（固体力学专业论文）幂硬化材料V型切口端部高阶渐近场.pdf

幂硬化材料v 型切口端部高阶渐近场 摘要 本文在弹塑性断裂力学理论的基础上，以幂硬化材料中的v 型切口 端部场作为研究对象，运用理论推导和数值方法，推导并计算了平面应 变条件下，受远场拉伸载荷的切口端部场的四阶渐近展开奇异解。 文中给出了不同硬化强度材料中，不同张开角度的切口端部应力场 的应力奇异指数，分别描绘了各阶应力角函数分布曲线，分析了切口角 度和材料硬化指数两个重要参数对奇异场的影响。讨论了在高阶应力角 函数分布曲线中存在的自相似现象。结果表明，在切口角度, 8 4 5 。的大 角度切1 5 1 端部应力场，高阶渐近解已不具备很大意义。，) 本文给出了裂尖场及v 型切口端部场高阶解的结构，揭示了材料的 硬化特性及缺口角大小对上述端部场的主奇异性和更高阶奇异性的影 响，为多参数断裂控制理论提供了定性的研究和分析。 关键词： 渐近展开，v 型切口，高阶项，幂硬化，平面应变 本文由国家自然科学基金项目资助 h i g h e r o r d e r a s y m p t o t i c f i e l d sa tt h et i po fas h a r pv - n o t c h i nap o w e r - h a r d e n i n gm a t e r i a l a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ef o c u so nt h eh i g h e ro r d e ra s y m p t o t i cf i e l d ss u r r o u n d i n gt h et i po f a s h a r pv n o t c h ，w h i c he m b e d d e d i nap o w e r - h a r d e n i n gn o n l i n e a rm a t e r i a l t h ee l a s t i ca n d p l a s t i cm e c h a n i c s b a s i st h e o r yi si n c l u d e di nt h ea n a l y s i s as e r i e ss o l u t i o nf o rp l a n es t r a i n p r o b l e mi nm o d e ia r ed e r i v e da n dc a l c u l a t e d t h ed e t a i ld e t e r m i n e dp r o c e d u r eo ft h e o r d e rh i e r a r c h yi np o w e r so f ri ss h o w nu pt ot h ef o u r t ho r d e r t h eo r d e r h i e r a r c h yi np o w e r s o f tf o rv a r i o u s h a r d e n i n ge x p o n e n t na n dn o t c h a n g l e 卢i so b t a i n e d t h ea n g u l a rd i s t r i b u t i o n sf o rs t r e s sf o rs e v e r a lc a s e sa r ep l o t t e d t h es e l f - s i m i l a r i t yb e h a v i o rb e t w e e nt h eh i g h e ro r d e rt e l t n si sn o t i c e d i ti sf o u n dt h a tt h et e r m s w i t l lh i g h e ro r d e rc a nb en e g l e c t e df o rt h ev n o t c ha n g l e1 2 4 5 0 t h e p r e s e n tw o r kp r e s e n t st h eh i g h e ro r d e ra s y m p t o t i cf i e l d sa tt h e 矗po f as h a r pv n o t c h ( o rc r a c k ) i nap o w e r - h a r d e n i n gm a t e r i a l ，s h o w st h er e l a t i o n s h i po ft h es t r e s sf i e l d 诵t l lt h e h a r d e n i n ge x p o n e n t na n dn o t c h a n g l e 厦 k e yw o r d s ： a s y m p t o t i c ，v - n o t c h , h i g h e r o r d e r t e r