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任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 论文题目：任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 专业：应用数学 硕士生：黄伊霞 指导老师：冯国灿教授 摘要 本文首先对正交配置方法，也即是在高斯点的样条配置格式做了一个系统的 介绍，讨论了它在两点边值问题和二维p o i s s o n 方程中的应用，并给出了一些很 好的计算结果。然后又讨论了一种新型的有限元配置法，在正规方形网格下讨论 了它在单位方形区域中二维p o i s s o n 方程的应用，并给出了具体的配置格式。另 外，由于基于埃尔米特双三次样条的正交配置法只能通过使用矩形网格解决诸如 标准矩形区域 0 ，1 【0 ，l 】等规则区域的问题，该方法受到了极大地限制。因此又 讨论了在三角形网格下的配置格式，同样得到了一些很好的数值结果。当然我们 希望能将该方法推广，去解决一些在更复杂的区域上的更为复杂的问题，例如间 断界面问题。我们尝试使用非协调样条配置法解决一类间断界面问题，数值结果 表明当使用三角剖分时，该方法可以保持误差精度不变。最后我们给出间断界面 问题非协调样条配置法的解的存在性和唯一性，并得到一些误差估计。 关键词正交配置法有限元配置法非协调样条配置法间断界面问题 m 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 t i t l e ：s p f i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d sf o rs o l v i n gp d e si ni r r e g u l a rd o m a i n s m a j o r sa p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e ：h u a n gy i x i a s u p e r v i s o r ：p r o f f e n gg u o c a n a b s t r a c t t h i st h e s i sf t r s t l yp r o v i d e sa no v e r v i e wo ft h ef o r m u l a t i o na n di m p l e m e n t a t i o n o fo r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o n ( o s c ) ，a l s ok n o w na ss p l i n ec o l l o c a t i o na tg a u s s i a n p o i n t s ，f o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h et w o b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) a n d p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) i nt w os p a c ev a r i a b l e s s o m eg o o dn u m e r i c a l r e s u l t sa r ea l s og i v e n t h e nan e w t y p eo ff i n i t ee l e m e n tc o l l o c a t i o nm e t h o d ( f e m ) i s c o n s i d e r e d i t sf o r m u l a t i o na n di m p l e m e n t a t i o ni sd i s c u s s e df o rt h ep o i s s o ne q u a t i o n i nt w od i m e n s i o n a ls p a c e sb yu s i n gu n i f o r ms q u a r em e s h e s s i n c et h eo r t h o g o n a l s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o db a s e do nt h eh e r m i t b i - c u b i cs p l i n ec a no n l ys o l v e p r o b l e m so nt h er e g u l a ra r e a ss u c ha su n i ts q u a r e o ，l 】x o ，1 】b yu s i n gr e c t a n g u l a r m e s h e s ，i t sa p p l i c a t i o ni sg r e a t l yr e s t r i c t e d f o rt h i sr e a s o nt h e nf o r m u l