（概率论与数理统计专业论文）再保险最优问题的讨论.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 再保险最优问题的讨论 摘要 随着社会的发展和人们生活质量的提高，保险在人们日常生活中越来越重 要，而保险公司为了分担自己承担的风险，往往把自己收益的一部分拿出来进行 再次投保，这就出现了再保险再保险也称分保，是保险业中越来越常见的一种 保险方式本文主要讨论了带扩散扰动项的经典风险模型下再保险对破产概率的 影响 文章主要分两部分： 第一部分主要对保险公司进行考虑，引入了保险公司签订再保险合同后的一 种新的盈余过程表达式 ( t ) u ( t ，| 1 ) = u + 【c a ( 危) 】( t ) 一 ( 恐) + w ( t ) i = 1 分别讨论了该模型下按比例再保险和超额赔款再保险两种再保险方式对保险公司 调节系数的影响证明了新模型下的l u n d b e r g 不等式 霍( “，h ) e - 胤 给出了索赔分布为【0 ，1 1 上的均匀分布时，自留比例为q 的比例再保险下的调节 方程 d 7 2 一【掣一i ! ! = _ 圭掣】r + a ! 竺一入：o 22 一 q r 。 一 索赔分布为【0 ，1 】上的均匀分布时，自留额为m 的超额赔款再保险下的调节方程 d t 2 - - 【学一坠等型a 【筝+ ( 1 一跏胁瓠 索赔分布为参数为p 的指数分布时，自留比例为q 的比例再保险下的调节方程 肼一坠型_ 譬型r + l a ：0 bb o t 下 索赔分布为参数为卢的指数分布时，自留额为m 的超额赔款再保险下的调节方 程 d r 2 - - 业坠半去咿_ r e - ( o - r ) m - o 曲阜师范大学硕士学位论文 第二部分把问题推广到多重再保险链证明了多重再保险链中直接保险公司 破产概率满足的l u n d b e r g 不等式 皿o ( t ，m ) e - 硒“ 推导出了链式再保险下再保险链中直接保险公司破产概率满足的卷积公式 吣炉一壹：蔓k = 1 1= ! ；兰! ( 竿嘲木蹭霍o ( u ，m ) = 一百二( 二名一) m 础卅”木蹭( u ) m = 0 c 一c 七c 一( 3 k 各层再保险公司破产概率满足的卷积公式 吣一互o o 学( 等州掣哪小1 1 2 ，以 以拨直授保险公司的调节万程 d r 2 一入些学r + 击归_ r e - c 3 - r ) m 一 各层再保险公司的调节方程 。d r 2 _ 芈r f e - 卢m 石c t k r _ 0 2 ，以 关键词：再保险，破产概率，l u n d b e r g 不等式，调节系数，更新方程， 卷积公式 a b s t r a c t a l o n gw i t hs o c i e t y sd e v e l o p m e n ta n dt h ep e o p l eq u a l i t yo fl i f e s e n h a n c e - m e n t i n s u r a i c ep l a yam o r ea n dm o r ei m p o r t a n tr o l e i np e o p l e sd a i l yl i f e w h i l en ，,i o r d e rt os h a r et h er i s ki n s u r e ro f t e nt a k e sap a r to fh i so w ni n c o m et o c a r r yo u ti n s u 【r a n c eo n c em o r e ，w h i c hl e a d st ot h ea p p e a r a n c eo fr e i n s u a n c e t h e r c i n s u r a n c ei sm o r ea n dm o r ec o m m o ni nt h ei n s u r a n c eb u s i n e s s t h i sa r t i c l e m a i l l l vd i s c u s s t 塔h o wt h er e i n s u r a n c ea f f e c t st i l er u i np r o b a b i l i t yu n d e rt h cc l a s - s i c a lr i s km o d