（通信与信息系统专业论文）多重分形及其在图像识别中的应用研究.pdf

摘要 多重分形分析是分形理论的深入研究，分形中用单一维数来描述自然界中的几何 体，而多重分形则将其扩展至用多个维数来描述自然界中的复杂几何体。多重分形分析 作为分形几何领域中的一个重要发展方向，近年来在材料学、地质学、图像处理等学科 领域有着广泛的应用。多重分形分析充分考虑了几何体在形成过程中不同层次的分形特 征，从而能够比较全面有效地描述物体的分形结构。图像识别是图像处理的重要内容之 一，以图像的分类和描述为主要研究内容，也是当今不断发展的重要应用学科。多重分 形用于图像处理，已经成为一些科学工作者解决复杂图像处理问题的重要研究手段。 本论文在深入讨论基于多重分形分析的图像去噪和图像边缘提取方法的基础上，迸 一步分析了图像识别时分形特征应满足的条件，既而提出了基于多重分形分析的图像特 征提取算法，利用计算出的多个多重分形谱特征，对四类图像进行了有效的分类识别。 实验结果证明，将经过多重分形分析方法提取的图像特征用于图像识别，可以取得较好 的识别效果，能够获得较高的识别率。多重分形图像特征为图像识别的研究带来了新的 思路，也扩展了多重分形分析在图像处理中的应用，具有一定的理论意义和应用价值。 关键词 多重分形分析，多重分形谱，特征提取，图像识别 a b s t r a c t m u l t i f r a c t a l a n a l y s i s i saf u r t h e rr e s e a r c ho ft h ef r a c t a l t h e o r y i tu s e sm u l t i p l e d i m e n s i o n st od e s c r i p et h ec o m p l e xg e o m e t r yo ft h en a t u r e ，i n s t e a do f0 1 1 cd i m e n s i o ni n f r a c t a lt h e o r y r e c e n t l y , a sai m p o r t a n tr e s e a e ha r e ao ff r a c t a lg e o m e t r y , m u l t i f r a c t a la n a l y s i s i sa p p l i e dw i d e l yi n t om a n yf i e l d so fs c i e n c es u c h 硒m a t e r i a l o g y , g e o l o g y , i m a g ep r o c e s s i n g a n ds oo n i tc a nf u l l yc o n s i d e rt h ef r a c t a lf e a t u r e so fd i f f e r e n tl e v e l si nt h ef o r m i n gp r o c e s so f t h eg e o m e t r y , a n dt h u s ，d e s c r i b et h ef r a c t a ls t r u c t u r eo ft h eg e o m e t r ye f f e c t i v e l y i m a g e r e c o g n i t i o n ，w h i c hi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o n t e n t so fi m a g ep r o c e s s i n g ，t a k e si m a g e c l a s s i f i c a t i o na n dd e s c r i p t i o na st h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t s ，a l s ob e c o m i n ga na p p l i e ds c i e n c e w i t hc o n t i n u o u sd e v e l o p m e n t a p p l y i n gm u l t i f r a e t a l ，h a sb e c o m ea l li m p o r t a n tr e s e a c h m e t h o dw h i c hs o m es c i e n t i s t su s et os o l v ec o m p l e xp r o b l e m so fi m a g ep r o c e s s i n g t h i st h e s i sf i r s ti n t r o d u c e si m a g ed e n o i s i n ga n di m a g ee d g ee x t r a c t i o nm e t h o d sb a s e do n m u l t i f r a c t a la n