a t i o na n d i m p l e m e n t a t i o ni s a l s od i s c u s s e db yu s i n gt r i a n g u l a rm e s h e s ，a n ds o m en i c e c o n v e r g e n c er e s u l t sa r ea l s oo b t a i n e d n a t u r a l l yw eh o p et oe x t e n dt h i sm e t h o dt o s o l v es o m em o r ec o m p l i c a t e dp r o b l e m si nm o r ec o m p l i c a t e da r e a s ，f o r e x a m p l e ， i n t e r f a c ep r o b l e m s w et r yt os o l v eac l a s so fi n t e r f a c ep r o b l e m sw i t hn o n c o n f o r m i n g s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d ，a n df o r t u n a t e l yt h i sm e t h o dc a r lk e e pt h ec o n v e r g e n c e o r d e rw h e nu s i i l gt r i a n g u l a rm e s h e s f i n a l l yw ep r o v i d et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s so f t h en o n c o n f o r m i n g s p l i n ec o l l o c a t i o ns o l u t i o n , a n do b t a i ns o m ee r r o r e s t i m a t e sf o rt h e s p e c i a lc a s eo fi n t e r f a c ep r o b l e m _ k e yw o r d s ：o r t h o g o n a ls p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d ；f i n i t ee l e m e n tc o l l o c a t i o nm e t h o d ； n o n c o n f o r m i n gs p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d ；i n t e r f a c ep r o b l e m i v 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在 导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 学位论文作者签名：菱嗲良 日期：2 0 0 9 年0 4 月3 0 日 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论 文的规定，l i p 学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版， 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采 用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：黄少良 日期：2 0 0 9 年0 4 月3 0 日 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 第1 章前言 本章首先简单介绍样条配置法这个研究方向在国内外的研究工作概况，然后 指出本文的研究目的和介绍将要展开讨论的内容。 1 1研究工作现状综述 样条配置法是解决微分方程的最有效的数值方法之一，同时也是解决许多物 理问题的重要方法之一 卜6 。样条配置法已经被广泛地用于偏微分方程边值问 题和常微分方程的数值求解。由于其概念的简明性，应用的广泛性，以及算法的 容易实现，使得该方法倍受欢迎。与有限差分法相比较，它不但给出了所求问题 在所给区域中任意点处函数值及其导数值的数值逼近，而且从理论上来说，可以 得到任意的高阶精度；相对于有限元方法而言，它在确定代数系统的过程中，不 需要去计算任何积分的数值近似。然而，样条配置法也有其自身的一些缺陷，如 它对几何边界非常敏感，以及难以对它进行数值分析等。 在过去的3 0 年间，关于配置法以及应用其来求解常微分方程和矩形区域上 的偏微分方程做了大量的研究，其中包括综述【7 ，8 】、误差分析 7 ，9 】以及应用【2 ，4 ， 5 ，1 0 】。 f a i r w e a t h e r 和m e a d e 在1 9 8 9 年对样条配置法给出了全面的概述【8 】。该文着 重介绍了各种配置方法，特别是求解边值问题和常微分方程的光滑样条配置法， 修正的样条配置法和正交样条配置法。