（基础数学专业论文）含凹凸函数的半线性微分方程解的确切个数.pdf

南之撼要 摘要 本文研究的方程形如： 0 7 ( z ) + a f ( u ( x ) ) = 0 ，- 1 z 1 ；u ( - 1 ) = u ( 1 ) = 0 其中函数，( 乱( z ) ) 的形式在不同问题中不同，例如在研究气体燃烧的稳态状态 时，对应函数。厂( u 伍) ) = e 黹。其中q 是参数；在研究反应扩散方程时，对应函 数厂(u(z)；t工au b u c ，其中a ，b ，c 都是参数；在很多几何和数学物理分支问 题中，对应函数厂( u ( z ) ) = 矿+ 俨，其中p ，q 都是参数，0 p 1 q 等等对该类方程 解的研究是微分方程学科的重要分支，经分析知方程的解和参数入取值及函数， ) ) 的 性质都有很大关系，本文重点研究的就是当函数- 厂( u ) 是凹凸类型时对应的方程解 的确切个数经过阅读大量的相关文献( 【1 】【6 1 ，【1 3 ，【2 0 】，【2 1 1 ， 3 8 l 【4 1 】，f 4 3 ，【4 6 】，【4 7 1 ) ，我 们知道方程的确切解个数的确定是个很不容易的问题( 【8 】，【1 5 ，【1 7 ，【2 4 】，【2 s ，f 3 7 】，【4 3 】) ， 目前只有对特殊的函数。厂( 让扛) ) 的一些结论对上述闯题的研究目前采用的方法 主要有：t i m e m a p 方法和分歧方法两种前一种t i m e m a p 方法是一种长久 以来普遍使用的方法，例如，在t h e o d o r e l a e t s c h ，z s m o l l e r a n d a w a s s e r m a n ，s 一 h ，w a n g ，等人的文章中普遍出现( 参见文献( 【8 】 1 5 】【1 3 】【1 7 】) 等) 分歧方法是 由y i l i ，r i 口n c 九e 仃9 d 让夕口n 9 ，j u n p i n g s h i ，p h t l i p k o r m a n 等发展起来的，它适用于研 究毋内球上的半线性椭圆方程( 【l 】【2 】【5 】f 6 】( 1 0 】f 2 4 】【3 8 】【3 9 】【4 0 】【4 3 】) 本论文用t i m e m a p 的方法研究一类半线性微分方程的确切解个数问题解决了当非线性项为两种不同情形下 的微分方程的确切解个数问题，同时解决了用t i m e m a p 方法确定解曲线的临界点处转 向的问题在高维情形中，证明线性化方程的解为正解是问题的最难点( 【3 】【4 】【3 8 】) 在文 献【3 】中，作者采用一个重要的恒等式较容易地解决了这个问题，并采用t i m e m a p 方法 得到确切解的结论在文献【4 】中作者利用极值原理和一系列巧妙的构造证明了线性化方程 的解为正解，并利用变分方法得到了关于方程的确切解个数的一些结论，同时也提出了 一些开放式问题，其中之一是对该问题相应一维情形下的解曲线的描述，本论文第三章 命题二正是对该问题的较好的解决，本论文其它部分的内容安排：第一章，绪论；第二 章，含有超线性凹凸项的半线性微分方程解的结构；第三章，含有超线性次线性混合项 的半线性微分方程解的结构 关键词：t i m e m a p ，确切解个数，偏微分方程 第j 页 卜海师范人学硕士论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , ia mg o i n gt od i s c u s st h ee q u a t i o n ： u ( z ) + a f ( u ( z ) ) = 0 ，- 1 1 ；u ( - 1 ) = u ( 1 ) = 0 i nw h i c ht h ef u n c t i o nf ( u ) h a sd i f f e r e n tf o r m si nd i f f e r e n tq u e s t i o n s f o re x a m p l e ，w h e nw ed i s - c u s sg a s e o u sc o m b u s t i o n ss t a b l es t a t ec o n d i t