（计算数学专业论文）基于双结构元的数学形态学边缘检测方法.pdf

西北工业大学硕士论文 摘要 数字图像处理是指将一幅图像变为另一幅经过修改( 改进) 的图像。在实 际的数字图像处理中，图像的边缘图包含了图像的位置、轮廓等的特征，是图 像的基本特征之一，常常被用来进行进一步的较高层次的特征描述、图像分割、 图像增强、图像复原、模式识别、图像压缩等等的图像分析和处理中，以便对 图像进行进一步的理解和分析。因此，众多学者一直致力于图像边缘检测方法 的研究，并提出了许多行之有效的边缘检测方法。 图像的边缘是指图像中相邻象素点之间的灰度有较显著的变化，这种变化 可以用数学上的梯度来刻划其分布。在本文中，我们比较详细的研究了几种传 统的和新兴的基于微分的边缘检测方法，并且客观的分析了它们的优点和缺点 列出了实验结果。 本论文的主要目的是使用形态学的思想进行图像的边缘检测。故而在文章 中我们详细的介绍了数学形态学的起源、发展，并从二值形态学出发到灰度形 态学着重研究了数学形态学的膨胀、腐蚀、开运算、闭运算等各种运算和性质。 在文章中，我们将边缘的定义拓展成形态学意义下的边缘并给出噪声定义。受 形态运算性质中有限递增性和半连续性的启发，我们提出在一次形态处理中使 用双结构元的一系列一般性形态边缘检测算子和抗噪型形态边缘检测算子，从 理论上证明了它们的可行性并给出这些算子的性质。这些新算子在使用同一对 结构元处理中既具有定位能力又具有细节保留功能；抗噪型算子能很好的过滤 噪声检测出图像的边缘。实验证明：这些算予检测出来的边缘基本是连续的单 象素宽的。同时，抗噪型算子检测含噪图像边缘的效果明显比传统的边缘检测 算子检测的效果好得多。 关键词：图像处理、边缘检测、膨胀、腐蚀、开运算、闭运算、数学形态学 形态学边缘检测算子、双结构元 - - l - - 西北工业大学硕士论文 a b s t r a e t t h ee d g ew h i c hi sw i d e l yu s e di ni m a g ep r o c e s s i n gs u c ha sf e a t u r ed e s c r i p t i o n ， i m a g es e g m e n t a t i o n ，i m a g ee n h a n c e m e n t ，i m a g ec o m p r e s s i o n a n d p a t t e mr e c o g n i t i o n e t c i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf u n d a m e n t a lf e a t u r eo fa l li m a g e i ti sn o ts om u c h t h a tw e a r g u et h ei m p o r t a n c eo f t h ee d g eo f i m a g e t h e r e i sa p l e t h o r ao f p a p e r si nt h e s u b j e c ta n d a r es om a n ys c i e n t i s t sw h ow o r ko nt h i sp r o b l e ma n dd e r i v eal o to f e d g e d e t e c t i o nf i l t e r sa n da l g o r i t h m st h a ta r ev a r i o u sd e g r e e so fs u c c e s so fd i f f e r e n ti m a g e c o n j o i n tp i x e l s ，w h i c hg r a y l e v e lc h a n g eg r e a t l ya r ec o n s i d e r e di m a g ee d g e i n m a t h e m a t i c s ，t h i sd i s t r i b u t i n gc h a n g ei so f t e nd e p i c t e db yg r a d i e n t i nt h i sp a p e r ，w e r e s e a r c hs e v e r a lt r a d i t i o n a la n dn e wt y p e a l g o r i t h m s ，s o m e o fw h i c hb a s eo n d i f f e r e n t i a l ，a n da n a l y z et h e i rm e r i ta n dd i s a d v a n t a g e d e t e c t i n gi m a g ee d g eb ym a t h e m a t i c sm o r p h o l o g yi s t h em a i ng o a lo ft h i s p a p e r s ow