（应用数学专业论文）欧拉分拆定理及其推广和一个新的限制形式.pdf

ab s t r a c t ab s t r a c t i n t h e o c t o r b o r 2 0 0 2 i s s u e o f a m e r i c a n ma t h e m a t i c a l mo n t h l y , r i c h a r d s t a n e l y 2 4 , 2 5 1 p o s e d a p r o b l e m t h a t h o w t o p r o v e t ( n ) =( 1 / 2 ) ( p ( n ) +f ( n ) ) , w h e r e t ( n ) d e n o t e s t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s s a t i s f y i n g l o ( a ) 三lo ( a ) m o d 4 . a n d r e w s 3 s o l v e s i t t h r o u g h g e n e r a t i o n f u n c t i o n s . t w o y e a r s l a t e r , a n d r e w s v . s i l l s 2 7 p r e s e n t s a c o m b i n a t o r i a l p r o o f . b o u l e t 1 5 d e v e l o p s t h e c o n c e p t f o u r - p a r a m e t e r w e i g h t fi r s t s u g - g e s t e d 饰s t a n e ly 2 5 a n d g e n e r a l i z e s t h e t h e o r e m b u i l t o n t h e p r o b - l e m b y a c o m b i n a t o r i a l p r o o f wh e n g i v i n g a c o m b i n a t o r i a l r e p r e s e n t a t i o n f o r b o t h s i d e s o f a n i d e n t i t y i n 1 5 , w e fi n d o u t a n e w t w o - v a r i a b l e r e fi n e m e n t o f e u le r s t h e o r e m. t o p r o v e t h e n e w r e fi n e me n t , w e e s t a b l i s h a b i j e c t i o n . f u r t h e r mo r e , u n d e r t h e b i j e c t i o n t h e p a p e r p u t s f o r w a r d a t h r e e - v a r i a bl e r e fi ne me n t o f eu l e r s th e o r e m. ke y g r a m , w o r d s : .p a r t i t i o n , b ij e c t i o n , c o n j u g a t e , e u l e r s p a r t i t i o n f e r r e r s g r a p h , 2-m o d u l a r d i a - t he o r e m 1 1 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大 学关于收 集、 保存、 使用学位论文的 规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论 文的印刷本和电 子版 本: 学校有 权保存学 位论文的印 刷本和电 子版， 并采 用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目录检索以及提供 本学 位论文全文或者 部分的阅 览服务; 学校有权按 有关 规定向国 家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 房 添 今 u 7 年 犷 月孔 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: na p 学位论文作者签名: ia 1 解密时间:年月日 各密级的最 长保密年限及书写格式规定如下: 内部5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密* 1 0 年 ( 最长1 0 年， 可少于1 0 年) 机密*2 0 年 ( 最氏2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内 容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品 的内 容。 对本 论文所涉及的 研究 工作做出 贡献的 其他个人和集 体， 均已 在文中以明 确方 式标明。 本学 位论文原创性 声明 的法 律责 任 由本人承担。 学 位 论 文 储 签 “ : 澹 示 甲 汤 夕 年)月 3 0 日 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n i n 1 7 4 0 , p h i l i p p e n a u d e s e n t a l e t t e r t o l e o n h a r d e i d e r a s k i n g t h e q u e s t i o n : h o w m a n y d i ff e r e n t w a y s c a n a p o s i t i v e i n t e g e r b e w r i t t e n a s t h e s u m o f d is t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s ? . e u l e r p r e s e n t e d a s u r p r is i n g r e s u l t : e v e r y n u m b e r h a s a s m a n y i n t e g e r p a r t i t i o n s i n t o o d d p a r t s a s i n t o d i s t i n c t p a r ts . t h i s i s a p io n e e r c o n c l u s i o n i n t h e t h e o ry o f i n t e g e r p a r t i t i o n s . a n i n t e g e r p a r t i t i o n i s a w a y o f s p li t t i n g a n u m b e r i n t o i n t e g e r p a r t s . b y d e fi n i t i o n , t h e p a r t i t i o n s t a y s t h e s a m e h o w e v e r w e o r d e r t h e p a rt s . t h e s t u d y o f p a r t i t io n s h a s f a s c i n a t e d a n u m b e