单调递减,则当时, .典型例题分析例1 判断函数在上是增函数还是减函数,并证明你的判断;如果,函数是增函数还是减函数?分析 利用函数单调性的定义进行判断及证明.解 函数在上是减函数,证明如下:在上任意取,且, ,又,即.故在上是减函数.同理可证,当时,函数仍然是减函数.点拨 利用单调性定义证明时,应注意对差式的变形及分解因式.变式训练 已知,判断在上的单调性,并证明.答案: 函数在上是增函数,利用定义证明,证明略.例2 已知函数(1)当时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数的取值范围,使上是单调函数.分析 当时,为具体函数,从而易求出函数的最值.利用对称轴与区间的关系去解(2)中的取值范围.解 (1) 当时, .,故当时, 的最小值为1.当时, 的最小值为37.(2)函数图像的对称轴为.在上是单调的,故或.故的取值范围是或.点拨 由对称轴,利用数形结合得到与的关系,从而得到的范围.变式训练 已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围.答案: 例3 函数对任意的,都有,并且当时,.(1)求证是上的增函数;(2)若,解不等式.分析 利用定义证明其单调性.解决(2)的关键是利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式进行求解即可.解 (1)设,则,在上是增函数.(2) ,解得.点拨 函数单调性的定义实质上给出了自变量与函数值大小关系的转化.具体关系详见要点点拨4.(1)(2).变式训练 设是定义在上的增函数,求满足不等式的取值范围.答案: 课堂基础自测1.下列结论正确的是 ( )(A)函数在上增函数(B)函数在上增函数(C)是定义域上的减函数(D)在上为减函数2.函数当时是增函数,当时是减函数,则等于( )(A) (B)13 (C)7 (D)由m而定的常数3函数在R上单调递增,且,则实数m的取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 4.函数在区间上是增函数,则的递增区间是 ( )(A) (B) (C) (D) 5. 是定义在上的递减函数,且,则的取值范围是 .6.已知函数,且的最小值为,则实数的取值范围是 .7.设函数,当时,试证函数在区间上是单调函数.8.已知函数的定义域是,的图像关于轴对称,且它在上是减函数.试比较与的大小.9.设函数是定义在上的增函数,如果不等式对于任意都成立,求实数的取值范围.10.求函数的单调递减区间.能力拓展提高1.下列函数中,为增函数的是 ( )(A) (B) (C) (D)2.已知在定义域上是减函数,且,则的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D) 3.定义在上的函数在上递增,且的图像关于轴对称,若则 ( )(A) (B) (C) (D)不确定4.如果函数在上是减函数,那么的单调递增区间是( )(A) (B) (C) (D) 5.若函数在上为增函数,则实数的取值范围是 .6.若与在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是 .7.求函数的单调区间.8.设是定义在上的函数,且当时, ;对任意的实数都有.若,试解不等式.9.已知函数对任意,总有时,.(1)求证是R上的减函数;(2)求在上的最大值和最小值.2.4 二次函数性质的再研究知识结构梳理一、要点扫描二次函数最大(小)值图像间的平移规律图像特征应用性质图像单调区间对称轴开口方向顶点坐标1.二次函数的图像特征一般地,二次函数, 决定了二次函数图像的开口大小及方向; 决定了二次函数图像的左右平移,而且“正 移,负 移”;而 决定了二次函数图像的上下平移, “正 移,负 移”.2.二次函数的性质图像:抛物线.开口方向:, ;, .开口大小:越大,开口越小; 越小,开口越大.对称轴方程: .顶点坐标: .定义域: .值域:, ;, .单调性:,在上是 函数,在上是 函数;,在上是 函数,在上是 函数.答案: 1. 左 右 上 下2. 向上 向下 减 增 增 减二、要点点拨1.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系判别式二次函数的图像一元二次方程的根有两不等实根有两相等实根无实根一一元二次不等式的解集2. 抽象函数的图像变换已知函数,其图像(1) 沿轴向左平移个单位,得到的图像;(2) 沿轴向右平移个单位,得到的图像;(3) 沿轴向上平移个单位,得到的图像;(4) 沿轴向下平移个单位,得到的图像;(5) 纵坐标不变,横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍,得到的图像;(6) 纵坐标不变,横坐标伸长(当时)或 (当时) 缩短到原来的倍,得到的图像;(7) 与函数的图像关于原点对称;(8) 关于轴作对称变换, 得到的图像;(9) 关于轴作对称变换, 得到的图像;(10) 保留轴上的点及其右侧部分,去掉轴左侧部分,并将右侧部分图像以轴为对称轴翻折到左侧,得到的图像;(11) 保留轴上的点及其上方部分,并将轴下方图像以轴为对称轴翻折到轴上方,得到的图像.