（基础数学专业论文）toeplitz算子的可逆性.pdf

摘要 本文主要讨论了在复空间中单位球及复平面内单位圆情形f ，本性有界函 数实部的本性值域与本性值域实部的关系以及t o 印m z 算子在高维情形下的可 逆性与本性可逆性，并给出了符号在工o 。中的t o e p l i t z 算- - l ：为f r e d h o l m 算予的 充要条件。 关键词：内函数，幺模函数，t o e p l i t z 算子，f r e d h o l m 算子，p o s s i o n 积 分 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ee s s e n t i a lr a n g eo fe s s e n t i a l l yb o u n d e df i m c t i o n s ， i n v e r t i b i l i t ya n de s s e n t i a li n v e r t i b i l i t yo ft o e p l i t zo p e r a t o r si nh i g h e rd i m e n s i o n s m o r e o v e f w eo b t a i nan e c e s s a r ya a ds u f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tt o e p t i t zo p e r a t o r s w i t hs y m b o li n ”a r e f r e d h o l mo p e r a t o r s 。 k e yw o r d s ：i n n e rf u n c t i o n ，u n i m o d u l a rf u n c t i o n ，t o e p l i t zo p e r a t o r , f r e d h o l i n o p e r a t o r , p o s s i o n 积分。 儿 致谢 本文是在导师曹广福教授的悉心指导下完成的。在三年的学习生活中，导 师在学习、生活、研究等方面给予了我很多帮助、教诲和鼓励。在他的指导和 帮助下，我才能顺利完成学业。 同时，在研究生学习期间，承蒙数学学院各位老师和同学无私的关心和帮 助，在此，特向他们表示衷心的感谢! 四川大学硕士学位论文 5 1 前言 在经典的h a r d y 空间h 2 上的t o e p l i t z 算子一直以来都是人们研究的主要 内容。以丁记复平面g 中的单位圆周，口( t ) ( 1 p 。) 是丁上相对于正规 化l e 6 e s g u e 测度的p 次可积函数空间，l 。( r ) 是t 上本性有界可测函数集合，对 于妒l 。( r ) ，1 p 1 ，口是铲上曲 面面积测度。三”= 工”p ) ，三2 = 五2 扣) 。 如果，l ”，则，的p d s s l o 礼积分p 门定义了一个b n 上的有界调和函数尸， 它的径向边界极限几乎处处等于，这实际上建立起了从l 。到伊上有界调和 函数空间的一个同构。在这种对应之下，b n 上的有界解析函数所生成的代数 就是l 。o 的闭子代数日。 如果丁是铲上任一算子记口( t ) 为t 的谱，口。( t ) 为丁的本质谱，即 ( t ) = a t i t a 不是f r e d h o l m 算子) 此外，我们要用到两个等式，( 耳) 而及o b q o ，其中妒l * ，曲 日。 四川大学硕士学位论文 本篇论文的主要目的是将单变量情形拓展到多变量情形，研究t o e p l i t z 算 子在g n 上单位球面的可逆性问题。本文的第二节证明了对复空间中单位球及 复平面内单位圆而言，函数实部的本性值域等于该函数本性值域的实部。第三 节着重讨论了日2 ( 驴) 具有h 。十e 型符号的t o e p l i t z 算子的一些性质。晟后一 节给出t t o e p l i t z 算子为f r e d 。z m 算子的一个充要条件。 2 四川丈学硕士学位论文 2 有界函数本性值域的实部 众所周知，函数空间上算予的性质特别是其可逆性与对应符号的本性值 域有密切的关系( 如见r g d o u g l a s 1 】) 对函数或算子做实部与虚部分解是研 究对应函数或算子相关性质的常用方法，因此弄清函数实部的本性值域与本性 值域的实部的关系是自然的。函数实部的值域等于该函数值域的实部是一件 显而易见的事实。然而，对于本性值域，结论却不是显然的，尽管类似结论仍 正确，其证明却决非平凡。由于本文仅限于考虑复空间中单位球及复平面内单 位圆情形，故以下仅就上述两种情况进行讨论。接通常记法。以r 记复平面c 呻 的单位圆周，记复空间g “中的单位球面。 定理2 1 设妒l 。