（机械制造及其自动化专业论文）新型三平动自由度高速并联机械手的弹性动力学分析.pdf

中文摘要 d e l m - s 机械手是一种具有我国自主知识产权的三平动自由度高速轻型并联 机械手。配备计算机视觉系统后，该机械手可完成对散乱物料的短距抓放 ( p i c k a n d - p l a c e ) 操作，在电子、轻工、食品及医药等领域具有广阔的应用前景。 在国家自然科学基金项目( 5 0 6 7 5 1 5 1 ) 及教育部博士点基金项目( 2 0 0 6 0 0 5 6 0 1 8 ) 的 联合资助下，本文对该机械手本体的运动学、刚体动力学及弹性动力学分析问题 进行了较为深入的理论研究。 利用矢量法建立了d e l t a - s 机械手的逆运动学模型，并借助虚功原理建立了 该机械手的逆刚体动力学模型。针对典型的抓放操作，。经轨迹规划，计算了 各主动关节的位置、速度、加速度与驱动转矩，为后续的弹性动力学分析奠 定了基础。 。 在合理假设的前提下，采用有限元法与子结构综合法，构建了d e l t a - s 机械 手的弹性动力学方程。经无阻尼固有特性分析，揭示了系统低阶固有频率及 。 正则振型的空间分布特征。针对典型的操作任务，利用威尔逊一秒法求解了 该机械手的弹性动力学响应。 上述研究成果为d e l t a - s 机械手的动态设计奠定了理论基础，并对其它含刚 柔混合支链的空间并联机构的分析与设计具有一定的参考价值。 关键词：并联机械手弹性动力学固有特性动态响应 a b s t r a c t t h ed e l t a - sr o b o ti sah i g h s p e e da n dl i g h t - w e i g h tp a r a l l e lm a n i p u l a t o r , w h i c h c a nt a k et h ep i c k - a n d - p l a c em o t i o nw i t ht h eh e l po ft h ev i s i o ns y s t e m t h i s m a n i p u l a t o rh a sag r e a tp r o s p e c t i nt h ee l e c t r o n i c ，l i g h ti n d u s t r i a l ，f o o da n d p h a r m a c e u t i c a lf i e l d s t h ep r o j e c ti ss p o n s o r e db yt h en a t i o n a ln a t u r a l s c i e n c ef u n d a n dd o c t o r a le d u c a t i o nf u n do ft h em i n i s t r yo fe d u c a t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h e k i n e m a t i c s ，d y n a m i c sa n dk i n e t o e l a t o d y n a m i c so ft h em a n i p u l a t o rh a v eb e e nt a k e n i n d e p t ht h e o r e t i c a lr e s e a r c h w i 也t h ea i do fv e c t o rm e t h o d ，t h ei n v e r s ek i n e m a t i cm o d e lh a sb e e nf o r m u l a t e d a n dt h ei n v e r s ed y n a m i cm o d e lo ft h i sm a n i p u l a t o rh a sb e e nf o r m u l a t e db y m e a n so fv i r t u a lw o r kp r i n c i p l e i na c c o r d a n c ew i t ht h et y p i c a l 叩e r a t i i l g p r o c e d u r e ，t h ep o s i t i o n ，s p e e d ，a c c e l e r a t i o na n dt h ed r i v i n gt o r q u eo ft h ed r i v i n g j o i n t sh a v eb e e nc a l c u l a t e dw i t ht h eh e l po ft r a j e c t o r yp l a n n i n g t h ew o r kl a y sa f o u n d a t i o nf o rt h ek i n e t o e l a t o d y n a m i c sa n s l y s i si ns u c c e s s i o n 弛e k i n e t o e l a