（光学专业论文）虚光场对原子及场熵的影响.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 、l 目前，关于j - c 模型动力学性质的研究，是量子光学的热点之一，尤其是反映j - c 模型中光场与原子关联效应的场( 原子) 熵演化的规律，正日益引起人们的重视。熵 是一个描述系统偏离纯态程度的物理量，在j c 模型中，光场( 原子) 熵的时间演化 反映了光场与原子关联的时间行为，熵越高，关联程度越大。1 9 8 8 年，p h o e n i x 和k n i 吐t 通过研究发现场熵自动包含了密度算符的高阶统计矩，并导出了计算标准j _ c 模型中 场的约化密度矩阵的本征值、本征态的一般化公式以及场与原子相同的描述纯态程度 的熵函数。 在过去的十年中，科学工作者在场熵的分析方面做了大量的工作，得到了许多重 要的结论。在这些研究工作中，光场的平均光子数及克尔介质对场与原子相互作用的 场熵演化特性的影响是讨论的重点。但是，很多研究结果表明虚光子过程是存在与原 子与光场相互作用系统中的实实在在的物理过程，它可以导致相互作用系统中光场和 原子量子性质的改变以及在物理过程中引起量子噪声。因此在研究原子与场相互作用 的场熵时，虚光场效应( 非旋波近似) 对场熵的影响是不能被忽略的。 我们知道，j 模型是一个严格可解析的理论模型，我们要计算出系统在任意时 刻的态矢，由此求出场的约化密度矩阵。然后通过熵的定义求出场熵的表达形式，讨 论其演化规律。不过由于场熵的表达形式一般比较复杂，为了能够对结果进行分析， 数值计算在分析过程中是必不可少的。 文中阐述了原子与场相互作用及虚光场( 非旋波近似) 的基本概念，运用全量子 理论研究了在非旋波近似下双模压缩真空场与二能级原子相互作用的场熵演化规律， 利用数值计算分析了虚光场对双模压缩真空场与原子相互作用熵的影响，并同非旋波 近似下的结果进行比较，发现虚光子效应主要表现为物理过程中的量子噪声，这种噪 声和系统的状态参量有密切的关系。 关键词：虚光场双模压缩真空场- - f l 级原子熵 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t a tp r e s e n t ，t h er e s e a r c ha b o u tt h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so fj - cm o d e li so n eo ft h e h o ti s s u e so f q u a n t u mm e c h a n i c s t h ee v o l u t i o nl a w o ft h ef i e l de n t r o p y , w h i c hs h o w st h e c o r r e l a t i o nb e t w e e n p h o t o nf i e l da n da t o mi nj - cm o d e l ，i se s p e c i a l l yb e i n gp a i dm o r ea n d m o r ea t t e n t i o n e n t r o p yi sp h y s i c a lq u a n t i t yw h i c hd e s c r i b e st h ee x t e n tt ow h i c has y s t e m d i v e r g e sf r o mp u r es t a t e i nj - cm o d e l ，t h et i m ee v o l u t i o no f t h ep h o t o n - f i e l d ( a t o m ) e n t r o p y i n d i c a t e st h et i m ee v o l u t i o no f t h ec o r r e l a t i o nb e t w e e n p h o t o n f i e l da n da t o m a n dt h eh i g h e r t h ee n t r o p y , t h el a r g e rt h ec o r r e l a t e 【t e m i n 1 9 8 8 p h o e n i xa n dk n i g h tf o u n dt h a tf i e l d e n t r o p yi t s e l f i n c l u d e st h eh i g l lo r d e rs t a t i s t i c a lm a t r i xo f d e n s i t yo p e r a t o r f u r t h e r m o r e ，t h e y a l s ow o r k e do u tt h e g e n e r a l f o r m u l ab yw h i c hw ec a nc a l c u l a t et