r o f g r e a t m a t h e m a t i c i a n s : e u le r , l e g e n d r e , r a m a n u j a n , s y l v e s t e r a n d d y s o n t o n a m e a f e w . t h e y h a v e a ll c o n t r i b u t e d t o t h e d e v e l o p m e n t o f a n a d v a n c e d t h e o ry o f t h e s e s i m p l e m a t h e m a t i c a l o b j e c t s h e r e w e m a k e a s u r v e y o f o u t c o m e s r e l a t e d t o e u l e r s f a m o u s d is c o v e r y . i n t h e l a t e n i n e t e e n t h c e n t u ry , t h e c o l o r f u l m a t h e m a t i c i a n j . j . s y l v e s t e r ( 1 8 8 4 ) fi r s t d is c o v e r e d t h a t t h e r e i s m o r e t o e u l e r s t h e o r e m t h a n m e e t s t h e e y e . t h e r e s u l t s t a t e s t h a t t h e n u m b e r o f o d d p a r t i t i o n s o f n s u c h t h a t e x a c t l y k d i ff e r e n t p a rt s o c c u r i s e q u a l t o t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f n c o m p o s e d o f e x a c t l y k n o n c o n t i g u o u s s e q u e n ce s , w h i c h is p r o v e d t h r o u g h t h e i m p o r t a n t m a p c a ll e d s y lv e s t e r s b ij e c t i o n i n t e r m s o f ma c m a h o n 2 - m o d u l a r d i a g r a m s . n . j . f in e 1 7 , p .4 6- 4 7 fi n d s a n o t h e r r e fi n e m e n t o f e u le r s t h e o r e m : t h e n u m b e r o f d i s t i n c t p a r t i t i o n s o f n w i t h l a r g e s t p a r t k e q u a l s t h e n u m b e r o f o d d p a r t i t i o n s o f n s u c h t h a t 2 k +1 e q u a ls t h e l a r g e s t p a rt p l u s t w i c e t h e n u m b e r o f p a r t s . i t is c a l le d t h e f ir s t f i n e 与t h e o r e m. wh e n b o u s q u e t - me l o u a n d e r i k s s o n r e s e a r c h l e c t u r e h a l l p a rt i t i o n , t h e y g e t a c o r o l - l a ry w h ic h s t a t e s t h a t t h e n u m b e r o f d is t i n c t p a r t i t i o n s o f 二w i t h t h e a lt e r n a t i v e s u m k is e q u i n u m e r o u s t o t h e n u m b e r o f o d d p a r t it i o n s o f n w i t h l e n g t h k . o b s e r v a t i o n t h a t s y l v e s t e r s b i j e c t i o n c a n b e a p p l i e d t o p r o v e t h e f o r e g o i n g t w o c h a p t e r 1 . i n t r o d u c t i o n r e s u l t s . s y lv e s t e r a n d b e s s e n r o d t n a t u r a l l y o b t a i n a t h r e e - v a r i a b l e r e fi n e m e n t o f e u le r s t h e o r e m . i t t e l l s u s t h a t t h e n u m b e r o f d is t i n c t p a r t i t i o n s o f n w i t h l a r g e s t p a rt k w h o s e al t e r n a t in g s u m is l s u c h t h a t e x a c t l y -m , c h a i n s o c c u r in e a c h p a r t i t i o n is e q u a l t o t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f n i n t o i o d d p a r t s w h e r e e x a c t l y r n d is t i n c t o d d p a r t s a p p e a r a n d 2 k +1 e q u a ls t o t h e l a r g e s t p a rt p l u s t w i c e t h e n u m b e r o f p a rt s . g l a i s h e r a l s o o b t a i n a o n e - v a r i a b l e r e fi n e m e n t t h r o u g h n u m b e r t h e o r y : t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f n in t o d i s t in c t p a rt s w i t h k o d d p a r t s i s e q u al t o t h e n u m b e r o f p a rt i t i o n s o f n w i t h o d d p a r t s w h e r e t h e r e a r e e x a c t l y k p a r t s r e p e a t e d o d d t i m e s . i t i s e a s y t o c h e c k t