在过去的十多年里，配置方法，特别是正 交样条配置方法的格式、分析和应用都有了很大的发展。文 7 综述了正交样条 配置方法在二维情形下椭圆型、抛物型、双曲型和s c h r 6 d i n g e r 型偏微分方程的 应用。 在众多的样条配置法中，最常见的是埃尔米特双三次样条配置法。它基于对 一维埃尔米特逼近使用张量积公式，由于这些方法都只能在四边形网格下进行配 置，从而对所求问题的几何边界有极大的限制。因此，虽然此方法也通过使用类 似于坐标变换的方法来求解某些特殊的非矩形区域问题 1 1 1 3 】，但却主要应用于 求解矩形区域问题。这大大限制了样条配置法的应用。 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 也正由于此，针对用于解决复杂区域上的偏微分方程的样条配置法做了很多 的研究。在 1 3 中首次通过正交样条配置法研究一个非矩形区域的位势问题。该 方法基于使用局部曲线坐标系统，其中每个元素均被矩形化，而某些非矩形区域 的数值结果则表明了这种方法的高阶准确性。在 1 1 3 中则提出了一个全局几何映 射方法，其中非矩形区域被转化成矩形，然后在这些矩形区域中使用张量积的 h e r m i t e 样条配置法。在 1 2 中提出改变定义域嵌入方向法来解决有界二维不规 则区域上的椭圆偏微分方程。该方法将不规则区域嵌入到一个矩形中，然后使用 变换方向的迭代来解决系统的线性方程，其中三次h e r m i t e 样条配置法被用于离 散化该方程。 另一方面，对于一个复杂的物理区域，最常用的方法是将其划分为三角形或 多边形网格，其中三角形元或多边形元的边沿着边界，这种方法常被用于处理不 规则的边界。在这样的网格上的有限元法已得到很好的发展，并被广泛地用于解 决偏微分方程和许多物理问题。如果像有限元方法一样对区域进行三角形或多边 形划分，很容易就得到标准的局部样条函数基。尽管如此，从这些传统的样条函 数空间里得到的配置系统经常都是非可解的。 在文 1 4 1 q b ，d o e d e l 最先提出了一种新型的有限元配置方法，称为非协调样 条配置法。该方法的主要特点是：( i ) 能得到高阶精度，( i i ) 分片多项式的解不需 要全局连续，( i i i ) 所确定的线性系统能用嵌套剖分法进行有效的求解。又由于该 方法配置格式的灵活性，我们可以将其应用到三角形网格，从而使其应用范围推 广到一些不规则的几何区域。 针对该方法，文【1 5 提出了一种新的求解公式，该方法可被看作是配置法在 一类有限元( 样条) 空间中的逼近。在此非协调空间中求得的数值解一般来说是 不连续的，只在那些所谓的匹配点上相连。该方法通过在些内部点中对偏微分 方程进行配置来得到样条配置系统。另外，它还通过局部消去法来减少每个元上 的自由度个数，并由此使得最终得到的配置系统的维数与匹配点的个数相等。在 【1 5 中，仅给出了基于矩形划分的样条配置法的数值解的存在性和唯一性，以及 用能量模表示的误差分析。它的理论分析基于此：当对区域进行矩形划分时，非 协调样条配置法和一种特殊的高阶有限差分法之间存在某种等同性。尽管如此， 1 5 】中提出的方法不能用于分析三角形划分的情况，也只适用于矩形区域。 2 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 1 2本文的目的及主要内容 本文着重讨论了三角形网格下非协调样条配置法的配置格式及其实现方式， 并通过计算得到一些比较好的数值结果。但是该方法的理论分析非常难，迄今为 止还没有一个完整的理论体系，本文的主要目的是得到一些理想的结果，以便为 以后的研究工作做充分的准备。我们只考虑一些简单的方程和几何区域，以便更 简明的阐述该方法的主要思想。 本文接下来的章节的简单纲要如下： 第二章回顾了正交样条配置方法的基本思想，以两点边值问题和二维 p o i s s o n 为例叙述了该方法的配置格式及实现方式。 第三章先介绍了有限差分法和有限元配置法的基本思想，然后给出了后者在 方型网格下的配置格式；另外，简要说明了非协调样条配置法和一种特殊的高阶 有限差分法之间存在某种等同性。 第四章着重描述了非协调样条配置法的配置格式，然后着重考虑了三角形网 格下的配置格式，顺便介绍了d e l a u n a y 三角形网格生成的一些基本知识，并给 出了任意区域下的一些算例，得到了一些令人满意的数值结果。 第五章用非协调样条配置法计算了一类间断界面问题的两个例子，并在介绍 了非协调样条配置法的基本公式和一些准备知识之后，试着从理论上证明非协调 样条配置法求解该类问题的解的存在性和唯一性。接着给出h 1 模和l 2 模的误 差分析，用到的理论分析方法与有限元法的分析方法基本一致。给出的数值结果 证实了理论分析，同时也表明此方法对不规则区域的问题是有效的。 第六章是对本文的一个总结，并对现在尚未完成和以后可以做的一些工作做 一个展望。 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 第2 章正交配置法 正交配置法基于埃尔米特双三次样条逼近，它已经被广泛地应用于偏微分方 程边值问题和常微分方程的数值求解。由于正交配置法基于高斯点的使用 1 6 】， 所以不管是一致网格还是非一致网格的情形，其数值结果都能得到四阶的误差精 度。 