h e e i g e n v a l u e a n d e i g e n s t a t e so f t h ed e n s i t ym a t r i xo fr e d u c t i o n a lf i e l di nj - cm o d e la n dt h ee n t r o p yf u n c t i o n w h i c hs h o w st h ee x t e n t o f p u r e s t a t e d u r i n gt h el a s td e c a d e ，s c i e n t i s t sh a v ed o n eal o to fw o r ka b o u tt h ea n a l y s i so ff i e l d e n g o p ya n d o b t a i n e dm a n y i m p o r t a n tr e s u l t s a m o n g t h e s er e s e a r c hw o r k s ，t h em a i n p o i m o f d i s c u s s i o ni st h ee f f e c to ft h ea v e r a g ep h o t o nn u m b e ro f p h o t o nf i e l da n dk e r rm e d i u mo n t h ee v o l u t i o nl a wo f f i e l de n t r o p yo f t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nf i e l da n da t o m h o w e v e r m a n y r e s e a r c hr e s u l t si n d i c a t et h a tt h ev i r t u a l - p h o t o np r o c e s si sar e a l i s t i cp r o c e s sw h i c he x i s t si n t h ei n t e r a c t i n ga t o ma n dp h o t o nf i e l ds y s t e m sa n di tc a nm s u l ti nt h ec h a n g eo f q u a n t u m p r o p e r t i e so fp h o t o nf i e l da n d a t o mi nt h ei n t e r a c t i n gs y s t e ma n dm a k e q u a n t u mn o i s e t h e i n f l u e n c eo f t h e v i r t u a l p h o t o nf i e l do n t h ef i e l de n t r o p yc a l lb e i g n o r e d a sw ek n o w , j - cm o d e li ss o l v a b l e ，w es h o u l dw o r ko u tt h es t a t ev e c t o ro f s y s t e ma t a n ym o m e n t , a n dg e tt h ed e n s i t ym a t r i xo fm d u c t i o n a lf i e l d t h ee x p r e s s i o no ft h ef i e l d e n t r o p yc a nb ew o r k e do u tt h r o u g ht h ed e f i n i t i o no ft h ef i e l de n t r o p ya n da n a l y z et h e e v o l u t i o nl a wo f t h ef i e l de n t r o p y t h en u m e r i c a lm e t h o di sv e r y i m p o r t a n t i na n a l y z i n gt h e i l 华中科技大学硕士学位论文 i i n f l u e n c eo f t h e v i r t u a l - p h o t o n f i e l do nt h ef i e l de n t r o p y t h e c o n c e p t i o n so f t h e i n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m sa n df i e l da n dt h ev i r t u a l - p h o t o nf i e l d r r e e x p a t i a t e di nt h i sp a p e r t h ee v o l u t i o n