o ) ，x = t 或s “，则r e 宠( 妒) = n ( r e v ) ，其中冗( 妒) 表示 函数妒的本性值战即冗( 妒) = a c u z i v ( z ) 一a l o ，v o ) 。 证明 # 矢l ：i r e n ( v ) cn ( r e v ) 。事实上，若a r e r ( v ) ，则 a = r e # ，卢冗 ) 于是对v e 0 ， u xi 妒( ) p i 0 因为 xi | 妒( ) 一p | e ) c f xl r e 妒( ) 一a i 0 ，存在ecx ，u ( e ) 0 。对 l a e v ( ) 一a i 0 ，存在闭岛ce ，使钉( g 一最) 0 ，且对比0 ( 岛) r le 6 ， 我们有 j i m 妒( 0 一i m 妒( 晶) j 三 令岛= o ( 昴) n 既，p = a + i i m 妒( 岛) ，则对v e 0 ， 妒一p 1 2 = i r e 妒( ) 一a 1 2 + i i m 妒( ) 一i m 妒( 晶) 1 2 等+ i 6 2 六 故 妒一p l e ，1 e 卢7 已( 妒) ，即a = r e 卢，这说明a = r e “。 综上所述，r e 冗( 妒) = r ( r e 妒) 口 命题2 1 设妒l 。( 伊) ，则佗( p 妒】) = 冗( p 纠) 。 证明 显然冗( p 酬) c 亿( p m ) 。对任意a 冗( p ) ，存在s “，使得 p 捌( ) 一a n ) g p c p 】在s 4 上连续，故对任意瓠，存在0 ( ) ，使当z o ( ) 时t i p 咪。) 一尸怵) l 0 ，存在k ，使 i p 洲) 一a i i 于是对v 。o ( z p ，我们有 l p 【妒1 ( 。) 一a i i p 【妒】( ；) 一p 妒 ( z t ) i + l p b 】( 讯) 一a i 0 ，i ca r ( p m ) 。 口 四川大学硕士学位论文 命题2 2 设妒l 。，则r e c o n 冗( 妒) = c o n r e 佗( 妒) ，其中c o n 冗( 妒) 表示包 含冗( 妒) 的最小的凸集，i e 冗知) 的凸包 得到 证明 首先我们证r e c o n 亿( 妒) 是凸集。事实上， 若a ，弘r e c o n7 乞( 妒) ，则 a = r e ( a + i p l ) ， p = 兄e ( 卢+ 卢2 ) ，a + 舢l ，芦+ i 肛2 c o n 7 己( 妒) t ( + i p l ) + ( 1 一t ) ( 卢+ i # 2 ) c o n n ( v ) ( 0 ts1 ) ie r e c o n 冗( 妒) 是凸集。所以 c o nr e ( 冗妒) cr ec o n 冗( 妒) 下面证相反包含关系。设a r e c o n 兄f i o ) ，则存在 使得 a l + i 肛1 ，a 2 + i 肛2 冗( 妒) a = r e p ( a l + i p l ) + ( 1 一t ) ( a 2 + t p 2 ) 】= a 1 + ( 1 一t p , 2 ，a l ：a = 2 r e 冗( 妒) 故 a c o n t z ( r e 妒) 综上所述，r e c o n 冗( 妒) = c o n r e 冗( 妒) 。 口 5 四川大学硕士学位论文 3 具有日。o + e 型符号的7 1 d 印胁z 算子 在单变量的h a r d y 空间情形，符号在日”( t ) + c ( t ) 中的t o e p l i t z 算子有 许多美好的性质，在多变量的h a r d y 空间情形，对f 直t o e p l i t z 算子的性质具有 很多本质性的变化这可以从d a v i e 和j e w e l l 的文章 2 中看出，然而，诚如d a v i e 和l e w e l l 的文章所显示的，在多变置情形，具有日一+ c 型符号的t o e p l i t z 算子 也许相对于一般符号保持了更多一些单变量情y 眵t o e p l i t z 算子的性质。【3 文中 证明了以下两个结论： 定理3 1 如果妒l o o ( t ) ，p 2 则耳的本质谱以( 咒) 是c 的连通子集。 定理3 2 设1 p 2 ，妒l ”口) ，则耳的本质谱口。( o ) 是连通的 那么，日2 ( ) 上具有日”+ e 型符号的t o e p l i t z 算子还有一些什么样的性质呢? 这正是我们接下来要讨论的。 我们记 日。+ c = ，l l f = u + u ，u h o 。，u c 则由r u d i l l 【8 】知，日。+ e 是l ”的一个闭子代数。 设x 是b 8 祀。吐空润，日僻) 为y 上有界线性算子全体，x 于- t b 瞬】， ( 丁) ，r ( r ) 分别表示t 的零空间和值域。 若d i i l l n ( t ) 。且r ( 丁) 闭，则算子丁称为上半f r e d h o l m 算子； 若d i m 彰r ( 即 o 。