ei n t r o d u c eo r i g i no f m a t h e m a t i c sm o r p h o l o g yf r o mb i n a r ym o r p h o l o g y t o g r a ym o r p h o l o g ya n de x t e n s i v e l ys t u d y i t sd i f f e r e n t o p e r a t o r sa n dq u a l i t y w e h a p p e n t of i n dt h a ts o m em a t h e m a t i c sm o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r sh a v e a b i l i t y o f r e s i s t i n gn o i s e ，a t t h es a m et i m e ，a l l i m a g e sh a v e c e r t a i nn o i s ew h i c hi n f l u e n c e d e t e c t i n gr e s u l te x c e p ti d e a li m a g e ，s oo u r r e s e a r c hh a sp r a c t i c a lv a l u e i nt h ep a p e qw ee x t e n dt h ed e f i n i t i o no ft r a d i t i o n a li m a g ee d g et om o r p h o l o g y e d g e ，d e r i v eas e r i e s o fn e wm o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r sw h i c ha r e e n l i g h t e n e db y s e m i i n c r e a s i n ga n ds e m i c o n t i n u a t i o na n df i r s tt i m eb r i n gf o r w a r dd o u b l e s t r u c t u r e e l e m e n tu s e di n m o r p h o l o g i c a lp r o c e s s i n ga t o n et i m e t h e s en e wm o r p h o l o g i c a l o p e r a t o r sc a n r e s i s tn o i s ea n dh a v eg o o dm e r i t ，w h i c hn o to n l yh a v eg o o dl o c a t i o nb u t a l s ok e e pi m a g e d e t a i l e x p e r i m e n tp r o v e st h a tt h e s eo p e r a t o r sc a nw e l ld e t e c ti m a g e e d g e k e yw o r d s ：e d g e d e t e c t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n g ，m a t h e m a t i c s m o r p h o l o g y ， m o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r , d o u b l e s t r u c t u r ee l e m e n t 西北工业大学硕士论文 第一章序言 1 1 边缘检测在图像处理中的意义 数字图像处理技术起源于2 0 世纪2 0 年代，当时通过海底电缆从英国伦敦 到美国纽约传输了一幅照片，它采用了数字压缩的技术。1 9 6 4 年美国的喷气推 进实验室处理了太空船“徘徊者七号”发回的月球照片，这标志着的三代计算 机间世后数字图像处理的概念开始得到了应用。同许多交叉学科一样，图像处 理涉及了光学、电子学、数学、摄影技术、计算机技术等等的学科，广泛的应 用于商业、工业、医学、军事、遥感等等中。当今，数字图像处理随着计算机 科学的发展形成了诸如：图像分割、图像增强、图像复原、模式识别、图像压 缩、图像传输等等的众多的分支，在人们的生活中起着日益重要的作用。 在数字图像处理以及物体识别、计算机视觉、人工智能、生物医学、遥感 器视觉、气象预测等等诸多领域的图像预处理中，特征提取有着举足轻重的作 用。图像边缘检测涉及图像中研究对象的特征提取，即怎样识别图像中物体的 轮廓，它已经成为众多学者研究的重点和热点。其间的众多结果已经得的到了 广泛的应用。在如此繁多的方法中，边缘图法已经成为了主流的方法。边缘图 法主要实现物体的边缘检测，即测定各象素点和其直接邻接象素点的状态以确 定该点是否在边缘上。