（计算数学专业论文）一类半线性椭圆方程在球外部区域及全空间上解的存在性.pdf

一类半线性椭圆方程在球外部区域及全空间上解 的存在性 计算数学专业 研究生潘志刚指导教师蒲志林( 博士教授) 论文摘要：本文研究了一类带有奇异性的半线性椭圆边值问题 fd i v ( j x l # v u ) + l z l o f ( u ) = 0 ， z q ， a 让+ p o u ：0 ， z a q ，( o 1 ) l 【u ( o o ) = l i r a ；z l o c 札( z ) = 0 在球外部区域上，当q p 一2 且非线性项f ( u ) 关于牡超线性或次线性增长 时，获得了该问题正径向解的存在性：当一2 q p 0 且i ( u ) = u 8 ( 1 + 就b 一口) 时，该方程在全空间r n 上存在正解且满足渐近性i ( u ) ：【0 70 0 ) 一f 0 ，) 且满足 以下条件： ( h 1 ) ( 超线性情形) 如= l i r a 。o 掣= 0 ：氏= l i r a 。一掣= 0 0 ， ( 日2 ) ( 次线性情形) 南= l i m 札一。掣= 。c l ，氏= l i m 。一。掣= 0 利用锥拉伸与锥压缩不动点定理及先验估计完成了以上问题解的探讨 关键词：椭恻边值问题：球外部区域；正径向解；全空间；正解渐近性 第i 页，共2 4 页 e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o ras e m i - l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o ni ne x t e r i o rd o m a i n s o fb a l la n dr 礼 c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：p a nz h i g a n g s u p e r v i s o r ：p uz h i l i n a b s t r a c t ：t h i sp a p e rs t u d i e sac l a s s o fs i n g u l a rq u a l i t ya n ds e m i l i n e a r 兰兰兰型二二二：三二z ： ( 0 - 2 ) i ne x t e r i o rd o m a i n so fb a l l t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v et a d i a ls 0 1 u t i o ni so b t a i n e d u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tq 一口 - 2 a n dt h eu n l i n e a ri t e r nf ( u ) i se i t h e rs u o p e r l i n e a ro rs u b l i n e a r t h ee q u a t i o ne x i s t sp o s i t i v es o l u t i o nw h i c hs a t i s f i e s t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t y ，w h e r e - 2 q p 0a n d ，( 孔) = u 8 ( 1 + 让卜口) i n 冗”f ( u ) ：f 0 o 。) _ f 0 o c ) a n ds a t i s f i e sf o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( h 1 ) ( s u p e r l i n e a r ) f 0 = l i m 。一。每 = 0 ， = l i m 。号 = o 。， ( h 2 ) ( s u b l i n e a r ) f 0 = l i m 乱一。号竽= 。c 厶= l i r a “。鼍= 0 盼色f i n i s h e dt h ed i s c u s s i o na b o u ts o l u t i o n so ft h ea b o v ep r o b l e mb yt h et e n - s i o na n dc o m p r e s s i o nt h e o r e mo fc o n ea n dp r i o r ie s t i m a t et h e o r y k e vw o r d s ： e l l i p t i cb o u n d a r y v a l u e dp r o b l e m ：e x t e r i o rd o m a i no f b a l l ：p o s i t i v er a d i a ts o l u t i o n ；形；a s y m p t o t i cp r o p e r t yo fp o s i t i v es o l u t i o n k 咒c k 礼r n c n c m q a q 虿 i n f s u p f ：a _ b r ( y ) y ( s ) c ( q ) = 伊( q ) c ( q ) 曙( q ) l k ( q ) 驴( q ) 1 p q + 2 , n 为q 上外单位法向量，( 让) ： 0 ，。