e lt h a ti sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t ot w op a r t s ： t h ef i r s tp a r tm a i n l yc a r r i e so nt h ec o n s i d e r a t i o nt ot h ei n s u r e r ，w h i c hh a s i n t r o d u c e dan e we x p r e s s i o no ft h es u r p l u sp r o c e s s u ( t ，h ) = u + 【c a ( ) 1 ( t ) + w ( t ) i th a sd i s c u s s e dh o wt w od i f f e r e n tk i n d so fr e i n s u r a n c e ( t h ep r o p o r t i o n a lr e i n s u r - a n c ea n dt h ee x c e s s 1 0 s sr e i n s u r a n c e ) a f f e c t st h ei n s u r e r sa d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t i n t h i sp a r t ，t h ea u t h o rh a sp r o v c dt h el u n d b e r gi n e q u a l i t yu n d e rt h en e wm o d e l v ( u ，h ) 0 为初始资本，【( t ) ，t o ) 为参数是入的齐次p o i s s i o n 过程，n ( t ) 表示时刻t 为止发生索赔的次数；k 表示第t 次的索赔额， 五，i 1 ) 是独 立同分布的非负随机变量序列，与 j 7 v ( t ) ，t 0 ) 相互独立，不妨设分布函数为 g ( z ) ，e x = p ； w ( t ) ，t o ) 是一w i e n e r 过程，无穷小方差系数为2 d ( d o ) ， 且与【 ( 五) ) 相互独立；c 表示保费收取率，c = ( 1 + 护) a 肛，其中6 为相对 安全负荷，目 0 ；a ( h ) = ( 1 + ) e 一 ( x ) 】为单位时间内再保险的保费分 别对比例再保险和超额赔款再保险进行考虑，得出索赔分布为指数分布和均与分 布两种特殊情形下该模型的调节方程 第二部分将问题推广到超额赔款- 比例混合型链式再保险，即多重再保险情 形，直接保险公司和再保险公司的余额过程分别表示如下： u o ( ) = 让+ ( c c l c 2 一一c 。) t 一m i n x i ，m ) + ( t ) ， t = 1 ( ) u 1 ( ) = u + c l t o t l m a x x i m ，o ) + w ( t ) ， i = 1 t o ( t ) ( t ) = t + c 0 一o t nem a x x , 一m ，o ) + w ( t ) ， 其中心 0 为初始资本， ( t ) ，t o ) 为参数是入的齐次p o i s s i o n 过程，n ( t ) 表示时刻t 为止发生索赔的次数；五表示第i 次的索赔额， 五，i 1 ) 是独 l 第一章预备知识 立同分布的非负随机变量序列，与( ( t ) ，t o 】相互独立，不妨设分布函数为 g ( z ) ，e x = p ；【( ) ，t o ) 是一w i e n e r 过程，无穷小方差系数为2 d ( d o ) ， 且与 er a i n x , ，m ) ) 及 em a x x , 一m ，o ) ) 相互独立这一部分借助带扩 散项的经典风险模型的生存概率满足的瑕疵更新方程得出了索赔分布为指数分布 时直接保险公司和各层再保险公司的破产概率满足的卷积公式，并得出索赔分布 为指数分布时各个余额过程下的调节方程 2 第二章再保险对破产概率的影响 2 1问题背景 衡量再保险优劣的标准有很多，其中破产概率是一个重要的指标，一般来讲， 再保险后保险公司的破产概率越小，就意味着再保险的效果越好在文献【3 1 】中， 张连增考虑了古典风险模型，研究了两种再保险方式( 按比例再保险和超额赔款 再保险) 在索赔分布分别为均匀分布和指数分布时对调节系数的影响在文献【5 】 中，g e r b e r 研究了带扩散扰动项的经典风险模型：保险公司在时刻t 时的盈余 为 u ( t ) = u + c t s ( t ) + w ( t ) ，v t 0 ，( 2 1 ) 其中u 0 为保险公司的初始资本，c 0 是保险公司的保费收取率( 即单位时 ( t ) 间内收取的保费) ；s ( t ) = 五为t 时刻前的累积索赔，其中 j 7 v ( t ) ，t o ) 是参 。