判定为边缘的点作标记，当各点的灰度用来反映各符合 边缘象素点的要求时，这些点构成的图像称为边缘图。但是随着计算机硬件技 术的发展，显示器的分辨率越来越高，必然引起边缘灰度变化带的减小，从而 使得传统方法在边缘检测上出现了一定的困难，图像边缘检测成了现在图像处 理领域的难点。故而数字图像的边缘检测问题远远没有完善的解决，所以我们 的研究具有重要的实际应用价值。 从广义上讲，边缘检测指在一幅有一个或多个物体的场景图中寻找其涉及 的三维边界如物体边界，阴影边界，表面突变点等等。通常我们通过某图像确 定点的灰度值，色度等来分辨物体的边界。狭义上讲，边缘检测处理广义下的 一类问题，也有许多学者定义边缘检测是寻找并定位不连续的灰度值的过程。 无论怎样定义其技术大概分为二阶段：特征提取和边界确定。首要而基础的是 找出图像的基本特征，而图像的边缘正是图像的所有的重要特征之一。边缘点、 西北工业大学硕士论文 角点、纹理特征等等组成了图像的基本图元。而不同尺度下的边缘点也称之为 图像信号的奇异点或突变点存在于图像的不规则或不平稳结构中，包含了图像 的全部信息，构成了图像的边缘图。但是由于机器或技术等等的原因，图像总 存在和边缘点频率相近的噪声，使得提取图像的边缘总存在伪检测和漏检测以 及检测出来的边缘图不是单象素宽。如何提高边缘检测的精度，使得边缘检测 算法具有更高的信噪比是图像处理的经典难题，成为众多学者研究的难点和热 点。好的边缘检测算法对进行更高层次的图像分析、理解等的有着不可忽视的 实用价值和影响，故而学者们一直致力研究如何构造出具有良好性质和结果的 边缘检测算法。 1 2 边缘检测的发展 一般情况下，将一幅数字图像视为输入信号，图像的边缘是指信号的奇异 点或突变点也就是图像灰度值的不连续点或变化剧烈的点，而这种变化可以用 相邻象素灰度分布的梯度来反映。由于图像边缘的含义，一般灰度图像的边缘 点存在于图像灰度函数一阶导数局部最大值或二阶导数的局部过零点，故而很 多边缘检测的方法主要在输出图中采用不同的衍生步骤来寻找一阶导数局部最 大值或二阶导数局部过零点。根据灰度图像的边缘点这一特点以及高等数学对 梯度的定义，学者们提出了多种经典的边缘检测算子，就处理方法大致有分以 下几个时期，6 0 年代末到7 0 年代末主要的代表方法有以下几种： ( 1 ) l gr o b e r t s 于1 9 6 5 年提出了r o b e r t s 算子 3 ，它利用局部差份算子 来寻找图像边缘，其方法为： g ( x ，y ) = 【厕一7 瓦丽 2 + 7 而一7 丽阡 ( 2 ) j p r i w i t t 于1 9 7 0 年提出了p r i w i t t 边缘算子 i ，它离散出两个卷积核 矩阵，图像中每个象素点与此二核矩阵作卷积。两个卷积核一个对应水平最大 响应，一个对应垂直最大响应。 ( 3 ) r a s k i r s c h 于1 9 7 1 年提出边缘算子 2 ，它由八个方向矩阵组成卷积核， 每个核对应该方向的最大响应。 ( 4 ) l sd a v i s 于1 9 7 5 年提出s o b e l 算子 4 ，它同样离散出两个卷积核，图 像中每个象素点与此二核矩阵作卷积，具体方法同( 2 ) 。这些方法的突出贡献 西北工业大学硕士论文 在于引入不同的算子，将边缘点理解为灰度突变点，对图像相邻象素之间进行 代数运算行以确定图像的边缘象素点。但这些方法由于噪声和图像边缘点一样 也是图像灰度变化频率中的高频分量，微分运算会增强图像噪声，使得噪声被 判别为边缘点，故而恶化了性噪比，检测出的边缘较粗糙。所以检测精度与抗 噪性能成了边缘检测的基本问题。 8 0 年代初到9 0 年代，1 9 8 0 年m a r r h i l d r e t h 从神经生理学和心理物理学 的观点出发，提出人的视觉前期处理中有多个边沿掩膜和条带掩膜在对图像作 卷积，这些掩膜的输出近似亮度函数一阶导数和二阶方向导数。对阶跃边缘， 变化最剧烈的地方是一阶导数极值点和二阶导数过零点，由此，得出 g a u s s l a p l a c e 算子 5 。该方法先对图像进行平滑，即是利用高斯函数平滑图 像后，用l a p l a c e 算子检测边缘，从而降低了图像的噪声。实现了边缘提取前 对图像的预处理。在这一阶段j o h n c a n n y 提出了一种边缘检测的计算方法 6 7 。该方法第一次从理论上建立了最优边缘检测的理论基础：良好的信噪 比、边缘定位和最大伪响应抑制。该方法迅速流行成为别的检测方法在边缘检 测问题上的标准。c a n n y 定量的推导了有关这三个性质的方法并结合前两个性质 建立了一个优秀的边缘检测器。随后，l as p a c e k 8 9 拓展了c a n n y 的工作， 在上文所说的三个性质的基础上建立并简化了c a n n y 的方法的系数。d e r i c h e 改 进了c a n n y 方法构造出种可以递归的方法。1 9 8 7 年，l e e 、h a r a l i c k 和 s h a p i r o 等提出了模糊最小形态学边缘检测算子 1 0 。