a l y s i s ，a n da n a l y s e st h ec o n d i t i o n st h a tf r a e t a lf e a t u r e ss h o u l db em e ti ni m a g e r e c o g n i t i o n a f t e r w a r d sam u l t i f r a c t a la n a l y s i s b a s e di m a g ef e a t u r ee x t r a c t i o na l g o r i t h mi s p r o p o s e d ，w h i c hc a nc a l c u l a t es e v r a lm u l t i t 臣a c t a ls p e c t r u mf e a t u r e so ft h ei m a g e t h e nt h e e x p e r i m e n tr e c o g n i z ef o u rt y p e so fi m a g e se f f e c t i v e l yw i t ht h em u l t i f r a c t a ls p e c t r u mf e a t u r e s e x p e r i m e n tr e s u l ts h o w st h a t ，w i t ht h ei m a g ef e a t u r e se x t r a c t e db ym u l t i f a c t u a la n a l y s i s m e t h o d ，i m a g er e c o g n i t i o nc o u l dg e tb e t t e re f f e c ta n dh i g h e rr e c o g n i t i o nr a t e i nc o n c l u s i o n ， i m a g ef e a t u r ee x t r a c t e db ym u l t i f i a c t a la n a l y s i sm e t h o db r i n g sn o wi d e a sf o rr e s e a r c ho f i m a g er e c o g n i t i o n ，a n de x t e n d st h ea p p l i e dr a n g eo fm u l t i f r a c t a la n a l y s i si ni m a g ep r o c e s s i n g ， w h i c h s h o w si t st h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i c a t i o nv a l u e k e y w o r d s m u l t i f r a c t a la n a l y s i s ，m u l t i f r a e t a ls p e c t r u m ，f e a t u r ee x t r a c t i o n ，i m a g er e c o g n i t i o n n l 西北大学学位论文知识产权声明书 本入完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：翠指导教师签名： m 年6 月一日 年月e l 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刁诲 刚d 年6 月p 日 西北大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 分形理论作为- j l 崭新的学科，是研究和处理自然界中不规则图形或几何体的一种 重要数学工具，目前已经融入到自然科学和社会科学的许多领域中，像物理学、材料学、 生物医学、天文学、经济管理、图形处理等学科中都有着广泛的应用。采用分形方法， 可以用少量数据和简单迭代算法生成所需要的各种不同的分形图形；基于分形的自相似 性，还能对目标图像进行有效的压缩处理。分形与图形图像之间有着密不可分的联系， 分形理论用于图像处理，开辟了图像处理研究中的新领域，国内外许多专家学者已经取 得了分形在图像处理应用中的研究成果。 简单分形只用单一维数来描述目标物体的特征，不能完整地刻画其复杂性。比如， 对湍流、混沌和分形生长类型的非均匀复杂几何体，要全面地刻画其特征，需要用多个 维数来描述【l 】。针对这类情况，g r a s s b e r g e r 等人在8 0 年代初系统地提出了多重分形理 论。为了弥补用单一分形维数无法区分图像中较为复杂的分形结构这一缺陷，学者们用 广义维数和多重分形谱来描述目标物体的特性，从全局和局部两方面出发，充分考虑了 分形体的局部特征以及分形体在形成过程中各种不同层次的特征，从而能够对分形体结 构进行比较全面有效的描述，揭示出其本质特性【2 3 j 。 