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基于永一运算的模糊半环的若干性质 研究生刘旭东 应用数学 指导老师莫智文 论文摘要：本文定义了模糊集的l 运算，研究了模糊半环基于该运算的若干性质 首先，提供了本论文中常用的基本概念，基础知识等然后定义了模糊集的牝运算， 并根据归纳宰半环及弱归纳掌半环的概念和性质，定义了模糊集的不动点不等式 和不动点归纳法则，证明了模糊集的不动点等式成立并研究了牝运算的相关性质 其次，给出了模糊仿射变换的最小( 前) 不动点在轧运算下的具体表达式并研究了 相关性质，证明了模糊集的不动点原理与模糊仿射变换的最小( 前) 不动点在l 运 算下的特殊表达式具有等价关系最后，由半环中的形式幂级数，诱导出了模糊形 式幂级数以及模糊形式幂级数的宰- 运算和仿射变换；并证明了当模糊集具有不动 点不等式，不动点归纳法则以及模糊仿射变换具有最小不动点等性质时，模糊形 式幂级数具有相应性质。 关键词：模糊集；f u l l yi d e m p o t e n t 半环；奉运算；不动点不等式；不动点归纳法 则；模糊仿射变换；最小不动点；最小前不动点；模糊形式幂级数 第i 页，共4 2 页 s e v e r a lp r o p e r t i e so f f u z z ys e m i r i n g s o ns t a ro p e r a t i o n a p p l i e dm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：l i ux u d o n gs u p e r v i s o r ：m oz h i w e n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ed e f i n es t a ro p e r a t i o nf o rf u z z ys e t s ，a n ds t u d ys e v e r a l p r o p e r t i e so ff u z z ys e m i r i n g sb a s e do ni t ，f i r s t l y ，s o m ei m p o r t a n ta n de l e m e n t a r y c o n c e p t st h a ta r ef r e q u e n t l yu s e di nt h er e m a i n i n gc h a p t e r sa r ep r o v i d e d s e c o n d l y ， s t a ro p e r a t i o nf o rf u z z ys e t si sd e f i n e d ，f i x e dp o i n te q u a t i o ni sp r o v e dh o l dw h e nf u z z y s e t ss a t i s f i e st h ef i x e dp o i n ti n e q u a t i o na n df i x e dp o i n ti n d u c t i o nr u l e ，a n ds e v e r a l p r o p e r t i e so fs t a ro p e r a t i o na r es t u d i e d m o r e o v e r ，t h ee x p r e s s i o no fl e a s tf i x e d ( p r e f i x e d ) p o i n tf o rf u z z yl i n e a rf u n c t i o ni sp e r f o r m e do ns t a ro p e r a t i o n ，a n dt h e e q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ee x p r e s s i o no fl e a s tf i x e d ( p r e f i x e d ) p o i n to ns t a ro p e r a t i o n a n dt h e 做e dp o i n ti n d u c t i o nr u l ef o rf u z z ys e t si sp r o v e dh o l d f i n a l l y f u z z yf o r m a l p o w e rs e r i e sa n ds t a ro p e r a t i o no ni ta r ei n d u c e db yf o r m a lp o w e rs e r i e so fs e m i r i n g s ， a n df u z z yf o r m a lp o w e rs e r i e sh a v et h en a t u r eo ft h e