i o n t h ef u n c t i o n ，( 乱( z ) ) = e 芾w h e nw ed i s c u s s r e a c t i v ed i f f u s i o ne q u a t i o n ，t h ef u n c t i o n 厂( 让( z ) ) = t 正一口u 一6 钆一c ；i ng e o m e t r yo rm a t h e m a t i c s p h y s i c sd o m a i n ，t h ef u n c t i o n ，( u ( z ) ) = 妒+ 俨，0 p 1 q a n d s oo n i ti so n eo f t h em o s t i m p o r t a n tb r a n c h e s ，t h a tm a n yp e o p l ea r ed e v o t e di nr e s e a r c h i n gt h i sk i n do fe q u a t i o n s s o l u t i o n s 。 a f t e rc a r e f u la n a l y s i s ，w ec a nf i n dt h es o l u t i o ni n t e g e ri sc l o s er e l a t e dw i t hp a r a m e t e r aa n dt h e f u n c t i o n ，( 铭) i nt h i sp a p e r ，1 锄g o i n g t od i s c u s st h ee x a c tm u l t i p l i c i t yw h e nt h ee q u a t i o ni sl i k e c o n c a v e c o n v e x a f t e rr e a d i n gm a s s i v er e f e r e n c e s ( 【1 1 【6 】【1 3 】，【2 0 ，【2 1 ， 3 8 1 【4 1 】，【4 3 ，【4 6 ，【4 7 1 ) ， w ek n o wt h i si sn o te a s y ( 8 ， 1 5 ，【1 7 j ，f 2 4 ，【2 8 ， 3 7 ，f 4 3 】) t op r e s e n t ，t h e r ei sf e wc o n c l u s i o n i nv i e wo fs o m ec e r t a i no fe q u a t i o n s t h em o s tt w oi m p o r t a n tm e t h o d si st i m e - m a pm e t h o d a n db i f u r c a t i o nm e t h o d t h ep r e c e d i n g1 【i i l di su s e df o rm a n yy e a r s f o re x a m p l e 。i ta p p e a r si n m a n yp a p e r sf r o mt h e o d o r el a e t s c h ，j s m o l l e ra n da w a s s e r m a n ，s - h ，w a n g ( 8 1 5 1 1 1 3 1 7 ) ) b i f u r c a t i o nm e t h o di sd e v e l o p e db yy i l i ，t i a n c h e n go u y a n g ，j u n p i n gs h i ，p h il i pk o r m a n t h i s m e t h o di sm o s t l yu s e ds e a r c h i n gf o rs e m i - l i n e a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nan - d i m e n s i o n a l b a l l ( 1 】【2 】f 5 】【6 】 1 0 】【2 4 】【3 8 】【3 9 【4 0 】 4 