o ) 一 0 ，。) 连续，满足以下条件之一： ( 1 ) ( 超线性情形) ，0 = l i m 。一。掣= 0 ，厶= 2 i 一掣= ， ( 日2 ) ( 次线性情形) 而= l i m 乱一。掣= 。g ，氏= l i m 乱一掣= 0 ， 接下来再令 7 = q 一矽- 厂( 乱) = u a ( 1 + u b - a ) ，( a ，p 0 ，a 一卢 - 2 ) 现在考察o l ，p 0 ，但当- 2 1 ) ( 1 5 ) 、l 上- o ， ll i r a 。一。u ( z ) = 0 ，l i r a 2 一。仳( z ) = 。 其中( u ) 是满足以下条件的函数： ( h 1 ) ，( 让) 在 g f u 司 o ，。 是满足局部l i p s c h i t z 条件； ( 日2 ) 存在m ，m 0 ，使得m 札9 ，( 乱) m u q ，乱1 0 ，s o 】 ( 日3 ) 对任意札 瓦存在瓦 0 ，使得f ( u ) o ； ( 日4 ) 对任意正在区间 o ，卅上，p n f ( u ) - ( n - p ) u f ( u ) 0 7f ( u ) = 片f ( s ) d s 得到了以下结论： 定理1 0 1 假设( h 1 ) - ( h 2 ) 成立，那么方程( 1 5 ) 有无穷多奇径向正解仳( r ) 满足 p j vp g r 长了u ( r ) c 2 r 再南，r r 0 c 1 ，q 0 ( 1 - 6 ) 而文献( 9 】) 研究了如下方程的边值问题： udiv：(1。x，l口v)+izl。，(u)=。zxealq2，, c 1 7 ， 第3 页共2 _ l 页毕业论文 第一章引言与主要结果 其中q = z r ”| i i z l f 兄) ，c乱，=：口一。“，：三兰 巨- a u ：f ( u ) z 三、m 8 ， 第4 页共2 4 页 毕业论文 第一章引言与主要结果 上的具体情况当o i ，0 ，q p - 2 ，( u ) ： 0 ，。) 一【0 ，。c ) 连续，且 f ( u ) 超线性增长或次线性增长时，利用锥拉伸与锥压缩不动点定理得出方 程( 1 一i ) 在球外部区域上至少有一个正径向解最后利用先验估计推出当 一2 0 ，使得对于区问 a 6 】中任何两点x ，x 【a ：6 】，当 i z x i 6 时，对a 中每个函数，都成立着 i f ( x ) 一f ( z 。) i ( 2 - 2 ) 第6 页共2 4 页 第二章预备知识 ( 即6 依赖a 中个别的，) ，那么称a 是等度连续的函数族 命题2 1 2 1 8 a r z e l a - a s c o l i 】c a ，b 】中有界的等度连续函数族必足致密集 定义2 1 5f 1 8 设r 足赋范线性空间x 映照到赋范线性空间y 中的算 子，如果它把x 中任何有界集映照成致密集，称t 是全连续算子( 也称做致 密算子或紧算子) 命题2 1 3 【1 9 】 锥拉伸与锥压缩不动点定理 设x 为b a n a c h 空问pc x 为闭凸锥q 1 ，q 2 e n 为有界区域，0 q 1 ，两cq 2 ，t ：p n ( 面q 1 ) 为全 连续映射，满足下列条件之一： ( i ) l l t x l l i i z m 比p f la q l ；i i t x l i i i x l l ，比pn0 f 2 2 ； ( i i ) l l z x l i i t z l l ，比p no q l ；i i t x l l l j z i i ，比p n 勰2 则t 在尸n ( 两q 1 ) 中必具有不动点 2 2 方程径同化 首先将方程d i v ( i x l 目v 札) + h q f ( u ) = o ( 1 1 ) 转换至径向形式： 记i t = u ( 7 ) ，则 h 口，( u ) = r q ，( u ) 三赛，r = 万马_ _ _ 孺，让”= 貉老= 孚从而 v 吲差，0 砌z n ) = ( x l , ，釉( 2 - 3 ) 而 酬) = 丢( 叩纠u ，) + + 去1 仳) ( 2 - 4 ) 去( ”肛1 扎，) - ( p _ 1 ) ，3 删1 u 7 以“7 ( e - 5 ) 第7 页共2 4 页 毕业论文 第二章预备知识 故 瓦0 ( x i r b - l u ) = ( i z l a v u ) = ( p 1 ) 产l u + n 产1 牡+ ( 2 - 6 ) 进而 d i v ( i x l p v u ) + i z l 口f ( u ) = 0 ，( 卢一1 ) r t - l u + 佗r p 一1 u + r p u ”( 2 7 ) 即：出u ( h 卢v 札) + h 口f ( u ) = o ( a - 1 ) 的径向化方程为 乱”+ 掣札7 + r a - t f ( ) ：o ( 2 - s ) u 乱十一札 = u 经过上述推导知：椭圆边值问题( 1 1 ) 径向解u ( r ) 为区间 r ，。】