这一章里，我们先简单介绍划分和基函数的概念，然后给出一些用矩阵形式 表示的利用正交配置法解边值问题的公式。为了阐述的方便，我们以两点边值问 题和二维p o i s s o n 方程为例，简明扼要地介绍该方法的基本思想，并给出一些算 例。 2 1两点边值问题 为了简化，考虑如f 简单的两点边值i 司题 l 甜( z l 。= ) ：- - u “ ( 1 + ) a ：u 。2 ，x 。，1 】 ( 2 1 ) 甜( o ) = “( 1 ) = o 。 设为正整数，兀，= 扛。髭。为区间【o ，l 】的一致划分，使得_ = i h x ，i = o n ， 其中h ，= 1 n 为其步长。设q p = x p - l x x p ) 为区间q 中的一个单元，又设 m ( r ，h ，) 为分片多项式函数空间，定义为 m ( ，i - i ，) = v c 1 【o ，1 川 x p , x p + 1 ep ，f = 0 2 ，n 一1 ) 其中e 为由次数，的全体多项式构成的集合。设细，( s ) ) ：。为基函数，定义为 l ( s ) = ( 1 - s ) 2 ( 1 + 2 s ) 咎? 2 1 _ = _ 户s ， ( 2 2 ) 3 ( s ) = l ( 1 - s ) = s 2 ( 3 2 s ) 。 4 ( s ) = 一2 ( 1 一s ) = 一s 2 ( 1 一s ) 定义u ( x ) 的分片埃尔米特三次样条逼近为 4 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 其中 一c 螂降卜一：( 孕卜地( 孚卜懈降 亿3 ， = 砰中l ( s ) + 蟛吃0 2 ( j ) + 蟛o ，( s ) + 砰吃q ( j ) = 杉m ，( s ) 吃“ ，xeq ，= 鼢篙 ，一x x p 一1 s = j o 吃 再设盯，和仃：为区间( o ，1 ) 的二阶高斯点，即 c y = o 。其忙学 图2 1 相应于两个配置点和4 个未知量的典型单元 设g 1 = x ；) ：为区间 0 ，l 】上的高斯配置点集合，其中 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 巧= 而+ 吃仃i ，歹= 2 i + k ，i = 0 , 1 ，n 一1 ，k = 1 , 2 ( 2 6 ) 利用逼近函数v ( x ) 对方程( 2 1 ) 在高斯点上进行配置，可以得到配置系统： 即 一1 ，( x p l + 吃吼) + a ，( 一l + 吃听) = f ( x p l + 吃仃i ) ( 2 7 ) 一善4 矽吃坤) 0 2 孬0 , ( 一s ) + a 善4 矽吃螂b 心) 可( x p _ 。+ 吃) ( 2 8 ) 把方程( 2 8 ) 写成矩阵形式 其中 ( - _ + a 巧) 5 = 睫蚓 ， 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 石= 去 麓；怒麓懑：二 万i 1 ( 仃1 )吃2 ( 仃1 ) l ( 1 一q ) 乙一【。( 仃2 ) 吃2 ( c r 2 ) l ( 1 一吒) j ( 2 1 0 ) 则整体配置系统可以表示为 ( 一4 + a e ) “= f( 2 1 1 ) 其中 u = 拟i 岔似2 l ，i ，l a 7 i 7 甜- - l ，7 “一- 4 ，1 ) 万：i ( 删( 咖吼) l q j 2 注意到d i r i c h l e t 边界条件，边界未知量甜：= “( o ) 和甜岁= 材( 1 ) 已经从系统中 去掉，a ，和c 都是2 n 2 维矩阵并且都有如下分块对角结构： 2 2二维p o i s s o n 方程 这一节着重讨论二维p o i s s o n 方程 f p “= 厂，在区域q = 【o 1 】【o ，l 】 ( 2 1 3 ) h 铀= 0 卜“叫 n 刁，= ! ( t ，y ) ：f = o ，n ，y = o ，m 定义为两坐标轴方向的步长分别是 h x 和h y 的一致划分，其中 丸= 1 n 6 叫蚴 0 0 p j意 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 办。= 1 m ( n ，m 为正整数) q 朋= ( x , y ) x p l x x p ；y 纠y 均l p = l ，g = 1 ，m 为区域q 中 的一个单元。 利用张量积构造二维埃尔米特- - & 基函数，定义变量u 的样条逼近为 吣川= 善4 到4 川“等 “学卜妒如川q m ， 其中砸) 在( 2 4 ) 中定义，m 为方程在q 朋的配置解，( s ) 为式( 2 2 ) 定义 的一维埃尔米特三次插值的基函数。 图2 - 2 相应于4 个酉己置点( 图中圆圈处) 和4 个未知量“，u y ，z 勺的典型单兀 对于张量积配置法，在每个结点上有四个未知量( ”，甜，“，u 秒) ，在整个区域 q 上共有4 ( n + 1 ) ( m + 1 ) 个未知量。为了确定其中的4 n m 个未知量，我们在每 个单元分布四个配置点( 图2 2 ) 。 