3 】) ) i nt h i sp a p e r , ia r ng o i n gt ou s et i m e - m a pm e t h o dt o s o l v et h ee x a c tm u l t i p l i c i t i e so fak i n do fs e m i l i n e a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s is o l v e 山e c o r r e s p o n d i n gp r o b l e mc o n t a i n i n gt w o k i n d so fd i f f e r e n t ，( z ) ，w h a t sm o r e ，is o l v et h ep r o b l e m h o wt ou s et h et i m e m a pm e t h o dt og e tt h ec h a n g ed i r e c t i o no nac r i t i c a lp o i n t w h e nt h ed i m e n - s i o ni st h r e eo rm o r e ，p r o v i n gt h el i n e a re q u a t i o n s s o l u t i o n si sp o s i t i v ei st h em o s td i f f i c u l t y i n t h ep a p e r 【3 】，t h ea u t h o re a s i l ys o l v e dt h i sq u e s t i o nw i t ht h ea i do fa l li d e n t i c a le q u a t i o n i nt h e p a p e r 【4 】，t h ea u t h o rs t a t e ds o m eo p e nq u e s t i o n sa f t e ro b t a i n i n gag o o d c o n c l u s i o n ia mg o i n g t od i s c u s st h es o l u t i o n s c u r v ei i io n ed i m e n s i o n i nc h a p t e r1 ，i n t r o d u c t i o n ：i nc h a p t e r2 ，t h e s o l u t i o n ss t r u c t u r eo fs e m i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n t a i n i n gs u p e rl i n e a ri t e m s ；i nc h a p - t e r3 t h es o l u t i o n ss t r u c t u r eo fs e m i 1 i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n t a i n i n gl i n e a r - s u p e rl i n e a r c o n c a v e c o n v e xf u n c t i o n s k e yw o r d s ：t i m e m a p ，e x a c tm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 第1 i 页 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人 或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发 和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：栖j 7 日期：伽a 7 卑，月一日 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其 