同年，f e e h s a r c e 提出 了o f 一调整边缘算子 1 1 ：s o n g x u d o n g 等提出了可选择的有序滤波方法 1 2 。 这三种方法将数学形态学成功的应用到图像的边缘检测中，并利用形态学的理 论在抑制噪声方面取得了较好的效果。 近代的图像边缘检测多是基于方向导数和灰度变化曲率进行前文方法的改 进。应竣等人在m a r r h i l d r e t h 方法的基础上提出了基于知识的神经网络构造 方法解决了m a r r 方法中难以解决的“过零点”求法，提高了算法的抗噪性能。 s c h a r c a n s k i j ，v e n e t s a n o p o u i o s 将p r i w i t t 算子改进成为矢量p r i w i t t 算子 1 3 进行彩色图像的边缘检测。 这些算子一般将待处理的象素视为中心，在它的邻域内不同方向计算灰度 梯度，在一定程度上实现了对图像边缘提取并取得了较好的处理效果，但是这 西北工业大学硕士论文 些算法也存在缺陷并没有完全解决对图像真正边缘提取的要求，如：边缘定位 不够准确，边缘不是单象素宽，存在边缘点漏检，噪声干扰较严重等。当然采 用滤波的技术在一定程度上可以去除噪声，但是这种去噪是建立在边缘模糊的 基础之上，使得上述问题依然得不到很好得解决。 除了传统算子以外，近年还有些图像的边缘检测方法也在一定程度上得 到了图像的边缘，如：小波方法，基于热传递方法，结合误差图像的边缘检测 方法，广义模糊算子方法等。这些方法都在图像边缘的某一特性上作出改进但 是同样存在边缘模糊或漏检等缺陷，因此寻找新的技术来解决上述问题是非常 用实用价值和意义的。 我们所得到得图像由于物理和光照得原因，图像的边缘通常产生在不同的 尺度范围内，而采用单一尺度的传统边缘检测算予不可能正确的检测出所有的 边缘。图像本身具有不同类型的边缘，一般描述为缓边缘和非缓边缘或屋脊状 边缘和阶跃状边缘，这些信息在检测之前是未知的。同时我们所处理的图像总 是不可避免的存在一些噪声，如何应用新兴技术构造新的算法来剔除噪声，提 起出图像的真正边缘是近来图像处理研究的热点之一。 1 3 边缘检测中形态学的优势 建立在随机集论和积分几何基础之上的数学形态学方法是近来图像处理的 一种新方法。描述数学形态学的语言是集合论，它运用集合的运算法则定义了 一整套完备的形态运算法则，故而它提供了一个统一而强大的工具来处理图像。 该方法通过灵活的运用结构元的组合、分解并变换结构元序列对图像进行形态 运算以分析和处理图像。最初数学形态学主要运用于二值图像处理。8 0 年代 s e r r a 和s t e r n b e r g 等借助伞理论把二值形态算子推广到了灰度图像，使得灰度 形态学的理论和应用研究特别是形态算法的研究得到了很大的发展，已经成为 数字图像处理和计算机视觉领域中的一种有效方法。 数学形态学的方法应用于图像边缘检测的基本思想是运用一定的结构元素 对图像作形态运算后和原图像相减。数学形态学的边缘检测方法比其它的空域 或频域的图像边缘检测方法具有明显的优势。数学形态的方法运用适当的结构 元借助于形态运算可以有效的滤除噪声同时保留图像中的原有信息。它不像传 4 西北工业大学硕士论文 统的微分算法那样对噪声敏感同时提取的边缘也比较光滑。另外数学形态学的 方法易于用并行方法处理有效的实现，而且对硬件要求也不高。 1 4 本论文所做的工作和文章安排 在本论文中，我们详细研究、比较了几种传统的和新兴的边缘检测算法的 思想并定性的给出了提取边缘的算法，就实验结果对这些方法的检测结果进行 了客观评价。在文章中，我们介绍并研究了数学形态学的基本概念、定义和基 本运算法则。并在介绍二值图像的形态学处理的定义和方法之后，引入了推广 到灰度图像的形态学处理的定义和方法。我们通过对形态学性质特别是形态学 运算的单调性等性质的研究，提出在一次形态处理中使用双结构元的新思想并 且由此提出一系列一般性形态学新算子和抗噪型形态学边缘检测算子，并从理 论上证明了这些算子的科学性。这些新的形态学边缘检测算子都能较好的检测 出图像的边缘，并且检测出来的边缘基本上是连续的单象素宽，定位有一定的 精度。抗噪型算子有一定的抗噪能力并且在同一双结构元处理中既具有良好的 边缘定位能力又具有细节保留功能。实验结果证明：我们提出的抗噪型形态学 边缘检测算子在不使用滤波去噪的情况下，能很好的过滤噪声，检测出图像的 边缘比传统的基于微分的边缘检测算子检测效果好得多。同时，由于只使用了 一对结构元处理一次，故而部分算子存在漏检。我们相信在使用多对不同尺度 结构元进行处理，最后综合不同尺度下检测结果的情况下，我们提出的算子检 测结果会更佳。 本论文的安排如下：第一章介绍边缘检测在图像处理等领域的意义和边缘 检测的概况和发展。第二章给出图像边缘检测的定义，介绍了计算方法中对差 分的定义和高等数学中对梯度的定义，传统和新兴的边缘检测算子的思想和性 质。第三章详细介绍了数学形态学的发展和现状，数学形态学的基本运算和性 质。