t n s ，p o w e r - h a r d e n i n g , p l a n es t r a i n c h i n a a c k n o w l e d g e m e n t - - t h i sw o r ki ss u p p o s e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d m i o no f 1 1 引言 第一章绪论 据统计，因材料和结构的破坏所造成的损失占一些工业化国家的国民经济生产 总值的8 - 1 2 ，而由于机件、构件及电子元件的断裂、疲劳、腐蚀、磨损破坏， 每年造成的巨大的经济损失，占美、日、欧共体等发达国家每年的国民生产总值的 6 - 8 。此外破坏事故还造成人员的伤亡，不言而喻，其后果是无法估量的。由 于种种原因，我国的情况甚至比西方发达国家更为严重。据我国劳动部统计，我国 锅炉和压力容器的爆炸事故比工业化先进国家高十倍，其中恶性重大事故比工业化 先进国家高一百倍。但无论是何种材料，何类结构，或是任何- - 1 7 工程，其破坏行 为归根到底，在于那些或明或暗，或大或小的各种缺陷。裂纹或切口就是缺陷中常 见的形式。在g r i t t i t h 和i r w i n 等学者最初研究裂纹的基础上，出现了“断裂力学”， 这门学科的应用发展不仅为现代社会避免了不可计量的经济损失，同时在现代高新 技术如先进材料、微机械工程和精密制造工艺发展中扮演了重要的角色。为人类征 服自然，保护自己提供了定量定性的工具。 断裂力学，是- - 1 7 涉及固体力学、材料力学与物理学的交叉学科。它泛指对各 种工程结构和工程材料破坏行为的力学规律的研究。其中工程结构包括机械结构、 土木结构、航天航空结构、核电结构、电子元件结构等结构，工程材料包括金属、 陶瓷、高分子、岩土、复合材料、生物材料等材料，破坏行为则指断裂、损伤、疲 劳、腐蚀或磨损。这门诞生在断裂研究基础上的学科，使近代破坏力学初具雏形， 而近年来对强韧材料、微结构元件和制造工艺过程的研究则促成了具有宏微观结合 特征的现代破坏力学的形成。这门与材料、能源、国防、土木、机械、信息等重大 科学领域密切相关的学科，对国民经济发展和劳动事故防范产生重大影响。 现代破坏力学发展至今在研究尺度上已经跨越宏观和微观，进入纳观量级。其 中宏观的研究即为断裂力学。主要框架包含线弹性力学，弹塑性力学，动态断裂力 土塑奎塑盔堂堡主堂焦堕苎 一! 二兰 学等。此学科的先导者是英国科学家a a g r i f f i t h 。他在1 9 2 0 年、1 9 2 4 年相继发表 的两篇论文【2 】中建立了脆断理论的基本框架，作出了开创性的重大贡献。而1 9 5 7 年，1 w r i n 提出了应力强度因子的概念，使弹性断裂力学趋于成熟，进入工程实用阶 段。弹塑性断裂力学起步于6 0 年代，h r r 奇异场和r i c e 的j 积分理论起着重大作 用。1 9 9 1 年，美国电力研究院推出的一本较完整的延性断裂手册。动态断裂力学包 括载荷或裂纹尺寸迅速变化的所有断裂力学问题。其在线弹性方面的发展相对比较 成熟。 本文的目标就是在已有的弹塑性断裂力学理论的基础上，继承i r w i l l 关于用应 力强度因子来刻划裂纹尖端奇异场强度的思想，运用理论推导和数值方法，给出幂 硬化材料中v 型切口端部场的高阶解。 1 2 缺口断裂和裂纹断裂 大量实验事实告诉我们材料所表现出来的强度远低于它应有的或理论预期的强 度，它们之间的差别高达两三个数量级。这一事实困惑了人们很长一个时期，直到 认识力学量具有严重的结构敏感性，问题才得到原则性的解决，即材料实际强度的 降低与存在于其中的缺陷密切相关。目前我们习惯将缺陷分为两大类，一是宏观缺 陷，包括缺1 3 、孔洞、裂纹等；另一类为结构缺陷，包括点缺陷、位错、晶界、相 界等。宏观断裂力学的任务是从连续介质出发，用宏观力学的方法来研究第一类缺 陷和断裂的关系。 从日常生活可知，对任何材料，如在其表面开一个缺口，材料就易于在缺口处 断裂。这是因为缺口的引入使其根部附近的应力产生集中，并且缺口端越尖其效果 越明显，因此讨论缺1 3 断裂力学具有实际意义。事实上，在缺口端部，除了应力集 中外，应变和能量都集中在这一区域，这就是所谓的缺1 ：3 敏感性。而这种敏感性的 存在导致了脆断趋势的增加。 应变集中是应力集中的必然结果，一般就其集中范围的大小分成小范围屈服同 整体屈服两个类型的集中方式。小范围屈服指的是仅缺口顶端加载后超过弹性形变， 占塑奎望盔兰堡圭堂垡丝塞 一j 整：生 产生局部屈服情况。本文就是在小范围屈服条件下讨论问题。所谓的整体屈服，在 平面应力条件下指的是外载增加后塑性区很快伸展到整个试样截面；在平面应变条 件下指的是当增大外载时，轴向应力a l w 在达到最大值后会保持恒定，但此时塑性区 却不断扩大，直到横穿整个试样截面而造成整体屈服。 裂纹是一种特殊形状的缺口，譬如椭圆缺口当其短轴与长轴之比趋于零时便是 裂纹，而本文所研究的v 型尖裂纹当其张开角度为零时亦为裂纹。