且冗( t ) 闭，则算子t 称为下半f r e d h o l m 算子。 设妒l 。p ) ，定义二2 ( 盯) 上映射耽： m d = 妒， 其中，l 2 p ) 。则肘j 是l 2 ( 口) 上线性有界算子。 6 四川大学硕士学位论文 若妒l ”( 口) ，有盯( 如) = 佗( 妒) 成立。 定理3 3 设妒h ”+ g 则妒在l 。( p ) 中可逆擗咒有闭值域，j g - d i mk e r 孔 0 ，使得对v g h 2 ( p ) ，吲l = l ， 有 i i 屿g l l e ，i _ el i m ，i g l l 5 从而对v 9 h 2 ，有 恻z 引z d 盯5 ：，i l g l l ：l ， 或 l 妒1 2 9 1 2 d a 2 l g l 2 d o - j s nj s “ 令g ；( ) = ( 1 + ) 2 ，以= 1 1 + i 从d ( 7 = 雠( ) 1 2 出则 s “j s “ 2 瞵( f ) 1 2 d o 2 d k j s n 注意对：在s ”中的任一邻域0 ( 。) ，有 血型= 业硼( 。吼 d k 由于对正的 c ( s “) ，有 ( 。) i 妒( 钟鳅钟如( ) 打( ：) 5 2 ( ：) 帜卯打( ) 如( z ) js “j s n j s njs n 而 掣鬻d o ( z 叫n j ；。供( ) 1 2 ) ”“” 8 四川大学硕士学位论文 掣瓣刈n厶雠( ) 1 2 打( z ) ” 进而，v g c ( s “) ，有 i 妒( ) 1 2 1 9 ( ) 1 2 d c r ( f ) 2 i 9 ( f ) 1 2 打( ) d s nd s n 这说明l 妒( ) l a e ，这与假设下方无界矛盾。故必有 ch 2 使| | j l = 1 ，且j | 帆 j | 一0 ，从而 i m 刊 i l 一0 进一步 1 1 d | | 一0 ，i | 五，i i l 一0 不妨设 弱收敛于，我们需要证明| | 一州不收敛于0 否则由 i 乙 一l 刷一0 ， 得到 兄f = 0 由 j | 习吲 一五引州一o ， 得到 司口l ，= 0 于足 = 0 ，i eb 。i 妒| | ，1 2 d 盯= 0 即i 妒，f = 0 1 扫r u d i n 4 t h5 5 9 ，妒0 ，我们立知，= 0 ，这说明| i | 一0 这与| i | | = l 矛盾故f f 一f l l 不收敛于o ，i e a 是非列紧序列，所以r ( 弓) 不闭。由上述 定理立得 推论3 1 设妒h 。o + e ( p ) ，则亿( 妒) = ao 一 没有闭值域 9 四川大学硕士学位论文1 0 推论3 2 设妒c ( s “) ，则l 是f r e d h o l m 算子的充分且必要条件是巧有闭值 域。 推论3 3h ”( 驴) 中不存在连续的内函数 命题3 1 设妒日”+ c ( s “) ，a 口( 巧) 冗( 妒) ，则 是耳的特征值或天是砖的 特征值 证明由推论3 ，1 ，若 a 口( 乃) 冗( 妒) ， m 4 l 一 有闭值域。若 k e r 耳一 = k e r e 一 = ( 0 ， 则耳一 是可逆算子，这与a 口( 巧) 矛盾。所以，k e r t 。, 一 k e r e 一 至少有一 个不为o r - 1 由推论2 1 ，我们可以看出冗( 妒) 与口。( 咒) 一般来说是不相等的但两者差别 似乎不是很大，d a v i ea n dj e w e l l 猜想：若妒h 。4 - c ( s “) ，则口( e ) 佗( 妒) 是 一个离散集合。他们甚至猜想对于所有的妒工m ，这个猜想也有可能是正确 的。但是这个猜想仍未能得到证明，在( 2 】中他们给出了一个稍弱一点的结论： 若妒h 。+ c ( s “) ，a 不在口( 妒) 中，, l j f r e d h o l m 算子l 一 的指标为零。 命题3 2 设妒日。+ a 则巧可逆静瓦有闭值域，且有零核 寺l 下方有界。 故口( 耳) = a cj 巧一a 下方无界 证明显然，对于妒日o 。+ c ，耳可逆铮d 下方有界。故我们只需证d 可 逆铮弓有闭值域且k e r 巧= o ) 。进而只需证，若k e r 弓= o ) ，且r ( l ) 是闭集，则d 可逆。事实上，由定理的推论3 2 ，知此时l 是f r e d h o l m 算子， 而i n d l = 0 ，故乃是可逆的。 这个命题与单变量情形有很大差别，在单变量时，对妒日* + c ，死可 逆的充要条件是妒在e ( 丁) 中可逆，j i i n d 已= 0 我们知道在单位圆周上，我们 四川大学硕士学位论文 i l 有如下结论成立： 定理3 4 若妒是内函数，则h 2 一( p h 2 是有限维的当且仅当妒是连续的。 