第四章在第三章二值形态学的基础之上详细介绍了灰度图像形态学的定义， 基本运算和性质。第五章研究形态学边缘检测方法的基础之上提出了几种基于 形态学梯度的一般性边缘检测算子和抗噪型边缘检测算子并给出它们的性质和 实验检测结果。 西北工业大学硕士论文 第二章传统和新兴的边缘检测方法 2 1 图像边缘定义 图像边缘是一种重要的视觉信息，图像边缘的提取在图像处理和机器视觉 中占据着重要的作用。边缘包含了一幅图像的绝大部分主要信息，主要表现在 图像的局部特征的不连续，是图像灰度变化比较剧烈的地方。边检测是计算机 视觉中，特征提取的基本过程，也是物体识别的重要一环。边缘检测最为基本 和重要的是定义和分类边缘点。边缘点，焦点，纹理等等特征组成的图称之为 基本元图。不同尺度下的边缘点包含了图像的全部信息。图像上的边缘点可能 对应 1 4 ：( 1 ) 空间曲面上的不连续点。这种边缘线刻划为两种不同曲面的交线， 在这些边缘点处物体的法线方向不连续，即两侧灰度明显不连续。( 2 ) 边缘由 灰度或材料的不同产生。( 3 ) 边缘是物体与背景的分界线。( 4 ) 边缘是物体与 背景的交界，也是物体上表面法线的不连续处。( 5 ) 边缘由阴影引起，两侧灰 度值有较大差异。 由以上分析可见：边缘都是图像上灰度不连续点或变化剧烈的点。故含噪图 像的边缘检一般是先滤波模糊图像边缘然后再计算不同方向的梯度。一般的我 们将图像的边缘划分为阶跃状边缘和屋脊状边缘 1 5 1 。阶跃状边缘是指边缘两侧 图像的灰度值有明显变化；屋脊状边缘是指边缘位于图像灰度增加和减少的交 界处。在数学上我们可以利用灰度函数的导数来刻划边缘点的变化。在边缘检 测中，常用的方法是寻找图像灰度函数的一阶导数局部最大值或二阶导数局部 过零点 3 2 1 。如图所示：阶跃边缘点a ，其灰度函数的一阶导数在a 点取得极大 值：二阶导数在a 点零交叉。屋脊状边缘b ，其灰度函数的一阶导数在b 点零 交叉；二阶导数在b 点取得极大值。下图分别表示了阶跃状和屋脊状边缘的一 阶和二阶导数。 【a 1 )c a 2 ) 图1 1 阶跃边缘 一6 y 、 厂( x ，y ) v 7 - 、 西北工业大学硕士论文 b ( b 1 ) ： 八_ 墨” 虬 l ， 、l 入 v 1 7 ( b 2 )( b 3 ) 圈1 2 屋脊状边缘 2 2 差分【1 6 l 和图像灰度梯度1 1 7 1 定义 定义1 函数y = 厂( z ) ，在小区间k ，x k + l 】上的改变量儿。一y k 称为在也上以 h = t 。一x k 为步长的一阶向前差分记为：l - 厂= + 。一五。 ( 2 2 1 ) 定义2 函数j ，= 厂( 工) ，在小区间 ，+ 。】上的改变量儿一炸一称为在k 上以 h = x k 一坼一。为步长的一阶向后差分记为：a f = 五一五一。 ( 2 2 2 ) 定义3 设_ y = f ( x ，y ，z ) 在点p o ( x 。，y 。，z o ) 的某一邻域u ( p 。) c r 3 内有定义，f 为从点p 。出发的射线，p ( x ，y ，z ) 为，上且含于u ( p o ) 内的任点，以p 表示p 与 p 0 两点间的距离。若极限l i m 口- + u +丛旦二盟：l i 笪存在，则称此极限为函 p p - + u + 口 数，在点岛沿方向z 的方向导数记作：z ( r ) 或筹i b ( 2 2 3 ) 定理1 1 1 7 若函数厂在点p o ( x o ，y o ，z o ) 可微，则，在点p o 处沿人以方向，的方 向导数都存在石( 昂) = l ( e o ) c o s a + f a e o ) c o s f l + l ( p o ) c o s ， ( 2 2 4 ) 其中c o s 6 t ，c o s ，c o s y 为方向，的方向余弦。 定义4 若y = f ( x ，y ，2 ) 在点p o ( ，y 。，z 。) 存在对所有的自变量的偏导数，则称 向量 f a p o ) ，( 岛) ，正( 风) 】为函数厂在点p o 处的梯度，记作 g r a d f ( x ，y ，z ) 】- 正( 岛) ，f y ( p o ) ，正( 风) 。向量g r a d ( f ) 的长度为： g r a d f ( x ，y ，z ) 】= 正2 ( 风) + 六2 ( p 0 ) + 正2 ( ) 】j( 2 2 5 ) 西北工业大学硕士论文 2 3 传统边缘检测算法 图像边缘检测的实质是采用某种算法提取图像中研究对象与背景问的交界 线及对象与对象的分界线。由图像边缘的定义知道：图像的边缘就是图像灰度 函数的奇异点和突变点也就是图像灰度发生急剧变化的区域。这种变化情况可 以用图像狄度函数的梯度来反映，因此图像的边缘检测算法可以由图像局部微 分技术来得到。根据上述图像边缘的特性和梯度理论，众多学者在研究图像处 理时提出了许多现在被认为是传统的和经典的边缘检测算子。常用的边缘检测 算子包括：r o b e r t s 边缘检测算子、s o b e l 边缘检测算子、p r e w i t t 边缘检测算子、 k i r s c h 边缘检测算予、零交叉边缘检测算子，差分边缘检测算子等 1 5 1 。