它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：赤籼矽导师签名： 动日期：谚夕争瑚，尹且 嚣r 一爹终沦 本文要研究的方程形如： 第一章绪论 1 1前言 ( 2 ) + a ，( 珏( z ) ) = 0 ，- 1 z 1 ；u ( - 1 ) = 钍( 1 ) = 0 ( 1 - 1 ) 其中a 是一正参数，函数厂( u ( z ) ) 的形式在不同问题中不同例如在研究气体燃烧的稳 态状态时，对应函数，( 乱( z ) ) = e 嚣，其中d 是参数：在研究反应扩散方程时，对应函 数i厂(让(o)=a?g b u c ，其中口，b ，c 都是参数；在很多几何和数学物理分支问题中， 对应函数，( 缸( z ) ) = 扩+ 舻，其中p ，q 都是参数，0 p 掣时方程( 1 - 1 ) 最多只有一个解( 【4 6 】) ；在【1 3 】中作者确定次线性f ( u ) r 满足f ( o ) 0 ，( 缸) 有一次凹凸 变化对应的方程解曲线是s 形的；在i s l 中作者针对。，( 乱) 分别是凹函数和凸函数且满足一些 其他条件下的方程，得到了解曲线图，即多解个数近年来，函数为凹凸混合，次线性超 线性混合的问题受到人t r i g 一泛关注( f 1 0 1 1 1 8 2 4 4 6 4 9 等) 。受到以上工作的启发，我们 对此类问题做迸一步研究本文解决了三类不同的包含凹凸函数的方程的多解性问题同时 完善了t i m e m a p 方法本章将首先介绍t i m e m a p 方法的具体内容及使用方法，并介 绍已得到的一些结论，尤为重要的是作者在此基础上得到的确定解曲线临界点处转向的 结论在第二章将解决含有超线性凹凸项的半线性微分方程解的结构问题，即多解问题在 第三章将解决含有超线性次线性混合项的半线性微分方程解的结构问题 1 2 t i m e m a p 方法 本文要研究的方程形如： ( z ) + x f ( u ( x ) ) = 0 ，- 1 z 1 ；u ( - 1 ) = u ( 1 ) = 0 第t 页 卜海师范大学硕士论文 i e f ( u ) = 片f ( z ) d z ，那么上述方程两边同时乘以u ( z ) 整理得： f 妄( 让，) 2 + a f ( 让) e = 0 g i l a ，至1 ( 缸，) 2 + a f ( u ) 为常数，记为e ( z ) 因此， 11 e ( z ) = 专( u 7 ) 2 + a f ) ) = 去( 乱7 ( o ) ) 2 + 入f ( u ( o ) ) ( i - 2 ) 在本节中，假设条件乱7 ( o ) = o ，u ( o ) = 叱v ( 1 ) = 0 ，口7 ( o ) = 0 ，v ( o ) = 1 ”，各自都在第二章 第二节引理部分有相应的证明在上式中，u 7 ( o ) = 0 ，设乱( 0 ) = a 那么整理可得： ，t 2 a2 币丽了弼( 1 - 3 ) 该式明确表达了参数a 和方程的解之间的关系，这是分析解的个数的基本依据 取z = 1 ，考虑到，u ( 1 ) = 0 ，f ( 0 ) = 0 由( 1 2 ) 可得：u r 2 ( 1 ) = 2 a f ( a ) 0 所以， f ( q ) 0( 1 4 ) 由此可以初步判断方程( 1 1 ) 的解的存在性 当z ( 0 ，1 ) 时，u ) 0 ，易知， 瓜一瓦赢与丽 m 5 ) ( 1 - 5 ) 式在区间 0 ，z 】上积分得：弧z = 一j 0 x ，。vu u 。i 厂d x 丽， ( 1 - 5 ) 式在区间b ，1 】上积分得：弧( 1 一z ) = 一f ：、，。v u u 。t 厂d x 丽， 在上述积分等式中换元，令让( z ) = 得： v a x = - _ 川f u 。