从生产实践的角 度来看，材料中存在裂纹所导致的脆断问题也越来越引起人们的密切关注。它首先 反映在5 0 年代以来迅速发展的宇航工业中使用超高强度钢所出现的多起严重脆断事 故。目前裂纹断裂力学不仅用于强度高的材料，而且已被推广到中低强度级别的材 料中去。 1 3 弹塑性奇异场 线弹性断裂的主要成果之一在于确定裂尖应力场具有，2 奇异性，且该奇异场 的幅值可用应力强度因子k 来表征。j 积分是弹塑性断裂力学的主要参数。e s h e l b y p 最先绘出了制约固体缺陷运动的能动量积分，参见文献川。g u n t h e r 给出了能动量积 分与n o e t h e r 变分不变性原理的关系1 5 】。这些能动量积分中的第一平移积分( 即j 积 分) 在1 9 6 8 年被c h e r e p a n o v t 6 l 和r i c e u l 应用于断裂力学，其中r i c e 对j 积分各种性 质和应用的阐述为断裂力学界广为接受。k a o w l e s 和s t e i n b e r g s 给出了有限变形条件 下诸能动量积分与n o e t h e r 变分不变性原理的一般联系。 1 3 1j 积分与h r r 奇异场 材料及结构的安全性设计与评估，一直是断裂力学研究领域和工程应用中极为 关注的难题a 继1 9 6 1 年英国学者首先提出了裂尖张开位移( c t o d ) 断裂判据后，1 9 6 8 年美国学者提出了著名的j 积分和h r r 裂尖场理论。 继1 9 6 0 年s a n d e r s 盯在线弹性条件下提出的一个与路径无关的积分后，r i c e 7 3 上海交通大学硕士学位论文 第一章 同样提出了一个与积分路径无关的j 积分。证明了无论是平面应力还是平面应变， 当闭合积分路径不包含奇异点时，j 积分值为零。而当积分路径包含裂纹时，积分 值为非零值。并且此线积分值是一个与路径无关的常数值，并反映了裂纹尖端应力 应变场的强度。在讨论线弹性断裂力学时一般都强调指出裂尖的应力应变场奇异性 的强度可用来表示，而在弹塑性条件下只要总应变较小，即小范围屈服条件，j 也起着的角色。总之，对于服从塑性形变理论的介质，j 积分可以作为表示裂纹 尖端应变集中特征的平均参量。其特性总结如下： ( 1 ) j 积分具与积分路径无关的特性，便于计算。 ( 2 ) j 积分代表驱动裂纹平移延展的广义扩展力。 ( 3 ) 在线弹性条件下，j 积分等价于g r i f f i t h 的能量释放率。 ( 4 ) 在超弹性( 或形变理论不卸载) 情况下，j 积分在物理意义上可解释为 能量释放差率。 ( 5 ) 可直接由裂纹试件( 如紧凑拉伸试件、三点弯曲试件、缺口拉伸试件) 来实验测定j 积分值。 ( 6 ) j 积分与裂纹尖端处张开位移c o d 有简明的对应关系。 ( 7 ) 对j 积分进行量测的试件尺寸小于对。进行量测的试件尺寸。 ( 8 ) j 积分表征裂纹尖端处的场强度，类似于线弹性断裂力学的值。 基于上述各特性，可知j 积分具有明确的物理含义，又便于计算和测量，在小 范围屈服( s s y ) 情形，可作为弹塑性起裂准则。即当： ，= j m ( 1 - 1 ) 时，便发生弹塑性起裂。式中，c 为平面应变j 积分。 对于裂纹尖端场，角点奇异性的研究由w i l l i a m s t ”1 于1 9 5 7 年开创。他首先用 实特征展开的方法讨论了线弹性平面问题的角点奇异性，这一研究思想推进了断裂 力学奇异场研究的发展。在弹塑性断裂力学中，h r r 奇异场和j 积分一样具有深远 影响a 所谓的h r r 场即指于1 9 6 8 年，由h u t c h i n s o n t l l j ，r i c e 和r o s e n g r e n 0 2 1 新：建立 的幂硬化材料平面问题的静止裂纹尖端场。这种奇异场分析方法将应力函数设为如 下的分离变量展开形式： 占塑銮望盔堂堡主堂垡堡塞一! 兰 妒( ，p ) = ，。芗p ) + ，芗p ) + s 1 时，h r r 场 的应力奇异性低于k 场，而h r r 场的变形奇异性高于k 场。 1 3 2 弹塑性高阶奇异场 由r i c e 。7 l 提出的j 积分以及h u t c h i n s o n t “1 ，r i c e 和r o s e n g r e n l l 2 1 提出的脚t 奇 异解，对于弹塑性断裂力学的发展作出了有意义的贡献。而后，b e g l e y 和l a n d e s 【1 3 “】 进行了实验验证和数值分析。他们认为，在j 积分主导区或试件尺寸满足一定要求 的情况下，h r r 奇异场是裂纹尖端弹塑性场的良好近似，j 积分和j 积分阻力衄线 可以作为裂纹起裂和扩展的判据。但s h i h 等人 1 5 1 6 1 的进一步研究表明，即使在满足 上述要求的情况下，同一种材料，不同形式试件的j 积分起裂值和阻力曲线也不相 同。s h i h 和g e r m a n ”l 的有限元分析表明，对于边裂纹弯曲试样( c b b ) ，有限元的结 果与h r r 渐近解符合较好，然而对于含有中心裂纹或边裂纹的拉伸板条( c c p 或 s e c p ) ，两者的差异较大。