i rp r o p e r t i e sw h e nf i x e dp o i n t i n d u c t i o nr u l ea n dl e a s tt h ee x p r e s s i o no ff i x e dp o i n tr u l eh e l di nf u z z ys e m i r i n ga r e p r o v e d k e yw o r d ：f u z z ys e t s ；f u l l yi d e m p o t e n ts e m i r i n g s ；s t a ro p e r a t i o n ；f i x e dp o i n t i n e q u a t i o n ；f i x e dp o i n ti n d u c t i o nr u l e ；f u z z yl i n e a rf u n c t i o n ；l e a s tf i x e dp o i n t ；l e a s t p r e f i x e dp o i n t ；f u z z yf o r m a lp o w e rs e r i e s 第i i 页，共4 2 页 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师墓蟹塞指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果：对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在太学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供 检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密 后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：自们少者、 导师签名： 签字目期：加f 口年4 月p 日 前言 随着科学研究的不断深入，应用范围的快速扩大研究对象更加复杂，从而 系统控制对精度要求日益提高；但随着一个系统的复杂性增大，它精确化的能力 却在减小，当不确定性达到一定的阀值之上时，具有精确性的经典数学理论在 系统控制这方面完全失效在此情况之下，1 9 6 5 年，l a z a d e h 教授在模糊集 合论 1 中推广了集合论，把属于、不属于两种情况推广成为 o ，1 之间任意 的实数的隶属度，弥补了经典数学与统计数学的不足这一贡献，为科学技术领 域提供了有力的新的数学工具，同时标志着数学的一个新的分支“模糊数学”的 诞生 4 0 年来，模糊集合的应用得到了很大的发展方面工程技术人员挖掘模糊 集理论在实践中的应用，如人工智能，计算机科学，控制工程，专家系统，管理科学， 运筹学，模式识别，机器人等；另一方面理论家利用模糊集的思想在数学领域开始 了一些新的研究方向就理论研究而言，模糊集最基本的研究是建立各种经典数 学结构的模糊副本，制造一个有足够理论支撑的模糊数学世界，并假设这些数学 理论研究将来在实践中能被利用，但最初的理论研究者并不关心应用问题早在 1 9 6 0 至1 9 8 0 年间，模糊理论研究主要集中模糊拓扑空间，模糊自动机和各种动力 系统，模糊群和模糊形式语言模糊数学理论在1 9 8 0 年之后才有了较大发展这 主要因为是模糊数学在应用领域的作为，特别是日本在这一方面有了较大的进 展1 9 9 0 年以后，在j o h nm o r d e s o n 的带领下，他和他的c r e i g h t o n 大学模糊数学与 计算机科学研究中心在模糊代数理论方面做出了令人瞩目的工作，主要是他的两 本代表作( l - s u b s p a c e sa n dl s u b f i e l d s ) 和( e l e m e n t so fl - a l g e b r a ) 作为环的一个分支，半环的代数结构在应用数学与信息科学等领域发挥了重 要的作用特别在优化理论，图论，动力系统，矩阵，行列式，广义模糊计算，自动控 制理论形式语言理论，分析理论，编码的计算机程序( 见文 1 3 ，1 4 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ) 中扮演了重要角色随着模糊语言，模糊自动机的发展，半环与模糊集的联系也 越来越紧密 第1 页，共4 2 页 1 9 7 1 年，r o s e n f e l d 2 对模糊子群的引入，标志着模糊代数研究的正式开始 随后，l i u 3 ，4 】引入群的模糊不变子群，模糊子环，环的模糊理想等概念使模糊代数 研究进一步深入到各代数的方方面面例如，d u t t a ，b a i k ，g h o s h ，j u n ，k i m ，a h s a n ， z h a n 等在【6 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】中研究了模糊集与( 