数为入( a 0 ) 的齐次p o i s s i o n 过程，表示在时刻t 发生索赔的次数，五表示第 i 次的索赔额， 五，i 1 是独立同分布的非负随机变量序列，与 ( ) ，t o ) 相互独立，且五( 0 i 礼) 服从分布p ( z ) ； ( t ) ，t o ) 为一w i e n e r 过程， 无穷小方差系数为2 d ( d o ) ，且 ( t ) ，t o ) 与 s c t ) ，t 0 ) 相互独立给 出了模型( 1 1 ) 的最终破产概率 霍( 缸) = p ( t 0 但是以上结果没有考虑保险公司签订再保险合同的情况本文将考 虑按比例再保险和超额赔款再保险两种再保险形式对带扰动项的经典风险模型中 调节系数的影响主要分析索赔分布为均匀分布和指数分布的情形 3 第二章再保险对破产概率的影响 2 2 模型简介 设保险公司签订了再保险合同，当索赔五发生时保险公司的赔偿金额( 即 自留部分) 为 ( k ) ( 0 九( 五) 五) ，再保险部分为五一 ( k ) 同时，假定保 险公司按期望保费原理收取保费保险公司的相对安全系数为0 ，再保险公司的相 对安全系数为，且0 f 保险公司与再保险公司签订再保险合同后，保险公司 在时刻t 的盈余为 幽 u ( t ，h ) = u + 【c a ( ) 1 ( t ) 一：h ( x i ) + 彬( ) ， ( 2 2 ) t = l 其中t 0 为初始资本， ( ) ，t o ) 为参数是a 的齐次p o i s s i o n 过程， n ( t ) 表示时刻t 为止发生索赔的次数； 五表示第i 次的索赔额， 置，i 1 ) 是独立同分布的非负随机变量序列，与 n ( t ) ，t o ) 相互独立，不妨设分布函 数为g ( z ) ，e x = p ； w ( ) ，t o ) 是一w i c n c r 过程，无穷小方差系数为2 d ( d o ) ，且与 ( 五) 】相互独立， c 表示保费收取率，c = ( 1 + o ) a u ； a ( h ) = ( 1 + ) 入e 一 ( x ) 】为单位时间内再保险的保费为了保证保险公司稳 定经营，我们给定安全假设0 0 ， o ，a e h ( x ) 】 c a ( ) 定义2 2 1 模型( 2 2 ) 的破产时为 正= i n f t ：u ( t ，h ) m 在这两种再保险方式中，力求找到一种自留水平，使得再保险后的破产概率 最小，或使得调节系数最大，相应的自留水平称为最优自留水平由于破产概率 只有在某些特殊情况下才有简洁明确的表达式，本文仅限于讨论再保险对调节系 数的影响 4 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3 新模型下的调节方程及l u n d b e r g 不等式 引理2 3 1 关于r 的方程aj fe r h 忙) d g ( x ) + d r 2 一a 一7 ( c a ( ) ) = 0 在 r e n o ) d g ( x ) 有定义的区间内有唯一正解 证明令g ( r ) = a j 孑e 扛) d g ( x ) + d 7 - 2 一a 一7 ( c a ( ) ) 显然， ， 夕( o ) = a l d g ( x ) 一a = a 一入= 0 ， j o l i mg ( r ) = o o ， i , o o g l ( r ) = 入h ( x ) e h 忸) d g ( x ) + 2 d r 一( c a ( 九) ) ， j 0 ， 夕”( 7 ) = 入( ( z ) ) 2 e r h 扛) d g ( x ) + 2 d o 故有9 ( 7 ) 在其定义域内为凸函数由安全性假定知，慨9 7 ( 7 ) = a e 九( z ) 】一( c a ( ) ) 0 故方程g ( r ) = 0 存在唯一正根 证毕 ， 定义2 3 1 我们称关于，_ 的方程 ， a e o ) d g ( x ) + d r 2 一a 一7 ( c a ( ) ) = 0 j 0 为模型( 2 2 ) 的调节方程称该方程的唯一正解为调节系数，记为r 注1 因为c = ( 1 + p ) a 弘，故调节方程也可写作 ， 入 e n 扛) d g ( x ) + d r 2 一a 一硝( 1 + 口) a 肛一a ( ) 】= 0 - ，0 引理2 3 2 若r 为方程( 2 3 ) 的正解，则过程e t w ( t , h ) ) 为鞅 n ( t ) 证明由于v ( t ，h ) = 缸+ 【c a ( ) 】( t ) 一 ( 恐) + w ( ) ，故有 i = 1 ( 2 3 ) ( 2 4 ) e 【e m j ( ，l 】：e e - r i u + ( e + a ( h ) ) t - 量 托+ 删1 ( t ) ：e 【e r 1 e e - l ：t ( c - - a ( h ) t ) + r 善1 e 【e 嘲 = e - r u e 印【一r ( c a ( ) ) + a ( 入e 柏缸) d g ( x ) 一1 ) 】e 印( 去2 d t r 2 ) j 0 = e - 舭e 印 【盼 e 融扛) d g ( x ) + d r 2 一入一尺( c a ( ) ) 】 5 第二章再保险对破产概率的影响 又。r 为方程( 2 3 ) 的解，即入fe 融( 。) d g ( z ) + d 舒一入一r ( c a ( 危) = 0 e 【e r z ( 2 ， 】= e - 肌又显然过程 e 一刖( ， ) 关于t 为一平稳独立增量过程 过程 e - r u ( t , h ) ) 为鞅 证毕 注2 显然，该过程为正鞅 定理2 3 1 ( 模型( 2 2 ) 下的l u n d b e r g 不等式) 若r 为模型( 2 2 ) 的调节系数，则最终破产概率田( 缸，h ) e - 胤 证明由引理( 2 3 2 ) ，过程【e r u ( t , h ) ：t o ) 为一正鞅由非负鞅的收敛定理， l i r ae - a v ( t , h ) 0 0 o s 设t 为破产时，则对任意取定的时刻t , t a t 为有界停时故 e 【e r u ( t a t , h 】= e 【e n u ( o , h ) 】= e - 肌 利用全期望公式， e 一_ _ - - ：e e 一- r u ( t t , e er u ( t , h 篙tt 鬈黧，嚣t 嚣m u t 州p 州) ( 2 5 ， = 一 i 胡 、 由于t t 时，u ( t ，h ) 0 ，故t t 时e - 砌1 因此，在( 2 5 ) 式两端令t _ o o ，由单调收敛定理和l c b c s g u c 控制收敛定理，我 们得到 e - 肌= e 【e r u ( t , h ) it o o l p ( t o o ) + e e n v ( c c , h ) it = o o p ( t = ) 由于熙u ( ， ) = + o s 故有 e - 砌= e e _ r u ( t , lt o o p ( t o o ) = e 【e a v ( v , h ) it o o 】皿( 乱， ) 对上式再利用全概率公式得 e - 胤= e 【e r u ( t , it o o ，u ( t ， ) = o l v d ( u ，h ) + e e _ 肼( z it o o ，u ( t ，h ) o 】皿。( t 正，h ) = 皿d ( u ，h ) + e 【e 一删( ? it 0 6 曲阜师范大学硕士学位论文 故皿( t ，h ) m 4 ( 危) = ( 1 + e ) n x 一九( z ) 】 = ( 1 删z ( z m ) d x ( 1 + ) ( 1 一m ) 2 2 螈( z ) ( r ) = e n 扛) d g ( x ) = 0 me r z 出+ 石e 腑出 ：尝 - 4 i - ( 1 一m 1 ) e 胁 = 一l l wi p 一 将以上各式代入( 2 4 ) ，整理得 d r 2 _ 【学一生雩型”a e m r r - 1 + ( 1 一m ) e m 卜a _ 0 故索赔分布为f 0 ，1 】上的均匀分布时，自留额为m 的超额赔款再保险下的调节方 程为 d r 2 _ 【学一坠学】r + a ( 竿”一m ) e m r 】- a = o 证毕 