分形理论与图像处理技术相结合，可以称为分形图像处理技术。在分形的分析方法 中，可以采用各种不同的特征参数，如分形特征和非分形特征参数，来分析目标图像的 特征 4 】；也可以采用结合某种分形特征和另一种分形特征的方式来描述不同物体；此外， 还可以依据分形理论的自相似特性，对图像特征进行分析。作为自然景物的描述模型， 分形在图像压缩编码e 5 , 6 , 7 】、图像边缘检测8 , 9 , 1 0 】、图像分析【l l 】、图像去噪 1 2 , 1 3 1 等许多方面， 都取得了很好的应用效果。而作为分形的深入与延伸，多重分形分析在奇异信号结构的 研究中得到了广泛的关注，特别是在图像处理中，已应用于诸如生物医学图像处理和分 析、自然图形的分割、分类和纹理分析、序列图像的变化检测、静止图像和视频图像压 缩、以及目标分析与目标识别等许多领域【1 4 1 。尽管多重分形分析用于图像处理已取得了 一定的应用成果，但其发展还处于探索阶段，要想取得有重大突破的研究成果，仍需专 家学者们对其理论和应用进行不断的探讨和研究。 二十世纪以来，随着计算机技术的应用发展到一定水平，人们开始利用计算机来处 第一章绪论 理图形和图像信息，包括对图像进行分析、加工和处理，使其满足视觉、心理以及其它 要求，这一技术不断发展，成为了- - f 新型技术学科，即图像处理技术。图像处理的主 要研究内容包括图像变换、图像编码压缩、图像增强和复原、图像分割、图像描述以及 图像分类( 识别) 等。其中，图像识别属于模式识别的范畴，其主要内容是图像经过某 些预处理( 如增强、复原、压缩) 后，对图像进行分割和特征提取，从而利用图像特征 对图像进行判决分类。 图像分类识别常采用经典的模式识别方法，比如统计模式分类和句法( 结构) 模式 分类。这类经典方法发展较为成熟，得到了广泛的应用，缺点是不能同时满足运算量与 运算精度的要求。近年来逐渐发展起来的模糊模式分类和人工神经网络模式分类，在图 像识别中也越来越受到重视。本论文在介绍几种常用图像识别方法的基础上，利用计算 出的目标物体的多重分形谱特征，选用两种经典模式识别方法对图像样本进行训练和识 别。 本文在深入研究了多重分形理论和多重分形谱算法的基础上，分析了理想分形特征 的条件，提出了基于多重分形分析的目标图像特征提取，希望用经过多重分形分析提取 的图像特征进行图像识别时能取得较好的效果，从而拓展多重分形在图像处理应用方面 的新方法，丰富图像识别技术的新思路。 本文的研究是在导师主持的陕西省自然科学基金“基于分形理论的图像理解研究 项目资助下完成的，该项目的主要研究内容包括：基于多重分形分析的图像去噪研究、 基于多重分形分析的图像边缘提取研究、基于多重分形分析的图像识别研究以及基于多 重分形分析的图像理解研究等几个部分，项目部分成果已经呈现在导师编著的分形理 论及其在信号处理中的应用【3 】一书中，该专著已由清华大学出版社于2 0 0 8 年1 2 月出 版。作为该项目的成员，作者参加了项目的部分研究工作，并在此基础上展开了本论文 的研究工作。 1 2 国内外研究现状 从本质上讲，人类所处的自然界是非线性的，而线性只是对错综复杂的非线性世界 的近似描写。2 0 世纪末蓬勃兴起的非线性科学，是人们认识与研究客观世界的一次重大 突破，是- - f 跨学科的综合性前沿学科，它揭示了非线性系统的共同性质、基本特征和 运动规律。分形，作为非线性科学的前沿和一个重要分支，不断渗透到包括自然科学、 社会科学、材料科学、生命科学、临床医学、经济生活等各个领域，生活中几乎处处都 2 西北大学硕士学位论文 蕴涵着分形。不难发现，越来越多的学者们正在投入到分形的研究中来，努力探索着分 形的奥秘，希望为不同领域的科学研究注入新的生机和活力。 分形中维数的概念至关重要。维数作为几何对象的个重要特征量，从直观上看， 是为了确定几何对象中某个点的位置所需要的独立坐标的个数或独立方向的个数；从抽 象上看，它是集合层次结构的一种量值标号，是集合空间复杂程度的一种度量。在欧氏 几何中，人们已经习惯了整数维，如直线是一维的，曲面是二维的而在分形几何中， 人们用分维数来定量地描述其复杂性。分维数的概念是1 9 1 9 年德国数学家豪斯道夫 ( h a u s d o r f f ) 在他的著作中首先提出的，他认为空间的维数是连续的。而美籍数学家曼德 布罗特( b b m a n d d b o r t ) 在1 9 6 7 年首先提出了分形的思想，并用分维数来描述分形体， 成为第一位将分维数用于科学研究的科学家。 自分形概念提出后，曼德布罗特在1 9 7 7 年和1 9 8 2 年分别出版的分形：形、机遇 与维数、自然界的分形几何两部著作，标志着分形几何理论正式作为一门现代新兴 学科进入研究领域。随后的时间里，投入到分形研究的科学工作者们不断将分形渗透到 图像处理的各个方面，分形维数也逐渐成为分形图像处理技术中运用广泛的重要度量工 具。分形维数是对非光滑、非规则、破碎的等极其复杂的分形体进行定量刻画的重要参 数，反应了分形体的复杂程度和粗糙程度。