再令g ：= ( x ；，y ；) l 待1 ，2 n ，= 1 ，2 m ) 为区域q 上所有高斯配置点的集 合，其中 5 + 吃，江2 p + 后，p 5 0 ，一1 ，七= 1 ，2 ( 2 1 5 ) 巧= y q + 以仃i ，_ ，= 2 q + k ，g = o ，m 一1 ，七= 1 ，2 。 利用逼近函数v 对方程( 2 1 3 ) 在高斯配置点上进行配置可得到配置系统： 一a v ( x ，- l + j t 仃。，y g 1 + 办y 仃m ) = f ( x ，一l + ，k o n ，y g 一1 + h y t 7 m ) 在每个单元q 朋上 7 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 一喜打们苎笋，坩妒一善4 驴4 哪吒) 丝铲n 幻 = 厂( 1 + h x 仃n ，l + 吩) 再利用边界条件，( 2 1 6 ) 可以写成张量积形式： 一( 4 。q + c 。4 ) ；= 芦 ( 2 1 7 ) 其中 f = 厂( 彳，片) ，厂( 群，蝣) ，( 岛，蠕一。) ，厂( 矗，) ，)( 2 1 9 ) 矩阵彳，和c 在式( 1 9 ) 中定义，同样地，a y c y 由类似的方法可以定义，0 表示张量积，定义为 彳pb = a i l b a m l b a 1 。b a m n b ( 2 2 0 ) 其中a = ( a i j ) 。 我们还可以非常容易地将上述格式推广到更为一般的二阶椭圆偏微分方程 口1 鲁+ a 2 黑+ a 3 祟+ 岛罢+ 6 2 祟恸川圳) ，( 训) q ( 2 2 1 ) q 丽丽+ 酽+ 岛瓦+ 瓦+ c 甜2 - ，( x ，y ) ，( x ，y ) 2 ( 2 2 1 ) 对应的配置系统为 【见l ( 4q c ，) + 见2 ( e 圆b ，) + d 口3 ( eo 彳，) 一 陀2 2 ) + 见。( 最o q ) + d 6 2 ( 色o q ) + 皿( co q ) 1 ，= f 、。 其中p 甜( ，= 1 , 2 ，3 ) ，巩( 后= 1 , 2 ) 和d c 都为4 n mx 4 n m 对角矩阵，对角线上元 素分别为a ，仇和c 在高斯配置点上的值， 仍= d ( # ，巧) d ( ，巧) ，d = a l ，玩或者c( 2 2 3 ) 也和色分别为对应于x 轴、y 轴方向的2 n x2 n 和2 mx2 m 矩阵，可以通过前 8 砂q 0 ，川 w 0蚝 甜 ， m ，m 0 “、， 地蚝 一， 一， 劫 咐 ”， 让 = 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 一节中类似的方法得到，其中局部矩阵色定义为 瓦= 去 爱墨；乏乏翌；耋墨- - o 三；- 一h 吃，0 2 又( 1 1 二三； c 2 2 4 ，= 一l lz z 斗- 。 吃i ；( 仃2 ) 吃：( 仃2 ) l ( 1 2 ) 一仃2 ) l 、 7 9 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 第3 章非协调样条配置法 为了表达的简单，这里我们只讨论二阶线性椭圆偏微分方程： l u = 甜+ 口( x ) 宰v ”+ 6 ( x ) “= 厂( x ) ，x qcr ( 3 1 ) 其中为拉普拉斯算子，v “为u 的梯度，a ( x ) r ，6 ( x ) ，厂( x ) ，u ( x ) r ，木表 示转置。边值条件为： u ( x ) = u o ( x ) ，x 施 ( 3 2 ) 虽然这一章中所讨论的算法只是针对二维情形，但实际所给的区域可以更具 一般性。它同样可以处理更为一般的边值条件的椭圆系统。 3 1有限元差分格式 缓 ，_ “、 图3 - 1 区域s 2 以及它的递归划分 考虑区域q ，为了简化考虑如图3 1 中的方形区域。一开始q 被划分为两 个子区域，然后继续对子区域进行递归划分，直到最后所得的子区域大小符合要 求。最小的子区域被称为有限元。这些有限元对应于一棵二元递归树的子结点。 实际上，这个递归划分对离散化来说并不是必要的，但在后面所述的嵌套剖分算 法里面很有用。 考虑任意有限单元，我们将它记为q ，。一般地，如果u ( x ) 在硷，上已知， 并且q ，足够小，则解函数u ( x ) 在q ，是有定义的，特别对于o u o r i ( 在边界孢， 1 0 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 上“关于法向量町的方向导数) ，沿任意边界的光滑部分都是有定义的。于是存 在从触，到硷，的映射( 如果边界是光滑的) ，并且该映射关于甜和f 是线性的。 所谓的“有限差分 方法正是基于这个关于椭圆偏微分方程的基本事实的离散化， 特别地，对于任意有限单元q ，我们来考虑式( 3 1 ) 的如下离散化格式： n 所 e = z o t 吩+ f l o f ( z j ) ，江1 ，z ( 3 3 ) 这里坼表示在每个单元边界结点薯处的逼近解( i = 1 ，玎) ，即( 薯) 。类似 地，坼表示在结点t 处的法向导数值，即_ = v 甜( 薯) 仇，其中氇为每个单元边界 _ l x j 处的单位外向法线。另外，结点乃位于q ，的内部。 图3 - 2q 的一个有限元 于是对于q 的每一个单元，都存在一个对应于其边界结点蕾处的离散方程。 