幺) 半环的各种关系推 动了模糊半环的进一步发展 2 0 0 4 年，匈牙利教授e s k i 和奥地利教授k u i c h 在文【1 0 】中提出并加以研究了归 纳木一半环及弱归纳木一半环的概念和性质，本文在此基础上，定义了模糊集的木一运 算，并研究了该运算的若干性质在第二章，将定义模糊集的牝运算，并根据文u o 中提出并加以研究的归纳牝半环及弱归纳牝半环的概念和性质，定义模糊集的 不动点不等式及归纳法则，研究相关性质，特别是不动点等式的成立；并在f u l l y i d e m p o t e n t 半环上进一步讨论模糊理想的木一运算性质 不动点等式以口木+ 1 _ 口木可以看作是线性映射触) = a x + b ，a ，b e s 在s 上是否有不动 点的问题为此，冯锋 1 3 ，1 4 】在l 半环上定义了仿射变换触) - a x + b ，a ，b e s ；讨论了 该变换的不动点，以及前不动点的性质；并讨论了牝运算下给出了( 前) 不动点的 具体表达形式与不动点归纳原理的关系在第三章中，作者将建立模糊仿射变换， 讨论该变换在木一运算下的不动点以及前不动点的具体表达形式，并在f u l l y i d e m p o t e n t 半环上进一步讨论不动点以及前不动点的半一运算性质，特别是与模糊 集的不动点不等式以及不动点归纳法则的关系 形式幂级数在理论计算机科学领域中，特别是自动机与语言占有重要地位第 四章将根据半环的形式幂级数定义诱导出模糊形式幂级数以及模糊幂级数的牝 运算，并讨论当模糊集具有不动点不等式，不动点归纳法则，最小( 前) 不动点等性 质时，相应的模糊形式幂级数在诱导木运算下的相关性质 第2 页，共4 2 页 第一章预备知识 1 1半环 定义1 1l 设s 是普通集合，若s 上定义了两个二元运算“+ 和“”，以 及两个零元0 和1 ，使得 ( 1 ) ( s ，+ ，0 ) 关于“+ 是可交换幺半群： ( 2 ) ( s ，1 ) 关于“”是半群； ( 3 ) “+ 和“ 运算满足乘法分配律 a ( 针c ) 韧6 + 口c ，v a ，b ，c e s ； ( 4 0 = 0 a = o a ，v a e s ； 则称( s ，+ ，0 ，1 ) 是半环 定义1 1 2 设s 半环若在s 上还定义了一个偏序关系“堂，使得s 上的“+ 和“ 运算均是单调的，即 a 白，c 望ja + c 叠喇，a c 多zva ，b ，c ，d e s ， 则称( s ，+ ，0 ，l ，9 是序半环 定义1 1 3 设( s ，+ ，0 ，1 ，9 是序半环，在s 上定义了一个一元运算 ：s - - - s 若对s 上的任意同态映射厅：s s ，有( j l z ( 口) ) 幸= 幸) ，va e s ，则称该运算为木一运 算，s 为奉半环 注：s 上的宰运算未必是单调的 1 2 模糊集 定义1 2 1 设s 是非空集合映射 ，s 一 o ，1 】 称为s 的模糊子集，简称为模糊集f ( s ) 表示由s 的所有模糊集组成的集合 第3 页，共4 2 页 定义1 2 2 设s 是非空集合，a s 映射 1 1 z a 黝( z ) = 1oz 仨彳 称为a 的特征函数显然翩f ( s ) ，且船( z ) = 1 ，v z e s ；矶( z ) = o ，v z e s 定义1 2 3 设s 是非空集合对wg ef ( s ) ，我们定义模糊集的“0 ”和“。” 运算如下： ( p g ) ) = 1 占s u ：= p xm i n 矿y g z v y 夕, z ，z e s s , y ，y z z = x z ， 的曲唧s u ：p 爿曲蒯帖y , z s 帅, y + z = “x 显然模糊集关于“。 满足乘法结合律，e p ( f o g ) 。h = f o 留。h ) 定义1 2 4 设s 是半环，厂是s 的模糊集若厂满足 ( 1 】厂似啪b n i n f ( x ) ，f ) ； ( 2 ) 厂独a x f f ( x ) ，厂( y ) ， 则称厂是s 的模糊理想f ( s ) 表示由s 的所有模糊理想组成的集合显然f ( s ) c f ( s ) 定义1 2 5 设s 是半环，劫是s 的模糊集若翰满足 喇2 譬荟 第4 页，共4 2 页 且2 e o ，1 】，则称蝴是s 的模糊点 第5 页，共4 2 页 第二章模糊集的水一运算及不动点等式 理论计算机科学领域的著名学者，匈牙利的l 羔s k i 教授和奥地利的k u i c h 教授 在文 1 0 】中首先提出并加以研究了归纳幸半环及弱归纳木半环的概念这一概念与 理论计算机科学，特别是语言学中著名的不动点归纳原理密切相关本章根据归 纳幸半环及弱归纳幸半环的性质，定义了模糊集上的幸运算及不动点归纳原理， 证明了模糊集上的不动点等式成立，研究了宰运算的性质；并在f u l l yi d e m p o t e n t 半环上进一步讨论了模糊理想的运算性质 2 1基础知识 定义2 1 l 1 0 】宰一半环s 称为归纳幸一半环，若s 满足不动点不等式： a a 木+ l 鱼木： 以及不动点归纳法则： a x + b 鸯口宰 盘 定义2 1 2 1 0 * 一半环s 称为弱归纳木一半环，若s 满足不动点等式： a a 木+ 1 邗： 和星等式： ( 口+ 6 ) 宰= ( 口木6 ) 木a 幸； 以及弱不动点归纳法则： a x + b = x - - - a * b 鱼 定义2 1 3 在f ( s ) 中定义“ 为： 尽g 铮删名，v x e s 显然，“”是f ( s ) 上偏序关系，( f ( s ) ，) 是偏序集，且“ 使得f ( s ) 上 的加法和乘法运算均是单调的，即 ( 彤g ，h ，庭s ) f 归 g o ，f o g 。