图像中不同的纹理可以用不同的维数来描述， 而由于分形维数可以度量图像的复杂程度和表面的不规则程度，所以，常常将分形维数 作为图像纹理的一个重要特征应用于图像处理中的图像分割、边缘检测、图像识别等方 面。 国外学者在分形概念提出后，纷纷尝试将分形理论和分形维数应用到图像处理的各 个方面，并取得了许多有应用价值的研究成果，为图像处理技术探索到了新的研究思路。 其中，1 9 7 7 年和1 9 8 2 年，曼德布罗特出版的关于分形的两部著作，奠定了分形理论的 基础；1 9 8 6 年，利用分形理论的自相似原理，w a l a c h 等学者提出了分形的自相似性在 图像压缩处理方面的研究；1 9 8 7 年，t r i c a t 等学者进行了分形中非整数维的概念及其在 图像处理中的应用研究；随着分形的自相似性原理越来越被重视，1 9 8 8 年n g u g e n 又提 出了分形的自相似性在3 d 物体纹理分析方面的研究；1 9 8 9 年，k d l e r 提出了基于分形 自相似性的图像纹理描述和分割研究：2 0 0 2 年，b e r t h e k 等人提出了基于模糊分形理论 的图像压缩研究等【1 5 1 。 国内的高校和科研机构里，许多学者也投入到分形理论和应用的研究中，并取得了 优秀的成果。其中，1 9 9 7 年，谢和平、薛秀谦等学者出版了分形应用中的数学基础与 3 第一章绪论 方法一书，详细全面地介绍了分形中的数学基础和方法，为从事于分形研究的科研人 员提供了参考和指导【1 6 1 。1 9 9 9 年，杨杰和林良明提出了基于分形理论的信号特征提取 及应用，将分形理论应用于雷达信号的特征提取，研究了基于分形的分维影像纹理对航 空遥感图像的分割处理。同年，李宏贵和李兴国等人提出了基于分形特征的红外图像识 别方法，丰富了分形在图像识别技术中的应用。2 0 0 1 年，李望超研究了分形在图像压缩 中的应用，为图像压缩带来了新的实践方法。2 0 0 3 年，赵健提出了基于多重分形分析的 s a r 图像消噪增强研究，将多重分形理论与小波理论结合起来应用到s r a 图像的消噪 中【1 7 】。同年，孙亦南和刘伟军等人将分形理论和数学形态学结合起来，提出了一种新的 图像边缘检测方法。2 0 0 6 年，黄斌等人提出基于增强分形特征的人造目标检测【i s j ；闰 晓珂等人提出基于分形理论的红外图像机场跑道自动目标识别。分形应用于图像处理各 个方面的优秀成果，体现了分形与图像之间的紧密联系，反映了分形在图像处理中的理 论和应用价值。 随着分形发展的不断深入，人们注意到用单一维数描述目标物体的整体特征，不能 完整的反映出其复杂性，对于复杂的几何体，人们希望用多个维数来描述它，以全面地 刻画其特征。在这种情况下，学者们提出了多重分形的概念，并逐渐将其应用到了广泛 的领域。在国外，学者们将多重分形应用于自然图像的分割【1 9 2 0 2 1 1 及细胞图像的分割【2 2 1 、 图像分析与纹理特征描述【2 3 2 4 1 、生物医学里的心脏跳动多重分形动态建模与分析【2 5 1 ，以 及信号与信息处理【2 6 2 7 】等许多领域，证明了多重分形在科学领域中的应用价值。在国内， 1 9 9 7 年，高海霞提出的多重分形的算法研究及应用，实现了用多重分形技术进行油气预 测的具体算法；2 0 0 0 年，王祖林等人研究了多重分形谱及其计算，介绍了一种多重分形 理论的形式体系，提出了一种采用动态链表来计算多重分形谱的方法【2 8 1 ；同年周炜星等 人研究提出了多重分形奇异谱的几何特性；2 0 0 8 年，李彤进行了多重分形原理及其若干 应用的研究，将其应用于掌纹识别和天气预测中【2 9 】。在图像处理方面，李军、纪静波等 人分别将多重分形应用到图像边缘检测中，探索了利用多重分形方法提取图像边缘的新 思路【3 0 】；夏政伟等人实现了基于多重分形的图像局部分割，取得了较好的分割效果。 除了学者们在分形方面发表的理论和应用研究成果论文，许多关于分形的刊物和著 作也在国内外相继出版。例如，英国培格曼出版社在1 9 9 1 年推出的混沌、孤子和分 形刊物，为国内外学者提供了交流和分享研究成果的平台，标志着分形成为了现代科 学研究领域的一个重要方向；以出版学术书刊而著称的新加坡世界科学出版社于1 9 9 3 年出版的学术季刊( f r a c t a l s ) ) ，描述了分形与其它自然学科之间的密切联系。在国内， 4 西北大学硕士学位论文 各个出版社也积极出版了很多的分形著作，例如，2 0 0 4 年机械工业出版社出版的日本学 者木上淳所著分形分析，该书深入研究了分形的动态特性；2 0 0 6 年，化学工业出版 社出版的刘代俊所著分形理论在化学工程中的应用，对非线性化工系统中混沌的分 形刻画作了较为详细的描述；2 0 0 8 年，清华大学出版社出版的赵健等人所著分形理论 及其在信号处理中的应用，讨论了分形在数字信号和图像处理方面的应用【2 1 。此外，基 于分形分析的我国股市波动性研究、分形城市系统：标度、对称空间复杂性等著作， 都显示出分形在科学研究和应用中的重要意义和地位。 综上所述，分形自被提出以来，受到很多国内外学者的关注，它的理论研究和实际 应用成果充分体现出了分形在现代科学领域的重要性。