但是在多变量情形，情况发生了很大变化，事实上，我们有 定理3 5 若妒h 。( p ) 是内函数，h 2 一妒伊是有限维当且仅当妒是常数， 证明 只需要证明必要性设h 2 一( p h 2 是有限维的，于是e r e = h 2 一归h 2 也 是有限维的，进而，已是- - f r e d h o l m 算子但 口( 瓦) = ( 马) 所以，l 还是可逆的，故可= 妒“h 。因而妒是常数。口 定理3 6 设妒h ”( p ) ，日2 一( p h 2 是有限雏的当且仅当p 在日”( 铲) 中可逆 故对妒h 。( 铲) ，或者d i m ( h 2 一妒日2 ) = o o 或者h 2 = 妒日2 证明 设日2 一( p h 2 是有限维的，贝, l j k e r e = h 2 一妒日2 也是有限维的于是l 是f r e d h o f m 算子但 盯( 巧) = ( 瓦) ， 我们得到巧可逆，进而妒在h 。( 伊) 中可逆。显然此时有日2 = p h 2 口 由此定理立知，若妒h ”( s “) 不可逆，n d i m ( h 2 一妒h 2 ) = 0 ( 3 注意此 时妒2 并非闭子空间。 四川大学硕士学位论文 4t o e p l i t z 算于的f r e d h o l m 性质 a l l e nd e v i n a t z 在文【5 】中给出了单位圆周上t o e p l i t z 算子可逆性的一个充 要条件。 定理4 1 设x 是紧的日n u s d d r ，空问，妒是x 上的有界可测函数。则。可逆的 一个充分且必要条件是： ( 1 ) e s si n f 【p l 0 ( 2 ) 存在9 日。，使得：h ”，并且存在这样的6 0 ，使得： i 细g 妒l s 在本节中我们将给, m , t o e p l i t z 算子为f r e d h o l m 算子的一个充要条件 引理1 【1 】 设妒l ”( r ) ，川 0 ，则存在外函数g ，使得引= 川换 言之，存在幺模函数审，使得妒= 妒g 引理2 【1 】 设妒l ”( t ) ，若l 为f r e d h o l m 算子，则妒在l 。中可逆。 引理3 【2 】 设妒l 。，川= 1a e ，则耳是左f r e d o f m 算子的充要条 件是d i s t ( 妒，h o 。+ c ) 1 。注：由引理3 知，对幺模函数耳是f r e d d f m 算子 的充要条件是 d i s t ( 妒，h 。+ c ) l 且d i s t ( ，h 。+ c ) s 0 由引理3 1 ，知道存在幺模函数妒及外函数g ，使得，= q a g 因为d 是f r e d h o l m 算子，巧，= 巧正也是f r e d h o l m 算子注意n g 是外函数，故l 有稠值域。因而 1 2 四川大学硕士学位论文 1 3 若乃y f 是f r e d h o l m 算子，则弓下方无界因而z k 也下方无界，这与d i mk e r t v 口 - 冗( 耳，) 是闭的矛盾。故码必是，r e d o f m 算子。进而g 是日。o 中可逆元，从 而b = 巧毛一，也是f r e d h o l m 算子。由上面的注知道， m a x ( d i s t ( 妒，h 。+ g ) ，出缸( ，口。十e ) ) 1 a e i i ) 成立。反之，若i ) ，瓿) 成立，于是存在g h o 。，9 可逆，使得引= i i ，且 d i s t ( g 一1 ，胃。+ e ) ，d i s t ( i j 7 ，h o 。+ c ) ) 1 于是弓一z ，是f r e d h o l m 算子。a e 巧码一- ：是f r e d h o l m 算子。但疋一- 是可逆的， 所以我们得到乃是f r e d h o l m 算子。 口 四川大学硕士学位论文 1 4 参考文献 1 】r g d o u g l a s ，b a n a c ha l g e b r at e c h n i q u e si no p e r a t o rt h e o r y , a c a d e m i cp r e s s ， n e wy o r k ，1 9 7 2 2 】a m d a v i da n dn r j e w e l l ，t o e p l i t zo p e r a t o r si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ， j f u n c t i o n a la n a l y s i s2 6 ，3 5 6 - 3 6 8 ，1 9 7 7 3 】g f c a oa n ds h s u n ，t h ee s s e n t i a ls p e c t r u mo f t o e p l i t zo p e r a t o r si nh 9 ，c h i n e s es c