这些 边缘检测算法都是在原始图像的某一小邻域内构造算子。下面，我们对上述的 几种边缘检测算子进行了理论分析和实验。对比实验结果对各种边缘检测方法 的性能进行了客观评价。 2 3 1r o b e r t s 边缘检测算法 r o b e r t s 边缘检测算子在图像内任意一点取任意相互垂直方向的向后差分来计算 梯度的原理，采用对角线方向相邻两象素之差，表示为： a ，厂= f ( i ，_ ，) 一，( f + 1 ，+ 1 ) ，a ，f = f ( ，+ 1 ) 一( f + 1 ，) ( 2 3 1 ) e ( i ，) = ( a 2 x f + 鸶厂) i 或e ( f ，) = l ，i + b ，i ( 2 3 2 ) r o b e r t s 边缘检测算子在x 和y 方向的卷积核记为： 蚶：一v ：匕习 在确定了卷积核之后，根据上述的算法可以很快计算图像梯度e ( f ，) 。由于图像 的平滑区域梯度较小，输出图像在平滑区域存在暗斑，为了克服这一缺陷我们 有必要取适当的阀值t ，并作出判断：当e ( i ，) t 时，( f ，_ ，) 为阶跃边缘点； 当e ( i ，) t 时，处理后图像仍然保留原图像的灰度值。所以 ( f ) l e ( f ，) 是 我们要求的边缘图像。 实验表明：用对角线方向相邻象素的差分来近似图像梯度r o b e r t s 边缘检测 西北工业大学硕士论文 方法检测水平方向和垂直方向特别是具有陡峭的低噪图的效果较好，边缘定位 比较准确。但是对有一定倾角的斜边效果不太理想，并且存在较多漏检。在有 噪声干扰的情况下，r o b e , s 边缘检测方法不能有效的去噪并伴随一些伪边缘。 s o b e l 边缘检测算法考虑图像 ( f ，川厂( f ) ) 内的每一个点，取每个点的上、 到提取图像边缘的效果。所以s o b e l 算子定义为：e ( i ，) 三陋，f j + l a ，卅 水平方向，厂= | 二 ；却垂直方向，t j ；朝 现在较为常用的s o b e l 边缘检测算子一般取加上1 8 0 0 ，2 2 5 0 ，2 7 0 0 ，3 1 5 0 的八个方 向的边缘检测算子模板。n n 取n i i gt ，当e ( i ，j ) t 时，( f ，j ) 为阶跃边缘点； 当e ( i ，j ) t 时，处理后图像仍然保留原图像的灰度值， ( f ，j ) e ( f ，j ) ) 作为检 是，同时我们看到s o b e l 算子检测出来的效果，图像边缘定位的精度不够高，存 在较多的伪边缘。使用的领域较大时，计算量大，边缘较粗：增加方向时同时 1 0 西北工业大学硕士论文 e 1 孵- 1 - j 1 雌。 - 1 - t 1 ( a 1 ) o o 方向( a 2 ) 4 5 0 方向( a 3 ) 9 0 0 方向( ) 1 3 5 0 方向 11 ： 眸妇匪1 1 1 钼 ( a 5 ) 1 8 0 0 方向( 氏) 2 2 5 0 方向( a 7 ) 2 7 0 0 方向( a 8 ) 3 1 5 0 方向 p r e w i t t 算子定义：e ( x ，y ) 哥暑厂( f ) + a s f ( i ， - 1 ) + 4 f ( i - 1 ，j 一1 ) + 4 ，( f 一1 ，j ) + 适当取阀值t ，当e ( i ) t 时，( f ，j ) 为阶跃边缘点当 ( i ，j ) i e ( i ，) ) 作为检测 2 3 4k i r s e h 边缘检测方法和r o b i n s o u 边缘检测方法 k i r s c h 算子和r o b i n s o u 算子同p r e w i t t 算予相似，都是一种模板算子，只是 模板参数取值上的差异，它们是由理想的边缘子图构成。用这些模板取检测图 像，由与被检测区域最相似的模板给出最大值。这些最大值作为算子检测的图 像边缘输出。八个方向的k i r s c h 算子模板如下： 西北工业大学硕士论文 匪 ( 2 ) 4 5 0 方向( 3 ) 9 0 0 方向 三| ( 4 ) 1 3 5 0 i 一33 l 一30 l 一3 5 ( 5 ) 1 8 0 0 方向( 6 ) 2 2 5 0 方向( 7 ) 2 7 0 0 方向( 8 ) 3 1 5 0 方向 八个方向的r o b i n s o u 算予模板如下 1 1f 0 2i ( 4 5 0 ) i 一1 1 jl 一2 ( 5 ) 1 8 0 0 方向( 8 ) 3 1 5 0 方向 2 3 5 零交叉边缘检测方法 零交叉边缘检测方法主要采用m a r r 和h i l d r e t h 提出的拉普拉斯二阶导数标量 算子v 2 g ，该算子在m a r t 的视觉理论中扮演着相当重要的作用。 拉普拉斯算予定义为：v 2 g = 罢( x , y ) + - 菩t f ( x , y o x )( 2 3 5 ) - 该算子的特点是利用高斯滤波器对图像进行平滑。