例2 3 2 若保险公司购买了相对安全系数为1 和1 6 的超额赔款再保险，即f = 1 和专= 1 6 分别分析这两种情况下再保险对调节方程的影响为简化表达式，我 们取索赔数过程的参数a = 1 ，保险公司的相对安全系数秒= 1 解1 ) = 1 的情形 a = 1 , 0 = 1 时，( 2 7 ) 式可简化为 d r 2 一f 1 一( 1 一m ) 2 p + 【堂_ 兰+ ( 1 一厕e m r 】- 1 ：o ， 即 d r 2 + 掣+ ( 1 一m ) e m r + 7 ( 1 _ m ) 2 一r 一1 ：o 9 第二章再保险对破产概率的影响 m = 0 ，表示没有自留额，保险公司把风险全部转嫁给再保险公司，但同时也没 有收益，这样的再保险在实际中是没有任何意义的； m = 1 ，表示没有再保险，调节方程变为d r 2 + 曼= 三一7 一1 = 0 m 0 ，不同的m 值，对应着不同的r 值，对于给定的d ，可用数值法求出调节 方程的显式解，从而求得使调节系数冗最大的自留额m 2 ) f = 1 6 的情形 a = 1 , 0 = 1 时，( 2 7 ) 式可简化为 d r 2 一【1 1 3 ( 1 一m ) 2 】7 + 【掣+ ( 1 一m ) e m r 】_ 1 ：o ， 即 d r 2 + 掣+ ( 1 一m ) e r m j r1 3 7 ( 1 一m ) 2 7 一1 ：0 与上面讨论相同，m = 0 ，表示没有自留额，保险公司把风险全部转嫁给再保险 公司，但同时也没有收益，这样的再保险在实际中是没有任何意义的； m = 1 表示没有再保险，调节方程变为d r 2 + 尝量一r 一1 = 0 ，这与= 1 时得 到的调节方程完全相同这表明，m = 1 时，再保险公司的相对安全系数对 调节方程没有影响，自然也就不会影响到调节系数 ，m 0 ，不同的m 值，对应着不同的r 值，对于给定的d ，可用数值法求出调节 方程的显式解，从而求得使调节系数r 最大的自留额m 2 3 2 索赔分布为指数分布时再保险对破产概率的影响 2 3 2 1 比例再保险 定理2 3 4 索赔分布为参数为p 的指数分布时，自留比例为q 的比例再保险下 的调节方程为 d r 2 - 坠坠孚业型器一a _ 0 ( 2 8 ) 证明显然，此时h ( x ) = q 。，若索赔分布为参数为p 的指数分布，则 g ( z ) = 1 一e 邓z ，e x2 去 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 对于给定的， a ( h ) = ( 1 + ) e 【x 一九( z ) 】 = ( 1 + ) e 【( 1 一q ) x 】 ( 1 + 专) ( 1 一q ) 一1 广一 m h ( z ) ( 7 ) = e 吨缸) d g ( x ) d 0 = 8l e r e - 肪d x = 忐( 口r m 同定理2 3 4 ， g ( z ) = 1 一e 一口z ，e x = 去 对于给定的， a ( h ) = ( 1 + f ) e x 一 ( z ) 】 = ( 1 + ) ( z m ) d ( 1 一e 一胁) j m = ( 1 + ) 护肌7 ， m h ( 动= e n 扛) d g ( x ) z o me r z d ( 1 - e - 卢x ) + f 舢i - - e - k l x ) 8 一r e 一怕一r 1 m 一。万二f 一 把以上各式代入( 2 4 ) ，整理得 击p _ r e - ( 卢- r ) m + 。r 2 - a - r 学一学e 】- 0 ， 即 掰一幽鳖半h 寿咿_ r e - ( f ，- r ) m 一 证毕 注4 同样，当p = 1 ，入= 1 时，可得到更加简洁的表达式 d 7 2 一【( 1 + p ) a 一( 1 + 妒m 】h 再1 【l r e 一1 7 一1 = o 1 2 第三章超额赔款比例混合型再保险链最优问题讨论 3 1 问题背景 在现实生活中，再保险很常见，然而，再保险活动通常不仅仅局限于保险公 司与一个再保险公司之间，往往会出现第二层再保险公司，第三层再保险公司， 如此以来，便会形成一条再保险链，孙树旺在b o r c h 的基础上，在文献【2 8 】中 讨论了双重再保险的情形，得到了在经典模型下破产论的若干结论，本文受其启 发，将其研究推广到多重，并对带扩散扰动项的经典模型进行讨论，综合考虑直 