上常微分 方程边值问题 f 川旷半) = r a - 口m ( r ) ) q 缸( 冗) 一p u ( 兄) = 0 ( 2 - 9 ) i iu ( c c ) = o r r ，o 。) ，n 3 的解接下来作变量代换：t = ( 譬) 竹+ 卢，不妨令u ( ) ：u ( r ( ) ) ，其中7 - ( ) 是 上式的反函数，显然方程( 2 - 3 ) 化为 o ，1 上的常微分方程两点边值问题 l 一口”( ) = u ( ) ，( u ( f ) ) ，t ( o ，1 a v ( 1 ) + p l u 7 ( 1 ) = 0 ( 2 1 0 ) 【印) ：。 其中，u ( t ) = 高蔷羚r n 一卢( ) = 两r 两2 n + a 丽+ t 9 - 2 ( t ) ，t ( o ，1 m = ( 礼+ 厣一2 ) 邢那么，当v ( t ) c o ，1 nc 2 ( o ，1 】为方程( 2 4 ) 的解，从而 也是椭圆边值问题( 1 1 ) 的径向解于是，问题转化为研究方程( 2 4 ) 正 解的存在性 第8 页共2 4 页毕业论文 的g r e e n 函数 1 6 ，那么 其中6 = 赤 第二章预备知识 为线性边值问题 ( 2 一1 1 ) ( 1 ) c ( t ，8 ) o ；v t ，s 【0 ，1 ； ( 2 ) g ( t ，8 ) v ( 8 ，s ) ；v t ，8 【0 ，1 】； ( 3 ) g o ( 0 ， ) ，c ( t ，8 ) e g ( s ，s ) ，t 【0 ，1 一刎，8 0 ，1 1 命题2 2 1f 2 0 】设九( ) c ( o ，l 】，满足f 3s l h ( s ) l d s 。 故v ( t ) 是方程2 1 1 的正解 i 2 3 构造全连续算子 令c 0 ，1 】为b a n a c h 空间，作其中的非负函数锥p o = v ( t ) 第9 页，共2 4 页毕业论文 i i q 九 l j 历 0 h = q 崎泖州 “r，fj、，印 设数函 neerg 造构 一 一质 5 圭 g 9 限 0 0 旷 、，、， 嘲蚴隋 叫 一 具 1 l，：=、 如q 婚 ，j、一，v=， “ 粥 卜 然 显 g q 协。 第二章预备知识 c o ，1 l v ( t ) 0 ，t 0 ，1 】) 上的映射： 丁：( 丁钞) ( ) = lg ( t ，s ) u ( s ) ，( 秽( s ) ) d s ? 。，1 】( 2 1 3 ) 由于 z 1s u ( s ) d s = i f ：可r o - a + l 咖 o 。( 2 - 1 4 ) 由命题( 2 0 4 ) 知，t ：p o _ 岛且v ( t ) 为方程( 2 4 ) 的正解的充要条件是：口 为t 的非零不动点 命题2 3 1t ：p o _ p o 为全连续映射 证明令7 ( u ) = m ，( 妒) l o 妒仳) ，对v p 0 ，由( 2 6 ) 式及a ( t ，s ) 性质( 1 ) 及( 2 ) 有 ( t v ) ( ) = lg ( ，s ) u ( s ) ，( u ( s ) ) d s ，i l a ( s ，s ) w ( s ) f ( v ( s ) ) d s j o 一 ，1 1 y ( 1 l v l l ) s w ( s ) d s 7 川秒1 1 ) 再b r o - 口+ 1 d r o 。 ( 2 1 5 ) 由2 1 5 式与l e b e s g u e 控制收敛定理可得，t ：p o _ r 连续，且将r 中有 界集映成有界集 另一方面，不妨令h ( s ) = u ( ) ，( 口( ) ) ，由命题2 2 1 知：t v c o ：1 】f 3 俨( o ，1 】为方程2 一1 7 的解，由2 1 2 式有， ( 丁f ) ( ) = 一5 s h ( s ) d s + ( 1 5 s ) h ( s ) d s o jtrlr l ( 2 1 6 )- 上v ， = 一6 os ( s ) 如+ ( s ) 如，2 ( o ，1 j 第1 0 页，共2 4 页毕业论文 第二章预备知识 从而有 l ( 丁口) 7 ( f i = 6 j 0 0 1s h ( s ) d s + 1 ( s ) d s ( 1 1 t ，i i ) f 0 1 副( s ) d s + 了( 1 l u in ) f 1 ( s ) d s ( 2 1 7 ) 圭妒( t ) ，t ( 071 妒( ) c ( o ，l 】，且 z 1 妒( ) 出= 