s t o d y n a m i c sm o d e lo ft h es p a t i a lh i g h s p e e dp a r a l l e lm a n i p u l a t o r h a sb e e nd e v e l o p e db yt h em e t h o do ft h es u b s 缸u c t l h es y n t h e s i sa n dt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d t h en a t u r a lc h a r a c t e r i s t i e so ft h em e c h a n i s mw h i c hi n c l u d et h e n a t u r ef r e q u e n c e sa n dm o d eh a v eb e e nc o m p u t e db yt h em e t h o do fs o l v i n g c h a r a c t e r s t i cr o o ta n de i g e n v e c t o ro ft h ek e de q u a t i o n m o r e o v e r , t h e d i s t r i b u t i o nr u l eo ft h en a t u r ef r e q u e n c ei nt h et y p i c a lp o s i t i o nh a sb e e n a n a l y z e d n ed y n a m i cr e s p o n s eo fd e l t a sh a sb e e ns o l v e dw i t ht h em e t h o do f w i l s o n - 0 t h em e r i t sa n df a u l t so fd e l t a sc o m p a r e dt ot h er e s p o n s ec u r v eh a v e b e e nd i s c u s s e db a s e do nt h ea n a l y s i so ft h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa c c o r d i n gt o t h ed y n a m i cr e s p o n s ei nt h et y p i c a lp a t h t h ew o r ka c c o m p l i s h e di n t h i sd i s s e r t a t i o nn o t o n l yp r o v i d e s s u b s t a n t i a l f o u n d a t i o nt ot h ed y n a m i cd e s i g no fd e l t a - sr o b o t ，b u ta l s oe a rb eu s e dt ot h e k i n e t o e l a s t o d y n a m i c sa n a l y s e sa n dd y n a m i cd e s i g no ft h ea n a l o g o u ss p a t i a lp a r a l l e l m a n i p u l a t o r sw h i c hh a v er i g i d - e l a s t i cc o u p l i n gc h a i n s ， k e yw o r d s ：p a r a l l e l m a n i p u l a t o r , k i n e t 0 - e l a s t o d y n a m i c s ，n a t u r a l c h a r a c t e r i s t i c s ，d y n a m i cr e s p o n s e - i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：多疑兹 签字日期：2 w 7年易月上岁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：多民琵 导师签名： 喜叼 签字日期：2 厶7 年扩月上如 签字日期：) 7 年8 月矽日 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 工业机器人是一种仿人操作、自动控制、可重复编程、能在三维空间完成各 种作业的机电一体化装备，特别适合于多品种、变批量的柔性生产，对提高产品 ，质量与生产效率、改善劳动条件和适应产品的快速更新换代起着十分重要的作 用。 机械手是工业机器人的主要组成部分，按其结构可分为串联机械手与并联机 械手两大类。其中，串联机械手具有灵活性好、工作空问较大等优点，在工业生 产中已得到了广泛应用。但是，因需在各关节上设置驱动器，并保证开环串联结 构具有足够的刚度，各运动臂的惯性负载较大，故不宜实现高速操作。