m c m e e k i n g 和p a r k s t ，n e e d l e m a n 和t v e r g a a r d 1 ”以及文 献 2 0 l 的大变形有限元分析结果也证实了这一现象。而且，在裂尖前缘存在着高三轴 张力，它对裂纹起裂也有很大的影响。因此，仅仅用j 积分这样一个单参数来表征 裂尖附近的断裂环境是不够的。即单参数j 不足以主导裂纹端部场，其主导性与裂 占壅銮望盔兰堡主堂堡垒苎一一2 1 ：二兰 尖约束强度有关。为此，人们于8 0 年代末9 0 年代初，提出了裂纹端部场的高阶解， 如j - t 理论和j q 理论。 对于幂硬化材料中裂尖高阶奇异性场的研究，首先由李尧臣和王自强川展开。 他们引入了非线性的应力应变关系，求得了平面应变i 型裂纹问题的二阶渐近解。 其计算结果表明，二阶渐近解能较好地符合有限元解的结果，包括以大变形理论为 基础的有限元计算结果。此渐近解第二项的幅值系数芷就和j 积分一起作为判断裂 纹起裂的双参数。随后，s b a i m a 和a x a v 丛1 2 2 】推导了平面应力和平面应变条件下裂纹 i 型问题的二阶展开项。夏霖和王自强1 推导并计算了平面应变i 型裂纹的五阶高阶 渐近解。发现了三个独立的幅值系数。y a n g 和c h a o 等人则在文献m 】中给出了在平 面应力和平面应变条件下，较为完整的i 型和型裂尖场的二阶展开解。此后y a n g 和c h a o l 等进一步计算了平面应变条件下，i 型和型裂尖场的四阶渐近展开解。 相对于裂尖场奇异性问题，切口问题的研究则相对较少。对于幂硬化材料， h u t c h i n s o n 曾经讨论过切口角度为直角时，硬化指数为3 时的切口端部场奇异性。 k u a n g 和x u 口6 1 亦在文献中详细讨论了不同切口角度，不同硬化指数条件下的主导奇 异项。夏霖和王自强口7 1 则计算并讨论了平面应力和平面应交条件下，二阶奇异展开 解。但是，对于切口端部场的奇异解的完整展开项的讨论到目前为止仍是空白的。 本文将致力于推导并计算平面应变条件下，针对不同切口角度和不同硬化指数工况， 切口端部场的四阶渐近展开解。 1 4 本文研究的主要内容和意义 本文的目标是运用弹塑性断裂力学基本理论，以幂硬化材料中的v 型切口端部 场作为研究对象，运用理论推导和数值方法，推导并计算了平面应变条件下，受远 场拉伸载荷的切口端部场的四阶渐近展开奇异解。分析了切口角度和材料硬化指数 两个重要参数对奇异场的影响。具体包括以下几个方面： ( 1 ) 在已有的弹塑性断裂力学理论的基础上，运用变量分离的方法，推导出 平面应变条件下，幂硬化材料中v 型切口端部场的高阶解的控制方程，结合相应的 蕞躺j 瓤o ，蕊；蕊滋麓蕊藏躲 6 占塞奎塑盔兰堡主堂垡鲨奎苎二曼 i 型边界条件，将所求问题简化为两点边值的数学模型。 ( 2 ) 采用打靶法作为数值解法，展开已构成的两点边值问题，求解出不同工 况条件下，切口端部应力场。 ( 3 ) 定性地分析了材料的硬化指数及切口角度对切口端部奇异场的影响。讨 论了在高阶奇异场中存在的自相似现象。 本文研究的主要意义在于： ( 1 ) 本文运用弹塑性断裂力学，给出幂硬化材料中v 型切口端部场的高阶解 析解和数值解。进而给出了裂尖场及v 型切口端部场高阶解的结构。 ( 2 ) 求得的幂硬化材料中v 型切口端部场的高阶解析解和数值解，揭示了材 料的硬化特性及缺口角大小对上述端部场的主奇异性和更高阶奇异性的影响，为多 参数断裂控制理论提供了定性的研究和分析。 占塑銮望盔兰堡主兰垡堡苎蔓：墨 第二章切口端部高阶渐近场 本文的研究对象是在远场拉伸情况下，幂硬化材料中的v 型切口端部场a 在推 导计算中采用如下假设： ( 1 ) 小范围屈服。 即指v 型切口尖端的塑性区尺寸比之切口长度或其它特征几何长度小的 多的情况。 ( 2 ) 无卸载。 基于上述条件及假设，本文在以下章节中将首先确立幂硬化材料的本构关系， 推导出平面应交条件下高阶渐近场的控制方程，针对处于远场拉伸下的v 型切口设 定边界条件，使研究对象构成一个完整的两点边值的数学问题。 2 1 幂硬化材料本构关系 2 1 1 基本假设和简化模型 由于塑性变形规律极为复杂，因此一般的塑性理论必须在实际问题上加以限 制，作出以下几点假设： ( 1 )忽略时间因素的影响。 ( 2 )连续性假设。 ( 3 )稳定材料的假设。 ( 4 )变形规律与应力梯度无关的假设。 ( 5 ) 静水应力部分只产生弹性的体积变化，而且不影响塑性变形规律。 加了这些假设后，问题依然很复杂。首先应力与应变关系即本构关系是非线性 的，使得塑性力学的基本方程成为非线性的，迭加原理不再适用。一般情况下，根 据不同的具体问题，对不同材料在不同条件下可作不同的简化。为了突出塑性力学 占查銮望盔堂塑圭兰堡堡皇壁 的主要特征，在弹塑性力学中有以下几种常用的简化模型： ( 1 )理想弹塑性模型。 ( 2 )线性强化弹塑性模型。 ( 3 )幂次模型。 ( 4 )三参量模式与r a m b e r g - o s g o o d 模式。 2 1 2 幂硬化材料本构关系的一般描述 对于非线性的幂硬化材料本构关系，在单向应力应变条件下包含三种形式： ( 1 ) 纯幂硬化 s = 口d ” c 2 ，弹性接纯幂硬化 占= ；：i ： ( 3 ) r a m b e r g o s g o o d 关系 占= 盯+ 口盯” 上述三式中口为材料材料常数，n 为硬化指数( 1 ，so 。) ，并且 盯 盯2 7 c r ” 占 占o = - 占。 一d0 白。言 ( 2 - 1 ) 式中，e 为弹性模量。另外，在本文中，除了另加说明的符号，凡是加上划线 的变量代表真实变量，相应的，无上划线的变量代表被无量纲化的变量。上式中， 瓦，昂为屈服应力及屈服应变，而真实的应力应变孑，云分别被它们无量纲化为 盯及占。 对于这三种关系，我们首先考虑的是r a m b e r g 和o s g o o d 于1 9 4 3 年提出的应力 应变简化模型。这个模式可以考虑到弹性变形阶段，当o - j 、时，其右边第二项可以 略去，这就和弹性时规律一样；而当盯大时则接近幂次强化规律，由于用了统一表 达式就不存在弹塑性交界面的问题。此外r a m b e r g - o s g o o d 模型有三个参数：口、，z 和b 因此它能较好的代表真实材料。 注意到上述三种材料应力一应变关系在裂纹尖端或v 型切口尖端附近均可以 近似化为 圭塑銮望查兰堡主堂垡堡苎垄! i 墨 c c 口n 在如图2 - i 所示笛卡尔直角坐标系中，按以形变理论可将式 r a m b c r g o s g o o d 模型推广为下述多轴应力应变关系： 铲( 1 + y k + 半仃，岛+ 扣，勺 ( 2 2 ) ( 2 - i ) 中的 其中y 为泊松比( 在塑性区l ，= ：) ，以为有效应力， 为偏应力张量： 吒2 = 知”s g = d g 一与仃，6 9 易于验证：在单向拉伸是等效应力盯。等价于拉应力c r 0 。 2 1 3 本文中的幂硬化本构关系 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 在本文中，我们将集中讨论v 型切口端部场在非卸载条件下的塑性行为，因 此采用的非线性应力应变关系如图2 - 2 所示，在单向拉伸条件下可描述为式( 2 - 2 ) 。 其多轴应力应变关系表达式为： 1 白= 詈口1 ( 2 - 5 ) 对于平面应变问题，采用如图2 - l 所示，原点位于切口端部的极坐标系g 口) ， 我们可以得到： 仃f = i 仃一 0 则由式( 2 - 4 ) ，得有效应力为 盯；= 三p ，一) 2 + 3 盯二 r ：霉， 6 _ 一o 2 仃坩 0 ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 1 0 一一：。叠 o o + 一2 红 o 引入无量纲的应力函数，应力分量可表达为： i c r ，= ，一+ ，+ 2 盯础= 。 ( 2 9 ) 【：一( ，1 y 其中( y ：a 务，( ) = a a 口。应力函数和坐标，都经下式无量纲化。 庐：妻 7 玩2 ， ，= = 三 ( 2 一1 0 ) 其中上为特征长度。应力函数的运用使平衡方程自动得到满足。 平面应变的相容方程为 ，一，( ? s 知) ”+ f - 2 6 ：r o 一，一1 s ：一2 r - 2 - 品，y = 0 ( 2 1 1 ) 将式( 2 8 ) ，( 2 9 ) 代入相容方程( 2 - 1 1 ) ，则可得 r 2 著一，一t 1 p ( ，“叫h ：p ( ，小。 ( 2 - 1 2 ) a 2 r 刁一 2 b 入 丫。 i ， 、- - _ 一一 x 图2 - 1v 型切口端部坐标系 f i g 2 1 t h ec o n f i g u r a t i o no f as h a r pv - n o t c h 图2 - 2 应力应变本构关系s = o n f i g 2 - 2 s t r e s s - s u a i nr e l a t i o n ss = 矿 圭整塞望盔堂堡主堂垡堡苎! 三兰 2 2 渐近展开项的分析 由2 1 3 中各式可见：所有应力与应变极坐标分量既是因变量应力函数妒的 齐次函数，又是自变量，的齐次函数。由式( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 1 ) 所得的控制方 程是一个对和，的等规度( e q u a l - d i m e n s i o n a l ) 方程。这类方程容许应力函数以下 述分离变量解的形式存在： = 也，“正p ) + 屯，“，p ) + j f ( 2 1 3 a ) 其中第一项为主导奇异项。高阶奇异场除了考虑主导奇异项，亦考虑其它高阶 项对其的修正。 为了便于推导，设应力函数为： = k 。