作为分形的深入研究，多重分形 与图像之间同样存在着密切的联系。将多重分形分析用于图像处理，成为了许多学者解 决复杂图像处理问题的新方法。当然，多重分形在弥补了分形缺陷的同时，也增加了自 身算法和应用的难度。若要改善多重分形的不足及其在实际应用中的缺点，需要学者们 的不断研究和探索，从而共同推动多重分形和相关应用学科的发展。 1 3 本文的主要内容 本文的研究重点在于将多重分形分析引入到图像处理中，实现了基于多重分形分析 的图像去噪、图像边缘提取，并对经过预处理的图像样本进行图像分类识别。理论方面， 较全面地介绍了分形的基本理论、多重分形的定义、多重分形谱的计算方法、图像识别 原理以及图像识别中理想特征的选择与提取，讨论了利用图像多重分形谱参数进行图像 识别分类的方法。 1 4 各章节组织结构 本章绪论介绍了课题的选题背景、整理概括了国内外分形和多重分形理论的研究现 状，说明了本文将多重分形分析方法应用到图像识别中的意义。 第二章介绍了分形的一些基本理论，包括分形的定义与应用、分形维数以及分形几 何的概念，为后续多重分形及其应用的展开提供了理论依据； 第三章介绍了多重分形的定义和多重分形谱的计算，将多重分形分析引入到图像处 理中，讨论了基于多重分形分析的图像去噪方法和边缘提取方法，为第四章的图像识别 做好图像样本预处理的准备。 第四章首先介绍了图像识别的基本概念和常用方法，然后研究了多重分形谱的计算 5 第一章绪论 方法，通过编程实验计算出了图像样本的多重分形谱，并在此基础上提取了图像样本的 多个多重分形谱特征参量，将其作为图像识别方法中的图像特征，用最小距离分类器和 贝叶斯分类器对四类图像进行了训练和识别，并取得了较好的识别效果。 结论部分对论文进行了总结，并对进一步工作进行了展望。 6 西北大学硕士学位论文 2 1 分形 第二章分形与分形维数 2 1 1 分形的概念 1 9 6 7 年，美籍法国数学家曼德布罗特( m a n d e l b r o t ) 在美国 s c i e n c e ) ) 杂志上发表了 题为英国的海岸线有多长? 的著名论文，并在论文中讨论了维数介于l 和2 之间的 自相似曲线，虽然当时没有用“分形( f r a c t a l ) 这个单词来定义这类具有自相似性的曲 线，但这些曲线都是分形，是他分形思想的体现。 在描述英国海岸线时，曼德布罗特将其看成是极不规则、极不光滑，且蜿蜒复杂变 化的几何曲线，以至用传统几何的测量方法不能准确计算出它的长度。如果将整个海岸 线划分成许多不同的部分，人们不能从形态和结构上区分各部分之间以及部分与整体之 间有什么本质的不同；在没有建筑物或其它物体作参照物的情况下，观察从空中拍摄的 1 0 0 公里长海岸线照片和将1 0 公里长海岸线放大了的照片，发现它们看上去十分相似。 这些现象呈现出海岸线局部和整体几何形态上几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明 海岸线具有形貌上的自相似性。经过观察不难发现，自然界中广泛存在着具有自相似性 形态的物体，比如绵延的群山、飘浮的云朵、金属的断裂口、布朗运动中粒子的运动轨 迹、大脑皮层、神经网络等等。 1 9 8 0 年，曼德布罗特给人们展示了他创作的m a n d e l b r o t 集，即一幅用迭代算法生 成的几何图形，在它的层层嵌套结构中有很多的自相似部分，其边缘具有无限复杂和精 细的结构。随后，曼德布罗特提出了分形( f r a c t a l ) 的定义：局部以某种方式与整体相 似的形体。这一定义突出了分形自相似性的特征，即局部之间、局部与整体之间在形态、 空间、功能等方面具有统计意义上的自相似性。曼德布罗特利用分形的思想解决了一些 数学难题并对许多物理和经济现象进行了研究，逐步创立了分形理论( f r a c t a lt h e o r y ) 这一 新兴学科，它以分形性质及其应用为主要研究内容，人们也将其称为分形几何学( f r a c t a l g e o m e t r y ) 。 可以通过以下几个分形的特点来进一步理解分形： ( 1 ) 分形具有无限精细的结构，即在任意小的比例尺度下，它总有复杂的细节； ( 2 ) 分形具有如此的不规则性，以至不能用传统的几何语言来描述它的局部和整体形 貌； 7 第二章分形与分形维数 ( 3 ) 分形通常具有某些自相似性，这些自相似性可以是近似的或者是统计意义上的； ( 4 ) 一般情况下，分形以某种方式定义的分形维数大于它的拓扑维数； ( 5 ) 分形可以由非常简单的方法定义，也可由递归或者迭代过程产生。 上述( 1 ) 、( 2 ) 、( 4 ) 三个特点反映了分形的复杂性和不规则性；( 3 ) 中的自相似性使得 分形的任何一个局部片段都能体现出分形的整体特征；( 5 ) 则说明了分形的形成机制。 实际应用中，分形可以是几何图形，也可以是一种具有功能和信息结构的数理模型。 自相似性是分形的重要性质，分形可以在其形态、功能和信息三方面同时具有自相似性， 也可以只在其中某一方面具有自相似性。