与串联机 械手相比，并联机械手具有结构刚度大、承载能力强、运动精度高、自重负荷比 小、位置逆解简单等优点。其中，外转动副驱动的并联机械手可将驱动器装在机 、架上，故可采用轻质细杆作为运动臂，以使末端执行器获得较高的速度和加速度。 因此，这种并联机械手特别适合做成一类短距高速抓放( p i c k - a n d - p l a c e ) 装置，完 成诸如高速封装、插装、分检等操作。 ， 目前，最具代表性的高速并联机械手当属c l a v e l 发明的d e l t a 移l , 构。如图1 1 所示，该机械手采用外转动副驱动和平行四边形支链结构，可实现末端执行器的 三维平动【卜2 1 。1 9 8 7 年，瑞士d e m a u r e x 公司率先购买了d e l t a 机构的专利实施许 可并将其产业化，先后开发了p a c k - p l a c e r 、l i n e p l a c e r 、t o p p l a c e r 和p r e s t o 等系 列产品，主要用于食品包装作业。随后，瑞典a b b 公司推出了i i m 3 4 0f l e x p i c k e r ( 图1 2 ) ，并配置了计算机视觉系统，用于食品、医药和电子行业。瑞士s i g 公司 与d e m a u r e x 公司合作开发了c 2 3 、 c 3 3 ( 图1 3 ) 、c e 3 3 、x r 2 2 等系y l j d e l t a 机械手。 d e l t a 机构在工业界的成功应用引起 了国内外学者的广泛关注，诸多变异型 d e l t a 机构先后问世。例如，c l a v e l 3 】将外 转动副驱动改为外移动副驱动，提出了 三种d e l t a 机构的变异形式，以满足不同 图1 - 1d e l t a 机构 图1 41 h i 的虎克铰甲动机械手圈i - 5u w a d e l t a 机械手 壅 啷谬 。盈 第一章绪论 机构、柔性铰链和柔索类并联机构的结构特点，天津大学昂近叉发明了一类含刚 柔混合支链的新型高速并联机械手即d e l t a - s 机构【1 ”。该机械手的组成如图i 一1 2 所示。其中，从动臂外杆可采用轻质细杆或张紧弦丝制成，且从动臂内、外杆均 以球铰链与动平台和主动臂相连接，在伺服电机的驱动下，动平台可实现三维平 动。显然，与d e l t a 机械手相比上述结构可进一步减轻支链惯性，且可消除运 动副间隙，有利于提高系统的动态特性和定位精度。 图1 1 2d e t l s - s 并联机械手 驱动电机 机禁 主动臂 从动臂内杆 从动臂外杆 动平台 为满足电子、轻工、食品、医药等行业的散乱物料高速抓放作业需求除配 备计算机视觉系统外必须对d e l t a - s 机械手本体的动态设计理论与方法进行系 统研究，其内容涉及运动学、精度、刚度、动力学等诸多方面。目前，该研究已 得到国家自然科学基金项目( 5 0 6 7 5 1 5 1 ) 及教育部博士点基金项目( 2 0 0 6 0 0 5 6 0 1 8 ) 的联合资助。鉴于d e l t a - s 机械手中含有刚柔混合支链，本文拟对机构的弹性动 力学分析问题开展较为深入的研究，为该机械手的动态设计奠定理论基础。 综上所述，本文选题具有重要的理论意义与良好的工程廊用价值。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 弹性动力学建模 自二十世纪七十年代初，力学和机构学工作者已对考虑构件弹性变形的机构 动力学建模、分析、计算进行了大量研究逐步形成了机械动力学的一个重要分 支机构运动弹性动力学( k i u g t o - e l a s t o d y n a m i e s ，简称r e d ) 。机构运动弹性 第一章绪论 动力学是研究在外力和刚体惯性力作用下，视机构的部分或全部构件是弹性体 时，机构的真实运动情况和受力情况( 弹性动力分析) ，以及相应的设计方法( 弹性 动力综合) 。 由于计入构件弹性变形所带来的复杂性，早期的研究者仅把部分构件( 如四 杆机构的一个连杆) 看作柔性的，且一般只考虑构件的一种变形形式，在方程推 导中也常常引入许多假设，其模型与实际情况相距较远。w e n f f e y 2 4 1 和e r d m a n 2 5 】 等人将结构动力学中的有限元法引入到机构分析后，克服了模型过于简化的缺 陷，才使这一领域的研究走上了日臻成熟的发展道路。x u 等【2 6 】采用有限元法将 杆件离散，借助l a g r a n g e 方程构造了通用的旋转杆件弹性动力学模型。该模型假 设旋转杆件为直杆，不需要选择单元类型和位移模式，可建立所有开链机械手 机器人的弹性动力学模型，但是未出应用实例。s h a b a n a 等【2 7 】提出结点坐标利用 绝对位移坐标和结点的倾角来表示，进行大变形问题的求解。w a n g 等【2 8 】提出了 用时间有限元法求解弹性机构动力学问题的方法，首先用传统的空间有限元法建 立局部坐标系内弹性连杆的稳态运动微分方程，并借助哈密尔顿原理将其转化为 便于积分的形式，然后将方程在时间域内离散，得到关于系统动态响应的几何方 程。