l a wo f t h ef i e l de n t r o p yo f t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e n t w o l e v e la t o ma n dt h et w o m o d e s q u e e z e d v a c u u mf i e l dw i t h o u tt h e r o t a t i n g w a v e a p p r o x i m a t i o na r ei n v e s t i g a t e d w ea n a l y z et h ei n f l u e n c eo ft h ev i r t u a l - p h o t o nf i e l do nt h e f l e de n t r o p yb yu s i n gt h en u m e r i c a lm e t h o d c o m p a r i n gw i t ht h er e s u l t so b t a i n e dw i t ht h e r o t a t i n g - w a v ea p p r o x i m a t i o n ，t h ei n f l u e n c eo f t h ev i r t u a l - p h o t o nf i e l do n t h ef i e l de n t r o p yi s m a i n l yt h ec a u s ef o rq u a n t u m n o i s et h a ti sr e l a t e dt ot h eq u a n t u mc h a r a c t e ro ft h es y s t e m i t s e l f k e y w o r d ：v i r t u a l - p h o t o nf i e l d ，t w o - m o d es q u e e z e d v a c u u n lf i e l d ，t w o - l e v e la t o m ，e n t r o p y i i i 华中科技大学硕士学位论文 1综述 1 1 场墒的概念及应用 目前，关于j - c 模型动力学性质的研究，是量子光学的热点之一，尤其是反映 j - c 模型中光场与原子关联效应的场( 原子) 熵演化的规律，正日益引起人们的重视。 熵是一个描述系统偏离纯态程度的物理量，在j _ c 模型中，光场( 原子) 熵的时间演 化反映了光场与原子关联的时间行为，熵越高，关联程度越大。光场包含的信息可以 通过原子性质的测量来推测。j - c 模型是一个严格可解析的理论模型，我们要计算出系 统在任意时刻的态矢，由此求出场的约化密度矩阵。然后通过熵的定义求出场熵的表 达形式，讨论其演化规律。近年来，p h o e n i x 和k n i g h t o - 3 1 研究原予与单模场相互作用 的j c 模型在单光子和双光子的情况下的的场熵特性。而方卯发和周鹏【4 】等人则研究 了在多光场和附加克尔介质下的场熵特性，发现了场熵敏感与克尔介质的非线形相互 作用，克尔介质会削弱场与原子的相互作用。而且场熵的演化规律会随着场与原子的 初始参数的改变而有显著的变化。刘金明( 5 】等人通过研究克尔介质中场与级联三能级原 子相互作用的熵特性并通过数值计算发现：随着初始平均光子数的增加，场熵的均值 不断增大，但振荡的幅值却明显的减小，在玎值较大的时候，场熵的演化呈现出周期 的等幅振荡。同时随着克尔介质强度参数的增大，场熵演化曲线的振荡明显变快，而 其最大值却在不断减小。方卯发对非旋波近似下j - c 模型中场熵演化的研究发现虚光 子过程( 非旋波项) 引起附加的熵振荡。这种振荡陋1 4 1 随着光场平均光子数以及光场 原子耦合系数的增大而增大；随光场频率的增大而减小；随光场位相角的改变而做周 期性变化。 1 2 本文所做的研究工作 对于原子与光场相互作用系统，虚光场效应的研究是一个很有理论价值和实际意 l 华中科技大学硕士学位论文 义的课题，有关虚光子过程对原子与光场相互作用系统量子特性的影响的研究越来越 受到人们的广泛关注。p h o e n i x 和k n i g h t 认为场熵自动包含了密度算符的高阶统计矩， 并导出了计算标准j - c 模型中场约化密度矩阵的本征值和本征态的一般化公式以及场 与原子相同的描述纯态程度的熵函数。我们在文中采用非旋波近似下的双光j - c 模型， 研究了非旋波近似下双模压缩真空场与二能级原子相互作用的场熵的演化规律，并且 与旋波近似下的场熵进行了比较，揭示了虚光场过程对场熵演化的影响。 13 朗之万方程 在量子光学中经常需要讨论小系统( 如一个二能级原子，一个量子谐振子等等1 由 于受到周围环境( 通常称之为库，如辐射场、腔壁原子等等) 的作用引起的效应。由 于小系统与库的作用具有随机性，我们先讨论随机过程的朗之万方程；然后看看二能 级原子和库的耦合，因为在量子信息中，量子位相当于一个二能级原子。 