， 第6 页，共4 2 页 定义2 1 4 定义f ( s ) 的一元运算 幸：f ( s ) 一f ( s ) ； 且对f ( s ) 的任意同态映射日：f ( s ) - - , f ( s ) ，有日沪) 柳宰，盯f ( s ) 则称该 运算为f ( s ) 上的幸一运算 2 2 模糊集在木一运算下的不动点法则 命题2 2 1 设s 是半环，v 斥f ( s ) ，户广oz s m i n 厂( “1 ) ，f 幸( “2 ) ) “仁 由1 , u 2 ，1 ，的任意性，得 价广oz s ) = s u pm j n f ( z 1 1 ) ，f 宰( z 1 2 ) ) z 1 1 2 1 2 + 2 2 s u pm i n f 木( z 1 i z l 2 + z 2 ) ) z i l 9 1 2 + z 2 - - - - z = 广( z ) 口 命题2 2 2 设s 是半环v f , g ，矗f ( s ) ，户h ( 3 9 广， 而曲2 z 从而证得不动点等式成立口 定理2 2 2 若s 的任意模糊子集满足条件( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，则f ( s ) d 2 的星号运算是 单调的 证明：不妨设尽g ，g f ( s ) ，则由“ 的单调性，得 f o 矿囝, i s g o g qz s 又由定理2 2 l 得， g o 矿qz s = 矿 又因为g 满足( 3 2 ) ，所以 广妒。觚旷口 推论2 2 1 若s 的任意模糊子集满足( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，则局幸= 锄 证明：设斥f ( s ) ，由定理2 2 2 得 o p qz s 寸或立 由厂的任意性，不妨设产舭，则 第9 页，共4 2 页 z oz qz sz ， 又因为 z 。oz 囊qz s 2 ez s 从而证得局幸= 局成立口 推论2 2 2 若s 上的任意模糊子集满足( 2 1 ) 5 f 1 1 ( 2 2 ) ，则厄= c ，c e 0 ，1 】 证明：设斥f ( s ) ，由定理2 2 2 得， 扣严9z s 寸成立 由厂的任意性，不妨设产九贝u v x es ，有 屁幸2 ( z s 。z s 木。压) 2s u p ( z s 。z s 幸) 0 1 ) ) - s u p z s 木0 1 2 ) ) 而+ x 2 2 x 9 1 1 3 1 ：1 2 + 9 2 = x s u p 屁幸) 0 y + x m x 熙s 从而得 荪宰 ) z s ) ，v y es 特别的， 屁宰2 s 宰( 0 ) 另一方面，又因为x 的任意性，不妨取x = 0 ，则 荪木( 0 ) z s 木( 力，v y es 特别的，当y = z 时， 以木( 0 ) 压木( d 因此， 躲木妒觚木( o ) = c ，v x es 口 第1 0 页，共4 2 页 2 3f u l l yi d e m p o t e n t 半环上的模糊理想的木一运算性质 首先，我们将介绍f u l l yi d e m p o t e n t 半环的性质，特别关于模糊理想的运算性 质 定义2 3 1 1 6 设s 是半环，若对s 的任意理想，有 。p = i 则称s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，且是i d e m p o t e n t 定理2 3 1 1 6 设s 是半环，则下列结论等价： ( 1 ) s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环， ( 2 ) 对s 的任意模糊理想，是i d e m p o t e n t ，即2 邓 引理2 3 1 1 6 设s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，则对s 的任意模糊理想，a ，j ， 有 o a ) o 参= 0 0 3 0 m 0 0 3 ， 即f u l l yi d e m p o t e n t 半环的模糊理想满足乘法分配律 引理2 3 2 设s 是半环，若s 的任意模糊子集f , g , h 