( ，z 两啬葡= 面啬葡 m 6 ， 及： 咖叫= j e 焘t m 7 ) 缸( 1 )、z 、，l 乜j 一，lj 令( 1 6 ) 式中z = 1 得： 颤= z 口面丽d t ( 1 - 8 ) 该式中清楚表明了参数a 和解的最大值之间的关系，这将是分析解结构的重要依据 令( 1 8 ) 式中t = q u 就得： 以= z 1 瓦丽a d v ( 1 - 9 ) 由于上述得到的方程和射击问题中发射高度与行进时间之间的关系方程类似，因此称 之为t i m e m a p 方法 第2 页 苇一章绪论 1 3 本文用到的记号及恒等式 e ( x ) = i 1 r 2 + 入f ( u ( z ) ) ； f ( u 、= 姥f ( x ) d x ； a ( x 1 = 俨一v t t v ； 日( 锃) = f ( 钍) 一 乜，( 缸) ； 于是 巢：厂1 里止坠芝d v( 1 1 0 ) 丽5 以两丁碲 u 1 ，( 让) = 乱厂7 ( 让) 一厂( u ) ； j ( 缸) = f 2 ( 2 ) 一2 f 7 ( 珏) f ( 缸) 等式u + a f ( u ) = 0 两边对z 求导再乘以到与等式+ , x f 7 ( 缸) = o n 边乘以后相减， 考虑至q v ( o ) = 1 ，锃7 ( 0 ) = 0 整理得： 缸u 一 7 让7 = 让( o )( 1 1 1 ) 等式+ a ，7 ( 乱) u = o 两边乘以u 与等式+ a ，( u ) u 2 + a ，7 u = o 两边乘以u 相减整理 得： ( u u 7 咎) 7 一x f ( 珏( z ) ) 舒3 = 0 ( 1 - 1 2 ) 等式秽0 ) + , x f 7 ( 让( z ) ) u = o n 边同时乘以乱7 得：( z ) 0 + , x f 7 ( 铭( z ) ) = 0 即 ( z ) u 7 + ( a j f ( u ( 2 ) ) u ) 7 一入，( 札( z ) ) 7 = 0 由等式+ a ，( 钍) = o 得：一入，( u ) = ，将该式代入上式整理得： i u t y t + 入，( 乱) 纠= 0 所以乱臼7 + 入厂( u ) 廿为常数取。= o 则，, u t ( o ) = 0 ，v ( o ) = 1 ，u ( o ) = 乜得： u t , v t + a ，( 让) 口= a f ( a ) ( 1 1 3 ) 等式u + ：x f ( 钍) u 2 + a ，u = 0 两边同时乘以乱7 整理得： ( u 7 u 7 ) u 也+ a ，( u ) 钆7 口2 + a 厂7 ( 乱) 让7 u = 0 把让= 一a 厂( 札) 代入上式整理得： ( u 孔7 ) 7 十( a 厂( 让) ) 7 + ( a 7 ( 乱) 。2 ) 7 2 a f 7 v v 7 = 0 再把一a ，7 ( 牡) 秽= 耖代入上式得： ( u 让7 ) + ( a f ( u ) w ) 7 + ( a f 7 ( 乱) t ，2 ) 7 十2 v 口7 = o 第3 页 卜海师范人学硕上论文 整理得：7 + a ，( u ) u + a ，( u ) u 2 + v t 2 ) 7 = 0 所以 _ 7 牡7 + a ，( 姐) u + x f 7 ( u ) 秽2 + u 忍= a ，7 ( 口) ( 1 1 4 ) 等式+ a f ( u 1 = o 两边同时对z 求导得： u ：+ a ，7 ( u ) u 王= 0 ， 等式- 4 - a ，7 ( 乱) 秽= 0 两边同时对z 求导得： + 入， ( u ) u z u + 入，( u ) = 0 注意：等式中的t 7 = u ，口= 有时只是为了计算过程更分明同时采用了两种等价的写法 上面两式顺次分别乘以，再相减，整理后在【o ，1 】上积分得： ，l ，i ( 缸：一) 如一入，( 札) u ：u 出= 0 ( 1 1 5 ) j 0j 0 即： 一l ，j ( u ：v x 一钍) d x 一入，( 让) u ：u 出= 0 ，0- ，0 定理1 1 ：( 隐函数定理) 设x ，人和z 都是b a n a c h 空间，厂( z ，入) 是xxa 的子集u 到z 上的 连续映射设，关于x f r e c h e t 可微，厶( z ，入) 在u 上连续，假i 受f ( x o ，入o ) 对某个点( z o ，k o ) u 成立，如果厶( z o ，知) 是x 到z 上的一个同构映射，那么存在一个球b r ( 入o ) = a ：i ia 一i i 0 ，且k 7 ( z ) 和g ( z ) 在k6 】上连续，假设1 ( 。) 