布朗运动是最简单的而又最经典的的随机运动，它也可以作为经典小系统与库耦 合【6 】的例子。物质粒子( 称之为布朗粒子，可看作为小系统s ) 沉浸在液体中，液体( 称 之为库r ) 由许多比布朗微粒小的多的微粒组成。物质粒子在液体中不断受n d , 液体 微粒的碰撞而随机地运动。那么粒子的速度v 将如何随时间变化昵? 由于系统s ( 粒 子) 与库r 的相互作用( 即粒子经受大量小液体微粒的不断碰撞) 是随机过程，所以 速度v 是一随机变量。描述粒子速度v ( t ) 随时间的演化行为，通常可以采用朗之万 方程。 在讨论粒子s 受库r 作用中微粒的随机碰撞而运动时，应注意其速度v ( t ) 受两 个方面的影响。一方面是正比于粒子本身速度v 的摩擦力： 只= 一v ( 1 3 。1 ) 式中是比例常数，它对应系统的耗散系数。另一方面是碰撞中( 冲击) 的随机力， 对于一维运动而言可写为： 华中科技大学硕士学位论文 ( 1 3 2 ) 这里占，( _ ，= 1 ，2 ) 表示一维运动有两个可能的方向，对应冲击的强度。由于这种随机力 各向均匀，所以求平均时应为零，即： ( f o ( t ) ) = 0 ( 1 3 3 ) 如果讨论不同时刻随机力r ( f ) 之间的关联，应有： ( f o ( t ) f o ( t ，) ) = c 6 ( t 一，7 ) ( 1 3 4 ) 也就是说随机力在不同时刻之间无关联，常数c 正比于2 ，可见它是每次冲击强度的 度量，对应着系统的涨落。所以质量为1 1 1 的粒子s 的运动方程按经典运动规律应写为： 用警一+ f o ( t ) ( 1 3 5 ) 这样可以得到系统随机运动的朗之万方程为： 警一州。 ( 1 3 6 ) 式中 ，：鱼，f ：墨 方程( 1 3 6 ) 描述了受阻尼力和随机力作用的粒子随时间的运动规律。其中随机力f ( t ) 具有性质 仁( f ) ) = 0 ( f ( t ) f ( t ，) ) = q 占( 卜r 7 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 式中q 为涨落强度的度量。 如果粒子在初始时刻具有确定的速度，那么方程( 1 3 6 ) 式的解可以写为： 3 勺 ) r o 万 ：川 y i )u 华中科技大学硕士学位论文 v ( t ) = v o e 一”+ f p 州“。f ( t 弦7 ( 1 3 9 ) 对上式作平均，则： ( 矿( f ) ) = e 叫 ( 1 3 1 0 ) ( 1 3 1 0 ) 式表明，f 时刻粒子的平均速度按指数规律衰减。进一步，利用( 1 _ 3 7 ) 和 ( 1 3 8 ) 式可得速度的关联函数为： ( v ( t 1 ) 矿( f 2 ) ) = 喀e x p 卜y ( r 1 + t 2 ) 】 二- f 田：f 1 二：。x p 卜，( r 。+ ，：一，j r ：) 】q 占o j f ：) 1 3 1 1 为了计算上式中的双重积分，我们先计算t ：的积分，显然只有当t ：= t ：是积分才不为零。 假设f l f 2 ，t ：的取值范围就是。专f 2 ，如果，2 t 1 ，那么，j 的积分区间就是。一，i ，这 就是说，对于( 1 3 1 1 ) 式中的双重积分运算而言，如果先对自变量r ：进行积分运算， 那么在计算t j 的积分时，其积分上限就是取 和r ：中较小的值，即m i n ( t ，t ：) 。于是( 1 3 1 1 ) 式化为： ( 矿( r 。) y ( f ：) ) = v 0 2e x p - r ( t 。+ f ：) 】+ q 广e x p 一y ( r l + 屯一2 f 棚出j = v o ：e x p 州f 1 + ，2 ) 】+ 导 e x p 【- y 卜f ：卜e x p 【州”，2 ) ) ( 1 3 1 2 ) 如果在比，- 1 长得多的时间范围内考察粒子的运动，即撕 1 ，声： 1 ，在这种情况下， 速度的关联函数仅依赖于时间间隔i ，。一，：f ，而与粒子的初始速度无关，即： ( w ，) 啊：) ) = 导e x p 卜y 卜f ：l 】 ( 1 3 1 3 ) 上式不仅给出了速度的平方值，而且还显示出速度的关联指数规律的方式消失。由 ( 1 3 1 3 ) 式可知，在稳态或平衡态的情况下，布朗粒子的平均动能为： ( e ) = j 1m ( y2 ( f ) ) = 石m q ( 1 3 1 4 ) 华中科技大学硕士学位论文 根据统计力学的基本定律，在库中处于热平衡状态的布朗粒子的平均动能为： ( e ) = 妻r ( 1 3 1 5 ) 式中k 。是玻尔兹曼常数，t 为热库的温度。利用( 1 3 1 4 ) 和( 1 3 1 5 ) 式可以得到反 映涨落强度的量q 的表达式： q = 2 咖口r m ( 1 3 1 6 ) 由于y 描述的是液体( 库) 对粒子( 系统) 耗散的强弱，它是一个不具有随机性质的 确定量，因此可以通过上式来确定涨落强度o 这一反映随机力强度的量。( 1 3 1 6 ) 式 即为简单的耗散涨落关系式。 