使用该方法可以获得弹性运动的线性方程，便于求解。l e e 2 9 】指出传统的 l a n g r a n g e 建模方法不太适合于具有弯曲挠度的柔性连杆机构，并提出了一种新 的动力学建模方法。在国内，张策1 3 0 j 对弹性连杆机构的分析与综合设计进行了开 拓性的研究。余跃庆【3 卜3 2 】研究了空间弹性连杆机构的动力学特性，包括动力学 模型的建立和非线性微分方程的求解等问题，并探讨了机构的结构、尺寸和材料 参量对机构弹性动力学的影响规律。章定国等【3 3 1 采用假设模态法表示杆件的弹性 变形，运用l 洳e 方法对全柔性机器人进行动力学建模，推导出完整的系统动力学 方程组。上述研究对完善机构弹性动力学理论作出了很大贡献，但研究工作大多 局限于平面或串联机构的弹性动力学分析，涉及空间并联机构的很少。 并联机构是由静、动平台及多条运动支链构成的闭环结构，系统动态特性为 动平台位姿的函数，且具有时变、非线性的特点。因此，并联机构的弹性动力学 建模更为复杂。l e e 3 4 】利用l a 斟a n g e 方程推导出6 r p r 并联机械手的非线性动力学 模型。k a n g 等【3 5 q 8 】利用l a 鲫l g e 方程构造了高速平面并联机械手的弹性动力学 方程，建模过程中引入拉格朗日乘子来描述并联机构闭环支链间的几何约束关 系，但其模型较为简单，忽略了刚性运动和弹性变形运动的耦合项、单元截面转 动动能和拉压势能等影响。f a t t a h 等 3 9 1 利用多柔体动力学理论，把机构的刚体运 动和弹性位移作为广义坐标，利用自然正交补方法构造约束方程，提出了一种三 自由度并联机械手的有限元模型，并通过数值算法求解一个非线性、强耦合的常 微分方程的初始问题，探讨了运动构件弹性对机械手末端精度的影响。p i r a s 】采 第一章绪论 用k e d 方法建立3 一p r r 并联机构弹性动力学模型，研究了该机构的末端变形、低 阶固有频率分布及其收敛域分析，结果表明该机构的几何刚度矩阵对响应影响较 小。在国内，方跃法等【4 2 】提出了一般结构形式的六自由度并联式机器人的弹性动 力学模型，假定其中心构件为刚体，各分支为弹性体，分别建立运动微分方程， 然后通过刚体和弹性体间的位移协调和力平衡条件将二者联结起来，但未给出求 解方法和分析结果。蔡胜利掣4 3 】用k e d 法建立了平面并联机器人的弹性动力学 模型，求解机构的输出运动误差，并使用冗余驱动法和输入运动规划法来消减动 平台的残余振动，但未对并联机构的非线性动力学行为以及几何物理参数对机 构动力学特性的影响进行深入的分析，建模精度和方程求解的效率不高。赵兴玉 等 4 4 - 4 6 借助动态子结构法与模态综合技术，建立了外副驱动3 平动自由度并联机 床的进给系统弹性动力学模型，在此基础上采用子结构综合的思想建立该并联机 床的整机动力学模型。罗继曼等【47 】利用k e d 法建立新型3 s t p 并联机器人的弹性 动力学模型，分别建立了主运动链各支链的单元动力学方程，以及平行机构中柔 性杆单元的动力学方程，根据刚体与柔性体之间的变形协调务件，将各支链组装 在一起，构成机构的总体弹性动力学方程，并得出了其固有频率的分布规律。 1 2 2 动态响应的求解 动态响应的求解是机构弹性动力分析的核心，也是弹性动力综合的基础。根 据弹性动力学建模所采用的方法以及所考虑因素的不同，所得到的动力学方程多 为线性非线性时变二阶常微分方程( 组) 。这种微分方程一般难以求得解析解， 通常只能采用数值方法近似求解。常用的数值解法包括振型叠加法、傅立叶级数 法、状态空间法及直接积分法等。 振型叠加法是求解振动问题的传统解法，当系统阻尼满足一定条件( 如可作 振型阻尼处理) 时，此方法比较有效。由于该方法需要求解特征值问题，故计算 量较大。傅立叶级数法可用以求解周期性运动机构的稳态响应，其主要做法是将 微分方程各项级数展开，使之成为代数方程，从而简化求解过程。但是这种方法 推导过程较长，不易反映机构特性，无法求解机构的瞬态响应。状态空间法是一 种源自现代控制理论的机构运动方程求解方法，具有适用范围广、计算精度高、 稳定性好等特点，比较适合于机构弹性动力分析过程。直接积分法是从数学角度 出发，对一般二阶微分方程进行逐步积分逼近的近似方法，具体的有龙格一库塔 法、线性加速度法、威尔逊一秒法、纽马克法等。为保证解的精确性和稳定性此 类方法，必须保证积分步长足够小。随着计算机技术的飞速发展，该方法已得到 了广泛应用。例如，蔡胜利【4 3 】用纽马克法求解了三自由度弹性平面并联机器人动 力学方程。此外，张宪民等f 4 8 】利用振型叠加方法求解机构的非线性运动微分方程 第一章绪论 组。余跃庆卧4 9 提出了求解弹性机构稳态解的迭代方法q d a ( q u a s i d y n a m i c a n a l y s i sm e t h o d ) ，将求得的k e s ( k i n e t o e l a s t os t a t i c ) 解作为所求真解的部分 初值，然后用差分公式逐次迭代，直至解的精度满足要求。 