r “+ 2 p ) ， 旯= l ，2 ，3 ，；当，一0( 2 - 1 3 b ) 其中 焉 j 2 屯 从式( 2 4 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 3 ) 我们可以得到： = k ，“p ) = t ，。p ) ( 2 _ 1 4 ) 式中 子。= k + 2 耽p ) + 刀。p ) = k + 2 。+ 1 阮p ) 子脓= 一g 。+ 1 v ：p ) 苫律：子q l 一毛子“6 s 时。o 一j o m 6 这里，乩为渐近展开项中的应力指数。 运用二项式展开定理，。可以写为 一i i 一 ( 2 1 5 ) 1 2 牡 忙。叫- 如枷蝇甜警产啦弘+ 甜 其中 掰 ：十2 一 + 掣附r + z 等，吣她西：置。，+ ( 鲁 2 r 2 乜爵，+ ( 蔷kj 3 ，一：t ：+ 2 警产山嘶一等r 0 1 1 2 0 1 3 + 2 警产山嘶一 警严一岷甜( 韵3 产弘钳l + 虹型譬幽附州一( 护增，+ s 警，蚶警，蛳秘 a s 口2 s 目一j r 3 ， 、2 2 【二f 犷j 号p 。一挣，一) + s 肛1 ) 2 p + q 2 将式( 2 1 6 ) 代入本构关系( 2 - 5 ) 中，可得应变为： 勺= a k ：r 坩1 毛l + o 虫? 一k 2 r 岫+ 蝇弓2 + a 胛_ k 3 r 坩1 + 蝇瓦3 + + 础? - 2 霹r m “蝇多叫+ 础p 霹，”“2 磊2 + 础? k 2 k 3 r ”+ q “磊3 + 啦? - 3 霹屯r m 十2 山2 + 血芦+ 放? k 2 七；r m + 蝇+ 2 蝇多栌+ 础? - 2 k ；r 帆+ 2 觇扣 + 础? - 3 霹广呐“屿多7 + o 群一七：r 耵一缸2 芦 f l + o 吖- 4 i ；毛，耵1 + 3 血2 + 鸲p “9 + 酞：k j k ；r “l l 血l 柏抽1 置n q + 豳：一4 k 2 k ；r “黾曲1 柚如1 n l + c 噍：一4 k ：r l 。& 1 墨社2 + 其中 ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 3 l 一2 1j 2 一 盯3+ 占塑窒望盔堂堡主堂垡鲨奎j ! ；：兰 毛- 2 ；砑1 瓦- = ；砑1 陆+ g 一1 e 。焉- 】 肌= 2 ，3 多，。= 主子：1 ( ”一子。：毛：+ 圭降。：+ ( n s ) 孑j ：k 。) 驴活怔如s 减：k ：如s 杠十字元：k 瓦。) 磊，= ；砑1 0 l 瓶。：写，+ 置，瓦：+ 院。+ o 一3 e 。：玩。，e 。 芦旷三2 子# 1 g 一1 ) 字i ；。p 。+ 2 子。：子。十g 一5 玲j ：孑。，】+ 弓：p 矿g 一3 瓦引+ 土2 i v ，k + o 一3 阮】) p y j = 量砑o 一1 ) 字砀院。：吒3 + 2 置1 , 3 0 e 2 3 + o 一5 砩磊：】+ ：瓦：院，+ g 一3 ) 既卜院：，+ 。一3 e 。：既，】 歹拍= 主子岔1 0 一，吒，瓦，+ ；p 。+ 。一，净j ，k 0 磊，= 寻茸1 g 一) ( 院”+ o 一，净免e ，+ o s 杠。+ 1 n - - 一5 盯。2 玩。，勘 孙中3 孙嘶书b + 了n - 5 酩3 ： 磊。= ；子o 一1 勋一3 溉：院：t 。，十2 t 。：t 。+ o 一5 ) 爵：置，】+ 瓦，i 。：珏字魂 藏。= ；子彳1 0 一1 x n 一3 廷弓：p 。子。+ 2 子椰子。+ o 一5 弦；，子。】+ “s # 3 院。，0 e ：+ 2 置。：玩。+ 0 5 ：玩，b 圭整銮望盔兰塑主堂垡堕塞 一羔! ；：蔓 翰= 活勋一，树弹。+ 孚瓦， + $ q 3 阢，：z 。+ 2 子。，瓦：，+ n - 5 ) 圊3 8 。：b p ；1 2 - - - - 号子彳1 。一如一，) ( 弓， c 。+ 1 - 。5 。子。3 ) 将上述方程代入应变相容方程( 2 1 1 ) 。并整理r 的同幂次项，可以得到 c 汰l n ，s i 。1 0 l ，j 1 ) + c 晴? k 2 ，如d 2 ，l ；s 2 ) + c 玻f q k 3 r 曲d 3 “，l ；s 3 ) + - - + 础? k 2 r , , + a s i dp l 暖， ) + 础7 3 七i r ”2 “d p 2 以， ) + o 唧“七2 k 3 ，s 3 + “2 d p ，“，正，五) + o 赤? - 3 七弘_ 3 ， 2 她d ，。， ，五) + o 女? 一k 2 碍r s 2 + 2 a s l d 筇， ，六) + 础7 2 碍r 屿d ，6 ，) + 础p k 3 r ”2 屿d ，7 ， ) + 础? “七；，“d 胂“， ) + 础? - 4 k ；k 3 r “d p 9 ， ， ) + a ，七? - 4 i 2 2 b 2 r ”咄“屿d p l o i f , ，厶，五) + 础? 。七：霹r ”她d “，五，五) + 础? - 4 4 r ”3 “d p 。2 以， ) + = 0 ( 2 。