朗之万方程( 1 3 6 ) 式还可以推广到系统具有多个随机变量的情形。设系统有 组随机变量x = “( f ) ，x 2 ( f ) ，x 。( f ) ，其朗之万方程为： 石d 一= 莓m * ( x k + r ( f ) ( 1 3 1 7 ) 式中m 。可以描述阻尼或更一般的耗散过程，以及外加力的作用。f ( f ) 是随机力，与 ( 1 3 7 ) ，( 1 3 8 ) 式相似，它们具有如下性质： ( r j o ) ) = 0 ，( r l ( f ) r ( f ) ) = g ，j ( r 。一t 2 ) ( 1 3 1 8 ) 1 4 量子谐振子满足的主方程 设小系统s 为一量子谐振子，热库r 为辐射场，描述量子谐振子与辐射场耦合体 系的哈密顿量可写为 h = h r + h s + h 目 ( 1 4 1 ) 这里 华中科技大学硕士学位论文 h s = h c o a + a 巩= 壳q 口h m = 矗( e k a l a i + c ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 分别表征谐振子、辐场以及它们之间相互作用的哈密顿量。在相互作用绘景中，耦合 体系的密度算符p 7 0 ) 满足方程 访昙p7 ( f ) = 片怎( f ) ，p7 ( f ) 】 ( 1 4 5 ) o t 式中 日怎= e x p 唼( 上k + h s ) ( f - t o ) 】h r se x p 一寺( 日一+ h s ) ( t - t o ) 】( 1 4 6 ) 采用小系统s 的约化密度算符： r ( d = t r r p 。 ( 1 4 7 ) 求出r ( t ) 就可以得知小系统s 的全部信息。假设小系统s 与库r 的耦合是从t = 0 的 时候开始的所以整个系统的初始条件就是 p 。( 0 ) = r ( 0 ) f ( 0 ) ( 1 4 8 ) 其中r ( o ) 为初始时刻热库r 的密度算符。由于初始时刻辐射场与量子谐振子还未发生 相互作用，通常可以认为它是处于热平衡状态，可以得出r ( o ) 为 r ( o ) = 习e x 葡p ( - 硐h r k s t ) ( 1 讨论运动方程( 1 4 5 ) 式的解。对( 1 4 5 ) 式积分，给出 础) = 磊1p ，( o ) + 磊1 l l n 。( f ) ，比。) 彬 ( 1 4 1 。) 把( 1 4 1 0 ) 式迭代回方程( 1 4 5 ) 式，则有 昙p ，( f ) = 去【日怎( ，) , p ( 0 ) 】+ ( 去) 2f 日怎。) 日怎( ，) , p l ( f ) 】弦( 4 1 1 ) 6 华中科技大学硕士学位论文 应用( 1 4 7 ) 式，于是由上式得约化密度矩阵r ( f ) 满足方程 警= 一磊i i t r r h 怎( f ) ，【加) 】出。 ( 1 4 1 2 ) 其中以考虑到初试时n d , 系统与热库间无相互作用，故 乃j 去( r ) ，p 。( o ) 】= 0 ( 1 4 1 3 ) 方程( 1 4 1 2 ) 式就是描述小系统与热库耦合行为的主方程。如果令库r 很大，因 而小系统s 的状态在与库耦合随时间变化时，库本身的变化很小，以致可以忽略库本 身的变化。故作为近似，令 p ( f ) = r ( d r ( o ) ( 1 4 1 4 ) 是合理的，这样可把主方程写为 警= f 砜 h m 【撇。) r ( o ) 肭( 1 4 1 5 ) 若令被积函数中显著不为零的部分是，接近r 处，所以作为近似，又可在积分中r ( f ) 取 代r ( f 。) ，这种近似称为马尔科夫( m a r k o v ) 近似。作了这种近似后，就可以得到广义 主方程： 掣= 一古f 碥【日怎( f ) ， 急址( 啊( o ) 】坤。( 1 4 1 6 ) 再看量子谐振子系统的主方程，依据( 1 4 2 ) 一( 1 4 4 ) 式和( 1 4 6 ) 式可知， 在相互作用绘景中，耦合系统的相互作用的哈密顿量为 目去( r ) = h a + 8 k n te x p 一f ( 国t o ) o ) 阳+ f ) ( 1 4 1 7 ) 其中应用了关系式： e x p ( z a + a ) a e x p ( 一z a + a 1 = a e 一。 ( 1 4 1 8 ) e x p ( z a + a ) a + e x p ( - z a + a 、= a + e 一。 ( 1 4 19 ) 把( 1 4 1 7 ) 式代入方程( 1 4 1 6 ) 中，可以知道右边积分中的对易关系应为 华中科技大学硕士学位论文 日刍( r ) ， 月去( f 。) ，r ( f ) r ( o ) 】= 丑怎( ，) 月怎( r 。) 五( f ) r ( o ) 一日怎( f ) r ( 1 ) r ( o ) h 怎( f 。) 一日基( f ) r ( f ) r ( o ) 好孟( f ) ( 1 4 2 0 ) + r ( t ) f ( o ) h ：s0 ) 日怎o ) ) 于是上式右边第一项可写为 砧( ，) 日名( ，+ ) r ( 力r ( o ) = 壳2 口+ d 。