自相似性在不同分形体的层次结构方面也存在 着差异：在数学理论中，分形具有无限嵌套的层次结构；而在自然界中，分形进入到一 定的嵌套层次以后才会有分形的性质与规律，从而只具有有限嵌套的层次结构。 欧氏几何是传统几何的代表，分形几何以分形的性质和应用为研究内容，将它们进 行比较，可以看出：在欧氏几何中，人们研究边缘连续光滑且形状规则的物体，例如简 单的圆、正方形、立方体、球体等，这些几何体的描述量如角度、长度、面积、体积， 在旋转、平移、对称变换下具有不变性，适用于人造物体的分析与研究；分形由递归或 者迭代生成，具有一定的自相似性；分形几何不再将分形体中的局部细节如点、线、面 分开来看，而是把这些要素看成一个整体来对分形体进行分析描述，主要适用于自然界 中不规则复杂物体的分析与研究。 分形几何相对于传统几何，从方法论和认识论方面给予人们研究自然物体的新思 维：分形具有局部与整体形态的自相似性，能从本质揭示出物体介于整体与部分、复杂 与简单、有序与无序之间的形态与特征，从而启发人们研究自然物体时通过局部来认识 整体，从有限中认识无限。 2 1 2 分形的应用与前景 自曼德布罗特创立分形理论以来，分形已经在许多领域中得到了有效的应用，其中 涉及的领域包括：地形地貌分析【3 l 】、生态系统、数字图像处理 3 2 , 3 3 】、动力系统、理论物 理【蚓、城市交通【3 5 1 和应用材料的研究。 在数字图像处理中，将分形技术应用于数据压缩是分形应用的一个典型例子。1 9 9 6 年巴斯利在美国数学学会会刊上发表了一篇名为利用分形进行图形压缩的文章，他 将分形应用于制作光盘时的图形压缩中。分形可以由递归或迭代产生，而分形图案同样 是与某种变换相关联的，现实中可以将任何一个图形看作是以某种变换方式反复迭代形 8 西北大学硕士学位论文 ，成的。巴斯利利用分形的这一思想，认为存储一个图形时不需要存储该图形的全部像素 信息，只要找到与这个图形相关联的变换过程，并将这一变换过程的信息存储起来，就 能准确地将图形再现出来。在实际应用中使用这种方法，能将数字图形的存储空间减少 至原来1 8 。 分形艺术( f r a e t a la r t ) ，是依据分形的自相似性原理，由分形理论发展起来的一个有 趣应用3 6 1 。其中，分形音乐是由一个算法的多重迭代产生的，通过利用自相似原理，人 们可以构建出一些合成音乐，这些音乐有着自相似的小段，而在其主题的重复中，这些 小调也会不断的反复循环。另外，在许多常见的计算机应用中，诸如屏幕保护程序中的 图形，也是通过分形计算而得来的。可以看到，计算机技术的发展其实是对分形理论认 识和研究的前提，反之，计算机技术的发展又在一定程度上受到了分形思想和方法的影 响和推动。 分形理论自2 0 世纪7 0 年代创立以来，学者们在这方面取得了一系列研究和应用成 果。值得注意的是，近年来分形在应用方面的发展远远超过了它的理论研究，从而给分 形的数学理论研究提出了更高的要求，使得包括分形维数的理论估计与计算、分形重构、 j 集和m 集及其推广形式的特征等，成为了许多数学工作者关注的研究内容。由于分形 理论能对许多难题作出独特的解释，给出解决难题的途径，所以分形理论的发展前景是 非常光明的。相信随着应用领域的不断开拓和理论研究的不断完善，分形能在更多领域 取得优秀和成熟的应用成果。 2 2 分形维数 在传统几何学中，人们描述几何体的维数通常是整数维，比如用零维描述点、一维 描述直线、二维描述平面、三维描述立体空间，甚至建立更高维的空间来描述更加复杂 的物质或形态。爱因斯坦曾在相对论中引入时间维，从而形成了更高的四维空间。 曼德布罗特对一个绳球的维数有这样的描述：从很远的距离观察时，可以将绳球看 作一点，其维数为零维；从较近的距离观察时，绳球是一个球形几何体，其维数为三维； 更近一些观察，就看到了绳球的细节即绳子，它又是一维的；最后从微观观察，绳子是 三维的柱，而每一段绳子又是由无数一维的纤维组成的。显然，并没有绳球从三维对象 变成一维对象的确切界限，也没有能准确描述绳球的整数维。曼德布罗特将分数维的概 念引入达到了分形理论中，来描述这类复杂结构的几何体。 实际上，若对长度为l 的线段以等分，每段线长为，则： 9 第二章分形与分形维数 刀，= 1 对面积为1 的正方形，l 等分，每个小正方形的边长为，则： 咒，2 = 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 对于体积为1 的正方体t 等分，每个小正方体的边长为，女i i j 刀，3 = 1( 2 3 ) 上面三个等式中，的幂次实际上就是该几何体能得到定常度量的空间维数，设空 间维数为d ，有如下公式： ，d = 1( 2 4 ) 对式( 2 4 ) 两边取对数，可以得到空间维数d 的表达式： d ：一i n n( 2 5 ) 对于英国的西海岸，曼德布罗特计算其维数d = - - 1 2 5 ，从而确定了海岸线的长度。 可见，实际问题中可以用分数维来描述复杂的几何体【3 7 1 。此后，分维数发展成为描述分 形体的一个重要特征量。在分形研究中，分形的维数起着至关重要的作用。下面介绍几 种重要的分形维数，以加深对分形的理解。 