适当地选取基函数，方程( 3 3 ) 中的系数a 和卢i ，将被唯一地确定。这里我们选取 基函数 磊，如，屯+ 。 ，其中 破墨i , l + r a 为多项式函数序列。令= “，咖，f = - 4 , 。 构造材的样条逼近，即u 妒，令只+ 。为n + m 维多项式空间，则有 v ( 薯) 宰r h = z c t 口妒( _ ) + 岛聊( 乃) ，江1 ，咒，v 妒+ 辨 ( 3 4 ) 令 甜= ( 坼，屹，) ，v = ( v l ，屹，) ，= ( 厂( 毛) ，f ( z 2 ) ，厂( 乙) ) ， 及 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 4 = 三：j ；： ，b = 三：! ! ；竺 则( 3 1 ) 可以写成 f ，识( _ ) 晚( ) 、，融( 刁) 翰( 乙) 1 = l ； i ，k = i ； 。 i i l 屯+ 。( 一) 屯+ 。( x o ) ji 地+ 。( z 1 ) 玩+ 脚( 乙) f ，v a ( x , ) * 1 1 l v 确( 吒) 幸仉、 民= i ；i l ， l y e + 。( ) 枣，7 。v 屯+ 。( 以) 宰仉j 其中s p a n m ，如，屯+ 。) = 只棚，则( 3 4 ) 可以写成 ( 毗) 盼如 ( 3 6 ) 若使该差分逼近有解，矩阵( ik ) 必须非奇异。虽然该条件不一定会自动 满足，但是我们可以适当选取结点t ，乃以及多项式空间只棚，使之得到满足。 3 2 有限元配置法 如果矩阵( ik ) 非奇异，则可以证明上述有限差分格式等价于下面的配置 格式： 考虑每一个单元中的多项式p ( x ) 只+ 。，对于任意的两相邻单元，要求在公 共边界上的结点t 处满足： 1 2 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 i ) 、相邻鼍元多项薹夸孽譬点处本身的值匹配( 3 8 ) i i ) 、相邻单元多项式在该结点处的法向导数值匹配 、7 还要求每个多项式在每个单元配置点气处满足配置方程： l p ( z d = f ( z k ) ，k = l ，m ( 3 9 ) 最后要求满足边界条件，即对于任意在边界的结点，有 p ( x i ) = u o ( x , ) ，在m 的结点t 处。( 3 1 0 ) 关于上述差分格式和配置格式的等价性我们有下面的定t n 1 4 - 定理3 1 对于每个单元q ，若矩阵( ik ) 非奇异，矩阵a 和b 由式( 3 6 ) 定义， 假设我们已经得到配置格式( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) 的解，若对于每个单元局部多项式在每 个结点五处的条件给定，则其结果亦满足差分格式( 3 5 ) 。 反之，若所有有限差分格式( 3 5 ) 和边界条件( 3 7 ) 所确定的耦合系统的解已 经给定，则对于每个有限单元，可以在差分解中构造一个局部多项式p ( x ) 只棚， 使得这些局部多项式满足上述配置格式。 嵌套剖分法： 如图3 3 中，考虑两个相邻的区域q 和q ，。这两个单元不必是有限元，即 它们不必与递归树的子结点有关。在公共边上未知数u 和v 的消去正好是区域分 解的逆过程。整个算法完整描述如下，称公共边为弛。：，q 。和q ：剩下的边分别 称为孢，和孢：。变量u 在有限元差分表达式( 3 5 ) 中相应地被分为：和u l ( 对区 域q 1 ) 和u 2 l ( = 2 ) 和u 2 ( x c n 2 ) 。变量v 也作相应的划分。 图3 - 3 两个相邻的单元 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 从而对区域q 。来说方程( 3 5 ) 可以写成如下格式： a ) v l = 4 嘶+ 4 2 u a 2 + 石 b ) v 1 2 = 昼+ e 2 u a 2 + 石2 而对区域q ：来说则是： ( 3 1 1 ) 以上和分别对应于区域q 。和q ：在( 3 5 ) 中的矽项。自( 3 8 ) 中的连 续性关系可得： m 22i 1 2 1 ( 3 1 3 ) v 1 22 一v 2 1 从( 3 1 1 ) 一b ，( 3 1 2 ) 一b ，以及( 3 1 3 ) 可得： 2 = 一b - 1 ( 蜀嘶+ 垦“2 + 石2 + 厶1 ) ， 此处我们定义 b 暑且2 + 岛1 将上式代入( 3 1 1 ) 一a ，( 3 1 2 ) 一a ，以及( 3 1 3 ) 得： v i = 4 嘶一4 2 b - 1 ( 骂+ 岛吃+ 石2 + 五1 ) + 石， v 2 = 4 一4 l b 1 ( b l u , + 岛吃+ z 2 + 厶) + 石， 可写成如下格式： 此处 以及 v l = c 1 1 嵋+ c 1 2 u 2 + 石， 吃= c 2 1 u l + c 2 2 u 2 + 石， c l 。= 4 4 ：b - 1 垦，c l ：= - 4 ：b - 1 岛， c 2 。= 一4 。b 1 蜀，c 2 ：= 4 4 。b 卅岛， 石= z - 4 2 b 1 ( z 2 + 正。) ， 石= 正一4 。