qe x p - i ( r o k 一甜。) 】+ c 口+ 吼口te x p - i ( o i 一国o ) ，】+ 正) r ( f ) r ( o ) = 壳2 a a + 占溆吼r ( t ) f ( 0 ) e x p - i ( c o k 一) ( f r 。) 1 + z 口+ 口占：口i 口：r ( t ) f ( o ) e x p i ( & k n b ) ( r r ) 】 1 4 - 2 1 “2 u + 2 s ：口r ( t ) f ( 0 ) e x p - i ( t o k 一) ( h ，) 】 砌2 口2 口；2 r ( t ) f ( o ) e x p i ( t o k 一) ( h f ) 】 因为将上式对库的本征态求迹以后，第三、四项等于零，第一项求迹运算时，由于 z k 船+ 啡r ( ，) r ( o ) = + r ( ，) ( j a ；a k r ( o ) l n 。) = 丢口口+ 尺o ) ( k 吼瓦e c x p x p ( - ( - h r k k b t ) 丁川n t ) ( 1 4 2 2 ) = q a + e t t ) i 其中已应用了( 1 4 9 ) 式，并且应用了辐射场处于热平衡态时的光子数期望值： 疗i = 【e x p ( h r o k k 8 t ) 一1 】“ ( 1 4 2 3 ) 同理，第二项的迹可类似于第一项的运算，最后可以得到描述与辐射场耦合的量子谐 振子的主方程为 掣= 等m 删口+ 】+ 础( f ) ，椰协一n 。 圳( 1 4 2 4 ) 也称为量子阻尼谐振主方程。 选用粒子数态i 门) 表示，耦合体系的约化密度矩阵元为( n l r ( t ) m ) ，这是量子谐振子 方程可以写为 。 一 华中科技大学硕士学位论文 i d ( 一陋( ，) i m ) = 等( ( ”l t a ，r ( f ) 4 + l 埘) + ( ”i 觚o ) ，口+ l 所) + ，疗o ( f t a ，【r ( r ) ，日+ 】 | m ) = 争 ( 一l c 吠( d 口+ j m ) 一( ”l r ( ，) 口+ a l m ) + ( n 口r ( d n + i n ) 一( 珂p + 积( o i m ) ) + ，一行。 ( 以l 础( f ) 口+ r m ) 一( n i a 旧+ r ( f ) i 朋) + ( 以p + r o ) 口i n ) - ( ”陋( f ) 口+ a i m ) ( 1 4 2 5 ) = 每 2 厮丽而面( h + 1 ) t m + 1 ) 一2 m ( 疗) | m ) + y n 。( ( + 1 ) ( ， + 1 ) ( n + l f r ( f ) 坍+ 1 ) 一( 行+ 1 ) ( n r ( t ) l m ) 一m ( n i r ( t ) m ) + 0 m - - n ( n - i l r 0 m 一1 ) ) 对角矩阵元只= ( ，l 陋( f ) i 胁) 表征系统处于f 行) 态的布居数，它也是对应系统处于l n ) 态的 概率。由( 1 2 2 5 ) 式可以得知，对角元只满足的方程为 丢只。蹦。“) 一蛾】+ n 甜( n + 1 ) 一( n + 1 ) 只一啤+ 圮- 1 ( 1 4 2 6 ) = y h ( 磊。+ 1 ) ( ”+ 1 ) 只+ l y _ 。( 刀+ 1 ) + 甩( ；。+ 1 ) 1 只+ n n 。y h o l 它也是阻尼谐振子的粒子布居数满足的一步过程方程，方程的解依据具体的物理条件 而定，如果讨论热平衡时的情况，由于热平衡时，粒子布居数不随时间而变化，因而 ( 1 2 2 6 ) 的左边为零。即 冬：o ( 1 4 2 7 ) 根据这个条件可以确定只的具体表示。因为当( 1 4 2 7 ) 式成立时，对于，：o 方程 ( 1 4 2 6 ) 式给出 0 ；一y h 五。b + n ( o + 1 ) 鼻 所以 只= r ( 1 4 2 8 ) 对于n = 1 ，方程( 1 4 2 6 ) 和( 1 4 2 7 ) 式给出 9 得 华中科技大学硕士学位论文 一 ( 磊+ 1 + 2 而) 只+ n ( _ o + 0 2 p 2 + 7 h n 。r = 0 由归一化只= 1 ，可得 只5 著爵异 o + 1 ) 。” 晶：士 n o + l 因此，量子谐振子的粒子布居数概率分布为 只2 若帚 这样在热平衡条件下，与辐射场耦合的量子谐振子的约化密度算符为 ( 1 4 2 9 ) ( 1 4 3 0 ) ( 1 4 3 1 ) r 5 莓只懈1 2 莓看村恻( 1 4 3 2 ， 现在，把密度算符( 1 4 3 2 ) 式变换到相干态矢集 1 口) ) 的对角化表象。