二维高斯滤波函数记为 ，r + y g ( x ，y ) 2 丽1 p 2 ， ( 2 3 6 ) 设f ( x ，y ) 为图像灰度函数，由线性系统中微分和卷积的可交换性，得到下式 v 2 g ( z ，y ) + ，( 石，y ) = 2 g ( x ，y ) + ，( x ，j ，) 1 2 ( 2 3 7 ) 5 0 o，；o ，l 、f引叫 5 一 一 5 o - 3 3 5 一 一 r。l 5 5 0 5 o o 3 3 3 一一 一 一一 1j 0 ， 5 o o3 一 一一 舛j 引叫 一 一 一 _ o 5- ， l l 3 3 3 向 一 一 一崂：， 扩o o o (_，l 1j o 一乞 ，o 0 眨m n 1，j o o 2 0 乞 【二一一 的 扪纠 o o 0 o o 1 2 1 一 一 一 。l 叭， o ( 们纠 o o 之o o 。，l o 0 向方 ：o舻2 1 o 1 )卜【110 1j旬司椭 。o 。 掰)m 他一 1，j 1 2 1 一 一 一 o o o 1 2 1 。l 西北工业大学硕士论文 肌v 魄加嘉( 孚寸等 ，r 2y j 。旷 ：彳z ( 姜一l 弦一了p 一+ a 2 ( 兰一1 ) e a 2 e 。0 2 = 墨( x ) 局( y ) 十墨( y ) k ( 石) ( 2 3 8 ) 盯盯。 。 其中，a = 1 ：亍，k ( x ) ：4 ( 1 x 2 2 府2 仃。 2 ( y ) = a e 0 2 上述的二阶导数的拉普拉斯算子是线性的移不变的算子具有各同性，即旋 转不变性。对于图像的阶跃边缘，二阶导数在边缘点产生一个陡峭的零交叉， 因此可根据边缘点左右两边函数值之积为负来确定边缘点。对于图像的屋脊状 边缘，二阶导数在边缘点处取得局部极值，并由极值点左右增量异号确定边缘 点。用拉普拉斯算子卷积图像，并通过函数值的符号变化来确定零交叉的算法， 也称之为l o g 算法( l a p l a c e o f - g a u s s a l g o r i t h m ) 。利用v 2 g 算子的可分解性，对 图像的二维卷积可以分解为两个一维卷积之和。表示如下： v 2 g ( x ，y ) + f ( x ，y ) = f ( x 一- ，y o k 。( x ) k ：( j ，) + k 。( y ) k 2 ( x ) ：2 ，至w ：w 厂c r 一，y 一，kc 。 k 。c ，+ ，薹w c x 一，y 一，墨c r ， k jc ，山一 j l j = 一 il = 【c ( x j ，y ) k 。( ，) 十d ( x 一，y k ：( ) 】 ( 2 3 其中 w c ( x 一，y ) = f i x j ，y f ) k ：( f ) “( 2 3 1 0 ) d ( x 一，y ) = f ( x j ，y o k l ( f ) 在实际图像处理中，对零交叉边缘检测算法，我们主要用差分格式来近似拉普 拉斯微分运算a 定义为：v 2 f ( x ，y ) = a 2 ，f ( i ，_ ，) + j ( j ，)( 2 3 1 1 ) 在编程实验中我们一般取四邻域微分和八邻域微分，分别定义如下： 四邻域微分：e ( i ，j ) = 1 4 i 厂( f ，) 一f ( i ，一1 ) 一f ( i 一1 ，d f ( i + l ，d f ( i ，j + l ( 2 3 1 2 ) 八邻域微分：e ( i ，j ) 爿8 f ( i ，) 一f ( i ，j - 1 ) 一f ( i 一1 ，j ) 一f ( i + 1 ，j ) 一f ( i + 1 ) - 1 3 西北工业大学硕士论文 o _ 1 4 郅 ； 二： ；i ) ： v 2 g = 丁厂( x ，_ y ) + 兰丁厂( x ，_ y ) 不同的估算。现有的各种算法都是以被检测的象 2 1 3 6 差分边缘检测方法 差分边缘检测方法是一种非常原始、基本和粗糙的方法。陔方法利用图像 灰度函数的一阶导数在灰度突变点处得到局部高值来进行边缘点检测。它在某 一点的值就代表该点的边缘强度，然后通过设置适当的阀值过滤进一步得到 图像的边缘。但是，使用差分边缘检测方法必须使差分方向与边缘垂直，这就 需要对图像的不同方向进行差分运算，这种方法是增加了运算量。差分边缘检 测方法一般耿每一个象素的水平方向，垂直方向和对角线方向进行检测其模板 一1 4 西北工业大学硕士论文 2 4 新兴边缘检测方法 随着计算机硬件技术的发展，显示器的分辨率越来越高，必然引起边缘灰 度变化带的减小。图像的边缘总是产生在不同的尺度范围内，形成不同的边缘， 而在图像处理之前这些信息是未知的。传统边缘检测方法没有自动变焦的功能， 不可能完全检测出图像的真正边缘并且传统方法没有建立一套评价一种边缘检 测方法优劣性的定性标准。随着图像处理的发展和新兴技术的研究应用，又涌 现出很多新的边缘检测算子。如：c a n n y 边缘检测算子，小波边缘检测算子 1 8 1 9 】，广义模糊算子 2 0 ，基于热传递方法 2 1 】，结合误差图像的边缘检测方 法等 2 2 1 。下面我们主要介绍三种算法，结合实验对其结果进行比较。 