1 ” 上式中 d 1 “；s 。) = 磊一珊。阪。一。+ l k 、1 2 如，+ 1 砩， d 。以，a ；s 。) = 瓦；一( ，翁。+ a s 。) 【z 。一( ，玎，+ 1 + 弦k 卜2 ( ，塔，+ 1 + 钆弦鑫 k = 2 ，3 - d 辟缸， ，) = 歹嚣一。+ 七肛。一如，+ l + 七眵微】一2 如。+ 1 + 从审矗 k = 1 , 2 ，3 a i = 2 5 s 2a 2 = 3 5 s 2a 3 = a s 2 + 5 s 34 = 2 5 s 2 + a s 3 a 5 = a s 2 + 2 5 s 36 = 2 5 s 3a 7 = 3 5 s 3a s = 4 a s 2 9 = 3 血2 + a s 3a l o = 2 5 s 2 + 2 5 s 3 l l = a s 2 + 3 5 s 3 1 2 = 4 a s 3 。 分析上式可知，为使等式成立，必须使每一项在，趋向零时，系数亦为零。由 此，我们可以得到，每一阶的控制方程。联立这些控制方程及相应的边界条件，运 用数值方法即可得到完整的高阶渐近解。在下一章节中将详细阐述高阶渐近场的确 立步骤。 2 3 高阶渐近场的确定 2 3 1 高阶渐近场的组成结构 为了得到如式( 2 - 1 3 a ) 中所描述的渐近展开项，在确定每一阶高阶项所对应 的控制方程之前，首先来了解一下由应变相容方程得来的式( 2 - 1 8 ) 的组成结构： ( 1 ) 由于而最小，因此式( 2 - 1 8 ) q b 第一项为主导奇异项。令此项等于零，而毛 ，始终不为零，因此得 d 。戗；毛) = 0 ( 2 1 9 ) 这是一个非线性的四阶齐次方程，它就是高阶渐近解中第一阶所对应的控制方 程。配合相应的边界条件，由此可解得第一阶所对应的石及应力指数q 。而由( 2 - 1 4 ) 式至l j ( 2 1 7 ) 式即可得相应的应力应变场。 ( 2 ) 对于控制方程： b ，五；) = 0( 2 - 2 0 ) 由于石已知，上式则变为线性方程。 ( 3 ) 观察式( 2 - 1 8 ) 中的d 碡以， ，) ，可发现它不仅与第一阶解j 。、石有 关，亦与其它低阶解有关。另外由前两点可知d z ；q ) = 0 ，仇“，a ；s 。) = 0 。因 此通常d 麻，2 ，) 0 ，我们称这一项为非独立项，相应地，d 。和d k 称为独立项。 当r 一0 时，为了满足相容方程，这些非独立项必须和其它高阶项联立，以得到它 对应的高阶项完整的控制方程。这样的控制方程，同时包含独立项与非独立项，是 一个非齐次方程。在这种情况下，这一阶所对应的系数如亦与低阶项系数七( y 圭查銮望盔堂堡主堂垡丝苎一一e 三兰 以上的高阶渐近解每一阶所对应的控制方程。因此要得到完整的高阶渐近解，必须 从低阶开始逐步确定。 2 3 2 高阶渐近场的确定步骤 对于不同的材料指数行及切口角度卢，无论是平面应变或平面应力，高阶渐近 场的确定进程大致分为两个部分： 首先求解线性特征值问题。即上一节中所提及的各独立项d 。和d k 。在适当的 边界条件下，我们很容易得到各特征值以及特征向量五。注意到d k 对于特征向量五 是齐次的，同时，它的边界条件也是齐次的，所以，如果五为解，则五的任何倍数 都为解。因此要使五的解唯一，必须人为加一个限制条件。另外在式( 2 - 1 8 ) 中，独立 项的系数岛都是未知的， 其次比较并排列以上所得的一系列应力指数，得 5 1 s 2 s ， 1 ) 则代表所求得的真正的第k 阶奇异指数，而尼， 五亦同样定义。 在以下段落中。本文将逐步确定各高阶项所对应的控制方程。 i j l 和石 前文中已提及式( 2 - 1 8 ) 中第一项为主导奇异项。其对应的控制方程为 d i ；j 。) = 0a 在不同的边界条件下，可求得相应的高阶渐近解的的第一阶解岛和z 。 占塑銮望查堂堡圭兰垡丝窭 一墨：兰 1 如在静止裂纹的边界条件下，则可得著名的m 汛奇异场，且j ，= 一a 4 - l i i s 2 和五 运用上步中所求得的j 。和，求解方程 d ：以， 。；s ：，) = 0 ( 2 - 2 1 ) 可得屯和石，将与式( 2 - 1 8 ) 中的各非独立项的，的指数相比较，可发现 最小，因此s 2 - s 2 ，疗呒。 h i 曲和石 在确定第一，第二阶奇异解后，比较式( 2 1 8 ) 中其余各独立项与非独立项中 ，的奇异指数，可以发现对于第三阶奇异指数有两种可能性：s 。和s 2 + 缸：，而真正 的曲则是他们当中较小的那个，即 s s - - m i n ，是+ 品)( 2 - 2 2 ) - 如果岛= 屯，则石= 矗，那么显然第三阶所对应的控制方程就是： d 3 ，石，；j 。) = 0( 2 2 3 ) - 如果j ，= 5 2 + ，那么如前节所述，控制方程则是一个包含独立项和非独立 项的混合项： 出7 1 毛r 。b 戗， ；如) + 融? _ 2 砭r “z d ，“，五) = o ( 2 2 4 ) 为了让上式所得的解与系数r 和k 无关，我们选择系数为： k 3 = k i l 醚 可见，这时岛与低阶系数七l ，岛有关，是非独立的。