h a t s y l v e s t e r s b ij e c t i o n i s o f n o u s e h e r e . c o r r e s p o n d in g t o t h e r e s u l t o f s y l v e s t e r a n d b e s s e n r o d t , w e c a s t d o u b t o n w h e t h e r t h e r e e x i s t s a t h r e e - v a r i a b l e r e fi n e m e n t o f e u l e r s p a rt i t i o n t h e o r e m i n c l u d i n g g l a i s h e r s r e fi n e m e n t o r n o t . f o rt u n a t e ly , w e fi n d t h a t t h e r e i n d e e d e x is t s s u c h a r e fi n e m e n t w h e n w e w o r k o v e r t h e p a p e r 1 5 1 . a b i j e c t io n i s c o n s t r u c t e d t o p r o v e t h e t h e o r e m t h a t t h e n u m b e r o f d i s t i n c t p a r t i t io n s o f n w i t h l o d d p a rt s w h o s e al t e rna t i n g s u m is r n e q u a l s t h e n u m b e r o f p a rt i t io n s o f n i n t o e x a c t ly r n o d d p a r t s i n w h i c h l p a r t s r e p e a t o d d t i m e s . c h a p t e r 2 t h e e l e me n t a r y t h e o r y o f pa r t i t i o n s 2. 1 ofof d e fi n i t i o n 1 a p a r t i t i o n p o s i t i v e i n t e g e r s 少; ， a 2 ， 二 t h e p a r t i t i o n a . b a s i c c o n c e p t s o f p a r t i t i o n s a o f a p o s i t i v e i n t e g e r n is a fi n i t e n o n i n c r e a s i n g s e q u e n c e . ， h 少 s u c h t h a t 艺几 1 a : =。t h e n a ; ， c a l le d t h e p a r t s u s u a l l y w e s h a l l w r i t e ja s fo r th e w e ig h t o f t h e p a r t i t i o n a : ja i =ea, . e q u i v a le n t l y , w e w r i t e a f n if 。 =ja i . t h e n u m b e r o f t h e p o s i t i v e p a r t s o f t h e p a r t i t io n a is c a ll e d t h e l e n g t h o f t h e p a rt i t i o n a , d e n o t e d 勿l ( a ) . s o m e t i m e s i t i s u s e f u l t o u s e a n o t a t i o n t h a t m a k e s e x p li c i t t h e n u m b e r o f t i m e s t h a t a p a r t i c u l a r i n t e g e r o c c u r s a s a p a rt . t h u s i f a =( a , , a 2 , ， a , ) 1- 。 ， w e s o m e t i m e s w r i t e a =( 1 i ， 2 ， 3 ， 二，) e x a c t ly 7 n ; o f t h e a j a r e e q u a l t o i . n o t e t h a t 艺。 ， 7 n , i 二 二 d e fi n i t i o n 2 f o r a p a r t i t i o n a =( a , , ， ， . ， a , ) , w e d e f i n e t h e c o n j u g a t e p a r t i t i o n x= ( x , a , 2， ) k ) o f a b y s e t t i n g a i t o b e t h e n u m b e r o f p a r t s o f a t h a t 。 、g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o i . c l e a r ly , w e h a v e t ( a ) =从， t , =t ( x ) . m o r e o v e r , t h e e x p li c i t o f a , i s = ( 1 - a = ， 2 x 2 - a 3 )( 2 . 1 ) d e fi n i t i o n 3 t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n p ( n ) i s t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f n . f u r t h e r m o r e l e t p ( s , n ) d e n o t e t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f n th a t b e lo n g t o a s u b s e t s o f t h e s e t p o f a l l p a r t i t i o n s . c h a p t e r 2 . t h e e le m e n t a r y t h e o ry o f p a r t it i o n s f o r e x a m p le , w e h a v e p ( 4 ) 二5 , s i n c e t h e r e a r e fi v e p a r t i t i o n s o f t h e n u m b e r f o u r : 4 , 3 +1 , 2 +2 , 2 +1 +1 a n d 1 +1 +1 +1 . o b v i o u s ly p ( n ) 二0 w h e n n i s n e g a t i v e . we s h a ll s e t p ( 0 ) =1 w i t h t h e o b s e r v a t i o n t h e e m p t y s e q u e n ce f o r m s t h e o n l y p a r t i t i o n o f z e r o . ma n y t i m e s w