在相干态 的对角化表象中，密度算符可表示为 注意到相干态l ) 的表示式： r = p ( 口) l 口) ( 口p 2 口 ( 1 4 3 3 ) 卢) = e 文却2 淳舄m ) 4 甜， 那么，由( 1 4 3 3 ) 式描述的密度算符 i o 华中科技大学硕士学位论文 = 莓丽軎惫v 瓜- p k 一( m 旧( n 旧e x p ( 一1 8 1 2 ) = 莓南酬币簪 4 m ， ：熹e x p f 一黪 而由( 1 4 3 3 ) 式可得密度算符r 在相干态矢集 i ) ) 中的密度矩阵元为 ( p 1 r i ) 2p ( 口) ( p ( 口缈口 ( 1 4 3 6 ) = p 2 a e x p ( 一f 一口i 2 ) p ( a ) 比较( 1 4 3 5 ) 式j 阳( 1 4 3 6 ) 式，口j 得p ( a ) 满足 击d 一兽 ：p 2 9 e x p ( - 川2 删 4 研， 如果令口= x + 砂，则p ( a ) 的傅立叶变换定义为 c ( t ，q ) = f p ( 口) e x p 一f ( 七，x + 七，y ) d x d y ( 1 4 3 8 ) 其相应的傅立叶逆变换为 地) = ( 去 2 c ( t ，k y ) e x p 【f ( t 工+ b y ) d k f l k y ( 1 4 3 9 ) 那么( 1 4 3 7 ) 式右端的积分就可以看作是高斯函数e x p ( 一圳2 ) 和p ) 的卷积。注意到 函数e x p ( _ 兄2 ) = e x p 卜五( x 2 + y2 ) 1 的傅立叶变换为 a ( t ，b ) = 盯e x p ( 一a l 口1 2 ) e x p 一f ( t x + k , y ) l d r d y ：纠一击c ；) n 4 4 因此对( 1 4 3 7 ) 式作傅立叶蛮换得到 华中科技大学硕士学位论文 c ( t ，砖) = 石e x 一 二。( + 砖) ( 1 4 - 4 1 ) 在按( 1 4 3 9 ) 式对上式作傅立叶逆变换，即得 荆= 一1 唧( 一l a p 2 7 9 n o n o 4 m ， ij 故在相干态矢集 l 口) 的对角化表象中，热平衡时的量子谐振子得约化密度算符r 为 肥，= 三l l ? l op ：一p f 鲢n oh 口l 4 粥， ij 上式表明，粒子布居概率分布p ) ( 1 4 4 2 ) 式】与只【( 1 4 3 0 1 - 样，服从高斯分布定律。 如果量子谐振子不是处于无规相位分布的随机运动，而是处于一确定的相干态 j 口) ，那么在这种情况下，我们将发现谐振子布居数分布具有完全不同的统计特性。设 系统处于相干态 ) ，故描述系统的密度算符为 r ( 口) = o g o ) ( 口。l ( 1 4 4 4 ) 利用( 1 4 3 3 ) 式把它在相干态矢集的对角化表象中展开，则有 l 口。) ( 口。i = f p ( 口) l 口) ( 口p 2 口 ( 1 4 4 5 ) 上式表明，在相干态表象中，p ) 为占函数。而在粒子数表象中，( 1 4 4 4 ) 式表示为 肥o ) - 莓簪e x p ( 制2 ) m f ( 1 4 4 6 ) 所以粒子布居数的概率分布为 只= 譬e x p ( - i 1 2 ) ( 1 4 4 7 ) 坩! 。 可见此时粒子布居数的概率分布( 1 4 4 7 ) 与( 1 4 3 1 ) 式完全不同，它不具有高斯分 布特性，而具有泊松分布特性，它描述的是处于完全相干态的量子系统的统计行为， 1 2 华中科技大学硕士学位论文 而高斯分布( 1 4 3 1 ) 和( 1 4 4 2 ) 式则是描述处于完全混沌态的量子系统的统计行为。 1 5 描述与库场作用的二能级原子的主方程 量子光学中经常遇到的另一种量子小系统与库耦合的体系就是单个二能级原子与 库场作用的系统，现在我们来看看与库耦合的单个二能级原子的主方程羽。 在旋波近似下，二能级原子在库场作用下的哈密顿量为： h = h r + 日 + 一r ( 1 5 1 ) 式中 h r = q 吼4 - 吼 ( 1 5 2 ) k h = 国o s ： ( 1 ，5 3 ) h 一r = g t ( n s + + 口：s 一) ( 1 5 4 ) k 在相互作用绘景中，原子库场的相互作用哈密顿量变为 味r = g i 奴墨e x p i ( c o 。一f - o ) f 】+ 4 泠e x p - i ( c o 。一c o k ) t ( 1 5 5 ) k 将( 1 5 5 ) 式代入( 1 5 1 2 ) 式，可得相互作用绘景中库场阻尼下的二能级原子所满足 的主方程为 d 讲r = ( r 2 ) 【2 n o s + r s 一+ 2 ( 五。+ 1 ) s _ r s + 一二。r s s +( 1 5 6 ) 一( _ o + 1 ) r s + 豇一n o s s + r 一( 五o + 1 ) s + s r 】 式中已令 f = 2 石g ：6 ( c o k o ) o ) ( 1 5 7 ) k 显然它即是真空场作用下二能级原子的自发发射速率。从( 1 5 6 ) 式出发即可讨论库 华中科技大学硕士学位论文 场对二能级原子行为的影响。下面讨论库场作用下，二能级原子的粒子布居差随时间 的演化。 