和沈( z ) 分别是以t s t u r m 一工l 伽 饿e 方程的 解 l 【可1 】+ a 1 9 l ( x ) y l = 0 ， 和 三】+ a 2 晚( z ) 耽= 0 其中在k ，b l - a 2 夕2 ( z ) a 。夕- 扛) ，且9 1 ) 和卯扛) 在f 口，6 】上连续t 则在y 1 ) 任意两相邻的 零点q 和口之间( 其中o o t p 6 ) 至少有夕2 ( z ) 的零点，只要在l o t ，纠上a 1 9 l ( z ) 不恒 等a 2 夕2 ( z ) 本文要解决的问题主要有： 1 4 本文要解决的问题 第4 页 苇一聋垡论 ( 一) 当方程 l i f t ( 2 7 ) + 入，( 珏( z ) ) ；0 ，- 1 z 1 ；u ( - 1 ) = 0 = 乱( 1 ) 中函数，缸) 满足y ( o ) o ，且存在常数c ，当乜( 0 ，c ) 时， ( 缸) 0 ， 方程的解的结构 ( 二) 方程 u ( z ) + a ( 矿+ 伊) = 0 ，- 1 z 1 ；u ( - 1 ) = 0 = u ( 1 ) 的解的结构。 ( 三) 研究一类在几何学和数学物理分支中出现的微分方程相应的方程解的结构，方程形 如： u ( z ) + 久矿+ 9 = 0 ，0 p 1 f 1 ) 那么方程( 1 一1 ) 的解有两种情况： 第一种情况，若f 7 ( 缸) 掣x c j u o 恒成立，且零点最多只有一个，那么存在一 点知= 入( 目) ，当入( 0 ，a o 】时方程( 1 1 ) 有唯一解，且当入一。耵j u ( o ) _ o o ； 第二种情况，若存在两点q ，b ，使得当u ( 0 ，n ) u ( b ，o 。) 时厂) 掣；当缸( o ，b ) 时，7 ( 让) 掣且九( 6 ) 20 ，那么存在a l ，a 2 ，a 3 ，a l o 都有入( q ) 与之对应。假设有两个参数入l ( q ) ，x 2 ( a ) 和q 对 应，且满足u 1 ( o ) = u 2 ( o ) = a 显然a l a 2 ，否则结合u ：( o ) = 啦( o ) = o 及初值问题解的唯 一性知u 1 ( z ) 三u 2 ( x ) 注意到，u 1 ( 六z ) 和u 2 ( 孺1 ) 都是初值问题+ ，( u ) = 0 ，让( o ) = o i ，u ( o ) = o 的解 那么乱t ( 六z ) 兰让2 ( 太z ) 事实上，u t ( 六z ) 当z = 、石时为o ，而让2 ( 蕊1z ) 当z = 夏时 为0 所以，o l 最多确定一个a 和一个解钆( z ) 引理2 3 ：若u ( z ) 是方程( 1 1 ) 的正解，缸( o ) = q 函数，( 札) 满足，有唯一的曰使 锝譬，( 缸) 如= o 成立1 i r a 。o o 掣= + 。，那么2 i m + 久( a ) = o 成立 证明：由条件t m u + 掣= + 。知，对任意m o 存在r ，当乱r 9 时：f ( u ) m u o k 立 那么，如果q = 让( 0 ) 2 r 则， 当r 缸 2 冗时 扣小= z a 南( 铆f 南+ o 冗丽d u 】 ( 扣三+ 丽1 ) 成立 因此，l i r a 口+ 己a ( a ) = o k 立。 引理2 。4 ：缸 ) 是方程( 1 1 ) 的正解，若存在z o 满钍t ( 2 7 0 ) = o ，那么锃( z ) 关于z = z o x c 乖g 证明：由于u ( z ) 满足( 1 1 ) ，那么u ( 2 一z ) 也满足( 1 一1 ) 又由于( 跏) = o ，那么t 7 ( 2 z o 一。) 当。= 。o 时等于零 由初值问题解的唯一性失n u ( z ) = u ( 2 z o z ) ，即说明u ( z ) 关于z = 2 7 0 对称 引理2 5 ：方程( 1 - 1 ) 的正解在f 1 ，1 】上有正的最大值，无正的极小值 证明：方程( 1 1 ) 的解满足钆( 1 ) = 让( 1 ) = o 且u ( x ) 0 ，z ( 0 ，1 ) ，那么乱( z ) 在( 一1 ，1 ) 一定 有正的最大值，设最大值点为：t o 。 