接保险公司和各层再保险公司的利益，得出索赔分布为指数分布时的更新方程和 调节方程的表达式 1 3 第三章超额赔款比例混合型再保险链最优问题讨论 3 2 模型简介 设保险公司签订了某再保险合同，第一层再保险公司又与第二层再保险公司 签订了再保险合同，以此类推，共有n 层再保险公司设x 为直接保险公司责 任内的索赔额，对于m 0 ，我们称其为免赔额，若x m ，则全部索赔由 直接保险公司支付；若x m ，则m 由保险公司支付，超出m 的部分由各 层再保险公司共同承担，其中，第一层再保险公司承担的索赔比例为口1 ，第二 层再保险公司承担的索赔比例为q 2 ，第7 , 层再保险公司承担的的索赔比例 为q n ，且有q 七= 1 ，由此，保险公司和各层再保险公司承担的索赔额分别为 七= l m a x x ，m ) ，仅lm a x x m ，o ，o t nm a x x m ，o ) ，假定保险公司和再保险 公司都按期望值原理收取保费，保险公司的相对安全系数为p ，第k 层再保险公 司的相对安全系数为靠( 0 k 礼) ，保险公司签订再保险合同后的相对安全系数 为p 仍考虑带扩散扰动项的经典风险模型，为了便于讨论，假定保险公司和再 保险公司的初始资本均为u 0 ，扰动项的无穷小方差系数均为2 d ，保费收取率 分别为c ，c l ，显然保险公司和各层再保险公司的盈余过程可记为 u o ( t ) = 让+ ( c c l c 2 一一c n ) t em i n 五，m ) + w ( t ) ， t = 1 ( ) u 1 ) = 让+ c t t o t lem a x 五一m ，o ) + ( t ) ， i = 1 j v ( t ) 巩( t ) = 让+ t 一口n m a x 五一m ，o ) + w ( t ) 其中u 0 为初始资本， ( t ) ，t 0 ) 为参数是入的齐次p o i s s i o n 过程，n ( t ) 表示时刻t 为止发生索赔的次数；x 表示第i 次的索赔额， 五，i 1 ) 是独 立同分布的非负随机变量序列，与 ( t ) ，t 0 ) 相互独立，不妨设分布函数为 g ( z ) ，e x = 肛；【w ( ) ，t o ) 是一w i e n e r 过程，无穷小方差系数为2 d ( d o ) ， 。且与 m i n x i ，m ) ) 及 m a x x m ，o ) ) 相互独立为了保证保险公司 稳定经营，我们给定安全假设p 0 ，靠 0 ( 1 k 佗) ，p 7 0 ，且由相对安全 系数与保费收取率的关系知，c = ( 1 + p ) 灿，c k = ( 1 + 靠) a e 口七m a x x m ，o ) ( 1 k 佗) ，c c 1 一c 2 一一c n = ( 1 + o ) a e r a i n x ，m 定义3 2 1 超额赔款比例混合型再保险链中，直接保险公司的破产时为 t o = i n y t ：u o ( t ) o ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 直接保险公司的最终破产概率为 _ l p o ( u ，m ) = p ( t o o 。i ( o ) = u ) 与模型( 2 1 ) 类似，i p o ( u ，m ) = 皿o 。( t | ，m ) + 霍o d ( u ，m ) ，其中，皿o 。( u ，m ) 和哑f f o d ( u ，m ) 分别表示由索赔和扰动引起的破产 定义3 2 2 超额赔款比例混合型再保险链中，第一层再保险公司的破产时为 n = i n f t ：u 1 ( t ) o ； 九2 ( z ) 2 云【1 一p ( z ) 】， z o ； 日1 ( z ) = h l ( y ) d y ； h 2c x ) = lh 2 ( y ) d y 这就是生存概率r ( u ) 满足的广义瑕疵更新方程，证明可见参考文献研 对( 3 1 ) 进行l a p l a c e 变换，可以很容易得到r ( u ) 满足下面的卷积公式 冗( u ) = 竿( 等) n h i 毋“( u ) ( 3 2 ) n = 0 。 由生存概率和破产概率的关系，可以直接得到破产概率满足下列卷积公式 皿( u ) = 1 一下c - a # l 了a # ) n 研n ，c 踢n ( u ) ( 3 3 ) n = o 。 。 