1 3 本文主要研究内容 作为国家自然科学基金项目( 5 0 6 7 5 1 5 i ) 及教育部博士点基金项目( 2 0 0 6 0 0 5 6 0 1 8 ) 的部分研究内容，本文拟系统研究高速轻型并联机械手d e f l a s 的弹性动 力学建模、固有特性分析及动态响应求解方法，为该类并联机械手的动态设计和 实际应用奠定基础。 全文章节如下： 第一章阐述论文的研究背景和意义，综述国内外相关领域的研究概况，并 提出论文的主要研究内容。 第二章建立d e t l a s 机械手的逆运动学及逆刚体动力学模型，并针对典型 的抓放操作，开展计算机仿真。 第三章采用有限元法与子结构综合法，建立d e t l a - s 机械手的弹性动力学 模型。 第四章分析系统固有特性；揭示其低阶固有频率及正则振型的空间分布特 征，并研究弹性动力学响应的快速求解方法。 第五章总结全文，并展望今后应开展的若干研究工作。 第二章d e l t a - s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 第二章d e l t a s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 2 1 引言 逆运动学分析是并联机械手尺度综合的基础，涉及已知机构的尺度参数与动 平台的期望输出运动，求解各主动关节的输入运动( 位置、速度、加速度) 。逆刚 体动力学分析涉及已知机构的尺度惯性参数、外力及动平台的期望输出运动， 求解各主动关节的驱动力( 转矩) ，进而为驱动器参数匹配提供必要的理论依据。 本章借助矢量法建立了d e l t a - s 机械手的逆运动学模型，并利用虚功原理构 造其逆刚体动力学分析模型，旨在为后续的d e l t a - s 机械手弹性动力学建模和动 态响应求解提供必要的理论依据。 2 2d e l t a s 机械手组成 如图2 1 所示，d e l t a s 机械手由机架、动平台和三个均布的平行四边形支 链组成。该机械手采用外转动副驱动方式，且从动臂外杆由轻质细杆或张紧弦丝 制成，从动臂内、外杆均通过球铰链与动平台和主动臂相连。显然，上述结构可 消除铰链间隙，并降低运动臂的惯性负载，以改善系统的动力学性能及定位精度。 在工作过程中，伺服电机驱动主动臂回转，并带动从动臂，进而实现动平台的三 图2 - 1d e l t a s 三平动并联机械手 伺服电机 机架 主动臂 从动臂内杆 从动臂外杆 动平台 第二章d e l t a - s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 维平动。根据国家自然科学基金项目( 5 0 6 7 5 1 5 1 ) 及教育部博士点基金项目 ( 2 0 0 6 0 0 5 6 0 1 8 ) 的任务分工，本文仅以从动臂外杆为轻质细杆的d e l t a - s 机械手为 研究对象。 2 3 逆运动学分析 2 3 1 位置逆解 d e l t a s 机械手的等效模型如图2 - 2 所示。不失一般性，以等边三角形蝎b e 晟 中心0 为原点，建立固定坐标系0 一x y z 。其中，忍( 汪1 ，2 ，3 ) 为固定铰链中心，工 轴与等边三角形的任意一边平行，z 轴与静平台垂直，竖直向上，y 轴由右手定 则确定。类似地，以动平台中心0 为原点，建立连体坐标系0 7 一x y z 7 ，其中 4 f ( f = 1 ，2 ，3 1 为从动臂内杆球铰链中心。由于该机构仅具有三平动自由度，故上 述两坐标系的对应坐标轴彼此平行。在固定坐标系o x y z 下，动平台中心o 的 位矢，= ( xy zt 可表示为 r = b t a + i i h l + 1 2 w i 式中 包= r b ( c o s 了, s i n 7 , o ) t ； 吩= 吃( c o s f l , s i n , s , o ) t ； ( i = 1 ，2 ，3 ) 层为e 、4 在o - x y z 和o 一x 2 v 2 下的位置 角，且层= ( f 一1 ) ，2 ，n 一兰； ju 吃、乞分别为静、动平台的外接圆半径； 厶、厶主动臂和从动臂的杆长； 、m 支链i 主动臂和从动臂的单位矢量。 采用欧拉变换，令 与y 轴重合、u i 与x 轴 重合，然后将和均绕z 轴旋转屈，再将砧； 绕旋转口，即可得支链坐标系 忍一v i l 4 i ( v i ) 。其中，岛为支链i 中主动臂的 输入转角。上述旋转变换关系可表示为 ( 2 1 ) 图2 2d e t l a s 机械手的等效模型 吩= r z ，届乞= 罡，尼b 岛白 ( 2 - 2 ) 式中 第二章d c l t a - s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 _ c o s 层一s i n e , o rc o s 0 ； 墨萨一0 c o s 0 刚1 j 如旷l - s i 。