满足( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，则 f oho g = h 旷o g 一h 引理2 3 3 设s 是半环，对s 的任意模糊子集，g 有 q 酽g q l 证明：由a + b = b + a ，va ，b es 可得口 引理2 3 4 设s 是半环，则s 存在模糊点e ， e o f = f = f oe 证明：设e = 1 1 ，即 胁器鬻 可证口 第1 1 页，共4 2 页 使得对s 的任意模糊子集，有 ( 2 3 ) 引理2 3 5 设s 是半环，若s 的任意模糊子集满足( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，模糊点e 满足 ( 2 3 ) 时， 厂。广o p _ 广，r y ef ( s ) 证明：显然e z s ，则由定理2 2 1 得 o p q e 弋f o f f qx 产p 。 因为“ 对“o ， 和“o ”这两种运算单调，所以 o u o 尹q 心固e r f o f f 固e 又因为，户广。岛e 满足条件( 2 2 ) ，所以由命题2 2 2 可得， 广_ 广oe 弋f o f f0e 从而证得 o 严q 回一 成立口 定理2 3 2 设s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，若s 的任意模糊子集满足( 2 1 ) 和( 2 2 ) ， 模糊点e 满足( 2 3 ) r 模糊理想在运算下依然是模糊理想，则当，五是s 的任意 模糊理想时，以下等式成立： ( 1 址木o o 咧木， ( 2 ) 0 2 ) 木= eo oa o ) 幸0 2 ， ( 3 ) 0 2 ) 宰o 邓o u o ) 木， ( 4 ) ( 肛。五) 宰- u 幸0 2 ) 幸o g 幸 证明：显然幸。o p 是s 的模糊子集，又因为，宰都是s 的模糊理想，则 o 枣o o e ) 0 e 叫o 母o t o o p o e 邓o 幸o o e o g o e 2 m o 宰0 d o o e 邓 o 0 巴 由引理2 3 2 得 第1 2 页，共4 2 页 木邓o e o o e 又因为五o 是s 的模糊子集，则 # 0 2 0 # 0 q o ) 木o # = t 0 2 0 9o ( 五o ) 枣0 o e 邓o q o o q o ) 幸o d 邓o m o u ) 幸 再由引理2 3 2 ，得 ( 肛o a ) 木o o ( a o ) 掌 由a 的任意性，令肛e 代入上式，得 幸o o 1 木 所以，由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 得 木o o p o t 拳。萨掣奉 又因为 9 0 2 0 以。积o ) o 五。力。俨掣o ( 2 0 9 0 q o ) 宰。五。五。功o p = t o q o p o q o ) o a 0 e 0 2 ) o e = 1 0 q o o q o ) o e ) o a o e = t o q o ) 木a o e ， 所以，由引理2 3 2 ，得 ( i c f o , b 幸= 以o a ) 母o e 一 to q o ) 宰a o e 再由( 2 5 ) 和，a 的任意性，得 q o ) 母0 2 一 2 0 似o , b 幸 所以 o q o ) o 五o e o 五o o 五) 宰o f o 以o d 木， 从而，联立( 2 6 ) ，可证得( 2 ) 式成立 又由( 2 ) 式和( 1 ) 式，得 以0 2 ) 木o g = o oq o u ) 宰。五) o = o t o ( a o u ) 宰。五o 第1 3 页，共4 2 页 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) = t o ( e o q o ) o 五o ) 犁o ( q o u ) 幸0 2 0 # 0 0 掣oq o ) 木， 从而证得( 3 ) 式成立 最后由( 2 ) 式和( 3 ) 式，得 以。五) o 以+ o 五) 木o 木o e = t o 幸o ；0 幸o t 枣。五o 木o , b 木o o e 犁o ( 木o ；0 幸o t 幸) o q o 以宰。五) o g 木o p ) 掣o 幸o q o 木) 木oo q o 木) 幸 啾o , u 宰。力o q o , u 宰) 宰 叫o q o 簟) 幸 = o , b 宰o g 木， 由引理2 3 4 得 o 五= 地。五) o p ( 木o a ) 幸o , u 幸，( 2 7 ) 又因为 ( o 五) o ( o 五) 幸o p = ：( o 五) 枣， 不妨设以0 a ) 幸司，代入上式，得 以。五) 0 6 0 p 动， 即 0 6 0 q 0 6 0 d 苟， 由( 3 ) 式得 以幸o a ) 0 6 0 幸= o q 0 6 0 d 6 ， 再由引理2 2 2 得 以木。