下面我们将推导出特殊情况下直接保险公司和各层再保险公司的破产概率满 足的卷积公式，不失一般性，不妨设索赔来到满足参数为p 的指数分布，即c ( x ) = 1 一e - 触 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 定理3 3 1 进行超额赔款比例混合型多重再保险后直接保险公司的破产概率 霍o ( u ，m ) 满足 皿o ( u ，m ) = 1 一 其中， 证明由于 c 一妻c 七一入等- s m c 七一入峄 七= 1 几 c 一仇 k = 1 h o 。( z ) ：厂霉 j o h 0 2 ( z ) ：厂z j o ) ”玩f 仇+ 1 ，c 埘( 让) ，( 3 4 ) c 一七 e 一苄耖由，万一v d ， e - b y d y n ( t ) u o ( t ) = u + ( c c l c 2 一) t 一m i n x t ，m ) + ( t ) ， l = 1 由引理3 3 1 及( 3 3 ) 式，我们只需求出e m i n x t ，m ) ，由假定，g ( x ) = 1 一e - 触， 故 r mf o o e m i n x t ，m 、= | x d ( 1 一e - b x ) + lm d ( 1 一e - 口m ) j 0j m = 一m e - # m 一孚+ 丢+ m e 邓m 1 一e - 8 m 将( 3 3 ) 式中的c 用c 一喜代替， p 用em i n 咒，m = 半代替，即得 ( 3 4 ) 式 证毕 定理3 3 2 进行超额赔款一比例混合型多重再保险后第_ 层再保险公司的破产概 率吐v x ( u ，o t l ) 满足 皿1 ( u ，q 1 ) = 1 一 盟掣( 驾) m 日木日拶( u ) ， c l p 、 c l p 7 一儿 “一川 1 7 ( 3 5 ) 一 q 一 丽 n旦d卫一 牵南 一 第三章超额赔款比例混合型再保险链最优问题讨论 其中， 证明由于 日- - ( z ) = z 正西c 1 e 一劬曲， 脚) = o 。南e 呐妇 ( ) 阢( t ) = 让+ c l t 一口1 m a x x t m ，o 】+ w ( t ) ， t = 1 由引理3 3 1 及( 3 3 ) 式，我们只需求出e q l m a z 五一m ，o ) ， 由假定，v ( z ) = 1 一e - 触， 故 故 e m a x x m ，。) = j f o m o d ( 1 - - e - p x ) + 一m ) d ( 1 一e 一肚) 圳1 一一一f m d ( 1 - - e - 9 x ) e - 8 m 21 厂+ e a l m a x k m ，o ) o l l e 一, s m 口 将( 3 3 ) 式中的c 用c l 代替，p 用e a lm a x x i m ，0 = ( 3 5 ) 式 证毕 我们不加证明的给出下面的推论 些l ! ：! 竺 口 代替，即得 推论3 3 1 进行超额赔款比例混合型多重再保险后第k 层再保险公司的破产 概率雪七( 让，凹南) 满足 皿七( u ，q 七) = 1 一 其中， ) m 础叶”木h f ( u ) ， 风- ( z ) = o z 茜e 书d ， 蹦加z 。南e 呐咖 1 8 ( 3 6 ) 兰竽 删 曲阜师范大学硕士学位论文 3 4混合型链式再保下的调节方程及l u n d b e r g 不等式 引理3 4 1 关于7 的方程入fe r m n 托，m ) d g ( z ) + d r 2 一, 入- - t ( c - - c i c 2 一 c r i ) = 0 在fe r r a i n x i , m ) d g ( z ) 有定义的区间内有唯一正解 证明令g ( r ) = a 上产e r m 洫 x t m ) d g ( z ) + d r 2 一a 一7 ( c c 1 一c 2 一一c 。) 显 然。 ，- 夕( o ) = a l d g ( x ) 一入= a a = 0 ， j 0 l i mg ( r ) = o o ， r ， 9 ，( r ) = 入r a i n d o ， g 1 ( r ) = 入( m i n 五，m e r m i n 溉，m d g ( x ) + 2 d r 一( c c 1 一c 2 一一c n ) ， 五，m ) 2 e r 晌 x i , m d a ( x ) 十2 d 0 故有9 ( r ) 在其定义域内为凸函数由安全性假定知，l i 。