n 谚 iii岔 白= ( 1 0 o ) t ，e 2 = ( o 1 o ) t 展开后得 哆= ( 一s i n 属c o s , b io ) t ，q = ( c o s 属c o ss i n p , c o s e , 一s i n 倪) t 式( 2 一1 ) 改写为t - ( b , 一吩) 一吩= ，2 嵋，然后两端分别乘以各自的转置，可得 ( ，- - ( b i - a i ) 一哆) t ( r 一( 匆一口i ) 一鸭) = 蟹( 2 - 3 ) 展开后，得 或 式中 ( ，一( 包一口，) ) t ( ，一( 岛一口，) ) 一2 ( ，一( 岛口，) ) t 吩+ f i z 一譬= 0 4s i n e , + 忍c o s 只+ c ：= 0 4 = 2 ( ，一( 鸟- a i ) ) 1 巳 忍= - 2 ( ，一( 玩一口，) ) 1 ( qc o s f l , + e 2s i n f l i ) c ：= ( ，一( 砖一口，) ) 1 ( r 一( 包一口，) ) + 彳一譬 根据机构的装配模式，可得 岔：2 a r c t a n 二垒二型丝：二鱼：垒： c i b t 由上式解出g 后，即可确定出峨 嵋= ( ，一( 包- a i ) - l , u , )嵋5 l ，一【包j 2 3 2 速度逆解与奇异位形分析 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 式( 2 1 ) 关于时间f 求导，得 ，= ( 魄，吩) + 乞( 州i ，) ( i = 1 ，2 ，3 ) ( 2 7 ) 式中，v 为动平台的速度矢量；魄，= 谚q 为主动臂的角速度矢量，谚为支链j 中 主动臂的角速度；为从动臂的角速度矢量。 将上式两端同时点乘嵋t ，可得 一p = ( 哆x 嵋) = 谚b t ( 哆彬) 舡蠢高 ( 2 8 ) ( 2 9 ) r_1 b 谚 谊o 宝 s o 0 1 o 第二章d e l t a - s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 秒= 以，或秒= 1 以v = j r ( 2 1 1 ) 式中，痧= 馥幺幺 1 ，= d i a g 1 i ( u i w i ) 为间接雅可比矩阵， ，= f w lw 2 职1 1 为直接雅可比矩阵，为整体雅可比矩阵。 由式( 2 1 1 ) 可知：当嵋、嵋中的任意两个( 或三个均) 线性相关时，即出 现各从动臂中任意两个相互平行、三个都平行或三个共面时，有d e t ( ，) = 0 ，此 时机构出现不可控自由度；而当任一支链中出现嵋时，即任一支链中主动臂 和从动臂共线时，有d e t ( 以) = 0 ，此时机构沿某一方向刚化。显然，上述两类奇 异位形均与机构的尺度参数及动平台位姿有关。 2 3 3 加速度逆解 对式( 2 - 7 ) 关于时间f 求导，司得 a - - t , ( 吨，) + ，l 五k ( 吨f ) + 乞五，埘，f + 如埘( n k 嵋) ( 2 - 1 2 ) 式中，a 为动平台的加速度矢量；屯；= 谚q 为主动臂的角加速度矢量，谚为支链i 主动臂的角加速度；虬为从动臂的角加速度矢量。 将上式两端同时左乘w f ，可以得到 一4 - - t , g ( - , 嵋) 一( ，吩) 1 ( & o 彬) 一厶( 0 w ，嵋) 1 ( o ) w i x 刊i y i ) ( 2 1 3 ) 注意到 乞鸭w 埘= ，一谚( 屹吩) 及谚2 丢可禹，则有 秘j a + 丢m ) ( 2 - 1 4 ) 口=+ ，( ，) ( 2 1 4 ) 式中 痧= 瞳皖盯 厂( ，) = ( 石( ，) 五( ，) 兀( ，) ) t 胂一t 一专南卜描+ 南汁e ，为三阶单位矩阵 0l - 2 矿 t ，l j 鸭 2咿 桫 -l = 口 1，j 、l， 缈 鸭 ，f 哼 、l ， 2 缈 如 ，、 有 嵋 腻州 阵 坼 序万 t 脱一 一 写 q 式将 即 第二章d e l t a s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 2 4 逆刚体动力学分析 考虑到d e l t a s 机械手中各从动臂均采用轻质细杆，故可忽略其转动惯量， 将其质量按静力等效原则简化到杆的两端，并计入其对动平台总质量及主动臂等 效转动惯量的影响。 现计及关节驱动转矩、重力矩和惯性力( 矩) ，由虚功原理建立该机械手的逆 动力学模型 。 ( 一脚一埘g 巳) t 艿，+ ( f 一厶反一f b g ) 1 艿1 9 l = o ( 2 1 5 ) 式中，e 3 = ( 0 0 1 1 1 ； 以为动平台的加速度： m 为动平台的总质量，包括动平台、末端执行器与负载的质量，以及各从动臂等 效到动平台上的质量； j i b 为主动臂关于其转轴的等效转动惯量，包括电机转子、减速器、联轴器、主 动臂的转动惯量，以及从动臂等效质量的贡献，且 矗= l + i 1 2 + 寺眠，1 2 ( 2 1 6 ) j 二 其中，l 为电机转子、减速器及联轴器的等效转动惯量；饩是从动臂内、外杆 的总质量； m a 是主动臂的质量。 