巧7 ( 1 1 可z 1s u ( s ) d s + 7 ( i j 口m 上1 1 u ( s ) d s d = ( 1 + 6 ) 7 ( i l 口1 1 ) s w ( s ) d s 山1r ( 2 1 8 ) - ( 1 删孙m 赤上广斛协 从而，对v t l ，t 2 ( 0 ，1 】，t 1 t 2 ，由2 1 7 式我们有 i ( t v ) t 2 一( t v ) q l i ( t u ) ( s ) d s j r l ，t 2 ( 2 1 9 ) b ( s ) d s 再由积分的绝对连续性知，映射t 把岛中的有界集映成c o ，1 中的等度 连续集，最后由a r z e i a a s c o l i 定理有，t ：p o r 为全连续映射 第儿页，共2 4 页 毕业论文 3 1 构造子锥 第三章主要定理的证明 对映射t ：p o _ r 应用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理： 为了对2 1 3 式定义的映射丁应用上述不动点定理，首先在c o ，1 1 中取 岛的子锥p ： 1 p = u ( t ) l u ( t ) p o m i n u ( t ) ( 去一e ) l c ) ( 3 - i ) 其中豆1 一e t ；+ e ，0 s = 砸肴丽 命题3 1 1t ( p ) cp ，且t ：p p 为全连续映射 证明对v v 尸，由2 1 3 式及a ( t ，s ) 性质( 2 ) ，有 l i t v l i g ( ，s ) w ( s ) f ( v ( s ) ) d s ( 3 - 2 ) 当t ( 一，j 1 + e 时，按c ( t ，s ) 的性质( 3 ) ，有 ( t v ) ( t ) = g ( ，s ) a j ( s ) f ( v ( s ) ) d s ( j 1 f 0 1g ( s ，s ) ) m ( s ) ) d s 洚： ( 妄一) l l a v l l 即：丁口尸故：丁( p ) cp ，由命题( 2 0 5 ) 知t ：p _ p 为全连续映射 ( h 1 ) ( 超线性情形) 矗= z m 让。o 掣= 0 ，氏= l i r a u 掣= 。， ( 日2 ) ( 次线性情形) 如= l i r a 札。o 掣= ，允= l i m t t * 0 0 ：掣= 0 ， 3 2 主要定理的证明 定理3 2 1 假设f ( u ) ： 0 ，。o ) 一【0 ，) 连续且满足h ( 1 ) 或 h ( 2 ) ，那么方程1 1 至少存在一个正径向解让( r ) 第1 2 页，共2 4 页 第三章主要定理的证明 证明按上述讨论，只需证明由( 2 7 ) 式定义的映射t ：p p 存在 非平凡的不动点即可 不妨取0 r l 7 2 o j 风 o ，使得当岛时，( u ) 日( u ) 取 第1 3 页，共2 4 页毕业论文 第三章主要定理的证明 r 2 m a x r 17 风；一) ，则对v v 尸na q 2 ，当s ；一e ，互1 + 】时，按尸 的定义，u ( s ) ( j 1 一) l l v l l r o 所以，有，( ( s ) ) 日( 口( s ) ) 日( 一e ) f l v l l i i t v f l = ( 丁u ) ( 丢) = l 1a ( 三，s ) u ( s ) ，( ( s ) ) d s 序c 净c o ( s ) f 圳如件8 ， ( 知驯 庄g ( ( s ) d s = i i v l l 因此有 i i t v l i 之l i v l l ，移p n a q 2 ( 3 9 ) 由3 7 ，3 8 式知，t 满足命题( 3 0 6 ) 之条件( i ) ，因此，t 在pn ( 蕊q 1 ) 中存 在不动点咖( ) v o ( t ) 为方程2 1 0 的正解，) 叭i l i i 如( ( 譬) n + 厣一2 ) 为一类椭圆边 值问题l 一1 的正径向解 ( 2 ) 接着再证明厂( 札) 满足条件h ( 2 ) 的情形：因为f o = 。，可与3 7 式类似 证明，当r 1 充分小时，有： i i t 2 i i l i v l l ，移pn0 2 1 ( 3 - 1 0 ) 下面再证当r 2 充分大时，有： l i t v l i i i v l l ，v p n a q 2 ( 3 - 1 1 ) 因为九= 0 ，按氏的定义，对e = 庐赫 0 ，j j r l 0 ，使得当u r 1 时，有，( 缸) e 饥取r 2 r 1 充分大时，使m a z f ( u ) l o 札冗1 ) 口 爱，礼 2 时，方程存在唯一正对称 解近年来一些学者又对方程 札= 一k ( 引) 乱口( 孓1 6 ) 做了一系列研究工作，其中l i 2 2 得出的结论足：当a 1 ，竹3 ，k 0 成立时，此方程在舻上存在正解而且该正解满足渐近性，杨【2 4 运用上、 下解方法和位势估计研究了具有次线性项超线性项半线性椭圆方程有界正 解的渐近性 第1 5 页，共2 4 页毕业论文 第三章主要定理的证明 由前面的讨论得出方程1 1 在满足某一个条件时于球外部区域上，至少 存在一个正径向解现在在全空间舻上来探讨其解的存在性 考虑方程1 1 ： d i v ( i x l 口v u ) + 。