2 4 1c a b b y 边缘检测算法 我们熟知：图像的边缘点一阶导数具有局部最大值，二阶导数具有局部过 零点。在图像处理过程中，图像总是难免包含噪声使得含噪信号和原信号微分 后差异极大，形如：若f ( x ，y ) = f ( x ，y ) + fs i n ( a x + 砂) ，厂是原图像，是含噪 图像，若a ，b 足够大厂和厂微分后差异极大，故而使得图像边缘检测中的微分 问题成为病态问题( i l l p o s e dp r o b l m ) 。解决该类问题的方法是把它转化为适定 问题( w e l l p o s e dp r o b l e m ) 。一个数学问题是适定的要满足h a d a m a r d 定义的三 个条件：( 1 ) 存在性( 2 ) 唯一性( 3 ) 连续的依赖于初始值。显然，单纯的微分在该 条件下是病态的。 文章 2 2 - 2 4 】中，提出了将病态问题转化为适定问题的三种方法： ( 1 ) 在约束| | 儿0 c 的条件下，使得炉z 一卅j m i n ： ( 2 ) 在约束怕z y 1 1 o 且：目( z ，j ，) 出咖= 常数，则称 口( x ，y ) 为光滑函数。记- ( x ，y ) = _ 0 0 ( x , y ) ，z ( x ，_ y ) = 掣，可作为小波函 o x c l v 数。 定义6 若厂口( r 2 ) ，记：嘭f ( x ，y ) = f ( x ，y ) + ：，f ( x ，y ) ， 呜，( x ，j ，) = 厂( x ，y ) + 蟛厂( x ，y ) ，贝t l w f ( tj ，) = 眈厂( x ，y ) ，呜厂( t y ) ，z 称为 函数f ( x ，y ) 的二维二进制小波变换。 显然，小波变换具有天然的多尺度性。由定义( 5 ) 知：函数厂( x ，y ) 的二维 二进制小波变换的实质就是厂( z ，y ) 经过光滑函数口( 七，y ) 卷积后的梯度。 殷w j f ( x 驯, y ) 1 划 晏( 厂只，) ( x ，y ) 盘 昙( + 只，) ( x ，y ) 钟 2 2 j v ( f 岛从z ，y ) 。固定尺度为2 ，则 梯度向量的模：m ：厂( x ，y ) - - x v f ( x , y ) l - + lw ；f ( x , y ) 下，( 2 4 6 ) 梯度向量的相角：4 ，厂( x , y ) = a r c t a l l ( 黼) ( 2 4 7 ) 平滑后图像灰度的突变点就是梯度模m ：，厂( x ，y ) 沿梯度方向4 ，厂( x ，y ) 的局部极 大值点a 将模值相近和相角相邻的突变点链接，去除可能时由噪声引起的、长 度小于一定阀值的短链，就可以得到相应尺度下的边缘链，不同尺度下的边缘 1 8 西北工业大学硕士论文 链综合就得到了检测结果。 2 4 3 广义模糊算子边缘检测方法 广义模糊算子边缘检测方法首先定义了广义模糊集合的概念。其次，将灰 度图像表示成为广义模糊集合，在广义模糊算子作用下转换成普通的模糊集合， 从而实现图像边缘检测。广义模糊集合是对普通模糊集合的一种推广，定义为： 定义7 沦域u 上的广义模糊集合a 表征为： a = f ( x ) x 目爿= ( 。( x ) ，z u ) ) ( 2 4 8 ) ，玉 其中1 。( x ) 【一1 ，1 称为u 上a 的广义隶属函数；称心( x ) 一l ，o 为u 上x 完全不属于a 的广义隶属函数；称心( x ) 【0 ，1 为u 上x 完全属于a 的广义隶 属函数：称心( x ) = 0 为c ，上a 的模糊分界点函数。积分号表示元素与其隶属都 得对应关系的总括，“”表示在x 点对应它的隶属度以( x ) 定义8 把事件x 。u 所具有的某种性质程度p 的函数集合，称为u 上的广义性 质集，其中p i 【_ 。1 ，1 。 广义模糊算子表示为：儿( 功= g 只s 。( x ) 】- 乒而瓦丽，_ 1 曼胁( 功蔓。 眦 ( 功r ，o 0 。显然，广义模糊算子g f o 作用在一个广义模糊集合a 上可产生另 一个模糊集合a 。a + 是普通模糊集合【2 6 】。 广义模糊算子边缘检测的过程描述如下：取= 2 ，口= 百1 j - r 矿4 ，正弦函数 作为映射t ，则广义模糊算子表示：以( x ) = 乒面鬲丽，一l 胁( 工) s o 阮o ) 2 o s 胁( 功s r 将图像 正面丽， 胁( x ) 1 的灰度值集合扛。 变换成为与之对应的广义性质域汜j ，则 1 9 西北工业大学硕士论文 p , s = s i n 2 ( 1 一兰些旁生) ，x 。，。分别为图像灰度的最大级和最小级。将广义性 质集乜 用广义模糊算子映射为普通性质集合 尸， ，然后再进行从普通性质集 p 。， 到二维空间域的逆变换，即可以得到原图像扛。 的边缘检测图1 ，) 。 x j ：丁一( 乃) ：x 。+ d ( 燮一1 ) ，i ：1 , 2 ，m ；：1 , 2 nd 毕x = 丁一( 只f ) = x m a 。+ d ( 旦一) ， = ，a f