这样处理后，式( 2 2 4 ) 就 变为 d 3 “，a ；s ，) + d p l ， ) = 0 ( 2 2 5 ) 在处理其它混合控制方程的非独立项系数时，也可以同理选择。这时求解( 2 2 5 ) 式，就可得石。 i v s 4 和工 考虑到那些非独立项，第四阶奇异项对应的奇异指数有四种可能性： s 4 = i n i n 矗4 ，j 2 + 血2 ，j 2 + 2 a s 2 ，屯+ 厶2 ( 2 - 2 6 ) “ a 薹；赫，j i 。! 麟蕊& 醣囊歉霸j 上海交通大学硕士学位论文 第二章 数。 性 如果s 。= s 。，则它相对应的方程是： d 以，a ；s ) = 0 ( 2 - 2 7 ) 注意：如果j 3 = j 2 + 血2 ，那么s “= s m s h 就是式( 2 - 2 3 ) 中独立项的应力指 - 如果_ = s 2 + a s 2 ，那么控制方程则为混合项： 翻町一k 4 d 4，a ；s 。) + a 叶2 砖d 。，正) = 0 或者皿“，l ；s ) + d ，。瓴， ) = ok ；= k f l k ；( 2 - 2 8 ) _ 如果j 4 = s 2 + 2 a s 2 ，则控制方程为 础一k 4 d 4 ( f , ，a ；s ) + 放? 3 e d p ：“， ) = 0 或者d 4 ，a ；s 。) + d p ：， ) = 0k = 矸2 砭( 2 2 9 ) - 如果= 屯+ 如，则控制方程为： a w k 4 d 4 ，a ；s 。) + a 吖- 2 七2 k 3 d p ，“， ， ) = 0 或者d “，a ；s ) + q ， ，厶) = 0七4 = k ( 2 k 2 k 3( 2 3 0 ) 实际上，考虑到屯的两种可能性，在确定第四阶控制方程时，存在有五种可能 n s fs i i s 1 2s i i 。 口屯= 屯s ，j 4 = j 2 + a s 2 口曲；占2 + 曲，s 4 = j “= j 拈 口6 , 3 = 屯+ j 2 ，s 4 = j 2 + 2 a s 2 口6 3 2 s 2 + a s z j 2 黾+ a s 2 可见，在确定高阶项时，一定是基于低阶项确定的基础上，这样才能循序渐进 地确定出完整的高阶渐近解。 1 9 上海交通大学碗士学位论文 第二章 在本论文中，高阶渐近解详尽的确定过程只推导至第四阶。更高阶数的奇异项 解的确定过程与前四阶大同小异，在此，不一一表述。而在整个推导过程中，有两 点值得我们的注意： ( 1 )所有奇异指数的可能性，如在式( 2 - 2 2 ) ，( 2 - 2 6 ) q a 的各项，都是高阶渐 近解中的某一阶。为了不遗漏任何一项，对全部阶应从低至高逐步排定。 ( 2 )无论是独立项还是非独立项，它们的系数焉都是未知的。当它在非齐次 混合控制方程中，如在式( 2 - 2 4 ) 中，此系数是非独立的。而在齐次控制方程中，它则 是独立的。 2 4 边界条件 对于如图( 2 一1 ) 所示，处于平面应变下的i 型切口，其自由边界要求： ( 防一) ) = ( 土0 一卢) ) = 0k = - i ，2 ，3 而沿0 = 0 0 的对称边界条件为： ( o ) = ( o ) = 0 - - - - 1 ，2 ，3 为了使解唯一，设归化条件为： i , ( o ) - - 1 注意到当伊o o 时，上述的即是裂纹边界条件。 ( 2 3 1 ) 佗一3 2 ) ( 2 2 4 ) 至此，高阶渐近解各阶控制方程已逐项确立。无论是齐次方程或是非齐次方程， 在各边界条件下，已构成两点边值问题。下一章将介绍求解这种特定数值问题的常 用数值方法。 上海交通大学硕士学位论文 第三章 第三章数值解法 在上一章中，已将本文所要讨论的v 型切口端部场的问题，化简为在特定边 值条件下，求解常微分方程的问题。考虑其自由边界条件，即式( 2 3 1 ) ，是一个两点 边值固定的边界条件，在此条件下，各控制方程构成一个两点边值问题。本章将主 要介绍两点边值问题的迭代解。 所谓两点边值问题是指个常微分方程耦合的方程组，求有限空间陋，6 】上不 恒等于零的解，且该解在一个边界点a 上要满足, ，个边值条件，在另一个边晃点b 上还要满足= n - n 。个边值条件。对于这种两点边值问题，常见的数值方法有两种： ( 1 ) 打靶法( s h o o t 和s h o o t y ) 这种方法是把边值问题化为初值问题来解，强制在一个边界点a 上满足n 个 边值条件，假设另一个边界点b 上他个边值条件自由，然后在该区间试求解一次， 得到该解在另一边界点b 上与，z 2 个边值条件的差异。通过应用牛顿拉斐森法调整 参数交量，最终使这个差异减小到零。 ( 2 ) 松弛法 在松弛法中，常微分方程将被积分区间内网格点上的有限差分方程所代替。 本章将重点介绍本文所用的打靶法，这也是h u t c h i n s o n t l ”，y a n g 和c h a o t 2 5 1 等文 献中所用的数值方