e a r e i n t e r e s t e d i n p r o b l e m s i n w h i c h o u r c o n c e r n s d o e s n o t e x t e n d t o a l l p a r t i t i o n s o f n b u t o n l y t o a p a rt i c u l a r s u b s e t o f t h e p a r t i t i o n s o f n . d e fi n i t i o n 4 l e t p d e n o t e t h e s e t o f a l l p a r t i t i o n s . s p e c i a l l y c o n s i d e r o a s t h e s e t o f a l l p a r t i t i o n s w i t h o d d p a r t s a n d d a s t h e s e t o f a l l p a r t i t i o n s w i t h d i s t i n c t p a r ts . mo r e o v e r , t h e t e r m几 i s i n t r o 血c e d t o d e n o t i n g t h e s e t o f a l l p a r t i t i o n s o f n , a n d s o o ,d . n o t e t h a t a p a rt i t i o n is a ls o c a ll e d o d d i f a l l t h e p a r t s a r e o d d , a n d d i s t i n c t if t h e p a r t s a r e d i s t i n c t e a c h o t h e r . m a y b e *a r e i n t e r e s t e d t o c a lc u l a t e p ( o , n ) a n d p ( d , n ) f o r s o m e n t o u n d e r s t a n d t h e p a r t i t i o n f u n c t i o n f u r t h e r . an“1 , p ( d i ) =1 , p ( 0 2 )，1 , p ( d 2 ) =1 , p ( 0 3 )=2 , p ( d 3 ) =2 , p ( 0 4 )= 2 , p ( d 4 ) =2 , p ( 0 5 )= 3 , p ( d 5 ) =3 , p ( o )= 4 , p ( d 6 ) =4 , p ( 0 7 )=5 , p ( d 7 ) =5 w e a r e a m a z e d a t a f a c t t h a t p ( o ) 二p ( d) f o r n 7 . h o w e v e r , a li t t le t h o u g h t w i l l c o n v i n c e u s t h a t t h i s p h e n o m e n o n d o e s , i n f a c t , a l w a y s o c c u r . t o c h e c k t h e r e l a t i o n b e t w e e n o d d p a r t i t i o n s v .s . d i s t i n c t p a r t i t i o n s , s o m e n o t a t i o n s a r e n e e d e d t h e l a r g e s t p a r t o f a d e n o t e d 勿a ( a ) . n a m e l y , a ( a ) 二a , . t h e n u m b e r o f d is t i n c t p a r t s o f a d e n o t e d b y 、( 习. . t h e n u m b e r o f o d d p a r t s o f a d e n o t e d b y l a ( a ) a c h a i n o f a i s a m a d m al s u b s e q u e n c e 标 ， w, , , ， a 9 s u c h t h a t a ; 一j 4 + 1 1 f o r p o 几1 c h a p t e r 2 . t h e e l e m e n t a ry t h e o r y o f p a r t i t i o n s t h e o r e m 7 ( c a u c h y ) i f iq i 1 , it 卜 1 , t h e n ( a t ; q ) - ( 艺 ; q ) - ( 2 - 3 ) 8艺间 s e t t i n g a =0 f o ll o w s : c o r o l la r y s ( e u l e r ) f o r ; t 1 1 , (q j 1 , 00 tn=o (q; q)00 一 1(t; q)- ( 2 . 4 ) 2 . 3 gr a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o n o f p a r t i t i o n s a n o t h e r e ff e c t iv e e l e m e n t a ry d e v i c e f o r s t u d y i n g p a r t i t i o n s is t h e g r a p h ic a l r e p r e - s e n t a t i o n . t o e a c h p a r t i t i o n a =( a , , a 2 , ， a ,.) i s a s s o c i a t e d w i t h i t s g r a p h i c a l r e p r e - s e n t a t i o n 1 a ( o r f e r r e r s g r a p h ) , w h i c h is f o r m a lly a c o l le c t io n o f n o d e s ( i , j ) i n t h e p la n e s u c h t h a t 1 i 习, 1 _ 0 , ( 3 . 1 ) is t r u e . a s a c o n s e q u e n c e , w e g e t a n i m p o r t a n t i d e n t i t y ( 一 。 ; 。 )二 一 1 l q ; q ) a o ( 3 .4 ) c h a p t e r 3 . e u l e r s p a r t i t i o n t h e o r e m a n i n t e r e s t i n g b ij e c t io n k n o w n a s s y l v e s t e r s b ij e c t i o n w a s p u b li s h e d 饰s y l v e s t e r i n 1 8 8 2 ( 1 2 6 t o p r o v e t h e r e s u l t . i t p l a y s s o a n i m p o r t a n t r o le i n o r d i n a r y p a r t i t i o n t h e o r y t h a t w e i n t e r p r e t i t i n d e t a i l i n t h e n e x t c h a p t e r . c h a p t e r 4 re fi n e me n t s o f e u l e r s th e o r e m i n t h e l a t e n i n e t e e n t h c e n t u ry , t h e c o l o r f u l m a t h e m a t i c i a n j . j . s y l v e s t e r ( 1 8 8 4 ) f ir s t d i s c o v e r d t h e r e i s m o r e t o e u l e r s t h e o r e m t h a n m e e t s t h e e y e . n e v e r t h e l e s s t h e r e m a r k - a b l e c o n t r o b u t i o n o f s y l v e s t e r i s n o t o n l y t h e r e s u l t b u t a l s o t h e i m p o r t a n t b i j e c t i o n c a ll e d s y l v e s t e r s b ij e c t i o n h e u s e d t o p r o v e t h e b e lo w t h e o r e m t h r o u g h . t h e r e a r e s e v - e r a l w a y s t o d e s c r i b e s y lv e s t e r s b ij e c t i o n . h is o r i g i n a l v e r s i o n w a s a c t u a l l y i n t e r m s o f m a c m a h o n 2 - m o d u la r d i a g r a m s , l a t e r u s e d b y b e s s e n r o d t 1 0 , o t h e r d e s c r ip t i o n s a r e b a s e d o n f i s h h o o k s d i a g r a m s ( 2 1 , p . 1 3 ) o r r o b e n i u s r e p r e s e n t a t i o n o f p a rt it io n s 7 . 4 . 1 s y l v e s t e r s t h e o r e m t h e o r e m 1 0 ( s y l v e s t e r ) l e t a k ( n ) d e n o t e t h e n u m b e r o f p a r t i t i o n s o f 。i n t o o d d p a r t s ( r e p e t i t i o n s a l l o w e d ) s u c h t h a t e x a c t ly k d iff e r e n t p a r t s o c c u r . l e t b k ( 二 ) d e n o t e t h e ” 刀s (.l) n u m b e r o f d i s t i n c t p a r t i t i o n s a =( a , ， 二， a ,.) o f n s u c h t h a t t h e s e q u e n c e ( a i .c o m p o s e d o f e x a c t ly k c h a i n s . t h e n a k ( 二 ) 二b k ( n ) f o r a l l k a n d n . i n g e n e r a t i n g f u n c t i o n s , i t is w r i t t e n a s f o l l o w s : 艺 z n c(a )g h ， 一 艺 z n a(ii )g la l, 兵 pa 任 口 p r o o f . d e n o t e 妙h , , h 2 ， 二， h k s t a rt i n g t h e l a r g e s t h o o k h l a n d t h e n s u c c e s s iv e l y g o i n g t o t h e s m a l l e s t , i n n e r m o s t , h o o k瓜， f u r t h e r m o r e , * d e n o t e 勿 1 1 ( h i ) t h e n u m b e r o f b o x e s i n h e a n d b y wu o f t h e n u m b e r o f 2 - s o c c u r r i n g i n h i . t o r e v e a l t h e p r o p e r t y o f t h e b ij e c t i o n , w e p r e f e r t o r e w r i t i n g p e d a s p= ( f n , p 2 , ， “ ， ) ( w e d e f i n e , i f t h e n u m b e r o f t h e p a r t s o f p i s o d d , w e a d d z e r o a s c h a p t e r 4 . r e fi n e m e n t s o f e u l e r s t h e o r e m es忍 ox件 b a n e x t r a p a r t o f a ) . i t i s e a s i ly c h e c k e d t h a t i n t h e h o o k h , t h e r e is u 2 ; - : 一p 2 i 1 - s a s a r e s u l t , t h e n u m b e r o f 1 - s b o x e s is e q u a l t o a 1 一 内+p : 一 / a 4 +， ， . 十j a 2 r - 1 一 沁 =1 . ( w ) n o t e t h a t e a c h r o w o f t h e 2 - m o d u l a r d i a g r a m o f t h e o d d p a rt i t i o n a h a s e x a c t l y o n e b o x fi l l e d w i t h 1 , w h i c h l ie s in t h e r i g h t m o s t a id e o f e a c h r o w . i t in d i c a t e s t h a t t h e r e a r e l ( d ) 1 - s b o x e s i n t h e 2 - m o d u l a r d i a g r a m o f a . c o n s e q u e n t ly , w e g e t t h e r e l a t i o n s h i p t h a t 14 ( 1 1 ) =1 ( , )( 4 .3 ) s i m i l a r ly , t h e h o o k h , h a s l e g l e n g t h ( i a 2 , - : 一i a 2 . 一1 ) a n d a r m l e n g t h / e2 , . we fi