m 。9 7 ( 7 ) = a e m i n x , ，m ) 卜 ( c c l c 2 一c r i ) 0 故方程g ( r ) = 0 存在唯一正根 证毕 定义3 4 1 我们称关于r 的方程 ， a e r m i n x i , m d g ( x ) + d r 2 一入一r ( c c 1 ，0 一c 2 一一a n ) = 0( 3 7 ) 为超额赔款比例混合型多重再保险链中直接保险公司的调节方程称该方程的 唯一正解为调节系数，记为岛 注6 因为c c 1 一c 2 一c ，l = ( 1 + ) a em i n x i ，m ) ，故调节方程也可写作 e r m i n 托，m d g ( x ) + d r 2 一入一r ( 1 + 0 ) a em i n x i ，m ) = 0 ( 3 8 ) 引理3 4 2 若岛为方程( 3 7 ) 的正解，则过程 e - r o ( 2 ) 为鞅 n ( t ) 证明由于v o ( t ) = 牡+ ( c c 1 一c 2 一c ，i ) t 一 t = lr a i n k ，m + w ( t ) ，故有 t ) e 【e - r o u o ( 。】- e 【e - r o u + ( c - e a - c , “) t - 量m 眠m + 】 ( t ) ：e 【e 一凰u 】e e 一凰c c l c 2 一c n m + 凰量”n 溉，m 】e e w ( 】 e 一硒u e 印【队e 凰m l n 托m d g ( z ) + d 焉一入一n o ( c c l c 2 一一c n ) 】t 1 9 第三章超额赔款一比例混合型再保险链最优问题讨论 又。凰为方程( 3 7 ) 的解，即 入 e r o m 妯 墨- m ) d g ( x ) + d 焉一入一r o ( c c 1 一c 2 一一c 。) = 0 ，0 e 【e r o v o ( 。1 = e - 凰u 又显然过程 e - r o u o ( 。) 关于t 为一平稳独立增量过程 过程_ 【e 一只o ( 。) 为鞅 证毕 注7 显然。该过程为正鞅 定理3 4 1 ( 多重再保险链中直接保险公司破产概率满足的l u n d b e r g 不等式) ( ) 若凡为模型u o c t ) = 让+ ( c e l c 2 一) 一m i n 五，m + w ( t ) i = 1 的调节系数，则最终破产概率皿o ，m ) e - 凰札 证明由引理( 3 4 2 ) ，过程 e 一劢( ) ：t 0 ) 为一正鞅由非负鞅的收敛定理， l i me - 凡( ) t ) ( 3 9 ) ：e f e 一凰( 丁) it 乩 、 7 由于t t 时，u o ( t ) 0 ，故 t 时e 一劢“1 因此，在( 3 9 ) 式两端令_ o o ，由单调收敛定理和l e b e s g u e 控制收敛定理，我 们得到 e - 勘u = e f e a o v o ( t it o o p ( t o o ) + e e 一劢汹lt = c o p ( t = o 。) 由于l i m ( t ) = + o oa 8 故有 + e - 凰u = e e 一扁( t ) l = e e 一凰( 即i t o o p ( t o o ) t 】皿o ( 钍，m ) 曲阜师范大学硕士学位论文 对上式再利用全概翠公式得 e - 劢u = e f e 一冗o ( t it 0 0 ，u o ( t ) = o 】i ，o d ( u ，m ) 4 - e e 一凰( 丁it ，u o ( t ) o 】皿o 。( t 正，m ) = e o a ( u ，m ) 4 - e 【e 一凰( 丁it 0 故o ( u ，m ) e - j r o u 证毕 类似的，我们可以给出各层再保险公司的调节方程和调节系数的定义 定义3 4 2 我们称关于7 的方程 ， 入e 7 a km 馘 x i - m , o l d g ( x ) + d r 2 一入一7 c 奄= 0 ( 3 1 0 ) j 0 为超额赔款比例混合型多重再保险链中第k 层再保险公司的调节方程称该方 程的唯一正解为调节系数，记为讯，1 k 7 1 , 注8 因为= ( 14 - & ) a e a k m a x 五一m ，o ) ，故调节方程也可写作 al e 口km 娃 置- m , o d