f = ( 砭码) 1 为主动关节转矩矩阵； f b g = 研b r a g ( c o s 0 1c o s 0 2c o s 0 3 ) 1 为主动臂关于其转轴的重力矩矢量，为 主动臂的质径积。 根据微分与变分的对应关系，由式( 2 11 ) 得 6 口= a r 6 r 将上式代入式( 2 1 5 ) ，可得系统的逆动力学方程 ，r f = 手g 口+ 詈厂( ，) + f g ( 2 1 7 ) 11 式中 g = r j t + ， m l , 2 r l = 二- 。 厶 f g = m g l l j _ 1 e 3 + 脚b 龟g ( c o s 鼠 c o s 0 2c o s 岛) t 由于 ，= t = 丢【嵋 嵋嵋嵋屹】t ，= 衅( ) ( 2 - 1 8 ) 1 2 第二章d e l t a s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 则 g = ，7 丢【w ：鸭岷m w ，xw 2 t 十石1 【嵋w ：吧r( 2 一1 9 ) 2 5 轨迹规划 轨迹规划是机器人控制的关键技术之一，也是进行机构弹性动力分析的重要 前提。前已述及，高速轻型并联机械手d e l t a - s 特别宜于实现对轻小物料的短距 抓放( p i c k - a n d - p l a c e ) 操作。对此类作业，机械手的轨迹规划涉及给定末端执行器 的位移与最大加速度，优化其运动轨迹，以使工作时间和机械振动趋于最小。 本节将针对典型抓放操作，规划末端执行器的期望运动，进而分析主动关节 的相关运动参数。如图2 3 所示，设机械手的工作空间为以z 轴为中心轴半径为 ，、高为h 的圆柱状空间，且固定坐标系原点到工作空间上表面的距离为日。 不失一般性，设d e l t a - s 机械手的工作平面为上述工作空间的轴截面，且与x 轴 夹角为，末端执行器的运动轨迹为如图2 - 4 所示的“门 字形。显然，该运动 轨迹可分解为e _ 已、已专b 及b p 4 三个直线段。为确保运动连续且机构动 力学性能优良，对于每一轨迹段，均设定末端执行器的运动规律为静止一加速一 减速一静止，即要求在各轨迹段的起点和终点处动平台的速度和加速度为零，且 位移函数关于时问的一、二阶导数连续，三阶导数有限。由凸轮设计理论可知， 存在若干满足上述要求的运动规律可资利用，如摆线、修正正弦、修正梯形，以 及3 4 5 次和4 567 次多项式等。在此选用3 4 5 次多项式作为末端执行器的运 图2 3 机械手的工作空间 第二章d e l t a 。s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 一一- _ _ _ - - _ - _ _ _ _ _ _ - - _ _ 一 平移 图2 _ 4 动平台运动轨迹 p 弦 下 降 p 4 j f ( o 0 a j ) t ( ，= 1 ) 口= ( 勺s a j $ i n 夕o ) t ( 歹= 2 ) ( 2 - 2 0 ) l ( oo ，t ( _ = 3 ) 口，=兰坠(60f一180f2+120r3)57 7 3 5 j ， _ = 垒盎( 3 0 f 2 6 0 r 3 + 3 0 r 4 ) (221)57 7 3 50 。 、 s j a j ，m | | t ，j z j ( 1 0 r 3 - 1 5 r 4 + 6 r 5 ) 式中：q 一为第段轨迹的峰值加速度， 运动时间。 f 2 毒( 。s ，乃) ，弓为第段轨迹的 因此，对于一组给定的吩( j = l - 3 ) ， 一乃=、|薯5773_堕5sj 3 完成整个抓放操作所需时间r = 乃 j = 1 2 6 算例仿真 ( 2 2 2 ) 设d e l 协s 机械手的几何、惯性参数分别如表2 - 1 、2 - 2 所示，给定抓放操作 的峰值加速度= 1 0 0 m s 2 。当p = o 及詈时，机械手各主动关节的输入变量线 图如图2 - 5 、2 - 6 所示。 第二章d e l t a - s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 表2 - 1 几何参数 ( 单位：m ) z i乞乞 rh办 o 3 5 00 8 0 0o 0 4 50 2 0 0o 4 0 00 6 9 00 1 5 0 表2 2 惯性参数 ( 蚝)m b ( k g )m ( k g )l ( k g 1 1 1 2 ) 1 5 9 90 2 6 41 5 0 31 7 2 1 0 , 4 - ；一三： 【，2j 弋 ki l ； 专扩：_ 辨b l 日f、 x雾 矿 j 6 锄 ；雾； 脚矿；鹄菇魄j j 睡 ： ： ；, a v 0 1 4 笺爹 、；7 1 ，k 0童 l 筏 j 7 ；一 1 2 时同t ( a ) 角位移 ( c ) 角加速度 ( b ) 角速度 图 = 时主动关节输入变量线图 1 5 ( d ) 驱动转矩 令量臻珊假 言善般颦霹鲜 矿茗喜蜒聊曩援 第二章d e l t a - s 机械手逆运动学及刚体动力学分析 。弋 i p 1 i 卜_ 2 、一+ 3 参 鼹 r k 葶 ； ；誊 警 谬b j 。