典型例题分析例1 指出函数的图像是怎样由函数变换得到的?分析 将函数配方,变换过程就会比较容易得出.解 配方得 .点拨 也可按照如下过程变换得到:变式训练 指出函数的图像是怎样由函数变换得到的?答案：例2 若函数的定义域为,求的取值范围.分析 既可能是一次函数,也可能是二次函数,应注意分类讨论.解 当时, 对一切都有成立;当时,要使对一切都有成立,则必有综上可得点拨 设,则(1)当时,在上恒成立;(2)当时,在上恒成立;(3)当时,在上恒成立.变式训练 若函数的定义域为,求实数的取值范围.答案: 例3 已知函数,其中,求在上的最大值.分析 由于参数,所以有使得的系数为0和不为0两种可能,即有为一次函数和二次函数两种可能.而当是二次函数时,又是在”动轴,定区间”的情况下求函数最值的问题.解 (1)当,即时,为减函数,所以, 在上的最大值为.(2) 当,即时,此时,函数的图像的顶点的坐标为.当时, 的图像为开口向下的抛物线,函数在上递减,所以;当时, ,的图像开口向上且顶点的横坐标在内,所以;当时, ,的图像开口向上且顶点的横坐标在内,所以;当时, ,的图像开口向上,函数在上递减,所以.综上所述,当时, ;当时, .点拨 注意分类讨论.变式训练 求二次函数在上的最小值.答案: 课堂基础自测1.将函数的图像向右平移个单位,再向上平移1个单位,得到的图像的解析式是 ( )(A) (B) (C) (D) 2.在同一直角坐标系中下列哪个函数的图像开口最小 ( )(A) (B) (C) (D) 3.若函数的定义域为,则实数的取值范围是 .4.若函数在上最大值是3,最小值是2,则实数的取值范围是 .5.画出函数的图像;并写出此函数的单调区间.6.已知二次函数的图像过点,且顶点为,求其解析式.7.若是二次函数,当时, 取得最值,又知,试比较.(1) 与的大小;(2) 与的大小.8.为何值时,二次方程有两个负根?9.将进货单价为8元的商品按10元一个销售时,每天可卖出100个,若这种商品的销售单价每涨一元,日销售量就减少10个,为了获得最大利润,此商品的销售单价应定为多少元?10.易知二次函数满足条件及.(1)求;(2)求在上的最大值和最小值.能力拓展提高1.设,二次函数的图像为下列之一:则的值为 ( )(A)1 (B) (C) (D)2.对任意,函数的值恒大于零,则的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D)3.不等式对一切恒成立,则的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D)4.若函数的值域为,则实数的取值范围是 .5.若是方程的两实根,则函数的最小值是 .6.画出函数的图像,并指出函数的单调区间.7.已知二次函数满足.比较的大小.8.设的定义域为,对任意,求函数的最小值的解析式.9.已知函数,求使的的取值范围.10.设,且在闭区间上恒取非负值,求实数的取值范围.11.某商店将每件进价为180元的西服按每件280元销售时,每天只卖出10件,若每件售价降低元,当时,其日销售量就增加件,而当时,其日销售量却毫无增加,为了获得最大利润,每件售价应定为多少元?2.5 简单的幂函数知识结构梳理一、要点扫描1.幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中是自变量，是常数2.函数的奇偶性一般地,图像关于 对称的函数叫作奇函数.若是奇函数,则对于函数定义域内任意一个,都有 .一般地,图像关于 对称的函数叫作偶函数.若是偶函数,则对于函数定义域内任意一个,都有 .3几种常见的幂函数的性质：幂函数定义域 值域 奇偶性 单调性 当时, ；当时, . 当时, ；当时, .公共点 4.幂函数的性质，对形如有以下性质：(1)0时图像都通过点 ，点 ；在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数(2).(2) 在上是递增的,又,且, 即.点拨指数相同,底数不同的幂的大小比较问题的解题步骤: 明确相应幂函数的单调区间;将底数转化到同一单调区间内;比较底数的大小;比较幂的大小.变式训练比较大小 (1) ;(2) ;(3) . 答案:;.例3判断下列函数的奇偶性(1); (2);(3); (4).分析 根据函数的定义判断.解 (1)函数的定义域关于原点不对称,函数是非奇非偶函数.(2) 函数的定义域关于原点不对称,函数是非奇非偶函数.(3)函数的定义域,它关于原点对称,且,函数是奇函数.(4)函数的定义域是,关于原点对称,且,函数是偶函数.点拨 判断函数的单调性应先看函数的定义域是否关于原点对称.变式训练 判断下列函数的奇偶性:(1) (2)答案(1)奇函数 (2)既不是奇函数也不是偶函数课堂基础自测1.下列函数中是幂函数的是 ( )(A) (B) (C) (D)2.给出下面四个结论:偶函数的图像一定与轴相交;奇函数的图像一定通过原点;偶函数的图像关于轴对称;既是奇函数,又是偶函数的函数一定是.其中正确的结论有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个3.函数的定义域为（ ）(A) (B) (C) (D)4.已知是偶函数,则函数的图像的对称轴方程为( )(A) (B) (C) (D)5.若幂函数的图像