注意到在相互作用绘景中，原子的粒子布居差算符s ，遵循 s ! = s ? = s ，( 1 5 8 ) 利用( 1 5 6 ) 式容易得到 丢( 足) = - r 【( 2 _ 。+ 1 ) ( ) + 1 2 】 ( 1 5 t 9 ) 如果在与库场耦合之前，原子处在激发态f + ) ，即( s ：) = 1 2 ，则满足上式的解为 仅( r ) ) = ( 磊+ ) e x p - ( 2 n 。+ o r t 一1 2 ( 2 ；, 。+ 1 ) ( 1 5 1 0 ) 显然，可以得出，随着库场平均光子数的增大，原子的衰变速率变快，但原子并不会 完全衰变到基态。 华中科技大学硕士学位论文 2 原子布居的周期与回复效应 2 1 与经典电磁场作用的二能级原子 算符的时间演化 经典电磁场盂( f ) 相互作用的二能级原子在偶极近似下的哈密顿量可以描述为 日= 誓一( z 豆( f ) ) q = 墨+ 2 五e ( ，) ( 墨+ 奠) ( 意= 1 ) ( 2 1 1 ) 为了表达的简便令 d r 豆( r ) = - 2 3 , e ( t ) ( 2 1 2 ) 并且将描述二能级原子的泡利算符q ，吒，乃用赝自旋算符墨，s 来代替，显然( 2 1 1 ) 式中的墨是二能级原子的能量算符，2 2 e ( t ) ( s + + 墨) 表征原子与经典电磁场的相互 作用能。如果所讨论的电磁场是强度为晶并以频率为c o 谐振的场量，即 e ( f ) = e o c o s c o t = 粤( 9 1 “+ e “) ( 2 1 _ 3 ) 那么二能级原子与经典电磁场相互作系统的哈密顿量变为 h = c o o s , + 旯e o ( e 一+ e “) 叉+ a e o ( e 一“+ p “) 殳 ( 2 1 4 ) 在相互作绘景中，原子与电磁场的相互作用哈密顿量为 y 印) = 五e o e x p ( d o - c 0 0 ) f + e x p 一f ( c o + c o o f ) 足( 2 1 5 ) + a e o e x p i ( c o + c o o ) t + e x p e f ( 一) f ) 曼 显然上式中含有因子e x p f ( 国+ ) r 的快速振荡项是非旋波项，它们描述的是原子与 电磁场相互作用过程的能量不守恒过程，分别与j - c 模型中的虚光子过程项a s _ ，a + s 相 对应。因此采用旋波近似时( 非旋波近似我们在下面的章节中会讨论) ，可以在( 2 1 5 ) 1 5 华中科技大学硕士学位论文 式中略去含有e x p f ( 国+ ) r 因子的项。这样，( 2 1 5 ) 式可以简化为 w ( t ) = 2 e o e x p 一f ( 印一) r 篷+ a e oe x p i ( ( o 一鳓) f q ( 2 1 6 ) 上式与山c 模型中的五 吸e x p f ( 由一) f + 口+ 墨e x p 一i ( 0 2 一) f 相对应，其差别在 于j - c 模型中辐射场是用算符口，a + 描述，而这里则采用c 数岛来表示。假设二能级原 子初始时处在其基态j 1 ) 和激发态1 2 ) 的叠加态： ( 0 ) ) = 托1 1 ) + r 2f 2 ) ( 2 1 7 ) 这里2 + l r 2 1 2 = 1 ，那么在相互作用绘景中，可将f 时刻系统的态函数按其本征态矢展 开为【1 5 】 f ，) ) = c ：( f ) 1 2 ) + c l ( f ) 1 1 ) ( 2 i 8 ) 将( 2 i 6 ) 和( 2 1 8 ) 式代入相互作用绘景中的薛定谔方程，得到 簿篡犁础瓣 眩， f q ( ，) = 五岛e x p i 一( 脚一) ，】c 2 ( ，) 在共振情况下，即= o ) o 时，考虑到( 2 1 7 ) 式，容易得到上式的解 c l ( r ) = y lc o s ( t e o t ) - i y 2s i n ( a e o t l c 2 ( ，) = 苁c o s ( 五昂，) 一讥s i n ( a e o t ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 我们知道，( s ) 对应着原子能量算符的期望值，它反映的是原子在激发态和基态间 的粒子布居差，因而讨论算符墨的期望值的时间演化可得原子系统能量的时间行为。 利用( 2 1 8 ) 和( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 1 ) 式可得 ( 墨( f ) ) = ( 5 f ，7 ( r ) i 剐 y 7 ( f ) ) = 专( i c 2 ( f ) 1 2 一i c l ( r ) 1 2 )、 = 1 0 ，：1 2 时1 c o s ( 2 兄e 0 f ) 211 2 。 ( ) 华中科技大学硕士学位论文 可见，( s ) 随时间以频率2 a 晶做余弦振荡，通常我们称这种余弦振荡为原子的r a b i 振荡1 6 1 ，并把振荡频率 噙= 2 3 e o( 2 1 1 3 ) 称为r a b i 振荡频率。显然q 的