设让( z ) 在( 一1 ，1 ) 也有正的局部最小值点，不妨设为z 1 ，那么u 7 扛1 ) = 0 又由于让( 1 ) = 0 ，那么必存在z 2 ( z 1 ，1 ) 满足u ( z 1 ) 5u ( z 2 ) ，且满足u 7 ( z 2 ) 0 的两个不同的解，那么对任意z ( 一l ，1 ) ，u 。 ) “2 ( z ) 和u 1 ( z ) u 2 ( z ) 只有其中之一成立即，对应同一个参数的两个不同 解在区间( - 1 ，1 ) 上没有交点 证明：由引理2 2 知：珏l ( 0 ) 让2 ( 0 ) 。不妨设让1 ( o ) 地( 0 ) 假设在区间( o ，1 】上存在两个相邻的交点s l ，s 2 ，0 u ：( s 1 ) ，u j ( s 2 ) 呓( s 2 ) 0 由等式( 卜2 ) 知，e ( u l ，8 1 ) e ( u 2 ，s 2 ) 那么e ( 缸1 ) e ( 地) 矛盾 引理2 7 ：设珏扛) 是方程( 1 1 ) 的正解，且( 1 1 ) 相应的线性化方程 + a ，( 心) u = 0 ，v ( o ) = l ，, 0 t ( o ) = 0 ( 2 1 ) 有非平凡解，那么解2 ，扛) 在i o ，1 ) 不变号 第8 页 第二章会穹起发蛙竺凸j 夏鲰、f 线! 生微分方噬壤鲍焦拘 证明：首先( z ) 也满足方程( 2 一1 ) ，但由引理2 。l 知，u ( z ) 是二次可微的。由推 论2 1 知，缸( z ) 在z = o 处取得最大值所以缸( o ) 0 引理2 8 ：设u ( z ) 是方程u ( z ) + a f ( u ( x ) ) = 0 ，- 1 o ，( 让) o 成立，g l i r n 让。掣= o 。，那么， a 7 ( 口) 0 ，当缸 a 时， 日7 ( u ) 么时日( 鸪 0 这样就有当髓一o o 枣t h ( u ) _ 一o 。那 么当让( 0 ) = q 足够大时 i - z ( 口) h ( o d ) ，0 t 1 再考虑到 潞= 以z 1 揣 得 a 7 ) 0 已知屁m u 掣= + o 。， 由罗比达法则知，当u 足够大时厂7 ) 一0 0 ，l i r n u - - * 0 0 t ( u ) = + o 。 由中值定理知：f ( q ) 一f ( c y t ) = f ( a t o ) ( 1 一亡) ，其m ( o t o 1 ) 当u 足够大时，( u ) 单增 若o ，( 三q ) 互1 口 若j 厂( 丢口) a ( 1 一t ) 所以 以= 0 1 面褥a d t 雨 o 。可a 丽d t 卜海师范大学硕上论文 娠 0 ，- 1 z 0 那么( 1 ) 0 ，- 1 0 ，u ( x ，入，q ) 是方程( 1 1 ) 的解， 那么当q 口时苏( 1 ，入，及) 矽 由( 1 2 ) 知u 吃( 1 ) = 2 a f ( a ) 0 因为u ( z ) 0 ，z 0 ，1 ) ，u ( 1 ) = o 所以， u 7 ( 1 ，入，o z ) 口 因为方程( 1 1 ) 的解等价于初值问题：+ a 厂( u ( z ) ) = 0 ，u ( 0 ) = q ，仳7 ( 0 ) = 0 当让( z ) o ，u ( 1 ) = 0 时的解。而u ( z t ，a ，q ) 和让( z ，支2 ，q ) 都满足以上初值问题由初值问题解的唯一性 知： u ( z t ，入，q ) = u ( x ，a t 2 ，o t ) 该式两边同时对t 求导得： 黜钕“，加2 屉罴如胞2 口) 取t = l 得： 再令z = 1 得： 所以 “( m = 2 a 彖u ( 啪 让7 ( 1 ，a ，q ) = 2 x a o a u 缸( 1 ，a ，q ) 瓢抽) o ，。【o ，1 ) 那么， u 7 ( z ) 0 根据初值问题解的唯一性知 ，( 1 ) 0 所以。( 1 ) 的符号和君入，( 珏( 2 ) ) 影3 0 ) d 互的符号相反 因为钍( z ，a ，口) 是方程( 1 1 ) 的解，因此 乱( 1 ，a ，q ) = 0 上式两边同时对q 求导数得： 罴( 1 ，料酬( q ) + 塞( 1 料q ) = o 上式两边再对q ! 求导得： 嘉( 1 黼口) 心卅2 患( 1 黼训卅象( 1 黼卅塞( 1 黼州) ：。 