氆。 翻【 ， ： _ 嗣r茎 ： 每警 、k ：， 对问t ( e ) ( a ) 角位移 2 7 小结 ( c ) 角加速度 ( b ) 角速度 图2 6 ：要时主动关节参数线图 o ( d ) 驱动转矩 本章利用矢量法建立了d e l t a s 机械手的逆运动学模型，并借助虚功原理建 立该机械手的逆刚体动力学模型。针对典型的抓放操作，经轨迹规划，计算了各 主动关节的位置、速度、加速度与驱动力矩。本章的研究工作为后续的弹性动力 学分析提供了必要的基础和铺垫。 - 1 6 cp 喜棒翠曩 冒hd埭嚣稃驿 第三章d e l t a s 机械手弹性动力学建模 3 1 引言 第三章d e l t a s 机械手弹性动力学建模 随着生产力水平的提高与科学技术的进步，现代机械正向着高速化、精密化 和轻型化的方向飞速发展，传统的将机构视为刚体系统的分析与设计方法已显得 愈加不适用。前己述及，d e l m - s 机械手是一种具有我国自主知识产权的高速轻 型并联机械手，特别适宜完成对散乱物料的短距抓放操作。为提高末端执行器的 定位精度并改善系统的动力学性能，必须对该机械手弹性动力学问题进行深入研 究，揭示在外力和刚体惯性力作用下d e l t a s 机械手的真实运动情况和受力状态 情况，并提出相应的动态优化设计方法。 本文第二章针对电子、轻工、食品及医药等领域所需的典型抓放操作，经末 端执行器轨迹规划、逆运动学分析与逆刚体动力学分析，求解了d e l t a - s 机械手 各运动臂的刚体运动、刚体惯性力与驱动转矩。在此基础上，本章将利用有限元 法和子结构综合法，建立d e l t a s 机械手的弹性动力学模型，为后续的固有特性 分析和动态响应的求解奠定基础。 3 2d e l t a s 机械手的有限元模型 为降低运动构件的惯性负载，d e l t a - s 机械手的主、从动臂均采用轻杆制成。 为此，在本章的有限元建模过程中，以圆形截面的空间梁单元描述各运动臂。在 系统广义坐标的选择上，以单元结点处的弹性变形为变量，即采用位移法求解系 统的弹性动力学方程。 d e l t a - s 机械手的有限元模型如图3 1 ( a ) 所示。其中，系统坐标系o x y z 的 建立方法与第二章相同。借助子结构综合的思想，将d e l t a s 机械手划分为主动 臂、从动臂外杆、从动臂内杆及动平台共计1 3 个子结构。其中，动平台可视为 刚体，具有6 个自由度。分别利用有限元法构造各弹性子结构的动力学模型，最 后引入变形协调条件并施加边界约束，得到机械手的弹性动力学模型。划分单元 时，考虑到既能反映系统的整体特性，又能保证一定的精度，将每个主动臂划分 为2 个单元，每个从动臂内、外杆均划分为3 个单元。如图3 - 1 ( b ) 所示，每个单 元结点具有3 个沿坐标轴的平动和3 个绕坐标轴的转动，共6 个广义坐标。由于 第三章d e l t a s 机械手弹性动力学建模 7 1 0 ( a ) 单支链模型 i l “3 甜6 厂、工 ( c ) z 方向弹性位移 ( b ) 节点广义坐标 d e l t a s 机械手的弹性动力学分析较为复杂，为简化其动力学模型，特作如下假 设： ( 1 ) 仅动平台视为刚体，其它构件均为弹性体，且铰链均为理想约束； ( 2 ) 各运动臂均被抽象成具有分布质量的空问梁，且满足小变形假设；将主动 臂作为悬臂梁处理。杆件上的一些附件按集中质量处理； ( 3 ) 忽略刚体运动和弹性变形运动的耦合项，将机械手的真实运动视为刚体运 动和弹性变形运动的线性迭加； ( 4 ) 梁单元的横、纵向位移模式被分别假定为按三次多项式和线性规律分布； ( 5 ) 采用瞬时结构假设，将机械手的一系列离散位形视为一系列的瞬时结构， 坐标变换时旋转矩阵视为定常矩阵。 3 3 弹性子结构运动方程 3 3 1 单元位移模式 第三章d e l t a 。s 机械手弹性动力学建模 y j ) 参 封2“i l 、 飞 i曰u t 7 r 、么i 纱i ) “。v 、kj “1 0 坞。 z 图3 2 如图3 2 所示，一长度为，的空间梁单元，其结点为么和b 。以彳为原点， 以a b 方向为i 轴，建立单元坐标系a i 万。在单元坐标系下，单元结点的广 义坐标矢量为口，其元素分别表示单元两结点处的弹性位移与弹性转角，即 以= ( “l u 2 u 3 甜4 “5“6 甜71 4 8甜9o1“1 2 ) 1 。单元内任意一点处的 弹性变形量均可通过型函数和广义坐标联系起来【3 1 。不失一般性，设梁单元的横 向位移y 、形均可用三次埃米尔特插值表示，轴向位移【厂、扭转变形良均可选用 线性插值表示，则 式中 u ( i ，f ) = q i + a o y ( i ，f ) = 岛i 3 + 如i 2 + 包勇+ ：! 三，2 。三呈+ 乞z 2 + q z + 铴( 3 - 1 ) d 包( 孑，) = 吐i + o 够( 虿，) = - 3 c 3 z 2 - - 2 c 2 z - - c 1 幺( i ，f ) = 3 b 3 贾 2 + 2 6 2 i + 6 l 利用单元结点4 、b 处的边界条件， ( 口oq ) t = 4 ( “