五) 簟木5 又因为萨 o a ) 木，代入上式，得 0 幸o a ) 簟幸 o a ) 謇， 联立( 2 7 ) ，从而证得( 4 ) 式成立口 第1 4 页，共4 2 页 推论2 3 1 设s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，若s 的任意模糊子集满足( 2 1 ) 和( 2 2 ) ， 模糊点e 满足( 2 3 ) 。则v x s ，若x j + 1 翥，v x s ，有 矿= 0 证明：由引理2 3 4 得 p 木o e - - - e o p 木0 e = e 幸 又因为 ( e 木op ) = s u pm i n e 奉 1 ) ，p ( 娩) ) 而+ = x 且x 2 再，则如) = o ，从而有 矿 ) = ( 矿op ) = s u pm i n e 木( x o ，0 ) = o 口 第1 5 页，共4 2 页 第三章模糊仿射变换在木一运算下的不动点和前不动点 不动点等式口口幸+ 1 = 口幸可以看作是线性映射厂0 ) = a x + b ，a , b e s 在s 上是否有不 动点的问题为此，冯锋在文 1 3 ，1 4 1 d ? 定义了木半环上的仿射变换厂= a x + b ， a , b e s ：讨论了该变换的不动点以及前不动点，并给出了不动点和前不动点的具体 表达形式本章在第二章的基础之上，建立了模糊仿射变换，讨论了该变换在宰一运 算下的( 前) 不动点的具体表达形式与不动点归纳原理的关系，并在f u l l yi d e m p o t e n t 半环上进一步讨论了不动点以及前不动点的木运算性质 3 1 基础知识 定义3 1 1 设p 是一个偏序集，f ：p _ p 是p 上的一个映射若 f 爿， 则称x 是映射f 的一个不动点 定义3 1 2 设p 是一个偏序集，f ：p - * p 是p 上的一个映射若 f ， 则称x 是f 的一个前不动点 映射f 的全体不动点和全体前不动点之集分别记为f i x ( f ) 和p 吹f ) 。若f i x ( f ) 在诱导偏序下有最小元，则称之为映射f 的最小不动点，并记为h f 同理， 若p 吹f ) 在诱导偏序下有最小元，则称之为映射f 的最小前不动点，并记为肛f ) 显然，由定义可见映射f 至多只有一个最小( 前) 不动点 定义3 11 1 4 1 设s 是木半环若s 上任意的仿射变换 正s _ s x - - + a x + b 均有最小不动点如厂0 ) = a * b ，则称s 为五幸半环 第1 6 页，共4 2 页 定义3 1 2 1 4 设s 是幸一半环若s 上任意的仿射变换 s s x 口x + b 均有最小前不动点肛厂= a * b ，则称s 为木半环 命题3 1 1 1 4 1 若s 是2 - 半环，则s 是a 幸一半环 定义3 1 3 设s 是半环f ( s ) 上的线性函数 日：f ( s ) 一f ( s ) 产g o f q h ，g ，h f ( s 、 称为模糊仿射变换 同理，是模糊仿射变换日的一个不动点，是指h o o = f , 厂是日的一个前不动 点，是指日呵模糊仿射变换曰的全体不动点和全体前不动点之集分别记为 f i x ( n ) 和p , y ( t o 若肛( 奶在诱导偏序下有最小元，则称之为映射日的最小不动点， 并记为够日类似地，若p r y ( h ) 在诱导偏序下有最小元，则称之为映射日的最 小不动点，并记为日同理，由定义易见模糊仿射变换日至多只有一个最小 ( 前) 不动点 例，设h o o = g o f f 3 航，当满足( 3 1 ) 和( 3 2 ) 时，f = g 事是脚力的不动点 3 2 主要结论 命题3 2 1 设s 是半环。若s 上的任意模糊仿射变换h o o = g o f 0h 有 矽h 才o h ， 则 g 。矿( 3 e = g 木，其中e 满足( 2 3 ) ，( 3 1 ) 且 g o 归厅专卜旷。 瓤( 3 2 ) 证明：由日的任意性，不妨设五= e ，则 第1 7 页，共4 2 页 够日虿。曙幸， 即矿是脚= g 吖。p 的最小不动点。由不动点定义可得 g o 矿o e - - - g * 若g o f o h = f , 则是h ( d = g o f o h 的不动点。又因为何_ g 幸。h ，所以，由 最小不动点的定义得 g 木o 酃 从而证得结论成立口 命题3 2 2 设s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环。若s 上的任意模糊理想在宰运算下依 然是模糊理想，且满足以下条件： ( 1 ) g 。矿o p 才，其中e 满足( 2 3 ) ( 2 ) g o 0 矗叫噌木oh r l t ， 则对模糊仿射变换月_ g 。归 ，g ，h e f ( s ) 有， 够日才o h 证明：由条件( 1 ) 可得， h ( g 宰o h ) = g o 旷o ho h = ( g o g 幸o e ) o 寸h ， 即旷h 是h ( d = g o 厂。