b 卅( 石：+ 五。) ( 3 1 4 ) 方程( 3 1 4 ) 代表上一级区域的离散方程，即对区域q 。和q ：来说，在消去公 1 4 动0 “心厶垦 + + 鹕 = = 吃吃 力” 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 共边的未知元：和h ：后，这些新的方程仍然是( 3 5 ) 中的格式。 3 3非协调样条配置法 考虑如下简单的线性边值问题： l u = 厂( z ) ，z q “( z ) = 0 ，z a q ( 3 1 5 ) 在文 1 5 o e ，令n 卉= 表示对q 进行的一个规则划分，它由三角形和四边 形组成，从而q = u e , 。图3 - 4 两种典型的非协调元中分别是两种典型的三角元 和四角元。令z ：，( f = l ，2 ，刀卅) ，z 皇j ( - - 1 ，2 ，刀。) 分别代表在元气上的匹配点 和配置点。我们定义配置解如下： + n 。 ( z ) = u e r b 如) ，z ( 3 1 6 ) 其中，( z ) = 1 ，2 ，玎。+ 甩。是多项式空间气+ 的基函数。例如， 6 n 1 1 4 中用的基函数是单项式。配置等式( 3 1 5 ) 我们可以得到一个局部系统 。l u h ( z 。，t ) = ( 之) ，待1 ， ( 3 1 7 ) 图3 4 两种典型的非协调元 用矩阵表示为 g 矿= f ， 此处q = ( 苟) 是一个x ( n 。+ 刀。) 的矩阵，n 多 i - 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 苟= 地( 艺) ，i = 1 ，2 ，j = l ，2 ，刀肼+ c 令q = ( g ，g ：) ，矿= ( 钟，“；) r ，此处q 。和q ：分别是xn r a 和? 7 c 他的矩 阵。我们得到 由此 或 g ：迸= f 。- g 。彳， 迸= 一( q ：) 。1 g 。甜+ ( g ：) 。1 f 。口己砰+ 尹 = 苟+ 万，i - n m + 1 ，2 肿+ 2 ，+ 怫， ，= 1 此处磊= ( - ；) ，元= ( 刀) 。配置解可以重写为 ， ( z ) = 石( z ) + 厂( z ) ， j = l 此处 石( z ) ：破( z ) + f m + b e 弓咖( z ) ，f ：l ，2 ， j = n m + l + 一c ( z ) = 万咖( z ) ( 3 1 8 ) 在【1 5 】中，s u n 使用局部消去法来降低每个元的自由度，由此最后得到的配 置系统的维数跟匹配点的个数一致。然后，通过使配置解在匹配点 z m , i k 江1 ，刀。上连续，得到配置系统 亟i + 亟l ：0 锄i t +锄l i 1 6 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 第4 章任意三角形网格下的样条配置法 这一部分我们主要讨论( 3 1 ) 的简单形式，即考虑如下p o i s s o n 方程 a u ( z ) = 厂( z ) ，对于z q( 4 1 ) 以及d i r i c h l e t 边界条件 u ( z ) = u o ( z ) ，对于z m ( 4 2 ) 但与上一章不同的是，这里主要研究在单位方形区域中三角形网格下有限单 元配置法的配置格式及其误差阶，同时给出一些很好的数值结果。在介绍三角形 网格下的样条配置法之前，我们先来简单地介绍一下d e l a u n a y 三角形网格的生 成。 4 1 d e l a u n a y 三角形网格 设 只) ：。为平面上一给定点集，则每一个点只对应一个区域： 形害n p ：f i p 一只i i l i p 一只l l ， l ，如，耐 。 称其为点p ，的v o r o n o i 区域，而点只则成为v o r o n o i 区域巧的形成点( 见图 4 1 ) 。可以证明，上述v o r o n o i 区域是互不重叠的凸多角形区域，且n 谚覆盖整个 全平面。连接具有公共边的v o r o n o i 区域的形成点，便得到一个连接点集 ) ：，的 网格，见图4 2 ) ，一般情况下该网格由三角形组成，称其为d e l a u n a y 三角网格。 任一给定点集的d e l a u n a y 三角网格是存在的，当不存在退化的情形时，d e l a u n a y 三角网格还是唯一确定的。 1 7 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 p 圈4 1v o r o n o i 区域图4 - 2d e l a u n a y 三角网格 d e l a u n a y 三角网格的一些性质 1 7 - 1 9 】： l 、所有的d e l a u n a y 三角形拼成一个包含点集 只谁的最小凸区域； 2 、( 外接圆性质) ：任一d e l a u n a y 三角形的外接圆内不含其他的节点； 3 、最小角最大化性质：如果相邻的d e l a u n a y = ：角形如果两个相邻的d e l a u n a y 三角形邮最只和必只只构成一凸四边形置b 只，则： m i n p 4 p i p ：，么只最只，么鼻只最，弛最b ，么b 只b ，l p 妃p , ) m i n p 4 p i p 3 ，么只b 互，么互只只，么互最，么暑忍罡，么b 互罡 ， 该性质为d e l a u n a y三角网格所特有( 见图4 - 3 图4 4 ) ； 只只 图4 - 3图4 - 4 生成非结构网格，实际上就是生成包含有节点、边( 面) 以及单元信息的若 干数据结构。