，( u ) = 0 ，x r n ，n 3 ( 3 - 1 7 ) 易改写成径向形式： 令 一a u = 严一口，( 让) 一y = q p ，f ( u ) = “n ( 1 + u b - d ) ，( q ，p 0 ，q p 一2 ) 现在考察q ，p 0 ，但当一2 q p 3 ，一2 ，y 0 ，1 a 0 ，使得对于r r ，都有 u 。( r ) 0 3 2 l 式两边从兄到r 积分，得 ，r ( r n - 1 “( r ) ) = r 凡- 1 t 正7 ( r ) 一扩- 1 ( 矿牡8 + 一2 札6 ) 出 第1 6 页共2 4 页毕业论文 因此 广v ( r ) q ( t u a q - t - 2 1 t b 渺 v 疵 因为r _ ( g c a 时，u ( r ) 是递减的，所以 广1 缸7 ( 邮卅( r ) r 妒出一以州而r n + r 一而t t n + r ) 即 盟：里一竹一一r n + 。r= 一r 一一一钆。( 7 ) 竹+ 7 佗+ 7 。 再对3 2 3 式从r 到7 积分，得 鬻扣鬈产篙办 整理，得 即得证 “( r ) 西鲁， r _ 。 e r ，( t - i 7 + 2 ) ( 3 - 2 2 ) ( 3 - 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 - 2 5 ) 一 命题3 3 2 设u ( r ) 足方程3 - 2 0 的一个正解，令s = l n r ，u ( s ) = r t u ( r ) ， 那么u 满足 。+ ( n 一2 2 t ) w 一t ( 佗一2 一z ) u + u 。+ e t s ( 1 6 ) u 6 = 0 ( 3 2 6 ) 证明由s = i n r ，u ( s ) = r 。札( r ) ，知：u ( r ) = 警= 警，钆7 ( r ) = u ( s ) e 一8 r u ( s ) e 一& ，u ”( r ) = u ”( s ) e 一吼一2 t w 7 ( s ) e 一如一( s ) 2 e 一毹将之代 入3 2 0 式，得 u ”( s ) + ( n 一2 2 t ) w 7 ( s ) 一t ( n 一2 一) u + u d + e 拈一幻b u 6 ：0 即得证 第1 7 页共2 4 页 毕业论文 第三章主要定理的证明 定理3 3 1 假设u ( r ) 足方程3 2 f l 的一个正解，t = 等且口警，那么 l i r a ，一，u ( r ) = m = t ( n 一2 一) 两1 证明设u ( s ) = r t 让( r ) ，s = l n r ，由命题3 3 2 得 ( 3 2 7 ) u ”( s ) + ( r t 一2 2 f ) u 7 ( s ) 一t ( 礼一2 一t ) w ( s ) + u n ( s ) + e 。( 1 - b ) 8 u 6 ( ) = 0 ( 3 - 2 8 ) 假设0 a = l i r a 一i n f w ( s ) l i m r s u p u ( s ) = 弘 o 。那么，必存 在两个序列 见 ， 邑) ，当i _ 。时，分别另它们为u ( s ) 的局部极大、极 小序列，不妨设0 i 已 3 ，t = 碧，可 ( s ) ) 2 d s o 。 ( 3 3 1 ) 从而，由3 2 9 ，3 3 1 可得，e = l i r a 。e ( s ) 存在，那么u ( s ) 有界则由 3 3 2 知：u ”( s ) 有界 不妨令 m ( u ) 2冉击口 ( 3 3 2 ) 因为l i r a o 。e ( = m ( t a ) = m ( 2 ) = l i r a 。e ( 锄从而可令t l 0 成立，使得 第1 8 页共2 4 页 毕业论文 第三章主要定理的证明 当s 一6 ，唧+ 司时，有i u ( 勺) i ； 显然这与层( s ) ) 2 d s 0 ，总存在一个子列收敛，由于e ( 鼢有 界，使得l 。( s i ) i c o ，( i = 1 ，2 ，3 ，) 故l i r a 一e ( 8 ) 存在由3 2 9 式得：l i r a p 7 ( s ) = 0 ，所以由式3 2 8 知：l i m 。一o o u ”( s ) 存在，且 l i r a 。u ”( s ) = 0 最终有：u 。