j l l 的一个不动点 设是h o o = g o f $ h 的不动点，则g 。比o h = t 由条件( 2 ) 得 矿o h 弋 t ， 所以 够日_ g 木o h 定理3 2 1 设s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环。若s 上的任意模糊理想在幸运算下依 然是模糊理想，且s 上的任意模糊仿射变换月_ g 。归j l ，g ，h e f ( s ) 有 珥h 睁矿oh ， 则以下结论成立： ( 1 ) 旷o g o p 才， ( 2 ) ( g o h ) 木= p o g o ( j j lo g ) 宰o h ， 第1 8 页，共4 2 页 ( 3 ) 以。五) 奉。掣。q 。) ，其中e 满足条件( 2 3 ) 证明：由命题3 2 1 得， g o ( 旷o g o 力0 萨g o 旷o g d g o e $ e = g o 矿o g e o g o e = o g 木0 e ) 0 9 0 e = 旷o g o e 则 矿髫o p 矿o g o 巴 又因为 g o ho g o ( h o 曲木o g = g oi h o g o ( h o 曲橐o g o e = g o ( i ho g o qo g ) 宰。力 = g o ( o g ) 幸 再由命题3 2 1 得， o 协) 宰o g g o ( ho g ) 宰 由h 的任意性，令矗= e 代入上式，得 寸o g 弋g o 寸。 所以，由( 3 3 ) 和( 3 4 ) 得 g 木g 幸0 9 0 e 弋g o g 宰。霄， 从而证得等式( 1 ) 成立 又因为 g 。h o 留o ( h 。曲幸o h 0 d o 萨g o ( j i i o g o ( o 曲o h o h o e ) o e = g o ( h o g o ( h o 曲木o o e o h ) o e = g o ( h o g o ( h o 曲木。力o h o e = g o ( h o g ) 木o h o e 则由命题3 2 1 ，得 。j i l ) = ：( g oj j l ) 拳o e 弋g o ( ho 曲木办。口 再由( 3 4 ) 和g ，h 的任意性，得 o g ) o o o ) 木 第1 9 页，共4 2 页 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 所以 g o ( j i l o 曲木o h o e 弋g o h o 国o ) 木0 e = o 国oj j l ) 母， 从而，联立( 3 5 ) ，可证得( 2 ) 式成立 又由( 2 ) 式和( 1 ) 式，得 oj 1 1 ) 毒o g = ( e g o ( h o 曲木o h ) o # = g o g o 仰o g ) 木o h o g = g o o ( h o 曲幸o ho g ) - g o ( ( ho g ) 拳o h o g p ) = g o ( 矗o g ) 幸， 从而证得( 3 ) 式成立口 由命题3 2 2 知，当s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，且模糊理想满足不动点等式以 及弱归纳法则时，对s 上的模糊仿射变换h o o = g o f h ，g ，h e f ( s ) 有， 够h 才o h 。 而由定理2 3 2 知，当s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，且模糊理想满足不动点等式以及 弱归纳法则时，满足定理2 3 2 的四个等式事实上，若s 关于乘法可交换，且s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，以及当s 上的模糊仿射朋_ g 。归h ，g ，h e f ( s ) 有 够日_ g 掌。 时，满足定理2 3 2 的四个等式。接下来，将给出证明。 有 引理3 2 1 设s 是半环，若s 关于乘法可交换，则对s 的任意模糊子集，g l o 酽g o 定理3 2 2 设s 是f u l l yi d e m p o t e n t 半环，且关于乘法可交换若s 上的任意模 糊理想在幸一运算下依然是模糊理想，且s 上的任意模糊仿射变换砌- g 。厂。矗， g ，h e f ( s ) 有 够h 才o h ， 则 q oj 1 1 ) 木= 铲o h ) o g * 第2 0 页，共4 2 页 证明：由定理3 2 1 有， q o ) o ( g 幸o ) 幸o g * o 乎= g o c g o ) 木o g * o ho 木o ) 木o g 木o p = g o ( oj 1 1 ) o 旷) 0 ( ho 木。矗) 木o g * 0 0 = g o 旷( h o g 幸) 幸o ( ho g 枣) 木 = o 旷o e ) o ( 矗o g * ) 木 = 旷o ( j j lo g * ) 事 = 幸oj 1 1 ) 木o g * ， 由命题3 2 l 得 ( g oj 1 1 ) 宰气g o 而) 母o p ( 旷o h ) 木o g * ( 3 4 ) 又因为 乜c h ) o q oj 1 1 ) 母。