2 2 1 相似维 由式( 2 5 ) 得到了空间维数的计算公式，该公式适合度量具有严格自相似性的几何 体，所以可以将( 2 5 ) 确定的维数定义为相似维，记为： d a a ) ：l o g t n ( 2 6 ) l o g 对于近似相似或从统计意义上相似的分形，不能用该公式来描述【3 8 1 。 2 2 2h a u s d o r f f 测度 设u 是，l 维e u c l i d 空间掣中的任意非空子集，定义u 的直径为： 川= s u p 舡一y l ：x ，y e u ) ( 2 7 ) 上式表示u 中任意两点之间的最大距离。如果集合，cu ，且的直径不超过 i = i 艿，即对任意f ，都有o 0 ，定义： 1 0 西北大学硕士学位论文 磁( 咖砒哆 删椭畸 旺8 ， 分析可得，上式是万减小时的递增函数，即式( 2 8 ) 能覆盖f 的集类随着万的减小 而减少，从而使得下确界( f ) 是非递减的，并且将嘭( f ) 在万一。时的极限值记为： 日sp ) = d l i r n o q 扩)2 9 ) 口 u 一 称日j ( ，) 为集合，的s 维h a u s d o r f f 测度。它的极限通常为或零。理论证明， h a u s d o r f f 澳1 度具有平移不变性和旋转不变性。 2 2 3h a u s d o r f f 维 对任何给定的集合fc 尺”hs s ，且 q ) 为，的万一覆盖时，有： l u = i fl r 。i v , 1 5 ( 2 1 0 ) 可得出： 哎( ，) 叫磁( f ) ( 2 1 1 ) 由( 2 1 1 ) 式可得，当万一。时，若o 日j ( ，) ，则有日s ( ，) = o 。同样，可以推 导出当f j 时，若万oi 对0 h s ( f ) o ( f = 1 ，2 ，( 占) ) 。 i = 1 当q = 0 时， 鼠：一1 l i m i n ( e l l ) ：h m 坐盟( 2 1 8 ) ” l 0c - * o l n ge - - * o i n s 这里岛就是盒维。如果m 相互相等，即h = 丙西1 ，则对任意的g 值，得到的维数 称为容量维数。 当g - 1 时，推导出： ( 口) 鸬毗 q 2 卿q2 觋 称q 为信息维。它在地震预报研究中有着重要的应用。 当g ；2 时，称d 2 为相关维。 ( 2 1 9 ) 豪斯道夫维数具有对任何集合都有意义的特点，缺点是难以计算。但是豪斯道夫测 度和豪斯道夫维数是理解分形数学机理的基础，也是掌握其它形式分形维数的前提。盒 维、容量维等分形维数是豪斯道夫维数的简化，便于计算。在实际应用中，可以根据分 形体的特点和运算量的要求选择合适的分形维数来进行计算。 1 3 第二章分形与分形维数 2 3 分形几何 分形几何的主要内容可分为线性分形和非线性分形两个部分。 线性分形理论的研究对象一般具有非规则性和自相似性，认为分形维数的变化是连 续的；而非线性分形的研究对象则是在非均匀线性变换群或非线性变换群下几何图形的 性质p 9 1 。 通常，人们将局部是整体按比例缩小的性质称为自相似性，并通过分形维数来定量 的描述这种性质。正是由于某些几何图形的线性变换在所有方向上都是以同一比率收缩 或者扩展的，因此在一定的范围内，线性分形所研究图形的性质由一个分形维数就可以 加以描述了。 非线性分形由自仿射分形、自反演分形和自平方分形三类非线性变换群组成。其中， 仿射变换是在不同方向进行不同比率收缩或扩展的线性变换，也可以看作是由各个方向 的收缩、扩展、旋转和平移( 也许还要包括反射) 组合而成的，所以，自仿射分形比线 性分形更为复杂。在自仿射分形中，描述一个复杂图形需要多个维数，并且有局部维数 和整体维数之分，从而能够更深刻全面地反映出图形的复杂性和不规则性。下一章将要 介绍的多重分形，正是非线性分形的深入研究。 2 4 本章小结 本章介绍了分形的一些基本理论背景、定义及应用等知识，体现了分形在科学研究 和应用领域的重要性；随后讨论了分数维数的意义、几种常用分形维数的定义和计算方 法，以及这几种方法之间的联系，为下一章介绍多重分形描述中的相关定义提供了重要 的理论基础。最后介绍了分形几何的基本概念，讨论了分形几何中的线性分形与非线性 分形的内容与区别。 1 4 西北大学硕士学位论文 3 1 多重分形 第三章基于多重分形分析的图像预处理 在研究分形体结构时，人们主要侧重于测定、计算简单的分形维数。但是在一系列 问题的研究中，在各种复杂的分形结构的形成过程中，其局域性条件是十分重要的。简 单的分形维数只能对所研究的对象进行整体的、平均的描述与表征，无法反映不同区域、 不同层次、不同局域条件形成的各种复杂的分形结构全面精细的信息，不能完全揭示出 产生相应分形结构的动力学过程，为此人们提出了多重分形的概念。 多重分形是定义在分形结构上的由无穷多个标度指数所组成的一个集合，通过一个 连续谱函数来描述分形结构上不同的局域条件，或分形结构在演化过程中不同层次所导 致的特殊结构行为与特征。利用多重分形的思想，对于一个复杂的分形体可以将其分成 许多具有不同奇异程度的小区域，通过研究每个小区域的特征来分层次地了解整体的内 部精细结构【4 0 ，4 1 1 。