取q = o t 0 ，则a 7 ( q o ) = 0 因此 蠡( 1 0 ) + 塞( 1 ，0 ) q 艄：。 由引理2 】o 知，蠡( 1 ，a ，q ) 0 时为单调递减的 对任意0 t 0 ，( q ) 曼日( 越) 由等式( 1 1 0 ) 得：天( q ) 掣，当t ( o ，口) u ( 6 ，o 。) 时成立；i f ( u ) 掣当u ( 口，6 ) 时成立 又( 钍) = ( 掣一，( 锃) ) 知： 日( 缸) o ，让( a ，6 ) 那么 当0 o ，n i 比h ( b ) 日( u ) ，让( a ，6 ) 所以 日( 6 ) 一h ( b t ) 0 ，t 【0 ，1 】 由( 1 1 0 ) 得： a ”) 0 由日7 ( t 工) b h ( u ) = 一；u ，( u ) b c 知： 日( u ) 一一。o ，乱_ + o 。因此，必存在足够大的乱1 使得日( 让1 ) 日( d ) 。 那么当让u l 时日( u ) h ( u t ) ，t 【0 1 】，所以 a 7 ( 口) b 第1 2 页 笨一：章含胄趋缎缝翌凸虿约j 二线! 生微分方程鳜的结构 2 。解曲线的临界点 由以上分析知，( q ) 在o l ( 8 ，b ) 和o e ( b ，0 0 ) 分别至少存在一个零点 首先若零点o l o ( a ，c ) ，那么，( 口) o 矛盾， 若零点a o c 先证明，( ) b c p 时f ) 0 ，( u ) o 所以j 7 ( u ) 0 于是 ，陋) c 时，片入o ，( 乱) 仳7 2 d 方程+ a ，( 缸) t ，= o 两边乘以 与该式两边对z 求导后乘以 相减整理得： ( 俨一 ) 7 = a ，( u ) 让7 ”2 两边同时积分，同时注意至u v ( 1 ) = o ，v p ( 0 ) = 0 ，( o ) = 一a o f 7 ( u ( o ) ) u ( o ) 则： v t 2 ( 1 ) 一a o ，7 ( 口) = a o f ( 乱) 乱7 u 2 d x 由( 1 2 ) 知：俨= 2 a f ( a ) 将上式代入( 1 一1 3 ) 得：v r 2 ( 1 ) = 等措 所以 赤 ，2 ( q ) - 2 f 弘) f ( q ) 】= o a o f ( “) 幽2 d x 、一i 由上文知，( 口) 0 d z l 所以 b ，( 让) 秒3 d x 0 i ，0 根据引理2 1 1 知，a ( q ) 0 这就说明在o t o ( b ，0 0 ) 上极人值唯一，否则，若有极小值存在或有两个极大值必导致在该 区间上有极小值，这与a 撑( 口) 0 ，这一 点保证确定较大临界点的转向同时也成了影响结果更完美的瑕疵，那么若该条件减弱或 直接删减后，结论是否仍成立? 根据前面的分析，可以推测解曲线的走向，但是仍缺乏 理论证明并且该条件减弱，之前的准备引理不成立，要建立新的理论支持，这是就此还 可以再做的工作 第1 4 页 箭j 擎含弩起j 刚生次! 州t , 二z 1 混合：舅的f 嗲性徽努方程织的结构 第三章含有超线性次线性混合项的半线性微分方 程解的结构 3 1引言 本章中研究方程 ( 引、+ a 篡川) = 0 , x ( - - 1 , 1 ) ，( 3 - 1 ) iu ( - 1 ) = 让( 1 ) = 0 ， 和 p ( 引、+ a _ 忙o ，z ( - 1 , 1 ) ，( 3 - 2 ) 【u ( - 1 ) = 让( 1 ) = 0 ， 的多解性，a n i o n i oa m b r o s e t t e 在1 9 9 4 年采用上下解等方法得到n 维情形下的一些结 论 4 1 同时也提出了几个开放式问题，其中之一就是相应一维情形下方程解结构的细致描 述本章命题二就是对该问题的较好解决基于上一章的引理2 1 1 ，使得本章第一个命题能 简单清晰的证明 本章主要结论： 命题3 1 ：设函数，( 珏) = 妒+ 珏q ，0 p l 0 当a ( 0 ，a o ) 时有两个解；当a = a o 时有一个解 命题3 2 ：方程+ a u p + = 0 ，一1 o 当a ( 0 ，沁) 时有两个解；当a = 抽时有一个解；当a 入。时无解 3 2 函数f l