萨： o ) 宰， 不妨设国eh ) 幸= j ，代入上式，得 q 0 h ) 0 6 0 商， 即 9 0 6 0 ( 0 8 0 e ) = 8 ， 再由命题3 2 l 得 。 铲o h ) 0 6 0 旷= 旷o ( h 0 6 e 力j ， 又因为扣 o a ) 幸，代入上式，得 旷o ( h o 国e h ) 宰0 0 国e h ) 宰 ( 3 5 ) 由于s 关于乘法可交换，则 悖c h ) o 铲o ( o q oj 1 1 ) 木oo g ) ) o e = - - ( g e h ) o 国宰o h o 国o ) oo g - , ) o p = q o h ) o g o ho q o ) 幸oo g o g 木o h o g 木o p = 旷oj | l o 位o h ) o o ) 掌o h o 旷。国o g 幸0 0 2 9 幸o o 位o h ) o ( g o ) 幸o g 木o h o g 幸 = 旷。 o ( 国o h ) o q o ) 木o e ) e g - * = 旷。 o 国e h ) 书0 旷 第2 1 页，共4 2 页 = 旷o ( ho q oj i z ) 木o p ) 再由命题3 2 l 得 ( g o 五) 木= ： oj 1 1 ) 枣0 8 g 宰o ( ho q o ) 幸o p ) 1 主1 ( 3 5 ) 和( 3 6 ) 有 ( 鲁o ) 宰2 9 幸o ( h 。( g oj l z ) 宰o p ) = g 幸o h 。 o 厅) 宰o g 幸， 由命题3 2 1 得 铲oj 1 1 ) 木。旷国o ) 木， 联立( 3 4 ) ，可证得 q 0j | 1 ) 宰= ( 矿o h ) 掌o g * 口 显然，由命题3 2 1 可得，当半环s 上的模糊集满足不动点不等式 g o g 母。已旷，其中e 满足( 2 3 ) ， 及不动点归纳法则 g o o 叫。五 时，s 上的任意模糊仿射变换h ( f ) = g o f oh 有 够日- g o h 反之，当s 上的任意模糊仿射变换h ( t ) = g o f oh 有 。h 盼寸o h 。 且肛船) 存在时，可证得s 上的模糊理想满足( 3 7 ) ，( 3 8 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 引理3 2 2 1 2 - 设p 是偏序集，厂是p 上的单调映射，则肛：触) 是的不动点事 实上，：触) 是厂的最小不动点 定理3 2 3 设s 是半环，且对s 上的任意模糊仿射变换 h o o = g o f oh ，g ，h e f ( s ) 有 够日( ，) 髫o h ， 且彤：胸存在，则s 上的模糊理想满足条件( 3 7 ) ，( 3 8 ) 证明：显然日是单调映射，则由引理3 2 2 有， 第2 2 页，共4 2 页 日= 够日- g o h ， 即 g o f o h g 幸o h 由日的任意性，不妨令h = e ，其中e 满足( 2 3 ) 则 g o f 国e 矿。萨矿， 从而证得( 3 7 ) 成立 若g 。o ，则l 是h ( ) = g o f o h 的前不动点由前不动点的定义，得 日髫o h ， 从而证得( 3 8 ) 成立口 第2 3 页，共4 2 页 第四章模糊形式幂级数 形式幂级数在理论计算机科学领域中，特别是自动机与语言占有重要地位本 章根据半环的形式幂级数诱导出了模糊形式幂级数及模糊形式幂级数的木运算， 并讨论了在模糊形式幂级数的木运算下，当半环上的模糊集满足不动点不等式， 归纳法则，最小不动点等式时，相应的模糊形式幂级数的性质 4 1 基础知识 设a 是一个由若干符号( 字母) 组成的非空集合，通常称为字母表称a 上的 任意一个有限符号串为a 上的一个字不包含任何符号的字称为空字，并记& a 表示a 上所有的字组成的集合记为，并称a 木的子集为a 上的语言若在a 木上引 入如下运算“ ： v x ，y a 毒，x y = x y ， 则( a 木，) 成为一个以为幺元素的幺半群，称为由a 生成的自由幺半群 定义4 1 1 1 0 1 设s 是半环，a 宰是由字母表a 生成的自由幺半群则称a * 至i js 的映射 ，：a 毒一s ， 为a 上的系数在s 中的形式幂级数 a 上的系数在s 中的形式幂级数厂：a 宰一s 通常记为如下形式： f ( 删 “ 其中，( ，“) 是u 在映射r 下的象a 上的系数在s 中的所有形式幂级数的全体之 集记为s a 木。集合s a 奉按照如下定义的加法以及( c a u c h y ) 乘积： ( ，1 + r 2 ，“) = ( ，1 ，“) + ( 厂2 ，“) ， ( 厂l r 2 ，“) = ( ，“1 ) ( 厂2 ，“2 ) ，v 厂l ，您s a 掌，v “a 木 1 1 2 2 “ 做成一个半环，称为半