可以说，多重分形是从局部出发来研究系统的整体结构和特征，并通 过统计物理学的方法对特征参量概率测度的分布规律进行讨论。 3 1 1 多重分形的描述 由于科学家们对多重分形理论的研究是从不同角度进行的，所以在不同问题的处理 中会采用不同的描述方法，从而导致多重分形没有数学上的严格定义。下面分别介绍多 重分形的简单数学模型和两套描述语言。 1 ) 多重分形的简单模型 对于给定的研究对象，可以将其划分为个不同的区域i ( f = 1 ，2 ，n ) ，用，；表示 第i 个区域线度的大小，用易表示该区域岛的生成概率，对于不同的区域墨，其生成概 率b 也不同，可以用关系式b = 矿( i = 1 ，2 ，n ) 来表征，其中q 是不同的标度指数。 若某一区域线度的大小趋于零，则有：a ：h m 警，口是研究对象某个小区域的分维数， r - - o i n ， 反映了这一区域生成概率的大小。 把研究对象划分成数目很大的小区域，并用口表示每个小区域的分维数，将不同口 所组成的无穷序列构成一个谱函数，用f ( a ) 表示，于是得到一对描述多重分形的参量口 和厂 ) 。 1 5 第三章基于多重分形分析的图像预处理 2 ) 基于测度理论的多重分形描述 下面给出的口厂( 口) 语言是从测度理论角度对多重分形进行的描述。 假设肠是d 维欧氏空间，觞的任意d 维子集是测度支集并用x 表示。用递归或迭 代的方式对集合x 进行划分，并对每部分赋予概率不变测度。设口是和划分有关系的 一个参数，将第万步划分后的x 的子集记作x 。q ) 。 若x 。= 。l i m x 。0 ) 是一个分形集，定义一个测度空间为伍，) ，则可以将鼍看作是 测度空间似，) 的分形子集。若在当前集合x 的划分下，可以用若干分形子集的并集来 表示测度空间伍，) 产生的分形集，并且每个分形子集有其自身的分维数，则可以将此 分形集称为多重分形。 若以尺度万将似，) 划分成有限个单元，并定义单元测度儿，则心与万存在着幂 律关系，如下： 弘。一6 a ( 3 1 ) 将上式中的参量口称为h 6 1 d e r 指数。在实际应用中也将口称为奇异性指数，是因为 它控制着概率密度的奇异性，反映了分形体小区域的局部分维数。 对概率测度为心的分形子集艺的任意可列万一覆盖 搀n ) ，即： 0 厂仁) 时，矽伍口，心) = 0 ；， 厂丘) 时p 7 似口，心) = o o ； ，= 仁) 时，0 矽7 阢，心) 1 时，若p ， p ，则n 9 夕，口。考虑 氐 对较大的概率赋予较高的权重，而b 对测度和维数的影响很小，定义概率测度的g 阶矩为： 定义广义，一维测度为； ，万) = p ，9 p ) ( g ) = 莓衫( d ) = ( g ，d ) 矿 m ) d l _ i r a ( g ) 若存在依赖于p ，的g 阶矩选择的临界指数r q ) ，满足： ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) r ( 9 ) = i n f 纠7 0 ) = o = s u p 纠7 q ) = ) ( 3 9 ) 1 7 第三章基于多重分形分析的图像预处理 则称f q ) 为质量指数。 根据的g 阶矩，还可以引入广义r e n y 维数为： d ( q 1 = ，h a p ；w ) 奇瓣d 1 口一1d o l i l 。 l鲰zpi(d)inpi(d)刀：1i d o n d 广义维数d ( g ) 随不同的g 值有着不同意义。 4 ) 多重分形谱与广义维数的关系 ( 3 1 0 ) 广义维数d ( g ) 与多重分形谱厂仁) 之间满足勒让德( l e g e n d r e ) 变换： f 叱) = 百d r ( q ) ，其州g ) _ ( g - 1 ) ) ( 3 1 1 ) 【f ( a ) = 留a ( q ) - r ( q ) 式( 3 1 1 ) 建立了独立参量g ，f 及口，f 之间的关系，同时构成了多重分形理论的核心。 ( 2 ) 厂 ) 0 ，在口= 处取最大值，即它的最大值为l = f ( a 。) ； ( 3 ) 使厂 ) 0 的指数口的取值区间记为 口m i n ，口一】，其中 口曲= 掣口一= 百d r ( q ) b 。 ( 1 ) h o l d e ，指数口( g ) 和广义维数d ( g ) 关于g 严格单调递减； ( 2 ) 多重分形谱函数尥) 是关于口的凸函数； ( 3 ) 质量指数f q ) 是关于g 的严格递增的凸函数。 ( 1 ) o ( 0 ) 是容量维，d ( 1 ) 是信息维，d ( 2 ) 是相关维； 西北大学硕士学位论文 ( 2 ) g = 0 时，厂( 口) 取最大值且厶= d ( o ) ，是容量维； g = l 时，( 口( 1 ) ) = 口( 1 ) 是信息维。 3 1 2 多重分形谱的计算 在3 1 1 节中介绍了描述多重分形的口厂( 口) 语言，而计算奇异谱厂( 口( g ) ) 和奇异 指数口( g ) 的常用方法是直接计算法。这一方法基于盒维的概念，用尺度为万的盒子覆 盖被研究的多重分形集，将目标点在第f 个盒子的概率设为