= m 即： 州鲥一半= 警，( m 都( n - t - 2 槲1 = 等) ( s 3 ： 这表明，方程3 ，1 9 在形上正解的极限存在，即此正解满足渐近性 第1 9 页共2 4 页毕业论文 参考文献 1 】王术s o b o l e v 空间与偏微分方程引论 m 】北京：大科学出版社，2 0 0 8 2 z h i g a n gp a n ，z h i l i np u ，w e ic h e n p o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n st oa l le l l i p t i c b o u n d a r yv a l u e dp r o b l e mi ne x t e r i o rd o m a i n so fb a l l j a c t aa n a l y s i s f u n c t i o n a l i sa p p l i c a t a ：2 0 0 9 ( 0 8 ) 收录 3 】u s a m ih o nas i n g u l a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi na b a l l n o n - l i n e a ra n a lt h e o r ym a t ha p p l ，1 9 8 9 ，1 3 ：1 1 6 3 1 1 7 0 【4 许兴业关于球内奇异非线性椭圆边值问题的正解 j 】j o u r n a lo f m a t h ( p r c ) ，1 9 9 9 71 9 ：8 5 9 2 【5 】谈骏渝半线性椭圆方程在环域中径向正解的存在性与唯一性 j 重庆 大学学报，1 9 9 9 ，2 2 ：5 7 6 1 【6 】郝晓燕，程建纲环形域上d i r i c h l e t 问题正径向解的唯一性 j 山东烟 台大学学报，2 0 0 9 ，2 2 ( 2 ) 7 王宗信环形域上半线性椭圆型方程径向正解的多重性 j p u r ea n d a p p l i e dm a t h e m a t i c ，1 9 9 7 ，1 3 ：1 1 7 - 1 2 0 【8 叶常青一类非线性椭圆型方程的奇异边值问题 j j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha n de x p o s i t i o n ，1 9 9 9 ，1 9 ( z 1 ) 【9 i v a nv e n t u r a r a d i a ls o l u t i o n s t oa ne l l i p t i cb o u n d a r yv a l u e dp r o b - l e m j h a r v e ym u d dc o l l e g e ：2 0 0 7 ( 0 5 ) 1 0 姚庆六一类非线性d i r i c h l e t 边值问题的正径向解 j 数学物理学 报2 0 0 9 2 9 ( a ) ：4 8 5 6 【1 1 】熊骏一类二阶半线性椭圆方程边值问题j 下解的熄灭现象【j 】长江大学 第2 0 页共2 4 页 参考文献 学报2 0 0 9 ：0 6 ( 1 ) f 1 2 1 许兴业在无界区域上拟线性散度型椭网型方程的d i r i c h l e t 问题 j j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a ls t u d y j 2 0 0 1 ，3 4 ( 4 ) 【1 3 谈骏渝二阶半线性椭圆方程的径向解【j a c t am a t h e m a t i c a la p p l i e d s i n i c a ，1 9 9 67 1 9 ( 1 ) 14 】j i ez h o u ，z u o d o n gy a n g ? j i a n q i n gz h a o e x i s t e n c eo fs i n g u l a rp o s i t i v e 阶 l u t i o n s a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 7 ，1 9 0 ：4 2 3 - 4 3 1 【15 钟金标一类半线性椭圆型方程正径向解的存在性【j j o u r n a lo fa n q i n g t e a c h e r sc o l l e g e ，2 0 0 4 ，l o ( 1 ) 1 6 张鸿庆泛函分析 m 】大连：大连理工大学出版社，2 0 0 7 1 7 】程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石实变函数与泛函分析基 础 m 】北京：高等教育出版社，2 0 0 3 【1 8 夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌实变函数论与泛函分析 m 北京： 高等教育出版社，1 9 8 5 【19 郭大钧非线性泛函分析【m 】济南：山东科技技术出版社，1 9 8 5 2 0 r c o u r a n t d h i l b e r t m e t h o d so fm a t h e m a t i c a lp h y