因此，在非结构网格的生成方法中，数据结构的选择以及相关的数 据处理方法的构造占有十分重要的地位。一个好的非结构网格生成方法包括构造 与所论问题相适应的数据结构以及设计基于此数据结构的高效的数据处理方法。 有关非结构网格数据处理方面的内容，读者可以查阅文献 2 0 1 及其参考文献，这 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 里我们只讨论d e l a u n a y 三角网格的基本数据结构的构造问题。 现在生成d e l a u n a y 三角网格的算法主要有两种，即b o w y e r - w a t s o n 算法【2 l ， 2 2 1 和换边算法 2 3 1 。下面简要介绍b o w y e r - w a t s o n 算法，它是以逐点加入的方式 进行的，具体过程如下： l 、假定已完成对若干节点的d e l a u n a y 三角剖分； 2 、加入一新节点，找出所有的外接圆包含新加入节点的三角形，将这些三 角形删除后形成一空腔； 3 、将空腔的节点与新加入的节点连接，形成新的d e l a u n a y 三角剖分； 4 、对数据结构做相应的调整； 5 、返回第二步，直到所有点都加入为止。 图4 5 图4 7 是加点过程的示意图。不难看出，上面的算法需要一个初始 网格。通常选择一个覆盖所有节点的矩形( 矩形的四个顶点为辅助节点) ，然后 将此矩形沿对角线划分为两个三角形，得到我们所需要的初始网格。加点过程结 束后，删除与辅助节点相连的单元( 对于复连通区域，还要删除位于“洞 中的 辅助单元) ，便得到最终的网格。 p ，p 2 p 3 图4 5 加入新节点 p 7 图伯形成空腔 p ， 图4 7 形成新的d e l a u n a y 三角剖分 1 9 p t 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 4 2配置格式 该部分我们先来考虑在三角形正规网格，即预先给定的节点同上一节所述， 再利用b o w y e r - w a t s o n 算法生成的三角形网格下的配置格式。 不妨把该网格记为l ，其中每个单元都是直角三角形，并且步长( 亦即直角 三角形的两直角边) h = 1 ，相应的网格结点的d e s c a r t e s 坐标为 ( t ，y ，) 三( i h ，j h ) ，f ，j = o ，1 ，n 。令 肛薯皇，其帆a 【o ，1 】 ( 4 3 ) 1 y = y j + h t r 2 共邶1 吼l u l j 竹j 则位于每个单元的结点位置被局部坐标( c r 。，仃：) 唯一确定。在该配置格式中， 配置点位置的确定显得尤为重要，因为最后得到的误差结果对这些配置点的选取 非常敏感。当我们在每个单元的三条边上分别取三阶高斯点作为匹配点，而在单 元内部取六个配置点时，得到的结果非常令人满意。 为了方便地表述如何选取单元内部的配置点，我们先引入三角形的面积坐 标。考虑一个面积为s 的三角形单元，其顶点按反时钟顺序记为f ，j f ，k 。在此单 元内部任取一点p ( x ，y ) ，连接p 和三个顶点，则此单元被分为三个小三角形， 它们的面积记为墨，s ，最( 见图4 - 9 ) 。 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 图4 - 9 三角形的面积坐标 记厶= 鲁，= 了s j ，厶= 鲁，则单元中点p 的位置与三维数( 厶，厶) 一一对 应，称( 厶，三，厶) 为面积坐标。 在文 2 4 中指出，当我们在三角形中选取6 个高斯点 尸9 + ，) 垒。时，数值积分 的精度可以达到4 阶，其中 丑。= ( 1 2 缶，刍，磊) ，墨。= ( 考，l 一2 磊，磊) ，日：= ( 磊，轰，1 2 毒。) ； 丑32 ( 1 - 2 考2 ，考2 ，考z ) ，日2 ( 髻2 ，l 一2 考2 ，考2 ) ，丑52 ( 2 ，考2 , 1 - - 2 考2 ) ； ( 4 4 1 l = 0 0 9 1 5 7 6 2 1 3 5 0 9 7 7 1 2 = 0 4 4 5 9 4 8 4 9 0 9 15 9 6 5 任一单元匹配点与配置点的分布见图4 1 0 ： x 图4 1 0 相应于9 个匹配点和6 个配置点的典型三角形单元 ( e 一与为匹配点，e o - 日5 为配置点) 在每个单元中，确定一个多项式函数p ( z ) 马“，而在每个单元中局部多项 2 1 任意区域内求解偏微分方程的样条配置法 式空间都具有以下形式： 与“= s p a n 1 ，a l ，0 2 ，o 1 2 ，o 。l 仃2 ，0 - 2 ，o 1 3 ，o 1 2 盯2 ，盯1 0 2 20 2 3o 1 4 ，o 1 3 仃2 ，o - i 2 仃2 2 ，仃1 0 。3 ，0 2 4 ) ( 4 5 ) 由前面所述，每个单元都要构造一个局部多项式，从而每个单元都有1 5